Жанр: Наука
История и методология математики
...аны в курс элементарной геометрии, живое
изложение которого сделало его доступным для широких кругов учащейся молодежи и
для решения практических задач. Создание новых принципов преподавания геометрии
и углубленный анализ евклидовой системы аксиом по существу создали предпосылки
для перестройки всей системы геометрических наук. Эта перестройка произошла в
XIX в. Начало ей было лоложено введением геометрии Лобачевского.
282
6.6. СОЗДАНИЕ ПРЕДПОСЫЛОК СОВРЕМЕННОЙ АЛГЕБРЫ И ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
Декарт, связавший в единой науке - аналитической геометии__методы
алгебры и геометрии, считал, что он создал единую
науку,'соединившую-и как бы поглотившую обе эти дисциплины. Однако
использование, алгебраического аппарата в аналитической геометрии не повело к
упразднению алгебры, Алгебра .развивалась в дальнейшем своим оригинальным путем,
имея собственную научную проблематику. Этой проблематикой оказалась по
преимуществу......т?Сф!Ш-^ы?б^ Последняя включала"
в'себя как формирование общей теории уравнений, так и накопление способов
численного и графического их решения. Научная разработка подобных проблем
приводила одновременно и к перестройке основ алгебры, связанной с расширением
понятия числа, и к усовершенствованию алгебраического буквенно-симво-лического
аппарата. Развитие этих - двух сторон алгебры, по существу определяющих еет. е.
- . • •'•;". у = ч + -~-
Повторяя этот- прием, получим
\j
Если цепная дробь обрывается, то корень рационален. Если же--он иррационален, то
.цепные дроби позволяют оценить, с какой погрешностью осуществлено любое
последовательное приближение.
Практически приемы решения алгебраических уравнений, накапливаясь, открывали
перспективы /для развития теоретической части алгебры. Будущее этой науки
постепенно раскрывалось в р азнообр азных теоретических исследованиях,
группирующихся вокруг двух проблем: разрешимости алгебраических" уравнений в
радикалах и доказательства основной теоремы алгебры.
Мы уже указывали, что Жирар (1629) и Декарт (1637) впервые установили, что
алгебраическое уравнение может иметь столько корней, сколько единиц имеет его
наивысшая степень. JB XVIII в. постановка этой проблемы трансформировалась.
.Теперь уже требовалось доказать, что всякое алгебраическое уравнение степени п
имеет именно п корней (действительных и комплексных). В качестве эквивалентного
утверждения предлагалось доказать разложимость левой части уравнения в
произведение линейных и квадратных множителей с действительными коэффициентами.
Над решением этой и других связанных с ней проблем трудились Далам-i;6ep, Эйлер,
Лагранж, Гаусс и многие другие математики.
Первое доказательство было дано Даламбером (1746). Оно состояло в установлении
факта, что
тт\Рп(х)\ = 0.
Однако соображения Даламбера были нестрогими, содержали в явной форме апелляцию
к средствам математического анализа и не облегчали затруднений алгебраистов.
1 См., например, Г. М. Шапиро. Высшая алгебра. М, Учпедгиз, 1938.
Полученное почти одновременно доказательство Эйлера (опубликованное в 1751 г.)
опиралось на рассмотрение графиков кривых
соответственно при четном и нечетном п. Оказывалось при этом, что уравнение
Рп(х)=0 при п нечетном имеет один вещественный корень или нечетное их число, при
п четном существует четное число вещественных корней или же их вовсе нет; если
свободный член уравнения четной степени отрицателен, то уравнение имеет во
всяком случае два вещественных корня разных знаков. Трудность была тем самым
сведена к доказательству теоремы для уравнений четной степени: п=2т. Так как
2п~1"2г/г"2п, то, до-множая уравнение 2n- 2m линейными множителями вида x-at
видим, что доказательство достаточно проводить для уравнений, степени которых
имеют вид 2п. Относительно уравнений последнего типа Эйлер высказал важную
теорему: левая часть алгебраического уравнения степени 2п (/г"1, целое)
разлагается на два множителя степени 2я-1, и наметил пути ее доказательства *"
При этом он нашел два важных свойства алгебраических уравнений: "а) рациональная
функция корней уравнения,, которая принимает при всех возможных подстановках
корней k различных значений, удовлетворяет алгебраическому уравнению степени k,
коэффициенты которого суть рациональные функции коэффициентов данного уравнения;
б) рациональная функция корней уравнения, инвариантная относительно перестановок
корней, есть рациональная функция коэффициентов исходного уравнения.
