Жанр: Наука
История и методология математики
...ечение XVIII в. от классического анализа постепенно отпочковался
ряд дисциплин, получивших самостоятельное развитие. В первую очередь приобрела
самостоятельность теория дифференциальных уравнений, наиболее интенсивно
разрабатываемая в силу ее практической ценности. Теория обыкновенных
дифференциальных уравнений получила систематическое развитие, начиная с работ И.
Бернулли и особенно Я. Риккати.. В то же время ряд практических задач выдвинул
проблему решения уравнений с частными производными. Первые успехи были
достигнуты в^ решении задач о колебаниях струны, мембраны" % столба воздуха в
трубе и т. п. Поэтому наиболее ранние теоретиК
ческие успехи относятся к методам интегрирования уравнений гиперболического
типа.
На базе расширения понятия функции на область комплексного аргумента, широкого
применения разложения функций в ряды начала создаваться теория функций
комплексного переменного. В ней был открыт ряд фактов, в том: числе формулы
Муавра и Эйлера. Открытие и применение конформного отображения суще-, ственно
продвинуло эту обяастъ анализа и еще больше подчеркнуло ее своеобразие,
Геометрические приложения анализа также выделились в самостоятельную дисциплину
- дифференциальную геометрию. Крупнейшие ученые эпохи - Эйлер, Клеро, Монж,
Менье и др.- работали в этой области, стремясь создать общую дифференциальногеометрическую
теорию, способную исследовать пространственные объекты:
пространственные кривые и поверхности.
Из совокупности методов решения класса вариационных задач сложилось особое
исчисление - вариационное. Вначале, его составляли только так называемые прямые
методы, созданные. Эйлером. Во второй половине века было открыто исчисление,
основанное на введении нового понятия --••• вариации.
Кроме этих больших направлений в анализе получили серьезное продвижение: теория
рядов, исчисление конечных разностей, теория специальных функций и др.
Структура математики, разумеется, не исчерпывалась в то время анализом
бесконечно малых со всеми его ответвлениями,, Настойчивые попытки исследования
общей теории алгебраических уравнений привели к разработке теории детерминантов,
теории делимости многочленов, линейной алгебры и др. В самом конце столетия, в
1799 г., появилась замечательная книга Руффини "Общая теория уравнений, в
которой доказывается невозможность алгебраического решения общих уравнений выше
четвертой степени". Доказательство было не совсем строгим, но в нем были новые
идеи, вводящие в современную нам алгебру. Руффини, в частности, ввел понятие
группы операций и фактически связал некоторые свойства группы с проблемой
разрешимости уравнений в радикалах.
Весьма существенно пополнилась совокупность геометрических дисциплин. В нее уже
входила аналитическая геометрия, принявшая к середине века облик, весьма близкий
к современному как по символике, так и по объему. Вместе с учением о перспективе
сложилась к концу века начертательная геометрия, ставшая тотчас же важнейшей
частью высшего технического и математического образования. Привлекали интерес
ряда ученых проективно-геоме-трические идеи Дезарга, что подготовило почву для
исследований Понселе, который в начале XIX в. создал стройное здание проективной
геометрии. Весьма интересные исследования проводились в области тригонометрии и
элементарной, или, точнее говоря, синтетической геометрии.
192
В настоящем перечне составных частей комплекса математических наук XVIII
столетия нельзя обойти молчанием теорию чисел. Несколько обособленное положение
этой дисциплины не мешало тому, что она постоянно находилась в центре внимания
крупнейших ученых, прилагавших огромные усилия для решения ее трудных, но
заманчиво просто сформулированных задач. Как мы покажем далее, XVIII, в.
многое дал. теории чисел: найдено общее решение неопределенных уравнений
второй степени, сформулирован закон взаимности для. квадратичных вычетов,
доказана ирра- j циональность я и е и т. д. Наконец, в XVIII в. было
.положено [ начало научной разработке теоретико-вероятностных проблем, тес1
но сплетенных с задачами элементарного комбинаторного анализа--J
Из европейских государств наибольшую активность в математике мы наблюдаем во
Франции, где работали Даламбер, Лагранж, Лаплас, Монж, Лежандр и многие другие
выдающиеся, математики. Мы будем также часто обращаться к работам английских
математиков - Тейлора, Маклорена, Стирлинга, немецких - Ламберта, Гаусса и др.
