Жанр: Наука
История и методология математики
...И ПЕРЕМЕННЫХ ВЕЛИЧИН
5,1. НАЧАЛО ПЕРИОДА МАТЕМАТИКИ ПЕРЕМЕННЫХ ВЕЛИЧИН
В истории науки математика XVII в. занимает особое, весьма значительное, место.
XVII в. открывает новый период - период математики переменных величин.
К концу предыдущего, XVI, столетия алгебра, тригонометрия, геометрия, а также
приемы вычислений накопили достаточно много фактов и достигли такого состояния,
что стали существенной частью технического и общенаучного прогресса. В течение
XVII в. математические методы продолжали весьма энергично внедряться в
естествознание, прежде всего в механику. Так, в 1632 и 1638 гг. Галилей дал
математическое выражение законов падения тел, несколько ранее (1609-1619) Кеплер
открыл и математически сформулировал свои знаменитые законы движения планет. К
1686 г. Ньютон смог сформулировать и убедительно продемонстрировать закон
всемирного тяготения: законы движения планет объясняются притяжением их к Солнцу
с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния и прямо пропорциональной
их массам. Законы притяжения оказались универсальными для любых тел, массу
которых можно представить сосредоточенной в центре. Большинство ученых работали
во многих областях науки, они пытливо изучали природу, отыскивали ее законы и не
особенно заботились о разграничении наук.
138
Успехи в выявлении и математическом оформлении столь многих естественнонаучных
закономерностей привели к созданию системы наук о природе - математического
естествознания. Последнее представлялось в виде общей науки, которая объясняла
отдельные явления действием общих, математически сформулированных законов
природы. Философская идея универсальности математического метода, отражающая
быстрое развитие техники и математики, довлела над умами крупнейших ученых и
философов XVII в. (Декарт, Спиноза, Лейбниц, Ньютон).
Каждый новый успех математического естествознания вызывал резкое повышение
спроса на приложения математической теории. Математика во все времена
развивалась под определяющим влиянием практики и в конечном счете технического,
материального прогресса. В XVII в. математическое творчество ученых протекало в
атмосфере высокого давления практических обстоятельств.
В течение этого столетия изменились формы существования математики. На смену
энтузиастам-одиночкам пришли научные организации. С 1662 г. начало свою
деятельность Лондонское королевское общество, играющее и ныне роль национальной
Академии наук. В 1666 г. организована Парижская академия. Тем было положено
начало эпохе организации научных учреждений и обществ, ставших плодотворной
формой коллективного труда ученых при государственном покровительстве наукам.
Переписка ученых и появлявшиеся изредка книги не удовлетворяли требованиям
научного общения. В XVII в. было положено начало периодике. С 1665 г. в Лондоне
выходят "Philosophical Transactions"; одновременно в Париже появился "Journal
des S^a" vans" (существовал до 1792 г.); в 1682 г. в Лейпциге был основан
Лейбницем журнал "Acta Eruditorum" (существовал до 1731 г.).
Изменение практического положения, идейных основ и организационной структуры и
роли математики происходило наряду с глубокими качественными изменениями в ее
содержании. Изучение чисел, постоянных величин, фигур дополняется изучением
движений и преобразований, функциональных зависимостей. Меняется внутреннееТаким же
образом выразим через х и у линии CF, СЯ, подставим в условие CF-CH=2BC-CD и
получим уравнение искомого геометрического места F(x, y)=0.
Декарт скупо поясняет, что геометрическое место в случае трех и четырех прямых
представляет собой коническое сечение. В случае, когда число прямых п"4, Декарт
устанавливает, что для 2п или 2п - 1 прямых уравнение геометрического места
имеет степень=/г относительно двух переменных х и у. Задача Паппа относительно
пяти прямых оказывается разрешимой циркулем и линейкой, или, по терминологии
Декарта, плоской задачей. Такой же задача оказывается и для шести прямых, но
Декарт этого не отметил V
Вторая книга "Геометрии" названа: "О природе кривых линий". Она посвящена более
подробному рассмотрению кривых
1 См. Г. Г. Цейтен. История математики в XVI ГТТИ, 1933, стр. 204.
