Жанр: Наука
История и методология математики
...аля,
Гюйгенса и др.
Примерно с этого времени в бумагах Лейбница все чаще встречается применение
характеристического треугольника Паскаля для решения задачи о проведении
касательной к кривой,, При этом он постепенно, приходит к мысли о возможности
суммирования разностей (dx и dy\, образующих стороны характеристического
треугольника. К суммам этих малых разностей приводят и задачи о квадратурах.
Лейбниц, усмотрев это обстоятельство, высказал предположение, что решение
обратных задач на касательные полностью или в большей части можно свести к
кв.адратурам. Таким путем, не зная работ Барроу и Ньютона, но, как и они, исходя
из обратных задач на касательные, Лейбниц открыл взаимо-обратную связь между
методами проведения касательных (в последующем операции дифференцирования) и
квадратурами (позднее интегрирование). Тогда же он высказал мысль, что сводка
результатов дифференцирования путем простого оборачивания может быть полезна при
интегрировании функций (эквивалентными соображениями пользовался и Ньютон).
Так, в чисто математическом плане лейбницево исчисление складывалось в общих
чертах из следующих посылок:
а) задачи суммирования рядов (с 1673 г.) и привлечение систем конечных
разностей;
181 ~~
б) решение задач о касательных, характеристический треугольник Паскаля и
постепенный перенос соотношений между конечными элементами на произвольно, а
затем бесконечно малые;
в) обратные задачи на касательные, суммирование бесконечно малых разностей,
открытие взаимообратности дифференциальных и интеграционных задач (примерно к
1676 г.).
Все эти годы Лейбниц предпринимал многочисленные попытки создать удобную
символику. Он приходит к мысли о символе d (сокращение слова differentia -
разность) для обозначения бесконечно малой разности. Вслед за Кавальери и
Паскалем: он представлял интеграл как: сумму "всех" ординат, которых бесконечно
много, и записал его символом отпу или чаще otnnl. Позднее он заменил отп на /,
исходя из начальной буквы слова Summa. Взаимообратность задач он тоже старался
отражать в символах:
если
t. = axtto 1 =
Вскоре он пришел к мысли, что
лучше писать d(ax)\ ведь "dx" это то же,, что ~, т. е. разность
d '
между ближайшими х. Но из f(ax)=t получается, что дифференциал d(ax) будто бы
равен конечной величине /. Так постепенно выяснилась необходимость
усовершенствовать символ интеграла, включив в него символ дифференциала
аргумента: fydx.
При помощи Ольденбурга (161 5-- 1 677) , '' секретаря Л ондон-ского королевского
общества, Лейбниц завязал (1676- - 1677) переписку с Ньютоном. В письмах он
сообщал свои результаты и стремился узнать больше о методах и результатах.
Ньютона. В основном речь шла о способах разложения функций в ряды "и о решении
обратных задач на. касательные. Корреспонденты хорошо понимали друг друга,
осознавали близость своих целей' и выводов. Без большого труда они разгадывали
сущность методов, применяемых соперником. К сожалению, вскоре переписка
прекратилась, так как Ньютон перестал отвечать на письма.
Казалось бы, эта переписка должна была ускорить публикацию нового исчисления.
Однако Лейбниц, как и Ньютон, не спешил с этим. Он работал над
усовершенствованием методов исчисления и над обоснованием, стремясь оправдать
его появление или логически строгой дедукцией, или достаточно большим
количеством новых результатов и практических достижений. Только в 1684 г. в
лейпцигском журнале "Acta Eruditorum" Лейбниц опубликовал первый мемуар об
анализе бесконечно малых "Новый метод максимумов, минимумов, а также
касательных, для которого не служат препятствием ни дробные, ни иррациональные
величины и особый для этого род исчисления".
Мемуар этот невелик, менее 10 страниц. В нем нет доказательств. Но в нем впервые
на страницах научного журнала появляется дифференциальное исчисление как объект
математического исследования в виде, во многом напоминающем современную его
структуру.
182
Дифференциал аргумента dx принят за совершенно произвольную величину.