Ведущее место в математике XVIII в. занимала и Россия благодаря деятельности Л.
Эйлера, Д. Бернулли и других петербургских академиков.
Для нашей Родины начало XVIII в. было временем энергичного преодоления
исторически обусловленной многовековой отста- \ лости. Реформы Петра I были
направлены на реорганизацию ар- * мии и флота, создание промышленности,
переделку государственного аппарата, налаживание системы подготовки необходимых
специалистов. Эти реформы быстро и энергично проводились в жизнь. Так, например
в 1701 г. была открыта, навигацкая школа (морское училище), в 1711 -1712 гг. --
артиллерийская школа. С 1714 г. во многих крупных городах России были
организованы так называемые цифирные школы, имеющие целью привить учащимся
элементарную математическую грамотность. В следующем, 1715 г., начала работать
Морская академия.
Первое научное учреждение России - Петербургская академия наук - было создано в
1725 г. Как составная часть Академии существовали гимназия и университет,
готовившие кадры, в которых остро нуждалась страна. Для ведения научной работы и
подготовки отечественных специалистов были приглашены из других стран молодые
талантливые профессора. В Петербург приехали и математики: сыновья И. Бернулли -
Даниил и Николай (последний вскоре, в 1726 г., скончался), ученик Я. Бернулли -
Я. Герман, бывший ранее профессором в Падуе, а затем во Франкфурте-на-Одере.
Немного времени спустя приехал совсем юный уроженец Швейцарии Л. Эйлер, нашедший
в России вторую родину.
Молодая Академия быстро завоевала международную известность. В первом же выпуске
научного журнала "Комментарии Петербургской академии наук" (за 1726 г.;
опубликовано в 1728 г.) содержались важные статьи об интегрировании
дифференциальных уравнений. Со второго тома в "Комментариях" начал публиковать
7 К. А. Рыбников 193
Li' К |l
Л. Эйлер (1707-1783)
свои работы Эйлер. В третьем томе был помещен важный мемуар Д. Бернулли о
колебании струны, в котором решение было дано в виде тригонометрического ряда.
В 15 томах этого научного журнала Академии наук, вышедших в период 1728-1802
гг., и в других ее изданиях этого же периода было опубликовано более 700 научных
статей и книг по теоретическим и прикладным вопросам математики. Многие из этих
работ оказали большое влияние на развитие науки. "Не могу Вам довольно
объяснить, с какой жадностью повсюду спрашивают о петербургских мемуарах", -
писал Эйлеру в 1734 г. Д. Бернулли, который к тому времени уже возвратился на
родину.
Однако своеволие временщиков и царей, интриги и взаимная вражда царедворцев
тяжело сказались на Академии. Внутри нее велась тяжелая неравная борьба за
воспитание национальных научных кадров, проводимая М. В. Ломоносовым (17111765).
Были закрыты гимназия и университет при Академии. Большие трудности
переживал и Московский университет, основанный в 1755 г. по инициативе
Ломоносова.
Славой и гордостью нашей отечественной науки в области математики являлся в то
время Л. Эйлер. Он напечатал огромное число книг и статей, воспитал большое
число учеников, ставших позднее академиками. Его значение в истории математики
исключительно велико.
Леонард Эйлер (1707-1783) - уроженец г. Базеля (Швейцария). Его отец, Пауль
Эйлер, был небогатым пастором. В молодые годы он увлекся математикой, изучал ее
под руководством Я. Бернулли. Своему сыну он прочил тоже духовную карьеру.
Однако "в Базельском университете Леонард увлекся математикой, слушал лекции И.
Бернулли и регулярно занимался с ним. Он блестяще окончил университет, получил
ученую степень магистра, но работы найти не мог.
Его друзья, сыновья И. Бернулли - Даниил и Николай, уехали в 1.725 г.
в'Петербург. По их рекомендации получил приглашение работать в Петербургской
академии наук и Л. Эйлер. Вакантным, правда, было место на кафедре физиологии,
но это не смущало молодого ученого. Все-таки работа! В мае 1727 г. он приехал в
Россию и прожил здесь 14 лет (до 1741 г.).
