Жанр: Наука
История и методология математики
...неограниченная арифметическая прогрессия, а0 и d
которой - простые, содержит неограниченно много простых чисел. Лежандр,
разделявший с Эйлером эту уверенность, тоже не дал доказательства. Доказать
гипотезу Эйлера удалось только в 1837 г. Дирихле.
Лишь в 1798 г., Лежандр отыскал эмпирическую формулу для функции я(я),
значения которой равны числу простых чисел
• • In x- 1,08866
Позднее Чебышев ((1848) установил, что я(х) при возрастании х
колеблется около отрезков ряда, асимптотически приближающего
С
=
J
In х
и дал близкие оценки амплитуды этих колебаний.
Для комплексной плоскости Риман заметил, что порядок разности л(х)-Li(x) зависит
от расположения так называемых нетривиальных нулей функции ?(s), действительные
части которых лежат между нулем: и единицей. Он высказал также'Гипотезу, что
все действительные части при этом лежат на прямой х = -.
Строгое доказательство для оценки значения п(х) в предельном случае
1{т_*М_=1
появилось лишь в 1896 г. Относительно же гипотезы Римана авторы настоящего
доказательства Адамар и Валле-Пуссен смогли найти только, что на прямой
х = 1, s = х + iy
нет нулей ?(s).
Весьма значительным является вклад математиков XVIII в. (по преимуществу Эйлера)
в аддитивную теорию чисел, где изучаются разложения больших целых чисел N на
слагаемые
взятые из некоторых числовых последовательностей {а#}..
Задачи аддитивной теории чисел (или, как ее тогда называли, partitio numerorum)
ведут свое происхождение, по-видимому, от задачи Фибоначчи о гирях: как
подобрать числа (веса гирь), ai, a2, аз, ..., чтобы всякое число могло быть
представлено как их
301
сумма. Лейбниц (1674) в связи с этой задачей отметил, что число 3 допускает три
разбиения, 4 - пять разбиений, 5 - семь, 6 - одиннадцать, а 7 - пятнадцать
разбиений.
Эйлер занимался проблемами partitio numerorum с 1741 г. Он исходил из двух
бесконечных произведений
\(l+akz) и
Разложим вслед за Эйлером эти произведения в ряд по степени г. Коэффициент при
гп первого степенного ряда есть сумма всех произведений по п в каждом из чисел
а& без повторений. Во втором ряду будут те же суммы, но с произвольными
повторениями а^
Для решения задачи о числе представлений целого числа N суммами k натуральных
чисел, одинаковых или различных, Эйлер рассматривал два произведения:
(*) = П 0 +***) = 2 А* (*)**;
где
Здесь ап,н - число представлений .числа k в виде суммы п раз(tm) личных
положительных слагаемых, a bntk - число представлений k в виде суммы п
произвольных положительных слагаемых без учета порядка сложения.
Далее Эйлер находил функциональные уравнения для f\(z) и fz(z) и с их помощью
определял функции Ап(х) и Вп"(х):
л ч ' (1 -х) ... (1 - л*)
Разлагая в степенной ряд функцию
Эйлер свел свою задачу к задаче отыскания числа решений уравнения
k=\
в целых неотрицательных числах х\9 ..., хп, которое равно Сп, N. Он построил для
этого таблицу чисел СП| я.
Далее, переходя к определению чисел Сп из
1 - ** ' 0 fc=l
или, что то же, к определению числа решений уравнения
в целых неотрицательных х\, ..., *п, он эмпирически нашел, что
оо оо
3fta- Я 3fl2-|-n,
* П ^ - *•) = 2
Опираясь на соотношения между произведениями и степенными рядами,, Эйлер доказал
много предложений о числе разнообразных. представлений целых чисел. Отметим
здесь два из них:
во-первых, тождество для суммы делителей чиСла п (/ -
знак суммы) • . .
-2)- f (/i-5)- (/i-7) +
во-вторых, теорему, что всякое целое число может быть единственным образом
представлено суммой степеней числа 2, что вытекает из
Метод Эйлера по существу явился методом производящих функций. После примерно
столетнего перерыва, с конца XIX в., этот метод стали широко применять как в
теории чисел, так и в других математических дисциплинах: комбинаторном анализе,
теории вероятностей и др. В теории чисел он был существенно усовершенствован И.
М. Виноградовым, а также Г. Харди и Дж. Литлвудом.
