Жанр: Наука
История и методология математики
...ности и
объединению математиков. Уезжая в Петербург, он оставил своего ученика В. А.
Стеклова на посту председателя Харьковского математического общества. Д. А.
Граве, переехав в 1902 г. из Петербурга в Киев, создал там через несколько лет
научную алгебраическую школу, откуда вышли О. Ю. Шмидт, Н. Г. Чеботарев и др.
Научные интересы петербургских математиков, да и самого Чебышева, в частности,
не ограничивались теорией чисел, теорией вероятностей и отдельными проблемами
математического анализа (теория интегрирования, теория приближения функций). Из
других областей математики наиболее интенсивно разрабатывались дифференциальные
уравнения (Ляпунов, Имшенецкий, Сонин и др.) и теория функций комплексного
переменного (Сохоцкий).
Петербургская математическая школа в конце прошлого века и в начале нынешнего
превратилась в совокупность нескольких математических научных школ, оказавших
большое влияние на развитие математики в России. Связи ленинградских
(петербургских) математиков с другими научными школами России после Великой
Октябрьской социалистической революции настолько ук426
С. В. Ковалевская (1850-1891)
репились, а научные интересы настолько переплелись, что сам термин
"Петербургская школа" потерял свой обособляющий смысл.
Математическое творчество С. В. Ковалевской. Прежде чем перейти к характеристике
других математических коллективов, осветим научную деятельность первой в мире
женщины - профессора математики, составившей славу русской науки, но оставшейся
трагически одинокой, - Софьи Васильевны Ковалевской (1850- 1891).
С. В. Ковалевская выросла в семье богатого генерала, сделавшегося после отставки
помещиком. Образование она получила до15*
427
машнее, но ее учили хорошие педагоги. Рано обозначился у нее интерес к
математике. Так как доступ в университеты в России для женщин был закрыт, она
последовала примеру передовых женщин того времени и уехала для получения
образования за границу. Получить заграничный паспорт ей помог брак с В. О.
Ковалевским, ставшим широко известным впоследствии своими работами по
палеонтологии. Любовь к науке, и прежде всего к математике, прогрессивное
мировоззрение, " созвучное умонастроению передовых мыслителей и борцов с
самодержавием, помогли С. В. Ковалевской преодолеть условности и предубеждения
родных и вообще людей ее круга.
С. В. Ковалевская уехала в Германию в 1869 г. После кратковременного пребывания
в Гейдельберге, где работали в то время Кенигсбергер, Дюбуа-Реймон, Кирхгоф,
Гельмгольц, она прибыла, в Берлин и убедила К. Вейерштрасса руководить ее
математическими занятиями. Талант Софьи Васильевны развернулся под уме" лым
руководством, и уже в. 1874 г, ее учитель направил в университет в Геттинген три
работы: "К теории уравнений в частных производных", "О форме кольца Сатурна" и
"О приведении одного класса.абелевых интегралов третьего ранга к интегралам
эллиптическим". Этих работ с избытком хватило для присуждения, ей степени
доктора- философии без защиты диссертации.
В первом из сочинений Ковалевская доказала существование единственного
аналитического решения задачи Коши для .дифференциального уравнения с частными
производными вида
== /
?=1
a"n)
при условиях: а) аналитичности функции / в окрестности (д;0, аь ... ..., аг) и
функций, входящих в начальные условия; б) уравнение
г
имеет нормальную форму, т. е. a+\\at"^n + N. Здесь же она
нашла, независимо от Коши, линейное преобразование аргументов, приводящее
уравнение к нормальной форме. Значительным открытием Ковалевской в этой области
явился пример уравнения типа теплопроводности
дх {ду*
с начальными условиями х=а, "ф = "ро (y/b) l. Для этого уравнения задача Коши
вообще не имеет голоморфного решения, так как степенной ряд
1 Этот символ означает аналитичность функции в окрестности у=Ь.
k\
формально удовлетворяющий условиям задачи, сходится лишь при весьма специальных
условиях относительно
Эти результаты Ковалевская распространила на нормальные системы дифференциальных
уравнений с частными производными, -придав им вид, близкий современному"
Во второй работе Ковалевская нашла более высокую степень приближения по
сравнению с решением Лапласа, что позволило ей утверждать, что кольца. Сатурна в
сечении имеют не эллиптическую (по Лапласу), а яйцевидную форму. Позднее была
установлена несплошность структуры этих колец.