Физиологией заниматься не пришлось. Эйлеру представили возможность вести
исследования в области физико-математических наук. Он с огромным: рвением
принялся за научную и педагогическую работу; За это время он опубликовал свыше
50 и подготовил к печати 80 научных, работ, по анализу, теории чисел,
дифференциальным уравнениям, астрономии. В том числе появилась в 1736 г.
двухтомная "Механика", включающая механику' точки. Эйлер выполнял многочисленные
государственные задания. В 1738 г., во время напряженной работы над составлением
географических карт России, он частично потерял зрение. Но научная деятельность
его разрасталась. У него появились талантливые ученики: Котельников, Румовский,
Фусс, Головин, Сафронов и др. Авторитет Эйлера быстро рос, рос авторитет и
Петербургской академии.
Однако в Петербурге работать было неспокойно. Тревожная политическая обстановка,
о которой мы упоминали выше, пугала Эйлера. В 1741 г. он принял предложение
переехать в Берлин во вновь организуемую Академию наук. В Берлине он проработал
до 1766 г. в должности вице-президента и директора математического отделения. За
это время он написал около 300 научных работ, книг и статей. Примерно половину
их он отправлял для публикования в Петербург, где по-прежнему числился почетным
академиком и
У
откуда получал деньги. Эйлера тянуло обратно в Петербург. Он вел оживленную
переписку с Россией, поддерживал Ломоносова, принимал у себя в доме и учил
молодых ученых, приезжавших из Петербурга, закупал научные инструменты, давал
отзывы.
Наряду с огромным количеством статей Л. Эйлер в берлинский период жизни написал
ряд монографий, в которых в систематическом виде излагал современное состояние
математических наук" В 1744 г. он написар трактат о вариационном исчислении,
новой, открытой им области математики. В 1748 г. вышло в свет ""Введение в
анализ бесконечно малых", а в 1755 г. -• "Дифференциальное исчисление",,. Так
было положено начало громадной работе Эйлера по приведению в систему необычайно
разросшегося , математического анализа. Как продолжение написанной в Петербурге
"Механики" в 1765 г. выходит "Механика", посвященная движению твердого тела.
Наконец,,' Эйлер преодолел сопротивление прусского короля, преодолел
сопротивление Шумахера - всемогущего в то время секретаря Петербургской академии
- и стоящей за ним группы и в 1766 г. со всей семьей переехал в Петербург. Здесь
он был окружен почетом и мог, казалось бы, спокойно жить, умеренно работая. К
тому же преклонный возраст и почти полная потеря зрения вынуждали знаменитого
математика к покою.
Но необычайная научная активность Эйлера продолжалась. Во второй петербургский
период он представил в Академию еще 416 книг и статей, диктуя их своим ученикам;
Академия не успевала публиковать труды Эйлера. Они печатались в изданиях
Академии в течение 80 лет после его смерти (до 1862 г.). Среди работ этого
периода особенно много больших монографий, в которых приводятся в систему
различные области математики и смежных. дисциплин. В течение 1.768-1770 гг.
вышли в свет три тома "Интегрального исчисления", включающие в себя кроме
методов интегрирования функций теорию дифференциальных уравнений обыкновенных и
в частных производных, а также вариационное исчисление. В те же годы появились:
двухтомный трактат об алгебре, трехтомное сочинение натурфилософского характера,
написанное в форме "Писем о разных физических и филозофических материях,
писанных к некоторой немецкой принцессе". Второй петербургский период жизни
Эйлера дал науке и другие большие сочинения: диоптрику в трех томах, новую
теорию исчисления лунной орбиты (1772), теорию кораблестроения и навигации
(1778) и др.
Научное наследие Эйлера огромно. Им написано свыше 850 сочинений, среди которых
свыше 40 больших, нередко многотомных, монографий. На родине Эйлера, в
Швейцарии, было предпринято в 1909 г. издание полного собрания его сочинений.
Было рассчитано, что оно должно составить 72 огромных тома большого формата.
Однако в течение 50 лет вышло 42 тома, а материал, предназначенный для
опубликования, убавился едва на- половину. Кроме того, в Ленинграде, Берлине и в
других городах хранится
свыше трех тысяч писем из научной переписки Эйлера; многие письма по существу
являются научными работами. Опубликована же лишь небольшая часть этой переписки.