и XVII. веках. М,
F D г. /? Н
у
X
В Е Р М ft ис. 8 J
различных порядков, их классификации и выявлению их свойств. Все кривые Декарт
делит на два класса в зависимости от того, возможно ли провести их исследование
средствами, которыми располагал Декарт. В соответствии с этим в математику
оказалось возможным допускать лишь такие кривые, которые описываются непрерывным
движением (циркулем или линейкой) или же несколькими такими последовательными
движениями, из которых последующие вполне определяются им предшествующими.
Остальные кривые получили название меха" .
нических (позднее у Лейбница трансцендентных) и были исключены из класса
допустимых кривых., Их свойства могут быть открыты лишь случайно благодаря
'Специфическим (приемам, не носящим систематического характера.
Все допустимые кривые, таким образом, могут быть построены с помощью некоторого
шарнирного механизма. Относительно них без доказательства высказано утверждение,
что они выразимы алгебраическими уравнениями. Тем самым Декарт -предвосхитил
одну из главных теорем кинематики механизмов (доказанную в 1876 г. Кемпе),
гласящую, что с помощью плоских шарнирных' механизмов, в которых движение
(первых звеньев полностью определяет движение остальных, можно описывать дуги
любых- алгебраических кривых и нельзя описать ни одной трансцендентной.
Декарт мимоходом бросает замечание, что степень уравнения кривой инвариантна,
относительно выбора системы прямолинейных координат. Но гипноз принципа
построения кривых только с помощью шарнирных механизмов слишком владеет
Декартом. Поэтому в основу классификации кривых он кладет не порядок уравнения,
а число звеньев шарнирного механизма. В силу этого принципа кривые оказываются
разделенными по родам (genre), причем к га-му роду относятся кривые порядка 2п-1
и 2/г. Этот неудобный принцип был заменен только Ньютоном, который ввел
классификацию кривых по степеням уравнений.
Декарт еще не в силах построить общую теорию кривых рода . Но для демонстрации
силы и универсальности своего метода он вновь возвращается к задаче Паппа,
исследуя частные ее случаи. Например, пусть задача Паппа поставлена для пяти
прямых (см. рис. 35): четыре - параллельны и эквидистантны (FG,. DEf В А, Я/),
пятая перпендикулярна к ним (GA). Найти С такую,, что CF.CD.CH=CB.CM-AJ.
Положим: СМ = х\
тогда CF == 2а - у,
CB = y- CD = a-y
Уравнение искомого геометрического места
(2а - у) (а - у) (а + у) = аху, или у* - 2а*у2 --"- а*у + 2а8 = аху.
Для фактического построения данной кривой Декарт применяет специальный прием,
рассматривая точки пересечения движущихся параболы и прямой 1.
Значительную часть второй книги составляют теоремы о проведении нормалей и
касательных к алгебраическим кривым. Свой метод ("метод нормалей") Декарт
распространил на конические сечения: и на* так называемые декартовы овалы. Он
подчеркивал значение высказанных теорем для оптики. Мы рассмотрим этот "метод
нормалей" ниже.
Книгу замыкает предложение о возможности распространения метода Декарта на
трехмерный случай. Высказывается при этом идея представления пространственной
кривой с помощью проектирования ее на две взаимно перпендикулярные плоскости,
общая прямая которых является одной из осей координат,, Однако эта идея
оказалась у Декарта одиночной, неразвитой; к тому же в его рассуждения вкралась
ошибка. Он, в этом единственном предложении аналитической геометрии в
пространстве, утверждает, что проекции нормали к пространственной кривой
..являются нормалями к проекции кривой, что неверно даже для плоской кривой, не
говоря уже о наличии в общем случае целой нормальной плоскости. Нет у Декарта и
речи о трех координатах точки в пространстве и об уравнениях поверхностей.
Задача третьей книги: "О построении телесных, или превосходящих телесные, задач"
- построение общей теории решения уравнений и использование для этого наряду с
алгебраическими средствами геометрических мест. Алгебраическая символика Декарта
уже несущественно отличается от современной. Всякое уравнение мыслится
приведенным к виду Рп(х)=0, где Рп(х) - полином с целыми коэф!фициентами,
расположенный по убывающим степеням неизвестного х. Из рассмотрения проблемы
делимости Рп(х) на х - а, где а - корень уравнения, Декарт делает глубокий
вывод, что число корней уравнения равно числу единиц в наивысшем показателе
степени х2. Он при этом учитывает корни действительные (положительные), ложные
(отрицательные) и те, которые можно вообразить (мнимые и комплексные).