Наконец, в третьей статье ею были найдены условия приведения
ультраэллиптического интеграла, содержащего полином восьмой степени, к
эллиптическому интегралу первого рода. .
В том же 1874 г. Ковалевская вернулась в Россию. Она выступила с научными
докладами, познакомилась с Чебышевым, Марковым, Жуковским, Бугаевым и другими
учеными-математиками, вела литературную деятельность,. Однако несмотря на
значительный научный авторитет и содействие ученых для Ковалевской оказалось
невозможным: ни получить работу в университете, ни даже сдать магистерские
экзамены (степени, полученные за границей, не принимались в русских
университетах). Царское правительство ни под каким видом -не допускало женщин в
высшую школу.
Только в 1883 г., после смерти В. О. Ковалевского, она получила приглашение на
должность доцента во вновь открытый университет в Стокгольме и переехала в
Швецию, где через * год (в 1884 г.) стала профессором. Здесь перед ней открылись
возможности для научной работы. Год за годом она читала курсы лекций. Их высокий
научный уровень и педагогическое мастерство лектора вызывали благожелательные
отклики. Известно, что С. В. Ковалевская читала следующие курсы лекций: теория
дифференциальных уравнений с частными производными (1884, 1890), вейер-штрассова
теория алгебраических (1885), абелевых (1885-1887), эллиптических (1888) и тетафункций
(1888), теория потенциала (1886), теория движений твердого тела (1886 -
1887), качественная теория дифференциальных уравнений по Пуанкаре (1887-1888),
'аналитические методы теории чисел (1890) и др.
Энергичная научная деятельность Ковалевской принесла тем временем новые плоды. В
1888 г. она получила премию Парижской академии наук за лучшее в объявленном
конкурсе решение задачи о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки, где
рассмотрен случай нагруженного (не вполне симметрического) ги429
роскопа. За другую работу в этой области ей была присуждена премия Шведской
академии наук.
Существо дела здесь состоит в том, что уравнения движения тяжелого твердого тела
около неподвижной точки в общем случае не имеют однозначных решений с пятью
произвольными постоянными и на всей комплексной плоскости в качестве особых
точек
Рис. 66
содержат только полюса. Установив это, Ковалевская нашла затем:" что в некоторых
случаях все элементы движения могут выражаться через эллиптические, функции от
времени t. Эти функции, как известно, на комплексной плоскости имеют в качестве
особых точек только полюса и, следовательно, однозначны.
Первый из таких случаев, когда центр движения находится в неподвижной точке, был
исследован Эйлером и Пуансо. Они доказали, что для того, чтобы полностью
определить движение, достаточно интегралов живых сил и площадей..
Второй случай выделил и разрешил Лагранж. Это случай, когда эллипсоид инерции
относительно неподвижной точки является, эллипсоидом вращения, а неподвижная
точка лежит на оси вращения этого эллипсоида. Лагранж прибавил к интегралу живых
сил и к интегралу площадей относительно вертикали, проходящей через точку опоры,
третий интеграл, выражающий постоянство условий скорости относительно оси
вращения эллипсоида инерции. Это дало ему возможность выразить все элементы
движения через посредство эллиптических трансцендентностей.
Третий случай разрешила Ковалевская. Это тот случай, когда центр тяжести тела
лежит на плоскости экватора эллипсоида инерции, построенного для неподвижной
точки, служащего эллипсоидом вращения и удовлетворяющего условию А = В = 2С (Л,
5, С - главные моменты инерции).
Н. Е. Жуковский наглядно интерпретировал эти три случая (см. рис. 66).
Через три года после смерти С. В. Ковалевской, в 1894 г., А. М. Ляпунов придал
этим ее результатам весьма общую форму. Однако эта проблема в общем-виде еще не
разрешена. Общих
методов изучения соответствующих уравнений для любых параметров и начальных
данных еще нет.
Крупнейшие русские математики - Чебышев, Буняковский и Имшенецкий.--добились в
1889 г. избрания С. В. Ковалевской членом-корреспондентом Петербургской академии
наук. Однак© даже члену-корреспонденту Академии,, имеющему прославленное научное
имя, царское правительство не разрешало вести работы в Академии или
университетах; женщинам это было запрещено. Умерла С. В. Ковалевская в 1891 г. в
расцвете творческих сил и замыслов; похоронена в Стокгольме, на Северном
кладбище.
