Жанр: Наука
История и методология математики
...вляются записи Кирика,
новгородского дьякона, датируемые точно 1134 г. Примерами таких задач, собранных
из разных рукописей, являются:
а) вычисление, сколько месяцев, недель, дней и часов протекло от
сотворения мира (по православным верованиям, к 1134 г. истекло 6642 года);
б) задачи на вычисление прогрессий, образуемых с помощью соображений о
прогрессирующем приплоде стад;
в) вычисление размеров Земли, Солнца и Луны по данным измерений Эратосфена
(III в. до н. э.) и связанное с этим приближенное вычисление числа я=3,125;
г) трудная теоретико-числовая задача о вычислении дат религиозного праздника
пасхи. Последний наступает, как известно,, в первое воскресенье после весеннего
полнолуния. Весенним считается полнолуние между 21 марта и 18 апреля. Задача
состоит в сравнении периодических шкал солнечных лет, лунных месяцев,
ИЗ
с учетом Метонова цикла (19 солнечных лет=235 лунным месяцам), семидневных
периодов недели, периодов обращения Земли и Луны вокруг Солнца. Получается
сложная периодичность дат праздника и связанных с ним постов длительностью в 532
года (великий индиктион). Мы ее здесь освещать не будем; отошлем интересующихся
к обстоятельному сочинению Л. В. Черепнина "Русская хронология" (М., изд.
Историко-архивного института, Д944).
Общий со всеми государствами ход развития науки и культуры на Руси был
насильственно прерван в первой половине XIII в. из-за нашествия монголов (Батый1240)
и крестоносцев (1242- битва на Чудском озере). Русский народ истекал
кровью, но отстоял свою государственную и национальную самостоятельность. Битва
на Куликовом поле в 1380 г. была началом конца татаро-монгольского ига; оно
окончательно было свергнуто к 1430 г, Однако нападения иностранных интервентов и
болезненный процесс ..ломки феодального- уклада и становления многонационального
-государства в период с XVI до XVIII в., т. е. до 'Времени царствования Петра.
I, еще сильно задерживали рост хозяйства, культуры и науки. Определилось
длительное отставание России от европейских стран и в области математики.
В конце средних веков (XV-XVI вв.) в странах Западной Европы математика и
естествознание вообще развивались в обстановке бурных изменений, связанных в
своей экономической основе с начавшимся разложением феодального общества и
установлением буржуазно-капиталистических отношений. Изменения происходили в
промышленности, где возникали мануфактуры с характерным для них разделением
труда и введением машин и технических усовершенствований. Невиданное ранее
развитие стали получать торговые связи и мореплавание, сопровождаемые великими
географическими открытиями. В политическом отношении основные изменения состояли
в том, что мощь и влияние феодального дворянства были сломлены под напором
королевской власти при поддержке горожан и образованы крупные, по существу
национальные, монархии. Наконец, расцвет культуры и искусства в Италии, Франции
и других странах, изобретение книгопечатания (середина XV в.) определили
совершенно новый уровень умственных запросов и занятий все распространяющегося
круга людей.
"И исследование природы совершалось тогда в обстановке всеобщей революции,
будучи само насквозь революционно: ведь оно должно было еще завоевать себе право
на существование",- замечал Ф. Энгельс1. В это же время определились серьезные
успехи в математике и астрономии, позднее в механике.
Как мы показали выше, важнейшие достижения математиков средневековой Европы
относились к области алгебры, к усовершенствованию ее аппарата и символики.
Региомонтан обога1
К. Маркс и Ф. Энгельс. Собр. соч., т. 20, стр. 347.
114 С
тил при этом понятие числа, введя радикалы и операции над ними. Это позволяло
ставить проблему решения возможно более широкого класса уравнений в радикалах. И
в этой именно области были достигнуты первые успехи - решены в радикалах
уравнения 3-й и 4-й степени.
Ход событий, связанных с этим открытием, освещается в ли-' тературе разноречиво.
В основном он был таков: профессор (с 1496 по 1528 г.) университета' в Болонье
((Италия)- Сципион дель Ферро нашел формулу для нахождения положительного корня
конкретных уравнений вида x?+px=q (p"0, "7"0). Он держал ее втайне, приберегая
как оружие против своих противников в научных диспутах. К концу своих дней он
сообщил эту тайну своему родственнику и преемнику по должности Аннибалу делла
Наве и своему ученику Фиоре.