Научные работы Эйлера охватывают практически всю современную ему математику. Во
всех областях математики он сделал выдающиеся открытия, ставившие его на первое
место в мире. Ему было "доступно понимание математики как единого, хотя, и
огромного, целого. В нем он привел в систему главнейшие отрасли, и прежде всего
анализ со всеми его ответвлениями, Лаплас указывал, что Эйлер был общим учителем
для всех математиков второй половины XVIII в.
Научная деятельность Эйлера в основном имела алгоритмическую направленность. К
построению общей теории он приходил, отправляясь от конкретных задач, имеющих
практическое значение. В его научном наследии исключительно велик удельный вес
практики. Примерно 40% его работ посвящено прикладной математике, физике,
механике, в том числе небесной механике, гидромеханике, теории упругости,
баллистике, кораблестроению, теории машин, оптике и др. Черты алгоритмичности
присущи и его чисто, казалось бы, теоретическим работам. Особенно это заметно в
трудах по анализу бесконечно малых, который по существу строился им как,
математический аппарат классической механики и физики.
Нет возможности перечислить хотя бы главные открытия и научные достижения
Эйлера. Их слишком много. Характеризовать их означало бы практически
характеризовать всю математику XVIII в. В трудах Эйлера содержится ряд глубоких
идей, получивших дальнейшее развитие, лишь через несколько десятков лет.
Например, он частично предварил исследования К, Ф. Гаусса во внутренней
геометрии поверхностей. В 1758 г. он доказал теорему о топологической
(эйлеровой) характеристике многогранников, положив начало накоплению фактов
топологии. Ему принадлежит первое использование методов анализа в решении
теоретико-числовых задач и создание, аналитической теории чисел. Теоремы и
формулы, методы и символы, носящие имя Эйлера, часто встречаются в математике и
в наши дни, занимая в ней важное место.
Многие открытия Эйлера переоткрывались после его смерти другими учеными.
Особенно много таких переоткрытий встречается в теории дифференциальных
уравнений. Например, задачу о колебаниях круглой мембраны Эйлер свел еще в 1766
г. к линейному дифференциальному уравнению второго порядка с переменными
коэффициентами. Теперь это уравнение носит имя Бесселя, немецкого математика и
астронома XIX в. К слову, решение, данное Эйлером этому уравнению, представляет
собой бесконечный ряд, выражающий цилиндрические функции первого рода и любого
порядка (цилиндрические функции нулевого порядка появились в ме-муаре Д.
Бернулли о колебаниях гибкой нити, подвешенной за один конец). Примеров
подобного рода переоткрытий можно привести ^очень много.
Научные заслуги Эйлера и его учеников выдвинули Петербургскую академию наук на
одно из первых мест в мире. Россия сделалась одним из центров математических
исследований. Педагогическая деятельность Эйлера, его учеников, подготовка новых
кадров в университетах: Петербургском академическом (существовал до 1783 г.) и
особенно в Московском (организован в 1755 г.) - создали условия для широкого
развертывания сети высших учебных заведений России и роста математически
образованных кадров в следующем, "XIX столетии.
Перейдем к характеристике развития отдельных математических наук.
6.2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОСНОВ АНАЛИЗА БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ
Еще при жизни И. Ньютона и Г. В. Лейбница стало очевидным, что недавно открытые
исчисления флюксий и дифференциалов явились лишь преддверием новой области
математики, ее элементарной частью,, Содержание анализа бесконечно малых (как
стали называть эту. область математики) фантастически быстро поиолнялось
новыми фактами,, Операции дифференцирования и интегрирования оказывались
применимыми ко все более широкому классу функций. Соответственно расширились
возможности приложения анализа бесконечно малых. В свою очередь практические
потребности вынуждали распространять операции анализа на быстро
возрастающий класс функций. В сущности самой главной трудностью в развитии
анализа бесконечно малых была необходиЛ мость такого представления
функциональных зависимостей, ко(tm) \ торое позволяло бы: применять к ним
операции нового исчисления., Поэтому оказывалось все более необходимым
исследовать смысл" понятия функции, дать классификацию всех известных функций, и
найти способы оперирования с ними. Задача создания теории функций
сделалась первой, предварительной задачей анализа бесконечно малых. Эйлер писал,
что весь анализ бесконечно малых вращается вокруг переменных величин и их
функций.