Московская математическая школа. В заключение-рассмотрим. основные этапы
формирования Московской математической школы. В отличие от Петербургской школы,
где средоточием математических исследований являлась Академия наук, математики
Москвы группировались" вокруг университета. Историю математики в XIX в. в Москве
следовало бы начинать с 1804 г., с момента организации физико-математическогофакультета
и кафедр, чистой и прикладной математики. Первая половина века
характеризуется в основном постепенным повышением уровня преподавания, ростом
квалификации профессоров и преподавателей. В трудных условиях самодержавного
гнета медленно росло и количество студентов: за 11 лет (1825-1836) физикоматематический
факультет окончило 119 человек, т. е. в среднем около 11 человек
в год; за следующие 18 лет (1837-1854) его окончило уже 453 человека, что
составляет около 25 человек в год. Возможности применения научных талантов были
весьма ограниченными. Тем не менее из выпускников Московского университета за.
полстолетия вышло немало видающихся ученых: академики П. Л. Чебышев, И. И.
Сомов, Ф. А. Бредихин, профессоры В. Я. Цингер, А. Ю. Давидов, М. Ф. Хандриков,
Н. А. Любимов/ А. Г. Столетов и др.
В 1811 г. в Москве была предпринята попытка создать первое в России
математическое общество. Инициатором был подполковник Н. Н. Муравьев. Целью
общества, как было указано в его уставе, было распространение математических
наук. Впрочем, практически дело свелось к обучению прикладным военным наукам.
Через пять лет, в 1816 г., на базе общества выросло военно-учебное заведение,
готовящее офицеров генерального штаба. В 1826 г. оно было переведено в
Петербург.
Перелом в налаживании серьезной научной деятельности в Москве наметился лишь в
60-е годы XIX в. Он целиком связан с организацией Московского математического
общества. Математические общества, как и всякие другие научные общества,
являются формой коллективного труда ученых, важнейшей составной частью которого
является научная взаимная информация и обсуждения. Появление научных обществ
знаменует новый, более высокий уровень научных исследований. В наши дни помимо
обществ существует много организационных форм коллективного труда ученых
(лаборатории, семинары, институты, координационные цен431
Н. Д. Брашман (1796-1866)
тры и т. п.), но роль научных обществ не снижается. Можно думать, что в грядущем
коммунистическом обществе общественные формы научных объединений займут еще
большее место.
Московское математическое общество начало свою деятельность в 1864 г. Вначале
это была небольшая группа ученых, преимущественно преподавателей университета,
собиравшихся на квартире у всеми уважаемого учителя многих из них, профессора Н.
Д. Брашмана (1796-1866), ушедшего в этом же, 1864, году в отставку.
На первом заседании, 15 сентября 1864 г., Н. Д. Брашман был избран президентом
общества, А. Ю. Давидов - вице-президентом. Было решено, что целью нового
общества будет взаимное содействие в занятиях математическими науками. Для этого
все 13 членов общества поделили между собой отрасли физико-математических наук,
чтобы следить за их успехами и развитием и сообщать о них на заседаниях. По
математике эти реферативные задания распределились таким образом (формулировки
сохранены): А. Ю. Давидов •- интегрирование уравнений с частными
дифференциалами; А. В. Летников - дифференциальные уравнения; Н. Н. Алексеев -
интегрирование иррациональных функций и эллиптические функции; К. М. Петерсон -
аналитическая геометрия; С. С. Урусов -, теория -конечных разностей; Ф. А.
Слудский, а затем с 1865 г. Н. В. Бугаев - теория чисел. Другие члены общества
взяли на себя рефераты по механике,, астрономии и физике.