В начале 1.535 г. должен был состояться научный поединок Фиоре с Николо Тарталья
(1500-1557). Последний был талантливым ученым, выходцем из бедной семьи,
зарабатывавшим себе на жизнь преподаванием математики и механики в городах
Северной Италии. Узнав, что Фиоре владеет формулой Ферро и го" тови'т своему
противнику задачи .'на решение кубических .уравнений, Тарталья сумел заново
открыть -эту (формулу, что обеспечила ему победу в диспуте, состоявшемся 12
февраля 1535 г.
Метод Тартальи, как" по-видимому, и метод Ферро, состоял в подборе подходящей
формы алгебраической иррациональности для выражения корня уравнений указанного
выше вида: ifl-\-px=q (р", "/"0). Предположив, что х= i/u - \/v, подставив это
выражение в уравнение и положив р = 3$/Ш7, он получил систему*
uv
27
Интерпретируя и и; v как корни квадратного уравнения, талья нашел
Вскоре Тарталья смог решать уравнения вида x*=px+q (р"0, "7"0) подстановкой х =
YU\+ \/ v. Наконец, он сообщил, что уравнения вида x*+q=px сводятся к
предыдущему виду, но не дал способа сведения. Тарталья долго не публиковал
своего результата по двум причинам: во-первых, та же причина, которая
останавливала и Ферро; во-вторых, невозможность справиться с неприводимым
случаем. Последний состоит в том, что есть урав115
яения x*=px-}-q, которые имеют действительный положительный корень независимо от
того, имеет место неравенство (-) " \~)
или нет. Однако формула Тартальи не давала решения во втором
•случае, так как не было возможности правильно трактовать мнимые числа,
получающиеся "при этом. Неприводимый случай появлялся у Тартальи и в уравнениях
вида x?-\-q=px.
Однако труд Тартальи не пропал даром" Значительные результаты математики, когда
созревают необходимые и достаточные условия для их появления, начинают буквально
"носиться в воздухе" и служить предметом занятий. мнЪгих ученых. С 1539 г.
кубическими уравнениями начинает заниматься Кардано (1501- 1576). Человек
странной и бурной судьбы, наполненной противо-• речивыми и нередко трудно
объяснимыми поступками, богатый, •образованный и талантливый, он страстно любил
научные занятия. Философия и математика, медицина и астрология являлись
предметом: необузданных увлечений . Кардано. Услышав об открытии Тартальи, он
приложил много усилий, чтобы выманить тайну у осторожного и недоверчивого
Тартальи- и украсить этим результатом задуманную книгу i"Ars niagna...", т. е.
"Великое искусство, или о правилах алгебры". В "конце концов это удалось;
.затем- Кардано собственными усилиями устранил неполноту сообщенных сведений, и
книга появилась в 1.545 г.
Это большое сочинение (40 глав) содержит не только правила алгебраических
операций и приемы нахождения уравнений первых трех степеней, но и элементы общей
теории алгебраических уравнений. Так, Кардано ввел- регулярный способ сведения
полного кубического уравнения ax*-{-bx2-\-cx-\-d=Q к виду, в котором отсутствует
член с квадратом неизвестного, с помощью подстановки x=x\+h и распространил его
на уравнения 4-й степени. В "Ars magna..." высказано- много теорем о'
взаимозависимости корней и коэффициентов: о положительных и отрицательных
("фиктивных") корнях, об их сумме и другие теоремы, например: если в уравнении
все члены, стоящие в левой части, имеют степень большую, чем степени членов
правой части, то уравнение имеет один и только один положительный корень.
Наконец, Кардано показал делимость алгебраического полинома Рп (х) на х - х\9
где х\ - корень уравнения Рп (х) =0.