Доказательства этого вывода он дать еще не может. Еще много лет не могли дать
доказательства и другие ученые. Только в 1797 г. это смог сделать Гаусс.
1 См. Г. Г. Ц е и т е н. УК. соч., стр. 206.
2 Аналогичные идеи несколько раньше Декарта высказал А. Жирар в со-сочинении
"Invention nouvelle en 1'Algebre". Amsterdam, 1629.
Декарт показал, что уравнение имеет столько положительных корней, сколько
знакоперемен в ряду коэффициентов, и столько отрицательных - сколько повторений
знака. Он ввел также приемы преобразования коэффициентов уравнения, чтобы
добиться необходимого изменения его корней: увеличения, уменьшения или изменения
знака. •
Замечательной по глубине замысла является постановка проблемы приводимости, т.
е. представления целой рациональной функции с рациональными коэффициентами в
виде произведения таких же функций. Декарт показал, что уравнение 3-й степени
решается в квадратных радикалах (с помощью циркуля-и линейки)", лишь если оно
приводимо. Вопрос о приводимости уравнения 4-й степени он свел к вопросу о
приводимости его кубической резольвенты. Если дано уравнение x*-\-px2+qx+r=Q, то
его можно записать в виде
где вспомогательное у определяется из уравнения + (р2 - 4г)у2- *72=0,
кубического относительно у2.
Декарт не дает этому утверждению доказательства, Из комментариев к "Геометрии",
составленных Ф. Скоутеном \(1615- 1660), профессором математики в Лейдене,
горячим приверженцем Декарта, можно сделать вывод, что при этом применялся:
метод неопределенных коэффициентов. Скоутен рассматривает уравнение я4 - рх2 -
qx-}-r=Q и записывает его в виде (х2 -\-yx-\~-+z) (х2 - yx+v)=Q. Приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях х, он, для определения у, z, v, получает
уравнения
z - у2 + v = - р;
vz = г; г/6 - 2/н/4 + (р2 - 4г)*/2 - "/2-0.
Решение уравнений 3-й и 4-й степени геометрическими средствами у Декарта
сводится к задачам о построении (вставке) двух средних пропорциональных и о
трисекции угла. Подобно арабским математикам, но, по-видимому, совершенно
самостоятельно, Декарт практически решает эти уравнения с помощью пересечения
двух конических сечений. Затем он распространил этот метод на уравнения третьего
рода (5-й и 6-й степени), подбирая пересечения окружности и движущейся
специальным образом подобранной
П. Ферма (1601-1665)
кривой. Замечания Декарта о решении подобным методом уравнений степени п"6 не
оказались достаточно ясными, чтобы о них говорить определенно.
Таково содержание "Геометрии" Декарта - первого сочинения по аналитической
геометрии, сыгравшего огромную роль в дальнейшем развитии математики XVII в.
Аналитическая геометрия Декарта имела еще много недостатков. Прежде всего,
область этой науки была еще чрезмерно сужена априорными требованиями,
проистекающими скорее из философских источников, чем из потребностей метода,
ограничена только алгебраическими кривыми. Неудачной оказалась классификация
алгебраических кривых по жанрам .(родам), а не по степеням уравнений, их
выражающих.
Декарт не довершил проникновения в геометрию алгебраического аппарата, не
распространил свой метод на изучение свойств кривых по свойствам соответствующих
уравнений. Координатные оси в "Геометрии" еще неравноправны; проводится только
одна ось, а другая координата восстанавливается по мере необходимости. Поведение
кривой изучается только в первом: квадранте, остальные квадранты не учитываются.
Однако ("Геометрия" Декарта означала шаг "принципиального значения в перестройке
математики, что сделало это сочинение классическим:.
Переворот во взаимоотношении алгебры и геометрии и взаимное проникновение их
методов с помощью метода координат представляли в математике явление
революционное. Подобные перевороты никогда в истории не делаются одним
человеком. Так и появление аналитической геометрии не было заслугой одного
Декарта,, При этом речь идет не только о тех современниках, в работах которых в
неразвитом виде содержались те или иные идеи, подхваченные и переработанные
Декартом. Таких современников было много. Мы имеем в виду то, что одновременно с
Декартом аналогичную систему взглядов развил в специальном сочинении французский
математик П. Ферма (1601-1665).
