Жанр: Наука
История и методология математики
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ,............-"... 5
1.1. Предмет истории математики.......... . . . 6
1.2. О материалистическом понимании предмета математики ......
1.3. Роль практики в развитии математики . . ...... .
1.4. Связь математики с другими науками .......... 10
I 1.5. О диалектическом характере законов развития математики ....
/1.6. О воздействии социально-экономического строя общества на развитие
математики . . . . . . . . . .
. . . . -' - 13
| 1,7. Главнейшие периоды в истории математики......- •. 14
/ 1.8. Роль истории математики в системе подготовки математиков-специа/
листов • . . -................. "16
Г л а в а 2. Процесс формирования математических представлений
2.1. Возникновение первых математических понятий и методов . . .
2.2. Математика древнего Египта . . . ......... .
2.3. Математика древнего Вавилона . . ....... 25
2.4. Математика древнего Китая.....'. .. ........ 28
2.5.-Математика древней Индии1' ............ 40
Г л а в а 3. Формирование первых математических теорий
3.1. Первые математические теории в древней Греции ...... 48
3.2. Аксиоматическое построение математики в эпоху эллинизма . . .
3.3. Инфинитезимальные методы в древней Греции ....... 67
3.4. Математические теории и методы поздней античности .
Г л а в а 4. Развитие элементарной математики
4.1. Общие замечания о периоде элементарной математики .... 96
4.2. О математике народов Средней Азии и Ближнего Востока .... 97
4.3. Математика в Европе в средние века и в эпоху Возрождения . .
4.4. Дальнейшее развитие элементарной математики . . . .
. . 125
Г л а в а 5. Процесс создания математики переменных величин .
5.1. Начало периода математики переменных величин....., 138
5.2. Возникновение аналитической геометрии........ 140
5.3. Накопление интеграционных и дифференциальных методов ... 151
5.4. Появление анализа бесконечно малых......... 171
Г л а в а 6. Развитие основных частей математики в XVIII веке
6.1. Об условиях и особенностях развития математики в XVIII в. . .
6.2. Преобразование основ анализа бесконечно малых...... 198
6.3. Развитие аппарата математического анализа....... 221
6.4. Создание вариационного исчисления......... 247
6.5. Развитие геометрии.............. 261
6.6. Создание предпосылок современной алгебры и теории чисел ,. . .
6.7. Развитие теории вероятностей и комбинаторного анализ ^Х ... 306
Г л а в а 7. Начало периода современной математики
7.1. О характере развития математики в XIX в. .......... 309
7.2. Возникновение основных понятий современной алгебры . . .
. 311
7.3. Перестройка основ математического анализа . , . . .
" . 327
7.4. Развитие аппарата и приложений математического анализа . . .
7.5. Создание теории функций комплексного переменного...... 367
7.6. Преобразование геометрии . . ,..'.'. . . . ,
. . 393
Г л а в а 8.
Математика в Р о семи ... , . '. , . . ..... 410
Заключение.
Список литературы.
Именной указатель.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Изучение истории науки, ее методологических основ составляет важную часть
подготовки специалистов в высших учебных заведениях. Общепризнано" что незнание
опыта развития науки, неумение его анализировать делают исследователя
беспомощным перед задачами будущего. Эти соображения определяют ." задачу
настоящей книги: помочь студентам математических специальностей университетов и
педагогических институтов, а также широким кругам математиков-специалистов,
осмыслить с марксистско-ленинских позиций исторический опыт своей науки,
движущие силы и пути ее развития.
Первое издание книги опубликовано в Издательстве 'МГУ в двух томах. При
подготовке к настоящему изданию оба тома сведены в один, а структура и
изложение, унифицированы. В книге тщательно отобран и кратко проанализирован тот
материал, на примере которого наиболее наглядно проявляются закономерности
развития математики. Необходимые изменения внесены в текст и список
рекомендованной литературы. Автор надеется, что указанные усовершенствования
сделали книгу еще более полезной делу идейного воспитания математиковспециалистов
и повышению уровня их научной подготовки,,
Профессор Казанского государственного университета Б. Л. Лаптев прочитал
рукопись этого издания и своими замечаниями оказал автору неоценимую услугу.
Дружеское участие коллег" работающих вместе с автором в научно-исследовательском
семинаре МГУ по истории математики и механики, принесло несомненную пользу при
подготовке книги к печати. Автор благодарен 3. А. Кузичевой за активное участие
и большую помощь в издании книги.
ПРЕДМЕТ И МЕТОД ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
Настоящая глава - вводная. Ее цель - разъяснить ряд исходных положений,
необходимых для лучшего понимания научных проблем истории математики. Опыт
показывает, что когда изложение начинается с четкой постановки вопросов
принципиального характера, легче составить целостное представление о математике,
ее современном состоянии, путях развития и о месте математики в системе научного
знания человечества. Разумеется, подлинное понимание .предмета истории
математики, равно как и предмета другой науки, не исчерпывается знанием
соответствующих определений. Оно пополняется и совершенствуется по мере
обогащения фактического состава знания.
Из-за ограниченности объема книги мы рассматриваем сравнительно неширокий круг
вопросов, а связанные с этим разъяснения делаем по возможности краткими.
Формулируемые при этом утверждения не претендуют на полноту аргументации.
1.1. ПРЕДМЕТ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
Все отрасли математики, какими бы разными они ни казались, объединены общностью
предмета. Этим предметом являются, по определению Ф. Энгельса, количественные
отношения и пространственные формы действительного мира. Различные
математические науки имеют дело с частными, отдельными видами этих
количественных отношений и пространственных форм или же выделяются своеобразием
своих методов.
Состав математики, как и всякой другой науки, следующий:
а) факты, накопленные в ходе ее развития;
б) гипотезы, т. е. основанные на фактах научные предположения, подвергающиеся
в дальнейшем проверке опытом;
в) результаты обобщения фактического материала, выраженные в математических,,
в данном случае, т е о р и я х и з а к о н а х;
г) м е т о л о л о г и я математики, т. е. общетеоретические
истолкования математических законов и теорий, характеризующие общий подход к
изучению предмета математики.
Все эти элементы взаимосвязаны и постоянно находятся в развитии. Выяснение того,
как происходит это развитие в изучаемый исторический период и куда оно ведет, и
является предметом истории математики, одной из математических дисциплин.
История мате# .^ки есть наука об объективных законах развития математики.
В - соответствии с этим на историю математики возлагается • решение
большого круга задач., Нет возможности и необходимости их. перечислять.
Целесообразнее здесь дать лишь суммарные характеристики направлений историкоматематических
исследований.
Во-первых, в работах историко-математического характера воссоздается богатство
фактического содержания исторического развития математики. В них освещается, как
возникли математические методы, понятия и идеи, как исторически складывались
отдельные математические теории. Выясняются характер и особенности развития
математики "у отдельных народов в определенные исторические периоды, вклад,
внесенный в математику великими учеными прошлого, и в первую очередь
отечественными учеными.
Во-вторых, историко-математические работы раскрывают многообразные связи
математики. Среди них: связи математики с практическими потребностями и
деятельностью людей, с развитием других наук, влияние экономической и социальной
структуры общества и классовой борьбы (особенно в области идеологии) наа
а полином
фигурой
ж2
Ч ,
2yz +
2zu
2ux
Свободный член размещается в центре этой фигуры.
Другим крупным достижением математиков средневекового Китая было регулярно
применяемое суммирование прогрессий
известное из сочинений Шэнь Ко (XI в.) и Ян Хуэя .(XIII .в.), Своеобразие
приемов вычисления сумм прогрессий данного вида можно проиллюстрировать на
задаче вычисления числа ядер, сложенных в пирамиду с квадратным основанием.
Пусть для определенности в пирамиде насчитывается 5 слоев:
о о о о о
00000 00000 00000 00000 0000 + 0000 + 0000 + 0000 +
о о о + +
о о о + +
.000 + +
о о + + +
00+ + +
о + + + +
+ 0000
+ 0000
+ 0000
+ 0000
+ + о о о + + о о о + + о о о
+ + +00
+ + + 00
+ + + + о
Тогда количество ядер: S = l2+22+32+42+52. Из соотношений:
12=1
2а = 1 + 3
З2 = 1 + 3 + 5
42 =1+3 + 5 + 7
52 = 1 + 3 + 5 + 7 +[9
следует, что 5 = 5-1+4-3 + 3-5 + 2-7 + 1 -9, или в общем виде S = n-l + (n- 1) -
3+(м- 2) -5 + ... + 1- (2п- 1), что иллюстрируется частью фигуры, отмеченной
крестиками.
Прибавив еще
(гс - 2)2+ ...
получим
35.'= (2л + 1) я + (2л + 1) (я - 1) + ... + (2л + !)•! =
___ /Г) л- I 1 \
~~~ I^/J -f- Jt I • *~~~
Наконец
х = г2 (mod "/2),
Наряду с арифметико-алгебраическими задачами в Китае развивались
элементы комбинаторики; был найден треугольник биномиальных
коэффициентов, известный теперь под названием треугольника
Паскаля. По-видимому, как одно из обобщений задач арифметики появились
теоретико-числовые задачи. Типичные примеры таких задач приведены у Сунь-цзы
(III в. н. э.), решавшего задачу нахождения числа, которое при .делении на 3, 5,
7 дает соответственно остатки 2, 3, 2. Это задача на. решение линейной системы
сравнений с попарно взаимно-простыми модулями^
2; г2 = 3; rd =* 2; дг = 3; д2 = 5; д9 = 7)
Сунь-цзы находит вспомогательные числа Nh N2, N3, для которых:
s= 1 (mod дг), 35 ^ = 1 (mod 3), 2Мг = I (mod 3),
1 (rn°d %)" т- е. 21 JV2 = 1 (mod 5), или • N2 = 1 (mod 5), = 1 (mod 9e),
1 5 ATS = 1 (mod 7), #3 s 1 (mod 7).
Тогда: Жх = 2; N2 - 1 ; N3 = I ; ^a% = 70; 7V2^3 - 21 ; N3g& = 15;
A: = (Ntffo + Ntftfa + N&gJ (mod q^q)\ х г (140 + 63 + 30) (mod 105); *== 233
.(mod 105); * = 233- 105/.
При t = 2 наименьшее значение х будет 23.
Аналогичные задачи решались и в более поздние времена. Так, Цинь Цзю-шао (XIII
в.) решал задачу, сводящуюся к следующей системе сравнений:
* = 32(mod 83), *E=E70(mod 110),
*s= 32 (mod 135).
Практический подход к задачам геометрии, наблюдавшийся в "Математике в девяти
книгах", сохранялся в китайской математике на протяжении всего рассматриваемого
периода времени.
В геометрическом наследии древнего и средневекового Китая вид ное место занимает
сочинение Лю Хуэя (III в. н. э.) "Математика морского острова", имевшее вначале
характер комментария и добавления к последней части "Математики в девяти,
книгах".
В "окончательном виде в "Математику морского острова" входят задачи на.
определение размеров недоступных предметов и рас-стояний до них. Решаются они по
преимуществу применением теоремы Пифагора или подобия треугольников. Попыток
систематического дедуктивного построения математики в Китае не отмечено.
Все известные нам источники утверждают, что с XIV в. в Китае начинается
длительный период застоя в развитии наук. Добытые ранее знания не развиваются и
даже забываются; математика развивается, преимущественно за. счет усвоения,
иностранных знаний. В 1583 г.' в Китай проник иезуит-миссионер М. Риччи, вслед
за которым Китай наводнила Целая армия священнослужителей и монахов. Видимо, не
без их содействия в 1606 г. в Китае впервые появились издания "Начал" Евклида, в
1650 г. -таблицы -логарифмов Влакка-. Оригинальное же развитие китайской науки
под-давлением колонизаторов' и законсервировавшихся феодальных форм: правления
прекратилось. Китайские математики-специалисты подготавливались к научной
деятельности за границей, в большинстве там же и. работали.
Математика в Китае получила новый стимул к развитию только в XX в. под влиянием
народно-освободительного движения, а затем народной революции и руководства
Коммунистической партии Китая. В 1928 г. в Нанкине была образована центральная
научно-исследовательская академия, среди 13 институтов которой был и институт
математики. Собравшиеся в этом институте ученые вели работу по многим
направлениям одновременно. Они получили результаты, в области рядов Фурье,
аналитической теории чисел, топологии, дифференциальной геометрии,, теории
вероятностей и математической статистики, алгебры, теории конечных групп.
После 1949 г. в Китае началось быстрое развитие математики в тесном содружестве
с математиками СССР. Особенно тесно ученые сотрудничали в области аналитической
теории чисел, где Хуа Ло-кэн и другие вели работы методом тригонометрических
сумм, изобретенным академиком И. М. Виноградовым. К работам Д. Е. Меньшова об
ортогональных рядах примыкают работы Чень Цзян-гуана и Ван Фу-чуна. Исследования
Су Бо-цина и других связаны^ работами советских математиков школы С. П. Финикова
по линейным комплексам. Даже в теории вероятностей, где особенно сильное влияние
оказывали английские и американские математики, сказалось сближение с советскими
специалистами школы А. Н. Колмогорова. Сотрудничество китайских математиков с
советскими коллегами всегда было плодотворным, обогащало их в научном отношении
и способствовало развитию прогрессивного мировоззрения и практических успехов в
приложениях математики.
2.5. МАТЕМАТИКА ДРЕВНЕЙ ИНДИИ
В древней и средневековой математике народов Индии много общего с китайской
математикой. В Индии математика тоже является очень древней наукой, издавна
составляющей часть культуры. В ней тоже преобладали вычислительноалгоритмические
методы и отсутствовали попытки построения дедуктивных систем;
геометрия индийцев - также практическая.
Эта общность характера науки и путей ее развития не случайна и отражает
сходность путей исторического развития обеих великих стран и давние
экономические и культурные связи между ними. В Индии к началу нашей зры уже
сложилась развитая феодальная система организации общества., Длительная
консервация феодальных отношений: усугублялась кастовым расслоением во-циальных
групп населения, что определило, несмотря на бурное временами течение
политических событий, весьма медленный темп развития производства и науки.
Английские, французские, португальские колонизаторы в течение нескольких
столетий насильственно задерживали естественное развитие производства, науки и
культуры индийского народа. Только в наше время происходит процесс национального
освобождения и подъема производительных сил .Индии.
Самыми ранними памятниками математической -культуры индийцев являются
религиозные книги: сутры и веды. Их происхождение относят к VIII-VII вв. до н.
э. Написаны они на давно уже умершем языке - санскритском. В них мы находим
геометрические построения, составляющие важную часть ритуалов при постройке
культовых сооружений: хра'мов, алтарей и т. д. В них MOJKHO найти первые способы
квадрирования кругов, применение теоремы Пифагора. Видимо, вследствие требований
архитектуры решалась и арифметическая задача о нахождении пифагоровых троек
натуральных чисел.
Числовая система с древних времен определилась как десятичная. Столь же рано
определилась склонность к оперированию большими числами, нашедшая отражение в
легендах. Будда, например, отличался феноменальным умением считать; он строил
числовые десятичные системы до 1054, давая наименования каждому разряду. Женихи
прекрасной богини Земли, добиваясь ее руки, обязаны были соревноваться в письме,
арифметике, борьбе и стрельбе из лука. Победитель соревнования Сарватасидда
придумал, в частности, шкалу чисел, идущих в геометрической прогрессии со
знаменателем 100, до Ю7+'9'46, т. е. до числа с 421 нулем. Пристрастие к
операциям с большими числами сохранялось в течение всей истории математики в
Индии.
Наиболее яркий период развития, оставивший самые значительные образцы
математической литературы, - это V-XII вв. н. з. В это время трудились
выдающиеся индийские ученые - математики и астрономы: Ариабхатта (конец V в.),
Брахмагупта
(род. 598 г.), Магавира (IX в.), Бхаскара Акарья (род. 1114 г.; От Ариабхатты,
жившего в северо-восточной Индии, осталось сочинение в стихах астрономического и
математического содержания. В нем сформулированы правила элементарной
математики- арифметики/ геометрии и тригонометрии,, Брахмагупта также в
стихотворной форме написал огромное сочинение в 20 книгах "Усовершенствованная
наука Брамы", в котором 12-я книга посвящена арифметике и геометрии, а 18-я -
алгебре и неопределенным уравнениям. Значительное математическое содержание
имеют две книги Бхаскары: "Лилавати" и "Виджаганита". "Лилавати" (что-значит
"прекрасная") Бхаскара посвятил своей дочери. В поэтической манере в 13 отделах
книги излагаются: 1) метрология; 2) действия над целыми числами и дробями и
извлечение • корней; 3) способ обращения, способ ложного положения и другие
частные приемы решения задач; 4) задачи на бассейны и смеси;
5) суммирование рядов; 6) планиметрия; 7-11) вычисление различных объемов;
12) задачи неопределенного анализа; 13) задачи комбинаторики.
Другое сочинение Бхаскары — "Виджаганита" - состоит из восьми "отделов: 1)
действия, над положительными'и отрицательными числами; 2-3) неопределенные
уравнения 1-й и 2-й степени; 4) линейные алгебраические уравнения; 5) квадратные
уравнения;
6) системы линейных уравнений; 7-8) .неопределенные уравнения 2-й степени.
Мы не, ставим себе здесь целью описание всех источников, заслуг и роли отдельных
лиц. Нашей целью является оценка уровня достижений математиков Индии,
особенностей форм и методов математического исследования и путей -развития
индийской, математики. Поэтому здесь мы дадим лишь общие характеристики.
Как было уже сказано, главной особенностью индийской математики является
преобладание вычислительных приемов, преподносимых учащимся или читателям в
догматической форме. Среди арифметических правил обращает на себя внимание
широкое распространение правила обращения, которое состоит в следующем:
задумывается число, но учащемуся или противнику сообщаются лишь
последовательность операций с задуманным числом и конечный результат. Решение
задачи состоит в последовательном проведении всех операций в обратном порядке.
Например, в сочинении Бхаскары "Лилавати" перед неизвестной красавицей ставится
задача: назвать число, которое, будучи умножено на три, увеличено затем на три
четверти произведения, разделено на 7,
уменьшено на - частного, умножено само на себя и уменьшено
о
на 52, после извлечения квадратного корня, прибавления 8 и деления на 10, даст
2. Среди других правил вычислительной техники индийцев есть правило извлечения
корней и действий с иррацио-нальностями.
Оперирование большими числами (в качестве еще одного при41
мера приведем задачу определения числа членов геометрической прогрессии, если 0i
= 3, q = 5, *S = 22 888 183593), помимо отработки единой числовой десятичной
системы с нулем и числовой символики, привело к введению в математику
представлений о бесконечно больших числах. Бхаскара вводил это представление,
рассматривая выражения вида - и поясняя, что это есть тоже число,
но не претерпевающее изменений, приращения или ущерба, какое бы большое число мы
к нему ни прибавляли или от него ни отнимали; его, по выражению Бхаскары, можно
уподобить вечному времени бесконечной цепи.существований.-
Индийские математики ввели и правильно трактовали и понятие отрицательного
числа. Так, Брахмагупта разъясняет, что числа могут трактоваться либо как
имущество, либо как долг. Правила операций с числами тогда таковы: сумма двух
имуществ есть имущество, двух долгов - долг, имущества и долга - их разность, а
если они равны - нуль. Сумма нуля и долга есть долг,, имущества и нуля -
имущество. Произведение двух имуществ или двух неимуществ есть имущество;
результат произведения имущества на долг представляет убыток. То же правило
справедливо и при делении., Квадрат имущества, или долга, есть имущество;
имущество имеет два корня: один составляет прибыль, другой - долг. Корня убытка
не существует, ибо таковой не может быть квадратом. Однако, вводя отрицательные
числа, индийские математики не использовали их как равноправные элементы
математики, считая их только чем-то вроде логических возможностей, потому что,
по выражению Бхаскары, люди с ними не согласны.
Кроме правил и задач арифметики в индийскую математику входили также решения
ряда задач алгебры, неопределенного анализа, комбинаторных задач. К алгебре
относятся в первую очередь правила решения линейных уравнений, их систем и
квадратных уравнений,, Например, Ариабхатта формулирует задачу: капитал 100 (мы
обозначим его р) отдан в рост. Прирост за месяц (=х) отдан снова в рост на 6
(=/) месяцев. Общий прирост 16 ( - q). Каков прирост за месяц?
Соответствующего уравнения: tx2+px=qp Ариабхатта, разумеется, не пишет, но
правило, даваемое им для решения этой задачи, есть не что иное, как общее
правило для квадратного уравнения. В самом деле, он дает предписание: умножь
сумму прироста и прироста прироста (т. е. q) на время (t) и капитал (/?),
прибавь квадрат половины капитала f-^-J, извлеки квадратный
корень, затем вычти половину капитала и раздели остаток на время.
Соответствующая формула, очевидно, будет
х =
?лты прикладной науки. Есть нет, под чертежом представляют
полухорРазвитие
методов решения за ва, анализа представляет одно математики. Появление
подобных древних математических культур. Индии, Греции, Китая и других СТА
подобных задач,, лежит, по-видимому. периодически повторяющихся явлений,
В' самом деле, вопрос о периоде в] менно из целого числа дней (х) и целого ч к
неопределенному уравнению: 10960t/=30, например о периоде "повторения некоторых
полным неопределенным уравнениям. Индийские ходить целочисленные решения
различных видов уравнений 1-й и 2-й степени.
/
Мы уже упоминали о характерной форме изложи X при которой не"воспроизводится ни
ход рассуждений, ни доказательство, что не дает возможности судить о теоретикочисловых
методах индийских математиков. Однако то немногое, что известно"
показывает наличие ряда теоретико-числовых методов,, Например, известно,, что
корни неопределенного уравнения 1-й степени ах-Ьу=. = с получаются умножением на
с корней уравнения ах-Ъу=\. Пусть
а " Ь\ а = bq + г; qx •+• - х - у =
ь
у = qx + -~:_ = дх 4- z.
Чтобы решение у было целым:, необходимо, чтобы z было целым, т, е. задача
сводится к решению уравнения гх-Ьг=1, коэффициенты которого меньше коэффициентов
заданного уравнения (r"i&, b"a), а вид уравнения не изменяется. Продолжая эту
операцию, мы в конечное число шагов дойдем до уравнения и-rnv = \. Возвращаясь к
исходному уравнению, х и у выражаем через v. Метод этот, возможно, был найден по
аналогии с процедурой нахождения общего наибольшего делителя или с алгоритмом
непрерывных дробей.
Приведем еще один пример решения неопределенных уравнений. Уравнение ху = ах+Ьу
+ с преобразовывалось к виду (х-Ь) (у-a) =c + ab с помощью следующей
геометрической интерпретации. Площадь всего начерченного здесь прямоугольника S
= xy. Площадь гномона равна ax + by-ab. Оставшаяся незаштрихованной часть
прямоугольника Si=-(x-b)(y-a) (рис. 2) и в то же время Si = xy-ax-by + ab = c +
ab (по условию), (х-Ь) (у-a)=c+ab. После этого правую часть представляют в виде
произведения двух целых сомножителей.
В качестве еще одного примера рассмотрим циклический метод Бхаскары решения
уравнений вида у2 = ах2+1. Вначале проба43
ми подбирают числа х\, у\, Ь\, чтобы они удовлетворяли уравнению ax\ + bi = у\ и
при этом х\ и Ь\ были взаимно-просты, a &i - возможно меньше. Это можно сделать,
хотя бы положив -^- ^ У а .
Теперь составляют •----
т. е.
*1
Из него получают
целочисленные значения х2 и г, выбирая их так, чтобы
"У2___а
г2-а было как можно меньше. Тогда --- = Ь"
_-_ - ^ - целое, а DI
Ъ% равно квадратному числу /Д т. е. axl + b% = yl. Повторением получают
убывающую последовательность целых чисел: bi, Ь2, ..., 1 и, наконец, ахь+ •!
~:://L Разумеется, доказательства не было дано; впервые доказательство нашел
Лагранж. Имя Пел-ля было присвоено последнему уравнению в XVIII в. просто по
недоразумению.
Рациональные решения уравнения Пелля индийские ученые получали следующим
образом: для произвольных Xi, у\ и Х2, Уч и. соответственных Ъ\ и Ь2 составляли
уравнения:
axl
Полагая, что из вестей корень xQr у0 : axl - у\ = Ь, из выражения для bl
Ь2 получали:] х = 2х0у$; у = axl + yl, или
Y 1 =
или
К области алгебры и теории чисел в индийской математике отнесем, наконец,
элементарные комбинаторные сведения, знание
п , п
сумм JT k и Jj А2, треугольник Паскаля и другие сведения.
Индийская геометрия носит все черты прикладной науки. Есть чертежи, есть
правила, иногда даже правил нет, под чертежом написано только: "смотри!".
Некоторый интерес представляют тригонометрические таблицы, в которых хорды
заменены полухордами. При этом вводятся в рассмотрение по существу
тригонометрические функции: синусы, косинусы и синусы-версусы (sinversa =
= 1-cosa).
В истории Индии имеется достаточно фактов,, свидетельствую-, щих о наличии
экономических и политических связей с греческими, египетскими, арабскими
государствами и с Китаем. В математике .считается бесспорным индийское
происхождение десятичной системы счисления с нулем и правил счета. Можно
проследить заимствование индусами у греков некоторых геометрических сведений и
т. д. Но количество этих фактов невелико. Вопрос о связях и взаимных влияниях
математики Индии, Греции, Китая и арабских стран еще остается недостаточно
выясненным.
В заключение еще раз отметим, что относительно математики в Китае и в Индии мы
располагаем очень ограниченным запасом, сведений,, Либо исчезли, либо еще не
найдены многие материальные свидетельства • возникновения и накопления
математических знаний как части древних культур. Помимо разрушительного влияния
времени, в этом виноваты колонизаторы, которые уничтожили целые народы. Где
последнее оказалось невозможным, как это было в Китае и в Индии, были приложены
все усилия для фальсификации истории, для превознесения заслуг капиталистических
"цивилизаторов" и "просветителей",, несущих якобы свет "темным" народам. В более
завуалированной форме эти тенденции выражены в теориях о едином научном
источнике, о распространении по всему миру знаний одного избранного народа и т.
п.
История учит, что развитие всех форм деятельности человеческого общества
происходит под влиянием единых мотивов экономического развития. Это влияние
сказывается, в частности, в области математики во множественности источников ее
возникновения. Математика возникла и формировалась как наука во многих местах,
нередко весьма- удаленных друг от друга и между собой, казалось бы, не
связанных.
При этом всегда действовали и проявлялись общие закономерности: происхождение
математики из практической деятельности людей, выделение числовых и
геометрических абстракций в качестве отдельной области человеческих знаний,
образование логически последовательной системы этих абстракций, применение
последних к практическим задачам и т. п. Однако форма осуществления общих
закономерностей, характер математической науки, соотношение ее элементов имели
много различий и особенностей, которые необходимо принимать во внимание, чтобы
составить правильное представление о путях и перспективах развития
математических наук.
ФОРМИРОВАНИЕ ПЕРВЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ТЕОРИй
3.1. ПЕРВЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ
Теоретическая часть математики имеет истоки в научных и философских школах
древней Греции, Вклад этих школ в развитие -науки настолько значителен, что даже
в наше время "теоретическое -естествознание" если оно хочет проследить историю
возникновения и развития своих теперешних общих положений, вынуждено
возвращаться к грекам"1.
