Жанр: Наука
История и методология математики
...ны 8у(х), 6z(x) - их вариации. Если
вариации в крайних точках сегмента [*ь Х2], на котором рассматривается задача,
обращаются в нуль, то образуются две кривые сравнения С и С+бС с общими концами.
Последняя из этих кривых задана функциями
8у(х),
6г(х).
Из всех возможных кривых сравнения теперь следует такую, чтобы для любых
вариаций 6у(х)9 8г(х)
выбрать
Д/=/(С
- 7(С)"0.
Между вариациями 8у(х)9 8z(x) и приращением функционала в вариационном
исчислении, с одной стороны, и дифференциалом независимой переменной dx и
дифференциалом функции
254
y = f(x) в дифференциальном исчислении, с другой стороны, существует аналогия.
Эту аналогию и обнаружил Лагранж. Она позволила ему применить в вариационном
исчислении алгоритмы, аналогичные алгоритмам дифференциального исчисления и
доказать перестановочность символов d и б, а также / и 6.
Эйлер, который был буквально на пороге подобного открытия, с энтузиазмом
встретил сообщение молодого математика. -Он поделился с ним своими идеями, а
чтобы дать возможность Лаг" ранжу первому опубликовать свои результаты (что
произошло в 1762 г.), приостановил печатание своих статей на подобные темы.
После 1762 г. Эйлер дал в ряде работ подробное, усовершенствованное и снабженное
примерами изложение вариационного исчисления. Он же придумал название новому
исчислению; вариационное. В одной из работ (1771) Эйлер дал вариационному
исчислению новое истолкование. Оно теперь могло быть понято как. метод-выбора из
однопараметрического семейства, кривых такой кривой, которая реализует некоторое
экстремальное свойство. Это толкование существенно сближает вариационное
исчисление с дифференциальным исчислением. Однако оно еще не сделалось
достаточно общим, так. как в нем: не рассматривались указанные Д. Бер-нулли
случаи, когда бесконечно малые перемещения точки вдоль кривой сопровождаются
конечными отклонениями касательных ("сильные вариации")"
Конец XVIII в. ознаменовался серией исследований Эйлера, Лагранжа и других
ученых. Вариационное исчисление при этом •сравнительно быстро приняло
завершенную1 форму в его наиболее элементарной части, относящейся к теории
первой вариации. Рассматривался еще лишь слабый экстремум и соответственно лишь
сравнительно гладкие кривые. •
Главной задачей вариационного исчисления теперь как будто бы оказывалась
проблема отыскания экстремумов функционалов возможно более широкого класса.
Длинный ряд работ в XIX в. был посвящен именно этой теме. Однако наряду с этим
кругом проблем оставалась нерешенной еще одна задача: как различить вид
достигаемого экстремума. Относительно этой задачи еще Лагранж, опираясь, повидимому,
на аналогии с дифференциальным исчислением, указанные выше, отметил
возможность применения второй вариации для решения этого вопроса.
В самом деле, пусть, например, задан функционал
х
/ =
Если
6/
то знак &I совпадает со знаком 84 (при достаточно малых вариациях функций и их
производных). В 1786 г. Лежандр (опубликовано в 1788 г.) смог привести вторую
вариацию к виду, из которо255
го явствовало, что ее знак зависит от знака , . Это привело
ду
его к так называемому условию Лежандра: чтобы на экстремали осуществлялся
максимум (соответственно минимум), необходимо,
d^F d^F \
чтобы вдоль нее — " 0 (соответственно --г ^" 0 ]. Это
ду' ду' J
условие оказалось и достаточным для слабого экстремума, что было показано К.
Якоби в 1837 г., при условии, что экстремаль
может быть включена в поле экстремалей - в однопараметриче-ское семейство
кривых, не пересекающихся между собой и заполняющих некоторую односвязную
область.
Понятие тюля экстремалей, введенное К. Якоби, оказалось необходимым для
отыскания сильного экстремума функционала. Это подтвердилось в работах К.
