Жанр: Наука
История и методология математики
...писанного конуса. И вдруг Кеплер
пишет: "Весьма правдоподобно, что поверхность полусферы есть среднее
пропорциональное между поверхностями (боковыми. - /С. Р.) обоих конусов"1.
Справедливости ради заметим, что в большинстве высказываний об интуитивной
правдоподобности результата или других рассуждений Кеплер отсылает к Архимеду,
который "это доказывает со всей строгостью".
От правильных кривых тел Архимеда Кеплер переходит к изучению тел, образованных
вращением круга около прямой, не проходящей через его центр, а также вращением
других конических сечений (рис. 37). Всего он рассмотрел 92 вида тел вращения,
называя их по внешнему виду лимонами, яблоками, вишнями, турецкими чалмами и т.
п. и даже вообще желваками,
Метод вычисления объемов тел вращения
R
Рис. 37
Рис. 38
и их частей был у Кеплера единым. Во-первых, изучаемое тело делилось на
бесконечное число единиц, "ломтей", занимающих равноправные положения в теле.
Эти части перегруппировывались, образуя другое тело, объем которого можно
вычислить. Если оказывалось невозможным провести непосредственное суммирование,
то они предварительно заменялись другими частями, эквивалентными данным.
Разъясним этот метод на двух примерах.
В теореме 18 Кеплер доказал, что всякое кольцо кругового или эллиптического
сечения равновелико цилиндру, высота которого равна длине окружности,
описываемой центром сечения, а
1 И. Кеплер. Стереометрия винных бочек стр. 123.
М., ОНТИ-ГТТИ, 1935.
155
основание - сечению кольца. Метод доказательства: кольцо (тор) рассекается на
доли плоскостями, проходящими через центр тора перпендикулярно поверхности.
Каждый разновысокий ломтик заменяется цилиндриком с тем же основанием и с
высотой, равной
среднему арифметическому наибольшей и наименьшей высоты, Столбик -из этих
цилиндриков дает наглядное доказательство теоремы. Далее Кеплер обсуждает
возможные обобщения, связанные с формой сечения кольца, приходя к выводу, что
теорема, верна для всех сечений, симметричных относительно вертикали,
проведенной через центр сечения.
Второй пример более сложен. В нем речь идет об определе-'' нии объема яблока, т.
е. тела, образованного вращением вокруг хорды сегмента, большего, нежели
полукруг, а также частей яблока.
Кеплер представляет яблоко 'Состоящим из долек, образованных меридиональными
сечениями и имеющих общий отрезок MN (рис. 38). Развернув экватор яблока в
прямую DS, Кеплер перераспределяет ломтики, деформируя их без изменения объема.
Образуется цилиндрическое тело MNSD, которое можно представить отсеченным от
цилиндра,, основанием, которого является круг, образующий яблоко, а высота равна
длине окружности радиуса AD. Объем этого тела равен объему яблока,,
Тот же результат получается, если яблоко представляется раз- " деленным: не на
элементарные меридиональные дольки, а на концентрические цилиндрические слои"
имеющие осью MN - своеобразные "стружки". Развернув каждую стружку
перпендикулярно плоскости DMN, Кеплер получил совокупность бесконечно тонких
прямоугольников, составляющих упомянутое цилиндрическое тело (например,
прямоугольник JKad).
Теперь можно перейти к определению объема пояса яблока - той его части, которая
остается после извлечения из него сердцевины, т. е. цилиндрической части,
имеющей MN своей осью. Если пояс образован, например, сегментом //CD, то он
равновелик части LSDO цилиндрического тела. Эта часть в свою очередь состоит из
двух частей: цилиндрического сегмента VTDO и тела VLST. Последнее Кеплер
рассматривает как разность двух тел: VLST= = GLST-GLV.
Так как точка G является центром круга, тело GLST оказывается равновеликим шару
того же радиуса, что и заданный. Поэтому тело VLST трактуется как шаровой пояс,
образованный тем же сегментом //CD.