Уточняя доказательство Эйлера, Лагранж ввел и разработал теорию подобных
функций, т. е. "функций, инвариантных при подстановках одной и той же группы и
только при них. У Лагранжа речь идет о подобии симметрических функций корней
уравнения в случае, если все 2k значений, которые они способны принимать, при
всех перестановках корней, различаются между собой. Относительно подобных
функций Лагранж доказал, что они рационально выражаются друг через друга и через
коэффициенты данного уравнения.
Смысл доказательств Эйлера и Лагранжа с современной точки зрения таков. Пусть
дано уравнение Рп(х)=0. Его коэффициенты - элементы поля D действительных чисел.
/С - поле Галуа данного уравнения. Степень /С над D :n=2r-k (& - нечетное). По
теореме Силова, существует подгруппа Н порядка 2Г группы Галуа G этого
уравнения. Образуем q - поле элементов, инвариантных относительно подстановок из
Я:
ъ "" * Я1^' И" Г' Башмакова. О доказательстве основной теоремы алгебры, ст
Сб2:5у_о1орико"математические исследования", вып. X. М., Гостехиздат, 1957,
10*
Степень К над q есть 2Г, степень q над D - нечетное k. Поле q образуется
присоединением к D корня v неприводимого над D многочлена Р\(х) степени k. Но k
нечетно; следовательно1, д = О2.
Рассмотрим К над D. Его степень 2Г. Если К=О(щ)9 то ц - корень уравнения Р2(х)
=0 степени 2Г с действительными коэф-. фициентами, как в уравнениях,
рассматривавшихся Эйлером.
Известно, что группы порядка рг, где р - простые, г, - натуральные, разрешимы;
их Нормальные делители имеют простые порядки р. Здесь же р=2. Значит,
где каждое из промежуточных нормальных полей -квадратичное по отношению к
предыдущему. Соответствующие квадратные уравнения, которые нужно решать над
предыдущим полем:, чтобы получить последующее, имеют либо действительные, либо
.комплексные корни. Пусть Кг - первое поле,, совпадающее с полем комплексных
чисел; последующие поля будут тоже совпадать с этим же полем., В противном
случае все поля совпадут с D.
Обратно, если исходить из K=J^rj то для отыскания корня-уравнения Р$(х)=0
степени 2Г надо решить над D одно уравнение степени 2Г~"1"" Его корни породят
поле /Cr-i, а над ним - одно квадратное уравнение. Возможно повторение этого
рассуждения для степени на единицу ниже и т. д.
Элементы этих идей новой алгебры явственно угадываются в доказательствах Дилера
и Лагранжа.
Другая группа элементов теории Галуа была накоплена, в ряде исследований
проблемы приводимости уравнений; Ньютон первый вышел за пределы вопроса о
приводимости уравнений над полем рациональных чисел. Он предложил алгоритм" для
решения вопроса о том, может' ли уравнение "быть приведено при помощи •какоголибо
иррационального делителя, или, что то же самое... нельзя ли так разделить
уравнение на. две равных части, чтобы из каждой вы могли извлечь корень" 2.
Помимо постановки вопроса о возможности приведения уравнения над различными
областями это рассуждение содержит некоторую идею теории Галуа. В самом деле,
Ньютон ставит по существу вопрос о присоединении к полю рациональных чисел иррациональностей
вида Vk и приводимости уравнения над этим расширенным полем. Иначе
говоря, речь идет об отыскании квадратичных подполей поля разложения полинома.
Алгоритмы Ньютона, а вслед за ним и Варинга для решения вопроса о том,
распадается ли заданное уравнение на множители, если область рациональных чисел
расширить присоединением
1 Так как единственными неприводимыми уравнениями нечетной степени над
полем действительных чисел являются линейные уравнения.
2 И. Ньютон. Всеобщая арифметика. М., Изд-во АН СССР, 1948,
стр. 270.
квадратичной, биквадратичной или кубической иррациональности, просты, но
громоздки. Ньютон и Варинг представляли всякий раз полином в виде произведения
множителей с неопределенными коэффициентами, зависящими от иррациональностей
исследуемого ви да. 3 атем следовали попытки такого подбор а неопределенных
коэффициентов, чтобы искомое разложение осуществилось.
'Громоздкие методы не открывали перспектив и приводили к ошибкам. Тем не менее
они были полезны. В них фактически рассматривались поля-алгебраических чисел,
определялся общий вид элементов этих полей.