Вейерштрасса, который к 1879 г. разработал методы решения этой проблемы. Идея
Вейерштрасса (с учетом последующих усовершенствований ее Д. Гильбертом) состояла
в следующем: пусть дано поле экстремалей у=у(х, а). В него включена и искомая
экстремаль. Введем функцию, выражающую зависимость углового коэффициента
касательной к экстремали от координат точки касания и(х, у), которую назовем
наклоном поля,, Приращение функционала имеет вид
А/ = Г IF (х, у, yf) - F (х, у, и) - -^ (у - и)] dx. J L
ди J
Подынтегральная функция широко известна в настоящее •время как функция
Вейерштрасса и имеет специальное обозначение E(xt у, и, у'). Знак этой функции
указывает на вид экстремума: E^JO в случае минимума и Е^О в случае, максимума.
Если это условие рассматривается относительно слабого экстремума, то достаточно,
чтобы указанное условие соблюдалось в точках поля, близких к экстремали, и для
достаточно малой разности \уг-и\. В случае сильного экстремума условие
Вейерштрасса должно выполняться, очевидно, для любых у', а не только для у',
достаточно мало отличающихся от и.
Таким образом, в течение XIX столетия были найдены условия правомерности
операций вариационного исчисления. Эти условия были распространены на широкие
классы функционалов и снабжены строгими доказательствами. Выяснение достаточных
условий для обеих разновидностей экстремумов, основанных на теории экстремалей,
логически завершило целый этап развития вариационного исчисления. Последнее
формировалось как исчисление вариаций. Прямой метод Эйлера, казалось бы,
окончательно забыт.
О дальнейшем развитии вариационного исчисления. Однако на рубеже XIX и XX вв.
возродились прямые методы в вариационном исчислении. Еще М. В. Остроградский в
1834 г.. показал, что задача вариационного исчисления об экстремуме кратных
интегралов эквивалентна задаче решения некоторого дифференциального уравнения
математической физики. В самом деле, если
/ = Jj^C*, У, z, p,'q)dxdy9
где
2 _"... ?iK д =_ д?_ а-^= - дх 9 ду
ТО
Д/ - Г[ [^.(д:, у, z + 6z, р + 6р, (/ + бд) - Р (л, у, zy p9'q)]dxdy=*' •
Необходимое условие экстремума
Преобразуя по формуле Остроградского двойной интеграл в криволинейный,
можно ' получить
ГГГ^_^'Л?Л_ ....... ^(JlL
JJ & ' дх \-dp.J ду V dq
G ~
откуда, в предположении непрерывности подынтегральной функции, вытекает
= о
дг дх др ду \ dq
Вариационная задача об экстремуме двойного интеграла оказывалась, таким образом,
эквивалентной краевой задаче для дифференциального уравнения с частными
производными второго порядка.
Например, гармоническая функция, являющаяся решением .задачи о потенциале
(задачи Дирихле)
^1 + ^ = 0, dx2 ду2
одновременно дает экстремум двойного интеграла
На это обстоятельство обращали внимание Гаусс (1840), Томсон (1847) и, наконец,
Дирихле. Возможности, открывающиеся в связи с нахождением вышеотмеченной
эквивалентности, были высоко
9 К. А. Рыбников 257
оценены. Физический смысл этого явления в пространственном случае
устанавливается легко: если и - потенциал скоростей в установившемся течении
однородной несжимаемой жидкости, то соответствующее уравнение будет
ду*
п
= 0.
Искомое решение UQ (среди всех функций, принимающих на границе
области заданные значения) обращает в минимум
что соответствует минимуму кинетической энергии.
Риман, узнавший этот факт из лекций Дирихле, назвал его принципом Дирихле.
Выводы он распространил на введенные им ' так: называемые римановы поверхности.
Для Рим'ана является очевидным (по-видимому, из физических соображений), что для
любой гармонической функции достаточно задать ее значение на границе области,
чтобы иметь ее однозначную определенность внутри области,,
Рассмотрим простейший случай краевой задачи Дирихле для однолистного круга.
Пусть задана функция распределения краевых значений и(я|)) - непрерывная функция
угла. Задача сводится к установлению теоремы существования: внутри круга
существует одна и только одна, непрерывная: функция и, непрерывно приближающаяся
к заданным краевым .значениям и 'удовлетворяющая уравнению Ди = 0. Введем
' - '
ЯШ
+
определенный на площади круга, и имеющий -смысл в любой его точке. Все значения
этого интеграла конечны и, очевидно, неотрицательны. Тогда существует
неотрицательная нижняя грань его значений для всех возможных и. Эта грань
достигается при некотором и, т. е.
Тогда уравнение
дх*
ду*
•=0
есть необходимое и достаточное условие обращения в нуль первой вариации.