Дифференциал функций dy определен равенством
dy =-^-, где St - подкасательная к кривой в точке (х, у). Введены
St
символы: dx и dy. Сформулированы правила дифференцирования постоянной величины,
суммы функций, разности, произведения,
частного, степени, корня. Отмечена инвариантность вида, первого дифференциала от
выбора аргумента. Дифференциалы понимаются вначале как величины,
пропорциональные мгновенным приращениям величин. Правда, позднее, дифференциалы
вновь. определяются как бесконечно малые разности.
Мемуар 1684 г. был трактатом о дифференциальном исчислении. Через два года, в
1686 г., вышло в свет другое сочинение Лейбница "О глубокой геометрии", в
котором сосредоточены правила интегрирования .многих элементарных функций. Для
обозначения операции интегрирования введен символ /, истолковываемый как сумма
дифференциалов, а также-подчеркнута его взаимообрат-ность с операцией
дифференцирования. В том же году Лейбниц разрабатывает основы теории
соприкосновения кривых, вводит соприкасающийся круг и применяет его к измерению
кривизны,, При этом он допустил ошибку, полагая, что в общем случае этот круг и
кривая имеют четыре совпадающих точки. Ошибку эту исправил в 1692 г. его
последователь Яков Бернулли, показав, что в общем случае таких точек только три.
Анализ бесконечно малых вышел, таким образом, из стадии формирования и заявил о
себе как о новой математической науке, сразу же продемонстрировав необычайную
плодотворность. Активная пропаганда нового исчисления Лейбницем, и его учениками
и последователями, среди которых сразу же выделились братья Бернулли: Яков
(1654-1705) и Иоганн (1667-1748), способствовала также его бурному
распространению. А поток новых открытий Лейбница не иссякал.
В 1693 г. он распространил новое исчисление на трансцендентные функции путем
разложения их в ряды с помощью метода неопределенных коэффициентов. Эту группу
результатов он изложил в статье с характерным для публикаций XVII и XVIII вв.
длинным заголовком: "Дополнение практической геометрии, распространяющееся на
трансцендентные проблемы с помощью нового наиболее общего метода бесконечных
рядов".
В последующих работах Лейбница охвачены по существу все начальные отделы
дифференциального и интегрального исчисления. Так, в 1695 г. он опубликовал
правило дифференцирования общей показательной функции и формулу многократного
дифференцирования произведения
Ат(ху) = dmx.d°y + - d"1-1 x-dy + m(m~1) d^x-dty +....
Тогда же ему удалось обобщить понятие дифференциала на случаи отрицательного и
дробного показателя. В течение 1702-1703 гг. были разработаны приемы
интегрирования рациональных дробей.
С помощью нового исчисления математикам конца XVII - начала XVIII в. удавалось
решать быстро возрастающее число трудных и практически важных задач. Лейбниц и в
этом роде деятельности проложил дорогу. В 1691 г., например, он установил форму,
которую принимает подвешенная за концы тяжелая гибкая однородная нить, и вывел
уравнение цепной линии. С 1696 г. его занимают новые задачи - вариационные. Он
решил задачу о брахистохроне ----- кривой кратчайшего спуска, нашел метод
решения задач о геодезических линиях,
Символика и термины Лейбница оказались очень хорошо продуманными; они были
несложными и отражали существо дела, помогали пониманию и позволяли оперировать
с ними по сравнительно простым правилам. Многие из них дошли до наших дней.
Лейбниц ввел термины: дифференциал, дифференциальное исчисление, функция,
координаты, дифференциальное уравнение, алгоритм (в смысле, аналогичном
современному пониманию) и многие другие, а также большую часть символов.
Практические успехи и разработанность исчисления достигли такого уровня, что в
конце века (1696) появился первый учебник дифференциального исчисления и его
приложений к геометрии: "Анализ бесконечно малых" Г. Ф. Лопиталя.
Практическая ценность исчисления Лейбница, оперативная, простота привлекали к
нему внимание ученых. Оно быстро делалось центром всей математики, основным
орудием исследования в руках ученых. Но в этом исчислении было слабое место:
оставалось неясным, какое рациональное объяснение можно дать основным понятиям:,
опирающимся на бесконечную близости, бесконечную малость или бесконечную
протяженность "процесса. В рукописях и в статьях Лейбниц постоянно возвращается
к нерешенной проблеме обоснования анализа бесконечно малых. Попыток он
предпринял много, с самых разных исходных позиций. У него можно найти: трактовку
бесконечно малых как неархимедовых величин; привлечение интуитивно
воспринимаемой потенциальной бесконечной малости; ссылки на античный метод
исчерпывания и сведение всех трудностей к нему; постулирование возможности
замены отношения бесконечно малых отношением конечных величин; неразвитые
представления о пределе, стремлении к нему; введение в рассуждения в качестве
опоры непрерывности, будто бы присущей природе всех вещей.
