Жанр: Наука
История и методология математики
...чередной проблемой, от решения которой зависели
практические успехи математического анализа.
Правила дифференцирования в подавляющем большинстве были разработаны еще в
трудах Лейбница и братьев Бернулли. Расширение этих правил в связи с расширением
класса исследуемых функций не представляло принципиальных трудностей. Так, вслед
за аналитическим выражением тригонометрических, показательных и других классов
функций были немедленно получены аналитические выражения их производных.
К. А. Рыбников
225
Накопление фактов дифференциального исчисления происходило быстро. В
"Дифференциальном исчислении" (1753) Эйлера это исчисление появляется уже в
весьма полном виде. Например, теорема о независимости значения частных
производных от порядка дифференцирования была известна еще в начале века. Эйлер
дал ей доказательство, распространив последнее на частные производные высших
порядков. В теории полного дифференциала Эйлер показал, что в
частные производные должны удовлетворять условию
дР ^ dQ
ду дх
Символы ----- , - -",, однако, были введены позднее, около 1786 г., дх ду
Лежандром. Необходимость, а затем достаточность данного условия, чтобы выражение
Pdx-}-Qdy было полным дифференциалом, была доказана Эйлером. Он же, рассматривая
функции трех переменных f(x, у, г) и их полные дифференциалы вида Pdx-\-Qdy -\--
Rdz, ввел условия
дР
дх dz
дх dz
ду
Именем Эйлера названы также и формулы дифференцирования сложных функций, теорема
об однородных функциях и многие другие факты.
Правила определения экстремумов функций одной переменной y=f(x) были даны
Маклерском. Эйлер разработал этот вопрос для функций двух переменных., Лагранж
показал (1789), как. от" , личать вид условного экстремума для функций многих
переменных, а затем (1797) применил для их исследования метод неопределенных
множителей, носящий его имя. Упомянем, наконец,
вопрос об исследовании неопределенностей вида ----,0-оо, оо - со,
которые провел Эйлер.
Дифференциальное исчисление в течение XVIII в. накопило почти все факты,
характеризующие его современную структуру. Был разработан сильный аппарат
представления функций рядами. Он приобрел достаточно развитую аналитическую
форму. Помимо общих проблем рационального истолкования его основных понятий,
связанных с невыясненностью понятия бесконечно малого количества и рассмотренных
нами в предыдущей главе, перед ним встали новые проблемы обоснования. Эти
проблемы относились к суммируемости рядов, разложимости функций в ряды различных
типов, условий существования интегралов -от заданных полных дифференциалов и т.
п.
Интегральное исчисление. Создатели анализа бесконечно ма^
' _ _ __л.гттт/'" ттлтттлго г\аг"г"луг
отчлтдтэ о а п f\ п о т о t-т Q о а гт с" _
лых ввели итеп,альное ^
ЧИ (
бенно^явно^У "Лейбница вопрос был сложнее: интеграл появился
•^ " . ____ _, л",г,т . т Л
ТГОГ^ ГП7ИЛГТ1Л О ^vOPIfmU AUU Г" f^n, ТТ Т-ЛТТГЧТГ/Л ТТОГ"ТТО
1 Hii I СА К ciVU-Hiv/xx **~-------- ' j.
д. A -
чи своих исчислений. В теории флюксии Ньютона взаимная об-патность задачи
вычисления флюксий и флюент проступала осог
хг ТТ^Л^тттттто тэ/лгтгк- ^Ы.Л
Г.ТТПЖНРР' ИНТРГПЯП TTHCTPltJ TIP a
вначале как определенный, как сумма бесконечно большого числа бесконечно малых
дифференциалов. Однако интегрирование практически сводилось к отысканию
первообразных функций. Идея неопределенного интегрирования была вначале
доминирующей.
"" Обратные задачи были поставлены в самом общем виде. "Интегральное исчисление
включало еще помимо интегрирования функций задачи и теорию дифференциальных
уравнений, вариационное исчисление, теорию специальных функций и т. п. Эти
области математического анализа лишь постепенно отделились от
интегрального'исчисления в течение XVIII в. 'Интегральное исчисление в такой
общей постановке необычайно быстро разрослось. Эйлеру понадобилось в 1768-1770
гг. три больших тома, чтобы дать его систематическое, изложение. Первый том
этого колоссального труда включал в себя в первой части собственно
интегрирование функций; обыкновенные дифференциальные уравнения ^ заняли вторую
часть первого тома, и весь второй том; третий том был отведен дифференциальным
уравнениям с частными-производными и вариационному исчислению. Однако весь этот
материал понимался еще все-таки как единое интегральное исчисление.