Через год, в октябре 1865 г., члены общества возбудили ходатайство об
официальном утверждении своей организации. До этого, в апреле 1865 г., они
решили издавать "Математический сборник"; первый выпуск этого журнала появился-в
октябре 1866 г. Официальное оформление общества произошло 28 января 1867 ivОбщество
испытывало большие' финансовый"и""организационные трудности, но дело
шло. К 1901. г. в нем состояло уже 101, а к 1913 г.- 112 человек. С перебоями,
но выходил и "Математический сборник" - старейшее русское специально
математическое периодическое издание, существующее и в наши дни., Наладился в
1873 г. обмен изданиями с заграничными организациями. Научный авторитет общества
и связи его членов крепли. Большую помощь обществу оказывал его влиятельный член
- П. Л. Чебышев.
Постепенно в'обществе произошла дифференциация, которая привела к
преобразованию" математики и механики (носившей в то время название прикладной
математики) и практически к их обособлению от других наук. До 1.91.7 г. из 971
научного- сообщения, прочитанного на заседаниях общества, 640 (66%) пришлось на
математику, 217 (22%)-на механику и 114 (12%) на физику и астрономию.
Научные интересы московских математиков охватывали многочисленные области.
Однако вскоре выкристаллизовались наиболее продуктивные направления,
складывающиеся в научные школы. Во второй половине XIX в. таких школ было две:
прикладной математики (механики) и дифференциальной геометрии. Крупным также
было направление дифференциальных уравнений.
Инициатор организации математического общества и его первый руководитель Н. Д.
Брашман окончил в Вене Политехнический институт и университет. После работы в
Петербурге и в Казани (1825-1834) он прибыл в Московский университет как
профессор прикладной математики. За 30 лет работы в университете он заложил
научные основы преподавания теоретической и практической механики. Читал он
лекции и по математическим дисципли433
Н. Е. Жуковский (1847-1921)
нам. Его научные интересы относились к исследованию принципа наименьшего
действия и к гидромеханике. Он был учителем многих выдающихся математиков (П. Л.
Чебышев, И. И. Сомов и др.) и механиков (А. С. Ершов, А. Ф. Давидов, Ф. А.
Слудский и др.).
Преемник Брашмана по преподаванию механики Б университете и на посту президента
Московского математического общества А. Ю. Давидов (1823-1885) был ученым
широких научных взглядов, счастливо сочетавшим теоретические и прикладные
занятия. Его работы по механике относятся к двум проблемам: теории.
равновесия тел, погруженных в жидкость, и капиллярным явлениям. Ему принадлежит
метод нахождения положений равновесия плавающих тел с помощью поверхности
центров (поверхности, на которой размещены все центры тяжести для различных
сечений тела постоянного отсеченного объема). Теорию капиллярных явлений Давидов
стремился связать с общей теорией равновесия жидкостей и изучать ее средствами
аналитической механики с помощью принципа виртуальных перемещений, но с учетом
изменения плотности на границах. Математические исследования Давидова относятся
. к применениям теории вероятностей, дифференциальным уравне- у ниям с частными
производными, теории интегрирования.
В конце XIX в. в университете, и высшем техническом училище работало
сравнительно много математиков прикладного направления: Ф. А. Слудский, Д. Н.
Лебедев, Ф. Е. Орлов, В. Л. Цингер. Общепризнанным главой этого научного
направления сделался Николай Егорович Жуковский (1847-1921). Он окончил
университет в 1868 г. по прикладной математике. Многие годы Жуковский преподавал
в университете и в высшем техническом училище. Вступив в математическое общество
(1876), он сделался одним, из самых активных и авторитетных членов; его избрали
вице-президентом (1903-1905),, а затем президентом (1905-1921) общества.
В сочинениях и во всей деятельности Жуковского нашло наиболее яркое выражение
сочетание ученого-теоретика и инженера-практика. В математике его основные
исследования, концентрируются вокруг уравнений математической физики, причем
большое место отведено приближенным методам решения. Много работал он над
проблемами теории функций комплексного переменного, открыв применения этой
теории к решению сложных проблем гид-ро- ,и аэромеханики.
Среди многочисленных работ (около 80) Н. Е. Жуковского, написанных до 1900 г.,
преобладают работы по гидродинамике. В них исследуются проблемы качки судов,
реактивные водометные двигатели, трение жидкости в полости тела и т. п. В связи
с техническим консультированием московского водопровода Жуковский открыл явление
гидравлического удара и разработал его теорию. Кроме того, ему принадлежит
большое количество исследований по механике: теории движения твердого тела
вокруг неподвижной точки, устойчивости движения и т. д.
