Жанр: Наука
История и методология математики
...едовательностей
совпадают. Тогда, если %"f%f то a:b"c:d9 если k - нечетно, и a\b"c:d, если k -
четно; если же я& "i/'%, то а: 6"с : d в случае четности k и а : b~"c : d в
случае его нечетности.
Однако попытка ввести операции над отношениями, определенными таким образом,
сразу натолкнулась на серьезные математические трудности. Например, чтобы ввести
умножение отношений, надо было найти способ определения неполных частных
непрерывной дроби - произведения через неполные частные непрерывных дробейсомножителей.
Для этого и в наше время не существует никакой сколько-нибудь
элементарной формулы. Наконец, в то время не существовало еще общего понятия
величины. В силу этих обстоятельств алгоритм Евклида не сделался основой теории
отношений.
Следующая концепция античной общей теории отношений связана с именем Евдокса
(ок. 408 г. - ок. 355 г. до н. э.). Ему же приписывается создание теории
пропорций. В теории отношений Евдокса:
а) произведено обобщение нонятия величины посредством подчинения его
системе пяти аксиом: 1. Если а = Ь и с = Ь9 то а = е; а если а = с9 то 2. a + b
= c + b. 3. а-Ь = с-Ь. 4. Совмещающиеся равны. 5. Целое больше части;
б) введена аксиома однородности: а и b могут иметь отношение, если они, взятые
кратно, могут превзойти друг друга, т,...е. для любых конечных а и и существуют
mji^n .такие, что па"Ь и тЬ"а. Эта аксиома была введена для того, чтобы
исключить так называемые неархимедсвы величины, например роговидные углы.
57
Отношения .введены в теорию Евдокса через определение их равенства. Именно,
равенство двух отношений a:b = c:d считается
установленным, если из трех условий та- пЪ соответственно
вытекают три следствия mc^nd для любой пары натуральных
чисел т и /г. Существует предположение, что подобное определение возникло как
абстракция процедуры измерения и сравнения отрезков посредством их рациональных
приближении,, Это подтверждается в отношениях порядка между отношениями в теории
Евдокса. Именно a:b"c:d, если существует пара натуральных чисел т и п такая, что
та"пЬ и mc^nd.' Отсюда следует, что
* - т " 1 с : а "^ - " а : о, т. .е. что между двумя неравными
отношениями
можно вставить рациональное число. Можно полагать, что современная идея:
рациональных приближений действительных чисел произошла из теории отношений
Евдокса. .
В этой, теории введена только одна операция составления отношений,
соответствующая операции умножения действительных чисел. Если существуют два
отношения а : b и Ь : с, то из них можно составить отношение а : с. Это
отношение называется двойным.
Возможно составление и более сложных отношений, например-тройного. В случае,
если надо составить отношения а : b и с : d, необходимо преобразовать одно из
них, например второе, предварительно отыскав четвертую пропорциональную:
c:d'==b:x.
Введение только одной операции объясняется тем, что теория Евдокса применялась
лишь в учении о подобии, где служила ое-новой теории пропорций, и при
определении площадей и объемов.
Мы уже упоминали о некоторых аналогиях между античной теорией отношений и
современными теориями действительного' числа. Наибольшее основание для подобных
аналогий дает теория сечений Дедекинда. В самом деле, каждая пара архимедовых
величин, а и 6, участвующих в отношении а : 6, по теории Евдокса, производит
разбиение пар целых чисел m, n на классы. Те пары,. для которых справедливо
tna"nb, могут быть включены в один класс, те же, для которых справедливо
обратное: гаа"/гй, - в другой класс. Пару т, /г, осуществляющую т0а = ПоЬ, можно
отнести в один из предыдущих классов. Сам Дедекинд не отрицал возможности
подобной аналогии, указывая лишь на то, что в теории Евдокса не учтен фактор
непрерывности.
Однако различия между теорией отношений Евдокса и теорией сечений Дедекинда этим
замечанием не исчерпываются. Дело в том, что первая из них осуществляет
разбиение пар целых чисел на классы, но не доказывает обратного. Именно, не
доказывается, что любому такому разбиению соответствует некоторая пара
архимедовых величин, определяющих это разбиение. Кроме того, не определяются
условия, которым должны удовлетворять множества пар целых чисел, чтобы быть
классами разбиения, т. е. не быть
пустыми, не пересекаться и обладать свойством односторонности любого элемента
одного множества по отношению к любому элементу другого множества.