В период VI-IV вв. до н. э., который мы здесь рассматриваем, Греция представляла
собой совокупность рабовладельческих государств-полисов (городов), ведущих
оживленную торговлю как между собой, так и с другими государствами
Средиземноморского * бассейна: Египтом, Финикией, Персией и т. д. В государствах
античной Греции техника, наука и культура достигли высокого уровня, о чем
свидетельствуют с большой убедительностью сохранившиеся прекрасные исторические
памятники. Дошедшие до нас естественнонаучные и философские труды античных
ученых и сведения о них показали, что в древней Греции сложились основные типы
мировоззрений, действовали различные естественнонаучные школы. Ведущее место
среди греческих натурфилософских школ последовательно занимали: ионийская (VIIVI
вв. до н. з.), пифагорейская (VI-V вв. до н. э.) и афинская (со второй
половины
1 Ф. Энгельс. Анти-Дюринг. М, Политиздат, 1970, стр. 340-341.
V Б. до н. э.). В этих школах с большой полнотой и обстоятельностью
разрабатывались и математические вопросы.
В математике этого времени практические задачи, связанные "с необходимостью
арифметических вычислений и геометрических измерений и построений, продолжали
играть большую роль. Однако новым было то, что эти задачи постепенно выделились
в отдельную область математики, получившую наименование логистики. К логистике
были отнесены: операции с целыми числами, численное извлечение корней, счет с
помощью, вспомогательных . устройств, вроде абака, вычисления с дробями,
численное-решение 'задач, сводящихся к уравнениям 1-й и 2-й степени,
практические вычислительные и конструктивные задачи архитектуры, землемерия и т.
д"
В то же время уже в школе Пифагора заметен процесс накопления абстрактных
математических фактов и соединения их. в теоретические системы. Так, например,
из арифметики была выделена в отдельную область теория чисел, т. е. совокупность
математических знаний,-относящихся к общим свойствам операций с натуральными
числами. В это время уже стали известными способы суммирования простейших
арифметических прогрессий и peri
зультатов вроде (2k- 1) = п2. Рассматривались вопросы деК--1
лимости чисел, введены арифметическая, геометрическая и гармоническая
пропорции1 и различные средние:
арифметическое
ническое-,
геометрическое -
ап и гармрНаряду
с геометрическим доказательством
теоремы Пифагора был найден способ отыскания неограниченного ряда троек
"пифагоровых" чисел, т. е. троек чисел, удовлетворяющих соотношению а2 + Ь2 = с2
и имеющих вид
П' Т^1* ~ *)' Т ^ "*" ^' где п ~нечетное- Другое правило: ~] ~1" (~) +1" где п -
четное, находим у Платона, т. е. в более позднее время. Было открыто много
математических закоПоследняя
имела вид
1 I
-----------Т, а название получила от
a b с
того факта математической теории музыки, что интервалы между полными тонами
обратно пропорциональны высоте тона.
номерностей теории музыки. Особенностью школы Пифагора является то, что
отдельным числам и числовым соотношениям приписывались таинственные, магические
свойства, а само занятие теорией чисел рассматривалось как удел "избранных" и
"посвященных". Числовой мистицизм пифагорейцев, разумеется^ имел не
естественнонаучное, а социально-политическое происхождение.
В тот же период происходили абстрагирование и систематизация геометрических
сведений. Были написаны специальные книги, в которБгхп^гзл^ал^сь'вложившаяся к
тому времени система геометрии. Таковы, например, "Начала." Гиппократа
Хиосского.. В геометрических работах вводились и совершенствовались приемы
геометрического доказательства. Рассматривались, в частности, теорема Пифагора,
задачи о квадратуре круга, трисекции угла, удвоение куба, квадрирование" ряда
площадей, в том числе ограниченных кривыми линиями.
Одной из причин создания математических теорий явилось открытие
иррациональности, вначале в виде установления геометрического факта
несоизмеримости двух отрезков. Значение этого шага в развитии математики трудно
переоценить. В математику вошло такое понятие, которое представляет собой по
существу сложную-математическую абстракцию, не имеющую достаточно прочной опоры
в донаучном общечеловеческом опыте.
Едва ли не^.первой открытой иррациональностью'явился V 2. Можно предполагать,
что исходным пунктом этого открытия были попытки найти общую меру с помощью
алгоритма последовательного вычитания, известного сейчас как алгоритм Евклида.
Возможно, что некоторую роль сыграла задача математической теории музыки:
деление октавы, приводящей к решению пропорции 1:я = я:2. Не последнюю роль,.
по-видимому, сыграл и характерный для пифагорейской школы общий' интерес к
проблемам теории чисел.
Древним грекам стало известно _очень рано логически строгое доказательство
иррациональности 1^2 путем сведения к противоречию. Пусть J/2 - -^-, где т и п -
взаимно-простые числа,
п
Тогда т2=2п2, откуда следует, что т2 - четное, следовательно, т - четное. Тогда
п является нечетным. Однако если т - четное,, то т2 делится на 4 и,
следовательно, п2 - четное. Четно, следовательно, и п. Получающееся формальное
противоречие (п не может быть одновременно и четным и нечетным) указывает на
неверность посылки о рациональности ]/2.
Для исследования вновь открываемых квадратичных иррацио-нальностей сразу же
оказалось необходимым разработать теорию
делимости. В самом деле, пусть j/я = -, где р и q - взаимноЯ
просты, а п есть произведение только первых степеней сомножи48
телей. Отсюда p2=nq2. Если t - простой делитель п, то р2 (а, значит и р) делится
на t. Следовательно, р2 делится на I2. Но в п. содержится только первая степень
t. Значит, q2 (равно как и ty) делится на t. Но этот результат формально
противоречит предположению, что р и q взаимно-просты.,
Вслед за иррациональностью 1/2 были открыты многие другие иррациональности.,
Так, Архит .(конец -V" в. до н.-э.) доказал' иррациональность чисел вида 1/я~(п
+ Г). Теодор из Кирены установил иррациональность квадратного корня из чисел 8,
5, 6, ....., Г7"
Теэтет '(начало IV в. до н. э.) дал одну из первых классификаций
иррациональностей.
С появлением иррациональностей в неокрепшей греческой математике возникли
серьезные -трудности как в теоретико-числовом, так и в геометрическом плане.
Была фактически поставлена под удар вся теория метрической геометрии и теория
подобия, Необходимость научного осмысления сущности открытого явления* и его
сочетания со сложившимися представлениями вызвала дальнейшее развитие
математических теорий,.
Этот следующий этап ознаменован попыткой создать для-" нужд научного
исследования общую математическую теорию" пригодную как для рациональных чисел,
так и для иррациональных. величин. Коль скоро после открытия иррациональности
оказалось,. что совокупность геометрических величин (например, отрезков) более
полна, чем множество рациональных чисел, то представилось целесообразным это
более общее исчисление строить в геометрической форме. Это исчисление было
создано. Оно получила название геометрической алгебры.
Первичными элементами геометрической алгебры являлись-отрезки прямой, "С ними
были определены все операции исчисления. Сложение интерпретировалось
приставлением отрезков" вычитание - отбрасыванием от отрезка части, равной
вычитаемому отрезку. Умножение отрезков приводило к построению двумерногообраза;
произведением отрезков а и b считался прямоугольник со сторонами а и Ъ.
Произведение трех отрезков давало параллелепипед, а произведение большего числа
сошюжителей в геомет-" рической алгебре ?ё""!м6Тло^1[сш^рйватьсяГ
Дёление^оказывалбсЬ* возможным лишь при условии, что размерность делимого больше
размерности делителя. Оно интерпретировалось эквивалентной задачей приложения
площадей:
Приложить к отрезку с прямоугольник, равновеликий данному (ab). Решение задачи,
как видно из рис. 3, состоит в прикладывании друг к другу прямоугольников аЪ и
be и в построении нового прямоугольника, диагональю которого является диагональ
прямоугольника be, продолженная до пересечения с продолжением стороны Ь. Тогда
прямоугольники ab - cx оказываются равновеликими, и задача решена.
Метод приложения площадей, описанный здесь, позволял решать задачи, сводящиеся к
линейным уравнениям, и носил назва49
ние параболического (яарсфоЯг/ и означает по-гречески приложение площадей).
В геометрическую алгебру входила и совокупность геометрических- предложений,
интерпретирующих алгебраические тождестab
Рис. 3
ab
Рис. 4
ва. Например, рис. 4 дает геометрическую интерпретацию тождества
(a+b)^=a2+2ab + b2.
Метод приложения площадей был распространен и- на случаи решения задач,
сводящихся к квадратным уравнениям" Примерами
С Б
Рис. 5
Рис. 6
-таких задач являются: определение сторон правильных вписанных многоугольников;
так называемое "золотое сечение" отрезка, т. е. деление отрезка а на две части:
х и а-х, удовлетворяющие
соотношению - =-------; выражение ребер правильных многох
а — х
гранников через диаметр описанного шара и т. д. Решение этого класса задач
проводилось с помощью единообразного канонического метода, имеющего следующие
разновидности в зависимости от вида квадратного уравнения.
а) Построить квадрат, равновеликий заданному прямоугольнику ab. Существо метода
заключается в замене прямоугольника
, ,./а + 6\2/а - Ь\2
ab разностью квадратов ab = I-!-J -(---J и в последующем применении теоремы
Пифагора (рис. 5):
AD-DG = гномону CLGD^B^B = Cfi2 -LG2,
или
= (a+b\2 _ /д-ь у
V 2 J V 2 / '
Построение искомого отрезка л; ясно из рис. 6. Это построение также было
положено в основу построения среднего геометрического: а :х = х :Ь.
В -D
Д
в
\К
Рис. 7
б) Приложить к данному отрезку (АВ = а) прямоугольник: (Л (7), равный заданной
площади (S = &2), так, чтобы часть площади, недостающей до полного
прямоугольника (А /С), была квадратом (1"/С=*2) (рис. 7).
•По условию задачи 62= (а - х) -я, но
= f - Y - (4- -
(а - *) jc = гномону
С помощью теоремы Пифагора отыскивается отрезок - — х, а
затем х. Этот случай приложения площадей называется эллиптическим (от греческого
еААекрц; - недостаток).
в) Приложить к данному отрезку (АВ = а) (рис. 8) прямоугольник (А /С), равный
заданной площади (S = b2), так, чтобы избыток над прямоугольником (AG) был
квадратом (ВК=х2). Ь2 =
= (а + х)-х',ЕО (а + х)-х= гномону CWB^DJ) = (- + х\* - (- J2 ; следовательно,
62 = Г- + д:] - ( } /откуда с помощью теоремы
Пифагора находится построением отрезок - + х, а затем и х.
Этот тип приложения площадей называется гиперболическим (от греческого
бяерро^т] - превышение, избыток).
Очевидно, что подобный метод давал только один положительный корень квадратного
уравнения. Древние математики понимали необходимость так формулировать условия
задач геометрической алгебры, чтобы они заведомо имели положительное решение.
Поэтому на условия задачи они в необходимых случаях накладывали ограничения
(диоризады, 6topia(x6g).
Это обстоятельство выявляло ограниченность области применения методов
геометрической алгебры. Еще больше возможности геометрической алгебры
ограничивались из-за того, что ее объектами были образы размерности не выше
второй. Средствами построения были только циркуль и линейка. Можно было
представить себе в рамках геометрической алгебры операции с трехмерными
образами. Этого, однако, не делалось, потому что даже такая простая, казалось
бы, задача, как построение куба, имеющего •объем вдвое больше данного, не
поддавалась решению с помощью щиркуля и линейки. Задачи же, приводящиеся к
уравнениям сте-"пени выше третьей, как было указана, были в геометрической.
.алгебре древних просто невозможными.
Недостаточность геометрической алгебры как общей математической теории была
особенно подчеркнута выделением класса :задач" не поддающихся решению с помощью
циркуля и линейки. Среди этих задач наиболее известны: проблема удвоения куба,
трисекции угла и квадратуры крута.
Задача об_удвоении куба, т. е. о построении куба с неизвестным ребром х, но
имеющеТо объем вдвое больше заданного, сводится к решению кубического уравнения:
л3 = 2а3. Равносильной
задачей является задача построения отрезка у 2. Задача была чрезвычайно
популярной, о чем говорит дошедшая до нас легенда. о требовании оракула, на
острове Делос увеличит!/ вдвое объем стоящего перед ним кубического жертвенника.
Многочисленные попытки решить эту задачу с помощью вычислений в поле
рациональных чисел или средствами геометрической алгебры оказались, разумеется,
неудачными.
Первого успеха в решении этой задачи добился Гиппократ Хиосский (середина V в.
до н. э.). Он свел ее (точнее говоря, несколько более общую задачу
преобразования параллелепипеда в куб) к задаче о нахождении двух средних
пропорциональных. В самом деле, пусть параллелепипед V=a\biCi преобразован в
другой с квадратным основанием V=a2b, что осуществимо средствами геометрической
алгебры. Его нужно преобразовать в куб: X3 = a2b. Ребро искомого куба
определяется, по Гиппократу, из пропорций: а:х=х:у = у:Ь. Возможно, что проблема
удвоения куба воспринималась как пространственный аналог задачи квадри-рования
плоских фигур. В таком случае постановка задачи Гиппократом является обобщением
соответствующей плоской задачи о вставке одной средней пропорциональной: а : х=х
: Ь.
Для решения задачи Гиппократа о вставке двух средних про-лорциональных были
разработаны новые методы. В большинстве
J7
Рис. 9
они сводились к исследованию геометрических мест: х2=ау, ху = =^.ab, y2 = bx.
Две средние пропорциональные между а и Ъ определялись как координаты точки
пересечения двух из этих геометрических мест. Последние в свою очередь получили
стереометрическую интерпретацию как сечения конусов вращения.
История задачи об удвоении куба является одним из примеров .того, как происходит
обогащение математических методов. Воздействие этой задачи было одной из причин
того, что конические сечения вошли в математику, что они стали в античной
математике средством решения таких задач, которые невозможно решить с помощью
циркуля и линейки. Впрочем, для решения задачи удвоения куба применялись и
другие способы. Эратосфен, например, построил прибор (мезолабий), удобный для
приближенного удвоения куба. Однако ни один из методов не влиял так сильно на
развитие античной математики, как метод конических сечений,,
Дальнейшая судьба рассматриваемой задачи связана с проблемой: возможно ли
принципиально решить ее построениями с помощью циркуля и линейки. Вместе с
развитием алгебры постановка задачи приобрела алгебраическую форму: может ли
операция извлечения кубического корня из рационального числа быть сведена к
конечному- числу извлечений квадратного корня? Сомнение в возможности такого
решения задачи высказал впервые в 1637 г. Декарт. Но только еще через 200 лет
задача удвоения куба, получила окончательное разрешение. В 1837 г. Ванцель
доказал, что кубические иррациональности не принадлежат ни полю рациональных
чисел, ни его расширению посредством присоединения квадратичных
иррациональностей.
Второй знаменитой задачей античной дрешюсти^не шшшщш^ шейся решению средствами
геометрическойГ^алгебры, была задача о трисекции угла, т. е. о разделении
произвольного угла на три равные части. Эта задача, как и предыдущая, сводится к
решению кубического уравнения, что очевидно из следующего тригонометрического
соотношения:cosш == 4cos3- - 3 cos - или а=4х3-Зх.
3 3 '
Мы понимаем, что многочисленные попытки произвести трисекцию угла с помощью
только циркуля и линейки не могли быть успешными и приводили в лучшем случае к
сознанию • необходимости введения новых методов.
Уже в V в. до н. э. Гиппий из Элиды применил для решения задачи о трисекции угла
трансцендентную кривую -квадратрису, определенную следующим образом. Пусть в
прямоугольнике ABCD (см. рис. 9) сторона ВС равномерно смещается параллель53
но самой себе до совпадения с AD. За это же время сторона АВ вращается вокруг А
по часовой стрелке до совпадения с AD. Геометрическое место пересечений этих
двух сторон образует кривую - квадратрису, наличие которой позволяет
свести задачу, деления угла на любое число равных частей к задаче
деления
" . / 2r \
отрезка АВ (или CD) на равные части. Точка Gf 40 = — J переселения квадратрисы
со стороной AD доопределялась по непрерывности умозаключениями" которые могут
быть примером одной
В
Рис. 10
'Рис. 1.1
из первоначальных форм метода пределов. Другим методом решения задачи о
трисекции угла был метод вставок. Под вставкой понимается построение отрезка
прямой, концы которого находятся
на заданных линиях и который (или его продолжение) проходит через данную точку.
Примеры вставок, применявшихся для три* секции угла (Z.AJ5C) (рис. 10, 11):
Вставка: DE = 2AB Вставка: FE = АВ
(DF = FE = АВ]
= -L^ABCY
з ;
Вставки осуществлялись механически с помощью скользящей линейки, на которой
заранее намечен размер вставки. Линейку вращали вокруг неподвижной точки,
заботясь, чтобы одна метка двигалась по одной из заданных линий до тех пор, пока
другая метка попадала на другую линию.
Трисекция угла имеет столь же долгую историю, как и удвоение куба. Сведение ее к
кубическому уравнению было осознано только к IX-X вв. н. э. Строгое же
доказательство невозможности точной трисекции угла циркулем и линейкой есть
простое следствие из упомянутого выше результата Ванцеля.
Третьей знаменитой задачей древности является квадратура круга, х^~жад
данному
~
кругу Эту задачу в античной Греции рассматривали пектах: точном и
приближенном. Последний подход к задаче привел к введению приближения площади
круга вписанными или
описанными многоугольниками и к приближенным вычислениям числа я. Огромное же
количество попыток точно квадрироваи" круг не могло привести к успеху вследствие
трансцендентной природы этой задачи.
В самом деле, пусть отрезок г0 - радиус данного крута; тогда сторона
равновеликого квадрата, х = г0 1/я. Задача сведена к графическому умножению
отрезка Го на число |/я. Это умножение можно выполнить лишь если это гчисло
будет корнем алгебраического уравнения с целыми коэффициентами, разрешимого в
квадратных радикалах. Следовательно" -строгую и полную трактовку задача
квадратуры круга может получить только в результате выяснения арифметической
природы числа я. Решение же этой проблемы растянулось на много веков.
Только в конце XVIII в, И. Ламберт и А, Лежандр сумели доказать, что я не
является рациональным числом. Трансцендентность же этого числа" т. е. тот факт,
что оно не может быть корнем никакого алгебраического уравнения с целыми
коэффициентами, была доказана в 1882 г. Линдеманом. Кстати, в геометрии
Лобачевского для некоторых значений радиуса кривизны пространства квадратура
круга разрешима в квадратичных иррациональностях.
Античные математики, стремившиеся теоретически точно решить задачу о квадратуре
круга, этого, разумеется, не знали. Но их. усилия, принесли развитию математики
большую пользу, обогатив ее новыми фактами и методами. Так, был разработан метод
исчерпывания, являющийся предшественником' метода пределов, Были введены
различные трансцендентные кривые, в первую очередь квадратриса. Наконец, впервые
в истории математики были найдены квадрируемые фигуры, ограниченные кривыми
линиями. Мы имеем здесь в виду луночки (мениски) Гиппократа Хиосского,
образованные дугами окружностей.
Исследования Гиппократа опираются на теорему, что в кругах площади подобных
сегментов пропорциональны квадратам диаметров.
Первая из квадрируемых луночек вырезана из полукруга - дугой радиуса г]/2,
опирающейся на диаметр. Луночка оказывается равной площади равнобедренного
прямоугольного треугольника ЛСВ, гипотенузой которого служит диаметр круга (рис.
12). Разновидностью этого результата является теорема о том, что если на
сторонах прямоугольного треугольника как на диаметрах построить окружности, то
сумма площадей луночек, опирающихся на катеты, будет равна площади треугольника,
т. е. квадрируема (рис. 13).
Другой вид луночек получается, когда вокруг трапеции со сторонами 1, 1, 1J/3
описывают окружность, а на хорде |/3 строят сегмент, подобный сегментам,
отсекаемым остальными хордами. Площадь полученной луночки равна площади исходной
трапеции. Наконец, внешняя дуга третьей луночки1 меньше полуокружности.
/7
В
Рис.-13
Появление квадрируемых луночек, вызвало естественные вопросы: как велик класс
квадрируемых луночек? Все ли их виды найдены? Существуют ли другие луночки,
площади которых тоже выражаются с помощью квадратичных иррациональностей через
входящие в их построение линейные элементы? Однако ответ на эти вопросы тоже был
получен спустя много веков. Только в. 1840 г. немецкий математик Клаузен нашел
еще две квадрируе-мые луночки. Вопрос о луночках был полностью исследован только
в XX в., когда советские математики Н. Г. Чеботарев и А. В. Дороднов, пользуясь
методами теории Галуа, показали, что если угловые меры внешней и внутренней дуг
луночек соизмеримы, то других квадрируемых луночек, кроме найденных, не
существует. К слову сказать, отношения угловых мер найденных упомянутых
23355 выше луночек: -, --, -, -, -. J 112 13
Открытие несоизмеримостей, как мы уже указывали, поставило в тяжелое положение
всю метрическую часть геометрии, теорию подобия и те разделы математики, где
приходилось пользоваться начальными формами понятий непрерывности, предельного
перехода и т. п. Теория рациональных чисел уже не могла служить основой этих
разделов математики. Так, появление иррациональностей обусловило необходимость
создания общей теории отношений, способной дать определения и ввести операции,
применимые как для рациональных, так и для иррациональных величин.
1 О ней см. Г. Г. Цейтен. История математики в древности и в средние века. М.-Л,
ГТТИ, 1938, стр. 60-61.
Первоначальной основой теории отношений античной древности являлся алгоритм
попеременного вычитания] известный под названием алгоритма Евклида. Пусть даны
два отношения: а:Ь и c:d. Поиски общей меры величин, участвующих в отношениях,
приводят к следующей цепочке соотношений:
а : b e:d
nQb = bi • с- mud = dl
a
b - пгЬг =
d -
В случае, если члены отношения соизмеримы, эта. цепочка обрывается;
несоизмеримость не дает конечного алгоритма.
Алгоритм попеременного вычитания эквивалентен представлениям с помощью
непрерывных дробей,. Например:
b Ь b
1 -
Сравнение последовательностей Яо" п\9 л-2" ... и Шо, т\, т^ ... позволяет
установить между, отношениями понятия равенства и неравенства, а также
сравнивать их по величине. Пусть k-l элементов обеих последовательностей
совпадают. Тогда, если %"f%f то a:b"c:d9 если k - нечетно, и a\b"c:d, если k -
четно; если же я& "i/'%, то а: 6"с : d в случае четности k и а : b~"c : d в
случае его нечетности.
Однако попытка ввести операции над отношениями, определенными таким образом,
сразу натолкнулась на серьезные математические трудности. Например, чтобы ввести
умножение отношений, надо было найти способ определения неполных частных
непрерывной дроби - произведения через неполные частные непрерывных дробейсомножителей.
Для этого и в наше время не существует никакой сколько-нибудь
элементарной формулы. Наконец, в то время не существовало еще общего понятия
величины. В силу этих обстоятельств алгоритм Евклида не сделался основой теории
отношений.
Следующая концепция античной общей теории отношений связана с именем Евдокса
(ок. 408 г. - ок. 355 г. до н. э.). Ему же приписывается создание теории
пропорций. В теории отношений Евдокса:
а) произведено обобщение нонятия величины посредством подчинения его
системе пяти аксиом: 1. Если а = Ь и с = Ь9 то а = е; а если а = с9 то 2. a + b
= c + b. 3. а-Ь = с-Ь. 4. Совмещающиеся равны. 5. Целое больше части;
б) введена аксиома однородности: а и b могут иметь отношение, если они, взятые
кратно, могут превзойти друг друга, т,...е. для любых конечных а и и существуют
mji^n .такие, что па"Ь и тЬ"а. Эта аксиома была введена для того, чтобы
исключить так называемые неархимедсвы величины, например роговидные углы.
Отношения .введены в теорию Евдокса через определение их равенства. Именно,
равенство двух отношений a:b = c:d считается
установленным, если из трех условий та- пЪ соответственно
вытекают три следствия mc^nd для любой пары натуральных
чисел т и /г. Существует предположение, что подобное определение возникло как
абстракция процедуры измерения и сравнения отрезков посредством их рациональных
приближении,, Это подтверждается в отношениях порядка между отношениями в теории
Евдокса. Именно a:b"c:d, если существует пара натуральных чисел т и п такая, что
та"пЬ и mc^nd.' Отсюда следует, что
* - т " 1 с : а "^ - " а : о, т. .е. что между двумя неравными
отношениями
можно вставить рациональное число. Можно полагать, что современная идея:
рациональных приближений действительных чисел произошла из теории отношений
Евдокса. .
В этой, теории введена только одна операция составления отношений,
соответствующая операции умножения действительных чисел. Если существуют два
отношения а : b и Ь : с, то из них можно составить отношение а : с. Это
отношение называется двойным.
Возможно составление и более сложных отношений, например-тройного. В случае,
если надо составить отношения а : b и с : d, необходимо преобразовать одно из
них, например второе, предварительно отыскав четвертую пропорциональную:
c:d'==b:x.
Введение только одной операции объясняется тем, что теория Евдокса применялась
лишь в учении о подобии, где служила ое-новой теории пропорций, и при
определении площадей и объемов.
Мы уже упоминали о некоторых аналогиях между античной теорией отношений и
современными теориями действительного' числа. Наибольшее основание для подобных
аналогий дает теория сечений Дедекинда. В самом деле, каждая пара архимедовых
величин, а и 6, участвующих в отношении а : 6, по теории Евдокса, производит
разбиение пар целых чисел m, n на классы. Те пары,. для которых справедливо
tna"nb, могут быть включены в один класс, те же, для которых справедливо
обратное: гаа"/гй, - в другой класс. Пару т, /г, осуществляющую т0а = ПоЬ, можно
отнести в один из предыдущих классов. Сам Дедекинд не отрицал возможности
подобной аналогии, указывая лишь на то, что в теории Евдокса не учтен фактор
непрерывности.
Однако различия между теорией отношений Евдокса и теорией сечений Дедекинда этим
замечанием не исчерпываются. Дело в том, что первая из них осуществляет
разбиение пар целых чисел на классы, но не доказывает обратного. Именно, не
доказывается, что любому такому разбиению соответствует некоторая пара
архимедовых величин, определяющих это разбиение. Кроме того, не определяются
условия, которым должны удовлетворять множества пар целых чисел, чтобы быть
классами разбиения, т. е. не быть
пустыми, не пересекаться и обладать свойством односторонности любого элемента
одного множества по отношению к любому элементу другого множества.
Наконец, у Дедекинда предварительно определены все четыре действия арифметики,
тогда как у Евдокса- введена только одна операция, а множество пар целых чисел,
осталось неупорядоченным. Иначе говоря, вещественные числа Дедекинда образуют
поле, тогда как. отношения Евдокса образуют группу.
Дальнейшее развитие античной теории отношений пошло по пути
трактования'отношений "как обобщенных чисел и отождествления их с дробями. Так
поступали Архит, Архимед, Герои и многие другие ученые. В этом сказалось влияние
практики, требовавшей развития вычислительно-алгоритмических методов и
распространения их на все более широкие классы чисел.
Мы остановились на этом примере для того, чтобы показать, что математические
теории античности имеют зачастую много общего с современными математическими
теориями. Однако надо всегда, уметь выделять специфику их исторического
развития, чтобы не впадать в одну из двух ошибок: отождествления прошлого с
настоящим или нигилистического отрыв,а настоящего от прошлого, того отрыва,
который делает исследователя слепым перед будущим.