Ферма происходил • из семьи торговца, проживавшей на юге Франции. Окончил
университет в г. Тулузе по юридическому факультету. С 1631 г. до конца жизни
занимался в Тулузе юридической деятельностью, будучи советником местных органов
управления. Математикой занимался в свободное время. Был знатоком современной
математики- и классических сочинений древних. Получил выдающиеся результаты в"
теории чисел, геометрии, методах оперирования с бесконечно малыми, оптике.
Ферма, не любил печатать свои сочинения, а сообщал о своих достижениях в научной
переписке и при личном общении и дискуссиях со многими выдающимися учеными.
Поэтому подавляющее число работ Ферма было опубликовано лишь после его смерти, в
1679 г., и позднее.
Идеи аналитической геометрии, т. е. введение прямолинейных координат и
приложение к геометрии алгебраических методов, сосредоточены в небольшом
сочинении Ферма "Введение в теорию плоских и пространственных мест", ставшем
известным с 1636 г., но напечатанном вместе с другими сочинениями в 1679 г.
Исходными пунктами этой работы явились сочинения древних, особенно Аполлония, по
изучению геометрических мест. Те геометрические места, которые представлялись
прямыми или окружностями, назывались плоскими, а представляемые коническими
сечениями - пространственными. Задачей Ферма' было показать, что уравнениям 1-й
степени соответствуют прямые, а коническим сечениям - уравнения 2-й степени.
Метод координат вводится так же, как у Декарта: задается одна ось - ось абсцисс,
на ней откладываются от выбранного
начала отрезки, соответствующие значениям одной переменной. Значения другой
переменной, также изображаемые отрезками, восстанавливаются из конца первого
отрезка под выбранным для данной задачи углом (чаще всего прямым). Затем Ферма
выводит уравнения прямой, окружности и всех конических сечений.
Вначале'он доказывает, что уравнение прямой, проходящей через начало координат,
будет иметь вид ах=Ъу. Затем последовательно выводятся: уравнение окружности в
прямоугольных координатах с центром в начале координат; гиперболы, отнесенной к
асимптотам; параболы, отнесенной к диаметру и касательной в конце его; эллипса
(гиперболы) в случае, когда осями будут сопряженные диаметры.
Замечательно^ что Ферма рассматривает задачу и с другой стороны. Он исследует
общие виды уравнений 1-й и 2-й степени, преобразованием: координат (перенос
начала и поворот оси) приводит их к каноническим фермам, облегчая тем самым их
геометрическое толкование. Например, пусть дано уравнение 2я2+2.я#+ +у2=а2.
Перепишем его в виде ('#+#)2+*2=Д2. Выберем_новые' оси: x+y=Q, x=Q. Новые
координаты будут: хг = х]/2 ; у^ =
2л2 - х?'
=х+у. Новое уравнение----------= 2. По Аполлонию, замечает
У\
Ферма, эта кривая - эллипс, отнесенный к сопряженным диаметрам.
Распространение аналитической геометрии на изучение пространственных
геометрических мест Ферма проводит путем изучения пересечений поверхностей
плоскостями. Однако пространственные координаты и у него еще отсутствуют, а
аналитическая геометрия в пространстве остается незавершенной.
"Введение" Ферма показывает, что он, по-видимому, последовательнее Декарта
внедрял координатный метод, особенно приемы преобразования координат, и не был
стеснен априорными соображениями, ограничивающими возможности его методов.
Однако это сочинение не оказало на математику столь значительного влияния, как
декартова "Геометрия". Причин этому было две. Во-первых, "Введение" было
напечатано очень поздно, а до этого времени было известно лишь узкому кругу
корреспондентов Ферма. Во-вторых, оно было изложено тяжеловесным,
затруднительным для понимания языком алгебры Виета.
Ферма понимал, что он находится только в самом начале исследований новой
математической дисциплины. Но он добавлял: "И все же мы не раскаиваемся в
написании этого преждевременного и не вполне зрелого сочинения. Действительно,
для науки представляет некоторый интерес не утаивать от последующих поколений
еще неоформившиеся плоды разума; и благодаря новым открытиям науки первоначально
грубые и простые идеи как укрепляются, так и множатся. И в интересах самих
изучающих соста150
вить себе полное представление как о сокращенных путях разума, так и о
самопроизвольно развивающемся искусстве"].
