История и методология математики

сторінка №6

...й знак - &. Равенство
записывается словом taog (равный), реже - буквой^ Свободные члены уравнения
имеют специальное обозначение \л° (от (jiovag - единица). Система счисления -
алфавитная. Символика, впрочем, не строга единообразная, имеет модификации. Об
употреблении символики Диофанта лучше всего могут дать представление примеры:
а) и^аЦ'п^б*' 8[i°ai|a означает х* + 8х- (5д:2+1) =я;
б) ||cxpat^°"uioroisicrtv||0/s ia fJiovaai ie означает 10;с + 30=11л;+15..

91

С помощью подобной символики в книгах 2-6 "Арифметики" Диофант решает (т. е.
находит одно из их рациональных решений) многочисленные задачи, приводящиеся в
большинстве к неопределенным уравнениям второй степени. Он нашел рациональные
решения около 130 неопределенных уравнений, принадлежащих более чем: к 50
различным классам. В каждом: случае Диофант ограничивается нахождением одного
корня. Общих методов решения неопределенных уравнений или классификации
последних у Диофанта, нет. Нет также доказательств; справедливость полученного
результата подтверждается только тем,, что он при подстановке удовлетворяет
условиям задачи.
Общая теория дирфантовых уравнений первой степени: ax + by=l, где а и Ъ -
взаимно-простые целые числа, была построена' в XVII в. французским математиком
Ваше де Мезириа-:ком (1587-1638). Он также издал в 1621 г. сочинения Диофанта на
греческом и латинском языках со своими комментариями. Над созданием общей теории
диофантовых уравнений 2-й степени трудились многие выдающиеся ученые: П. Ферма,
Дж. Валлис, Л. Эйлер, Ж. Лагранж и К. Гаусс., В результате их. усилий к началу
XIX в. было в основном исследовано общее неоднородное уравнение 2-й степени с
двумя неизвестными и с целыми коэффициентами:
ах2 + Ьху + су2 + dx + еу + / = 0.
Диофантовы уравнения являются предметом исследования и в современной.математике.
Так называются неопределенные алгебраические уравнения, или их системы, с целыми
коэффициентами, у которых разыскиваются целые или рациональные решения. Более
широкая точка зрения на диофантовы уравнения состоит в том, что решения этих
уравнений разыскиваются в алгебраических числах, Фундаментальные исследования по
теории .диофантовых уравнений проведены советскими учеными А. О. Гельфондом, Б.
Н. Делоне, Д. К. Фаддеевым и В. А. Тар-таковским.
Имя Диофанта прочно закрепилось и в той части теории чисел, которая изучает
приближения действительных чисел рациональными числами. Эти приближения
называются диофантовыми. К теории диофантовых приближений относят также вопросы,
относящиеся к решению в целых числах неравенств (или их систем) с
действительными коэффициентами, и вопросы теории трансцендентных чисел.
Центральное место в теории диофантовых приближений занимают методы и результаты
академика И. М. Виноградова.
Таким образом, сочинения Диофанта послужили по существу отправной точкой многих
теоретико-числовых и алгебраических исследований. По отношению же к античной
математике они характеризовали усиление алгебраических тенденций, расцвету
которых помешали (как и развитию всех отраслей математики)