Это рассуждение, которое привело к формированию в трудах Римана геометрической
теории функций комплексного переменно258
Рис, 49
оказалось уязвимым 'в исходном пункте. Оказалось, что невозможно прийти к выводу
о существовании гармонической функции, опираясь на вариационную задачу, так как
существуют примеры таких задач, которые не допускают никакого решения. Вейерштрасс
еще при жизни Римана доказал, что из существования нижней грани
указанного выше интеграла не следует, что эта грань' достигается в классе
допустимых функций. Знаменитый пример' Вейерштрасса. о том, что ломаная,
соединяющая точки плоскости, меньше любой кривой, проходящей через эти точки
(рис. 49), хотя к семейству этих кривых не принадлежит, был опубликован только в
1869 г., но был известен Риману. Последний не смог . дать убедительного
доказательства своих" результатов, основанных на применении принципа Дирихле.
Это удалось сделать
его ученику Нейману (1884) и ученику Вейерштрасса Шварцу" кото'рые в 'своих
доказательствах не прибегали к вариационным методам. ' .
Таким образом, выявилась разница между экстремальной проблемой в конечномерном
'точечном пространстве и в пространстве функциональном. В первом
последовательность точек непременно допускает предельные точки. Во втором из
последовательности функций не всегда удается выделить подпоследовательность,
сходящуюся к некоторой предельной функции. Для преодоления подобных трудностей в
вариационном исчислении понадобилось вновь разработать прямые методы,
Ведущая идея .прямых методов современного вариационного исчисления восходит к
Эйлеру. Она состоит в том, что вариационная- задача рассматривается как
предельная для соответствующей задачи на экстремум функции конечного числа
переменных. Последний разыскивается обычными метадами, а затем предельный
переход дает решение вариационной задачи. Непосредственно к Эйлеру восходит
конечно-разностный метод, который отличается от других прямых методов тем, что,
например, функционал
рассматривается не на произвольных кривых (из числа допустимых в данной задаче),
а на ломаных, составленных из заданного числа я прямолинейных отрезков с
заданными абсциссами вершингде
а, а + Ал;, а + 2Алг, . . . ,а + (n - l)kx, b,
Ъ - а
п
Первых успехов в возрождении прямых методов достиг Гильберт, который в 1904 г.,
возвратившись к вопросу о принципе Дирихле, доказал существование решения в
доказательстве Ри-мана, построив последовательность функций, эффективно достигающую
искомой функции. Затем вскоре Ритц (1908) разработал
еще один широко известный теперь метод,,
Идея Ритца заключается в том:, что функционал V изучается
на линейных комбинациях
с постоянными коэффициентами.
При этом: функционал превращается в функцию коэффициентов
0 = /("!, "а, ... ,ал).
Решая, систему- уравнений
JL^o • (i=l, 2,3,.,., /i), дщ
получаем точки экстремума этой функции, а затем, переходя к пределу при /г-"оо,
- решение вариационной задачи. Разумеется, при этом необходимо, чтобы был^
выполнены условия относительно свойств функционала и полноты системы функций и\,
"2, ..... , tln.
В общей разработке прямых методов помимо работ Г. Вейля, Лебега и Куранта
большое значение имели исследования советских ученых. Л. А, Люстерник, И. Г.
Петровский, М. А, Лаврентьев, Н. Н. Боголюбов, Н. М. Крылов и другие обогатили
вариационное исчисление высокоэффективными прямыми методами,, Огромен вклад
советских математиков в изучение качественных методов вариационного исчисления,
получивших за. последние 30 - 40 лет особое развитие, что вполне закономерно,
так как дифференциальные -уравнения, к которым сводятся задачи вариационного
исчисления, в конечном виде в большинстве случаев не решаются. Качественные же
методы позволяют решать вопросы о существовании решений, об их числе, давать
характеристику семейств экстремалей и т. п.
Вариационное исчисление в XX в. стало составной частью функционального анализа,
той частью, в которой изучаются экстремумы функционалов. Кроме того,
вариационные методы и принципы составляют важнейшую часть теоретической
механики. С успехом применяются они в решении многочисленных задач прикладного
характера.
Более чем двухсотлетняя история вариационного исчисления дает богатый материал
для исследования общих закономерностей развития математических исчислений: их
формирования, связанного с оборачиванием метода; трансформирования содержания,
отражающего диалектичность развития, вхождения в более общие части математики,
взаимосвязи с практикой и т. д.