3.2. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИКИ В ЭПОХУ
ЭЛЛИНИЗМА
Первые математические теории, абстрагированные из конкретных задач или из
совокупностей однотипных задач, создали необходимые и достаточные предпосылки
для осознания самостоятельное(tm) и своеобразия математики. Это в свою очередь
возбудило у античных математиков стремление систематизировать факты математики и
логически последовательно изложить ее основы. Подобная работа - необходимый
закономерный акт любой науки, служащий отправным пунктом для ее дальнейшего
развития. В античной математике процесс систематизации и обобщения дал
значительные результаты к IV в. до н. э. Этот процесс по существу являлся частью
аналогичного процесса, происходившего во всей системе естественнонаучных знаний
и нашедшего яркое выражение в философских взглядах Аристотеля (384-322 гг. до н.
э.). Огромное влияние на математику того времени оказали и успехи логики.
Сложившиеся основные формы мышления уже были систематизированы и исследованы,
были выдвинуты принципы построения дедуктивной науки. Последняя стала
рассматриваться как логическая усложняющаяся система, покоящаяся на первых
началах- аксиомах.
Абстрактность предмета математики и установившиеся приемы математического
доказательства были основными причинами того, что математика стала излагаться
как дедуктивная наука,
представляющая логическую последовательность теорем и задач на построение и
использующая минимум исходных положений. Геометрическая форма системы математики
в античной Греции, как мы уже указывали, ведет свое происхождение в основном от
установления факта большей полноты множества отрезков по сравнению с множеством
рациональных чисел. Сочинения, в которых в то время излагались первые системы
математики, назывались "Началами".
Первые "Начала", о которых дошли до нас сведения, были написаны
Гиппократ6м~^иосским. Встречаются упоминания и о "Началах", принадлежащих другим
авторам. Однако все эти сочинения забыты и утеряны практически с тех пор, как
появились "Начала" Евклида, Последние получили всеобщее признание как система
математических знаний, логическая, строгость которой оставалась непревзойденной
в течение свыше двадцати веков. Все это время люди изучали геометрию по Евклиду.
Его "Начала" до сих пор лежат в основе, всех систематических школьных курсов
геометрии., Научные исследования по математике, в особенности элементарной, в
очень большой степени опираются на систему Евклида,'иногда подражая даже форме
его изложения.,
Об авторе "Начал" Евклиде сохранилось очень мало сведений. Известно, что он жил
около ЗЛО г. _до,,н" э, в Александрии, входившей в то время в состав египетского
царства, '"Последнее образовалось в результате распада мировой державы
Александра Македонского. Выгодное положение Александрии как торгового центра и
центра технических усовершенствований побудило правителей Египта Птолемеев к
организации научно-учебного центра - Музейона (что означает прибежище муз). В
Музейоне было собрано свыше 500 тысяч рукописей научного характере. Научную
работу в Музейоне. на условиях государственного обеспечения постоянно или
временно вели почти все крупнейшие ученые эллинистической эпохи, в том числе
Евклид, Архимед, Аполлоний, Эратосфен и др. Благоприятное влияние Музейона на
развитие науки сохранялось около 700 лет; оно стало падать в начале нашей эры в
результате завоевательных войн римлян, а затем прекратилось, когда под влиянием
реакционного христианства "языческие" ученые были изгнаны или убиты, а сам
Музейон разорен.
При написании "Начал" Евклид, по-видимому, не руководствовался целью составить
энциклопедию математических знаний своего времени. Он, вероятно, стремился
изложить только основы математики в виде логически совершенной математической
теории, исходящей из минимума исходных положений. В этом смысле "Начала"
являются ранним предшественником современного способа аксиоматического
построения математических наук.
"Начала" состоят из тринадцати книг, каждая из которых состоит из
последовательности теорем. Иногда к этим книгам добавляют книги 14 и 15,
принадлежащие другим авторам и близ60
кие по содержанию к последним книгам Евклида. Первой книге предпосланы
определения, аксиомы и постулаты. Определения имеются и в некоторых других
книгах (2-7, 10, 11). Аксиом и постулатов в других книгах "Начал" нет.
Определения - это предложения, с помощью которых автор вводит математические
понятия, поясняя -их. Например, "точка есть то, что не имеет частей", "куб есть
телесная фигура, заключающаяся между шестью равными квадратами", и т. п. Эти
предложения Евклида в ходе истории много раз подвергались критике, с: точки
зрения их полноты и логической определенности.' Однако равноценной или более
совершенной системы определений предложено не было,, Дело свелось к тому, что в
наше время, при аксиоматическом построении математической теории единственным
способом описания объектов этой теории и их свойств является. сама система
аксиом, а объекты вводятся как первичные неразъясняемые сущности. Что же
касается определений. Евклида, то их следует рассматривать как исторически
сложившиеся к его времени абстракции реальных вещей, введение которых в
математику освящено традицией. Это - не такой уж. редкий, если не сказать
наиболее часто встречающийся в истории, способ введения математических
определений.
Аксиомы, или общие понятия, у Евклида - это предложения,. вводящие отношения
равенства или неравенства величин. Аксиом в "Началах" пять:
1. Равные одному и тому же, равны и между собой;
.2. Если к равным, прибавляются равные, то и целые будут равны;
3. Если от равных отнять равные, то и остатки будут равны;
4. Совмещающиеся друг с другом равны между собой;
5. Целое больше части.
В число исходных положений "Начал" входят постулаты, т. е" утверждения о
возможности геометрических, построений. С их помощью Евклид обосновывает все
геометрические построения и/ алгоритмические операции. Постулатов тоже пять:
1. Через две точки можно провести прямую;
2.. Отрезок прямой можно продолжить неограниченно;
S. Из всякого центра любым расстоянием можно описать окружность;
4. Все прямые углы равны между собой;
5. Если две прямые, лежащие в одной плоскости, пересечены третьей и если сумма
внутренних односторонних углов меньше двух прямых, то прямые пересекутся с
той стороны, где это имеет место.
В различ-ных изданиях "Начал", а ранее того переписчиками и комментаторами,
система аксиом и постулатов Евклида видоизменялась и дополнялась, причем чаще
всего неудачно. Разумеется, критика постепенно вскрывала логические пробелы
системы исходных положений Евклида: логическую перегруженность определе61
ний, необеспеченность возможности наложения фигур, отсутствие критериев
пересечений окружностей и прямых (теорем существования) и другие более мелкие
недостатки.
Однако первые реальные успехи в создании системы аксиом геометрии, более
соответствующей возрастающим требованиям математической строгости, были
достигнуты только к концу XIX в. в работах Паша (1882), Пеано (1889) и Пиери
(1899). Наиболее распространенная в настоящее время и общепризнанная система
аксиом Д. Гильберта в первой редакции появилась в 1899 г. в сочинении "Основания
геометрии". Позднее Гильберт внес в свою систему немало дополнений и
усовершенствований. В наше время она состоит из следующих пяти групп аксиом:
а) восемь аксиом соединения или принадлежности;
б) четыре аксиомы порядка;
s
в) пять аксиом конгруэнтности или движения; J?
г) аксиома параллельности;
д) две аксиомы непрерывности: Архимеда и линейной полноты.
Эти пять групп аксиом вводят основные объекты геометрии: точку, прямую и
плоскость, и отношения между объектами, выражаемыми словами: принадлежит, между
и конгруэнтен. Определений и постулатов система современных основных положений
не имеет.
Широко пользуясь идеей изоморфизма, аксиоматическая геометрия отвлекается от
качественных особенностей изучаемых -объектов и исследует лишь возможные виды
логических связей между ними. При этом словами точка, прямая, плоскость могут
быть названы объекты, не только непохожие на то, что они обозначали в течение
всей истории, но и объекты совсем негеометрической, казалось бы, природы.
"Начала" Евклида далеки от такой постановки задач геометрии,, В них
рассматриваются более низкие, первые, ступени абстракции пространственных и
количественных свойств предметов материального мира.
Перейдем к обзору содержания евклидовых "Начал". Первые шесть книг -
планиметрические, из них книги 1-4 содержат ту часть планиметрии, которая не
требует применения теории пропорций. Первая книга вводит основные построения,
действия над отрезками и углами, свойства треугольников, прямоугольников и
параллелограммов, сравнение площадей этих фигур. Завершают первую книгу теорема
Пифагора и обратная ей теорема.
Некоторые характерные особенности метода математического суждения и формы
изложения Евклида видны уже из первой книги:
а) Метод рассуждений Евклида всегда синтетический. Для доказательства какой-либо
теоремы он исходит из заведомо справедливого утверждения, в конечном счете
опирающегося на систему основных положений. Из этого последнего он развивает
последовательность следствий, приводящих к искомому утверждению. Обратный путь
рассуждений: приняв искомую теорему за доказан62
ную, вывести из нее последовательность следствий, вплоть до тогоу как будет
получено заведомо верное утверждение - в "Началах" в качестве доказательств не
употребляется. В противоположность синтезу древние называли этот метод анализом.
б) Доказательства строятся по единой схеме, состоящей из следующих
частей: формулировка задачи, или теоремы (ярбта-0ig - предложение);
введение чертежа для формулировки данных задачи (ewfreaig - изложение);
формулировка, по чертежу иско-* мого (6iopia(i6g - определение); введение
вспомогательных линий
'"^1 - построение); доказательство в собственном смысле. - доказательство);
объявление того, что /доказано и что доказанное решает задачу или адекватно
поставленной теореме (0v|XJi&paaiia - заключение). В несколько упрощенной форме
эта схема стала традиционной и дошла до наших дней как классический образец
математического рассуждения, в известном, смысле обязательный для математиков.
в) Средства геометрического построения -• циркуль и линейка - принципиально не
употребляются как средства измерения. Линейка не имеет мерных делений. Поэтому
в "Началах" не идет речь об измерении длин отрезков, площадей фигур и объемов
тел, а лишь об их отношениях.
Во второй книге рассматриваются соотношения между площадями прямоугольников и
квадратов, подобранные таким образомг что они образуют геометрический аппарат
для интерпретации алгебраических тождеств и для. решения задач,, сводящихся к
квадратным уравнениям, т. е. геометрическая: алгебра. Третья книга трактует
свойства круга и окружности, хорд и касательных,, центральных и вписанных углов.
Четвертая, книга посвящена свойствам: правильных многоугольников: вписанных и
описанных, а также, построению правильных. 3~, 4-, 5-, 6- и 15-угольников.
В пятой книге "Начал" развивается общая теория отношений величин, являющаяся
прообразом теории действительного числа & форме, соответствующей дедекиндовым
сечениям. Мы уже упоминали об этой теории как о теории Евдокса, введенной в
античную математику в качестве общей теории, равно пригодной как для чисел, так
и для отрезков прямой. В пятой кйиге "Начал" после введения отношений, их
равенств и неравенств доказываются другие элементарные свойства, вроде: если - =
-, то - = а ~^ с-,.
Ь d b b 4- d
та тс _
-а также — = — и т. д. В последующих предложениях развило па
вается теория пропорций, в том числе производных (т. е. образованных допустимыми
перестановками и другими преобразованиями членов пропорции) и сложных (т. е.
образованных из
нескольких данных пропорций, например: если - = - и - =
ead \
= -г-, то - = - и т. п. V ici )
Геометрические приложения теории отношений включены в шестую книгу. В ней,
например, доказаны теоремы об отношении площадей прямоугольников и
параллелограммов, имеющих общую высоту, о пропорциональности отрезков,
отсекаемых на сторонах угла парой параллельных прямых, о- подобии фигур и
отношении площадей- подобных фигур № т. п. Здесь же находится группа теорем об
эллиптическом и гиперболическом приложении площадей, 'Обобщенном на
параллелограммы. Она дает метод геометрического решения задач, которые можно
привести к уравнениям, вида
-ах ± - #2 = S (где а, &, с - данные отрезки, S - данная пло-с
щадь, х - неизвестный отрезок), и представляет собой известное •обобщение
результатов геометрической алгебры. .
Следующая группа книг (книги 7-9) содержит некоторый эквивалент теории
рациональных чисел. Казалось бы, в этих книгах следовало излагать систему
пространственных представлений - стереометрию. Однако непоследовательность
только кажущаяся,,, Дело в том, что в конце "Начал" Евклид исследует •правильные
многогранники и определяет отношения' их ребер к диаметру описанного шара. Эти
отношения выражаются, как известно, квадратичными и биквадратичными
иррациональностями. Поэтому Евклиду пришлось предварительно рассмотреть
построение и классификацию подобных иррациональностей. Чтобы выполнить эту
задачу, он опирался на ряд предложений из теории рациональных чисел (соизмеримых
отрезков). Рациональные числа в свою очередь, Евклид представляет как отношения
целых чисел; последние он понимает как собрание единиц. Поэтому так называемые
арифметические книги "Нач,ал" (книга. 7-9) содержат учение о целых числах и их
отношениях, взятое в.основном из пифагорейской математики. Сохранение
принципиально различного смысла понятий числа и общей величины послужило
причиной повторения в арифметических книгах многих фактов теории чисел, уже
полученных в пятой книге "Начал".
Первая из арифметических книг - седьмая - начинается с изложения алгоритма
попеременного вычитания. Затем следует ряд предложений теории делимости.
Наконец, книга содержит теорию пропорций для рациональных чисел. Последняя
продолжается в восьмой книге, где рассматриваются непрерывные числовые
, а о fli
ап-2 ап- l \
пропорции (т. е. пропорции вида - = — = ... =----=----),
^ *1
"2 V-1 "*я )
и заканчивается в девятой книге. В этой теории по существу вводятся
геометрические целочисленные прогрессии, показывается, что отношение членов
непрерывной пропорции является древней формой степеней чисел, находится среднее
пропорциональное, дается способ отыскания суммы геометрической прогрессии.
Значительную часть девятой книги составляет учение о простых числах, причем
доказывается, что простых чисел бесконечно
много. Доказательство проводится тем же способом, что и сейчас: предположение
конечности числа простых чисел опровергается построением еще одного числа, на
единицу превышающего произведение всех простых чисел. В ряде теорем
рассматриваются свойства четности и нечетности чисел. Книга заканчивается замея
чательной теоремой, что если число 5 вида У* 2fe является просв=о
тым, то число S\=S'2n - совершенное (совершенным называется число, равное сумме
своих делителей, включая единицу и'исключая самого себя). Вопрос о том,
исчерпывают ли числа данного вида все множество совершенных чисел, остается
нерешенным и в наше время.
Десятая книга "Начал" интересна в первую очередь громоздкой и сложной
классификацией всех 25 возможных, видов_биквад-.
ратичных иррацйональностей (т. е. выражений вида У У а ±у~Ь, где а и Ъ -
соизмеримые отрезки), воспроизводить которую здесь мы. не считаем,
целесообразным" В десятой книге/ в качестве, лемм выведены различные, сами по
себе важные, предложения. Прежде всего, это основная лемма метода исчерпывания о
том, что если от данной величины отнять часть, большую ее половины, с остатком
повторить то же и т. д., то при достаточно большом числе шагов можно получить
величину, меньшую любой заданной. Кроме того, в десятой книге даны: способ
нахождения неограниченного числа "пифагоровых троек" целых чисел, критерий
соизмеримости двух величин, основанный на алгоритме попеременного вычитания,
отыскание общей наибольшей меры двух и трех рациональных чисел (соизмеримых
величин) и др.
Последние три книги (11 -13) "Начал" -.стереометрические. Первая из них
открывается большим числом определений, что вполне естественно, так как в
предыдущих книгах вопросы стереометрии не рассматривались. Затем следует ряд
теорем о взаимных расположениях прямых и плоскостей в пространстве и теоремы о
многогранных углах. Последнюю треть книги составляет рассмотрение отношений
объемов параллелепипедов и призм.
Исследование объемов других элементарных тел (пирамид, цилиндров, конусов и
шаров) требует обязательного выполнения предельного по существу перехода. В
двенадцатой книге "Начал" отношения объемов всех этих тел найдены с помощью
метода, получившего впоследствии (в XVII в.) название метода исчерпывания. Идея
этого метода, представляющего своеобразную античную форму метода пределов,
состоит в следующем: Евклид устанавливает, что подобные правильные
многоугольники, вписанные в круги, относятся как квадраты диаметров. Затем круги
"исчерпываются" последовательностями правильных вписанных 2п-угольников (п = 2,
3, 4, ...). Отношения последних при увеличении числа сторон остаются
неизменными. После неявного перехода к пределу дока3
К- А. Рыбников
зывается методом от противного, что и площади кругов относятся как квадраты их
диаметров. Аналогичные суждения предельного характера проводятся во всех случаях
отыскания отношений упомянутых выше тел. Более подробно этот метод будет
охарактеризован ниже.
Последняя, тринадцатая книга "Начал" содержит построение пяти правильных
многогранников: тетраэдра (4-гранника), гексаэдра (6-гранника), октаэдра (8гранника),
додекаэдра (12-гран-ника), икосаэдра (20-гранника); там же находятся
отношения объемов шаров. В заключение доказывается, что других'правильных
многогранников не существует.
Обзор содержания "Начал" показывает,, что это сочинение представляет собой
систему основ античной математики.'В нее входят: элементарная геометрия, основы
теории рациональных. чисел, общая теория отношений величин и опирающиеся на нее
теория пропорций и теория квадратичных и биквадратичных ирра-циональностей,
элементы алгебры в геометрической форме и метод исчерпывания, Самое характерное
в "Началах" то, что дана система, позволяющая видеть в них античного
предшественника современного аксиоматического построения математических теорий,
В то же время логическая структура "Начал" отражает исторический путь
формирования математических теорий от простейших, типа геометрической алгебры,
до более сложных: теории отношений, метода исчерпывания, классификации
иррациональностей.
Мы уже упоминали, что "Начала" Евклида оставили неизгладимый след в истории
математики и в течение многих веков служили классическим образцом математической
строгости и последовательности. Однако некоторые особенности "Начал" отражают
ряд неблагоприятных для дальнейшего развития математики условий, сложившихся ко
времени их написания.. Изложение - геометрическое, даже числа представлены как
отрезки. Средства геометрического построения по существу ограничены только
циркулем и линейкой. Поэтому в "Началах" нет теории конических сечений,
алгебраических и трансцендентных кривых. Наконец, в "Началах" совершенно
отсутствуют вычислительные методы.
Все эти недостатки "Начал" можно было бы до известной степени оправдать
специфическими целями составителя. Однако в условиях античности этот первый опыт
аксиоматического изложения математики мог иметь столь резко выраженные
ограничительные тенденции только под влиянием общих ограничительных тенденций
идеалистической философии. Поэтому можно сказать, что "Начала" Евклида отражают
как высокий уровень теоретического развития математики, так и неблагоприятную
для ее дальнейшего развития общественно-экономическую и идеологическую
обстановку конца Греческой античности.
В течение всей многовековой истории математики "Начала" являются фундаментом
всех геометрических изысканий. Даже решающее изменение всей системы геометрии,
вызванное введением
в начале XIX в. в работах Н. И. Лобачевского неевклидовой геометрии, в
значительной степени связано с попытками усовершенствования "Начал".
"Начала" Евклида до нашего времени составляют основу школьных учебников
геометрии, число их изданий огромно. Неоднократно они были изданы в России и в
СССР. Первое издание "Начал" на русском языке появилось в 1739 г. Последнее
издание вышло в трех томах в течение 1948-1950 гг. Оно обстоятельно
комментировано. Знакомство с "Началами" Евклида полезно всякому математику ив
наши дни.
3.3. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ
При построении математических теорий в античной Греции рано выделился
специфический класс проблем, для решения которых оказалось необходимым:
исследовать предельные переходы, бесконечные процессы, непрерывность и т. п. Уже
одно из первых открытий теоретического характера - обнаружение несоизмеримости
величин - поставило задачу рационального объяснения подобных проблем,. В данном
случае они связаны: а) с неограниченной продолжимостью процесса нахождения общей
меры; б) с бесконечной малостью последней и в) с тем, что она должна содержаться
бесконечное множество раз в сравниваемых величина.;! С этой группой проблем
вскоре были сближены геометрические, решение которых приводило к аналогичным
затруднениям (определение большинства длин, площадей и объемов).
Некоторые группы античных ученых искали выход из этих затруднений в применении к
математике атомистических философских воззрений. Примером наиболее яркого
выражения подобного подхода является натурфилософская школа Демокрита, (ок. 460370
гг. до н, э.). Демокрит считал, что все тела состоят из малых атомов -
первовеличин. Тела различаются между собой по форме, положению и способу
соединения составляющих их атомов. Некоторые его высказывания о математических
бесконечно малых и о применении их к определению некоторых геометрических
величин отражают его атомистические взгляды.
Однако о математической стороне подобных высказываний и исследований известно
слишком мало. Гораздо больше известно о возражениях их научных противников. Мы
имеем здесь в виду апории Зенона (род. ок. 500 г. до н. э.), т. е. логические
парадоксы, к которым приводят попытки получать непрерывные величины из
бесконечного множества бесконечно малых частиц.
Среди апорий наиболее известны: а) дихотомия, т. е. невоз- \ можность
осуществить движение, так как путь может быть делим до бесконечности (пополам,
еще раз пополам и т. д.) и поэтому надо последовательно преодолевать
бесконечное множество участков пути (математически это сводится к отрицанию
факта, что
3* 67
=.1 V, б) Ахиллес, который не может догнать черепаху, fe=i
так как ему надо последовательно достигать тех мест, где только что находилась
черепаха, т. е. исчерпывать бесконечную последовательность отрезков " пути
(математически это оказалось возражением против уже известного тогда, факта, что
Е1 П \ .
= __ \; в) полет стрелы делается невозможным, если tl /X
~~~~ 1 J
fe=0
время считать суммой дискретных мгновений, а пространство • суммой дискретных
точек.
м
Д
Рис. 14
О Я
Рис. 15
Апории Зенона убедительно показали, что если искать точные доказательства и
логически исчерпывающие решения задач, нельзя пользоваться бесконечностью,
опираясь на. наивные, атомистические соображения. Для подобных целей необходимо
разрабатывать, и привлекать методы, содержащие наряду с разновидностями суждений
о бесконечно малых элементы предельного перехода.
Одним из самых данних мета!10в"хаког.0 Р°Да является метод
исчер^Бвни5ГГ"йзобретение его приписывают Евдоксу. Примеры его употребления
приведены в двенадцатой книге "Начал" Евклида и в ряде сочинений Архимеда. Метод
исчерпывания применялся при вычислении площадей фигур, объемов тел, длин кривых
линий, нахождении подкасательных к кривым и т. п. Математическая сущность метода
(разумеется, в форме, несколько отличной от формы изложения древних греков)
состоит в последовательности следующих операций:
а) если необходимо, например, квадрировать фигуру В (рис. 14), то в качестве
первого шага в эту фигуру вписывается последовательность других фигур Ль Л2,
Лз,..., Лп,..., площади которых монотонно возрастают и для каждой фигуры из этой
последовательности они могут быть определены;
б) фигуры A'b(k=l, 2, 3,...) выбираются таким образом, чтобы положительная
разность В-Ak могла быть сделана сколь угодно малой;
в) из факта существования и построения описанных фигур
делается вывод об ограниченности сверху последовательности
"'исчерпывающих" вписанных фигур;
г) неявно, обычно с помощью других теоретических и практических соображений,
отыскивается А - предел последовательности вписанных фигур;
д) доказывается, для всякой задачи отдельно, что Л = 5, т. е. что предел
последовательности вписанных фигур равен площади В. Доказательство ведется,
как правило, от противного. Пусть АФВ. Тогда В"А или В"А. Допустив, что 5"Л,
выберем такой элемент последовательности Лп, чтобы В-Ап"В-Л. Это возможно для
любой фиксированной разности В-А. Но тогда должно быть Ап"А, что невозможно
ввиду того, что в действительности Л"Лп Для любого конечного п.
Противоположное допущение (В"А) "тоже приводит к противоречию, потому что
можно подобрать такое Лп, чтобы Л-ЛП"Л-В. Но тогда должно получиться, что Ап"В,
что невозможно.
Методом исчерпывания доказывается, таким, образом, единст-венность^предела. б
сочётаНЯГ с'другими методами'оймполезен для" нахЬжденйя""йредела, Однако решения
вопроса о существовании предела этот метод не может дать,
EL качеств^_пр11мсра^метода исчерпывания, приведем нахождение квадратуры
дараЬшш- у Архимеда. Требуется найти'площадь косого параболического сегмента
ЛВС, отсекаемого хордой АС. Касательная к точке В диаметра ВО, сопряженного с
данной хордой, параллельна последней: MBN\\AC (рис,, 15},,
Первой фигурой последовательности "исчерпывающих" фигур А\ является A ABC.
Вторая фигура Л2 получается добавлением к ААВС двух треугольников: AADB и АВСЕ.
Для построения последних делят Л С на 4 равные части и проводят FD\\OB и GE\\OB.
Аналогично строятся фигуры Л3, Л4,..., Лп. Из свойств параболы получается:
AABC=4(AADB +АВЕС). В самом деле, примем 0В и MN соответственно за оси х и у
косоугольной системы координат1. Координаты точки ?/|, -?-
удовлетворяют условию ( -) = mg, откуда g = у* ,
^ 2 J 4m
tn
4m
m
Так как GK =--OB, m КЕ =- 0В к GK = 2KE. Теперь уже можно сравнивать площади
треугольников:
Мы применили здесь координаты, чтобы сделать изложение метода компактным.
Л CKG = 2 Л КСЕ = Д?С?; ДОБС = 4 Л GKC = 4 Л
Аналогичные рассуждения приводят к соотношению ДЛ05 = 4AABD, и упомянутое
свойство параболы доказано.
Итак, если Аг = А, то Л2 = А Н-----; Л3 = А -)----- -|-----;
4 4 42
,ЛЯ = А + - + . . . + - - • Теперь требуется доказать, "что указанная.
последовательность фигур действительно "исчерпывает" параболический
сегмент, т. е. что S - Лл"в, где п = п(е).
Для этого описывается параллелограмм AMNC, у которого
AM\NC\BO. AI = -±-SAMNC, но S"SAMNC\ значит, Л!"^-5и
^ /,
S - Л1"'.-;-5" Фигура Л "исчерпала" больше половины площади
.LI
S, а последующие фигуры будут исчерпывать больше половины соответствующих
остатков площади S. Удовлетворена основная лемма метода исчерпывания: если от
данной величины отнять часть" большую ее половины, затем отнимать снова и снова,
то остаток может быть сделан сколь угодно малым.
Следующим: шагом
должно быть нахождение предела последовательности'
вписываемых, фигур. В сочинениях древних, авторов обычно этот шаг не.
разъясняется" Однако данный случай составляп~~\
ет исключение. Архимед доказывает, что ' Ап = А + V - =
лшаш QK /2=0
4 1 А
'
:== _д --- _ _ - ^_ • а раз вычитаемое может быть сделано сколь 3 . 3
4я- 1 F
угодно малым, то он утверждает, что S = •- А. При этом Архимед
о
опирается на следующую любопытную теорему: Пусть 5 = А + + B + C + D + E,
"причем А : В = В : С = С : D = D : ? = 4:1, Тогда
S^ - А — ?. В самом деле, образуем:
или S = - А — Е. Теорему можно распространить на любое
и 3
число слагаемых.