• "
По Эйлеру, который выражал общепринятую точку зрения, интегральное исчисление
являлось методом нахождения по данному соотношению между дифференциалами
соотношения между самими количествами. Действие, которым это достигалось,
называлось интегрированием. Исходным понятием такого исчисления, разумеется, был
неопределенный интеграл. ^Само исчисление имело целью выработку методов
отыскания первообрГазншПфунк-ций для функций возможнсТ!^
Задача построения исчисления в основном была решена в течение первой половины
XVIII в. Главные достижения в этом деле вначале принадлежали И. Бернулли,
написавшему первый систематический курс интеграЗТБНрга-исчисления (1742), затемЗид^
ру. Вклад последнего в" интегральное исчисление необычайно велик. По
справедливому замечанию Н. Н. Лузина* об Эйлере, доведенные им до конца
интеграции и найденные им квадратуры еще до сих пор образуют рамки всех
современных курсов и трактатов по интегральному исчислению; математика в течение
150 лет после смерти Эйлера не могла пробить бреши в том кольце интеграции,
которое было выковано Эйлером, и таким образом добавить новые квадратуры. В
отношении интегрального исчисления современные учебники являются лишь
переделками трактата Дилера, только подновлением этого труда в отношении языка.
Аналогичную оценку давал академик А. Н. Крылов.
8* 227
Несмотря на кажущуюся чрезмерной категоричность этих суждений, они
подтверждаются при конкретном рассмотрении знаменитого "Интегрального
исчисления" Эйлера и сравнении его с современными учебниками. Методы
неопределенного интегрирования достигли практически современного уровня во
второй половине XVIII в.
Формирование совокупности методов нахождения первообразных функций
сопровождалось вьщаботкой общих понятий исчисления и ?0ответствующ|^
Ъ'онятияГнеопредёленного интеграла как основного, ввел целую систему
определений. Интеграл вместе с произвольной аддитивной постоянной интегрирования
он называл полным. Фиксирование произвольной постоянной приводило к частному
интегралу. Зра" чение последнего при некотором определенном значении аргумента
давало эквивалент определенного интеграла.
Эту стройную последовательность оказалось невозможным выдержать в прикладных
вопросах (в случае, когда первообразная не является элементарной функцией), и в
соответствующих приближенных вычислениях определенное интегрирование вводилось
как суммирование в смысле, аналогичном современному. Необходимое видоизменение
символа Лейбница
\f(x)dx
ь"
для случая определенного интегрирования было тоже найдено не сразу. Символ
Эйлера
/(*)**[',
[adx =
(где вместо f(x) еще стояло р) получил с 1779 г., по предложению Лапласа,
соответствующий термин "определенный интеграл". Привычный нам (кажущийся таким
естественным) символ
J/W
dx
был введен Фурье только в 1819-1822 гг.
Параллельно с развитием интегральнотсьисншжения возникали обобщения
рпер^цМ...0Ж
Ш1ШРЖ1ШЯ-ГЬ ^43 г. Клеро)ввел криволинейные интегралы
^*------------'
-Qdt/,
взятые вдоль кривой, в книге "Теория фигуры земли, основанная на началах
гидростатики" (русский перевод вышел в 1947 г.). в связи с практическими
задачами разработал и ие. Через два года (в 1772 г.) Лагранж,
оассматривая задачу о притяжении эллипсоида вращения (опубликована в 1775 г.),
вв^^в_^тематику^тройные интегралы.
В ходе развитйТПштегрального исчисленияпоявилсяряд задач специального характера.
Попытки их решения повели к разработке новых областей математического анализа.
Последние оано или поздно отделились от своего первоначального источника
__интегрального исчисления XVIII в.
Прежде всего следует упомянуть о теории "дифференциальных уравнений и о
вариационном исчислении. Мы рассмотрим их далее специально в соответствии с тем
значением, которое эти отделы имели для развития математики.
Вычисление интегралов специальных видов уже в начале века привело к открытию
ряда фактов теории специальных функций. Одним из первых, было открытие эйлеровых
интегралов первого и второго рода, т. е. соответственно бета-функции
В (а, Ь) = f я*-1 (1 - x)b~-1 dx о
(1730-1731) и гамма-функции
(1729-1730).