Накопление предпосылок нового этапа развития алгебры в XVIII в. достигает
кульминации в исследованиях Лагранжа, нашедших отражение в его
"Размышлениях.Jэй^;MI:i^i&Шi^cщм.решении уравнений" (1771--
1772)ТВГэтом'сочинении Лагранж крити-чески п€ресШт{ЖПП^
тому времени методы и попытки
решения алгебраических уравнений. К открытым уже ре-'зольвентам он добавил
еще одну, весьма общего характера.
Он рассмотрел алгебраическое уравнение
Xй + bi л:71"(tm)1 ~f" bz Хп~~2 + , . . = О
и, в соответствии с методом Чирнгаузена, вспомогательное уравнение
У
k)
с неопределенными коэффициентами f, g, ...f.k. Лагранж исключил х из обоих
уравнений:
уп + Ду*-\ + ВуП~~2 .J... а ^ ф ..... _|_" ру + Т = О
и подобрал коэффициенты f, gf ..... так, чтобы
Тогда решение заданного уравнения свелось к решению системы уравнений: уп=-Т и п
- 1 уравнения, в которых находятся неопределенные коэффициенты /, g, ... . Корни
первого из уравнений:
п-\
где а, а2, ..., ап~1 - преобразованные корни единиц (корни уравнения уп-1=0).
Подставив эти значения в выражение для х:
-а2#2 + ... +ап-\уп-\
он получил систему п уравнений:
а2г/!+ ...
а2у а2
Вследствие того что
1 + а + ex* + .. . = 0;
1 + а2 + а* + ... = 0;
ОН "ПОЛУЧИЛ
nalyl =
Затем Лагранж упростил систему с учетом
= _ -L.. 11оложив
•*! ^:: '
он получил
'
ex.
т, • откуда
линейную функцию корней уравнения, названную позднее резольвентой Лагранжа.
Функция Q=tn при всех перестановках
! значений. Коэффикорней
уравнения Р7г(л:)=0 принимает циенты уравнения
суть симметрические функции от О* (1=1, 2, ..., &). Последние в свою очередь
являются симметрическими функциями корней Хг (i=l, 2, ..., п). Следовательно
корни х\ (/=1, 2, ..., п) можно определить через k"^n\ корней 6^.
Однако все известные для уравнений степени п^4 способы отыскания резольвент
приводят при п^.5 к резольвенте степени k"n. Это заставило Лагранжа сомневаться
в том, что рассмотренные им методы могли решать уравнения степени п^5. Однако он
считал, что рассмотренные им группы подстановок корней
уравнений являются "дорогой к решению", так как он обнаружил на этом пути
решения для класса так называемых циклических уравнений, т. е. уравнений с
циклической группой подстановок.
Лагранж достиг весьма большой общности. Он рассматривал уравнения с
произвольными буквенными коэффициентами. Относительно их он исследовал поля
рациональных функций корней. Он ввел группу подстановок корней уравнения
(симметрическую группу) и изучил соответствие между ее подгруппами и под-полями
рациональных функций, инвариантных относительно подстановок этих подгрупп.
Наконец, Лагранж доказал и первые теоремы теории групп, например, что порядок
подгруппы есть делитель порядка группы.
Вслед за Лагранжем подстановки корней уравнений изучал Руффини. Он предложил в
1799 г, доказательство неразрешимости в радикалах уравнения степени /г^5. Однако
это доказательство не было общим, так как Руффини принял без доказательства" что
корни резольвент рационально выражаются через корни исходного уравнения. В
последующих работах, появившихся в 1801, 1802, 1806 и 1813 гг.,-он пытался
доказать это предложение, но полного обоснования так и не смог добиться. Однако
он провел систематическое исследование конечных перестановок и доказал ряд
важных теорем. При этом он впервые ввел термин '"группа". В 1814 г. Руффини
открыл и сформулировал правило приближенного вычисления корней уравнений,
переоткрытое в 1819 г. Гор-нером.
Алгебра, таким образом, развивалась в течение XVIII в. как наука о решении
алгебраических уравнений. В ней получили известное завершение проблемы,
связанные с элементарно-математическими средствами решения уравнений. Были
разработаны основные предпосылки для создания теории Галуа и теории групп.
Алгебра на рубеже XIX в. находилась накануне коренной перестройки,, сделавшей ее
соединением ряда алгебраических наук, предметом изучения которых стали объекты
более сложной и абстрактной природы: группы, поля, кольца и т. д.