К аддитивным задачам теории чисел, поставленным в XVIII в., относится и задача
Варинга (1770): всякое натуральное число
представимо суммой /г-ных степеней натуральных чисел, причем число членов г
суммы зависит только от п. Варинг не дал ее доказательства. Как и в большинстве
задач теории чисел, успех и в этом случае достигался трудно. Так, Лагранж
доказал, что для п=2, г==4. Затем было установлено, что для п=3, г"^7, чтог"я.
Лишь в 1909 г. Гильберт дал первое общее доказательств^ Он yc-s тановил, что г
конечно для всех п, но не смог дать для г дос.та-1 точно хорошую оценку. Ё
1919 г. Харди и Литлвуд нашли, что! г^п.2п~19 а позднее, что r*^\(n-2)2n-l+5. В
1934 г. И. М. Виноградов при помощи созданного им нового метода
тригонометрических сумм существенно продвинул задачу Варинга, да" ьочти
исчерпывающую оценку r^3n(lrm+ll) для больших п. Этим же методом он доказал одну
из проблем Гольдбаха, что всякое достаточно большое нечетное число является
суммой трег простых I чисел. Две другие проблемы Гольдбаха: всякое четное чис чо
ость сумма двух простых и всякое нечетное число есть сумма простого ! и двух
квадратов - остаются нерешенными до настоящего времени.
В завершение нашего обзора аналитических методов теории чисел XVIII в. мы
упомянем исследования об арифметической природе чисел; В части, относящейся к
числам я и е, применение ап--парата цепных дробей, разработанного главным
образом Эйлером, шозволило . Ламберту в 1767 г. доказать иррациональное и" числа
" а также ет для т - рационального. _ Трансцендентное!! элих чисел была
установлена лишь в конце XIX в.: доказательство трансцендентности числа е дано в
1873 г. Ш. Эрмитом, а числл
'я - в 1832 г. Ф. Линдеманом,. К работам Эйлера относится постаI
' - новка проблемы об арифметической природе чисел типа а ' = Ь.
Эйлер во ."Введении в анализ бесконечно малых" (1748;
105) указывал, что
логарифм рационального числа при рациональном основании, если он не целый,
должен быть трансцендентным.
В частности, он утверждал, что в выражении а п ==Ь (где п не есть квадратное
число) а и & не могут быть одновременно рациональными. В более общем виде эту
проблему сформулировал Д. Гильберт как проблему об арифметической природе чисел
аь для а и b алгебраических. В 1929 - 1934 гг. А. О. Гельфонд полностью решил
эту задачу, доказав, что число вида аъ (где а - алгебраическое, отличное от нуля
и единицы, a b - алгебраическая иррациональность) является трансцендентным.
Теория чисел в XVIII в. по существу переросла в отдельную область математики. В
ней определились практически все главные проблемы и направления. В сочинениях
Эйлера, Лагранжа, Ле-жандра, Ламберта и других математиков были выработаны
многочисленные методы теории чисел, как элементарно-алгебраичес1
См. И. Г. Ламберт. Предварительные сведения для ищущих квадратуру и спрямление
круга. В сб.: "О квадратуре круга". М. - Л., ГТТИ, 1934, стр. 105-166.
кие, так и аналитические. Все эти исследования, естественно, нуждались в
систематизации, в приведении к логически" стройной структуре с единых позиций.
Эта работа в конце XVIII в. была начата' Лежандром, который опубликовал в 1797 -
1798 гг. "Опыт теории ^чисел", имея- - целью построить систему сведений о •
свойствах целых чисел. В дальнейших переизданиях он дополнял ее результатами
Гаусса, Абеля и других математиков XIX в. В двух томах этой книги содержится
огромный материал, накопленный в. теории чисел, что придает ей помимо
исторического практическое значение как весьма полезного справочника,,
Характер и направление исследований по теории чисел в течение
почти всего XIX в. были по существу определены работами
Гаусса. Свое основное сочинение^ этой^област]^ - ^А]Рифметиче,
сжие^с^
"г., когда" его
Автору" "был о всего 24 года, оно вышло в свет. Последующие теоретико-числовые
работы Гаусса появились в 1811 г. и в период
1828 - 1832 гг.; это свидетельствует о постоянном интересе Гаусса
к теории чисел. •
Открытия Гаусса в теории чисел огромны. Мы, к счастью, имеем возможность
отослать заинтересованного читателя к пре-1 красной статье Б. Н. Делоне "Работы
Гаусса по теории чисел" 19 ограничившись здесь краткими и предварительными
оценками.