Эти соображения и лежат в основе теоремы 20: )"Пояс яблока составляется из пояса
сферы и прямой части цилиндра, основанием которой служит сегмент, недостающий
(до полного круга) на вращающейся фигуре, образующей яблоко, а высотой - длина
окружности, описанной центром большого сегмента".
В конце доказательства Кеплер поместил в качестве добавления правило для
вычисления объема яблока и его сферического
пояса. Методы Кеплера в определении объемов тел вращения, разумеется, были
нестрогими. Это было ясно и ему самому и его современникам. Вокруг кеплеровских
суммирований актуально бесконечно малых разгорались споры. Как и во все эпохи,
не было недостатка в придирчивых критиках. Ученик Виеты шотландец А. Андерсон
выпустил даже специальное сочинение "В защиту Архимеда" (1616, через год после
выхода, в свет рассматриваемого сочинения. Кеплера), где обвинял Кеплера в
оскорблении памя-. ти Архимеда.
Тем не менее плодотворность суммирования элементов, вычитанная у Архимеда
Кеплером, была очевидной. Первая же попытка- создать регулярный алгоритм
оперирования с бесконечно малыми стала весьма популярной. Многие ученые
посвятили свои работы усовершенствованию оперативной стороны этого предприятия
и'рациональному разъяснению возникающих при этом понятий. Наибольшую известность
приобрела геометрия неделимых,, изобретенная Кавальери.
Бонавентура-Кавальери (1598-1647), ученик. Г. Галилея,, происходил из знатного
рода. Монашеская карьера сочеталась в его жизни с научной и преподавательской
деятельностью по математике. С 1629 г., по рекомендации Галилея, он занял,
кафедру математики в Болонье, будучи, одновременно настоятелем католического
монастыря ордена иеронимитов. Прекрасный знаток, античных авторов, он в то же
время глубоко изучал высказанные Галилеем и Кеплером идеи создания исчисления
неделимых. Кавальери написал ряд сочинений по астрономии, технике вычислений,
коническим сечениям, тригонометрии. В1632 г. он опубликовал 11-знач-ные таблицы
логарифмов тригонометрических функций. Но делом его жизни, имевшим наибольшее
значение для развития математики, был метод неделимых, задуманный как.
универсальный метод геометрии,
Идея рбщегометода нед&щмых была впервые высказана Б. Кавальери~ТП621 г.
'ЕГрукопйси, представленной им при за^ня-тии профессорской должности в 1629 г.,
уже имеет место систематическое применение неделимых.
Итогом многолетнего усовершенствования метода неделимых явилась книга
"Геометрия, изложенная новым способом при помощи неделимых непрерывного" (1635,
2 изд., 1653)., Этому же предмету была посвящена книга Кавальери "Шесть
геометрических опытов" (1647).
Метод неделимых был изобретен для определения размеров плоских фигур и тел. Как
фигуры, так и тела представляются составленными из элементов, имеющих
размерность на единицу меньше. Так, фигуры состоят из отрезков прямых,
проведенных параллельно некоей направляющей прямой, называемой регула. Этих
воображаемых отрезков бесконечно много. Они заключены между двумя касательными,
имеющими название парных. Каса157
Б. Кавальери (1598-1647) Памятник Кавальери, поставленный в Милане в 1844 г. в
память двухсотлетия выхода в свет его "Геометрии"
тельные параллельны регуле; за регулу может быть принята одна из них.
В геометрических телах неделимыми являются плоскости, параллельные некоторой
плоскости, избранной в качестве регулы.
Их тоже бесконечно много; границами их совокупности служат две парные
касательные плоскости, параллельные регуле, Часто одна из них избирается в
качестве регулы.
Идею своего метода Кавальери образно выражал, предлагая читателям представить
паука, непрерывно ткущего геометрию из неделимых.