Развитие алгебры в этот период демонстрирует еще раз общую закономерность
развития математики: новые области математики рождаются в недрах старых, их
основные понятия и, методы оперирования проходят период "эмбрионального"
развития. Затем происходит возникновение новой математической дисциплины.
Характерной особенностью процесса возникновения является переворот в методе.
Выделение сопровождается возникновением нового символического аппарата,
играющего двоякую роль: отражения реальных математических процессов и
оперативную. Новыми областями в данном случае являются теория Галуа и теория
групп.
В настоящей книге мы неоднократно отмечали отдельные факты истории теории чисел.
Эта область математики, в которой изучаются свойства целых, рациональных и
алгебраических
чисел, а также свойства любых других чисел, вытекающие из
приближений их рациональными числами, выросла из арифметики. В XVIII в. она еще
тесно была связана с алгеброй. Однак{ своеобразие проблематики и методов теории
чисел уже осознав^ лось'достаточно определенно. Накопившийся запас теоретико-чис
ловых фактов также способствовал выделению теории чисел в" особую
область математики. Ниже мы-дадим очерк основных моментов истории теории чисел.
Еще в Древней Греции, как мы упоминали, были выделены по принципу общности
свойств различные подмножества целых чисел: простые/ квадратные, совершенные,
полигональные, составляющие пифагорейские тройки и др. Там же была разработана
стройная теория делимости, доказана бесконечность числа простых чисел в
натуральном ряде, изобретен алгоритм Евклида. Сочинения Диофанта представили
много примеров раннего и' высокого развития неопределенного -анализа. История
математики в Китае и Индии свидетельствует о раннем появлении ряда теорем теории
сравнений" и других фактов теории чисел,,
Однако развитие теории чисел происходило весьма медленно" Между новыми
открытиями проходили десятилетия, а иногда и века. Теоретико-числовые результаты
достигались в большинстве выдающимися учеными и оставались изолированными.
Возможными, причинами этого были: специфичность предмета теории чисел,
возрастающая абстрактность в постановке задач этой теории,. необычайная
трудность их. решения, требующая высокого развития математики и незаурядных
личных качеств ученого. В силу этих причин существенное обогащение теории чисел
и ее (формирование и обособление имели место лишь в XVJI-XVIII вв. В этот период
ее проблемами занимались несколько 'крупных ученых: Ферма, Декарт, Б, Паскаль,
Валлис, Лейбниц, Эйлер и др.
В течение XVII в. наибольших результатов добился П. Ферма. В его переписке и на
полях принадлежавшей ему книги сочинений Диофанта содержится большое число
теоретико-числовых результатов. В частности, Ферма записал там свою знаменитую
"великую" теорему: уравнение xn-\-yn = zn для целых показателей при /г"2
неразрешимо в целых числах. Приписка Ферма гласила, что он владеет поистине
чудесным доказательством, но на полях недостаточно места, чтобы его записать.
Однако общее доказательство этой теоремы не найдено до настоящего времени, хотя
ек" занимались многие величайшие математики и бесчисленное множество любителей.
Теорема приобрела популярность в начале XX в.,, когда за решение этой задачи
некий Вольфскель установил премию в 100 тысяч марок (премия была отменена в
конце первой: мировой войны).
Своей постановкой великая теорема, по-видимому, была обязана стремлению Ферма
обобщить теорему о составлении пифагорейских троек целых чисел. Тот же источник,
древнегреческую математику, можно с большой уверенностью назвать и для малоа
теоремы Ферма. В связи с этим он исследовал делимость чисел и проблему
нахождения всех делителей заданного числа. К этому же кругу вопросов относятся
работы Ферма о совершенных и других числах специальной структуры.
Большое место в исследованиях Ферма, разумеется, занял неопределенный анализ
Диофанта, т. е. целочисленные решения, неопределенных уравнений и их систем.
Особое внимание он уделил уравнениям вида ах2+1=у2, где а не есть точный
квадрат. Относительно этого уравнения (за которым впоследствии из-за случайной
обмолвки Эйлера утвердилось название уравнения Пел-ля) Ферма, умел: а) находить
его наименьшее решение; б) получать, зная наименьшие, все остальные решения.