Наконец, у Дедекинда предварительно определены все четыре действия арифметики,
тогда как у Евдокса- введена только одна операция, а множество пар целых чисел,
осталось неупорядоченным. Иначе говоря, вещественные числа Дедекинда образуют
поле, тогда как. отношения Евдокса образуют группу.
Дальнейшее развитие античной теории отношений пошло по пути
трактования'отношений "как обобщенных чисел и отождествления их с дробями. Так
поступали Архит, Архимед, Герои и многие другие ученые. В этом сказалось влияние
практики, требовавшей развития вычислительно-алгоритмических методов и
распространения их на все более широкие классы чисел.
Мы остановились на этом примере для того, чтобы показать, что математические
теории античности имеют зачастую много общего с современными математическими
теориями. Однако надо всегда, уметь выделять специфику их исторического
развития, чтобы не впадать в одну из двух ошибок: отождествления прошлого с
настоящим или нигилистического отрыв,а настоящего от прошлого, того отрыва,
который делает исследователя слепым перед будущим.
3.2. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИКИ В ЭПОХУ
ЭЛЛИНИЗМА
Первые математические теории, абстрагированные из конкретных задач или из
совокупностей однотипных задач, создали необходимые и достаточные предпосылки
для осознания самостоятельное(tm) и своеобразия математики. Это в свою очередь
возбудило у античных математиков стремление систематизировать факты математики и
логически последовательно изложить ее основы. Подобная работа - необходимый
закономерный акт любой науки, служащий отправным пунктом для ее дальнейшего
развития. В античной математике процесс систематизации и обобщения дал
значительные результаты к IV в. до н. э. Этот процесс по существу являлся частью
аналогичного процесса, происходившего во всей системе естественнонаучных знаний
и нашедшего яркое выражение в философских взглядах Аристотеля (384-322 гг. до н.
э.). Огромное влияние на математику того времени оказали и успехи логики.
Сложившиеся основные формы мышления уже были систематизированы и исследованы,
были выдвинуты принципы построения дедуктивной науки. Последняя стала
рассматриваться как логическая усложняющаяся система, покоящаяся на первых
началах- аксиомах.
Абстрактность предмета математики и установившиеся приемы математического
доказательства были основными причинами того, что математика стала излагаться
как дедуктивная наука,
представляющая логическую последовательность теорем и задач на построение и
использующая минимум исходных положений. Геометрическая форма системы математики
в античной Греции, как мы уже указывали, ведет свое происхождение в основном от
установления факта большей полноты множества отрезков по сравнению с множеством
рациональных чисел. Сочинения, в которых в то время излагались первые системы
математики, назывались "Началами".
Первые "Начала", о которых дошли до нас сведения, были написаны
Гиппократ6м~^иосским. Встречаются упоминания и о "Началах", принадлежащих другим
авторам. Однако все эти сочинения забыты и утеряны практически с тех пор, как
появились "Начала" Евклида, Последние получили всеобщее признание как система
математических знаний, логическая, строгость которой оставалась непревзойденной
в течение свыше двадцати веков. Все это время люди изучали геометрию по Евклиду.
Его "Начала" до сих пор лежат в основе, всех систематических школьных курсов
геометрии., Научные исследования по математике, в особенности элементарной, в
очень большой степени опираются на систему Евклида,'иногда подражая даже форме
его изложения.,
Об авторе "Начал" Евклиде сохранилось очень мало сведений. Известно, что он жил
около ЗЛО г. _до,,н" э, в Александрии, входившей в то время в состав египетского
царства, '"Последнее образовалось в результате распада мировой державы
Александра Македонского. Выгодное положение Александрии как торгового центра и
центра технических усовершенствований побудило правителей Египта Птолемеев к
организации научно-учебного центра - Музейона (что означает прибежище муз). В
Музейоне было собрано свыше 500 тысяч рукописей научного характере. Научную
работу в Музейоне. на условиях государственного обеспечения постоянно или
временно вели почти все крупнейшие ученые эллинистической эпохи, в том числе
Евклид, Архимед, Аполлоний, Эратосфен и др. Благоприятное влияние Музейона на
развитие науки сохранялось около 700 лет; оно стало падать в начале нашей эры в
результате завоевательных войн римлян, а затем прекратилось, когда под влиянием
реакционного христианства "языческие" ученые были изгнаны или убиты, а сам
Музейон разорен.