Кардано включил в свою книгу и метод решения уравнений 4-й степени путем
сведения задачи к кубической резольвенте, открытый его учеником Л. Феррари ((
1522- 1565). Поясним этот метод на примере задачи, которую решал Феррари. Она
была задана Кардано итальянским математиком Д. Колла. Задача гласила: "Разделить
число 10 /на три части так, чтобы они составляли геометрическую прогрессию и
произведение первых двух частей равя
п 6 х3 6 i ! х3 ш
нялось 6". По условию: - :х = х: - , — 1- *Н — = Ю, откуда
х 6 х 6
получаем уравнение я4 + 6л;2 + 36 = 60л;. Дополним обе части, доби116
ваясь, чтобы левая часть стала полным квадратом: (л:2+6)2 = = 60л:+6л;2. Добавим
к обеим частям по 2(x2+G)t-{-t2, где t еще предстоит определить. Получим
(х? + 6 + О2 =. 60л; + 6л:2 + 2 О2 + 6) t +*2, или
О2 + 6 + /)2 = (2t + 6) л* + 60* + (/•* + 120Условием
того, что правая сторона является полным квадратом, является, как
известно, равенство нулю дискриминанта. Это Фер-рари записывает так: 302=((2f+6)
(?2+12f), сводя задачу к решению кубической резольвенты. Прием1, очевидно,
является общим для уравнений 4-й степени. Кардано приводил к этому виду
уравнение, не содержащее члена с неизвестным в 1-й степени, подстановкой х = -.
У
Мы не будем 'останавливаться на тягостном споре Тартальи
и Кардано о приоритете открытия, Спор этот породил огромную литературу,, Многие
авторы до наших дней возвращаются к нему, вновь и вновь выдвигаются оценки
Тартальи, - Кардано, обстоятельств открытия и их связей с широким кругом
современных им исторических событий. К этой литературе и относится целиком
замечание, сделанное выше, о разноречивости изложений этого вопроса.
Столь быстрые и поразительные успехи в нахождении формулы решения уравнений 3-й
и 4-й степени поставили перед математиками проблему отыскания решений уравнений
любых степеней. Огромное число попыток, усилия виднейших ученых не приносили
успеха. Задача с течением времени преобразовывалась и-стала трактоваться как
задача о возможности или невозможности решения алгебраических уравнений степени
я.^5 в радикалах. В поисках решения этой проблемы протекло около 300 лет. Только
в XIX в. Н.-Г. Абель доказал, что уравнения степени п"4, вообще говоря, в
радикалах не решаются. Галуа связал с каждым уравнением специальную группу
подстановок его корней - группу Галуа и свел проблему к исследованию структуры
этой группы, ее разрешимости. В дальнейшем мы остановимся подробнее на этом
вопросе, так же как и на более общей постановке задач теории Галуа: выразить
рационально корни заданного уравнения через корни другого, более простого
уравнения.
На пути создания общей теории алгебраических уравнений и способов их решения
стояли еще два препятствия: сложность, неудобство получаемых формул и
неразъясненность неприводимого случая. Первое составляло чисто практическое
неудобство. Кардано устраняет его, предлагая находить корни уравнений
приближенно с помощью правила двух ложных положений, известного еще от египтян и
по существу применяемого и в наши дни в виде простой, или линейной,
интерполяции. Второе препятствие имеет
более глубокие корни, а попытки его преодоления повели к весьма важным
следствиям.
Уже Кардано упоминает о мнимых корнях, именуя их софистическими; показывает на
примере х-}-у =10, ху=40, что эти
корни встречаются попарно, т. е. #i,2=5±l/'-15, но решить та*
кого рода уравнения считает невозможным.
Плодотворная и смелая попытка справиться с неприводимым; случаем принадлежит
итальянскому математику и инженеру Р. Бомбелли из Болоньи. В сочинении "Алгебра"
(1572) он ввел формально правила действий над мнимыми и комплексными числами,
опирающиеся на. правила: ±i-±i=-I, ±i'i=Fi=l9 установил, что все выражения,
содержащие '"софистические минусы" Кардано, преобразуются к виду а+Ы. На
конкретном примере xs=15i"+4 Бомбелли показал, что в неприводимом случае
вещественный корень получается как сумма двух комплексных чи" сел вида а+Ы и аЫ.
Метод Бомбелли состоит в следующем,:
ч it / Ь V • / °Л8 ^г\
пусть дано уравнение х*=ах+р и имеет место! - ) -( - ",0,
V 2 / \ о J
следовательно формула
- V i+1/(тИтУ+
неприменима. Бомбелли исходит из того, что выражения вида
3 у1"-------^г
"|/ а±1/Р, входящие в эту формулу, тоже могут быть преобразованы к виду p + Vq.
Положив "J/ a,±V$ = p±Vq" он для определения р и q получил два уравнения:
р3 + Зр"? - а; р2 - q --= p _ у.