6.5. РАЗВИТИЕ ГЕОМЕТРИИ
Открытия принципиального значения, сделанные в геометрии в течение XVII в.,
предопределили для этой науки в следующем, XVIII в. качественно новый характер
развития. В составе геометрии появились новые дисциплины. Практически все
классические/ области геометрии, исключая только неевклидовы геометрии,,
оформились в это столетие. Речь идет об аналитической, дифференциальной,
начертательной и проективной геометриях, а также о работах по основаниям;
геометрии,, Их общими -чертами являются: развитие в рамках и на основе системы
геометрии Евклида, непосредственное воздействие на эти области математики
практических задач. Среди различных задач и методов геометрии большое значение
имели геометрические приложения, анализа бесконечно малых. Из них возникла и
развилась • дифференциальная, геометрия - наука,, занимавшая в XVIII в.
центральное место в' системе геометрических дисциплин.
Аналитическая геометрия. Под таким названием общепринято понимать ту -часть
геометрии, где изучаются геометрические фигуры и преобразования, задаваемые
алгебраическими уравнениями. Для аналитической геометрии характерно
использование методов алгебры и координатного метода.
W4""'""Сочинения Декарта" и. Ферма открыли все возможности для развития
аналитической геометрии еще в 30-х годах XVII в. Однако для претворения в
жизнь очевидных (для нас), преимуществ аналитической геометрии даже в случае,
плоских " задач потребовалось довольно много времени. Прошло около столетия,
пока средствами аналитической геометрии удалось получить
результаты, которые превзошли достижения древних, в особенности Аполлония.
В XVIII в. аналитическая геометрия еще пере-../ живала процесс, становления,
накапливания и исследования, новых!/ фактов.
Аналитическая геометрия Декарта и Ферма включала лишь плоские задачи.
Исследование кривых выше второго порядка было в ней сравнительно редким
явлением. Но даже этот скромный объем был труден для современников. В
течение XVII в. появилось много сочинений, в которых комментировались новые
методы. Л Однако подлинно новый шаг в развитии аналитической геометрии 1 был
сделан только в начале XVIII в. в результате выхода в свет \
в 1704jr., сочинения R_Ньютона "Перечисление кривых третьего \ порядка".
~~"~ '-(tm)~~-- - - .-~.'.(tm)-~--"---,.,-......._.. _j
'. НЬ'ютой отказался от декартовой классификации кривых по их родам. Он увидел,
что классификация по степеням уравнений кривых лучше приспособлена для нужд
аналитического аппарата новой геометрии. Порядок кривых в новой классификации
получил геометрическую трактовку в виде возможного числа точек их пересечения с
прямой. Затем Ньютон перенес на кривые третьего п°рядка ряд понятий и теорем,
доказанных для конических сече261
ний, соответственно видоизменив их. Так, он ввел диаметры кривых как
геометрические места точек ряда параллельных прямых, алгебраическая сумма
расстояний которых от точек пересечения прямых с кривой равна нулю. В случае
перпендикулярности диаметра к сопряженным хордам вводится ось кривой. Если все
диаметры пересекаются в одной точке" то эта точка получает название' общего
центра. Соответственно распространяются многие другие понятия и теоремы.
Виды кривых определены Ньютоном с учетом конечных ветвей кривых, наличия или
отсутствия диаметров, наличия и свойств бесконечных ветвей. Всего оказалось 72
вида кривых, каждому из которых Ньютон дал название. Эти виды кривых
записываются уравнениями четырех типов. Если обозначить
ах? + Ьх% + сх + d = A то указанные уравнения будут:
xif + ey = A9 ху^А, у* = А, у = Л.
Сложная и громоздкая, классификация заставила Ньютона сосредоточиться на
особенностях кривых: узлах, точках заострения и т. п. Для облегчения этой задачи
Ньютон использовал- третье из-указанных выше уравнений - уравнение
полукубической парау*
== ах(r) + Ьх* + сх + d,
и показал, что каждая, кривая третьего порядка получается из нее посредством
подходящего центрального проектирования. Такая проективная классификация, или"
по выражению Ньютона, "органическое описание", выявляет все проективно разные
кривые третьего порядка исходя из свойств корней уравнения
ах(r) + Ь& + сх + d = 0.