Интегрирование по частям, примененное к: гамма-функции, дает
Г(а+1) = аГ(а), a"0. • , •
Если а - натуральное, то '
Г(а+1) = аГ(а)= ... = а! Г(1) = а!
Это дало Эйлеру основание дать обобщенное определение факториала
- , ^^^^^
п\ = Г еххп-1 dx. S
В случае бета-функции при натуральных а и 6
В (а, 6) = - L_ .
подобные соображения позволяют обобщить (как и понятие факториала) понятие
биномиального коэффициента на случай непрерывно изменяющихся аргументов.
Доказательство абсолютной сходимости для а"0, Ь"0, разумеется, еще не могло быть
дано,
- ....... - -~ - 22'9 ...... "" ..... "' ' ' ' '
как и рассмотрение этих функций для комплексных значений аргумента.
Из числа многих специальных интегралов можно отметить "интегральный
логарифм":
х 1пх
In*
Г eldt
= J "Гкоторый
приобрел вместе с функцией ?(я) большое значение. в аналитической
теории чисел, например при исследовании проблемы распределения простых чисел в
натуральном ряду,, Эйлер разложил интегральный логарифм li(g
в ряд:
| At
(tm)
з з
где с - постоянная Эйлера:
;
.с -0,577215...,
арифметическая природа которой не выяснена до настоящего
времени,, • .... • ...... •- - - ..... - -
"-и*",....
Класс специальных, или трансцендентных, фушпйяй, включал в себя также
эллиптические функции, возникшие при обращении эллиптических интегралов,, т. е.
интегралов вида . ^/
(где R- знак рациональной функции, /г=3 или /г=4, а полином Pn(*Y не имеет
кратных корней). Свое название эти интегралы получили за то, что через один из
них
. - k* sin2 a da
(интеграл второго рода в нормальной форме Лежандра) выражается длина дуги
эллипса
u = as\na, v-bcosa (a"b)
- k2 sin2 a da.
Интегралы этого вида были применены многими математиками XVIII в. для
вычисления длин дуг различных кривых. В 1761 г.
Q- РП открыл теорему сложения эллиптических интегралов, а идея
v п/5оащения была впервые высказана в конце XVIII в. Гауссом, ч ТРООИЯ
эллиптических функций в основном была построена в V XIX в в трудах
Абеля, Якоби, Лиувилля и других математиков, j
Как уже было сказано, указанные функции являются одним ич видов специальных
функций -трансцендентными,, Они имеют обший источник- интегралы, не выражающиеся
через элемента?" . ные функции. Другой основной класс специальных функций
появляется, как известно, при решении линейных дифференциальных уравнений
второго порядка с переменными коэффициентами (функции Бесселя, Ламе,
цилиндрические и т. д.).
При вычислении ряда трудных интегралов был применен также метод комплексных
подстановок, связавший впоследствии интегральное исчисление с теорией функций
комплексного переменного. Например, еще Даламбер и Эйлер утверждали, что
и одновременно Тогда
Ф (х + iy) = М + iN Ф (х - iy) = М - IN.
Р + iQ = J (М + iN) (dx + idy), P - iQ^{(M- iN) (dx - idy),
откуда
P = f Mdx - Ndy" Q = f Ndx + Mdy.
Из того, что выражения под интегралами являются полными дифференциалами функций
Р и Q, следуют известные условия Даламбер а- Эйлера
дМ = _ dN . dN = дМ_ ду дх ' ду дх
Например, для гамма-функции
*
оо
Г (n) = f e-*xn-1 dx
Эйлер (1781 г., опубликовано в 1794 г.) производит замену x=ky. Тогда
Полагая затем
Г (п) •= е-ьууп~1 dy. 6
k = р -f lq = г (cos a ± i sin а), 231
он нашел
л cos да Л/ ==
(я) cos /га -
откуда в качестве частного результата (при п = -, р = 0, q = 1 j получил
интегралы,, известные теперь как интегралы Френеля
(X)
J Уф
О
(Эйлер учитывал, что
Другой частный результат Эйлер получил, положив во втором уравнении /г-"оо,
откуда •
Посмотри в окно!
Чтобы сохранить великий дар природы — зрение,
врачи рекомендуют читать непрерывно не более 45–50 минут,
а потом делать перерыв для ослабления мышц глаза.