Решение задачи завершается доказательством от противного
^
единственности результата S = - А.
"з
Метод исчерпывания был одним из распространенных методов античной математики. Им
широко пользовался Архимед. ' Ранее этот метод включил в "Начала" Евклид, сделав
его основой двенадцатой книги. Предельные переходы, совершавшиеся ранее часто в
силу интуитивных или эмпирических соображений, получили в методе исчерпывания
первое теоретическое оформление, исторически первую форму метода пределов.
Логическая строгость метода исчерпывания оставалась непревзойденной в течение
многих, веков. По существу только в XIX в. были поставлены и начали получать
разрешение проблемы, непосредственно вытекающие из логической сущности античного
метода исчерпывания. Однако форма последнего была еще весьма несовершенной.
Метод развивался только в связи с конкретными задачами: он не стал абстрактным
методом с развитой системой исходных понятий и с единообразными алгоритмами.
Единственность предела доказывалась для всякой задачи заново. Этот недостаток не
был случайным, частным. Дело в том, что всякая попытка ввести это доказательство
раз навсегда для определенного достаточно широкого класса задач неизбежно влекла
за собой необходимость объяснить .ряд понятий инфинитезимальной природы.
Потребовалось бы дать рациональное объяснение понятия бесконечно близкого
приближения, бесконечно малой величины и т. п. Трудностей, связанных с этим,
древние математики не могли преодолеть.
TejML-не менее метод, исчерпывания лежал в основе многих инфинитезимальцых...
методов и выдающихся конкретных достижений""" античных математиков, в первую
очередь Архимеда. (ок. 287--212 гг. до н. э.), которому принадлежит приведенный
выше пример квадрирования параболического сегмента. Этот замечательный ученый
был уроженцем Сиракуз (южная часть Сицилии), сыном астронома и математика.
Фидия. Для усовершенствования своих знаний он некоторое время работал в
Александрии в сотрудничестве с другими крупнейшими математиками. Возвратившись в
Сиракузы, Архимед продолжал усиленные научные занятия. В последний период жизни
он участвовал в обороне родного города от римских завоевателей, руководя
постройкой сложных технических сооружений и изобретая военные орудия. Во время
штурма и взятия Сиракуз Архимед был убит, а его библиотека и инструменты
разграблены.
Сочинения Архимеда написаны преимущественно в виде писем. До нас дошли десять
крупных и несколько более мелких сочинений математического характера. Основной
особенностью математических сочинений Архимеда является применение строгих
хматематических методов в механике и физике.
Такая особенность делает труды Архимеда едва ли не наиболее ярким образцом
развития прикладных математических знаний, техники вычислений и новых
математических методов, в особенности инфинитезимальных, в эпоху поздней
античности.
Мы не ставим задачу дать полную характеристику сочинений Архимеда. Здесь мы
рассмотрим вопросы о взаимопроникновении методов математики и механики в трудах
Архимеда, о разработке им метода интегральных сумм и о его так называемых
дифференциальных методах.
Многочисленные механические.изобретения и открытия Архимеда широко известны, Ему
принадлежат: архимедов винт, снеге"'
мы рычагов, блоков и винтов для поднятия и передвижения больших тяжестей,
определение состава сплавов взвешиванием их в воде, планетарий, метательные
машины и т. д. Известны и теоретические, работы Архимеда по механике "О
равновесии плоских фигур", где изложен закон рычага, "О плавающих телах", "Книга
опор" и т. д.
В творчестве Архимеда работы по механике занимали настолько большое место, что
механические приемы-и аналогии проникли даже в математические методы. До
недавнего времени о таком проникновении нельзя было судить достоверно. Вопрос
окончательно прояснился после того, как в 1906 г. было найдено сочинение
Архимеда "Послание к Эратосфену (Эфод)" о механическом методе решения
геометрических задач, Метод состоял в следующем.
Пусть необходимо, например, вычислить объем шара. Одновременно с шаром строятся
конус и цилиндр, радиус основания и высота которых равны диаметру шара. Затем
через все эти тела проводится сечение, параллельное основаниям, на некотором
произвольном фиксированном расстоянии от них (рис. 16)
AK2 = OK2 + OA2 = OK2 + OL2- в то же время АК?=АВ-ОА. Следовательно, ОК2 +
ОЬ2=АВ-ОА. Такое же соотношение между величинами, пропорциональными слагаемым:
(пАВ2) -ОА = = (пОК2)АВ+ (jt-OL2) -AB, представляет собой соотношение между
горизонтальными сечениями шара, цилиндра и конуса.
Архимед дает этому соотношению механическую интерпретацию, основанную на правиле
рычага, или, что то же самое, дву-плечных весов. Именно, если принять точку А за
точку опоры рычага, то элемент цилиндра, закрепленный в О, уравновесит элементы
шара и конуса, закрепленные в Т (АТ = АВ).' Переходя к объемам тел, как к суммам
всех произвольных сечений, параллельных друг другу, он получает:
Vmn-AC = (Ушар + ]/KOH). AT = (1/шар + Ка.н)-2ЛС;
отсюда
у - _у _ V
к а ~ v цил v кон*
шар
Но так как
л* Т0
— ^цил" ИЛИ
Тот же способ механической аналогии Архимед применил в сочинении "О квадратуре
параболы". Параболическая пластинка представляется подвешенной к одному плечу
неравноплечного рычага и разделенной на'элементы, каждый из которых уравновешен
соответственной нагрузкой на другом плече.
В соответствии с научной традицией своего времени Архимед,
переводил доказательства, полученные- методом механической
аналогии, на общепринятый язык метода исчерпывания с обязау'тельным
завершением последнего в каждом отдельном, случае
доказательством от противного.
Механические и физические аналогии и в последующие века часто с успехом
применялись для решения трудных математических задач. Например, в середине XVIII
в. петербургский академик Д. Бернулли из физических соображений нашел общее
решение уравнения колебания струны
kttX
Д. Бернулли исходил из того, что звук, издаваемый колеблющейся струной длины / с
закрепленными концами, равен сумме основного тона, и обертонов. Отклонение
(ордината) стру-' ны в каждой точке в любой момент равно алгебраической сумме
ординат, соответствующих основному тону и обертонам для данного момента времени.
Можно также указать в качестве примера на Б. Римана, который в середине XIX в.
доказал, исходя из представления о данной поверхности как об однородном
заряженном проводнике электричества и рассматривая потенциальное поле, что на
каждой замкнутой римановой поверхности существует алгебраическая функция,
отличная от постоянной.
. Следующей разновидностью инфинитезимальных методов античной^ древности
является метод, который можно охарактеризовать как метод интегральных, сумм.
Наиболее яркие примеры применения этого метода находятся в сочинениях Архимеда
"О шаре и цилиндре", "О спиралях", "О коноидах и сфероидах". Существо этого
метода в применении, например, к вычислению объемов тел вращения состоит в
следующем: тело вращения разбивается на части, и каждая часть аппроксимируется
описанным и вписанным телами, объемы которых можно вычислить.
Сумма объемов описанных тел будет больше, а сумма вписанных тел - меньше объема
тела вращения. Теперь остается выбрать.аппроксимирующие сверху и снизу тела
таким образом, чтобы разность их объемов могла быть сделана сколь угодно малой.
Это достигается выбором в качестве указанных тел соответствующих цилиндриков
(рис. 17).
В виде примера'метода'интегральных сумм приведем решение Архимеда задач'й
вычисления объема эллипсоида вращения в со•чинениях'-"О
коноидах" и сфероидах". Так он называет тела, образованные
вращением конических сечений вокруг большой оси: коноиды--------------
ижП11 это параболоиды и гиперболоиды
JL-. - JU вращения, сфероиды - эллипсоиды
iJL------4-----------^ вращения. Конкретному решению
задачи предпослана лемма: если дан сегмент коноида, отселенный плоскостью,
перпендикулярной оси, или сегмент сфероида, отсеченный тем же способом., то
можно вписать в него и описать около него фигу-х ры, состоящие из цилиндров
равной-высоты, таким образом, чтобы описанная фигура превосходила вписанную
меньше, чем на любую телесную (объемную) величину.
Итак, дано тело вращения ЛВС и телесная (объемная) величина Е"(). Архимед делит
ВО на п равных частей и строит описанные "и вписанные цилиндры, суммы объемов
которых соответственно обозначает Уоп и УВп- Их разность равна объему цилиндрика
А4Ь т. е. яа2- -, который подбором достаточно болыпоя
го п может быть сделан сколь угодно малым.
Теперь можно предположить, что на данном чертеже изображен сегмент эллипсоида
вращения и поставлена задача вычислить его объем. В таком случае
я-1
\ (*0 - а).
Задача сведена к суммированию квадратов чисел. Далее Архимед производит
геометрические преобразования, эквивалентные следующим аналитическим
преобразованиям:
Рис, 1.7
так как
г/2 а2
+ -^ = 1 , то л:2 = - (б2 - у2)
и для каждого сечения
откуда
fl-1
V==l
где v - последовательные натуральные числа. Для нахождения
сумм квадратов последних Архимед применил геометрические оценки вида
v=i
данные им в сочинении "О спиралях". Фактически он. производит
геометрическую оценку вида
откуда (так: как яА = Ь)
°
что до известной степени эквивалентно оценке для f ^dx.
я
Из этих оценок он получает Уоп"л -~-~ А • мЬ2 - -^- А2 = — 1-\ = -
яа26. Аналогично Увп" - jta2&. Но так как,
лемме,
Von -
искомый объем сегмента
согласно
V = - Jta2&, т. е. равен удвоенному объему конуса с тем же осо
нованием и высотой, что и сегмент. Единственность предела Архимед доказывает,
как и во всех других случаях, приведением к противоречию.
Приведенный пример показывает, что в античной математике сложился ряд элементов
определенного интегрирования, в первую очередь построение верхних и нижних
интегральных сумм, аналогичных до известной степени суммам Дарбу.
Другим примером метода интегральных сумм может служить определение площади
первого витка архимедовой спирали: р = ср. Спираль вводится кинематически как
траектория точки, подверг75
нутой двум равномерным движениям: вращению луча вокруг точки и движению точки по
лучу от центра (рис. 18). Для определения площади первого витка окружность (г =
а) делится на п частей. Вслед за тем строятся две последовательности вписанных и
описанных круговых секторов, радиусы которых--,-
Jl L " " п п
2а За
па
= а. Их площади: Sk =
rtrf
Л = 1,2,..., я.
п
Рис. 18
Последовательности эти образуют вписанную и описанную фигуры, площади которых
соответственно больше и меньше площади витка спирали:
п-1
п-1
/2=1
На основании оценок, приведенных в предыдущем примере, • Увп "С -~ • — - Ла
, а также Ven" --.
Но разность между аппроксимирующими суммами может сколь угодно малой.
Следовательно, S= --.
Казалось бы, сходство метода интегральных сумм древних и определенного
интегрирования полное. Такое впечатление усиливается и тем, что мы
модернизировали форму изложения. Поэтому
необходимо отметить и их различие. Дело в том, что метод интегральных сумм
древних опирается на интуитивное, строго не определенное понятие площади и не
использует арифме-гико-алгебраический аппарат. В нем не введены и не определены
необходимые общие понятия: 'предела, интеграла, бесконечной суммы и т. д.. и не
изучены условия применимости высказываемых теорем:. Метод применяется для каждой
конкретной задачи без выделения и оформления его общетеорерис.
ig
тических основ.
Наряду с методом интегральных сумм в античной математике были разработаны
методы, которые ретроспективно могут быть оценены как дифференциальные. Примером
подобных методов может служить метод нахождения касательной к спирали в
сочинении Архимеда "О спиралях".
Задача найти касательную к любой точке Р спирали решается обычным способом
определения величины, соответствующей под-касательной ОТ (рис. 19).
Предварительно доказывается лемма,,
что ^ ОРТ " - | ^РОТ = •";-"•.' по построению). Затем рассматривается
дифференциальный треугольник AFPR, по существу образованный радиусом-вектором,
близким к данному, дугой PR окружности радиуса ОР и продолжением касательной FP.
Этот
треугольник прямоугольный f^:PRF = - ] и приблизительно подобен треугольнику
ОРТ, ибо ZPTO=Z.FPR.
Отсюда — = -, или, если перевести на более удобную для PR ОТ
нас символику (ОР = р, PR = рДф, FR = Др),
-
АР == р рАф ОТ '
откуда
ОТ = р2 — . Это общее соотношение в случае архимедовой спирали
р = ф примет вид: ОТ = р2, или ОТ = р"р.
Таким образом, метод Архимеда заключается во введении практически достаточно
малого треугольника, образованного приращением полярного радиуса-вектора
касательной, соответ77
ствующей малой дугой окружности и отрезком касательной. Он .играет роль
дифференциального треугольника, что дает основание причислить метод к разряду
инфинитезимальных.
Наряду с другими задачами и методами древности дифференциальный, треугольник
Архимеда, явился предметом настойчивого исследования ряда выдающихся математиков
XVI-XVII вв., Паскаль
и Барроу явно ввели его в математику: первый - в составе своих
интеграционных методов, второй - при проведении касательных и при доказательстве
взаимно-обратной зависимости между квадратурами и касательными. Лейбниц
использовал этот треугольник как один из отправных пунктов при создании , своего
исчисления дифференциалов.
К инфинитезим ал ьным методам можно отнести и ряд других приемов и
методов древних. Прежде всего отметим Рис- 20 прием Динострата
(IV в. до н. э.), который,
отыскивая точку пересечения квадратрисы с осью абсцисс, нашел по существу
значения пределов
ф - ф-~"0 Ср
Ординаты точек квадратрисы, как известно, пропорциональны соответствующим углам.
Отсюда, обозначив ОА=г, получим
г 2 для некоторой произвольной точки H(HL = y): -=^-, откуда
У Ф 2г у
- = - (рис., 20). Учитывая, что у является линией синуса для - я; ф
.круга радиуса ОН и линией тангенса для круга радиуса OL, получим
_2?_=ОЯ.^!ПФ_=01. Jtg^
Я ф ф
При
Ф-"0 ОН-*ОК и OL-"0/C.
Следовательно, О/С = lim-- . ,ф = lim-- . --.
ф-"о jt sin ф ф-"о я tg ф
2г Тот факт, что О/С - - , Динострат доказывает от противноя
го, опираясь на непрерывность квадратрисы и неравенство sin
ф"ф" tgqp, доказывая тем самым оба замечательных предела.
Пусть ОД" " -^-. На квадратрисе найдется точка Я, для
я
которой ОН = — для соответствующего угла ф. Тогда ордината
\
1этой точки (/= -^-sin ф и одновременно у = -^ из свойства квад!
-я
л/2
ратрисы. Из этого должно вытекать, что sin ф = ф, что невозможно.
Предположение, что ОК" -^-- таким же образом приводит к
невозможному,заключению: "р= tg"p.
Инфинитезимальные методы разрабатывались и для. решения класса экстремальных
задач,, В сочинении Архимеда ":О шаре и цилиндре" (кн. 2, пр. 4) поставлена
задача разбиения шара (радиуса, а) на два сегмента, объемы которых находились бы
в заданном отношении т: п. Показано, что высота большего
сегмента х удовлетворяет пропорции 4 а2 :х2 = (За-- х):-- а.
т ••-[- п
Показано также, что эта'задача может быть обобщена: разделить отрезок а на две
части х и а-х так, чтобы 5 : х2- = (а-х) : с, где S - заданная площадь, а. с -
заданный отрезок,, Чтобы эта последняя задача имела неотрицательные решения,
надо наложить ограничения на область значений S и с,
Из более поздней рукописи известно, что. Архимед, отыскивая, геометрическое
решение уравнения х2(а-х) =^Sc, правильно находил, что максимум его левой части
в области 0"я"а достигается при х=-а\ тем самым он решал экстремальную
о
задачу.
Наконещ в античной математике рассматривались и так называемые вариационные
задачи. У Архимеда подобная, задача встречается только один 'раз - в
заключительном предложении сочинения "О шаре и цилиндре",, Здесь рассматриваются
изопо-верхностные сегменты различных шаров и доказывается, что сегмент, имеющий
форму полушара, имеет наибольший объем. Немного позднее вышло сочинение
Зенодора, в котором теория изо периметрических фигур была строго и полно развита
для многоугольников, кругов и в некоторой степени для многогранников, простейших
тел вращения и для сферы. Предложения экстремального характера были широко
распространены в то время, подчас нося не чисто математический, а механический
или даже натурфилософский характер.
Инфинитезимальные методы древней Греции послужили исходным пунктом многих
исследований ученых-математиков XVI и XVII вв. Особенно часто изучались методы
Архимеда. Лейбниц, один из основателей математического анализа, по этому поводу
писал о том, что, изучая труды Архимеда, перестаешь удивляться успехам
современных математиков.
Инфинитезимальные методы образуют ту часть античной математики, которая
формировалась под непосредственным давлением научно-практических запросов. Они
выходили за рамки образуемых в то время замкнутых математических систем,
построенных на основе минимального числа основных положений. В ин79
финитезимальных методах получили первое выражение элементы новых математических
средств, которые привели к созданию анализа бесконечно малых. Отношения
противоречия между совокупностью подобных методов и замкнутыми логикоматематическими
системами в древней Греции представляют один из исторических
примеров противоречий,, являющихся движущей силой развития математических,
наук,, *
3.4, МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ И МЕТОДЫ ПОЗДНЕЙ АНТИЧНОСТИ
В сложном и многообразном научном наследии ученых древности мы выделяем в
качестве объекта изучения преимущественно те его стороны, которые ведут к
созданию математических теорий. Последнее является наиболее характерной чертой
математического творчества в эпоху греческой античности. В то же время
математические теории древних греков составляют классическую основу
многих • важных проблем, относящихся к основаниям современной математики,
делая их особенно ценными.
Со (времени Евклида и Архимеда античная математи-Рис- 21
ка сильно изменяется как по
форме, так .и .по содержанию. В силу причин, которые, мы
охарактеризуем ниже, -процесс формирования'математических теорий замедляется и
наконец прекращается. Однако этот процесс был длительным и обозначился не сразу.
Младшие современники Архимеда и ученые более поздней античности оставили в своих
сочинениях примеры теоретических исследований и даже развитых математических
теорий. Среди них первое место по уровню теоретического развития и полноте
рассматриваемых фактов занимает теория конических сечений.
Ранее мы указывали, что конические сечения вошли в античную математику как
средство решения задач, не поддающихся решению средствами геометрической
алгебры, т. е. построениям с помощью циркуля и линейки. Для их получения
пользовались геометрическими местами точек пересечения поверхности конуса
(соответственно остро-, тупо- или прямоугольного) плоскостью, перпендикулярной
одной из образующих конуса. При помощи этих кривых Менехм (IV в. до н. э.) дал
решение задачи об удвоении куба.
Не сохранилось сведений о том, как были'впервые найдены свойства конических
сечений, представляющие геометрический эквивалент их алгебраических уравнений.
Однако задача обнару80
жения этих свойств разрешима элементарными средствами, в чем убеждают имеющиеся
исторические реконструкции.
Пусть, например, дан прямоугольный конус с вершиной в Т (рис. 21). Сечение его
вдоль оси - /(ГС, след кругового сечения,
параллельного основанию - ОЯ, след сечения, перпендикулярного образующей -АР.
Перпендикуляр к сечению КТО в точке Р до пересечения с поверхностью конуса
обозначим у.
Тогда y2 = PG-PH = V2 AP-AB = 2AP-AL. Если обозначить ' АР = х, AL = p, то
получим уравнение параболы: у2 = 2рх.
В случае, если конус не прямоугольный, то в чертеже добавляется только точка А\
переселения со второй образующей или с ее продолжением. Обозначая, в этом случае
АР = х, А\Р = х\, отрезок до оси AL = p (полупараметр), АА\ = 2а\, получим
АА1
ИЛИ
Эта, реконструкция принадлежит Г. Цейтену. Она убедительно демонстрирует
возможность вывода, свойств конических сечений методами элементарной геометрии.
При' этом получается уравнение, отнесенное к осям, причем параметр 2р получает
удобную геометрическую интерпретацию (полупараметр р равен отрезку AL от
конической поверхности до оси) .
Интерес к коническим сечениям возрастал по мере того, как увеличивалось
количество решаемых с их помощью задач. Свойства конических сечений стали
предметом специального теоретического исследования. Коническим сечениям был
посвящен ряд сочинений. Однако, подобно тому 'как это имело место после
появления "Начал" Евклида, все эти сочинения были забыты, когда появился труд
Аполлония о конических сечениях. Он не имеет себе равных по полноте, общности и
систематичности изложения теории конических сечений.
Аполлоний (около 200 г. до н. э.) - младший современник и научный соперник
Архимеда. Продолжительное врем он жил и работал в Александрии. Затем возвратился
на родину в г. Пергам (в Малой Азии), где был главой математической школы. Из
многочисленных математических сочинений Аполлония до нас дошли в основном только
7 из 8 книг "Конических сечений". Первые четыре книги дошли до нас на греческом
языке - на языке оригинала, книги 5-7 сохранились только в переводе на арабский
язык; предполагаемое содержание восьмой книги восстановил английский астроном и
физик Э. Галлей (1656-1742) исходя из содержания первых семи книг и сведений,
сообщенных комментаторами Аполлония.
Теория конических сечений развивается Аполлонием на основе достаточно общих
исходных посылок., Он сразу вводит обе полости произвольного конуса с круговым
основанием и рассматривает произвольные плоские его сечения (рис. 22). Каждую из
получаю81
щихся при этом кривых он рассматривает по отношению к некоторому диаметру и
семейству сопряженных с ним хорд. Из образующегося класса кривых выделяет
канонические формы, в которых диаметры перпендикулярны к сопряженным с ними
хордам. Аполлоний указывает, что эти канонические формы есть сечения конусов
вращения.
При таком способе рассмотрения обеспечивается единообразие подхода ко всем видам
конических сечений. При этом в рассмотрение включаются сразу обе ветви
гиперболы. Отнесение к диаметрам и сопряженным с ними хордам содержит в себе
идею метода координат, хотя и в несовершенной форме.
Свойство кривых, являющееся геометрическим эквивалентом их уравнения,
формулируется с применением: средств геометричеРис.
Рис. 23
ской алгебры. Пусть даны конические сечения: эллипс и гипербола (рис. 23 и 24).
Диаметр у обоих обозначим АВ. Если из конца А оси опустить перпендикуляры АЕ =
2р и CF, то квадрат, построенный на CD, будет равен прямоугольнику AF:
- = - и поэтому
2р 2а J
Но CF = ?-
а
Положив АС=х, СВ = 2а-х, получим соответственно уравнения:
а а
Посмотри в окно!
Чтобы сохранить великий дар природы — зрение,
врачи рекомендуют читать непрерывно не более 45–50 минут,
а потом делать перерыв для ослабления мышц глаза.
В перерывах между чтением полезны
гимнастические упражнения: переключение зрения с ближней точки на более дальнюю.
В первом случае прямоугольник CF используется е недостатком, во втором - с
избытком. Если нет ни недостатка" ни избытка, то имеет место парабола - простое
равенство квадрата прямоугольнику со стороной 2р.
Геометрическая алгебра, в терминах которой выражен геометрический эквивалент
уравнений конических сечений,, играет здесь примерно такую же роль, какую играет
алгебра в аналитиРис.
ческой геометрии. Разумеется, при таких заключениях об использовании алгебры и
координатного метода в теории конических сечений Аполлония не следует забывать,
что, во-первых, системы координат Аполлония неотделимы от своих индивидуальных
кривых; во-вторых, не введены еще координаты для всех точек плоскости, как
принадлежащих, так и не принадлежащих данной кривой; в-третьих, здесь нет еще и
речи о сведении задачи соотнесения точек осям координат к вычислениям, так как
нет вообще стремления сводить геометрические задачи к алгебраическим.
В качестве примера стиля рассуждений Аполлония приведем его определение
параболы у2 = 2рх: "Если конус пересечен
плоскостью по оси и пересечен также другой плоскостью, которая пересекает
основание конуса по прямой, перпендикулярной к основанию треугольника по оси, и
если, кроме того, диаметр сечения параллелен той или другой из двух сторон
треугольника по оси, то всякая прямая, которая проводится от сечения конуса
параллельно общему сечению текущей плоскости и основанию конуса до диаметра,
взятая в квадрате, будет равна прямоугольнику, заключенному прямо из диаметра,
отрезанного от нее до вершины сечения и некоторой другой прямой, которая имеет к
прямой, взятой между углом конуса и вершиной сечения, такое отношение, какое
квадрат основания треугольника по оси к прямоугольнику, заключенному остальными
двумя сторонами треугольника. Такое сечение называется "параболой" 1.
Первая книга "Конических сечений", помимо указанных выше основ теории, включает
в себя теоремы о проведении касательных, Речь идет о проведении опорной прямой,
т, е. прямой через; точку (яо#о), конического сечения у2 = 2рх±х2 таким
образом,, чтобы для всех других точек (ху) прямой удовлетворялось неравенство
2рх =F - х2
2pxQ =F
Во второй книге содержится теория главных осей, асимптот и сопряженных
диаметров,, Доказывается, в частности, что у эллипса, гиперболы или параболы
имеется только одна пара взаимно перпендикулярных осей, что если соединить
прямой точку пересечения двух касательных с серединой хорды, соединяющей точки
касания, то эта прямая будет диаметром и т. п. Наконец,. сообщаются способы
построения центров и осей данного конического сечения и др.
Третья книга начинается группой теорем о площадях фигур, образуемых секущими,
асимптотами и касательными. Среди них такая, например, широко известная теорема:
Если из точки проведем две касательные к коническому сечению и проведем
параллельно им две секущие до их пересечения, то отношение квадратов,
построенных на касательных, будет равно отношению прямоугольников, построенных
на секущих и их внешних отрезках. В этой же книге находятся теоремы о полюсах и
полярах и о получении конических сечений с помощью двух проективных или
томографических пучков. Наконец, через свойства соответствующих площадей
рассматриваются простейшие случаи проведения касательных, без использования
точек касания, а также теория фокусов эллипса и гиперболы.
1 "Конические сечения", кн. 1, предл. 11; см. "Изв, Сев,-Кавк. гос. ун-та",
1928, т, 3 (15), стр. 141.
Первая группа предложений четвертой книги относится к гармоническому делению
прямых. Затем подробно разбирается вопрос о наибольшем числе точек пересечения и
соприкосновения двух конических сечений.
Книги 1-4 часто характеризуют как содержащие изложение основных свойств
конических сечений. Следующие же книги считают относящимися к специальным
вопросам теории конических сечений.
В пятой книге впервые решаются экстремальные задачи вроде задачи о кратчайшем
расстоянии от данной точки до конического сечения. Здесь появляются элементы
теории разверток в виде определения геометрического места центров кривизны,
Шестая книга содержит разбор проблемы подобия конических сечений и обобщения
задачи о построении семейства, конусов, проходящих через данное коническое
сечение. В последней из известных, седьмой, книге исследуются вопросы, связанные
с функциями длин сопряженных диаметров, параметров и т. п. Например,
доказывается, что для эллипса (соответственно гиперболы) сум'ма (соответственно
разность) квадратов сопряженных диаметров; равна сумме (соответственно разности)
квадратов осей. Или другой пример: площадь треугольника, образованного двумя
сопряженными диаметрами и хордой, соединяющей их концы, - постоянна. Разработка
диоризмов (ограничений, налагаемых на-условия задач) в конце седьмой книги
указывает, что восьмая книга, возможно, содержит задачи, примыкающие к
теоретическому материалу седьмой книги. Так и трактовал восьмую книгу Э. Г
аллей, работая над воссозданием ее утерянного текста,
Мы уделили сравнительно много места этой аннотации отдельных книг "Конических
сечений" Аполлония, чтобы показать,, какого высокого уровня достигла, теория
конических сечений античной древности., Результатами этой теории позднее
воспользовались математики при создании аналитической геометрии.