Для определения р из этой системы получается уравнение 4р8 = = SYP + "*• В
частности, если положить a = - ,
= (^)2 - (т)3то
=
и =
- ^ 2рОднако
это объяснение Бомбелли - всего только объяснение, оно не облегчает
решения неприводимого случая, ибо уравнение 4 р3=3\р+а то же, что уравнение
искомое. Но введение для частных целей общих операций с комплексными числами
выдвигает "Алгебру" Бомбелли в число ближайших предшественников работ Гаусса по
этому вопросу.
Рост содержания математических знаний всегда тесно связан с развитием
математической символики. Последняя, когда она достаточно хорошо отражает
реальную сущность математических операций, активно воздействует на математику и
сама приобретает оперативные свойства. В истории математики историю сим118
волов можно уподобить истории орудий труда, по которым можно многое восстановить
и понять.
В рассматриваемое нами время происходил быстрый переход от словесной
(риторической) алгебры к алгебре символической путем сокращения (синкопирования)
слов, а затем введения символов. Уже у Кардано. переход этот очень заметен.
Например, корень уравнения "cubus р 6 rebus aequalis 20" (я8+6я=20) находится по
формуле
- То).
Читатель уже успел, наверное, понять значение символов,
остается добавить, что Rx - знак корня, Rx и си - это radix uni-versalis cubica,
т. е. общий кубический корень из всего выражения, расположенного до вертикальной
черты или до конца выражения.
Символы пока, еще очень разнообразны, не всегда составляют стройную систему даже
внутри одной книги,, Но потребности математики заставляли искать все более
совершенную систему символов. Бомбелли, например, для последовательных степеней
неизвестного х употреблял символы: 1, 2, 3 ... . С. Стевин (1548-1620),
фламандский • математик и инженер, известный, в частности, введением в
европейскую' математику аппарата десятичных дробей, в тех же целях,, что и
Бомбелли, использовал соответственно знаки (I), (2), (3), ..., а в случае
второго и третьего неизвестного:
sec(l), sec (2), sec(3), ... , • ter(l), ter(2), ter(3), ...
Единую систему алгебраических символов, последовательно проведенную, первым дал,
по-видимому, Виета.
Появление буквенного алгебраического исчисления являлось одной из сторон более
общего и глубокого явления в истории математики - возникновения алгебры как
общей науки об алгебраических уравнениях. Сочинения и взгляды Виеты хорошо
передают этот переломный момент.
Франсуа Виета (1540 - 1603) - французский математик, юрист по образованию и роду
деятельности. Во время педагогических занятий в одной влиятельной семье у него
возник план новой астрономической системы, долженствующей заменить неточную, по
его мнению, систему Коперника. В связи с этим замыслом Виета положил много сил
на усовершенствование тригонометрии и достиг замечательных успехов. Блестяще
образованный, Виета быстро продвигался по служебной лестнице и наконец сделался
близким советником и придворным ученым французских королей Генрихов III и IV.
Будучи с 1584 по 1589 г. отстраненным от придворных дел вследствие происков
политических противни119
Ф. Виета (1540-1603)
ков, он употребил свой досуг на написание главного труда своей жизни "Введение в
искусство анализа" - огромного и чрезвычайно обстоятельно написанного сочинения
по новой алгебре. Труд этот выходил с 1591 г. частями, в значительной части
после смерти автора и не был полностью завершен.
Замысел Виеты определялся следующими соображениями: крупные успехи итальянских
математиков в решении уравнений 3-й и 4-й степени опирались на высокую
эффективность алгебраи120
ческих приемов. Но число отдельных видов алгебраических уравнений угрожающе
быстро росло, достигая, например, у Кардано 66; каждый из этих видов требовал
особых приемов. Необходимо было найти общие методы подхода к решению
алгебраических уравнений; последние тоже должны рассматриваться в возможно более
общем виде с буквенными коэффициентами. Кроме того, необходимо было сочетать
эффективность алгебраических приемов со строгостью- античных геометрических
построений, хорошо знакомых Виете и представлявших, по его мнению, образцы
подлинно научного анализа.
Исчислению Виеты предшествует арифметика, оперирующая с числами: logistica
numeralis. Исчисление букв получает название logistica speciosa от слова species
- член математического выражения. Исчисление распадается на зететику - искусство
решения уравнений; пористику - искусство доказательства правильности полученных
решений; экзегетику - общую теорию уравнений. Все величины обозначены буквами:
неизвестные - гласными, известные - согласными. Числа. - безразмерны,
положительны, рациональны I(B случаях иррационалъностей Виета переходит на язык
геометрии), величины же имеют размерность. Это геометрическое влияние на
концепцию величины усиливается специальной терминологией: первая степень
величины называется latis (сторона), вторая - planum (площадь), третья - so- '
lldum (тело). Далее следуют плоско-плоские, плоско-объемные, объемно-объемные и
т. д. величины. Сложение; и вычитание производятся над одноразмерными
величинами. Последние,, впрочем, допускается подравнивать в размерности путем
умножения на единицу длины., Умножение и деление вызывают изменение размерности.