Однако проблема обоснования анализа бесконечно малых оказалась не под силу
Лейбницу, так же как и Ньютону. Основы этой важнейшей части математики, в
которой следовали один за другим замечательные достижения, оставались
невыясненными, таинственными. В области обоснования новый анализ в течение
XVII в. и значительной части XVIII в. пережил "мистически;0*", по меткому
выражению К. Маркса, период.
Большое место в сочинениях по истории математики этого времени занимает спор
между последователями И. Ньютона и Г. В. Лейбница о приоритете открытия
дифференциального и интегрального исчисления. В свое время так оно и было; спор
приобретал напряженный характер, разрастался до размеров национального
соперничества и ссоры, вовлекал огромное количество ученых и даже политических
деятелей.. Но не все" даже самые громкие споры, самые, модные теории, защищаемые
самыми фанатичными адептами, в истории долго существуют и имеют непреходящее
значение. Законы истории неумолимо отражают именно содержательную сторону науки,
ее соответствие экономическому строю человеческого общества, существенные связи.
Поэтому мы вправе уделить упомянутому спору о приоритете лишь несколько фраз,
По-видимому, Ньютон и Лейбниц открыли свои формы исчисления независимо друг от
друга. Оба опирались на опыт многочисленных предшественников, в котором
накопилось достаточно предпосылок для их открытий. Оба отразили, исходя из
разных посылок, общую потребность науки в анализе бесконечно малых. Ньютон,
видимо, добился успеха раньше, Лейбниц - несколько позже. Однако приоритет в
публикации, преимущества, в удобстве • алгоритмов и символов, заслуги в активной
пропаганде нового исчисления принадлежат Лейбницу.
Появление аналитической геометрии и анализа бесконечно малых создало к концу
XVII в. новое положение в математике. Эти новые области привлекли самый большой
интерес и именно в них были быстро достигнуты очень важные результаты. Роль этих
областей, в особенности анализа бесконечно малых, сделалась настолько
значительной, что можно назвать математику этого периода математикой переменных
величин,,
Однако всегда следует помнить, что рассмотрение главного, определяющего, не
исчерпывает всего содержания науки; в нем еще много сторон, много линий
развития, не являвшихся в то время главными, но впоследствии оказавшихся весьма
важным. Поэтому представляется необходимым сделать несколько замечаний о
математике XVII столетия.
Алгебра в этом веке все более освобождалась от геометрических элементов. В ней
окреп символический буквенный аппарат. Определилась основная научная
проблематика; общая теория уравнений. В этой области можно отметить:
а) Постановку и некоторое продвижение проблемы приводи-* мости алгебраических
уравнений, т. е. представления целых рациональных функций с рациональными
коэффициентами в виде произведения двух или большего числа аналогичных функций
(см., например, И. Ньютон. "Всеобщая арифметика").
б) Введение Лейбницем в 1693 г. начал теории определителей и правила,
известного теперь как "правило Крамера". Заметим, что
термин "детерминант" прослеживается только с 1815 г. (у Коши), а символ
детерминанта - с 1841 г. (у Кэли).
в) Непрекращающиеся (но, разумеется, безуспешные) попытки найти решение в
радикалах уравнений степени выше четвертой.
г) Попытки доказать основную теорему алгебры о числе корней алгебраического
уравнения,
Геометрия существенно, расширил а свой состав. В нее вошла, как было показано
выше, новая аналитическая геометрия, связавшая ее с алгеброй. Геометрические
приложения анализа постепенно формируются в будущую самостоятельную
математическую дисциплину - да||^ЕШШ1ажьщгЮ- ищетщю,.Наконец, в XVII в,
закладываются основы проективной геометрии. В 1636 г. Ж. Дезарг (1593-1662),
французский инженер и архитектор, разрабатывая теорию перспективы, развил целую
систему проективно-геометри-ческих представлений: бесконечно удаленных
предметов, инволюции и т. д. Проективные представления внесли в теорию
конических сечений кроме Дезарга Б. Паскаль (1640), Ф. Лагир (1685).