В перерывах между чтением полезны
гимнастические упражнения: переключение зрения с ближней точки на более дальнюю.
f ^
J
e'px sin
а затем (p = Q, q=l)
sin xdx'
Целью подобных подстановок является стремление получать интегралы функций от
одной переменной. При этом иногда в качестве исходного берется такой интеграл,
значение которого уже известно, чтобы получить новые, более сложные интегралы.
Так, Эйлер в одной из работ применил подобный метод к интегралу
dz
С ,dz ^
J /l-za
и получил два новых интеграла
Р - Г cos(fl-f co)dt; л _ Г sin (ft + со) dv
} кг ' y~J ут '
где
•& = const; 232
tg2co1-
и* cos 20'
s = V\ - 2i"2 cos 20 +
= const.
Лаплас рассматривал интегралы с мнимыми пределами.
Эта область интегрального исчисления играла важную роль в создании теории
функций комплексного переменного как один из ее источников.
Итак, в течение XVIII в. в интегральном исчислении сформировалась совокупность
методов, близкая к его нынешнему составу и уровню". Это исчисление также дало
начало новым отделам математического анализа, как, например, теории специальных.
функций. От него отделились и превратились в самостоятельные области математики
теория дифференциальных уравнений и вариационное исчисление. Интегральное
исчисление послужило, наконец, одним из источников теории аналитических функций.
Дифференциальные уравнения. Перед создателями анализа задача интегрирования
дифференциальных уравнений вначале выступила как часть более общей задачи:
обратной задачи анализа бесконечно малых. Естественно, внимание вначале
сосредоточилось на различных уравнениях первого порядка. Их решения
разыскивались в виде алгебраических или элементарных трансцендентных функций с
помощью более или менее удачно подобранных приемов. Для того чтобы свести эту
задачу к операции нахождения первообразных функций, создатели анализа и их
ученики стремились в каждом дифференциальном уравнении разделить переменные.
Этот прием, которым теперь начинаются систематические учебные курсы теории
дифференциальных уравнений, оказался, по-видимому, и исторически первым.
Около 1692 г. И. Бернулли нашел другой прием, использовав в ряде задач умножение
на интегрирующий множитель. Этот же прием успешно применял в 1720 г. Бернулли.
Постепенно выяснилось, что метод интегрирующего множителя, по-видимому, можно
рассматривать как общий метод интегрирования уравнений вида
трудно, однако, осуществимый из-за подбора этого множителя.
Арсенал приемов решения дифференциальных уравнений включал также
замену переменных. Лейбниц (1693), а затем И. Бернулли с помощью
подстановки y=xt решали однородные^ уравнения первого порядка. Уравнение И.
Бернулли
+ bynqdx (а = const, 6 = const, -р = р(х), q = q(x))
было с помощью подстановки yl~n = v преобразовано (Лейбницем в 1693 г., И.
Бернулли в 1697 г.) в линейное дифференциальное
уравнение первого порядка. В ходе решения этого уравнения И. Бернулли
предвосхитил метод вариации постоянных, введенный в 1775 г. Лагранжем. Наконец,
к 1700 г. И. Бернулли сумел решить линейное дифференциальное уравнение /г-го
порядка
вводя интегрирующий множитель вида х? и последовательно понижая с его помощью
порядок уравнения,
Однако эти, а также некоторые другие приемы были разрознены, а количество задач,
сведенных к дифференциальным уравнениям, гигантски выросло и все возрастало. По
существу все прикладные задачи анализа, известные в то время, требовали решения
многочисленных и разнообразных дифференциальных уравнений. Каждое из этих
уравнений было продиктовано конкретной задачей математического естествознания, а
его решение сулило открытие важной тайны природы или технического
усовершенствования.
Вопросы общей теории дифференциальных уравнений в начале XVIII в., разумеется,
не могли быть поставлены. Слишком был слаб аппарат, пригодный для решения
дифференциальных уравнений, не выделены отдельные классы дифференциальных
уравнений, не изучены их особенности. Оставался единственный' путь - путь
упорной, методической работы над решением возможно более широких классов
уравнений. На этот путь встали все (крупные математики того времени. Слишком
важна и неотложна 5ыла задача. Количество сочинений и конкретных результатов,
полученных ими, огромно. Мы можем здесь лишь наметить некоторые тенденции
развития и указать на наиболее важные результаты.