Эти идеи. Виеты в его время отражали наличие непреодоленного еще разрыва между
числами и величинами. Позднее выяснилось, что они явились предтечей ряда
математических исчислений: векторного, тензорного, грассмановой алгебры.
Символика Виеты также отягощена еще грузом геометрических привнесений; она
тяжела, не всегда понятна, перемежается сокращенными и даже несокращенными
словами. Вот примеры:
a) A cubus + В planum in Л3 aequatur D solido (Л3 + ЗВЛ = D, или
б) В parabola in A gradum - A potestate aequatur Z homogenae (BA" - Am+n=Z).
Тем не менее благодаря этой символике стало впервые возможным выражение
уравнений, их свойств общими формулами. Объектами математических операций стали
не числовые задачи, а сами алгебраические выражения. Именно этот смысл вкладывал
Виета в характеристику своего исчисления как "искусства, позволяю121
щего хорошо делать математические открытия". Кстати, символы Виеты были вскоре
усовершенствованы его младшими современниками, особенно Гэрриотом ,(1560 -
1621). .
В сочинениях Виеты подводится своеобразный итог математики эпохи Возрождения.
Особенно отчетливо эта. особенность проявляется в его алгебраических трудах, р
них подробно и обстоятельно изложены сведения об уравнениях 1 - 4-й степеней"
Общий характер записи позволяет Виете строить все изложение не как собрание
рецептов, а как общую теорию уравнений. Для. этого он использует богатый арсенал
алгебраических 'преобразований, опирающийся на подстановки: x=y-{-k (чтобы
исключить
член, имеющий неизвестное во второй по величине степени), я= -
k
(для исключения члена, содержащего x)9-,x=ky (с целью устранения
дробных коэффициентов), х = - у (чтобы придать коэффио
циенту при х(tm)-1 данное значение) и др. От радикалов он освобождался путем
отъединения одного члена и возведения обеих 'сторон уравнения в степень.
' . .
••Например, всякое кубическое уравнение он . преобразует к виду л;3-|-Зая=& и
применяет затем подстановку a=t2-{-tx, чтобы прийти к уравнению
х(r) + 3txz + ЗЛс = Ь.
Из последних двух, уравнений, преобразованных к виду:
он получает квадратное относительно /3 уравнение: (/3)2+6/3=а3.
а - t2 '
Можно и непосредственно подставить х = - в уравнение,
чтобы получить тот же результат.
Неприводимый случай кубического уравнения Виета свел к задаче о трисекции угла.
Он показал, что всякое неприводимое уравнение может быть преобразовано к виду хг
- Зх=а. Сопоставляя его с тригонометрическим соотношением (2cos"p)3 - 3(2созф) =
= 2cos3cp, Виета демонстрирует такое сведение. Задачу о трисекции угла он решает
известным ему из античных источников методом вставок.
При решении уравнений Виета разыскивает положительные корни. С помощью
преобразования х= - у он подходит к проблеме нахождения отрицательных корней.
Развивая результаты Кардано, Виета высказывает ряд теорем о взаимозависимости
корней уравнений и их коэффициентов, включающих частные случаи теоремы,
известной ныне под его именем. В связи с этим он рассматривает, в указанных выше
границах, образование урав122
нений произведением биномов: Рп (х) = \\ (х - xk) (п "С 5" xk
Полностью предложение о зависимости коэффициентов и корней
уравнений было сформулировано Гэрриотом и А. Жираром и
опубликовано последним в 1629 г.
Алгебра Виеты ' была еще несовершенной и имела крупные •недостатки,. Ее очень
утяжеляла видовая трактовка величин, обладающих размерностью. В ней нет общей
трактовки степеней, все степени натуральные. Принципиальное разделение чисел и
алгебраических величин не позволяло ему употреблять радикалы для величин, а лишь
для чисел и т. п. Ее скоро вытеснила алгебра Декарта, о которой речь будет идти
ниже. Однако известно, что Ферма, .например, изучив алгебру Виеты, придерживался
ее формы, когда строил аналитическую геометрию. К тому же нам представляется
оправданным, предположение, что параллелизм между свойствами уравнений и
геометрическими построениями, регулярно проводимый Виетой, сыграл свою роль в
формировании идей аналитической геометрии в XVII в. То, что представляло
геометрический рудимент в формирующейся алгебре Виеты и других математиков XVI
в., послужило исходным пунктом развития новой науки - аналитической геометрии -
в руках ученых XVII в.