В последние годы XIX в. Жуковский сосредоточил усилия на разработке проблем
аэромеханики и авиации. С 1889 г. появляются его исследования по теории
воздухоплавания. Вскоре он перешел к экспериментам в этой области, построив в
Московском университете (1902) первую аэродинамическую трубу. Через два года, в
1904 г., он открыл метод присоединенных вихрей, сделав его основой
аэродинамических расчетов. За этим последовала разработка теории подъемной силы
крыла и вихревая теория винта. Одновременно расширялись и эксперименты. Вместе с
учениками и сотрудниками (число которых быстро росло) Н. Е. Жуковский в 1904 г.
К. М. Петерсон (1818-1881)
принимал участие в проектировании и строительстве первого в 'России
аэродинамического института в Кучино (под Москвой). В 1910 г. он организовал
аэродинамическую лабораторию в Московском высшем техническом училище.
Неисчислимые научно-теоретические и экспериментальные заслуги Жуковского дали
основание В. И. Ленину назвать его "отцом русской авиации".
Жуковский воспитал огромное количество ученых-теоретиков, экспериментаторов,
инженеров, офицеров-летчиков. Он был окружен вниманием и заботой Советского
правительства. После его смерти в 1921 г. исследования были продолжены и развиты
его учениками, в особенности С. А. Чаплыгиным. Из прикладной мате436
матики развились многочисленные отрасли механики - науки многообразной, тесно
сочетающей математические методы теоретического исследования с экспериментом и
потому особенно важной для современных отраслей новой техники. Советская
механика вносит ныне достойный вклад в строительство научно-технической базы
коммунизма и имеет многочисленных выдающихся представителей (М. В. Келдыш, М. А.
Лаврентьев и др.).
Другая научная школа,, о которой мы выше упоминали, ведет свое начало от работ
К, М. Петерсона по классической дифференциальной геометрии, Петерсон (1818-1881)
окончил в 1852 г. университет в Тарту. Его учителями были Зенф и Миндинг,
которые, по.-видимому, привили ему интерес к проблемам дифференциальной
геометрии. В кандидатской диссертации "Об изгибании поверхностей" (1853) и в
последующих работах Петерсон по существу определил развитие теории поверхностей
на долгие годы. Он исследовал, изгибания поверхностей, ввел изгибание на главном
основании, решал связанную с изгибанием задачу определения поверхности по
заданным квадратичным формам, выведя аналитические условия, определяющие
поверхность с точностью до положения в пространстве. Эти условия известны, как
формулы Майнарди - Кодадци, хотя последние получили свои результаты на четыре и
пятнадцать лет соответственно позже Петерсона. Кроме того, он нашел изгибания
минимальных поверхностей, открыл новые классы поверхностей. Отметим, что
Петерсон всю жизнь работал преподавателем средней школы, а степень доктора
получил в Одесском университете (1879)-не за отмеченные работы, а за не столь
значительные работы по теории дифференциальных уравнений.
Теория поверхностей и их изгибаний надолго сделалась объектом исследования
московских геометров. Вслед за Петерсоном этими проблемами занимался Б. К,
Млодзеевский, посвятивший им свою магистерскую диссертацию. Здесь он вывел общее
уравнение изгибания (уравнение в частных производных 2-го порядка" выражающее
координаты точек поверхности с данным линейным элементом ds2 в функции величин
u, v). Он получил результаты в теории дифференциальных инвариантов поверхностей
и многомерных многообразий, а также относительно частных классов поверхностей.
Д. Ф. Егоров (1869-1931) исследовал трижды ортогональные системы и ввел так
называемые потенциальные поверхности (вошедшие в мировую литературу по
инициативе Дарбу как поверхности ?). Эти работы были впоследствии продолжены его
учениками Л. Н. Сретенским и С. П. Финиковым. Московскую школу дифференциальной
геометрии после Егорова возглавляли С. П. Фиников и С. С. Бюшгенс. В настоящее
время эта школа представляет активный творческий коллектив, возглавляемый С. П.
Финиковым.