Заметные результаты этой работы стали обнаруживаться уже в 20-х годах XVIII в. В
172?,х., ихальянский математик Я. Риккати опубликовал разностороннее
исследование уравнения, названного по предложению Даламбера (1769) уравнением
Риккати. Речь шла об интегрируемости в элементарных функциях нелинейного
дифференциального уравнения
dy , л 1 "
---\- ау2* - Ьха
(a, a, b - постоянные). Риккати рассматривал первоначально это уравнение в более
сложном виде
dq
хп
dx
__ "У , У
dx q
где у и q - любые функции от х. Однако ему пришлось-упростить задачу, положив
q=xn.
Исследованием уравнения Риккати занимались многие математики: Г. Лейбниц, X.
Гольдбах, Я. Бернулли Н. Бернулли, Д Бернулли и др. Д. Бернулли установил
(1724), что это уравнение интегрируется в элементарных функциях, если
4k а = - 2 или а = - -^ЗТ"
(fr - целое число), В 1738 г. Эйлер применил к решению этого уравнения теорию
рядоТГВ"это~Ж5 'время он йГачигает рассматривать общее уравнение Риккати
(Р(х)" Q(x), R(x) - непрерывные функции), частными видами которого являются не
только" специальное уравнение Риккати, но и уравнение Бернулли (при R(x)=0) и
линейное дифференциальное уравнение (при* Р(х) = 0). Эйлер же в 60-х годах XVIII
в. обнаружил, что при наличии двух частных решений интегрирование уравнения
Риккати сводится к квадратурам. Если же известен один частный интеграл v, то оно
может быть преобразовано в линейное дифференциальное уравнение подстановкой
У
v •+• -Ч г
Еще к концу 30-х годов XVIII в. Эйлер разработал алгоритм решения линейных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, основанный на понижении
порядка некоторых однородных уравнений с помощью показательной функции. В 1743
г, в одной из работ Эйлера был-опубликован метод решения линейного однородного
дифференциального уравнения любого порядка с постоянными коэффициентами при
помощи подстановки
а в случае кратных действительных корней характеристических уравнений -
подстановки
у = uekx.
В случае наличия пары комплексных корней а±р/ подстановка того же типа
у = иеах
сводит задачу к уравнению
Уи = О,
dx*
тригонометрический вид решения которого был известен Эйлеру еще с 1740 г.
Через несколько лет (в 1753 г.) для понижения порядка уравнения
dx dx2
Эйлер применил множитель етх, Затем он предположил, что решение нового уравнения
имтет вид
-4L } == Г
где А{ и В\ - неопределенные коэффициенты. Эти коэффициенты, а также т он нашел
дифференцированием обоих членов этого уравнения и почленным сравнением"
Даламбер (в 1766 г.) нашел, что общее решение неоднородного линейного уравнения
равно сумме некоторого частного решения и общего решения соответствующего
однородного уравнения,
Многие ученые (в особенности Клер о и Эйлер) интенсивно разрабатывали метод
интегрирующего множителя. Помимо отыскивания специальных видов интегрирующего
множителя для отдельных классов уравнений были поставлены более общие задачи.
Так, в 1768-1769 гг. Эйлер исследовал классы дифференциальных уравнений первого
порядка, обладающих интегрирующим множителем данного типа, и делал попытки
распространить эти исследования на уравнения высших порядков.
По инициативе Эйлера в 30-х годах сложилось и окрепло убеждение, что для
интегрирования дифференциальных уравнений даже простых, казалось бы, классов
множества элементарных функций и простейших трансцендентностей недостаточно. В
этих целях внутри теории дифференциальных уравнений приходилось ограничиваться
тем, чтобы выразить решения в квадратурах; методы же вычисления интегралов,
получающихся при этом, были вынесены в собственно интегральное исчисление.
Наряду с обыкновенными дифференциальными уравнениями были найдены решения
отдельных уравнений с частными производными. Уже около 1735 г. Эйлер, занимаясь
различными задачами о траекториях, пришел к "модулярным", или "параметрическим",
уравнениям
dz
U6 ? / ".
- = f(x,y),
дх
а также
dz дх
= F(x, у, г),
называемым так потому, что речь идет о семействе кривых, в уравнения которых
входит переменный параметр, или, по терминологии того времени, модуль.
Применение интегрирующего множите236
Ля R ко второму уравнению дало Эйлеру условие интегрируемости в виде
дх
дг
-дг'
откуда он нашел выражение для интегрирующего множителя
•=Г
дг
dx.
Несколько дифференциальных уравнений с частными производными решил Даламбер, в
том числе уравнение колеблющейся струны, о котором речь шла выше.