92

'з м XVII вв. (ван Роу-*о"^м превзойден, метод
упомянутые выше неблагопрк условия.
К основным характерным qeptw •кости относится также большое "
являющихся комментариями классическ. дание комментариев является,
несомненьч математического творчества. Однако сочине, принесли большую
пользу истории математик рывках или в пересказе многие классические и Иногда
комментарии являются единственным источ,. ний об утерянных, сочинениях или
забытых достижениях математиков.
Одним из ранних, комментаторов является Гемин Р'одо (около 100 г. до н. э.). По
свидетельству Прокла (V в. н. э.), Гемин излагал историю высших кривых: спирали,
конхоиды, .циссоиды и др. Ему принадлежит также одно из первых делений наук на
теоретические (геометрия и арифметика) и практические (астрономия, механика,
оптика, геодезия, правила счета).
.Другой крупный комментатор Теон из Александрии (IV в.) составил комментарии к
"Началам" Евклида и к.астрономическому трактату "Альмагест" Птолемея. Его дочь
Гипатия комментировала произведения Архимеда, Аполлония и Диофанта.
Особое место в ряду комментаторов занимает Папп из Александрии (IV в. н. э.).
Кроме комментариев к сочинениям Евклида и. Птолемея он написал большое сочинение
".Математические коллекции", в котором подробно и со знанием дела изложил, со
своими замечаниями, многие замечательные открытия своих предшественников. Из
восьми книг "Математической коллекции" до нас дошли только шесть (книги 3-8).
Пропавшие книги, по-видимому, содержали обзор греческой арифметики, на что
указывают сохранившиеся отрывки,
Третья книга посвящена истории решения задач удвоения куба и трисекции угла.
Папп дает и свое решение первой из них, сводящееся к построению двух средних
пропорциональных. Задачи, относящиеся к построению кривых двоякой кривизны и
поверхностей, составили четвертую книгу. Описание учения Зенодора об
изопериметрических свойствах плоских фигур и поверхностей занимает первую
половину пятой книги; учение о правильных телах вошло во вт'орую ее половину.
Астрономии Папп посвятил шестую книгу. В ней содержатся комментарии к "Оптике" и
"Феноменам" Евклида, к "О величинах и расстояниях" Аристарха, к "Сферике"
Феодосия и др.

Седьмая книга - самая большая и разнохарактерная. Вначале в ней разъясняются
методы анализа и синтеза древних и приводятся примеры. Затем следует знаменитая
задача Паппа: пусть на плоскости задано п прямых. Найти геометрическое место
точек, для которых произведение отрезков, проведенных из искомых точек под
одинаковыми углами к /г/2 данных прямых, имело

93

бы данное отношение к произведению отрезков, проведенных таким же образом к
оставшимся прямым. Для значительного класса случаев Папп доказал, что искомым
геометрическим местом являются конические сечения. Декарт в XVII в. решил задачу
Паппа средствами своей аналитической геометрии.
Вслед за задачей Паппа в седьмой книге разбирается теорема, известная ныне как
теорема Гюльдена: объемы тел, образованных вращением линии или поверхности,
относятся как произведения площадей, образующих фигур на длину окружности,
описываемой их центрами тяжести. Остальное место в седьмой книге занимают
комментарии к трудам Аполлония о трансверса-лях и ангармоническом отношении.
Последняя, восьмая, книга посвящена практической механике и связанным с. ней
геометрическим задачам и теоремам. Среди последних имеется, например, следующая
теорема: если три материальные точки, находящиеся в вершинах треугольника,
двигаются одновременно в одном направлении по периметру со скоростями,
пропорциональными длинам сторон, то положение центра тяжести не меняется.
Последние из наиболее значительных комментаторов - Прокл (V в.) и Евтокий (VI
в.)-принадлежат к, афинской школе, существовавшей некоторое время после разгрома
научного центра в Александрии, Прокл интересен тем, что в сочинениях
нематематического (комментарии к сочинениям Платона) и математического
(комментарии к "Началам" Евклида) характера воспроизвел много фактов из истории
античной математики. Евтокий написал обстоятельные комментарии к "сочинениям
Архимеда и Аполлония. Он в большем объеме, нежели Прокл, приводил отрывки из
сочинений предшественников. Особенно много отрывков он подобрал к знаменитым
задачам древности. В частности, он воспроизвел 11 решений задач об удвоении
куба, принадлежащих разным ученым от Архимеда до Паппа.
Деятельность комментаторов прекратилась в VI в., после закрытия афинской школы.
В бассейне Средиземноморья в развитии математики наступил длительный перерыв.
Наш обзор античной математики является, естественно, неполным. Трудно в данной
книге уделить ему больше места. Однако, по нашему мнению, приведенных материалов
достаточно* чтобы сделать выводы о характере развития математики в
рассматриваемый период.
Математика древней Греции представляет собой один из самых ранних примеров
становления математики как науки и образования в ней всех ее составных частей.
Главными особенностями античной математики являются возникновение, бурный рост и
приостановка развития ряда математических теорий.
В рамках математических теорий античной древности возникали и развивались
элементы более поздних математических наук: алгебры, анализа бесконечно малых,
аналитической геомет94