При написании "Начал" Евклид, по-видимому, не руководствовался целью составить
энциклопедию математических знаний своего времени. Он, вероятно, стремился
изложить только основы математики в виде логически совершенной математической
теории, исходящей из минимума исходных положений. В этом смысле "Начала"
являются ранним предшественником современного способа аксиоматического
построения математических наук.
"Начала" состоят из тринадцати книг, каждая из которых состоит из
последовательности теорем. Иногда к этим книгам добавляют книги 14 и 15,
принадлежащие другим авторам и близ60
кие по содержанию к последним книгам Евклида. Первой книге предпосланы
определения, аксиомы и постулаты. Определения имеются и в некоторых других
книгах (2-7, 10, 11). Аксиом и постулатов в других книгах "Начал" нет.
Определения - это предложения, с помощью которых автор вводит математические
понятия, поясняя -их. Например, "точка есть то, что не имеет частей", "куб есть
телесная фигура, заключающаяся между шестью равными квадратами", и т. п. Эти
предложения Евклида в ходе истории много раз подвергались критике, с: точки
зрения их полноты и логической определенности.' Однако равноценной или более
совершенной системы определений предложено не было,, Дело свелось к тому, что в
наше время, при аксиоматическом построении математической теории единственным
способом описания объектов этой теории и их свойств является. сама система
аксиом, а объекты вводятся как первичные неразъясняемые сущности. Что же
касается определений. Евклида, то их следует рассматривать как исторически
сложившиеся к его времени абстракции реальных вещей, введение которых в
математику освящено традицией. Это - не такой уж. редкий, если не сказать
наиболее часто встречающийся в истории, способ введения математических
определений.
Аксиомы, или общие понятия, у Евклида - это предложения,. вводящие отношения
равенства или неравенства величин. Аксиом в "Началах" пять:
1. Равные одному и тому же, равны и между собой;
.2. Если к равным, прибавляются равные, то и целые будут равны;
3. Если от равных отнять равные, то и остатки будут равны;
4. Совмещающиеся друг с другом равны между собой;
5. Целое больше части.
В число исходных положений "Начал" входят постулаты, т. е" утверждения о
возможности геометрических, построений. С их помощью Евклид обосновывает все
геометрические построения и/ алгоритмические операции. Постулатов тоже пять:
1. Через две точки можно провести прямую;
2.. Отрезок прямой можно продолжить неограниченно;
S. Из всякого центра любым расстоянием можно описать окружность;
4. Все прямые углы равны между собой;
5. Если две прямые, лежащие в одной плоскости, пересечены третьей и если сумма
внутренних односторонних углов меньше двух прямых, то прямые пересекутся с
той стороны, где это имеет место.
В различ-ных изданиях "Начал", а ранее того переписчиками и комментаторами,
система аксиом и постулатов Евклида видоизменялась и дополнялась, причем чаще
всего неудачно. Разумеется, критика постепенно вскрывала логические пробелы
системы исходных положений Евклида: логическую перегруженность определе61
ний, необеспеченность возможности наложения фигур, отсутствие критериев
пересечений окружностей и прямых (теорем существования) и другие более мелкие
недостатки.
Однако первые реальные успехи в создании системы аксиом геометрии, более
соответствующей возрастающим требованиям математической строгости, были
достигнуты только к концу XIX в. в работах Паша (1882), Пеано (1889) и Пиери
(1899). Наиболее распространенная в настоящее время и общепризнанная система
аксиом Д. Гильберта в первой редакции появилась в 1899 г. в сочинении "Основания
геометрии". Позднее Гильберт внес в свою систему немало дополнений и
усовершенствований. В наше время она состоит из следующих пяти групп аксиом:
а) восемь аксиом соединения или принадлежности;
б) четыре аксиомы порядка;
s
в) пять аксиом конгруэнтности или движения; J?