Таким образом, в области решения дифференциальных урав-" нений в первой половине
XVIII в, работа состояла в решении отдельных специфических уравнений. В этот
период были выработаны предпосылки для создания первых форм общей теории, в
том числе ряд основных понятий.
В 1743 г, появились понятия частного и общего интегралов, найденные Эйлером еще
в 1739 г. Они были опубликованы в ме-муаре, где речь идет об едином алгоритме
решения линейного дифференциального уравнения п-го порядка с постоянными
коэффициентами. В работах этих лет Эйлер рассмотрел и особые решения ряда
дифференциальных уравнений, которые были известны еще из "Methodus incrementorum
etc" Тейлора (1715).
Тейлор обнаружил особое решение, рассматривая уравнение
4*" - 4ж2 =
"(-*L\*
\ dz ) '
(I)
Подстановками
-T, 0=1
у*
он преобразовал (1) в уравнение
у* - 2zyy' Продифференцировав
а затем приравняв
(2)
vy' - zy = 0
и подставив,в уравнение (2)
Тейлор получил выражение
= с/, х = 1 ,
которое он назвал "некоторым особым решением задачи".
Неразъясненность этого вида решения, не содержащегося в общем решении,
побудившая Тейлора назвать его "особым", сохранилась в сочинениях K^iepo,
рассматривавшего (в 1738 г.) особое решение уравнения
Эйлер, однако, уже в 1736 г. обнаружил, что если найден интегрирующий множитель
\i(x, у) дифференциального уравнения, то
- = 0 может дать особое решение. Например,
xdx
имеет интегрирующий множитель
* dy
а особое решение-будет
-г8 = 0.
Лишь в 1774-1776 гг. Лагранж сумел детально выяснить, как получать особые
решения: либо непосредственно из дифференциального уравнения,, либо из общего
решения дифференцированием по постоянной. Он же дал геометрическую интерпретацию
особого решения как огибающей семейства интегральных кривых, Систематическое и
единое изложение всех сведений об особых решениях обыкновенных дифференциальных
уравнений Лагранж дал в 1801 г. в "Лекциях об исчислении функций".
Мы можем заметить, что практические успехи, достигнутые крупнейшими учеными
XVIII в. в решении дифференциальных уравнений, оказались в 60-х годах настолько
значительными, что создалась объективная возможность для построения общей теории
дифференциальных уравнений.
Эта общая теория была изложена впервые Эйлером в его знаменитом сочинении
"Интегральное исчисление". Оно, как мы уже указывали, состоит из трех томов,
вышедших в свет последовательно в 1768, 1769 и 1770 гг., и завершает серию книг
Эйлера, посвященных систематическому построению современного ему анализа и его
приложений. Теория дифференциальных уравнений - обыкновенных и с частными
производными - составляет основное содержание этого труда. Ему предшествует лишь
интегрирование функций, занявшее первую половину первого тома. За ним следу238
ет только вариационное исчисление, составляющее приложение к третьему тому.
Дифференциальные уравнения в эти годы находились в стадии самой энергичной
разработки и поисков методов решения новых и новых типов уравнений. Эйлер
впервые в "Интегральном исчислении" дал строгую и четкую классификацию всех
известных уравнений и систематически: изложил способы их решения вплоть до самых
современных, "не так давно найденных", по его выражению, результатов. Огромное
количество последних найдено1 самим Эйлером. Таким образом, теория строилась как
совокупность методов решения уравнений, а эти последние рассматривались в связи
с физической задачей, породившей их. При таком состоянии теории дифференциальных
уравнений еще не появилась потребность в постановке задач о теоремах
существования и единственности, столь характерных для более позднего периода.
По-видимому, нецелесообразно описывать содержание этого огромного труда Эйлера,
насыщенного множеством конкретных методов и результатов. Кроме того, это
сочинение издано полностью в переводе на русский язык. Поэтому перейдем к
характеристике основных направлений в теории дифференциальных уравнений, *
сложившихся во второй половине XVIII в.
Более отчетливо эти основные направления проявились в области обыкновенных
дифференциальных уравнений. Эти направления формировались, как правило, в
результате потребностей решения прикладной задачи кли~ группы их. Вокруг них
концентрировалось' наибольшее количество работ,.
Первое из направлений состояло в развитии теории линейных дифференциальных
уравнений, главным образом второго порядка, и их систем как с постоянными, так;
и с переменными коэффициентами. К такого рода уравнениям приводили за
...Поділитися у соцмережах