Мы уже упоминали, что Гаусс много сил отдал изучению квадратичного закона
взаимности, дав ему восемь строгих доказательств. Изучая квадратичные формы, он
по существу создал арифметику квадратичных расширений. Эта часть его
исследований послужила исходным пунктом и образцом, для последующей разработки
арифметики алгебраических, расширений, вплоть до работ Д. Гильберта по теории
полей классов.
Гаусс открыл и доказал биквадратичный закон взаимности и построил' арифметику
."целых комплексных чисел. Аппарат теории сравнений, столь употребительный в
наши дни, обязан своим возникновением Гауссу. Для построения в XIX в. теории
алгебраических чисел эта группа открытий Гаусса послужила отправным пунктом и
образцом.
В своих исследованиях Гаусс ввел и изучил целый ряд групп: группу классов форм
одного дискриминанта, группу родов и др. На конкретных примерах он первый изучил
структуру абелевых групп. В частности, он показал, что абелева группа является
прямым произведением групп циклических, доказав тем самым основную теорему
теории абелевых групп.
Считается общепризнанным, что со времени работ Гаусса теория чисел развивается
уже как стройная теория2, задачи которой побуждают к развитию новых и тонких
методов анализа (в особенности теории функций комплексного переменного), алгебры
и
1 В сб.: "Карл Фридрих Гаусс". М., Изд-во АН СССР, 1956, стр. 11-12.
оо?м' А- О. Гельфонд и Ю. В. Линник. Чисел теория. БСЭ, т. 47,
СТр. GOO.
305'
даже геометрии. Определялись и основные направления теории чисел: а) разработка
специальных методов теории чисел, носящих иногда название элементарных; б)
аналитические методы, применяемые по преимуществу к задачам распределения; в)
диофантовы уравнения и диофантовы приближения.
Далее мы будем, иметь возможность возвращаться к вопросам -развития теории чисел
(например, в связи с рассмотрением фундаментальных-исследований П. Л. Чебышева).
При этом, однако, характер и размеры настоящей книги не позволят нам дать общий,
более или менее детальный, обзор теории чисел и ее взаимосвязей с другими
математическими науками.
6.7. РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И КОМБИНАТОРНОГО АНАЛИЗА
Обзор развития математики в XVIII в. был бы неполным, если бы мы опустили
теоретико-вероятностные работы и применяемый в них аппарат, По-видимому, теория
вероятностей в те времена не занимала еще заметного места среди других
дисциплин, Но будущие успехи математики (как и вообще науки), получая
необходимые предпосылки в наиболее .развитых ее областях, выкристаллизовываются,
выделяются чаще всего в областях новых,, еще количественно небольших и зачастую,
слабо развитых.
Теория вероятностей в XVIII в. расширила сферу своих приложений. Ее методы
проникли в статистику (в частности, в демографию), страховое дело, теорию ошибок
наблюдений, теорию стрельбы. Это расширение происходило в тесной связи с
обогащением математических методов и результатов теории вероятностей..
Наиболее ранним теоретическим результатом в этой области было, по-видимому,
доказательство Муаддом (1730) локальной предельной теоремы, оценивающей
асимптотичесюГверВятность
того, что в п независимых испытаниях, в каждом из которых р - вероятность
наступления искомого события, число этих наступлений \л не превзойдет np-\-t У
пр(\-/?). Муавр доказал эту теорему для р=-; он вывел также необходимую для
этого формулу Стирлинга:
s! = J/2ttS'S^r-s ?6s, где остаточный показатель 8S удовлетворяет условию
|9sl"lis~' 306
Позднее Лаплас обобщил эту теорему для любого р\ 0"/?"1. Появившаяся здесь
интегральная форма этой теоремы
/2л
ii связанное с этим понятие нормального распределения вероятностей сыграли в
дальнейшем большую роль. В частности, упомя- • нем принадлежащее Пуассону (1837)
распространение теорем Муавра - Лапласа на случай обобщения закона больших чисел
в формуле Бернулли для независимых испытаний, вероятность появления в которых
некоторого-события зависит от номера испытания. Пуассон получил при этом новый
вид распределения .вероятностей, известный ныне как закон Пуассона, и
использовал его в работах 'по теории стрельбыГ".......-**""-----*---~~~ ••
Проблема вычисления вероятностей, гипотез на основе определенных результатов
некоторых наблюдений в разных аспектах рассматривалась в работах Д. Бернулли"
Эйлера, Симпсона, Кон-дорсе и др. Важнейшим результатом здесь были формулы
Бейеса, опубликованные в 1764 г. Примыкающая к этому теория ошибок наблюдений
получила разработанный Лежандром, Лапласом и Гауссом метод наименьших квадратов.