К XVIII в. в. математике накопилось много теоретико-числовых
(фактов, порой весьма важных и сослуживших в дальнейшем полезную службу при
появлении новых областей математики. Однако эти факты не были систематизированы,
связи между ними не раскрыты, возможности применяемых методов не изучены. К тому
же после работ Ферма, Паскаля и др. в теории чисел наступило полувековое
затишье, вплоть до того времени, когда * теорией чисел занялся Эйлер. С его
именем связано становление \ теории чисел как науки. Проблемы этой области
математики нахо- I дились в поле зрения Эйлера в течение всей его жизни. Им он
У посвятил,, как подсчитано, or.....ромное число работ: около 150. у
По-видимому, первым стимулом к занятиям Эйлера теорией чисел была переписка с
Гольдбахом, Последний в письме от 1 декабря 1729 г. спрашивал: "Известно ли Гебе
замечание Ферма о том, что все числа вида 22*""1+1, именно 3, 5, 17 и т. д.,
суть простые, причем сам он, по его признанию, не. смог этого доказать, и,
насколько я знаю, после него никто не доказал" 1.
. Вскоре (1732-1733) Эйлер доказал, что теорема -Ферма не- • верна уже
для я=6, ибо число 225 +1 = 4 294967 297 делится на €41. Кроме того, он доказал
ряд теорем, относящихся к проблеме делимости, в том числе малую теорему Ферма.
Нахождение доказательств, обобщений или опровержений теорем Ферма было только
первым этапом теоретико-числовых исследований Эйлера. В последующем он охватил и
развил все основные ^разделы теории чисел, как алгебраической, так и
аналитической, определив ее состав и методы на много лет вперед.
Работы Эйлера определили проблематику, структуру и методы алгебраической теории
чисел, т. е. той ее части, в которой используются по преимуществу методы
арифметики и алгебры и не привлекается по возможности аппарат теории функций и
анализа бесконечно малых.
Здесь ему прежде всего принадлежат работы по теории делимости, выросшей к нашему
времени в теорию сравнений. Помимо доказательства малой теоремы Ферма Эйлер ввел
функцию ср(т),
л v,TT?Torr(rsPoridance mathematique et physique de quelques celebres
geometres .du XVIII siecle, t. I. St. Pet., 1843, S. 10.
значение которой равно числу чисел, меньших т и взаимно-простых с ним.
Относительно этой функции он доказал, что если а и Ъ взаимно-просты, то ф(аб)
=ф(а)ф(6) и что ф(ра)=ра-pa~~lt если р - простое и а - целое. Затем он цашел
выражение Ф(АП) для произвольного т, если известно представление пг в виде
произведения простых чисел, и. доказал, что афм-1 делится на т, если а и т
взаимно просты.
Эйлер ввел понятие первообразного корня по модулю т: число g называется
первообразным корнем по модулю т, если gh-1 делится на т тогда и только тогда,
когда k кратно ф(/п). Им введено также понятие индекса числа N по модулю т при
основании g, т. е. показателя степени k числа g, такого,, что разность gk-N
делится на т. Он нашел ряд свойств индексов, доказал существование
первообразного корня по любому простому р и теорему Вильсона: (т-1)1 + 1 делится
на т, если т - простое число.
Эйлер ввел понятие степенных вычетов и создал их теорию. Число а он назвал
вычетом степени п по модулю р, если существует такое целое число х, что хп-а
делится на р. Он показал, что свойства степенных вычетов важны не только для
решения двучленных сравнений
хп- 05=0 (mod р),
но и для других задач, например для задачи представления чисел квадратичными
формами. Занимаясь свойствами квадратичных вычетов, он открыл (1722) знаменитый
и теперь закон взаимности:
даны два простых числа р и q\ если хотя бы одно из них имеет вид 4/1+1, то
сравнения
лга==р (mod #),
;t-2 = q (mod p) . • ,
являются одновременно разрешимыми. Если же и р и q имеют вид 4я+3, то из
разрешимости одного из уравнений следует неразрешимость другого.
После Эйлера квадратичный закон взаимности доказал Ле-жандр (однако его
доказательство было неполным). Гаусс до 1801 г. дал восемь доказательств этого
закона. Наконец, Лежандр к 1808 г. нашел удобную форму записи квадратичного
закона взаимности:
?-!_ 2
(7-1
введя символ
+ 1, если р есть квадратичный вычет по mod q, - 1, если р есть квадратичный
невычет по mod q.