XVII вв. (ван Роу-превзойден.
Ч4|грии,
теоретической механики, тике. Однако оторванность практики, узость их
геометрической ниченность области и времени их разь денции в выборе объектов и
методов ния, привнесенные в математику под .идеалистической философии" только
усугубля,)!. вития теории.
Внутренние противоречия развития математик усиления совпали с неблагоприятными
общественно-. ми условиями эпохи распада рабовладельческого стро", шимися в силу
изменения способа производства. Так, эко. •ские факторы конца рабовладельческой
экономической фор:^ Ди оказались в конечном счете определяющей причиной
временной приостановки теоретического и практического развития математики.
Для нового подъема математической науки был нужен новый подъем производительных
сил человеческого общества. В Европе и в районе Средиземноморского бассейна этот
принципиально новый подъем наступил только спустя много веков - начиная с эпохи
так называемого Возрождения, эпохи конца феодализма и начала развития
капиталистического способа производства, При этом одним из главных источников
новых математических идей было освоение классического наследия математиков
античной. Греции - Евклида, Архимеда и др. • '

Глава 4.

РАЗВИТИЕ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ
4.1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ О ПЕРИОДЕ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ
По установившейся периодизации истории математических наук к периоду
элементарной математики относят, как было упомянуто в первой главе, огромный
промежуток времени - около 1000 лет (от VI- V вв" до н. э. и до XVI в.).
Столь длительные периоды не редкость в истории науки. Они,, как правило,
относятся к ранним этапам ее развития. Это объясняется либо тем, что удалось
найти некоторое единство в развитии • науки в рассматриваемый период, либо
неполнотой наших знаний о нем.
Что касается названия рассматриваемого периода, то следует сказать, что попытка
определить содержание понятия элементарности является совсем не элементарной
задачей. Более того, само это понятие не может быть определено логически строго
раз и навсегда. В разные исторические периоды его наполняли и наполняют
различным содержанием. В наши дни, когда называют какое-либо математическое
суждение элементарным, с этим связывают в большинстве случаев представление о
чем-то укладывающемся в рамки программы по математике общеобразовательной
средней школы.

Рассмотрим конкретно содержание и пути основных потоков развития математики в
этот период. .Это в основном математика постоянных величин, уровень ее в самом
деле мало в чем превос96

ходит уровень знаний, определенных программой средней школы, и по существу имеет
с ней много общего. В этом проявляется еще раз связь между историческим и
логическим в развитии математики, связь, подтверждающая известный марксистский
тезис, что логическое в науке есть историческое, но лишь переосмысленное и
приведенное в некоторый, порядок.
4.2. О МАТЕМАТИКЕ НАРОДОВ.СРЕДНЕЙ АЗИИ И БЛИЖНЕГО ВОСТОКА,
На обширных территориях, от северо-запада Индийского полуострова до северного
побережья Африки и юга Испании, с давних времен существовали многочисленные
восточные империи. Созданные нередко путем завоеваний, огромные, но не связанные
в единый хозяйственный организм, .они не обладали политической-устойчивостью и
имели сложную, полную превратностей судьбу. Научные и культурные традиции
населяющих их народов развивались в таких условиях сравнительно медленно.
Начиная с VII в. по всем .этим землям прокатилась волна завоевательных войн,
начатых, племенами, населявшими Аравийский полуостров, под давлением острого
хозяйственного кризиса. Эти войны приняли форму борьбы за господство новой
религии - ислама (или, как ее иначе называют, магометанства). В течение ряда
веков образовалась колоссальная область торгового обмена и экономических связей.
Возникли большие города - центры торговли, ремесел и административного
управления. Господствующее положение заняла магометанская религия, а арабский
язык стал языком официальных документов, религиозных книг, научных трактатов и
художественно-поэтических сочинений.
Сложившиеся условия хозяйственной и политической жизни благоприятствовали
развитию математики,, Знания математики требовали нужды государственного,
управления, ирригации, строительства, торговли и ремесел. Международные связи,
осуществляемые с помощью длительных путешествий по морям, горам и неизведанным
местностям, способствовали развитию математики, географии и астрономии.
Поэтому многие восточные правители и целые династии проводили политику
государственного покровительства наукам. В аппарате государственного управления
появились специально опла^-чиваемые ученые. Для них строили обсерватории,
собирали библиотеки из древних сочинений, которые разыскивали всюду и переводили
на арабский язык.
В результате сложилась своеобразная система математических знаний. Преобладающее
место в ней заняло создание разнообразных вычислительных методов и измерительных
средств для нужд торговли, административного управления, землемерных работ,
картографии, астрономии, для составления календаря и т.д. В эту систему влились
в то же время данные античной греческой
К- А. Рыбников