Дальнейшее развитие аналитической геометрии показало, что идея Декарта о едином
методе, в котором соединятся методы алгебры и геометрии, осуществилась не так,
как это ему представлялось. Аналитическая геометрия вошла в систему
математических дисциплин, не поглотив алгебру. Последняя продолжала
самостоятельное развитие, превращаясь в общую теорию уравнений. Что же касается
аналитической геометрии, то в первые 50- 70 лет после появления она только
переживала период утверждения и признания в обстановке горячих споров о
правомерности, удобствах и возможностях ее методов. Факты этой науки
накапливались вначале медленно. К 1658 г. был решен вопрос о полукубической
параболе, в чем приняли участие В, Нейль (1637--1670), Г. ван Гейрат (род. 1633
г.) и Ферма,, В 1679.г. Ф. Лагир (164Q--17.18) впервые нашел способ писать
уравнения поверхностей. Тем не менее только к 1700 г. А, Паран (1666-1716) смог
вывести уравнение сферической поверхности и касательной плоскости к ней. В
систематической форме использовал и несколько развил аналитическую геометрию И,
Ньютон в сочинении "Перечисление кривых 3-го порядка"!(1704).
Облик, близкий современному, придал аналитической геометрии Л. Эйлер, посвятив
этому второй том "Введения в анализ" (1748). Ему предшествовал только Клеро
(1713-1765), распространивший аналитическую геометрию на трехмерное пространство
с помощью введения трехосной прямолинейной системы координат. Название -
аналитическая геометрия - впервые ввел французский математик академик С. Ф.
Лакруа (1764-1848) в конце XVIII в.
Появление в математике аналитической геометрии существенно облегчило
формирование анализа бесконечно малых,, С другой стороны, она стала необходимым
средством построения механики у Ньютона, Лагранжа и Эйлера, весьма эффективным
при решении многих задач математического естествознания. В математике XVII в.
возникновение аналитической геометрии знаменовало появление возможностей для
создания анализа переменных величин. Эти возможности вскоре были реализованы,
так как наиболее важные задачи были ^как мы увидим ниже) таковы, что вызывали
острую необходимость срочного перехода к • открытию методов и общих теорий
математического анализа.
5.3. НАКОПЛЕНИЕ ИНТЕГРАЦИОННЫХ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ МЕТОДОВ
Появление анализа бесконечно малых было завершением дли-тельного процесса,
внутриматематическая сущность которого со1
П. Ферма. Введение в изучение плоских и телесных мест. В кн.: Р. Декарт.
Геометрия. М.-Л., ОНТИ-ГТТИ, 1938, Приложение, стр. 147.
стояла в накоплении и теоретическом осмысливании элементов дифференциального и
интегрального исчисления и теории рядов. Для развития этого процесса к XVII в.
сложились существенные предпосылки: наличие сложившейся алгебры и вычислительной
техники; введение в математику переменной величины и координатного метода;
усвоение^ инфинитезимальных идей древних, особенно Архимеда; накопление методов
решения задач на вычисление квадратур,, кубатур, определения центров тяжести,
нахождение касательных, экстремалей и т. д.
Побудительными причинами этого процесса были в первую очередь запросы механики,
астрономии, физики. Эти науки не только предъявляли к математике требования
решения того или иного класса задач. Они обогатили ее представления о
непрерывных величинах и непрерывных движениях,, о существе и видах
функциональных зависимостей, В тесном взаимодействии математики и смежных наук
вырабатывались инфинитезимальные методы - основа математики переменных величин.
В решении задач такого рода, в поисках оби{их методов их решения, а
следовательно и в создании анализа бесконечно малых, принимали участие многие
ученые: Кеплер" Галилей, Кавальери, Торричелли, Паскаль, Валлис, Роберваль,
Ферма, Декарт, Барроу и многие другие., Создание элементов математического
анализа представляло собой многосторонний творческий труд большого числа ученых,
Для удобства изучения этого сложного процесса разделим методы, содержащие
крупицы анализа бесконечно малых, на две группы: сначала рассмотрим те из них, в
которых проявляются элементы позднейшего интегрального исчисления; их мы назовем
интеграционными. Затем речь пойдет о дифференциальных методах, т. е. методах
решения задач на определение касательных и т. п., - тех, что решались позднее
средствами дифференциального исчисления. Открытие связей интеграционных и
дифференциальных методов оказалось тем решающим этапом, после которого сразу
началось формирование математического анализа.