Теория чисел обогатилась замечательными исследованиями Ферма, определившими
дальнейшее ее развитие.'В частности, ему принадлежат сформулированные без
доказательства, две теоремы:
а) Великая теорема Ферма: диофантово уравнение xn+yn = zn, п"2, целое, не имеет
решения в натуральных числах. До сих пор она доказана только для небольших /г;
общего доказательства еще нет.
б) Малая теорема Ферма: если р - простое, а - целое, не делящееся на /?,
To'a^sl (mod/?), т. е. а^~л - 1 делится на р. Первым дал доказательство этой
теоремы, лежащей в основе теории сравнений, Л. Эйлер.
В 1665 г. Б. Паскаль впервые сформулировал принцип математической индукции. Он
же,- а также П. Ферма и Г. В. Лейбниц, о чем упоминалось выше, в ряде статей
разработали основные понятия комбинаторики.
Теория вероятностей, в связи с задачами которой предпринимались комбинаторные
исследования, в середине XVII в. вступила в стадию формирования как науки.
Вероятностные соображения, в которых интуитивные представления о степени
логической возможности дополнялись подсчетами теоретических частот, начали
появляться в XVI в., но только в сочинениях Паскаля, Ферма и Гюйгенса стало
входить в обиход, в связи с задачей разделения ставки, понятие математического
ожидания. По-видимому, в самом конце XVII в. Я. Бернулли открыл простейшую форму
закона общих чисел (опубликовано в 1713 г.), завершив первый, по классификации
А. Н. Колмогорова, этап истории теории вероятностей.
Из материала настоящей главы можно сделать общий вывод, что математические
дисциплины, составляющие в наши дни классическую основу высшего образования,
начали формироваться именно на рубеже XVII и XVIII вв.
РАЗВИТИЕ ОСНОВНЫХ ЧАСТЕЙ МАТЕМАТИКИ
В XVIII ВЕКЕ
6.1. ОБ УСЛОВИЯХ И ОСОБЕННОСТЯХ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИКИ
В XVIII в.
Процесс развитая математики в ходе ее истории становится все более и более
сложным. К периоду, рассматриваемому в настоящей главе, эта сложность и
многосторонность достигла высокой степени.
Научная разработка математических проблем почти целиком сосредоточилась в
странах Европы. В экономическом плане история Европы XVIII в. характеризуется
решающей победой капиталистического способа производства. Вторая половина XVIII
в. в странах Европы в основном уже может быть отнесена к эпохе промышленного
капитализма. Развитие экономической и общественной жизни людей, связанное со
становлением новой, капиталистической формации, стало приводить к этому времени
к перестройке социальных, научных, культурных и других идеологических концепций.
Темпы развития науки в это время быстро нарастают. Промышленная революция,
образование мирового рынка, связанные с этим нужды мореплавания,
кораблестроения, военной техники, теплотехники, гидроэнергетики и т. п.,
практические нужды общества ставят перед наукой быстро усложняющиеся задачи.
Помимо задач механики и астрономии перед физико-математическим комп187
лексом наук встали проблемы создания математического аппарата исследования
электромагнитных явлений и теплоты.
Решение научно-технических и даже просто научных задач становится делом
государственной важности. Таблицы положении
Луны, Солнца, звезд, проблема изобретения хронометра высокой точности, показания
которого не зависели бы от качки корабля, нахождение методов отображения сферы
на плоскость как важнейшая часть картографии и др. приобретают необычайную
актуальность, срочность. В то же время владение средствами нового анализа
создает обстановку возможности решения подобных задач, их доступности усилиям
ученых.
Для научных исследований в крупнейших городах Европы создаются специальные
учреждения - академии наук, субсидируемые государством. Постепенно возрастает
роль высших учебных заведений, ставшая особенно заметной к концу XVIII в., в
эпоху Великой французской буржуазной революции. В обществе появляется заметная
прослойка ученых-профессионалов., в том числе профессионалов-математиков,
главным: делом жизни которых являются научные исследования и преподавание, В
связи с этим происходит заметная демократизация состава, ученых. В самом деле,
например, величайший математик XVIII в. Л. Эйлер был сыном сельского пастора, Ж.