Совокупность всех неделимых, вводимая Кавальери, по существу вводит понятие
определенного интеграла. Однако логические
/7 В С
/ S/ 7" •^7v
х~а
х=Ь
Рис,. 39
трудности, связанные с пониманием неделимого, составления площадей из линий, не
имеющих ширины, и тел из бесконечно тонких плоскостей и т. п. не дают еще
возможности судить о совокупностях, всех неделимых. Поэтому Кавальери вынужден
рассматривать отношения тел и фигур, ограничиваясь случаями, когда, отношения
неделимых постоянны. Таким образом, сущность геометрии неделимых Кавальери можно
сформулировать так: плоские, фигуры и тела относятся друг к другу, как все их
неделимые, взятые вместе; если неделимые находятся в одном и том же отношении
друг к другу, то отношение площадей соответствующих фигур (или объемов тел)
равно этому отношению.
Эти утверждения практически эквивалентны современным умозаключениям типа: даны
две фигуры, ограниченные на нашем чертеже (рис. 39) осью х, прямыми х = а и х=Ь
и соответственно y\=fi(x )и #2=/2 (*). Отношение площадей
k=\
ъ
1 ы*"
/2 (х) dx
Если
У ik
= а = const для любого yfe, то и
= k
Кавальери рассматривал и отношения степеней неделимых. Например, он ввел
совокупность квадратов неделимых и доказал теорему; сумма квадратов неделимых
параллелограмма втрое больше суммы квадратов неделимых треугольника,
образованного в результате проведения диагонали. Введем дли краткости
обозначения: ' ЛС = а, RT=x, TV=y, RS = - - Ь, ST^z. Тогда
x=b + z, y=b-z и сумма квадратов частей неделимых ;
= 2b2 + 2'z2. Суммируем все неделимые, обозначив сумму квадратов
неделимых символом [ ] (рис. 40):
{ЛЕС] + [CGE] = 2 [ABFE] + 2 [ВСМ] + 2 [РЕМ].
Заметим, что
[ЛЕС] = [CGE] [ABFE] = - [ACGE]\
[ВСМ] = [РЕМ] = - [ЛС?1,
что нетрудно, понять, вообразив над каждым линейным элементом квадрат и
рассматривая их совокупности. Следовательно,
{АСЕ] = - {ACGE} + - [АСЕ] + - [АСЕ]\ 4 8 " 8
[ЛС?] = 4- [ACGE].
О
В переводе на язык интегрального исчисления Кавальери доказал, что
или иначе:
lim
Г x*dx = - *(a?
П3
Эту теорему Кавальери сумел обобщить на случай суммирования более высоких
степеней неделимых, вплоть до 9-й, решив таким образом группу задач,
эквивалентных вычислению определенных
а
интегралов вида f xndx для п - 1, 2, ... ,9. То, что у Кавальери
о
рассматриваются не выражения, эквивалентные интегралам, а их отношения, дела
принципиально не меняет. Достаточно выбрать
___ ч 1 я с К J) \ Е \
/ 1
г R I R С Рис. 41
в качестве единого знаменателя интеграл, соответствующий сумме
неделимых.
Другим обобщением, метода являлось введение криволинейных
неделимых.
Метод неделимых позволил решить множество трудных задач, ранее не поддававшихся
решению. У него появились горячие приверженцы, Один из них, Е. Торричелли,
писал, что новая геометрия неделимых переходит из рук одних ученых к другим, как
чудо науки; она, по мнению Торричелли, убедила мир*, что века. Архимеда и
Евклида были годами детства ныне взрослой геометрической науки. Торричелли,
активно работавший методами Кавальери, первый сумел определить объем тела,
образованного вращением ветви гиперболы вокруг одной из своих осей.
Однако у этого метода были свои недо.....