Именно если три корня действительны и различны, то кривая состоит из двух
различных ветвей; равенство всех трех корней свидетельствует о наличии точки
возврата. Равенство двух корней указывает либо на двойную, либо на изолированную
точку, Кривые, имеющие только одну ветвь, соответствуют наличию двух мнимых
корней.
Мы не будем останавливаться больше на содержании этого сочинения. Оно слишком
специфично. Принципы классификации кривых третьего порядка не оказались ни
простыми, ни универсальными, результаты - недостаточно полными и не снабжены
доказательствами. Значение настоящего сочинения Ньютона было не в этом. Ньютон
раскрыл новые возможности метода координат. И, кроме того, значительно его
усовершенствовал. Ньютон ввел равноправные оси координат, определил знаки
функций во всех четырех квадрантах, создал основы исследования свойств кривых
свойствам выражающих их уравнений. Эти возможности были подхвачены и развиты
Стерлингом в книге "Ньютоновы кривые
тоетьего
Стирлинг снабдил теоремы Ньютона доказательствами, а также вывел ряд теорем
общего характера. Ему принадлежит, в частности
вывод канонической формы дщшш--"^^ порядка путем выбора оси координат,
параллельной асимптоте. Общими свойствами' алгебраических кривых успешно
занимался Маклорер (1720), который развил ньютонов органический способ
образования кривых. Специальные мемуары на эту тему издали Ф.' Николь (1731),
Мопертюи (1731), Брекенридж' (1733) и др. Впоследствии кривым: третьего порядка
были посвящены работы Штейнера, Сальмона, Сильвестра, Шаля, Клебша и др.
Как было указано' выше, аналитическая геометрия Декарта и Ферма не включала в
себя методы решения пространственных задач. Оба автора сумели -лишь дать общие
указания о необходимости проектирования пространственных кривых на координатные
плоскости. В течение почти столетия эта кажущаяся в наше время очевидной идея
реализовалась лишь эпизодически, по частным-поводам и не имела общего характера.
Систематическое использование пространственных координат в аналитической
геометрии было начато в 1731 г. в КТГйге Клеро "Исследования о кривыУ двоякой
кривизны". Так назывались пространственные кривые:* 'Каждую точку последних
Клеро проектировал ортогонально на две взаимно -перпендикулярные координатные
плоскости. Таким образом пространственная кривая оказывалась заданной как
геометрическое место пересечения двух цилиндрических поверхностей, а в
аналитической форме она выражалась системой двух уравнений. В случае, когда
задано единственное уравнение, Клеро правильно интерпретировал его как уравнение
поверхности, приводя много примеров, главным образом поверхностей вращения:
п
у* + г2 = ах,
& = а2 (у2 + г2) и т. п.
Работы Клеро создали возможность для систематического построения аналитической
геометрии в форме, более или менее привычной для нас. Это осуществил Эйлер к
1748 г.
/шалитичщсая '"геометрия" в первой половине XVIII в. формировалась в тесном
сплетении с геометрическими приложениями математического анализа. Она уже играла
роль фундамента большой области математических знаний, несмотря на
незавершенность как по форме, так и по содержанию. Поэтому Эйлер, делай опытку
систематического построения математического анализа,
осуществленную им в ряде монографий, выделил для аналитической геометрии
специальный том ("Введение в анализ...", т. 2). Значение этого сочинения в
истории аналитической геометрии необычайно велико. Охарактеризуем содержание
этого тома подробнее.
Е^ основной его части, состоящей из двадцати двух глав, излагается система
аналитической геометрии на плоскости. В первой главе введены прямолинейные
координаты, как -прямоугольные, так и косоугольные, а также разъяснен способ
записи уравнений кривых, дано понятие непрерывности кривых, как свойство кривой
быть выраженной единым аналитическим выражением, в соответствии с понятием
непрерывности функции, введенным в первом томе "Введения в анализ бесконечных".
Вторая глава посвящена ' преобразованиям систем: координат: повороту осей и
переносу начала, а также анализу уравнения, прямой в виде
ах + $у = 0.
Следующие две главы относятся к классификации кривых по степеням их уравнений и
выявлению общих свойств кривых. Еще две главы отведены специально исследованию
кривых второго порядка. При этом в главе V речь идет-о тех свойствах конических
сечений, которые получаются из общего уравнения второй степени, а в главе VI
исследуются канонические формы уравнений кривых второго порядка. Бесконечные,
ветви и асимптоты конических сечений рассматриваются в главах VII и VIII.