Л. Лагранж происходил из семьи офицера, П. С,. Лаплас и М. В. Ломоносов.-
крестьянского происхождения, Ж, Даламбер не имел родной семьи. Число подобных
примеров можно значительно увеличить.
В начале века математики в своих исследованиях могли исходить уже из весьма
значительного конкретного материала. Его основу и наиболее актуальную часть
составлял анализ бесконечно малых, возникающий в Англии в виде ньютоновского
исчисления флюксий, а на континенте Европы - в виде лейбнидевского исчисления
дифференциалов. Их общность, а во многих частях и совпадение, были уже осознаны.
Совокупность методов решения прямых задач этих исчислений, составляющих ныне
основную часть дифференциального исчисления, была в основном создана.
Дифференциальное исчисление заняло место одной из частей классической основы
математического анализа. Появились первые учебники, систематически излагающие
его методы и результаты1.
В области обратных задач, т. е. интегрального исчисления, время подведения
итогов еще не наступило, так как было сделано еще не так много. В области
неопределенного интегрирования продолжалась разработка приемов интегрирования в
элементарных функциях. Так, например, идея интегрирования дробно-рациональных
функций при помощи разложения их на простейшие дроби была высказана Лейбницем
лишь в начале XVIII L. (1702- 1703). О перестройке интегрального исчисления на
базе понятия определенного интеграла еще не могло быть и речи.
1 См., например, Г. Ф. Л опит а ль. Анализ бесконечно малых. М.-Л., Гостехиздат,
1935. Впервые опубликована в 1696 г.
По мере накопления приемов интегрирования усиливалась потребность в исследовании
простейших трасцендентных функций в в обогащении их класса. Геометрические
методы исследования, основанные на изучении площадей и абсцисс, зависящих друг
от друга определенным образом, оказывались недостаточными, негибкими. Их
дополняли методы представления функций степенными рядами и усовершенствования
символической формы их выражения.
Наряду с формированием основы математического анализа - дифференциального и
интегрального исчисления - к началу века появились результаты и в его высших
областях: теории дифференциальных ур авнений, вариационном исчислении.
Интегрирование первых обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, к
которым приводили задачи математического естествознания, пробовали осуществлять
с помощью лишь алгебраических и элементарных трансцендентных функций. Отдельные
результаты были достигнуты. Однако вскоре математики убедились, что на таком
пути решить сколько-нибудь широкий круг уравнений не удается. Задача была
трансформирована, и решение дифференциальных уравнений стали отыскивать в
квадратурах.
Арсенал приемов интегрирования дифференциальных уравнений был: еще невелик, В
него входили: разделение переменных,, отдельные случаи нахождения интегрирующего
множителя, решение однородного уравнения первого порядка подстановкой y=xt. И.
Бернулли в 1697 г. проинтегрировал уравнение, носящее теперь его имя,
dy + Р (X) У dx = Q (А:) if dx, преобразовав его в линейное дифференциальное
уравнение первого
порядка с помощью подстановки у :-~ v "Л Этот способ -был, впрочем, известен
также Лейбницу и Я. Бернулли. На рубеже веков И. Бернулли сумел дать решение
линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка
понижая его порядок с помощью интегрирующего множителя вида хр. Сколько-нибудь
систематической разработки теории дифференциальных уравнений еще не было, но
задача эта стояла как первоочередная.
В области вариационного исчисления математики сумели накопить некоторый запас
задач особого рода - вариационных, - осознать их своеобразие, найти решения ряда
элементарных задач. Задача создания общего метода выдвинулась на первый план и в
этой части математического анализа.
В ходе энергичной работы в различных областях математического естествознания
быстро росло число задач, решаемых с помощью методов еще нового тогда анализа
бесконечно малых. Крепла уверенность, что дифференциальные уравнения отражают
если не все, то во всяком случае главнейшие закономерности природы. Решение
дифференциальных уравнений представлялось многим ученым универсальным средством
познания. Однако этот могучий арсенал приемов нес в "своих основах неразрешенное
противоречие между растущими практическими успехами и логической
несообразностью, необоснованностью приемов оперирования с бес-, конечно малыми
величинами и особенно необоснованностью отбрасывания их. Этому противоречию
суждено было в скором будущем проявиться, и притом в резкой форме.