статей,. Во-первых, он был непригоден для • измерения длин кривых, так как
соответствующие неделимые (точки) оказывались безразмерными. Во-вторых,
невыясненность j" понятия неделимого, невозможность его рационального объяснения
создавала для всей теории атмосферу необоснованности. В-третьих, развитие метода
сильно задерживалось из-за того, что Кавальери, в соответствии со сложившимися в
его время представлениями о научной, строгости, избегал применять
символику и приемы алгебры.
Тем не менее определенное интегрирование в форме геометрических квадратур в
первой половине XVII в, уже зарекомендовало себя. Все усилия отныне были
направлены на уточнение его и на достижение возможно более общих результатов.
Паскаль (1623-1662), например, рассматривал квадратуры в форме, близкой той,
которая употребляется Кавальери. Попытка уточнения состоит в том, что сумму всех
неделимых он понимал как сумму элементарных площадок, образуемых бесконечно
близкими одинаково отстоящими друг от друга ординатами, ограниченными отрезком
оси абсцисс и кривой (т. е. сумму вида 2 ydx). В ряде задач он вводил сумму всех
синусов, определяя ее как сумму произведений ординат на элементы дуги (2yds),
которая в случае ^ окружности единичного радиуса оправдывает свое название
(Ssirupdicp). При помощи этого геометрического эквивалента определенного
интегрирования Паскаль сумел решить много задач на определение площадей,
объемов, статических моментов и т. д.
В случае, когда речь идет о сумме синусов, Паскаль высказал мысль, сыгравшую
впоследствии большую роль в истории математики. Он ввел вспомогательный
треугольник ?/(?, подобный AAD/ (рис. 41), и сохранил его в своих рассуждениях
даже тогда, когда расстояние между двумя соседними ординатами бесконечно мало:
К- А. Рыбников
EKE-A ADI;
ЕЕ КЕ
AD ID
или в более привычных нам обозначениях: yds^rdx. Последующая теорема Паскаля:
сумма синусов какой-нибудь дуги четверти круга равна отрезку основания'между
крайними синусами, умноженному на радиус, легко переводится на язык
интегрального исчисления.
S X
В самом деле: ( yds =r f dx. Так как #=гсозф, х= г sirup, $==Гф;
то
или
7 Т
f r cos ф d (г ф) = г Г d (r sin
| cos ф Ар = d (sin ф) == sin ф. о о
По признанию Лейбница, треугольник Паскаля послужил ему прообразом
дифференциального треугольника, составленного из дифференциалов dx, dy, ds.
Важное усовершенствование, геометрических квадратур было проделано Ферма,
который ввел деления квадрируемой площади ординатами; отстоящими друг от друга
на неравных расстояниях. Это дало ему возможность распространить способы
вычисления
"а
выражений, эквивалентных ( xPdx, на случай? когда п - дробное
6 и отрицательное. •
;У JL Пусть, например, речь идет о вычислении интеграла } х v dx,
о
где р"0, "7"0. В формулировке Ферма речь идет о квадрировании площади,
образованной отрезком оси абсцисс [0, х], двумя крайними ординатами и кривой,
уравнение которой x"* = yv. Интервал интегрирования делится на отрезки точками с
координатами: х, ах а2 я, ..., где а"1. Последующие операции состоят в
вычислении последовательно: Ах, у, уАх, %уАх и переходе к случаю, когда ширина
полосок бесконечно уменьшается. Приведем эти выкладки в виде таблицы:
Ах (\~ а)х,
Р
У х* ,
Р+д
у Ах (1- d)x "*f
JL JL а "* х q ,
Р+д /Н-"7 (1 - а) а ? х q
а2(1 -а) х, ...
_2р _р_
а 1 х q, ...
2P±L Р+ (1 - а) а я х "*
Суммирование/как видим, свелось к суммированию геометрической прогрессии, сумма
которой
1 -
•X 1 .
р-Н Чтобы избежать того, что коэффициент при ^~ делается
неопределенным, когда полоски уменьшаются, Ферма делает подстановку-a =ipg.