Не менее велики заслуги Эйлера в разработке проблем дио-фантова анализа
(решения неопределенных уравнений в целых и
рациональных числах), для нужд которого он разработал и строго обосновал теорию
непрерывных дробей. Здесь прежде всего заслуживает упоминания доказательство
великой теоремы Ферма дЛЯ V0=3 и /г=4. Для этого Эйлер использовал и развил
метод спуска, изобретенный Ферма. Этот метод состоит в следующем. Пусть
'существует нетривиальное решение (#о, #о, ?о) уравнения Ферма, "удовлетворяющее
условию Яо#о2о?=0. Тогда оказывается возможным найти другое -нетривиальное
решение (xi, y\, z\), элементы которого также натуральны и соответственно меньше
по величине, чем ' (XQ, #о, ZQ). Продолжая; мы придем к неограниченной
последовательности убывающих троек натуральных чисел, т. е. к противоречию.
Эйлер доказал множество теорем, примыкающих к указанной теореме Ферма, более
подробное рассмотрение и перечисление которых представляло бы интерес лишь для
специалистов.
Из других задач диофантова анализа Эйлер уделил большое внимание "задаче
отыскания целочисленных решений уравнения второго порядка с двумя неизвестными и
с целыми коэффициентами
ах? + Ьху 4- су* + dx + еу + f = 0.
Вопрос о получении бесконечного числа решений, если известно одно решение (*"",
уо), Эйлер свел к решению уравнения Пелля
(D - натуральное, не квадратное число).
В широкую и разветвленную алгебраическую теорию чисел, создаваемую! Эйлером,
входят работы о представлении чисел квадратичными формами ах2+Ьу2. Ёще'Валлис
(1685) утверждал, что всякое число можно разложить на множители единственным
образом. Ему принадлежит теорема, что число простых делителей числа т = /А-^-Л
(р, qt г, ...-простые) равно (М-1) (p+l) (v+ + 1)..., а их сумма равна
- 1
р-1
q -
г^-н _
г-1
Для нахождения простых делителей больших чисел Эйлер построил метод, основанный
на представлении этих делителей в виде квадратичных форм. Последние должны
обладать тем свойством, что простые числа представляются, если возможно,
единственным образом, а сложные - неединственным или не представляются вообще.
Оказалось, что подобное свойство зависит от произведения n=ab. Те числа я,
которые порождают подобные формы, Эйлер назвал удобными и нашел критерий
удобности числа: число'я является удобным, если для каждого целого л:"1/3я ,
взаимно-простого с я, сумма п+х2 будет или простое, или удвоенное простое, или
квадрат простого, или степень числа два. Удобных чисел
Эйлер нашел 65, наибольшее из них - 1848. Предположение Эйлера, что 1848 -
последнее удобное число, до сих пор не доказано.
В трудах Эйлера содержались все предпосылки для создания системы алгебраических
методов теории чисел. Они послужили источником для позднейших исследований.
Например, исследования Эйлера, о представлении чисел значениями квадратичных
форм и о виде простых делителей легли в основу созданной Гауссом общей теории
квадратичных форм. Попытка Куммера : (1847) продолжить работу Эйлера по решению
великой теоремы Ферма, помимо доказательства ее для я"^.100, привела к открытию
отсутствия единственности разложения на простые множители в' алгебраических
полях, и к созданию теории идеалов. Работы по теории сравнений и открытие
квадратичного закона взаимности повлекли обобщения Э. Куммера, Д. Гильберта и
др., завершенные наиболее общей формой этого закона, найденной и доказанной И.
Р. Шафаревичем.
Особо важным этапом развития теории чисел являлось применение к решению ее задач
методов математического анализа, Эта часть теории чисел - аналитическая - берет
свое начала также в XVIII в. в трудах Эйлера. Последний разработал аналитические
методы для решения проблемы распределения простых чисел в ряду натуральных
чисел, а также для ряда аддитивных проблем. Эти методы раскрывают связи между
свойствами целых чисел и свойствами аналитических функций.
Первая из указанных проблем получила 'для своего решения методы, основанные на
применении так называемой дзета-функции, введенной Эйлером,
и тождества Эйлера
2-?- = П
п=\
(п - натуральные, р - простые).
Рассматривая значения обеих частей этого тождества при 5"1 и сколь угодно
близких к единице, Эйлер смог дать аналитическое доказательство известного со
времен Евклида факта бесконечности числа простых чисел в натуральном ряду. Кроме
того., он высказал утверждение (не дав ему строгого доказательства):
Настойчивые поиски аналитически выраженного закона распределения простых чисел,
как известно, не привели к успеху до
сих пор. Некоторые подходы к решению, впервые после Евклида, появились у Эйлера,
высказавшего предположение, что
...Поділитися у соцмережах