Алгебра,Ччна которую опирался новый анализ, к концу XVII в. "приобрела
достаточно усовершенствованный буквенно-символиче-ский аппарат. Ее практические
возможности кроме решения в радикалах уравнений первых четырех степеней и
некоторых "приближенных методов существенно расширились за счет установления
многих фактов общей теории алгебраических, уравнений и элементов теории
определителей. Центральной проблемой алгебры сделалась проблема отыскания общего
метода решения алгебраических уравнений любой степени. Понятие решения таких
уравнений в значительной степени еще сливалось с задачей представления корней
уравнений посредством: той или иной комбинации радикалов,,
Арифметические вычислительные методы к этому времени обогатились за. счет
использования логарифмов и соответствующих многочисленных таблиц. Начали
появляться вспомогательные, вычислительные устройства, среди которых наиболее
совершенны-ными были арифмометры Шиккарда, Паскаля, Лейбница и др. и
логарифмические шкалы,. Пестрота и разнообразие, неравномерность развития,
всегда присущие науке.в любой момент времени, в арифметике проявились в
отставании понятия отрицательного числа и даже в неравноправном положении
десятичных дробей сравнительно ^"обыкновенными.
В составе геомётриякромимо элементарных частей и тригоно-метр-ий -ученые XVIII
в. могли использовать аналитическую геометрию, не очень еще совершенную,
созданную в 30-е годы XVII в. Декартом и Ферма. К ней примыкала совокупность
геометрических приложений дифференциального исчисления, впоследствии
выделившаяся в особый вид геометрии •- дифференциальную геометрию.
К началу XVIII в. накопился значительный запас сравнительно еще элементарных
представлений теоретико-вероятностного характера. Начальные соображения ряда
ученых, например Кар-дано и Тартальи о числе способов получения желаемого
количества очков при игре в кости, Луки Пачиоли относительно задачи разделения
ставки, позволяли предвидеть возможность математи190
ческого изучения случайных явлений. В последующем Паскаль, , Ферма, Я. Бернулли
и др. нащупали в хаосе случайных событий определенные количественные
закономерности, из которых самой важной была простейшая форма закона больших
чисел. Вынужденная узость конкретного материала (азартные игры, отдельные
таблицы с результатами наблюдений) и элементарность методов (арифметикокомбинаторных)
воспринимались как временное и преодолимое препятствие.
Объем математических сведений, которыми должен был. располагать
квалифицированный математик конца XVI! - начала XVIII в., был, таким образом,
довольно велик,, Видимо, в силу • . именно этого обстоятельства начиная со
второй половины XVII в. начали появляться многотомные сочинения, имеющие целью
охватить всю математику, изложить ее в целом, систематически. Например, в 1661
г. в Вюрцбурге вышел в свет однотомный "Курс математики или полная энциклопедия
всех математических дисциплин" ("Cursus mathematicus sive absoluta omnium
mathema-ticarum disciplinarum Encyclopaedia") К. Шотта. Через 13 лет,, в 1674
г., "Курс, или мир математики" ("Cursus sen mundus mathematicus") лионца Дешаля
потребовал уже трех томов. Через 20 лет, в 1693 г., "Курс математики" ("Cours
des mathematiques",. Paris) Озанама появился в пяти томах. .
Тенденция к созданию единой системы математики не ослабевала и в последующие
века, являясь непременным спутником дальнейшего роста математики. В наши дни
выразителем подобных устремлений является, например, многотомное (еще не
завершенное) сочинение. "Элементы математики", коллективный автор которого
(группа математиков, преимущественно французских) выступает под общим
псевдонимом Никола, Бурбаки.
В течение XVIII в. существенно изменилась структура математики" ее состав.
Самые большие, коренные изменения произошли в математическом анализе. Во много
раз увеличилось количество входящих в него фактов. По своему содержанию анализ
трансформировался. Из метода, придуманного для решения определенного класса
задач, он преобразовался в анализ функций, приобрел структуру, близкую к
современной. В т
...Поділитися у соцмережах