г) аксиома параллельности;
д) две аксиомы непрерывности: Архимеда и линейной полноты.
Эти пять групп аксиом вводят основные объекты геометрии: точку, прямую и
плоскость, и отношения между объектами, выражаемыми словами: принадлежит, между
и конгруэнтен. Определений и постулатов система современных основных положений
не имеет.
Широко пользуясь идеей изоморфизма, аксиоматическая геометрия отвлекается от
качественных особенностей изучаемых -объектов и исследует лишь возможные виды
логических связей между ними. При этом словами точка, прямая, плоскость могут
быть названы объекты, не только непохожие на то, что они обозначали в течение
всей истории, но и объекты совсем негеометрической, казалось бы, природы.
"Начала" Евклида далеки от такой постановки задач геометрии,, В них
рассматриваются более низкие, первые, ступени абстракции пространственных и
количественных свойств предметов материального мира.
Перейдем к обзору содержания евклидовых "Начал". Первые шесть книг -
планиметрические, из них книги 1-4 содержат ту часть планиметрии, которая не
требует применения теории пропорций. Первая книга вводит основные построения,
действия над отрезками и углами, свойства треугольников, прямоугольников и
параллелограммов, сравнение площадей этих фигур. Завершают первую книгу теорема
Пифагора и обратная ей теорема.
Некоторые характерные особенности метода математического суждения и формы
изложения Евклида видны уже из первой книги:
а) Метод рассуждений Евклида всегда синтетический. Для доказательства какой-либо
теоремы он исходит из заведомо справедливого утверждения, в конечном счете
опирающегося на систему основных положений. Из этого последнего он развивает
последовательность следствий, приводящих к искомому утверждению. Обратный путь
рассуждений: приняв искомую теорему за доказан62
ную, вывести из нее последовательность следствий, вплоть до тогоу как будет
получено заведомо верное утверждение - в "Началах" в качестве доказательств не
употребляется. В противоположность синтезу древние называли этот метод анализом.
б) Доказательства строятся по единой схеме, состоящей из следующих
частей: формулировка задачи, или теоремы (ярбта-0ig - предложение);
введение чертежа для формулировки данных задачи (ewfreaig - изложение);
формулировка, по чертежу иско-* мого (6iopia(i6g - определение); введение
вспомогательных линий
'"^1 - построение); доказательство в собственном смысле. - доказательство);
объявление того, что /доказано и что доказанное решает задачу или адекватно
поставленной теореме (0v|XJi&paaiia - заключение). В несколько упрощенной форме
эта схема стала традиционной и дошла до наших дней как классический образец
математического рассуждения, в известном, смысле обязательный для математиков.
в) Средства геометрического построения -• циркуль и линейка - принципиально не
употребляются как средства измерения. Линейка не имеет мерных делений. Поэтому
в "Началах" не идет речь об измерении длин отрезков, площадей фигур и объемов
тел, а лишь об их отношениях.
Во второй книге рассматриваются соотношения между площадями прямоугольников и
квадратов, подобранные таким образомг что они образуют геометрический аппарат
для интерпретации алгебраических тождеств и для. решения задач,, сводящихся к
квадратным уравнениям, т. е. геометрическая: алгебра. Третья книга трактует
свойства круга и окружности, хорд и касательных,, центральных и вписанных углов.
Четвертая, книга посвящена свойствам: правильных многоугольников: вписанных и
описанных, а также, построению правильных. 3~, 4-, 5-, 6- и 15-угольников.
В пятой книге "Начал" развивается общая теория отношений величин, являющаяся
прообразом теории действительного числа & форме, соответствующей дедекиндовым
сечениям. Мы уже упоминали об этой теории как о теории Евдокса, введенной в
античную математику в качестве общей теории, равно пригодной как для чисел, так
и для отрезков прямой. В пятой кйиге "Начал" после введения отношений, их
равенств и неравенств доказываются другие элементарные свойства, вроде: если - =
-, то - = а ~^ с-,.