Интеграционные методы. Вначале эти методы вырабатывались, накапливались и
выделялись в ходе решения задач на вычисление объемов, площадей, центров
тяжестей и т. п. Задачи Архимеда пересматривались вновь и вновь, изучались его
инфинитезимальные методы, выяснялись их математические возможности.
Интеграционные методы слагались в то время как методы определенного
интегрирования. Процесс формирования и внедрения в математику этих методов был
очень бурным и быстрым; уже через 50-60 лет со времени появления первой работы
он привел к образованию интегрального исчисления.
Самым ранним по времени опубликования методом этого типа был метод
непосредственного оперирования с актуальными бесконечно малыми величинами.
Появился он в 1615 г. в сочинениях Кеплера.
И. Кеплер (1571-1630)
Иоганн Кеплер (1571-1630), уроженец Вюртемберга - одного из многочисленных в ту
пору немецких государств, - выдающийся астроном и математик. Он посвятил
практически всю свою жизнь изучению, развитию и пропаганде гелиоцентрической
системы Коперника. Анализируя огромный материал астрономических наблюдений, он в
1609-1619 гг. открыл законы движения планет, носящие его имя: 1) планеты
движутся по эллипсам; Солнце находится в одном из его фокусов; 2) радиусывекторы
планет "заметают" за равные промежутки времени равные секториальные
площади (см. рис. 36); 3) квадраты времен обращения планет
Рис. 36
вокруг Солнца относятся как кубы их средних расстояний до Солнца.
Формулировка этих законов показывает, что для математического доказательства их
справедливости недостаточно владения известной в то время вычислительной
техникой, знания конических сечений и алгебраических оредств. Задача вычисления
секториальных площадей требовала умения пользоваться бесконечно малыми
величинами. Этого умения требовали и другие задачи• практического характера. И
вот по поводу одной из таких практических задач Кеплер изложил свой метод
яснольз ов а кия бескрнеч но малых величин.
Речь идет об отыскании наиболее целесообразной формы бочек и о способах
измерения их вместимости. Сочинение, посвященное этой проблеме, так и
называется: "Новая стереометрия винных бочек, преимущественно австрийских, как
имеющих самую выгодную форму и исключительно удобное употребление для них
кубической линейки с присоединением дополнения к архимедовой стереометрии"
(Линц, 1615). Состоит оно, не считая предварительных замечаний, из трех частей:
часть теоретическая, специальная стереометрия австрийской бочки, правила для
измерения вместимости бочек. Для нас наибольший интерес представляет
теоретическая часть. Начинается она со "Стереометрии правильных кривых тел". Это
- просто пересказ сочинения Архимеда "О шаре и цилиндре". Кеплер принимает
античный метод исчерпывания, которым пользовался Архимед, называет его глубоким,
но отбрасывает заключительный этап приведения к противоречию. Он хочет разгадать
замысел Архимеда, который привел того к получению столь замечательных
результатов, освободить его от наслоений, вызванных формальными требованиями
строгости. Этот замысел, по мнению Кеплера, состоит в том, что любая фигура или
тело представляется в виде суммы множества бесконечно малых частей. Круг,
например, состоит из бесконечно большого числа бесконечно узких секторов, каждый
из которых может рассматриваться как равнобедренный треугольник. Все
треугольники имеют одинаковую высоту (радиус круга), а сумма их оснований равна
длине окружности. Таким же образом шар оказывается составленным из бесконечного
множества конусов, вершины которых сходятся в центре шара, а основания образуют
поверхность шара.
Метод суммирования актуально бесконечно малых Кеплер распространяет и на другие
несложные геометрические фигуры и тела (конусы и цилиндры) и их части,
рассмотренные Архимедом.
В некоторых случаях он еще дальше отходит от строгости изложения, вводя
интуитивные соображения. Например, доказано, что боковая поверхность вписанного
конуса_ относится к площади основания (большому кругу шара) как 1/2 : 1; эта
поверхность вдвое меньше боковой поверхности о
...Поділитися у соцмережах