***-^(tm)~~~~'*~~~~~а'"-
"""Помимо" угаэтнййг^йутп'фу пп теоретических результатов можно отметить
довольно большое число конкретных задач теоретико-вероятностного характера.
Среди них: задача контроля продукции, так называемая '"петербургская игра",
задача Бюффона о бросании иглы и др.
На рубеже XVIII и XIX вв. теоретико-вероятностные результаты были, сведены в
единую систему, построенную на четко определенных основных понятиях. Выделение
новой математической дисциплины - теории вероятностей - нашло яркое выражение в
ряде работ Лапласа, особенно в его классической "Аналитической теории
вероятностей" (1812 г., затем 1814, 1820 и 1866 гг.).
Аппарат теории вероятностей в то время, когда основным ее объектом были азартные
игры, состоял из арифметических приемов, почерпнутых в особенности из
комбинаторики. Вместе с обогащением методов теории вероятностей за счет
привлечения предельных рассмотрений и других средств математического анализа
.удельный вес комбинаторных приемов стал уменьшаться. Но комбинаторика
продолжала развиваться, так как ее содержание по существу не исчерпывалось
приложениями к теории вероятностей.
Можно считать, что комбинаторика как научная дисциплина ведет начало от работ
Лейбница и Я. Бернулли. Первый из них к 1666 г. дал первое систематическое
построение этой части математики в "Рассуждении о комбинаторном искусстве".
Позднее (около 1700 г.) Лейбниц усовершенствовал комбинаторную симво* лику с
помощью развитой системы индексов. Я. Бернулли в со307
чинении "Искусство предположения" (1713) построил комбинаторику как основной для
того времени аппарат решения теоретико-вероятностных задач. Здесь же он доказал
важный частный случай закона больших чисел, известный как теорема Бернулли. В
связи с изучением сумм вида V^w он открыл числа, называемые
числами Бернулли,
Однако решение многих конкретных задач комбинаторики длительное время не
сопровождалось усовершенствованием общей теории, вплоть до конца 70-х годов
XVIII в. В это время в Герма" нии сформировалась многочисленная математическая
школа, ос-нователем и руководителем которой был К. Ф. Гинденбург.
Прошло 40 - 50 лет, и комбинаторная школа, исчерпав возможности немногочисленных
оперативно-вычислительных методов и не преодолев противоречия между содержанием
задач и громоздким формально-символическим аппаратом, распалась.
Комбинаторные методы остались в арсенале ученых как средство решения задач в
различных областях математики. Новое развитие комбинаторный анализ начал
получать в сере/дине XX в. в связи с выяснившимися широкими возможностями
приложений.
НАЧАЛО ПЕРИОДА СОВРЕМЕННОЙ МАТЕМАТИКИ 7.1. О ХАРАКТЕРЕ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИКИ В
XIX ВЕКЕ
В истории математики XIX-в. знаменует начало нового периода, получившего
название периода современной математики, Понятие современной математики, равнокак
и выделение соответствующего периода ее развития, разумеется, несколько
неопределенно,, Оно, по-видимому, не может быть иным, так как развитие науки
постоянно меняет представления о современности ее главных теоретических идей и
практических достижений. Мы здесь условимся включать в период современной
математики отрезок времени, начало которого отмечено такими преобразованиями в
математике, которые послужили главной причиной приведения ее к современному
состоянию. По нашему мнению, историю математики XIX и начала XX в. следует
выделить в отдельный период, который можно назвать периодом математики нового
времени, в соответствии с общеисторической периодизацией.
Характерные особенности нового периода развития математики с большой
определенностью стали проявляться в самом начале XIX в. Мы имеем в виду работы
Абеля и Галуа о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах. Они выдвинули
на первое место в алгебре ряд весьма абстрактных общих понятий, среди которых
первое место принадлежало понятию группы. Создание и развитие теории Галуа и
теории групп сделалось одной из главных задач новой алгебры.