Из изложенного здесь и ранее видно, что большинство математических теорий имело
своим предметом геометрические объекты. Геометричность формы математической
теории стала с течением времени ее непременным атрибутом. При этом
геометричность идентифицировалась с общезначимостью математической теории, ибо
представлялось, что геометрические величины имеют преимущество наибольшей
общности в классе математических величин.
Нет, разумеется, оснований утверждать, что геометрические формы исчерпывали всю
совокупность форм математической деятельности. Древние греки в практической
области применяли большой комплекс арифметико-вычислительных методов. Эти методы
проникали и в теоретические работы, дополняя теорию арифметико-алгебраическими и
теоретико-числовыми элементами. Неудобства алфавитной системы счисления и
неразработанность символов являлись серьезным препятствием для вычислительных
операций. В течение некоторого времени и требования
практики в этом отношении не были достаточными, чтобы стимулировать операции с
большими числами. Вслед за сравнительно ограниченным набором чисел, имеющих
названия, наступал порог, после которого число элементов представлялось
неисчислимым.
Чтобы устранить подобное несовершенство и показать неограниченную продолжаемость
натурального ряда чисел, Архимед написал специальное сочинение под названием
"Псаммит" (исчисление песка). В нем: строится систем:а чисел" показывается, что
она может быть продолжена сколь угодно далеко и служить для пересчета любого
конечного множества предметов.
Система чисел Архимеда построена по. десятичному принципу: единицы (монады),
десятки (декады), сотни (гекады), тысячи (хилиа-ды), десятки тысяч (мириады) и
т., д. Мириада затем рассматривается как основа счета, до числа мириады мириад
{ЛО8). Числа от 1 до 108 образуют первую октаду (от слова окто-восемь), а числа,
в нее входящие, называются первыми. Далее следуют: вторая октада (108 - Ю8'2),
третья (108"2-108"3) и т. д. до октады чисел октад-ных (Ю8'108), замыкающей
первый период. Она является исходной единицей второго периода. Октада единиц
этого периода (108'10'+8) будет единицей вторых чисел второго периода и т. д.
Далее следуют единицы чисел третьего периода (102-8"1°8), четвертого (К)3'8-*0')
и т. д. до октады чисел октадных октадного периода (101?)2"8"10
).
Получающиеся огромные числа воспринимались .как своеобразные трансфиниты
древности, шкала роста которых могла быть неограниченно продолжаема. Их с
избытком хватало даже для такой задачи, как определение порядка числа песчинок,
которые могут заполнить полностью всю вселенную.
Чтобы сделать задачу возможно более определенной, Архимед, исходя из
гелиоцентрических воззрений Аристарха Самосского, представляет вселенную как
шар, в центре которого находится Солнце. Радиус шара считается от Солнца до
неподвижных звезд, Для дальнейшего уточнения задачи принимается, что диаметр
вселенной во столько же раз больше диаметра солнечной системы, во сколько раз
этот последний больше диаметра Земли. Архимед использует экспериментальные
данные астрономов, округляя их в сторону увеличения.
Единица измерения вселенной - песчинка принята за 0,0001 зернышка мака, которых
требуется 40 штук, чтобы сравняться с шириной человеческого пальца. Подсчеты
Архимеда показали, что искомое число песчинок будет не больше чем Ю63, или
тысячи (Ю3) мириад (Ю4) чисел восьмых (Ю78) первого периода.
Архимеду приписывают "и другую задачу, в которой требуется юперировать с
чрезвычайно большими числами, - так называемую задачу о быках Гелиоса (бога
Солнца). Для сокращения обозначим буквами б, ч, р, п - число быков
соответственно белой, черной, рыжей и пестрой масти, а буквами б', чг, //, п' -
число коров тех же соответственно мастей. В стихотворной форме ставится за86
дача определения численности стада, исходя из следующих условий:
2. ч ==
+
л + р; 5. ч' = -L + -L . (п + "/)-,
8. б-\-ч - есть точный квадрат;
9. п + р - есть треугольное число;
10. б + ^ + я + р - есть тоже треугольное число.
Первые 7 условий составляют систему семи уравнений с восемью неизвестными.
Наименьшие численные решения дают общую численность стада 50389073 головы,
Условия же 8, 9, 10 приводят, по позднейшим вычислениям, к нахождению
наименьшего, целочисленного решения неопределенного уравнения х'2 - 4
729494#2=1, которое выражается только 206545-значным числом.
Вычисление значений чисел, иррациональных или трансцендентных, вызвало к жизни
идею приближения их рациональными числами. Например, в работе Архимеда
"Измерение круга" число ,тс вычисляется с помощью вписанных и описанных
многоугольников
и дает приближения 3 "- - "[я"3 - . Оценки сверху и
1/0" 1351 ^"1/0" ^ 265
снизу вводятся также и для вычисления у 3 : - - "^ |/ 3 ".---•
780 133
и других квадратичных иррациональностей. В большинстве лишь существуют
исторические реконструкции способов нахождения этих оценок; в античных
источниках сведения об этом совершенно недостаточны.
Однако уровень вычислительно-практических приложений многих развитых
математических теорий оставался все же сравнительно низким. Это объясняется
преимущественно характером содержания и формы этих теорий: оторванностью от
практики, принудительностью геометрической формы, ограничением совокупности
применяемых методов, отсутствием тригонометрии. Требования астрономии к
математике с достаточной силой сказались позже.
Вслед за временем жизни и деятельности Евклида, Архимеда и Аполлония наступило
время быстрого и коренного изменения античной математики как по содержанию, так
и по форме. Эти
изменения в основном были обусловлены происходящими в то время грандиозными
переменами в экономической, общественно-политической и культурной жизни народов.
Главным процессом экономического характера был распад рабовладельческого способа
производства, который привел к громадным революционным преобразованиям и к
установлению 'феодального строя,, Ф. Энгельс так характеризовал этот процесс в
применении к Римской империи:
"Античное рабство пережило себя. Ни в крупном сельском хозяйстве, ни в городских
мануфактурах оно уже не приносило дохода, оправдывавшего затраченный труд, -
рынок для его продуктов исчез. А в мелком земледелии и в мелком ремесле, до
размеров которых сократилось огромное производство времен расцвета империи, не
могло найти применение большое, число рабов. Только для рабов, обслуживавших
домашнее хозяйство и роскошную жизнь богачей, оставалось еще место в обществе.
Но отмирающее рабство все еще было в состоянии поддерживать представление о
всяком производительном труде, как о рабском деле, недостойном свободных римлян,
а таковыми теперь были все граждане. Результатом было, с одной стороны,, -
увеличение числа отпускаемых на волю рабов, излишних и ставших обузой, а с
другой стороны,--увеличение числа колонов и обнищавших свободных... Рабство
перестало окупать себя и потому отмерло. Но умирающее рабство оставило свое
ядовитое жало в виде презрения свободных к производительному труду. То был
безвыходный тупик, в который попал римский мир; рабство сделалось невозможным
экономически, труд свободных считался презренным с точки зрения морали. Первое
уже не могло, второй еще не мог •быть основной формой общественного
производства. Вывести из этого состояния могла только коренная революция" 1.
Коренные изменения экономической структуры общества сопровождались большими
политическими событиями. Эти события, как правило, происходили в обстановке
разрушительных войн, губительно влиявших на науку и культуру. Мировая империя
римлян в ходе завоевательных войн разрушила все научные центры и не создала
условий для их восстановления и развития. Последующее крушение Рима тоже
протекало в обстановке войн и разрушений. Феодальные государства Европы,
появившиеся в результате всех этих событий, были вначале, как правило, мелкими,
хозяйство их - натуральным, образование и просвещение, а также научный и
культурный обмен - ничтожными.
Значение Александрии как основного научного центр'а в это время падает.
Некоторое время там еще ведутся научные исследования. Однако ряд неблагоприятных
событий сводит эту работу на нет. Пожары Музейона нанесли непоправимый ущерб
библиотеке. В начале нашей эры ученые были лишены государственной
1 К. Маркс и Ф. Энгельс. Собр. соч., т. 21, стр. 148-149.
-^мействз
б*Х?тматериальной
поддержки. Под давлением ре. венства закрывались
нехристианские храмы и нах них школы. В 412 г. последняя'Группа александрит
была разогнана, их руководитель, первая известная ь женщина-математик
Гипатия, растерзана по наущению хрь, ских священников, библиотека уничтожена.
Оставшиеся в жи
Рис. 25
Рис. 26
ученые собрались в Афинах, где работали до 529 г., когда их деятельность была
запрещена официальным указом.
О тех изменениях, которые произошли в математике за этот период времени, мы
можем судить по дошедшим до нас математическим сочинениям. Последние прежде
всего показывают, что ^резко замедлился, а затем совсем прекратился процесс
образования математических теорий. Результаты, подчас очень важные по существу и
красивые по выполнению, делаются все более частными, специальными. Приведем два
примера. Так, Никомед (II в. до н. э.) иссле'довал частный вид конхоиды -
плоской кривой, получающейся при увеличении или уменьшении радиусов-векторов
данной прямой (общий случай - данной кривой) на одну и ту же величину (рис. 25).
Кривую эту Никомед получил, исследуя проблему образования вставок для решения
задач о трисекции
угла и удвоения куба. К исследованиям подобного рода относится изучение циссоиды
Диоклесом как геометрического места точек пучка прямых с центром в Л, таких, что
AM = PQ (см. рис. 26). Эти и другие исследования, отдельные результаты (вроде
изопери-метрических проблем. Зенодора) надолго вошли в математику. Однако они
представляли собой только отдельные, размельченные результаты, уже не ведущие к
созданию новых классических направлений, новых классических теорий.
В математике поздней античности и эпохи владычества Рима все большее место
занимают практические вычислительные методы и задачи. Образцом работ подобного
направления являются математические работы Герона из Александрии (I - II вв. н.
э.), в особенности его "Метрика". Стиль последней - рецептурный: для
определенных классов задач формулируются правила, спр аведливость которых
подкрепляется. примерами. В "Метрике" содержатся: правила для точного и
приближенного определения площадей геометрических фигур и объемов тел, правила
численного решения квадратных уравнений и извлечения (преимущественно
приближенного) квадратных и' кубических корней. В частности, в ней приводится
известная формула Герона для вычисления площади треугольника по трем его
сторонам
?д = Ур(р-а)(р-Ь)(р~=д (а, Ь, с - стороны, р = ^
Наконец, значительную часть содержания "Метрики" составляет описание приемов
землемерия и геодезических инструментов.
В других, сочинениях Герона: "Механика",, "Пневматика", "Диоптрика" -
систематически излагаются основные достижения античных ученых в Области
прикладной механики. "Метрика" в этом ряду сочинений играет вспомогательную роль
математической (в прикладном смысле) энциклопедии.
Значение прикладной вычислительной математики еще более подчеркивается той
большой работой, которую математики вынуждены были вести в связи с составлением
астрономических таблиц. Среди последних значительное место занимают таблицы хорд
(что эквивалентно таблице синусов) Птолемея (II в. н. э.), где данные приведены
через каждые 30' от 0 до 180°.
На основе преимущественного роста 'вычислительной стороны математики, а возможно
и под другими дополнительными влияниями, в математике поздней античности
зародились элементы алгебры и начальные формы алгебраической символики. На это
обстоятельство указывают методы и результаты Диофанта.
Из математических сочинений Диофанта, жившего и работавшего в Александрии
(вероятно, в III в. н. э.), сохранилось 6 книг "Арифметики" и отрывки книги о
многоугольных числах. Понятие многоугольных чисел возникло в пифагорейской
математике как следствие геометрической интерпретации теоретико-числовых
соотношений. Если обозначать числа точками и располагать их в виде каких-либо
фигур, то частные суммы арифметических прогрессий
итд
п*3
•-"-*-• •-••• ill/ ТП.д
Рис. 27
umft
/7-5
(вида ai = l, d = n - 2) могут быть изображены в виде семейства подобных
многоугольников (см. рис. 27 для /г = 3, 4, 5), а соответствующие числовые
значения могут называться (и называются) многоугольными. Ко времени Диофанта эту
идею распространяли также на пространство. При этом ^"получались
пространственные числа,, изображаемые семейством подобных параллелепипедов. (в
частном случае - кубов), пирамидальные числа (частные суммы последовательностей
многоугольных чисел) и т. д.
Операции с числами, тоа-нее говоря, с рациональными числами, исследуются в "А
риф-метике" Диофанта. В первой книге он вводит основные арифметические понятия,
правило знаков при умножении, правила оперирования с многочленами,
решает линейные уравнения. В последующих книгах "содержатся
многочисленные задачи, приводящиеся к уравнениям с рациональными коэффициентами,
имеющими рациональные корни,
Диофант во всех задачах пользуется специальными числовыми значениями и
производит только операции с числами, нигде не приводя общих теорем,, , Для
обозначения неизвестного количества в уравнении и для записи функций от него он
был вынужден разработать систему символов.
Символика Диофанта основана на сокращении слов. В истории развития
алгебраической символики она знаменует переход от словесных выражений
алгебраических зависимостей ("риторическая" алгебра) к сокращениям этих
выражений ("синкопическая" алгебра). Следующей ступенью развития уже является
чисто символическая алгебра.
Неизвестная величина я в уравнениях Диофанта представлена специальным символом.
Переписчики, впрочем, пользовались разными символами, что не изменяет
принципиально существа дела. Если неизвестное, которое мы обозначим |, входит в
уравнение с коэффициентом, то оно обозначается ||, что соответствует
множественному числу. Для степеней к применяются символы: для я2- •&" (от слова
66iva(jiis - степень), я3 - Х° (от хород), я4 - 66\ %5- &KV и т. д. Знак
сложения не употребляется, для вычитания введен специальный знак - &. Равенство
записывается словом taog (равный), реже - буквой^ Свободные члены уравнения
имеют специальное обозначение \л° (от (jiovag - единица). Система счисления -
алфавитная. Символика, впрочем, не строга единообразная, имеет модификации. Об
употреблении символики Диофанта лучше всего могут дать представление примеры:
а) и^аЦ'п^б*' 8[i°ai|a означает х* + 8х- (5д:2+1) =я;
б) ||cxpat^°"uioroisicrtv||0/s ia fJiovaai ie означает 10;с + 30=11л;+15..
С помощью подобной символики в книгах 2-6 "Арифметики" Диофант решает (т. е.
находит одно из их рациональных решений) многочисленные задачи, приводящиеся в
большинстве к неопределенным уравнениям второй степени. Он нашел рациональные
решения около 130 неопределенных уравнений, принадлежащих более чем: к 50
различным классам. В каждом: случае Диофант ограничивается нахождением одного
корня. Общих методов решения неопределенных уравнений или классификации
последних у Диофанта, нет. Нет также доказательств; справедливость полученного
результата подтверждается только тем,, что он при подстановке удовлетворяет
условиям задачи.
Общая теория дирфантовых уравнений первой степени: ax + by=l, где а и Ъ -
взаимно-простые целые числа, была построена' в XVII в. французским математиком
Ваше де Мезириа-:ком (1587-1638). Он также издал в 1621 г. сочинения Диофанта на
греческом и латинском языках со своими комментариями. Над созданием общей теории
диофантовых уравнений 2-й степени трудились многие выдающиеся ученые: П. Ферма,
Дж. Валлис, Л. Эйлер, Ж. Лагранж и К. Гаусс., В результате их. усилий к началу
XIX в. было в основном исследовано общее неоднородное уравнение 2-й степени с
двумя неизвестными и с целыми коэффициентами:
ах2 + Ьху + су2 + dx + еу + / = 0.
Диофантовы уравнения являются предметом исследования и в современной.математике.
Так называются неопределенные алгебраические уравнения, или их системы, с целыми
коэффициентами, у которых разыскиваются целые или рациональные решения. Более
широкая точка зрения на диофантовы уравнения состоит в том, что решения этих
уравнений разыскиваются в алгебраических числах, Фундаментальные исследования по
теории .диофантовых уравнений проведены советскими учеными А. О. Гельфондом, Б.
Н. Делоне, Д. К. Фаддеевым и В. А. Тар-таковским.
Имя Диофанта прочно закрепилось и в той части теории чисел, которая изучает
приближения действительных чисел рациональными числами. Эти приближения
называются диофантовыми. К теории диофантовых приближений относят также вопросы,
относящиеся к решению в целых числах неравенств (или их систем) с
действительными коэффициентами, и вопросы теории трансцендентных чисел.
Центральное место в теории диофантовых приближений занимают методы и результаты
академика И. М. Виноградова.
Таким образом, сочинения Диофанта послужили по существу отправной точкой многих
теоретико-числовых и алгебраических исследований. По отношению же к античной
математике они характеризовали усиление алгебраических тенденций, расцвету
которых помешали (как и развитию всех отраслей математики)
'з м XVII вв. (ван Роу-*о"^м превзойден, метод
упомянутые выше неблагопрк условия.
К основным характерным qeptw •кости относится также большое "
являющихся комментариями классическ. дание комментариев является,
несомненьч математического творчества. Однако сочине, принесли большую
пользу истории математик рывках или в пересказе многие классические и Иногда
комментарии являются единственным источ,. ний об утерянных, сочинениях или
забытых достижениях математиков.
Одним из ранних, комментаторов является Гемин Р'одо (около 100 г. до н. э.). По
свидетельству Прокла (V в. н. э.), Гемин излагал историю высших кривых: спирали,
конхоиды, .циссоиды и др. Ему принадлежит также одно из первых делений наук на
теоретические (геометрия и арифметика) и практические (астрономия, механика,
оптика, геодезия, правила счета).
.Другой крупный комментатор Теон из Александрии (IV в.) составил комментарии к
"Началам" Евклида и к.астрономическому трактату "Альмагест" Птолемея. Его дочь
Гипатия комментировала произведения Архимеда, Аполлония и Диофанта.
Особое место в ряду комментаторов занимает Папп из Александрии (IV в. н. э.).
Кроме комментариев к сочинениям Евклида и. Птолемея он написал большое сочинение
".Математические коллекции", в котором подробно и со знанием дела изложил, со
своими замечаниями, многие замечательные открытия своих предшественников. Из
восьми книг "Математической коллекции" до нас дошли только шесть (книги 3-8).
Пропавшие книги, по-видимому, содержали обзор греческой арифметики, на что
указывают сохранившиеся отрывки,
Третья книга посвящена истории решения задач удвоения куба и трисекции угла.
Папп дает и свое решение первой из них, сводящееся к построению двух средних
пропорциональных. Задачи, относящиеся к построению кривых двоякой кривизны и
поверхностей, составили четвертую книгу. Описание учения Зенодора об
изопериметрических свойствах плоских фигур и поверхностей занимает первую
половину пятой книги; учение о правильных телах вошло во вт'орую ее половину.
Астрономии Папп посвятил шестую книгу. В ней содержатся комментарии к "Оптике" и
"Феноменам" Евклида, к "О величинах и расстояниях" Аристарха, к "Сферике"
Феодосия и др.
Седьмая книга - самая большая и разнохарактерная. Вначале в ней разъясняются
методы анализа и синтеза древних и приводятся примеры. Затем следует знаменитая
задача Паппа: пусть на плоскости задано п прямых. Найти геометрическое место
точек, для которых произведение отрезков, проведенных из искомых точек под
одинаковыми углами к /г/2 данных прямых, имело
бы данное отношение к произведению отрезков, проведенных таким же образом к
оставшимся прямым. Для значительного класса случаев Папп доказал, что искомым
геометрическим местом являются конические сечения. Декарт в XVII в. решил задачу
Паппа средствами своей аналитической геометрии.
Вслед за задачей Паппа в седьмой книге разбирается теорема, известная ныне как
теорема Гюльдена: объемы тел, образованных вращением линии или поверхности,
относятся как произведения площадей, образующих фигур на длину окружности,
описываемой их центрами тяжести. Остальное место в седьмой книге занимают
комментарии к трудам Аполлония о трансверса-лях и ангармоническом отношении.
Последняя, восьмая, книга посвящена практической механике и связанным с. ней
геометрическим задачам и теоремам. Среди последних имеется, например, следующая
теорема: если три материальные точки, находящиеся в вершинах треугольника,
двигаются одновременно в одном направлении по периметру со скоростями,
пропорциональными длинам сторон, то положение центра тяжести не меняется.
Последние из наиболее значительных комментаторов - Прокл (V в.) и Евтокий (VI
в.)-принадлежат к, афинской школе, существовавшей некоторое время после разгрома
научного центра в Александрии, Прокл интересен тем, что в сочинениях
нематематического (комментарии к сочинениям Платона) и математического
(комментарии к "Началам" Евклида) характера воспроизвел много фактов из истории
античной математики. Евтокий написал обстоятельные комментарии к "сочинениям
Архимеда и Аполлония. Он в большем объеме, нежели Прокл, приводил отрывки из
сочинений предшественников. Особенно много отрывков он подобрал к знаменитым
задачам древности. В частности, он воспроизвел 11 решений задач об удвоении
куба, принадлежащих разным ученым от Архимеда до Паппа.
Деятельность комментаторов прекратилась в VI в., после закрытия афинской школы.
В бассейне Средиземноморья в развитии математики наступил длительный перерыв.
Наш обзор античной математики является, естественно, неполным. Трудно в данной
книге уделить ему больше места. Однако, по нашему мнению, приведенных материалов
достаточно* чтобы сделать выводы о характере развития математики в
рассматриваемый период.
Математика древней Греции представляет собой один из самых ранних примеров
становления математики как науки и образования в ней всех ее составных частей.
Главными особенностями античной математики являются возникновение, бурный рост и
приостановка развития ряда математических теорий.
В рамках математических теорий античной древности возникали и развивались
элементы более поздних математических наук: алгебры, анализа бесконечно малых,
аналитической геомет94
XVII вв. (ван Роу-превзойден.
Ч4|грии,
теоретической механики, тике. Однако оторванность практики, узость их
геометрической ниченность области и времени их разь денции в выборе объектов и
методов ния, привнесенные в математику под .идеалистической философии" только
усугубля,)!. вития теории.
Внутренние противоречия развития математик усиления совпали с неблагоприятными
общественно-. ми условиями эпохи распада рабовладельческого стро", шимися в силу
изменения способа производства. Так, эко. •ские факторы конца рабовладельческой
экономической фор:^ Ди оказались в конечном счете определяющей причиной
временной приостановки теоретического и практического развития математики.
Для нового подъема математической науки был нужен новый подъем производительных
сил человеческого общества. В Европе и в районе Средиземноморского бассейна этот
принципиально новый подъем наступил только спустя много веков - начиная с эпохи
так называемого Возрождения, эпохи конца феодализма и начала развития
капиталистического способа производства, При этом одним из главных источников
новых математических идей было освоение классического наследия математиков
античной. Греции - Евклида, Архимеда и др. • '
РАЗВИТИЕ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ
4.1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ О ПЕРИОДЕ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ
По установившейся периодизации истории математических наук к периоду
элементарной математики относят, как было упомянуто в первой главе, огромный
промежуток времени - около 1000 лет (от VI- V вв" до н. э. и до XVI в.).
Столь длительные периоды не редкость в истории науки. Они,, как правило,
относятся к ранним этапам ее развития. Это объясняется либо тем, что удалось
найти некоторое единство в развитии • науки в рассматриваемый период, либо
неполнотой наших знаний о нем.
Что касается названия рассматриваемого периода, то следует сказать, что попытка
определить содержание понятия элементарности является совсем не элементарной
задачей. Более того, само это понятие не может быть определено логически строго
раз и навсегда. В разные исторические периоды его наполняли и наполняют
различным содержанием. В наши дни, когда называют какое-либо математическое
суждение элементарным, с этим связывают в большинстве случаев представление о
чем-то укладывающемся в рамки программы по математике общеобразовательной
средней школы.
Рассмотрим конкретно содержание и пути основных потоков развития математики в
этот период. .Это в основном математика постоянных величин, уровень ее в самом
деле мало в чем превос96
ходит уровень знаний, определенных программой средней школы, и по существу имеет
с ней много общего. В этом проявляется еще раз связь между историческим и
логическим в развитии математики, связь, подтверждающая известный марксистский
тезис, что логическое в науке есть историческое, но лишь переосмысленное и
приведенное в некоторый, порядок.
4.2. О МАТЕМАТИКЕ НАРОДОВ.СРЕДНЕЙ АЗИИ И БЛИЖНЕГО ВОСТОКА,
На обширных территориях, от северо-запада Индийского полуострова до северного
побережья Африки и юга Испании, с давних времен существовали многочисленные
восточные империи. Созданные нередко путем завоеваний, огромные, но не связанные
в единый хозяйственный организм, .они не обладали политической-устойчивостью и
имели сложную, полную превратностей судьбу. Научные и культурные традиции
населяющих их народов развивались в таких условиях сравнительно медленно.
Начиная с VII в. по всем .этим землям прокатилась волна завоевательных войн,
начатых, племенами, населявшими Аравийский полуостров, под давлением острого
хозяйственного кризиса. Эти войны приняли форму борьбы за господство новой
религии - ислама (или, как ее иначе называют, магометанства). В течение ряда
веков образовалась колоссальная область торгового обмена и экономических связей.
Возникли большие города - центры торговли, ремесел и административного
управления. Господствующее положение заняла магометанская религия, а арабский
язык стал языком официальных документов, религиозных книг, научных трактатов и
художественно-поэтических сочинений.
Сложившиеся условия хозяйственной и политической жизни благоприятствовали
развитию математики,, Знания математики требовали нужды государственного,
управления, ирригации, строительства, торговли и ремесел. Международные связи,
осуществляемые с помощью длительных путешествий по морям, горам и неизведанным
местностям, способствовали развитию математики, географии и астрономии.
Поэтому многие восточные правители и целые династии проводили политику
государственного покровительства наукам. В аппарате государственного управления
появились специально опла^-чиваемые ученые. Для них строили обсерватории,
собирали библиотеки из древних сочинений, которые разыскивали всюду и переводили
на арабский язык.
В результате сложилась своеобразная система математических знаний. Преобладающее
место в ней заняло создание разнообразных вычислительных методов и измерительных
средств для нужд торговли, административного управления, землемерных работ,
картографии, астрономии, для составления календаря и т.д. В эту систему влились
в то же время данные античной греческой
К- А. Рыбников
науки, классические трактаты Евклида, Архимеда, Аполлония и др. В ней вместе с
тем получили развитие сведения из математики народов Индии и Китая, а также
коренного населения стран Ближнего и Среднего Востока. Освоение и переработка
многочисленных источников и подготовка квалифицированных математиков
потребовали, разумеется, немало времени. Поэтому для арабской математики , (как
мы будем ее иногда называть для краткости, несмотря на Необоснованность этого
термина) характерна, некоторая многоплановость, пестрота в постановке задач, в
методах их решения и даже, в символике. Складывающаяся под столь многообразными
влияниями система математики получила так много оригинальных черт, что сделалась
качественно отличной от своих источников. Рассмотрим подробнее вопросы о
характерных особенностях математики средневекового Востока и о достигнутом
уровне развития математических наук. Вопрос о дифференциации математики по
отдельным странам и о взаимных влияниях ввиду его специфичности и
неразработанности затрагивать здесь не будем.