Тогда
1 - а _ - _ 1иЁ7_ - -lln
) 1L+I + Р*_±.
_ -
В предельном случае а = 1, следовательно (J = 1 и
А ", __ ' "?
UU
Аналогичные вычисления позволяют получить ^x~ndx. Ферма
х
делит интервал интеграции, точками с абсциссами х, ах, а2*,-..., где а"1.
Последовательно вычисляя, по образцу" данному выше, Ах, у, г/Ах, SyAj, и
переходя к предельному случаю, когда а==1,
Ферма получает результат:
(0=1)
По-видимому, Ферма изобрел этот метод под влиянием сочинений Непера, потому что
он сам назвал его логарифмическим.
Математики первой половины XVII в. с большим удивлением и энтузиазмом
убеждались, какое большое количество, казалось бы, разнородных задач геометрии и
механики приводилось к квадратурам. С каждым годом, с каждым новым результатом
все более выявлялась общность операций, которые приходилось применять при
решении этих задач. Геометрический эквивалент определенного интегрирования,
возникший как специфический метод геометрии, частично воспринятый от Архимеда,
постепенно приобретал черты-общего метода математики. В нем все больший удельный
вес приобретали численные методы и элементы грядущего анализа бесконечно малых.
В этом отношении характерным примером являлись работы Дж. Валлиса (1616-1703),
английского математика, профессора Оксфордского университета (с 1649 г.), одного
из основателей (с 1663 г.) Лондонского королевского общества. В 1655 г. им была
издана "Арифметика бесконечного". Используя метод Кавальери, он перевел на
арифметический язык отношения сумм неделимых. Так, отношение степеней неделимых,
которые мы интерпретировали как интегрирование степенной функции fxndx, он
представил как отношение сумм чисел. Отношение суммы неделимых треугольника к
сумме неделимых параллелограмма с тем же основанием и
0 + 1+2+ ... +я высотой сводится Валлисом к отношению - - - - - J -------- - - ,
котоn
+ n
рое при безгранично возрастающем п равно - .
о
2, 3, . . . , т степеней неделимых истолковано как
Отношение сумм
nk ,"|" nk _[_ nk _|_ (. ; ...|- nk
(k = 2, 3,..., /n) для я неограниченно возрастающего. Значения этих
отношений до ife=9 получены Кавальери; они равны ----.К -т- 1
Валлис, пользуясь неполной математической индукцией, распространяет этот
результат на случай любого целого k. Так, им получена была, формула,
эквивалентная
dx = •
m + l ' и
•Валлис-знал из сочинений Архимеда, что площадь параболи2
ческого сегмента равна - площади описанного параллелограм"5
ма. Он и его перевел., на язык отношений указанных выше сумм; отношение
1/сГ + /Г + /2" + ... + Уп~
-У'п'
при неограниченно возрастающем п равно
Та же неполная
индукция приводит Валлиса к обобщению этого результата на все дробные, а затем и
на отрицательные показатели степени.
Идеи, включающие элементы определенного интегрирования, широко распространились
среди математиков западноевропейских стран. Методы интегрирования охватывали к
60-м годам XVII в. обширные классы алгебраических и тригонометрических функций.
Было решено огромное число задач, осветить которые в настоящей книге невозможно.
Нужен был только один толчок - рассмотрение всей совокупности методов с единой
точки зрения, чтобы перевернуть всю интеграционную проблематику и создать
интегральное исчисление.
Дифференциальные методы. В математике XVII в. наряду с интеграционными методами
складывались и методы дифференци164
альные. К дифференциальным методам мы отнесем, по образцу определения
интегральных методов, те, в которых содержатся элементы будущего
дифференциального исчисления. Вырабатывались эти элементы при решении задач,
которые в настоящее время решаются с помощью дифференцирования. Такие задачи
были в то время трех видов: определение касательных к кривым, нахождение
максимумов и минимумов функций и отыскание условий существования кратных корней
алгебраических уравнений. К этой группе тесно примыкают запросы механики,
вытекающие из необходимости определять скорость в любой точке траектории в
случае неравномерных движений, не говоря о более сложных задачах.