Ь d b b 4- d
та тс _
-а также — = — и т. д. В последующих предложениях развило па
вается теория пропорций, в том числе производных (т. е. образованных допустимыми
перестановками и другими преобразованиями членов пропорции) и сложных (т. е.
образованных из
нескольких данных пропорций, например: если - = - и - =
ead \
= -г-, то - = - и т. п. V ici )
Геометрические приложения теории отношений включены в шестую книгу. В ней,
например, доказаны теоремы об отношении площадей прямоугольников и
параллелограммов, имеющих общую высоту, о пропорциональности отрезков,
отсекаемых на сторонах угла парой параллельных прямых, о- подобии фигур и
отношении площадей- подобных фигур № т. п. Здесь же находится группа теорем об
эллиптическом и гиперболическом приложении площадей, 'Обобщенном на
параллелограммы. Она дает метод геометрического решения задач, которые можно
привести к уравнениям, вида
-ах ± - #2 = S (где а, &, с - данные отрезки, S - данная пло-с
щадь, х - неизвестный отрезок), и представляет собой известное •обобщение
результатов геометрической алгебры. .
Следующая группа книг (книги 7-9) содержит некоторый эквивалент теории
рациональных чисел. Казалось бы, в этих книгах следовало излагать систему
пространственных представлений - стереометрию. Однако непоследовательность
только кажущаяся,,, Дело в том, что в конце "Начал" Евклид исследует •правильные
многогранники и определяет отношения' их ребер к диаметру описанного шара. Эти
отношения выражаются, как известно, квадратичными и биквадратичными
иррациональностями. Поэтому Евклиду пришлось предварительно рассмотреть
построение и классификацию подобных иррациональностей. Чтобы выполнить эту
задачу, он опирался на ряд предложений из теории рациональных чисел (соизмеримых
отрезков). Рациональные числа в свою очередь, Евклид представляет как отношения
целых чисел; последние он понимает как собрание единиц. Поэтому так называемые
арифметические книги "Нач,ал" (книга. 7-9) содержат учение о целых числах и их
отношениях, взятое в.основном из пифагорейской математики. Сохранение
принципиально различного смысла понятий числа и общей величины послужило
причиной повторения в арифметических книгах многих фактов теории чисел, уже
полученных в пятой книге "Начал".
Первая из арифметических книг - седьмая - начинается с изложения алгоритма
попеременного вычитания. Затем следует ряд предложений теории делимости.
Наконец, книга содержит теорию пропорций для рациональных чисел. Последняя
продолжается в восьмой книге, где рассматриваются непрерывные числовые
, а о fli
ап-2 ап- l \
пропорции (т. е. пропорции вида - = — = ... =----=----),
^ *1
"2 V-1 "*я )
и заканчивается в девятой книге. В этой теории по существу вводятся
геометрические целочисленные прогрессии, показывается, что отношение членов
непрерывной пропорции является древней формой степеней чисел, находится среднее
пропорциональное, дается способ отыскания суммы геометрической прогрессии.
Значительную часть девятой книги составляет учение о простых числах, причем
доказывается, что простых чисел бесконечно
много. Доказательство проводится тем же способом, что и сейчас: предположение
конечности числа простых чисел опровергается построением еще одного числа, на
единицу превышающего произведение всех простых чисел. В ряде теорем
рассматриваются свойства четности и нечетности чисел. Книга заканчивается замея
чательной теоремой, что если число 5 вида У* 2fe является просв=о
тым, то число S\=S'2n - совершенное (совершенным называется число, равное сумме
своих делителей, включая единицу и'исключая самого себя). Вопрос о том,
исчерпывают ли числа данного вида все множество совершенных чисел, остается
нерешенным и в наше время.
Десятая книга "Начал" интересна в первую очередь громоздкой и сложной
классификацией всех 25 возможных, видов_биквад-.