Открытие в 20 - 30-х годах XIX в. Лобачевским, а также Я. Больяи и Гауссом
основных фактов неевклидовой гиперболической геометрии, а в 60 - 70-х годах -
отыскание их интерпретаций вызвали в системе геометрических наук преобразования
поистине революционного характера. Значение их состояло не только в изменении
лица геометрии; оно вышло за пределы этой области математики, а зауем и за
пределы математики вообще.
Система дисциплин, составляющих математический анализ, подверглась в своих
основах глубокой перестройке на основе создаваемой теории пределов и теории
действительного числа. К концу XIX в. логические средства анализа пополнились
специфическими разновидностями гипотетико-условных .суждений, применяющих
аппарат особых неравенств (так называемый е, 6-аппарат). Это придало выводам и
приложениям анализа новый, более высокий уровень математической строгости.
Наряду с развитием аппарата классического математического
" анализа и его приложений из него выделились самостоятельные
матем'атические дисциплины. Прежде всего, это огромные области
дифференциальных уравнений, а также теорий функций действительного
и соответственно комплексного переменного.
Отмеченные выше явления не исчерпывают всей картины развития математики в XIX
столетии. Мы выбираем их в качестве примеров главных, определяющих линий этого
"развития. Прежде чем перейти к .более детальному их рассмотрению, отметим еще
три черты, имеющие общий для большинства математических наук характер.
Мы имеем в виду, во-пе^^ расширение содержания предмета математики. Оно
обусловлено тем, что во всех математических науках происходил процесс обобщения
основных понятий, замены одних понятий другими, более общими. Этот процесс
происходил как следствие возросших требований смежных наук, когда исследовать
огромное количество задач оказывалось возможным лишь с иных, более общих, точек
зрения. Большое количество задач возникало также внутри математики в результате
внутренних логических потребностей развития теории.
Среди исследований, возникших в результате запросов математической теории, было
в те времена особенно много таких, которые отражали усиление внимания к
обоснованию математики. Это - дгорая характерная- .^щьха^мазш^итм^^^^Ж в.
Попытки обоснования математики в целом или отдельных ее частей столь же
многочисленны, как и в прошлом, XVIII, столетии. Но они приняли теперь иное
направление. В них производился критический пересмотр исходных понятий
(определений) и утверждений (аксиом) ; делались попытки построения строгой
системы определений и доказательств; производился критический пересмотр
логических приемов математических доказательств.
Повышенное внимание к вопросам обоснования, изменившийся характер
соответствующих исследований, усиление требований
математической строгости имеют вполне реальные и определенные причины. Эти
причины по преимуществу коренятся в огромном объеме фактического материала и
большом количестве новых математических теорий. Помимо усложнения структуры
самой математики связи последней с практикой стали весьма сложными, во многом
опосредованными. Отдельные результаты и даже целые-области новой математики
получают конкретные применения не сразу, а. через годы и десятилетия. При таком
положении дел бесцельно ждать сигналов о корректности или некорректности теории
в виде обнаруженных ошибок. Поэтому наша наука,, обращаясь к практике как к
критерию истинности ее результатов вынуждена была учитывать и практику
логических, суждений., преломляя их в требования логической; строгости. Понятие,
математической, или логической, строгости в ходе "истории, как известно,.
меняется. Оно отображает накопленный опыт работы человеческого мышления в
области математики - опыт, который суммируется: в постепенно складывающиеся
требования к строгости. Устойчивый. стандарт математической строгости сложился
лишь к концу XIX в. Он опирался на теоретико-множественные концепции и на
арифметику натуральных чисел. Однако вскоре борьба воззрений вокруг этой
проблемы обострилась в связи с открытием: противоречий (антиномий) в
канторовской теории множеств.
^Третьей х"|!Ш^^ развития математики, в.
XIX в. является значительное расширение области приложений, в основном
обусловленное увеличением возможностей аппарата ма-тематического анализа. В
математическое естествознание вслед за механикой и оптикой вошли задачи
термодинамики и электромагнитных явлений. Резко возросли математические запросы
техники: баллистики, машиностроения и др.