В вычислительной практике арабоязычных народов равноправно действовали обе
системы счисления: десятичная абсолютная и 60-ричная. Первая была заимствована
из Индии не позднее VII в. н. э. и быстро получила широкое распространение,. Из
ариф-метического трактата Хорезми (IX в.) "Об индийских числах", переведенного в
XII в. на латинский язык, десятичная система стала известна в Европе,.
Параллельно с десятичной сохранялась и регулярно употреблялась в астрономических
обсерваториях унаследованная от вавилонян 60-ричная система счисления. В духе
математиков древнего Вавилона составлялись и использовались вспомогательные
таблицы наподобие таблицы умножения (от 1 • 1 до'59-59). Даже в сравнительно
позднее время (ок.. 1427" г.) в обсерватории узбекского хана астронома Улуг-бека
под г. Самаркандом находились в употреблении как десятичная, так и'60-ричная
системы. Для удобства вычислений были разработаны правила перевода из одной
системы в другую. Регулярные правила существовали для вычислений с дробями:
простыми и десятичными. (В Западной Европе десятичные дроби были введены только
около 1585 г. фламандским математиком и инженером С. Стевином).
В арсенале арабских математиков накопилось много вычислительных Приемов и
специальных алгоритмов. Приведем некоторые из них, чтобы продемонстрировать
уровень вычислительной техники.
. а) Получение до 17 верных знаков числа я с помощью вписанных в окружность и
описанных правильных многоугольников. Вычисления были проведены в первой
половине XV в. Каши и были доведены до определения сторон правильного 3 ^^-
угольника. Более 'чем через 150 лет, в 1593 г.,, в Европе Ф. Виет нашел лишь 9
правильных десятичных знаков я с помощью
3-217-угольников. Только на рубеже XVI и XVII вв. (ван Роу-мен 1597) результат
Каши был повторен, а затем превзойден, 'б) Вычисление корней способом, известным
ныне как метод Руффини:- Горнера. Можно предположить, что этот метод воспринят в
результате тесных, связей с китайскими математиками. В' развитии метода было
учтено, что последовательное вычисление
Пг- .
знаков корня у q = а, ос ... связано с отысканием последовательных
разностей
b \п f b с
10 у V .10 100
При этом обнаружен и сформулирован ряд биномиальных разложений вида:
(а + 1)я - ап = С1пап-1 + С2пап~~2 + ... + С^а + 1; (а + Ь)п - ап - Clnan~~lb +
(%an-2b* + ... + .высказано правило образования, биномиальных
коэффициентов
/~*ГП ___ /~*^ ! /""/W-1
• В Европе таблица биномиальных коэффициентов (для я";17) опубликована лишь в
1544 г. (Штифель),' а описанный метод перекрыт Руффини (1804) и Горнером (1819).
в) Приближенное извлечение корней. Известный в древности
прием Уд = У Т2 + rz
+ 77------" гДе З"1 -целое, был распро-1
странен .к XV в. (Каши) на случай любого натурального показателя корня. Основой
этого приема было линейное интерполирование, т. е. рассуждения типа: положим
- • • . ' .
% = Тп; уг - Т
Л г=
ух;
при
Тогда
По-видимому, от индийцев было воспринято правило zn"
применявшееся как в десятичной (z=lQk)9
так ив 60-ричной (z = 6Qk) системах.
Распространение подобных приемов приближенного извлечения корней отмечено в
Европе лишь с середины XVI в.
г) Суммирование арифметических и геометрических прогресп
сии, включая нахождение сумм вида V ak(k = 1,2, 3, 4). Например:
~~
"• П
?•"'=?""
a~l a=\
Преобладающее влияние вычислительной части математики оказало влияние на
трактовку многих теоретических -вопросов.. Особенно интересен вопрос о понимании
алгебраических, иррациональностей. Стремление к производству операций над ними
характерно для всей арабской, математики. Например, в сочинениях Хорезми (IX в.)
уже встречаются операции над квадратичными иррациональностями. Аль-Кархи (XI в.)
ввел многие преобразования иррациональностей" в том числе
Аль-Баки (ок. 1100 г.), как и Аль-Кархи, комментировал десятую книгу "Начал"
Евклида, поясняя ее теоремы числовыми примерами.
В силу такого подхода и частого применения вычислений' иррациональностей грань
между рациональными числами и иррациональностями начинает стираться. -К
представлению о числе как о собрании единиц прибавились представления " об
отношениях непрерывных величин. Была установлена адекватность геометрической
несоизмеримости с арифметической иррациональностью. Последние вошли в класс
чисел на основе разработанных -для них правил оперирования, В математике вместо
двух 'обособленных понятий - числа и отношения - возникла новая, более широкая
концепция, действительного положительного числа," Уже в XIII в. (Насирэддин,
1201-1274) этот факт был констатирован с полной определенностью: "Каждое из
отношений может быть названо числом, измеряемым единицей, так же, как
предшествующий член отношения измеряется последующим членом" 1.
Идея создания единой концепции действительного числа путем объединения
рациональных чисел и отношений, появившаяся у математиков поздней античности,
получила на Ближнем Востоке некоторое завершение.
В Европе подобная идея не появлялась довольно долго. Только с XVI в. в связи с
бурным развитием вычислительных средств ученые начали ее сознавать. Однако с
равносильной степенью общности она была высказана лишь И. Ньютоном в 70-х годах
XVII в., а опубликована еще позднее (1707) в его "Всеобщей арифметике": "Под
числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлеченное отношение
какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой нами за единицу.
Число
1 Мухаммед Насирэддин Туей. Трактат о полном четырехстороннике. Баку, Изд-во АН
Азерб. ССР, 1952, стр. 22.
бывает трех видов: целое, дробное и иррациональное. Целое число есть то, что
измеряется единицей; дробное -кратной долей единицы; иррациональное число
несоизмеримо с единицей" 1.
Влияние алгоритмически-вычислительной направленности арабской математики
отразилось и на ее структуре. В ней сравнительно быстро, впервые в истории,
выделилась в качестве самостоятельной математической науки алгебра,, В этом
факте нашло свое выражение слияние элементов алгебраического характера
'математики различных народов, например: геометрическая'алгебра древних греков,
группировка однотипных задач и попытка выработать для'каждой группы единый
алгоритм в древнем Вавилоне, вычислительные задачи индийцев, приводившие к
уравнениям^ 1-й и 2-й степени, и т. д. .
В трудах математиков средневекового Востока, эти алгебраические элементы были
впервые выделены и собраны в новый спе-циальный отдел математики, был -
сформулирован предмет этого нового отдела науки и построена систематическая
теория. В качестве примера такого подхода приведем высказывание среднеазиатского
математика О. Хайяма (ок. 1040 - ок. 1123 гг.):
"Алгебра есть научное искусство. .Ее предмет -это абсолют" ное число и измеримые
величины, являющиеся неизвестными, но отнесенные к какой-либо известной вещи
так, что их можно определить; эта известная вещь есть количество или
индивидуально определенное отношение, и к этой известной вещи приходят,
анализируя условия задачи; в этом искусстве ищут соотношения." связывающие
данные в задачах величины с неизвестной, которая вышеуказанным образом
составляет предмет алгебры. Совершенство этого искусства состоит в знании
математических методов, с помощью которых можно осуществить упомянутое
определение как числовых, так и геометрических неизвестных... Алгебраические
решения, как это хорошо известно, производятся лишь с помощью уравнения, т. е.
приравниванием одних, степеней другим"2.
Европейские ученые начали знакомиться с алгеброй в начале XII в. Источником их
сведений об алгебре явилось сочинение "Китаб аль-Джебр валь-Мукабала" Мухаммеда
бен-Муса аль-Хо-резми (далее сокращенно Хорезми), жившего в первой половине IX
в. Название в переводе означает: книга об операциях джебр (восстановления) и
кабала (приведения). Первая из операций, имя которой послужило названием для
алгебры и служит до настоящего времени, состоит в переносе членов * уравнения из
одной стороны в другую. Вторая - операция приведения подобных членов уравнения.
Решение уравнений рассматривается как
1 И. Ньютон. Всеобщая арифметика. М., Изд-во АН СССР, 1948, стр. 8.
2 F. Woepcke. L'algebre d'Omar Alkhayamae. Paris, 1851, p. 5. Математические
трактаты О. Хайяма впервые были опубликованы на
русском яз. в 1953 г. в сб.: /"Историко-математические исследования", вып. 6.
М., Физматгиз, 1953, стр. 15-172, с примечаниями А. П. Юшкевича и Б. А. Розенфельда.
самостоятельная наука. В книге содержатся систематические решения уравнений 1-й
и 2-й степени вида
ах = 6; л:2 + Ьх = а; ал;2 = 6; л:2 + а = Ьх;
ах2 =ь Ьх\ Ьх + ^ = я2.
Хорезми приводит как арифметические, так и геометрические решения приведенных
уравнений. Метод нахождения геометрических решений состоит в приравнивании
площадей, специально подобранных для геометрической интерпретации уравнения.
Например, дано уравнение х2 + ах = Ь. На рис. 28 площадь
В то же время
S =
откуда
а . _ f, , а2
: = -Т+|/ ь + -.
Книга Хорезми пользовалась большой известностью. Термин "алгебра" укоренился в
математике. Осталось в этой науке и
имя -автора. (аль-Хорезми) в латинизированном виде: алгоритм. Вначале это слово
обозначало фамилию, затем нумерацию по позиционной системе, а теперь •-~ всякую
систему вычислений, производимых по строго определенным правилам и заведомо
приводящих к решению поставленной задачи. В ходе развития науки изменялось? ( х &-Рис. 28
В методах решения кубических уравнений отразилось многообразие средств, присущее
математике арабских ученых. Ряд трактатов содержит попытки численного решения
этих уравнений; другие трактаты отражают античное влияние. В них строится теория
решения кубических уравнений с помощью пересечения конических сечений.
Численные решения этих уравнений развивались начиная от способа проб (Бируни,
972 - 1048) до изящного итерационного быстро сходящегося, метода Каши , (ок.
1420 г.). Рассмотрим последний метод подробнее. В самаркандской обсерватории
Улуг-бека" оснащенной совершенными инструментами, составлялись, как мы упоминали
выше, таблицы синусов с частотой через Г и с точностью до девятого знака.
Решающую роль в этой работе играла, как известно, точность вычисления ' синусов
малых дуг, скажем sin 1°. Исходя из sin 72° и sin 60°, Каши нашел sin 3°.
Для нахождения отсюда sin 1° он получил [созср = 4 cos8 - -
- 3 cos -2Л кубическое уравнение *3 + 0,785 039 343 364 4006 = 45 х.
Возьмем для удобства пояснения, метода уравнение в общем. виде: ' •
*в + D = Рх, или х =
Первое приближение, в- силу • малости х, а. следовательно и .х3,, принимается
хг -~ - = а. Результат вычисляется, 'приближенный,
с условием,, чтобы остаток от деления 'R был такого же по-- рядка малости,
что и а3. Второй этап: положим
R имеет порядок а3; он велик по сравнению с агу. Новое приближение получается,
если пренебречь в числителе членами, содержащими у.
Третий этап: y = b + z, и операции повторяются в том же порядке, как во втором
этапе. По этому способу получаются следующие последовательные приближения:
Процесс сходится при 3*2"г"1, что в-данном случае ввиду малости х имеет место.
Этим способом, было найдено 17 верных знаков sin 1° в десятичной системе
(результат вначале был получен в 60-ричной системе),, Такая, степень точности
позволила вычислять таблицы тригонометрических функций с. точностью до девятого
знака. Такой уровень техники приближенных вычислений, в Европе был достигнут
лишь к концу XVI в.
Другое направление в решении кубических уравнений основывалось на получении
геометрического образа положительного корня путем: пересечения подходящим
образом подобранных. конических сечений. В" сочинениях подобного типа авторы
отчетливо выделяли алгебру как особую математическую дисциплину,
систематизировали все виды, уравнений первых трех степеней по расположению
членов по обе стороны знака равенства, находили условия существования
положительных корней уравнений - словом, создавали элементы общей теории
уравнений,, Большим недостатком алгебры в это время было отсутствие символики,
словесное описание операций, Это задерживало развитие алгебры. .
Помимо выделения алгебры, важнейшей характерной чертой арабской математики было
формирование тригонометрии, И в этой области происходил синтез разнообразных
тригонометрических элементов: исчисление хорд и соответственные таблицы древних,
в особенности результаты (Птолемея и Менелая, операции с линиями синуса и
косинуса у древних индийцев, накопленный опыт астрономических измерений.
На основе этого разнородного материала математики стран Ближнего Востока и
Средней Азии ввели все основные тригонометрические линии. В связи с задачами
астрономии они составили хаблицы тригонометрических функций с большой частотой и
высокой точностью. Данных накопилось при этом так много, что стало возможным
изучать свойства плоских и сферических треугольников, способы их решений.
Получилась богатая фактами стройная система тригонометрии как плоской, так и
сферической. Такую систему представляет, например, сочинение Насирэддина (1201 -
1274) "Трактат о полном четырехстороннике", где:*1) развита теория отношений; 2)
изложена теория фигур, состоящих из четырех попарно пересекающихся прямых; 3)
собраны способы решения плоских и сферических треугольников; 4) решена задача об
определении сторон сферического треугольника по трем углам.
Вместе с выяснением практического значения тригонометрии
последняя изменила свой облик. В ней стал преобладать материал об алгебраических
зависимостях тригонометрических функций и о вычислительных средствах и
возможностях тригонометрии. Из-за отсутствия удобной символики еще задерживалось
чисто аналитическое построение тригонометрии.
Итак, тригонометрия в математике средневекового Востока стала отдельной
математической наукой. Из совокупности вспомогательных средств астрономии она
преобразовалась в науку о тригонометрических функциях в плоских и сферических
треугольниках и о 'способах решения этих треугольников. Алгоритмическивычислительные
средства, стали играть в ней преобладающую роль. Оставался один
только шаг: введение специфической символики, чтобы тригонометрия приобрела,
привычный, нам аналитический облик. Однако для этого шага понадобилось еще много
времени. В дальнейшем тригонометрия стала развиваться со второй половины XVI в.
в Европе, в первую очередь под влиянием запросов мореплавания "и астрономии. В
конце XVI в. начало входить в употребление и название науки -"тригонометрия".
В настоящей главе мы уделили мало внимания геометрии. Это понятно; не
геометрические интересы были главными, определяющими в общем потоке
математических достижений. Но дошедшие до нас математические сочинения
среднеазиатских и ближневосточных математиков неоспоримо свидетельствуют о
высоком уровне геометрических знаний. Математическая литература того времени
богата, переводами сочинений Евклида, Архимеда, Аполлония и других авторов
античной Греции и комментариями этих сочинений. В арабских рукописях сохранились
многие достижения древности. Нередко эти рукописи являются единственным
источником многих немаловажных сведений о предшествующем развитии математики и
научной основой математического творчества европейских ученых Возрождения.
В ряду геометрических сочинений обращают на себя внимание глубокие исследования
по основаниям геометрии. В сочинениях Хайяма (XI в.) и Насирэддина (XIII в.) мы
находим попытки доказательства постулата о параллельных, основанные на введении
эквивалентных этому постулату допущений. Имена этих математиков с полным правом
могут быть поставлены в длинном ряду предшественников неевклидовой геометрии,
подвергавших логическому анализу систему аксиом и постулатов геометрии Евклида.
Примерно в середине XV в. развитие математических наук в описываемых нами здесь
районах замедляется и прекращается. Причины этого явления коренятся в
наступившем экономическом разобщении обширных территорий, о которых шла речь
выше.
Народы Средней Азии, Ближнего Востока и Северной Африки в силу исторически
сложившихся условий оказались задержанными на феодальной стадии развития, жили в
обстановке войн и политических неурядиц, подвергались возраставшему колониаль105
ному нажиму сильных капиталистических стран. Прогресс науки, в том числе и
математики, оказался приостановленным на несколько столетий.
4.3. МАТЕМАТИКА В ЕВРОПЕ В СРЕДНИЕ ВЕКА И В ЭПОХУ ВОЗРОЖДЕНИЯ
"
- На европейском континенте математика имеет не столь древнее происхождение, как
во многих странах Ближнего и Дальнего Востока. Если не считать математики римлян
(о которых, мы не будем специально говорить из-за недостатка места, а также изза
слабого уровня научно-теоретического развития и влияния на последующее
развитие математики), то заметных успехов в Европе математика достигла только в
эпоху развитого средневековья и особенно Возрождения. Наступление эпохи средних
веков в Европе, или эпохи-феодализма, относят к V в. н. э., к-тому времени,
когда пала западная Римская империя; В течение V-X вв. происходит длительный
процесс становления феодальных отношений в Европе, раздробленной на множество
владений. Экономика этих владений имеет натуральный характер, обмен весьма слаб.
На XI-XIV вв. падает пора, расцвета феодализма. В это время происходит
разделение труда между городом и деревней, ремеслом и земледелием. Растут
города, и развиваются товарно-денежные отношения. В XII-XV вв. в борьбе, и
войнах складываются национальные государства. В XIV в. феодальный мир потрясают
крестьянские войны, в которых за религиозной окраской нетрудно разглядеть их
антифеодальную сущность., В XV-XVIII вв. происходит созревание в недрах
феодализма капиталистических отношений и разложение феодального уклада. Начало
этого последнего периода, т. е. XV и XVI вв., в культурном и идеологическом
развитии ряда стран Западной и Центральной Европы известно под именем
Возрождения.
Техника средневековой Европы, вначале примитивная и разобщенная, приобретает к
концу этого периода массовый характер, а уровень технических достижений быстро
повышается. Вот несколько примеров. Добыча руд и металлургия, начатая в VIII в.,
набирала силу в течение четырех веков и в XII в. превратилась в заметную область
европейской промышленности. В том же веке были открыты свойства магнитной
стрелки. Около 1000 г. появилось стекло, но шлифовка и амальгамирование стекла
для изготовления очков, зеркал, подзорных труб были введены лршъ в XIV в. Около
1100 г. изобретены часы с колесным, позднее с колесно-пружинным механизмом, а
через 100 лет -часы с боем. Бумага стала входить в обиход в Европе с XII в., а
книгопечатание было изобретено лишь в середине XV в. В период XIII- XIV вв. все
шире стал применяться порох. Эти примеры показывают, что технические достижения
европейских народов, вначале слабые и редкие, накапливаются и создают условия
для ускоре106
ния технического прогресса и для смены всей системы г' ?н
ских, политических, научных и культурных отношени,
зрений.
Аналогичную картину вначале очень замедленного, за все более
ускоряющегося развития и, наконец, коренного, реви люционного преобразования
представляют естествознание и математика, в средневековой Европе.
Действительно, в V-XI вв. уровень математических знаний,. в "Европе был
весьма""низким." Скотгако-шгбуДь крупных математических открытий или сочинений
не обнаружено. Даже образованные люди редки. По-видимому, единственными
хранителями математических знаний, превышавших обычные бытовые запросы, были
немногочисленные ученые-монахи, хранившие, изучавшие и переписывавшие
естественнонаучные и математические сочинения древних. Церковь накладывала
сильнейший отпечаток схоластики и на эти островки знания.
Основной организационной предпосылкой развития математики в Европе было
открытие учебных заведений. Одно из первых подобных заведений организовал в г.
Реймсе (Фр_андия) Гер-берс (940-1003), позднее ставший римским папой под
именем . Сильвестра II.
В школе Герберта кроме прочих наук учили счету с применением счетной доски -
абака, усовершенствованного путем замены пустых жетонов, каждый из которых имел
значение единицы, на жетоны с написанными на них цифрами. В то время
существовало много способов счета. Среди приверженцев--сложившихся
'разнообразных "традиций' * слета основное место занимали две враждующие партии:
абакистов и алгоритмиков. Первые в основном отличались требованием,
обязательного использования абака и 12-ричной римской нумерации. Алгоритмики
пользовались письменным обозначением индусских цифр, некоторые из. них вводили
знак нуля, счет вели на бумаге, применяли 60-рич-ные дроби. Б спорах
формировались системы счисления и приемы "отет17"всё 'более близкие к привычным
нам системам
и приемам.
Через столетие, в XII-XIII вв., появились в Европе первые университеты. Самыми
первыми университетами были итальянские в Болонье, Салерно и других городах.
Вслед за ними были открыты университеты в Оксфорде и Париже (1167), Кембридже
(1209), Неаполе (1224), Праге (1347), Вене (1367) и т. д. Это были учебные
заведения, безраздельно подчиненные церкви. Во главе университетов стояли отцынастоятели
(ректоры), во главе факультетов - деканы. Студенты сначала обучались
на подготовительном факультете искусств (артистическом), затем переходили на
один из основных факультетов: богословский, юридический или медицинский.
Математика входила составной частью в семь свободных искусств (artis liberalis),
изучавшихся на факультете искусств.
Весь цикл этих искусств распадался на два концентра. Первый составлял тривиум:
грамматика, риторика, т. е. искусство устно выражать мысли, и диалектика, или
умение вести спор. Второй концентр - квадривиум включал в себя арифметику,
геометрию, астрономию и музыку, т. е. теорию гармонических интервалов. Уровень
математических познаний выпускников университетов был низок; во многих
европейских университетах вплоть до XVI в. от лиц, претендовавших на звание
магистра, по математике требовалась только,,., клятва, что он знает шесть книг
евклидовых "Начал"." Так как университеты были подчинены'реакционным
устремлениям церкви, то школьная наука (схоластика) вырождалась в бесплодные
умствования и споры, оправдывая тот смысл, который вкладывается сейчас в слово
"схоластика". Система средневекового образования в течение нескольких веков была
необходимой, "но недостаточной предпосылкой развития математической науки.
При таком положении дел, естественно, математические знания не -
совершенствовались в европейских учебных заведениях. Они привносились извне. Это
были сохраненные остатки, математики римлян или греческо-византийских
государств. В большей же части научные знания приобретались путем перевода
сочинений с арабского языка на. латинский. Таким_путем европейцы познакомились с
"Началами" Евклида, "Альмагестом" Птолемея
и другими трудами античных......математиков,' с рядом, сочинений
математиков Средней Азии и Ближнего Востока.- Деятельность переводчиков иногда
бывала очень активной. Так,'Жерар (1114- 1137) из Кремоны перевел с арабского
более 80 сочинений. Однако, поскольку книги существовали только в рукописном
виде в ограниченном- числе экземпляров, а число достаточно подготовленных для их
понимания людей было незначительным, то переоценивать значение этой работы не
приходится.
Некотщс1С,,^жжвлеиие- в математике наступило в XIII в. в связи с двумя
факторами: борьбой против схоластики и богословия, начатой Роджером Бэконом
(1214-1294), и математическими трудямЕ,ЛеонардоДизанского (ок. 1200 г.). Первый
из них в своей резкой критике противопоставлял догматам, основанным на вере,
опыт как единственный источник научного познания. В центре всей опытной науки
находятся, по Бэкону, физико-математические знания. Вообще все науки основаны на
математике и их истины имеют ценность лишь постольку, поскольку они выражены
числом и мерой, т. е. в математической форме. Математика в философских
воззрениях Бэкона является азбукой всей натуральной философии, т. е. всего
естествознания. Роль математики повышалась в связи с ростом прогрессивных сил в
философии.
Заслуги Леонардо в математике были совсем другого рода. Он получил хорошее
математическое образование в Алжире, где жил его отец - один из торговых
представителей богатого и сильного итальянского города Пизы. По торговым делам
Леонардо объездил Сирию, Северную Африку, Испанию, Сицилию, по108
полняя свои знания при любой возможности. Около 1202 г. он написал "Книгу об
абаке". Эта книга является подлинной энциклопедией математических знаний
народов, живших на берегах Средиземного моря. Более 200 лет она была
непревзойденным образцом математических сочинений для европейцев и подготовила
новые успехи математики в эпоху Возрождения.
В "Книге об абаке" 15 отделов. В первых семи изложены исчисление'"целых ''Чисел
* по позиционной десятичной системе и операции с обыкновенными дробями. Отделы
8-11 содержат приложения к коммерческим расчетам: простое и сложное тройное
правило, пропорциональное деление, задачи на определение монетных проб.
Разнообразный набор задач, решаемых с помощью простого и двойного ложных
положений, суммированием " арифметических прогрессий и квадратов натуральных
чисел, нахождением целочисленных решений неопределенных уравнений первой
степени, составляет отделы 12 и 13. Предпоследний, 14-й отдел посвящен
вычислению квадратных и кубических корней и операциям с "биломиями", т. е. с
выражениями вида a±Yb. Завершается "Книга об абаке" 15-м отделом, содержащим
краткое изложение алгебры и альмукабалы, близкое к алгебре Хорезми, а также
задачи на непрерывные числовые пропорции и геометрические задачи, сводящиеся к
приложению теоремы Пифагора.
Другое сочинение Леонардо "Практическая геометрия", написанное около 1220 г.,
посвящено 'измерению площадей многоугольников и объемов тел вплоть до объема
шара. Доказательства теорем взяты из работ Евклида и Архимеда; встречаются
задачи, свидетельствующие о знании Лернардо_начал тригонометрии,. "Известно еще
одно сочинение Леонардо-.....по теории чисел,
В нем идет речь о свойствах чисел, суммах вида
а также об отыскании рациональных решений уравнений У2 = х2 + а\ z2 = x2-а.
Наконец, сохранились сведения об участии Леонардо в публичных состязаниях по
математике и о решении им трудных задач., В наши дни его имя носят возвратные
последовательности Ч
Время, протекшее после работ Леонардо вплоть до эпохи Возрождения (XV-XVI вв.),
в историю математики не внесло как будто ярких идей, больших открытий, коренных
преобразований. Их не любят математики, мало на них останавливаются. Однако в
эти "вспомогательные" столетия в математике происходил интересный и
малоизученный процесс накапливания предпосылок. Математические знания
распространялись среди все более
1 См. А. И. Маркушевич. Возвратные последовательности. М., Гостех-издат, 1950.
широких кругов ученых. Идеи и результаты, накопленные в сочинениях Леонардо и
других математиков, содержание переводимых книг античных авторов, наличие
большого числа поставленных и осознанных, но еще не решенных теоретических и
практических задач - все это вело к новому научному подъему. Духовный гнет -
естественное следствие гнета экономического и политического. Государи и князья,
сретские и церковные, задерживали прогрессивные стремления, всеми средствами:
угрозами, преданием анафеме и физическим уничтожением своих идейных противников.
В этих условиях наметились два главных направления развития математики, в
которых, последняя достигла наибольших успехов. Это были: серьезное
усовершенствование алгебраической символики и формирование тригонометрии как
особой науки,
Еще современник Леонардо генерал доминиканского монашеского ордена Иордан
Неморарий "(род. 1237 г.) изображал с помощью букв произвольные числа. Впрочем,
буквенного исчисления из этого не получилось, так как результат любой операции
над двумя буквами обязательно обозначался третьей буквой (а-\-Ь = с, a-b = d и
т. д.).
Профессор Парижского университета Николай Орезм (1328- 1382) обобщил понятие
степени, введя дробные показатели степени, правила производства операций над
ними.и специальную символику, предваряя фактически идею логарифма. Например:
'V' ' ', ,
о 3
2-27
= 27:
= 3
2-р
Зо • о
И Т, Д.