Монографии XVIII в., посвященные систематическому изложению анализа, ярко
отразили эту особенность его развития. В них, как правило, дифференциальному и
интегральному исчислению были предпосланы специальные введения или даже книги,
содержащие анализ функций. Типичным и наиболее совершенным образцом, которому
следовали математики XVIII в., является серия книг Л. Эйлера.
Старая идея систематического изложения всей современной математики, позволяющего
осмыслить ее как единую науку, нашла в Л. Эйлере своего последователя. Он
понимал, что гигантский рост математики уже не позволит осуществить эту идею в
одном сочинении. Поэтому Л. Эйлер написал серии монографий, освещающих
современное состояние отдельных частей математики. Анализу бесконечно малых он
посвятил следующие книги!
а)к"Введение в анализ бесконечно малых" - 2 тома, изд. 1748г. б)
"Дифференциальное исчисление" - 2 тома, изд. 1755 г. в) "Интегральное
исчисление" - 3 тома, изд. 1767-1770 гг. (4-й том, вышедший в 1794 г., после
смерти Л. Эйлера, был составлен из ряда его работ).
Эти классические, без всякого преувеличения, сочинения отразили состояние
анализа, в XVIII в. и послужили образцом для последующих аналогичных трудов на
несколько десятилетий, практически до начала следующего, XIX, столетия,, Первый
том "Введения в анализ..." Эйлера был посвящен учению о функциях, об их
классификации, свойствах, способах разложения функций в бесконечные ряды и
произведения, в непрерывные дроби и в суммы простых дробей.
Анализ функций. Понятие -функции имеет два аспекта: функции как соответствия и
как аналитического выражения. Интуитивное восприятие функциональной зависимости
как проявления причинной связи явлений в различных модификациях свойственно
человечеству с давних времен. Большую1 историю имеют также попытки выражения
этих зависимостей средствами математики. Одними из первых, попыток являлись
учение античных математиков о геометрических местах и составление многочисленных
таблиц, В дальнейшем совокупность средств математического выражения функций
обогащалась. В нее входили символический аппарат диоф'антова анализа,
алгебраические и тригонометрические функции, логарифмы и другие конкретные
данные о тех или других функциях или классах функций.
Общая идея функции как соответствия сравнительно общей(tm) природы была подчеркнута
Декартом. Однако возможность опери"/ рования с функциями неизбежно связывалась с
их конкретными выражениями: средствами геометрии или аналитическими
символическими выражениями. И. Ньютон к этому добавил' механическую трактовку
функции в своей теории флюксий. Оперативная часть этой теории основывалась, как
известно, на разложениях функций в степенные ряды. В свою очередь Лейбниц
выразил общую идею функциональной зависимости, введя термин "функция" и
соответствующий символ для всех отрезков, связанных с кривой, и таких, что длина
их зависит от положения точки на кривой (ординаты, отрезки касательных,
подкасательных, нормалей, поднормалей).
Практические успехи анализа бесконечно малых побуждали ученых обращать большее
внимание на такую трактовку^ понятия / функции, которая способствовала бы
оперированию с конкретными | функциями. Эту тенденцию весьма отчетливо выразил в
1718 г. И. Бернулли, предложивший считать, что функция есть просто аналитическое
выражение. На ту же господствующую в то время позицию встал и Эйлер, дав
следующее определение функции: "Функция переменного количества есть
аналитическое выражение, состав199
ленное каким-либо образом из этого переменного количества и чисел, или
постоянных количеств"1.
Чтобы придать этому определению наибольшую возможную общность, Эйлер допускал
как действительные, так и мнимые значения аргумента. Функция, понимаемая просто
как аналитическое выражение, образуется у Эйлера с помощью класса допустимых
операций, в который входят арифметические действия, степени, корни, решения
алгебраических уравнений, К ним Эйлер присоеИррациональные
Рациональные
Рис. 45
динил элементарные трансцендентные функции: ez, Iriz и тригонометрические
функции. Наконец" в класс допустимых операций было включено интегрирование.