Задача составления общих характеристик, столь трудная вообще, делается в
особенности трудной по мере приближения к современности. Поэтому, не умножая
далее соображений общего характера, перейдем к изложению истории развития
отдельных математических дисциплин, возвращаясь к общим соображениям тогда,
когда это будет необходимо. Поскольку раньше всего принципиальные изменения
проявились в алгебре, мы и перейдем сейчас к освещению истории этой науки, и
прежде всего истории алгебраических проблем на рубеже XVIII и XIX вв.
7.2. ВОЗНИКНОВЕНИЕ ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЙ СОВРЕМЕННОЙ АЛГЕБРЫ
Проблемы общей теории алгебраических уравнений. Современная алгебра -
чрезвычайно широкая и разветвленная область математики. Она объединяет большое
число самостоятельных научных дисциплин. Их общим предметом являются
алгебраические операции, представляющие собой далеко идущие абстракции операций
элементарной алгебры. Эти операции определяются в
К. Ф. Гаусс (1777-1855)
многообразных множествах. Последние выбираются для исследования преимущественно
из соображений их приложимости. При этом оказывается необходимым заботиться о
сохранении известной близости свойств определенных в них операций и свойств
•операций над числами. Так выделился класс алгебраических образований,
наибольшее значение среди которых приобрели поля, кольца, группы и структуры.
Алгебра взаимодействует с другими •областями математики, участвуя в образовании
новых, "пограничных" дисциплин (топологическая алгебра, теория групп и алгебр Ли
и т. п.).
Столь общие воззрения на природу и состав алгебры сложились по существу недавно,
лишь в XX в. Как было показано вы-ще, вплоть до XIX в. основной задачей алгебры
являлось решение алгебраических уравнений, понимаемое как нахождение корней
уравнения с помощью рациональных, операций и операции извлечения корня. В
поисках общей формулы математики перепробовали громадное количество методов и к
самому концу XVIII в. были вынуждены (фактически рассматривать поля и группы;
еще не вводя этих понятий явно.
На '.рубеже XVIII и XIX вв. в алгебре были сделаны откры-тия необычайной
важности. Они сопровождались введением в эту науку ряда новых понятий (в первую
очередь понятия группы),, которые легли в основу современной алгебры. Эти
открытия повели к преобразованию всей алгебры в течение XIX в. Мы имеем здесь в
виду результаты К. Ф Гаусса, Н. Г. Абеля и Э. Галуа, относящиеся к
доказательству основной теоремы алгебры, доказательству неразрешимости в
радикалах уравнений степени п^Ь-и созданию теории Галуа. Рассмотрим подробнее
эти результаты.
Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) сделал свои первые открытия в алгебре еще совсем
молодым человеком во время обучения-: в Геттингенском университете (1795-1798).
В марте 1796 г., занимаясь задачей отыскания корней уравнения
хп _ 1 =,_- о,
он обнаружил связь между этой задачей и делением окружности: на равные части,
доказав, что правильный 17-угольник можно вписать в круг с помощью циркуля и
линейки. Соответствующий алгебраический факт, что уравнение х17--1=0 разрешимо в
квадратных радикалах, Гаусс обобщил вскоре, найдя критерий возможности такой
разрешимости (уравнение разрешимо для простого п вида /г=22* + 1) и дав его
геометрическую интерпретацию.
При доказательстве этой группы предложений Гаусс развил' методы, послужившие
одной из исходных точек при создании теории Галуа, по собственному признанию ее
автора. Так, например,, Гаусс явно высказал, что цель его исследований полинома
4-
X + 1
состоит в том, чтобы последовательно разлагать полином на множители вплоть до
линейных, обнажая при этом структуру уравнения.
Гаусс установил, что уравнение Х=0 степени т=п- 1, где п - простое, неприводимо
в поле рациональных чисел и нормально над ним, т. е. все его корни рационально
выражаются через: один из них. Оказалось, что эти корни имеют вид а, аР, (аР)Р,
,..,. т. е. что группа автоморфизмов этого уравнения циклическая. Оставался лишь
один шаг для того, чтобы обнаружить, что любая подгруппа циклической группы
является ее нормальным делите313
лем. Этот шаг сделал Галуа, учитывавший также указание Ла-гранжа, что
подстановки корней уравнений указывают путь к построению их общей теории.
Через три года, в 1799 г., Гаусс получил в Гельмстедте степень доктора за
диссертацию, посвященную доказательству основной теоремы алгебры. Спустя много
лет он вернулся к этой теореме и дал (в .1815, 1816 и 1849 гг.) три новых
доказа
...Поділитися у соцмережах