Кстати заметим, что в одном' из своих сочинений Орезм: вводит долготу' и широту
в плоском прямоугольнике и использует введенные таким образом ранние формы
прямоугольных координат для гра'фического изображения интенсивности физических
явлений в зависимости от времени. При этом он отмечал, что изменение поблизости
от экстремумов самое медленное.
В конце XV в. бакалавр Парижского университета Н. Шюке. помимо дробного
показателя степени ввел также отрицательные и нулевые цоказатели, отрицательные
числа, а также внес усовершенствования в алгебраическую символику. В этой
символике нет еще специального символа для неизвестного, а большинство символов
образовано путем сокращения слов (синкопическая алгеб-раическая символика).
Например: 53 га_обозначает 5 х~3 (т - сокращение слова minus), а вообще akm
обозначает ax~k. Знаком корня служит Rx (от слова radix - корень), знаком
сложения -
р. Так что выражение у 24 + ]/37 - 20г-2, взятое нами наугад,
в символике Шюке имело бы вид Rx24p R^37 m202 m.
Большой вклад в формально-символическое усовершенствование алгебры внесли в XV и
XVI вв. коссисты - математики Юж110
ной Германии, воспринявшие эти идеи из Италии. Название кос-систов происходит от
итальянского слова cosa, т. е. вещь, как обозначалось неизвестное в уравнениях.
Они разработали несколько систем символов, удобных для записи математических
действий, а некоторые из них высказали в своих сочинениях идеи, близкие к
понятию логарифма.
Какое бы, однако, большое значение ни имела сложившаяся в средние века тенденция
совершенствования формы, решающей роли в дальнейшем, развитии алгебры и вообще
математики она иметь не могла. Новый шаг был связан с успехами в алгоритмическиоперативной
части, связанной с решением нового класса алгебраических уравнений -
кубического, о чем речь будет идти ниже.
Успехи тригонометрии, о которых мы выше упоминали, яви-'лись следствием развития
астрономии. Тригонометрия по существу почти все средние века являлась частыо
астрономии, культивировавшейся не столько в силу своего естественнонаучного
значения, сколько в силу необходимости составления астрологических гороскопов.
Факты тригонометрии были восприняты, как и. другие факты математики, в
большинстве при переводе научных трактатов с арабского языка. При этом в поле
зрения европейских, математиков, оказывались достижения астрономов.и математиков
как античной Греции, так и более поздней арабской науки.
В XV в., когда дальние плавания стали возможны,, когда изу-.ченный мир стал
расширяться и знания о нем быстро изменялись, ломая, застывшие схоластические
представления, резко возрос интерес, к астрономии. Это была пора,
непосредственно предшествующая открытию Америки (1492), первому плаванию вокруг
Африки. i( 1498), первому кругосветному плаванию (1.519), открытию и
доказательству гелиоцентрической теории Коперника (1473- 11543). Для
тригонометрии наступили счастливые времена. И вот, наконец, в 1461 г. появилось
сочинение "Пять книг о треугольниках всякого рода", в котором впервые
тригонометрия была отделена от астрономии и трактована как самостоятельная часть
математики. Написал его немецкий математик Иоганн Мюллер (1436-1476), более
известный под именем Региомонтан (латинизированная производная от названия
города Кенигсберга, где он родился).
В этой книге систематически рассмотрены все задачи на определение треугольников,
плоских и сферических, по заданным элементам. При этом Региомонтан расширил
понятие числа, включив в него иррациональность, возникающую в случае
геометрических несоизмеримостей, и приложил алгебру к решению геометрических
задач. Тем самым была существенно нарушена античная традиция и открыто новое
понимание предмета тригонометрии и ее задач.
Региомонтан продолжил ранее начатую другими учеными работу по составлению таблиц
тригонометрических функций. Его таб111
лица синусов имела частоту через каждую минуту и точность до седьмого знака. Для
этого величину радиуса образующей окружности он брал равной 107, так как
десятичные дроби еще не были известны. Он ввел в практику тригонометрические
функции, получившие в XVII в. названия тангенса и котангенса, составив таблицу
их значений.
Подведем итоги, не увеличивая количества примеров. В течение V-XV вв. в Европе
постепенно сложилась система, обучения, включавшая в себя математику, - система,
через которую регулярно пополнялся слой образованных, людей. Ученые,
интересовавшиеся математикой, и студенты университетов усваивали достижения
античной Греции, Византии, арабоязычных народов Ближнего Востока и Средней Азии.
Была 'широко распространена практика перевода арабских рукописей научного
содержания на латинский язык - универсальный язык науки средрв^иеМвья.
Математика развивалась в связи с практическими запросами техники и мореплавания,
поэтому вначале медленный темп научной жизни к концу рассматриваемого периода
заметно ускорился,, Большое стимулирующее воздействие на развитие математики
оказали прогрессивные течения средневековой (философии, идеологическая борьба
против засилья церкви, феодалов, против застывших схоластических догм,
освящаемых авторитетами и политикой светских и духовных репрессий. Определение
места математики в системе наук как азбуки естествознания, или, как последнее
иначе называли, натуральной философии, стабилизировало ее положение и ускорило
процесс создания в математике фундамен-. та основных знаний, накопления
предпосылок для новых успехов. Совокупность воздействующих на математику
(факторов оказалась такой, что в ней определились наибольшие успехи в создании
формально-символической стороны алгебры и в тригонометрии. Был также высказан и
пущен в научный обиход, особенно в XV- XVI вв., ряд мыслей, имеющих большое
значение для последующего: обобщение понятия числа, обобщение понятия степени,
предвестники систем логарифмов. Необходим был практический успех, хотя бы
небольшой, чтобы вся масса накопленных предпосылок пришла в движение.
Своеобразная линия развития научных знаний сложилась на территории Восточной
Европы, особенно в средневековой Руси. Своеобразие это состояло в том, что
научное наследие усваивалось на основе византийской науки. Кстати, в сочинениях
по истории науки эта линия развития математики освещена весьма недостаточно.
Термином средневековая Русь мы здесь будем обозначать весь комплекс русских
княжеств, ведущую роль в котором играли: Киевская Русь (X-XII вв.), ВладимироСуздальское
княжество (XII-XIII вв.), Новгород i(XIII-XV вв.). Тяжелая
историческая судьба русского народа привела к тому, что число непосредственных
свидетельств состояния наук в эти времена на Ру112
си резко уменьшилось. Задача пополнения источников исследова* ния и детального
изучения уже добытых археологами, этнографа* ми и историками данных является
актуальной и еще не решенной. Наличные материалы позволяют дать следующую общую
характеристику первых этапов развития математики у нас на Родине.
Уже в начале X в. на Руси существовала письменность. Тесные связи с Византией
способствовали ускоренному приобретению знаний. Математическое, в частности,
образование было на уровне европейского. При дворе киевского князя Владимира
Святославича (род. 1015) было налажено обязательное книжное учение его
приближенных. При Ярославе Мудром (978-1054) действовала школа, От того времени
до нас дошли замечательные литературные и общекультурные памятники: "Русская
правда", "Повесть временных лет", '"Слово о полку Игореве", разнообразные
летописи. Архитектурные памятники и археологические раскопки дают все новые
подтверждения высокого уровня техники и культуры в русских княжествах.
Практические хозяйственно-технические математические сведения и расчеты
записывались с помощью десятичной алфавитной, системы нумерации, сходной с
греческой алфавитной системой. К слову заметим, что эта старославянская
нумерация используется и в наши дни в церковных книгах. Эта система практически
не ограничивала величины чисел. В документах встречаются иногда и очень большие
числа, для которых существуют особые названия. В обычном,, "малом", счете 104
называлось неведием, позднее - тьмой, 105 - легионом, 106 - леодром. По другой
системе" "великого" счета, тьмой называли 106, легион - К)12, леодр - 1024,
ворон - 1048, колода - 1096 или 10'49, после чего простодушный летописец
заявлял: "Сего же числа несть больше".
Помимо вычислений практического характера очень рано начинают встречаться
теоретические вопросы и задачи, составленные числолюбцами. Древнейшей
сохранившейся специально математической рукописью являются записи Кирика,
новгородского дьякона, датируемые точно 1134 г. Примерами таких задач, собранных
из разных рукописей, являются:
а) вычисление, сколько месяцев, недель, дней и часов протекло от
сотворения мира (по православным верованиям, к 1134 г. истекло 6642 года);
б) задачи на вычисление прогрессий, образуемых с помощью соображений о
прогрессирующем приплоде стад;
в) вычисление размеров Земли, Солнца и Луны по данным измерений Эратосфена
(III в. до н. э.) и связанное с этим приближенное вычисление числа я=3,125;
г) трудная теоретико-числовая задача о вычислении дат религиозного праздника
пасхи. Последний наступает, как известно,, в первое воскресенье после весеннего
полнолуния. Весенним считается полнолуние между 21 марта и 18 апреля. Задача
состоит в сравнении периодических шкал солнечных лет, лунных месяцев,
ИЗ
с учетом Метонова цикла (19 солнечных лет=235 лунным месяцам), семидневных
периодов недели, периодов обращения Земли и Луны вокруг Солнца. Получается
сложная периодичность дат праздника и связанных с ним постов длительностью в 532
года (великий индиктион). Мы ее здесь освещать не будем; отошлем интересующихся
к обстоятельному сочинению Л. В. Черепнина "Русская хронология" (М., изд.
Историко-архивного института, Д944).
Общий со всеми государствами ход развития науки и культуры на Руси был
насильственно прерван в первой половине XIII в. из-за нашествия монголов (Батый1240)
и крестоносцев (1242- битва на Чудском озере). Русский народ истекал
кровью, но отстоял свою государственную и национальную самостоятельность. Битва
на Куликовом поле в 1380 г. была началом конца татаро-монгольского ига; оно
окончательно было свергнуто к 1430 г, Однако нападения иностранных интервентов и
болезненный процесс ..ломки феодального- уклада и становления многонационального
-государства в период с XVI до XVIII в., т. е. до 'Времени царствования Петра.
I, еще сильно задерживали рост хозяйства, культуры и науки. Определилось
длительное отставание России от европейских стран и в области математики.
В конце средних веков (XV-XVI вв.) в странах Западной Европы математика и
естествознание вообще развивались в обстановке бурных изменений, связанных в
своей экономической основе с начавшимся разложением феодального общества и
установлением буржуазно-капиталистических отношений. Изменения происходили в
промышленности, где возникали мануфактуры с характерным для них разделением
труда и введением машин и технических усовершенствований. Невиданное ранее
развитие стали получать торговые связи и мореплавание, сопровождаемые великими
географическими открытиями. В политическом отношении основные изменения состояли
в том, что мощь и влияние феодального дворянства были сломлены под напором
королевской власти при поддержке горожан и образованы крупные, по существу
национальные, монархии. Наконец, расцвет культуры и искусства в Италии, Франции
и других странах, изобретение книгопечатания (середина XV в.) определили
совершенно новый уровень умственных запросов и занятий все распространяющегося
круга людей.
"И исследование природы совершалось тогда в обстановке всеобщей революции,
будучи само насквозь революционно: ведь оно должно было еще завоевать себе право
на существование",- замечал Ф. Энгельс1. В это же время определились серьезные
успехи в математике и астрономии, позднее в механике.
Как мы показали выше, важнейшие достижения математиков средневековой Европы
относились к области алгебры, к усовершенствованию ее аппарата и символики.
Региомонтан обога1
К. Маркс и Ф. Энгельс. Собр. соч., т. 20, стр. 347.
114 С
тил при этом понятие числа, введя радикалы и операции над ними. Это позволяло
ставить проблему решения возможно более широкого класса уравнений в радикалах. И
в этой именно области были достигнуты первые успехи - решены в радикалах
уравнения 3-й и 4-й степени.
Ход событий, связанных с этим открытием, освещается в ли-' тературе разноречиво.
В основном он был таков: профессор (с 1496 по 1528 г.) университета' в Болонье
((Италия)- Сципион дель Ферро нашел формулу для нахождения положительного корня
конкретных уравнений вида x?+px=q (p"0, "7"0). Он держал ее втайне, приберегая
как оружие против своих противников в научных диспутах. К концу своих дней он
сообщил эту тайну своему родственнику и преемнику по должности Аннибалу делла
Наве и своему ученику Фиоре.
В начале 1.535 г. должен был состояться научный поединок Фиоре с Николо Тарталья
(1500-1557). Последний был талантливым ученым, выходцем из бедной семьи,
зарабатывавшим себе на жизнь преподаванием математики и механики в городах
Северной Италии. Узнав, что Фиоре владеет формулой Ферро и го" тови'т своему
противнику задачи .'на решение кубических .уравнений, Тарталья сумел заново
открыть -эту (формулу, что обеспечила ему победу в диспуте, состоявшемся 12
февраля 1535 г.
Метод Тартальи, как" по-видимому, и метод Ферро, состоял в подборе подходящей
формы алгебраической иррациональности для выражения корня уравнений указанного
выше вида: ifl-\-px=q (р", "/"0). Предположив, что х= i/u - \/v, подставив это
выражение в уравнение и положив р = 3$/Ш7, он получил систему*
uv
Интерпретируя и и; v как корни квадратного уравнения, талья нашел
Вскоре Тарталья смог решать уравнения вида x*=px+q (р"0, "7"0) подстановкой х =
YU\+ \/ v. Наконец, он сообщил, что уравнения вида x*+q=px сводятся к
предыдущему виду, но не дал способа сведения. Тарталья долго не публиковал
своего результата по двум причинам: во-первых, та же причина, которая
останавливала и Ферро; во-вторых, невозможность справиться с неприводимым
случаем. Последний состоит в том, что есть урав115
яения x*=px-}-q, которые имеют действительный положительный корень независимо от
того, имеет место неравенство (-) " \~)
или нет. Однако формула Тартальи не давала решения во втором
•случае, так как не было возможности правильно трактовать мнимые числа,
получающиеся "при этом. Неприводимый случай появлялся у Тартальи и в уравнениях
вида x?-\-q=px.
Однако труд Тартальи не пропал даром" Значительные результаты математики, когда
созревают необходимые и достаточные условия для их появления, начинают буквально
"носиться в воздухе" и служить предметом занятий. мнЪгих ученых. С 1539 г.
кубическими уравнениями начинает заниматься Кардано (1501- 1576). Человек
странной и бурной судьбы, наполненной противо-• речивыми и нередко трудно
объяснимыми поступками, богатый, •образованный и талантливый, он страстно любил
научные занятия. Философия и математика, медицина и астрология являлись
предметом: необузданных увлечений . Кардано. Услышав об открытии Тартальи, он
приложил много усилий, чтобы выманить тайну у осторожного и недоверчивого
Тартальи- и украсить этим результатом задуманную книгу i"Ars niagna...", т. е.
"Великое искусство, или о правилах алгебры". В "конце концов это удалось;
.затем- Кардано собственными усилиями устранил неполноту сообщенных сведений, и
книга появилась в 1.545 г.
Это большое сочинение (40 глав) содержит не только правила алгебраических
операций и приемы нахождения уравнений первых трех степеней, но и элементы общей
теории алгебраических уравнений. Так, Кардано ввел- регулярный способ сведения
полного кубического уравнения ax*-{-bx2-\-cx-\-d=Q к виду, в котором отсутствует
член с квадратом неизвестного, с помощью подстановки x=x\+h и распространил его
на уравнения 4-й степени. В "Ars magna..." высказано- много теорем о'
взаимозависимости корней и коэффициентов: о положительных и отрицательных
("фиктивных") корнях, об их сумме и другие теоремы, например: если в уравнении
все члены, стоящие в левой части, имеют степень большую, чем степени членов
правой части, то уравнение имеет один и только один положительный корень.
Наконец, Кардано показал делимость алгебраического полинома Рп (х) на х - х\9
где х\ - корень уравнения Рп (х) =0.
Кардано включил в свою книгу и метод решения уравнений 4-й степени путем
сведения задачи к кубической резольвенте, открытый его учеником Л. Феррари ((
1522- 1565). Поясним этот метод на примере задачи, которую решал Феррари. Она
была задана Кардано итальянским математиком Д. Колла. Задача гласила: "Разделить
число 10 /на три части так, чтобы они составляли геометрическую прогрессию и
произведение первых двух частей равя
п 6 х3 6 i ! х3 ш
нялось 6". По условию: - :х = х: - , — 1- *Н — = Ю, откуда
х 6 х 6
получаем уравнение я4 + 6л;2 + 36 = 60л;. Дополним обе части, доби116
ваясь, чтобы левая часть стала полным квадратом: (л:2+6)2 = = 60л:+6л;2. Добавим
к обеим частям по 2(x2+G)t-{-t2, где t еще предстоит определить. Получим
(х? + 6 + О2 =. 60л; + 6л:2 + 2 О2 + 6) t +*2, или
О2 + 6 + /)2 = (2t + 6) л* + 60* + (/•* + 120Условием
того, что правая сторона является полным квадратом, является, как
известно, равенство нулю дискриминанта. Это Фер-рари записывает так: 302=((2f+6)
(?2+12f), сводя задачу к решению кубической резольвенты. Прием1, очевидно,
является общим для уравнений 4-й степени. Кардано приводил к этому виду
уравнение, не содержащее члена с неизвестным в 1-й степени, подстановкой х = -.
У
Мы не будем 'останавливаться на тягостном споре Тартальи
и Кардано о приоритете открытия, Спор этот породил огромную литературу,, Многие
авторы до наших дней возвращаются к нему, вновь и вновь выдвигаются оценки
Тартальи, - Кардано, обстоятельств открытия и их связей с широким кругом
современных им исторических событий. К этой литературе и относится целиком
замечание, сделанное выше, о разноречивости изложений этого вопроса.
Столь быстрые и поразительные успехи в нахождении формулы решения уравнений 3-й
и 4-й степени поставили перед математиками проблему отыскания решений уравнений
любых степеней. Огромное число попыток, усилия виднейших ученых не приносили
успеха. Задача с течением времени преобразовывалась и-стала трактоваться как
задача о возможности или невозможности решения алгебраических уравнений степени
я.^5 в радикалах. В поисках решения этой проблемы протекло около 300 лет. Только
в XIX в. Н.-Г. Абель доказал, что уравнения степени п"4, вообще говоря, в
радикалах не решаются. Галуа связал с каждым уравнением специальную группу
подстановок его корней - группу Галуа и свел проблему к исследованию структуры
этой группы, ее разрешимости. В дальнейшем мы остановимся подробнее на этом
вопросе, так же как и на более общей постановке задач теории Галуа: выразить
рационально корни заданного уравнения через корни другого, более простого
уравнения.
На пути создания общей теории алгебраических уравнений и способов их решения
стояли еще два препятствия: сложность, неудобство получаемых формул и
неразъясненность неприводимого случая. Первое составляло чисто практическое
неудобство. Кардано устраняет его, предлагая находить корни уравнений
приближенно с помощью правила двух ложных положений, известного еще от египтян и
по существу применяемого и в наши дни в виде простой, или линейной,
интерполяции. Второе препятствие имеет
более глубокие корни, а попытки его преодоления повели к весьма важным
следствиям.
Уже Кардано упоминает о мнимых корнях, именуя их софистическими; показывает на
примере х-}-у =10, ху=40, что эти
корни встречаются попарно, т. е. #i,2=5±l/'-15, но решить та*
кого рода уравнения считает невозможным.
Плодотворная и смелая попытка справиться с неприводимым; случаем принадлежит
итальянскому математику и инженеру Р. Бомбелли из Болоньи. В сочинении "Алгебра"
(1572) он ввел формально правила действий над мнимыми и комплексными числами,
опирающиеся на. правила: ±i-±i=-I, ±i'i=Fi=l9 установил, что все выражения,
содержащие '"софистические минусы" Кардано, преобразуются к виду а+Ы. На
конкретном примере xs=15i"+4 Бомбелли показал, что в неприводимом случае
вещественный корень получается как сумма двух комплексных чи" сел вида а+Ы и аЫ.
Метод Бомбелли состоит в следующем,:
ч it / Ь V • / °Л8 ^г\
пусть дано уравнение х*=ах+р и имеет место! - ) -( - ",0,
V 2 / \ о J
следовательно формула
- V i+1/(тИтУ+
неприменима. Бомбелли исходит из того, что выражения вида
3 у1"-------^г
"|/ а±1/Р, входящие в эту формулу, тоже могут быть преобразованы к виду p + Vq.
Положив "J/ a,±V$ = p±Vq" он для определения р и q получил два уравнения:
р3 + Зр"? - а; р2 - q --= p _ у.
Для определения р из этой системы получается уравнение 4р8 = = SYP + "*• В
частности, если положить a = - ,
= (^)2 - (т)3то
=
и =
- ^ 2рОднако
это объяснение Бомбелли - всего только объяснение, оно не облегчает
решения неприводимого случая, ибо уравнение 4 р3=3\р+а то же, что уравнение
искомое. Но введение для частных целей общих операций с комплексными числами
выдвигает "Алгебру" Бомбелли в число ближайших предшественников работ Гаусса по
этому вопросу.
Рост содержания математических знаний всегда тесно связан с развитием
математической символики. Последняя, когда она достаточно хорошо отражает
реальную сущность математических операций, активно воздействует на математику и
сама приобретает оперативные свойства. В истории математики историю сим118
волов можно уподобить истории орудий труда, по которым можно многое восстановить
и понять.
В рассматриваемое нами время происходил быстрый переход от словесной
(риторической) алгебры к алгебре символической путем сокращения (синкопирования)
слов, а затем введения символов. Уже у Кардано. переход этот очень заметен.
Например, корень уравнения "cubus р 6 rebus aequalis 20" (я8+6я=20) находится по
формуле
- То).
Читатель уже успел, наверное, понять значение символов,
остается добавить, что Rx - знак корня, Rx и си - это radix uni-versalis cubica,
т. е. общий кубический корень из всего выражения, расположенного до вертикальной
черты или до конца выражения.
Символы пока, еще очень разнообразны, не всегда составляют стройную систему даже
внутри одной книги,, Но потребности математики заставляли искать все более
совершенную систему символов. Бомбелли, например, для последовательных степеней
неизвестного х употреблял символы: 1, 2, 3 ... . С. Стевин (1548-1620),
фламандский • математик и инженер, известный, в частности, введением в
европейскую' математику аппарата десятичных дробей, в тех же целях,, что и
Бомбелли, использовал соответственно знаки (I), (2), (3), ..., а в случае
второго и третьего неизвестного:
sec(l), sec (2), sec(3), ... , • ter(l), ter(2), ter(3), ...
Единую систему алгебраических символов, последовательно проведенную, первым дал,
по-видимому, Виета.
Появление буквенного алгебраического исчисления являлось одной из сторон более
общего и глубокого явления в истории математики - возникновения алгебры как
общей науки об алгебраических уравнениях. Сочинения и взгляды Виеты хорошо
передают этот переломный момент.
Франсуа Виета (1540 - 1603) - французский математик, юрист по образованию и роду
деятельности. Во время педагогических занятий в одной влиятельной семье у него
возник план новой астрономической системы, долженствующей заменить неточную, по
его мнению, систему Коперника. В связи с этим замыслом Виета положил много сил
на усовершенствование тригонометрии и достиг замечательных успехов. Блестяще
образованный, Виета быстро продвигался по служебной лестнице и наконец сделался
близким советником и придворным ученым французских королей Генрихов III и IV.
Будучи с 1584 по 1589 г. отстраненным от придворных дел вследствие происков
политических противни119
Ф. Виета (1540-1603)
ков, он употребил свой досуг на написание главного труда своей жизни "Введение в
искусство анализа" - огромного и чрезвычайно обстоятельно написанного сочинения
по новой алгебре. Труд этот выходил с 1591 г. частями, в значительной части
после смерти автора и не был полностью завершен.
Замысел Виеты определялся следующими соображениями: крупные успехи итальянских
математиков в решении уравнений 3-й и 4-й степени опирались на высокую
эффективность алгебраи120
ческих приемов. Но число отдельных видов алгебраических уравнений угрожающе
быстро росло, достигая, например, у Кардано 66; каждый из этих видов требовал
особых приемов. Необходимо было найти общие методы подхода к решению
алгебраических уравнений; последние тоже должны рассматриваться в возможно более
общем виде с буквенными коэффициентами. Кроме того, необходимо было сочетать
эффективность алгебраических приемов со строгостью- античных геометрических
построений, хорошо знакомых Виете и представлявших, по его мнению, образцы
подлинно научного анализа.
Исчислению Виеты предшествует арифметика, оперирующая с числами: logistica
numeralis. Исчисление букв получает название logistica speciosa от слова species
- член математического выражения. Исчисление распадается на зететику - искусство
решения уравнений; пористику - искусство доказательства правильности полученных
решений; экзегетику - общую теорию уравнений. Все величины обозначены буквами:
неизвестные - гласными, известные - согласными. Числа. - безразмерны,
положительны, рациональны I(B случаях иррационалъностей Виета переходит на язык
геометрии), величины же имеют размерность. Это геометрическое влияние на
концепцию величины усиливается специальной терминологией: первая степень
величины называется latis (сторона), вторая - planum (площадь), третья - so- '
lldum (тело). Далее следуют плоско-плоские, плоско-объемные, объемно-объемные и
т. д. величины. Сложение; и вычитание производятся над одноразмерными
величинами. Последние,, впрочем, допускается подравнивать в размерности путем
умножения на единицу длины., Умножение и деление вызывают изменение размерности.
Эти идеи. Виеты в его время отражали наличие непреодоленного еще разрыва между
числами и величинами. Позднее выяснилось, что они явились предтечей ряда
математических исчислений: векторного, тензорного, грассмановой алгебры.
Символика Виеты также отягощена еще грузом геометрических привнесений; она
тяжела, не всегда понятна, перемежается сокращенными и даже несокращенными
словами. Вот примеры:
a) A cubus + В planum in Л3 aequatur D solido (Л3 + ЗВЛ = D, или
б) В parabola in A gradum - A potestate aequatur Z homogenae (BA" - Am+n=Z).
Тем не менее благодаря этой символике стало впервые возможным выражение
уравнений, их свойств общими формулами. Объектами математических операций стали
не числовые задачи, а сами алгебраические выражения. Именно этот смысл вкладывал
Виета в характеристику своего исчисления как "искусства, позволяю121
щего хорошо делать математические открытия". Кстати, символы Виеты были вскоре
усовершенствованы его младшими современниками, особенно Гэрриотом ,(1560 -
1621). .
В сочинениях Виеты подводится своеобразный итог математики эпохи Возрождения.
Особенно отчетливо эта. особенность проявляется в его алгебраических трудах, р
них подробно и обстоятельно изложены сведения об уравнениях 1 - 4-й степеней"
Общий характер записи позволяет Виете строить все изложение не как собрание
рецептов, а как общую теорию уравнений. Для. этого он использует богатый арсенал
алгебраических 'преобразований, опирающийся на подстановки: x=y-{-k (чтобы
исключить
член, имеющий неизвестное во второй по величине степени), я= -
k
(для исключения члена, содержащего x)9-,x=ky (с целью устранения
дробных коэффициентов), х = - у (чтобы придать коэффио
циенту при х(tm)-1 данное значение) и др. От радикалов он освобождался путем
отъединения одного члена и возведения обеих 'сторон уравнения в степень.
' . .
••Например, всякое кубическое уравнение он . преобразует к виду л;3-|-Зая=& и
применяет затем подстановку a=t2-{-tx, чтобы прийти к уравнению
х(r) + 3txz + ЗЛс = Ь.