Классификация функций произво/дится в соответствии с определением' этого понятия
в основном по виду их символических выражений (см. рис, 45), с)йлер
дополнил'этот принцип классификацией функций по их свойствам. Так, он ввел
однозначные и многозначные, четные и нечетные функции, показал, каковы
символические признаки наличия или отсутствия того или иного свойства,
сформулировал признаки определения того, какие из свойств функции сохраняются
при производстве той или иной операции, а какие - не сохраняются. Классификация
функций Эйлера означала новый этап восприятия этого понятия, отличающийся
сравнительно
/ большой общностью. Однако отодвигание на второй план общего понятия функции
как соответствия, опара только на аналитико-оперативную_ц4)яетику определили
^ограниченность понимания
, функции даже Эйлером.
V Все функции мыслятся у него представимыми степенным рядом
1 Л. Эйлер. Введение в анализ бесконечно малых, т. 1. М., Физматгиз. 1961,
стр. 5.
(где z вообще говоря, комплексное). Следовательно, представление о всех функциях
было по существу еще ограничено классом аналитических функций. Такое заблуждение
вполне объяснимо. Значительно позднее выяснилось, что поскольку к аргументу
применяются только операции указанного выше класса, то и в результате будут
получаться только функции аналитические всюду, кроме, может быть, изолированных
особых точек, причем аналитичность сохранится и в сколько угодно малой,
окрестности этих точек, где функция допускает разложения в обобщенный степенной
ряд. Поведение функции в малом участке определяет, по Эйлеру, поведение ее в
целом, что свидетельствует о существовании у него в то время идеи аналитического
продолжения.
Из того же определения функции как аналитического выражения выросло своеобразное
определение непрерывности. Функция считалась непрерывной, если она задана на
всей области существования единым аналитическим выражением. Так, непрерывными
оказывались функции у = - " y = tgx и т" п. Свойство непреX
рывности функции в смысле, привычном для нас, называлось связ-\| ностью функции.
Разумеется, наряду с описанной концепцией понятия функции как аналитического
выражения' в работах Л. Эйлера, Ж. Далам-бера и других математиков XVIII в.
можно найти и другие определения. 'Возможны и другие трактовки этого. понятия,
отражающие ту мысль, что соответствие является его основным признаком. Однако
представление функции как аналитического выражения было доминирующим,
Основным, средством, позволяющим приводить функции к виду, удобному для
оперирования с ними, было разложение их в степенные ряды., Опыт подсказывал
математикам, что в ряды разложимы все известные им функции. Исключения из этого
общего правила появились в основном позднее; в то время они были слишком
немногочисленны, чтобы изменить сложившиеся представления и существенно повлиять
на структуру теории функций. Поэтому после классификации функций и введения
основных понятий в теории . функций XVIII в. непосредственно следуют разделы
оперативного характера, куда входят методы разложения функций в ряды и свойства
последних.
^ В своем "Введении в анализ" Эйлер разработал многообразный аппарат изучения
функций с помощью степенных рядов. Он изучил последовательно классы функций:
рациональных, дробно-рациональных, иррациональных, где особенно интересна
система остроумных подстановок, устраняющих иррациональность. Затем следуют
методы разложения в ряд показательных и логарифмических функций. Здесь впервые
вводится и полностью разъясняется определение логарифма положительного числа как
показателя степени, при возведении в которую выбранное основание дает заданное
число: если ax=N, то x = \ogaN. Затем выведена формула:
-0+f)'.
которая в более поздней символике записывается так:
* = 11т(1+
n-*oo \
(здесь у Эйлера i - бескойечно большое число. Символ г •- начальная буква слова
infinite).
Тригонометрические функции также вводятся аналитически. Их определения уже не
связываются столь тесно с геометрическим образом круга,, В результате
исследования их свойств выводится формула Эйлера
e±vl = cos v _±. l s-m ^
где t -мнимая единица. Формула выведена в характерной для того времени манере:
вначале приводится формула Муавра:
а затем
(cos z ± I sin г)п = cos пг ± t sin nz,
(cos z -f i sin z)n 4- (cos г - i sin z)n
008/22
sin nz
(eosz-f-1sin_z)fl--_(cosz - t sinz)n
__..__I
...Поділитися у соцмережах