Далее следует классификация .кривых третьего порядка (главы IX и X), В
соответствии с характером бесконечных ветвей эти кривые разделены на 1.6 видов,,
При этом Эйлер сравнил свою классификацию с той, которую дал Ньютон, и показал
неполноту последней" Соответствующая классификация кривых четвертого порядка,
проделанная в главе XI, дала уже 146 .видов, Не продолжая этой бесперспективной
работы, Эйлер перешел вновь к разработке общих методов исследования кривых по их
уравнениям, дав краткие указания об этом в главе XII.
Касательные, являющиеся предметом тринадцатой главы, рассматриваются по
отношению как к простым, так и к кратным точкам кривых. В интересной главе XIV о
кривизне кривых вначале определяется парабола, аппроксимирующая кривую в
окрестности данной точки, а затем для этой параболы отыскивается круг кривизны.
Длина радиуса кривизны кривой \
0 = At + Bu + Ct* + Dtu + Ей* + Ft3 + Gt*u + Htu* + ... в начале координат
находится по формуле
Б2С)
Кроме того, Эйлер нашел здесь же точки перегиба первого и более высоких
порядков, точки заострения. Чтобы добиться наи264
большей общности, он заменял аппроксимирующую параболу более общими
кривыми, например arm = sn.
последних, а две следующие (XVI и XVII) посвящены исследованию кривых по их
свойствам. Речь идет о таких, например, задачах: исследовать кривую
y*-P(*)y + Q(x) = o, ' •• - -
если известно, что для данного аргумента х кривая имеет две орди-- наты у\ и у&
связанные между собой условием
Другим условием является, например, то, что кривая имеет с данным лучом у=а,х
данное число точек пересечения. Интересно, что при этом Эйлер ввел полярные
координаты:
х = г cos ф, у = г sin ф.
В главе XVIII Эйлер собрал и систематизировал сведения о подобии и аффинных
свойствах кривых. Кривые, по Эйлеру, называются аффинными, если их координаты
связаны соотношениями
X ^
х.
т
Это понятие удержалось в математике до наших дней.
Наконец,, в четырех завершающих плавах рассматриваются: пересечения кривых
(глава XIX), составление уравнений сложных кривых, (глава XX), трансцендентные
кривые (глава XXI) и геометрическое решение тригонометрических уравнений.
.Последние две главы появились, разумеется, в качестве геометрической трактовки
функций, введенных в первом томе "Введения в анализ". В них рассматриваются
кривые тригонометрических функций, логарифмическая кривая, циклоиды всех трех
видов, линия хУ = ух и различные спирали. Для исследования этих кривых
используются как декартовы, так и полярные координаты.dy
•)
д*г
дх ду
Затем через' норм, ал ь к поверхности проводится секущая плоскость,, Выражение
для радиуса кривизны этого произвольного нормального сечения получается еще
более сложным вследствие того,, что теперь параметры а и р уже * независимые.
Они выражаются через параметр, определяющий сечение, т. е. через угол между
горизонтальным следом нормальной плоскости и осью абсцисс.
Из нормальных сечений выбираются два: главное, перпендикулярное координатной
плоскости хОу, и перпендикулярное главному. Для этих сечений выражение кривизны
упрощается. Затем вводится угол ф между плоскостями нормального и главного
сечений и вновь выводится общее выражение для радиуса кривизны
_ - (р2 + "?2) (1 + Р2 ф 92)3/2 sec2 ф _
Это громоздкое выражение Эйлер расписал для частных случаев: цилиндра г - I/a2 -
уг , конуса z- )Лг2л;2 - \у* и эллипсоида z2 = a2 - тх2 - пу2, а. затем
преобразовал к виду
_ 1 _ cos 2ф + # sin 2ф '
где
дх* ' дхду ' ду2
равно как М и #.
Отсюда равенство кривизн в локальной области поверхности
определяется 'равенством величин L, Ж, Ж. Когда
то соответствующий радиус кривизны достигает экстремума. Сече-. ния, дающие 'для
радиуса кривизны максимум f и минимум: g, взаимно перпендикулярны,
Эйлер делает последнее упрощение: пусть при достижении максимума / будет q" = 0.
Тогда #=0 и радиу
...Поділитися у соцмережах