Научное наследие древних и средневековых авторов в этой области не было столь
определенным и значительным, как в случае интегральных методов. Задачи о
касательной рассматривались не систематически, единообразных приемов выработано
не было. Общим, по-видимому, было стремление понимать касательную как прямую,
имеющую с кривой одну общую точку и обладающую' свойствами локальной
односторонности., В области экстремальных задач помимо фактов элементарной
изопериметрии существовали лишь диоризмы, т. е. ограничения, накладываемые на
условия задачи, чтобы она имела решение в области рациональных и действительных
чисел или геометрических отрезков. Диоризмы часто содержат указания на
экстремальные значения. Например," когда алгебраическое уравнение имеет кратные
корни, кривые, пересечением которых уравнение решается, не пересекаются, а
касаются друг друга, Таким образом, некоторая взаимосвязанность дифференциальных
задач к XVII в,.'уже была отмечена.
В течение XVII в. дифференциальные задачи решались еще самыми различными
методами. Как и всегда в науке, наряду с новым существует старое. Так
происходило и в рассматриваемой нами области. Геометрические построения в духе
античных математиков, механические соображения, исследования в духе новой тогда
аналитической геометрии Декарта, инфинитезимальные соображения - в их тесном
сплетении вызревало дифференциальное исчисление. Приведем несколько примеров,
характеризующих этот процесс.
Уже в школе Галилея для нахождения касательных и нормалей к кривым
систематически применялись кинематические методы. При этом касательная
появляется как диагональ параллелограмма, сторонами которого являются
горизонтальная и вертикальная составляющие скорости. Например, пусть тяжелая
материальная точка брошена с некоторой горизонтальной начальной скоростью (рис.
42). Перемещения точки по оси х будут пропорциональны отрезкам времени x=nt, по
оси у (вертикальной) -
квадратам этих отрезков у = -|- Р. Траектория - парабола, параметр которой
Галилей определял как учетверенную^^ьшотх^паде-^ ния, которая была бы нужна,
чтобы сообщить точке скорость, рав165
ную начальной горизонтальной скорости У = -.-~*2?t
It
Обозначив
параметр
через 2/?, Торричелли нашел, что отношение верРис.
тикальной компоненты скорости gt к горизонтальной и равно
~- или -. Отсюда Торричелли заключил, что касательная перех
р
секает ось параболы в точке,, лежащей на отрезок 2у выше данной
точки или на у выше вершины параболы,,
Этот кинематический метод дал начало рассмотрению различных бросаний и сложных
движений и определению касательных в любой точке траектории. Систематическое
изложение метода и его главнейших применений дал в 1640 г. Роберваль. Несмотря
на важность кинематического метода, он был очень неудобен, так как. исходил из
индивидуальных особенностей кривых и поэтому был недостаточно алгоритмичен.
Поэтому больше перспектив для. определения касательных и нормалей в то время
представлял метод нормалей Декарта, содержащийся во второй книге его
"Геометрии".
Пусть необходимо провести нормаль к алгебраической кривой в точке (я, Ь) и пусть
это осуществлено. Нормаль пересечет ось абсцисс в точке, координаты которой (с,
О). Семейство концентрических окружностей с_дентррм в (с, О) содержит одну
окружность радиуса- R = |/"(а -с)5 + fra , которая имеет с кривой две общие.