Жуковский, Егоров и Млодзеевский в наиболее яркой форме отразили и в
значительной мере определили стиль работы математиков Москвы конца XIX - начала
XX в. Этот стиль характеризо^
Д. Ф. Егоров (1869-1931)
вался широтой научных интересов, отсутствием узкой специализации, стремлением к
исследованию обобщающих идей. Вначале Жуковский, а затем Егоров и Млодзеевский
ввели в практику преподавания научные семинары и лекции, посвященные новым
областям математики. Это ускорило процесс роста молодых ученых. В семинарах
университета выросли Н. Н. Лузин, В. В. Голубев, И. И. Привалов, В. В. Степанов,
а затем П. С. Александров, А. Н. Колмогоров, Д. Е. Меньшов, -Л. Н. Сретенский,
П. С. Урысон, А. Я. Хинчин и др., составившие основу Московской математической
школы по438
еле Великой Октябрьской социалистической революции и завоевавшие ей своими
работами ведущее положение в науке.
Тематически объединение научных интересов значительной части московских
математиков (если не сказать большинства) произошло в начале XX в. вокруг
проблем теории множеств и теории функций. Внимание было обращено на исследование
основных понятий анализа (функции, производной, интеграла и т. д.) и операций
(например, разложение функций в ряды) с более общих точек зрения" Характерным
моментом многих исследований сделалось стремление к полному выяснений
действительного смыслового объема общих понятий и к их. обобщению, когда с их
помощью не удается получить исчерпывающий ответ на поставленный вопрос. При этом
наметилось много общих черт с творчеством выдающихся французских математиков
(Борель, Лебег, Бер и др.), с которыми Егоров и Млодзеевский познакомились во
время научных командировок во Францию.
Начало бурному развитию этого нового направления в Москве положили диссертация
И. И, Жегалкина о трансфинитных числах и работа Д. Ф. Егорова "О
последовательностях измеримых функций" (1911). Основным результатом последней
явилась теорема: всякая сходящаяся почти всюду последовательность измеримых
функций1 сходится равномерно на замкнутом множестве, дополнение к которому имеет
сколь угодно малую меру. Теорема эта сразу же подчеркнула значение исследований
по теории функций для всего математического анализа, позволив продвинуть те
вопросы, где трудность состоит в исследовании характера непрерывности и
сходимости,
Через год, в 1912 г., ученик Д. Ф/Егорова Н. Н. Лузин (1883- 1952) установил еще
более тесную связь структурных свойств измеримых функций с-более узким классом
непрерывных функций, открыв замечательное С-свойство: всякую измеримую функцию,
конечную почти всюду на некотором отрезке, -можно изменить на множестве сколь
угодно малой меры так, чтобы она. стала непрерывной на всем отрезке. Йазвание
этого свойства выбрано по начальной букве французского слова: continuite, что
означает непрерывность.
Открытие С-свойства создало сразу же широкие разносторонние возможности,
раскрытые и в значительной степени реализованные в книге Лузина "Интеграл и
тригонометрический ряд" (1915), представленной им в Московский университет в
качестве магистерской диссертации. Значение этой книги, определившей на многие
годы вперед линии развития метрической теории функций (т. е. части теории
функций, основывающей свои выводы на понятии меры множества), было оценено
тотчас после ее появления присуждением ее автору ученой степени доктора, минуя
степень магистра. Поэтому мы уделим некоторое место ее характеристике.
1 Измеримые функции - функции, у которых для любого действительного М множество
значений х, для которых f(x)"M, будет измеримо.
Н. Н. Лузин (1883-1952)
Выяснение взаимосвязей новой теории функций с математическим анализом было
главной целью этой книги. Более конкретная постановка задачи состоит в
совместном изучении структурных свойств определенных классов функций и
аналитического аппарата, изображающего этот класс функций и операции над ним.
При этом возможны две взаимно обратные постановки задачи: а) исходя из
структурного свойства функции определить аналитический аппарат, ее изображающий;
б) исходя из класса аналитических выражений отыскать структурное свойство
соответствующих функций.
440 ' ' •
В первой из шести глав книги Лузина дан общий обзор свойств измеримых множеств и
измеримых функций и вывод С-свойства, Вторая глава посвящена отысканию
примитивной функции. Примитивная, по Лузину, - это непрерывная функция, имеющая
данную функцию своей производной почти всюду (последнее обусловлено
необходимостью охватить обобщения понятия интеграла, введенные Лебегом и
Данжуа). Оказалось,, что всяка
...Поділитися у соцмережах