ратичных иррацйональностей (т. е. выражений вида У У а ±у~Ь, где а и Ъ -
соизмеримые отрезки), воспроизводить которую здесь мы. не считаем,
целесообразным" В десятой книге/ в качестве, лемм выведены различные, сами по
себе важные, предложения. Прежде всего, это основная лемма метода исчерпывания о
том, что если от данной величины отнять часть, большую ее половины, с остатком
повторить то же и т. д., то при достаточно большом числе шагов можно получить
величину, меньшую любой заданной. Кроме того, в десятой книге даны: способ
нахождения неограниченного числа "пифагоровых троек" целых чисел, критерий
соизмеримости двух величин, основанный на алгоритме попеременного вычитания,
отыскание общей наибольшей меры двух и трех рациональных чисел (соизмеримых
величин) и др.
Последние три книги (11 -13) "Начал" -.стереометрические. Первая из них
открывается большим числом определений, что вполне естественно, так как в
предыдущих книгах вопросы стереометрии не рассматривались. Затем следует ряд
теорем о взаимных расположениях прямых и плоскостей в пространстве и теоремы о
многогранных углах. Последнюю треть книги составляет рассмотрение отношений
объемов параллелепипедов и призм.
Исследование объемов других элементарных тел (пирамид, цилиндров, конусов и
шаров) требует обязательного выполнения предельного по существу перехода. В
двенадцатой книге "Начал" отношения объемов всех этих тел найдены с помощью
метода, получившего впоследствии (в XVII в.) название метода исчерпывания. Идея
этого метода, представляющего своеобразную античную форму метода пределов,
состоит в следующем: Евклид устанавливает, что подобные правильные
многоугольники, вписанные в круги, относятся как квадраты диаметров. Затем круги
"исчерпываются" последовательностями правильных вписанных 2п-угольников (п = 2,
3, 4, ...). Отношения последних при увеличении числа сторон остаются
неизменными. После неявного перехода к пределу дока3
К- А. Рыбников
зывается методом от противного, что и площади кругов относятся как квадраты их
диаметров. Аналогичные суждения предельного характера проводятся во всех случаях
отыскания отношений упомянутых выше тел. Более подробно этот метод будет
охарактеризован ниже.
Последняя, тринадцатая книга "Начал" содержит построение пяти правильных
многогранников: тетраэдра (4-гранника), гексаэдра (6-гранника), октаэдра (8гранника),
додекаэдра (12-гран-ника), икосаэдра (20-гранника); там же находятся
отношения объемов шаров. В заключение доказывается, что других'правильных
многогранников не существует.
Обзор содержания "Начал" показывает,, что это сочинение представляет собой
систему основ античной математики.'В нее входят: элементарная геометрия, основы
теории рациональных. чисел, общая теория отношений величин и опирающиеся на нее
теория пропорций и теория квадратичных и биквадратичных ирра-циональностей,
элементы алгебры в геометрической форме и метод исчерпывания, Самое характерное
в "Началах" то, что дана система, позволяющая видеть в них античного
предшественника современного аксиоматического построения математических теорий,
В то же время логическая структура "Начал" отражает исторический путь
формирования математических теорий от простейших, типа геометрической алгебры,
до более сложных: теории отношений, метода исчерпывания, классификации
иррациональностей.
Мы уже упоминали, что "Начала" Евклида оставили неизгладимый след в истории
математики и в течение многих веков служили классическим образцом математической
строгости и последовательности. Однако некоторые особенности "Начал" отражают
ряд неблагоприятных для дальнейшего развития математики условий, сложившихся ко
времени их написания.. Изложение - геометрическое, даже числа представлены как
отрезки. Средства геометрического построения по существу ограничены только
циркулем и линейкой. Поэтому в "Началах" нет теории конических сечений,
алгебраических и трансцендентных кривых. Наконец, в "Началах" совершенно
отсутствуют вычислительные методы.
Все эти недостатки "Начал" можно было бы до известной степени оправдать
специфическими целями составителя. Однако в условиях античности этот первый опыт
аксиоматического изложения математики мог иметь столь резко выраженные
ограничительные тенденции только под влиянием общих ограничительных тенденций
идеалистической философии. Поэтому можно сказать, что "Начала" Евклида отражают
как высокий уровень теоретического развития математики, так и неблагоприятную
для ее дальнейшего развития общественно-экономическую и идеологическую
обстановку конца Греческой античности.
В течение всей многовековой истории математики "Начала" явля
...Поділитися у соцмережах