97

науки, классические трактаты Евклида, Архимеда, Аполлония и др. В ней вместе с
тем получили развитие сведения из математики народов Индии и Китая, а также
коренного населения стран Ближнего и Среднего Востока. Освоение и переработка
многочисленных источников и подготовка квалифицированных математиков
потребовали, разумеется, немало времени. Поэтому для арабской математики , (как
мы будем ее иногда называть для краткости, несмотря на Необоснованность этого
термина) характерна, некоторая многоплановость, пестрота в постановке задач, в
методах их решения и даже, в символике. Складывающаяся под столь многообразными
влияниями система математики получила так много оригинальных черт, что сделалась
качественно отличной от своих источников. Рассмотрим подробнее вопросы о
характерных особенностях математики средневекового Востока и о достигнутом
уровне развития математических наук. Вопрос о дифференциации математики по
отдельным странам и о взаимных влияниях ввиду его специфичности и
неразработанности затрагивать здесь не будем.
В вычислительной практике арабоязычных народов равноправно действовали обе
системы счисления: десятичная абсолютная и 60-ричная. Первая была заимствована
из Индии не позднее VII в. н. э. и быстро получила широкое распространение,. Из
ариф-метического трактата Хорезми (IX в.) "Об индийских числах", переведенного в
XII в. на латинский язык, десятичная система стала известна в Европе,.
Параллельно с десятичной сохранялась и регулярно употреблялась в астрономических
обсерваториях унаследованная от вавилонян 60-ричная система счисления. В духе
математиков древнего Вавилона составлялись и использовались вспомогательные
таблицы наподобие таблицы умножения (от 1 • 1 до'59-59). Даже в сравнительно
позднее время (ок.. 1427" г.) в обсерватории узбекского хана астронома Улуг-бека
под г. Самаркандом находились в употреблении как десятичная, так и'60-ричная
системы. Для удобства вычислений были разработаны правила перевода из одной
системы в другую. Регулярные правила существовали для вычислений с дробями:
простыми и десятичными. (В Западной Европе десятичные дроби были введены только
около 1585 г. фламандским математиком и инженером С. Стевином).
В арсенале арабских математиков накопилось много вычислительных Приемов и
специальных алгоритмов. Приведем некоторые из них, чтобы продемонстрировать
уровень вычислительной техники.
. а) Получение до 17 верных знаков числа я с помощью вписанных в окружность и
описанных правильных многоугольников. Вычисления были проведены в первой
половине XV в. Каши и были доведены до определения сторон правильного 3 ^^-
угольника. Более 'чем через 150 лет, в 1593 г.,, в Европе Ф. Виет нашел лишь 9
правильных десятичных знаков я с помощью