Сопоставление- алгебраической и тригонометрической задачи, отмеченное при
решении кубического уравнения, не было- для Виеты случайной находкой, эпизодом.
Виета, как было уже сказано, проявил интерес к алгебре именно в силу ее
пригодности и-даже необходимости для задач тригонометрии и астрономии. В
дальнейшем тригонометрические и алгебраические труды и результаты следуют
одновременно, нередко переплетаясь, Виета не ограничился определением всех
элементов плоского или сферического треугольника по трем данным элементам" Ему
принадлежат разложения тригонометрических функций кратных дуг посредством
последовательного применения (формул для синуса и косинуса суммы двух углов.
cos та = cosm а -
cosm~2 а- sin2 а + . . .
sin /па = /ncos(tm)-1 а-sin а -
1 -2
m(m - l)(/n -2) 1-2-3
После смерти Виеты стали известны многие его рекуррентные формулы
cos та = 2cosa-cos(m-l)a- cos (m - 2) a, sin ma = 2 cos a" sin (m - 1) a - sin
(m - 2) a, sin ma = 2 sin a- cos (m - l)a + sin(m- 2) a, cosma = - 2 sin a-sin
(m- l)a + cos (m - 2)a.
Несколько странное впечатление оставляет то, что подобные крупные результаты
гониометрии достигнуты при недостаточно общем определении тригонометрических
функций как отношений сторон прямоугольного треугольника без намека на введение
производящей окружности. Однако так часто бывает в истории; результаты сначала
появляются, а потом осмысливаются и получают удовлетворительную общую трактовку.
Значительным достижением Виеты является'введение им впервые в математику задачи
о нахождении бесконечного произведения. Если около правильного /i-угольника
площади Sn описать круг радиуса, г и вписать в него круг радиуса рп, то после
удвоения сторон n-угольника получим Sn :52Я = рл: г• = cos -. .Начнем
п
с вписанного квадрата: п-4, 54=2г2. Последовательно полагая п=4, 8, 16, ...,
получим:
J4 . о 8 •
COS'
4 '
COS-*-,
- Теперь Виета "переходит к пределу". Он говорит, что для п=оо получится круг,
площадь которого Soo=2jtr2: Перемножив всю цепочку равенств, он находит:
- =• cos • п
90°
COS
90°
COS
90*
ИЛИ
X V -
Разумеется, Виета не доказывает сходимости полученного бесконечного
произведения, будучи интуитивно уверенным в справедливости своего предельного
утверждения.
На примере работ Виеты мы показали, что в европейской математике к концу XVI в.
сформировалась алгебра как наука о решении уравнений. Последняя содержала полный
запас методов решения уравнений первых четырех степеней. Алгебраисты завершили
символическое Оформление своей науки и пробовали формулировать и решать проблемы
общей теории алгебраических уравнений. Тригонометрия отделилась от'астрономии,
ее резуль124
таты получили достаточную степень общности. Полностью освоено учеными
геометрическое наследие древних. Математика постоянных величин к концу XVI в.
завершала цикл своего формирования.
4.4. ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ
Математика развивается Широким фронтом. При этом подвергаются изменению все
элементы ее структуры: развиваются новые теории, выдвигаются и проверяются новые
.гипотезы, накаплива- • ются факты, пополняющие состав уже сформировавшихся
математических наук, расширяется сфера применения математических методов,
меняются общие взгляды на природу математики и ее возможности. Процесс изменения
охватывает не только те части математики, которые в данный исторический период
представляют вершину ее творческих достижений. Развивается и видоизменяется
также та ее область, которую1 принято называть элементарной математикой, -
термином, который еще не нашел однозначного* определения и истолкования, - и
которая играет такую большую роль в системе образования и массовой практической
деятельности людей. Разделение математики на высшую и элементарную,,
употребляемое в наше время, носит условный, исторически ограниченный характер и
не может претендовать на научность, Между элементарной и высшей математик
...Поділитися у соцмережах