точки, слившиеся в одну, именно точку (я, Ь). Одно из двух неизвестных, например
у, может быть исключено из уравнений данной кривой и окружности. Так как х = а -
двойной корень, то при этом должно получиться уравнение вида (х-а)2 Р(х)=0. Это
дает возможность определить величину с с помощью метода неопределенных
коэффициентов. Для этого Декарт приравнивает левую часть полученного уравнения
произведению (х-а)2 на многочлен степени на две единицы меньше и с
неопределенными коэффициентами. Сравнение коэффициентов при членах одинаковой
степени дает уравнения, которыми определяется с.
Связанная с методом Декарта проблема отыскания кратных корней алгебраических
уравнений получила развитие у голландского математика и инженера И. Гудде (16281704).
Правило последнего, коротко говоря, состоит в отыскании общего
наибольшего делителя уравнений f(x)=0 и /'(*)=(); последнее уравнение получено
умножением коэффициентов данного уравнения /(я)-О
на члены произвольной арифметической прогрессии. Применяемый в наши дни способ,
связанный с алгебраическим способом образования последовательных производных
левой части алгебраического уравнения, появился, по-видимому, впервые у Ролля в
конце XVII в. Однако возвратимся к дифференциальным методам.
Накопление методов дифференциального исчисления приняло наиболее-явную форйу у
Ферма.; В 1638 т. он' сообщил в 'письме Декарту, что решил задачу определения
экстремальных значений
функции /(*)• Ферма составлял уравнение----------------•- = 0 и.
после преобразований в левой части полагал /г=0. Вопреки/мне(tm)^
нию позднейших исследователей, которые видели в этом идеи' исчисления бесконечно
малых, в действительности Ферма нашел
это условие и аналогичное --- - = 0 еще алгебраическими путями.
Рассуждения тут примерно такие: /(я)=0; найти экстремум.
Пусть для. некоторого х функция достигает максимума. Тогда f(x±h)"f(x), f(x)±Ph
+ Qh2±..."f(x). Вычитаем из обеих, частей по f(x) и делим на h: ±P±Q/i±,. ."0.
Так как h можно выбрать любой малости, член Р будет больше по модулю суммы всех
остальных членов. Неравенство поэтому возможно лишь при условии P=G, что и дает
условие Ферма. В случае минимума рассуждения аналогичные. Ферма знал также, что
знак Q определяет характер экстремума.
Так же близок к дифференциальному исчислению метод Ферма отыскания касательных к
алгебраическим кривым.
На малой дуге MN алгебраической кривой /(я)=0 (рис. 43) путем проведения секущей
SMN строится характеристический треугольник MNP. AMNP~&MRS. Отсюда SR = - -Чггг-,
или в
PN
более привычных нам символах SR ••
Затем Ферма
переходит от секущей к 'касательной, полагая й=0, получая
о У
тем самым о* = - - .
У
Позднее он распространил этот метод определения касательных на случай неявной
функции f(x, y)=0. Полученное им выражение легко переводится в привычное нам
дх
ду
= 0.
Все функции Ферма - алгебраические полиномиальные. В случаях, когда в
исследуемых функциях попадались иррациональности, он освобождался от них
возведением обеих частей уравнения в степень. Впрочем, в этом узком сравнительно
классе функций метод Ферма определения касательных и экстремальных значений
общий, символика - единообразная. К сожалению, Ферма не стре167
Рис. 43
милея публиковать свои работы, притом он пользовался труднодоступными для
понимания алгебраическими средствами Виеты с его громоздкой символикой. Видимо,
поэтому он не сделал последнего, уже небольшого, шага на пути к созданию
дифференциального исчисления.
К середине XVII в. накопился достаточно большой запас средств решения задач,
ныне решаемых с помощью дифференцирования. Однако не было еще выделено особой
операции дифференцирования, понятий, равнозначных понятиям производной и
дифференциала. Не была ясна связь дифференциальных и интеграционных методов.
Математический анализ формировался в рамках и в терминах алгебры, геометрии,
механики - сложившихся уже к тому времени наук. Так всякое новое математическое
исчисление всегда
...Поділитися у соцмережах