98

3-217-угольников. Только на рубеже XVI и XVII вв. (ван Роу-мен 1597) результат
Каши был повторен, а затем превзойден, 'б) Вычисление корней способом, известным
ныне как метод Руффини:- Горнера. Можно предположить, что этот метод воспринят в
результате тесных, связей с китайскими математиками. В' развитии метода было
учтено, что последовательное вычисление
Пг- .
знаков корня у q = а, ос ... связано с отысканием последовательных
разностей
b \п f b с
10 у V .10 100
При этом обнаружен и сформулирован ряд биномиальных разложений вида:
(а + 1)я - ап = С1пап-1 + С2пап~~2 + ... + С^а + 1; (а + Ь)п - ап - Clnan~~lb +
(%an-2b* + ... + .высказано правило образования, биномиальных
коэффициентов
/~*ГП ___ /~*^ ! /""/W-1
• В Европе таблица биномиальных коэффициентов (для я";17) опубликована лишь в
1544 г. (Штифель),' а описанный метод перекрыт Руффини (1804) и Горнером (1819).
в) Приближенное извлечение корней. Известный в древности
прием Уд = У Т2 + rz + 77------" гДе З"1 -целое, был распро-1
странен .к XV в. (Каши) на случай любого натурального показателя корня. Основой
этого приема было линейное интерполирование, т. е. рассуждения типа: положим
- • • . ' .
% = Тп; уг - Т
Л г=
ух;
при
Тогда
По-видимому, от индийцев было воспринято правило zn"
применявшееся как в десятичной (z=lQk)9

так ив 60-ричной (z = 6Qk) системах.
Распространение подобных приемов приближенного извлечения корней отмечено в
Европе лишь с середины XVI в.
г) Суммирование арифметических и геометрических прогресп

сии, включая нахождение сумм вида V ak(k = 1,2, 3, 4). Например:
~~

99

"• П
?•"'=?""
a~l a=\
Преобладающее влияние вычислительной части математики оказало влияние на
трактовку многих теоретических -вопросов.. Особенно интересен вопрос о понимании
алгебраических, иррациональностей. Стремление к производству операций над ними
характерно для всей арабской, математики. Например, в сочинениях Хорезми (IX в.)
уже встречаются операции над квадратичными иррациональностями. Аль-Кархи (XI в.)
ввел многие преобразования иррациональностей" в том числе
Аль-Баки (ок. 1100 г.), как и Аль-Кархи, комментировал десятую книгу "Начал"
Евклида, поясняя ее теоремы числовыми примерами.
В силу такого подхода и частого применения вычислений' иррациональностей грань
между рациональными числами и иррациональностями начинает стираться. -К
представлению о числе как о собрании единиц прибавились представления " об
отношениях непрерывных величин. Была установлена адекватность геометрической
несоизмеримости с арифметической иррациональностью. Последние вошли в класс
чисел на основе разработанных -для них правил оперирования, В математике вместо
двух 'обособленных понятий - числа и отношения - возникла новая, более широкая
концепция, действительного положительного числа," Уже в XIII в. (Насирэддин,
1201-1274) этот факт был констатирован с полной определенностью: "Каждое из
отношений может быть названо числом, измеряемым единицей, так же, как
предшествующий член отношения измеряется последующим членом" 1.
Идея создания единой концепции действительного числа путем объединения
рациональных чисел и отношений, появившаяся у математиков поздней античности,
получила на Ближнем Востоке некоторое завершение.
В Европе подобная идея не появлялась довольно долго. Только с XVI в. в связи с
бурным развитием вычислительных средств ученые начали ее сознавать. Однако с
равносильной степенью общности она была высказана лишь И. Ньютоном в 70-х годах
XVII в., а опубликована еще позднее (1707) в его "Всеобщей арифметике": "Под
числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлеченное отношение
какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой нами за единицу.
Число
1 Мухаммед Насирэддин Туей. Трактат о полном четырехстороннике. Баку, Изд-во АН
Азерб. ССР, 1952, стр. 22.

100

бывает трех видов: целое, дробное и иррациональное. Целое число есть то, что
измеряется единицей; дробное -кратной долей единицы; иррациональное число
несоизмеримо с единицей" 1.