Из последних двух, уравнений, преобразованных к виду:
он получает квадратное относительно /3 уравнение: (/3)2+6/3=а3.
а - t2 '
Можно и непосредственно подставить х = - в уравнение,
чтобы получить тот же результат.
Неприводимый случай кубического уравнения Виета свел к задаче о трисекции угла.
Он показал, что всякое неприводимое уравнение может быть преобразовано к виду хг
- Зх=а. Сопоставляя его с тригонометрическим соотношением (2cos"p)3 - 3(2созф) =
= 2cos3cp, Виета демонстрирует такое сведение. Задачу о трисекции угла он решает
известным ему из античных источников методом вставок.
При решении уравнений Виета разыскивает положительные корни. С помощью
преобразования х= - у он подходит к проблеме нахождения отрицательных корней.
Развивая результаты Кардано, Виета высказывает ряд теорем о взаимозависимости
корней уравнений и их коэффициентов, включающих частные случаи теоремы,
известной ныне под его именем. В связи с этим он рассматривает, в указанных выше
границах, образование урав122
нений произведением биномов: Рп (х) = \\ (х - xk) (п "С 5" xk
Полностью предложение о зависимости коэффициентов и корней
уравнений было сформулировано Гэрриотом и А. Жираром и
опубликовано последним в 1629 г.
Алгебра Виеты ' была еще несовершенной и имела крупные •недостатки,. Ее очень
утяжеляла видовая трактовка величин, обладающих размерностью. В ней нет общей
трактовки степеней, все степени натуральные. Принципиальное разделение чисел и
алгебраических величин не позволяло ему употреблять радикалы для величин, а лишь
для чисел и т. п. Ее скоро вытеснила алгебра Декарта, о которой речь будет идти
ниже. Однако известно, что Ферма, .например, изучив алгебру Виеты, придерживался
ее формы, когда строил аналитическую геометрию. К тому же нам представляется
оправданным, предположение, что параллелизм между свойствами уравнений и
геометрическими построениями, регулярно проводимый Виетой, сыграл свою роль в
формировании идей аналитической геометрии в XVII в. То, что представляло
геометрический рудимент в формирующейся алгебре Виеты и других математиков XVI
в., послужило исходным пунктом развития новой науки - аналитической геометрии -
в руках ученых XVII в.
Сопоставление- алгебраической и тригонометрической задачи, отмеченное при
решении кубического уравнения, не было- для Виеты случайной находкой, эпизодом.
Виета, как было уже сказано, проявил интерес к алгебре именно в силу ее
пригодности и-даже необходимости для задач тригонометрии и астрономии. В
дальнейшем тригонометрические и алгебраические труды и результаты следуют
одновременно, нередко переплетаясь, Виета не ограничился определением всех
элементов плоского или сферического треугольника по трем данным элементам" Ему
принадлежат разложения тригонометрических функций кратных дуг посредством
последовательного применения (формул для синуса и косинуса суммы двух углов.
cos та = cosm а -
cosm~2 а- sin2 а + . . .
sin /па = /ncos(tm)-1 а-sin а -
1 -2
m(m - l)(/n -2) 1-2-3
После смерти Виеты стали известны многие его рекуррентные формулы
cos та = 2cosa-cos(m-l)a- cos (m - 2) a, sin ma = 2 cos a" sin (m - 1) a - sin
(m - 2) a, sin ma = 2 sin a- cos (m - l)a + sin(m- 2) a, cosma = - 2 sin a-sin
(m- l)a + cos (m - 2)a.
Несколько странное впечатление оставляет то, что подобные крупные результаты
гониометрии достигнуты при недостаточно общем определении тригонометрических
функций как отношений сторон прямоугольного треугольника без намека на введение
производящей окружности. Однако так часто бывает в истории; результаты сначала
появляются, а потом осмысливаются и получают удовлетворительную общую трактовку.
Значительным достижением Виеты является'введение им впервые в математику задачи
о нахождении бесконечного произведения. Если около правильного /i-угольника
площади Sn описать круг радиуса, г и вписать в него круг радиуса рп, то после
удвоения сторон n-угольника получим Sn :52Я = рл: г• = cos -. .Начнем
п
с вписанного квадрата: п-4, 54=2г2. Последовательно полагая п=4, 8, 16, ...,
получим:
J4 . о 8 •
COS'
4 '
COS-*-,
- Теперь Виета "переходит к пределу". Он говорит, что для п=оо получится круг,
площадь которого Soo=2jtr2: Перемножив всю цепочку равенств, он находит:
- =• cos • п
90°
COS
90°
COS
90*
ИЛИ
X V -
Разумеется, Виета не доказывает сходимости полученного бесконечного
произведения, будучи интуитивно уверенным в справедливости своего предельного
утверждения.
На примере работ Виеты мы показали, что в европейской математике к концу XVI в.
сформировалась алгебра как наука о решении уравнений. Последняя содержала полный
запас методов решения уравнений первых четырех степеней. Алгебраисты завершили
символическое Оформление своей науки и пробовали формулировать и решать проблемы
общей теории алгебраических уравнений. Тригонометрия отделилась от'астрономии,
ее резуль124
таты получили достаточную степень общности. Полностью освоено учеными
геометрическое наследие древних. Математика постоянных величин к концу XVI в.
завершала цикл своего формирования.
4.4. ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ
Математика развивается Широким фронтом. При этом подвергаются изменению все
элементы ее структуры: развиваются новые теории, выдвигаются и проверяются новые
.гипотезы, накаплива- • ются факты, пополняющие состав уже сформировавшихся
математических наук, расширяется сфера применения математических методов,
меняются общие взгляды на природу математики и ее возможности. Процесс изменения
охватывает не только те части математики, которые в данный исторический период
представляют вершину ее творческих достижений. Развивается и видоизменяется
также та ее область, которую1 принято называть элементарной математикой, -
термином, который еще не нашел однозначного* определения и истолкования, - и
которая играет такую большую роль в системе образования и массовой практической
деятельности людей. Разделение математики на высшую и элементарную,,
употребляемое в наше время, носит условный, исторически ограниченный характер и
не может претендовать на научность, Между элементарной и высшей математикой нет
определенного разграничения: элементарно-математические .идеи перерастают в
высшие области математики; в свою очередь элементарная математика пополняется
новыми фактами и идеями из так называемой высшей математики.
Приведем несколько примеров, иллюстрирующих эти особенности исторического
развития математики. Математики XVI и'начал а XVII в. испытывали огромные
трудности вычислительно-практического характера. Прежде всего эти трудности
концентрировались вокруг задачи составления таблиц тригонометрических: функций и
связанной с этим задачи определения значения я. Другой задачей являлось
отыскание простых и надежных алгоритмов численного определения корней уравнений
с данными числовыми коэффициентами. Арифметические средства вычислений
ограничивались операциями с целыми числами и простыми дробями; десятичные дроби
только пробивали себе дорогу. Впервые в Европе они были введены в 1585 г. С.
Стевином в сочинении "La Disme" ("Десятая"). Вычисления делались только вручную.
Составление тригонометрических таблиц играло в то время большую роль. Поэтому в
конце XVI и в начале XVII в. героическими усилиями ученых было составлено и
издано несколько таких таблиц. Над вычислением таблиц работали, например,
Коперник (1473-1543), Кеплер ,(1571-1630) и их ученики и сотрудники. Через 20
лет после смерти Ретикуса (1514"-1576), ученика Коперника, появились законченные
уже третьим поколением вычис125
лителей большие таблицы "Opus Palatinum", где величины всех шести
тригонометрических функций были вычислены с частотой 110" для производящей
окружности радиусом г=1010. Обширные таблицы оставил в огромном сочинении
"Canonus mathematicus" Виета. Бюрги, сотрудник Кеплера, много лет потратил на
составление таблицы синусов дуг через каждые 2". Количество примеров можно было
бы умножить.* Мореплаватели и астрономы, строители и конструкторы всех стран
остро нуждались в этих таблицах, и они появлялись в разных, странах и в разных
вариантах.
Особенностью таблиц была громадная: величина избранного для отсчета радиуса
производящей окружности,. Объяснялось это отсутствием десятичных дробей, в силу
чего результаты приходилось получать в целых числах, и необходимостью обеспечить
достаточно высокую точность вычислений. Главные заботы вызывало определение с
особенно высокой точностью синусов (или хорд) малых дуг, чтобы на вычислениях не
сказалось накопление ошибок. Для этого использовали унаследованный от древних
прием последовательного удвоения сторон правильного вписанного многоугольника.
Виета, например, для определения sin Г довел вычисления до отыскания сторон
правильного вписанного многоугольника с 3-211 сторонами, а описанного - с 3-212
сторонами. При этом в качестве сопутствующего результата отыскивались
приближенные значения числа я с большой точностью. Так, в это время голландский
математик и фортификатор Лудольф ван Цейлен '(1539 - 1610) определил сначала 20,
а затем 35 десятичных, знаков числа я, первым превзойдя результаты
среднеазиатского математика Каши. К слову сказать, дальнейшие уточнения этого
числа, вплоть до вычислений Шенкса, отыскавшего свыше 700 десятичных знаков я,
практическими потребностями не вызывались. Побудительной причиной их было, повидимому,
или тщеславное стремление продемонстрировать свое вычислительное
мастерство, или же наивная попытка "взять в лоб" непосредственными подсчетами
проблему определения арифметической природы числа я.
Для облегчения вычислений таблиц математики придумывали частные приемы, в
которых главную роль играли отдельные тригонометрические соотношения, а также
разности различных порядков. Их основной целью было сведение, по возможности,
вычислений к наиболее простым операциям: сложению и вычитанию. Та же цель
преследовалась и при вычислениях с тригонометрическими функциями с
использованием таблиц. Вычислители, естественно, стремились избежать
непосредственного умножения и деления многозначных чисел, сводя их к сложению и
вычитанию приемами, вроде
sin х • sin у = - [cqs (x - у) - cos (х + у)],
? • \
cos х • cosy = -^L [cos (х - у) + cos (х + у)].
Подобные методы столь часто применялись, что получили специальное название
"простаферетических" (от соединения двух греческих слов: простезис -
прибавление, афайрезис - вычисление). Ими пользовались математики Ближнего
Востока, Виета, Тихо-Браге, Виттих, Бюрги и многие другие. Эти методы находили
применение некоторое время и после того, как были изобретены логарифмы и вошел в
употребление обратный им путь приведения тригонометрических выражений к виду,
удобному для логарифмирования.
^Логарифмы были изобретены,я начале XVII в. Их. теоретические основы стали
формироваться очень давнбГРечь идет об идее сравнения двух прогрессий -
геометрической и арифметической" и о достаточном обобщении понятия степени. Еще
у Архимеда в-к"Псаммите" встречается запись последовательных степеней одного
основания: а°, а1, а2, а3...,по поводу чего высказано утверждение,
.эквивалентное: ат-ап = ат~]гП" Аналогичные мысли высказывал Диофант. Орезм
исходил из идеи сравнения геометрической про"-* грессии и арифметической; когда
вставлял в последней дробные числа между натуральными и обобщил тем самым
понятие показателя степени на дробные величины,, Штифель систематически. сравнил
действия над членами обеих сопоставленных прогрессий и ввел дробные и
отрицательные показатели степени.
Чтобы воспользоваться этими идеями для целей: сведения операций к более простым,
нужно было только составить таблицы, где сопоставляется: последовательность
степеней чисел с последовательностью, их показателей. Чтобы таблицы были
достаточна густыми, их единое основание следует выбирать близким: к единице.
Подобные таблицы в начале XVII в. уже существовали. Их составил Стевин,
Это были таблицы сложных процентов, т. е. значений чисел (1+г)п при различной
процентной таксе г : г=0,05, г=0,04 и т. д. Чем меньше г, тем меньше разрыв
между получаемыми значениями. Аналогичная таблица была положена в основу одной
иа первых таблиц логарифмов, составленной И. Бюрги.
И. Бюрги (1552-4632),.родился в Швейцарии,Онбыл ма-стером^ШГр'ёмонту часов и
астрономических инструментов; вначале работал в Касселе, а затем в Праге на
астрономической обсерватории вместе с И. Кеплером и помогал ему в наблюдениях и
вычислениях. Здесь для облегчения вычислений в течение восьми лет (1603-1611) он
составил свою таблицу логарифмов на основании таблиц типа Стевина: а(1+г)п.
Чтобы получить достаточно малый шаг в таблице, Бюрги принял -г =-----.
Стремление возможно дольше не встречаться с
дробями заставило его ввести дополнительный множитель а= Значениям получаемой
геометрической прогрессии gk = К
1 \ k
4---) (^=0,1,2,3,...) Бюрги ставил в соответствие члены арифметической
прогрессии: 0, 10, 20, 30, ... Получилось два ряда значений:
Ю8, 108(1 + Ю-4), Ю8 (1 + Ю-4)2, Ю8 (1. + Ю(tm)4)3 • • • О, 10,'
, 20, 30
Числа нижнего ряда были напечатаны красной краской и назывались красными; числа
верхнего ряда - черной краской и назывались черными. Таким ^образом, в таблице
Бюрги красные числа представляют_србой логарифмы черных, разделенных на Ю8
при основании у 1,0001. Так как Бюрги ориентирует свою таблицу на красные числа,
то она. является по существу таблицей антилогарифмов, что принципиально существа
дела не меняет. Вычисления (благодаря наличию множителя Ю8) черных, чисел
доводились до девятого знака., Они _были доведены до так называемого полного
черного числа, равного Ю9. Соответствующее ему полное красное число было найдено
с применением интерполяции и оказалось равным 230270022, т. е. 1,0001230270022108=109.
Из этого видно, какое громадное количество последовательных вычислений
пришлось проделать Бюрги при составлении своей таблицы, потратившему на эту
работу, как было сказано выше,, около восьми лет.
Бюрги долго не решался публиковать таблицы, несмотря на ^очевидную их полезность
при вычислениях. Только в 1620 г., по. настоянию Кеплера, он издал книгу
("Таблица арифметической и геометрической прогрессии с обстоятельным
наставлением, как пользоваться ими при. всякого рода вычислениях". Оригинал
этих, таблиц, вместе с другими материалами архива Кеплера, хранится в СССР в
Пулковской обсерватории. "Обстоятельное наставление", не опубликованное в свое
время вместе с таблицами, было обнаружено позднее и увиделр свет в 1856 г.
Медлительность Бюрги стоила ему приоритета. В 1614 г., на € лет ранее его книги,
в Англии появилось "Описание удивительных таблиц логарифмов" ("Canonis mirifici
logarithmorum descrip-tio"). Автором этого сочинения был Джон Непер (1550-1617),
шотландский барон, занимавшийся различными .науками, в особенности астрономией и
математикой, а таблицы были 8-значны-ми таблицами логарифмов тригонометрических
функций для значений аргументов от 0 до 90° через Г.
Принцип составления этих таблиц, которым Непер владел, по-видимому (как это
можно заключить из его переписки), с 1594 г., был для своего времени новым.
Метод сравнения прогрессий, как было показано, дает последовательность
дискретных значений. Их можно, не испытывая принципиальных трудностей, сгустить,
но их дискретный характер не изменится. Неотъемлемой частью этого
Дж. Непер (1550-1617)
метода является интерполяция. Непер, напротив, ист гарифмической функциональной
зависимости, выр-двух непрерывных шкал. Его идея состояла в еле:
Пусть из точек А и А\ (рис. 29) одновре^ указанном стрелками, начинают двигаться
ходя последовательно положения со Л13, ... и т0, ть т2, Юз, ....
Начальна какова (для простоты положим iv стоянкой скоростью vm=const, '
^
ее скорость пропорциональна "?^
(для простоты положим А г ^°
5 К- А. Рыбников ^iV53
.xd InJC
е такое, что
начить А\т^ = к, MkB=y) в переводе на современный язык эквивалентно
дифференциальному уравнению -j- = -у, откуда х =
= -In'y, или #=log 1 г/. Неперова система логарифмов оказалась
е
системой с основанием -. Введение логарифмической функции
в
объективно хранило в себе большие возможности для применения
в будущем в системе математического анализа. Но Непер еще не
владел в 1614 г. идеей -лога^___я__яН____._^__
-Ш±- ^ рифмической функции. Ему
М0 Mj 'М2 М3 были нужны таблицы,, Поэтому
' он дели л. Л В. на Ю7 этапов ее
-+L_^__f___t._______(tm)"ZZ!L.(tm)M". прохождения, - проходимых за
г MS .......• 107 моментов времени. Тогда в
первый момент времени ско-Рис. 29 рость=1, и
последовательно:
/77/
л __ ]_\ __ !_Л
V ю7 / ю' V
io'
Y)
'
и т. д.
Образуются две последовательности значений:
1 /, 1 \* Г л I 3
1 1- -
О
Ю7
л ......
i
io7
Непер легко избегал операций с дробями, принимая AB-W7, а не АВ=1, как это
сделали мы здесь; не меняло существа дела и то, что начальная скорость v0^l.
Нижние числа в таблице Непер назвал логарифмами верхних, что означало буквально
"числа отношения" I(OT соединения греческих слов: Яоуод - отношение, "pi/O-jAoZ;
- число). Название это он выбрал, чтобы подчеркнуть, что логарифмы являются
вспомогательными числами, измеряющими отношения соответственных чисел. Логарифмы
Непера, несмотря на плодотворную общую идею непрерывной числовой шкалы, все еще
были таблицами сравнения значений двух прогрессий: арифметической и
геометрической.
Как уже было указано, таблицу Непера составляли логарифмы тригонометрических
функций. Прежде всего отдельную колонку составляли логарифмы синусов углов
первой четверти, выбранных с интервалом К Они, таким образом, давали и значения
логарифмов косинусов (как синусов дополнительных углов). Во избежание дробей
принято, что sin 90°= Ю8. В специальной колон130
ке под названием "разности" (differentiae) приведены разности логарифмов синусов
дополнительных углов, т. е. логарифмы тангенсов. Неперу было известно, что
логарифмы обратных тригонометрических функций получаются просто изменением
знака. Мы onvcxaeM технические подробности арифметического подсчета этих таблиц.
Правила логарифмирования по Неперу отличаются от обычных. Они более, громоздки,
так -как в них присутствует log 1=5^0 (было принято, что log 108=1). Например,
рассмотрим правило логарифмирования произведения у=аЬ. Перепишем его
в виде - = -. Равенство отношений влечет равенство разностей
а 1
."чисел отношений" (логарифмов): '
log у - log a = log Ъ - log 1; log у = log a + log b - log 1.
Кроме того, что во всех правилах Непера присутствует log \=х,
определяемый из равенства 1 = о0 (.1 -----\ , существенное осV
^о '
ложнение при вычислениях вносит тот факт, что log 10=5^=1. Поэтому приходилось
заново • вычислять и мантиссу и характеристику логарифмов чисел, отличающихся
друг от друга только множителем 1.0±д (k - натуральное число). Эти затруднения
привели Непера к идее десятичных логарифмов, т. е, к тому, чтобы первоначально
полагать log 1=0, log 10= 1010.
Та же идея десятичной системы возникла после ознакомления с. таблицами Непера у
профессора лондонского, колледжа Генри Бригга (1561 - 1630), с 1619 г.
профессора математики в Оксфорде, а затем в-Лондоне. Он дважды ездил к Неперу в
Шотландию, сдружился с ним и в совместных занятиях они разработали но* вую,
практически более удобную десятичную систему, основанную на сравнении
прогрессий:
... 0,01 0,1 1 10 1,00 ..." ... -2-1012 ...
Бригг взялся за разработку большой таблицы десятичных логарифмов. Уже в 1617 г.
он опубликовал 8-значные таблицы логарифмов чисел от 1 до 103. Через 7 лет, в
1624 г., Бригг сумел издать "Логарифмическую арифметику", содержащую 14-значные
таблицы логарифмов для чисел 1-20000 и 90000-100000. Для пропаганды нового
вычислительного средства он выпустил несколько статей, разъясняющих методы
вычисления таблиц и употребления логарифмов. Один из методов Бригга представляет
особенно большой интерес.
Бригг исходит из того, что если из любого числа, например из 10, последовательно
извлекать квадратный корень, то после достаточно большого числа извлечений (т =
2п) получится результат, достаточно близкий к единице. В таком случае результат
следую5*
131 '
щего извлечения квадратного корня можно записать: у 10 = 1 + а,
2П_
где а - мало. Возведем обе части равенства в квадрат: -./~Ю = 1 +
+ 2а + а2. Для я достаточно большого а2 таково, что его можно отбросить и
это не скажется на принятой точности вычислений.
-/- 7ш-1
/ю-i^ 1__
Умножим обе части на 2Я-+1:
• • 2п.-Н
То" - 1
т. е. выражение" практически не меняющееся при дальнейшем возрастании п.
Если обозначить
*УШ = *, то Iqg10* = -!- и 2Л ( t/TO~" - :Г) = ~~-• (А).
г -у ^ . \
" J l°gio *
То же значение * можно получить, подставляя вместо 10 любое
о ОТ
"
другое конечное число: v/a zzx. Тогда Iog10 х ^ -Щ%г-- Подста/ новка в (Л)
даст:
Го - 1
2"(7"
Iog10 a
откуда
Iog10a^ -
-l)
Вычисление десятичного логарифма любого числа сведено таким образом к
последовательному извлечению квадратного корня из этого числа. Значения степеней
2 и последовательного извлечения квадратных корней из 10 вычисляются
предварительно. Чтобы избежать накопления ошибок, Бригг произвел 54-кратное
извлечение квадратного корня с точностью до 32 десятичных знаков:
)" = 1,000000000000000 127 819 149 320 032 35.
Работами Непера и Бригга вычислительные трудности, о которых мы здесь смогли
дать лишь неполное представление из-за
их громоздкости, были преодолены. Логарифмы вошли в вычислительную практику и
быстро распространились по всему миру. В 1628 г. голландец А. Влакк,
книготорговец по роду занятий, закончил труд Бригга, составил и издал 10-значные
таблицы десятичных логарифмов чисел 1-105. Он же довел до конца составление 10значных
таблиц десятичных логарифмов тригонометрических функций с частотой,
через каждые 10". Лед был сломан. Английский преподаватель математики Джон
Спейдель вычислил к 1620 г. таблицы натуральных логарифмов, сразу завоевавшие
громадную популярность. В то же время (1620) лондонский профессор Эдмунд Гюнтер
разработал логарифмическую' шкалу, явившуюся первым вариантом широко ныне
распространенной логарифмической линейки. Он же, а. кроме него Кеплер и другие
ученые, составлял таблицы логарифмов чисел и тригонометрических функций, как
десятичные, так и натуральные, и широко использовал их в астрономии.
Таблицы, логарифмов быстро, в течение менее чем столетия, распространились по
всему миру и сделались незаменимым вспомогательным орудием при вычислениях. В
1.650 г. они были завезены иезуитами-миссионерами в Китай. В России регулярные
издания таблиц логарифмов датируют с 1703 г., когда появились таблицы Влакка.
Логарифмическая шкала была описана в русской научной и учебной литературе,
впервые в 1730 г. под названием гунтерской (по имени уже упомянутого выше проф.
Э. Гюнтер а).
Мы уже отмечали, что в процессе решения чисто вычислительной задачи составления
таблиц возникли элементы анализа переменных величин. Это были: идея
логарифмической функции, высказанная Непером, и отбрасывание несущественно малых
величин, например у Бригга. Можно предположить, что последний прием послужил
одной из причин того, что Кеплер стал заниматься исчислением актуальных
бесконечно малых величин,.
В свою очередь применение элементов анализа бесконечно малых дало новый .более
удобный способ вычисления логарифмов. Его разработал в 1667 г. член Лондонского
королевского общества голштинец Кауфман ,(1620-1687), известный под именем Н.
Меркатора. Последний исходил из замечательного соотношения, доказанного в 1647
г. Сен-Винсентом: если абсциссы точек
А и В на гиперболе у = - (рис. 30) соответственно пропорциох"
нальны абсциссам точек AI и BI на той же кривой, то площади криволинейных
четырехугольников, расположенных под отрезками ЛВ и А\В\, равны.
Эквивалентным ему является предложение: площадь S под
гиперболой у ==- над отрезком (1, х) оси абсцисс равна 1шс
х
в системе, основанием которой является число е такое, что S (1, е) = 1.
Меркатор перенес ось ординат вправо на единицу. Уравнение гиперболы
стало у = -^----. Заштрихованная площадь
1+х 5(0, .лг)=1щ(1+*). Разложив у = -
.= 1--х~\~х2-л:3+... Остаток при |д:|
• в ряд, он получил у=
может быть-сделан при достаточном продолжении ряда как угодно малым.
Рис. 30
Далее Меркатор использует методы квадрирования площадей, ограниченных кривой
вида у=хп, абсциссой и двумя ординатами. Эти ранние методы интегрирования были к
тому времени уже хорошо, разработаны Кавальери, Ферма, Паскалем и др.
Интегрирование дает:
т. е. возможность вычислять значения "функции 1п(1+#) с помощью степенного
ряда. Теория логарифмических функций полу-.
ЙШШШШ
Рис, 31
чила завершение в трудах Л. Эйлера. Ему принадлежит общее определение
логарифмической и показательной функций как взаимно-обратных, распространение
понятия логарифма на случай комплексного аргумента, введение символа в для
основания натуральных логарифмов и т. д. (см. его ("Введение в анализ бесконечно
малых", т. I).
Ученые-математики XVII в. искали также и другие пути преодоления вычислительных
трудностей. В разных городах Европы стали возникать счетные машины. По-видимому,
самой ранней машиной была машина немецкого профессора Вильгельма Шиккарда
(1623), преподававшего в г. Тюбингене математику и астрономию. Сведения об этой
машине появились только в 1958 г. Ее схе- , ма и объяснения к этой схеме были •
обнаружены в архиве Кеплера, а затем в "архивных фондах библиотеки . Штутгарта.
Машина В. Шиккарда состояла, из трех частей: суммирующее устройство,
множительное, устройство и механизм ' для записывания промежуточных результатов.
Первое из них представляло раннюю разновидность арифмометра, построенного на
принципе использования зубчатых передач. На параллельных, осях (их было шесть)
насаживалось по одной десятизубой и однозубой шестерне. Последняя служила для
того, чтобы передать шестерне следующего разряда, толчок" поворачивающий ее на
0,1 оборота, после того как предыдущая шестерня, сделает полный оборот.
Техническое оформление машины позволяло видеть в окошках, какое число набрано в
качестве первого слагаемого (или уменьшаемого) и последующие результаты, вплоть
до итогового. Вычисление не представляло при этом затруднений. Для деления
рекомендовалось повторное вычитание делителя из делимого.
Оригинально разрешена в машине Шиккарда задача умножения чисел. На параллельных
осях (их тоже было 6) насаживались цилиндры, на каждый из которых была навернута
таблица умножения. На рис. 31 показана эта таблица в развернутом виде. Перед
цилиндрами устроена панель с девятью рядами окошек (по 6 штук в каждом ряду, по
числу цилиндров); каждый ряд открывается и закрывается специальной фигурной
задвижкой. Пусть необходимо сосчитать, чему равно произведение 387-27. Все
цилиндры устанавливаются вращением в такое положение, чтобы в верхнем ряду
окошек появилось множимое: 000387. Частичное произведение 387-7 получается
простым открыванием окошек седьмого ряда; в них появится 0002/15/64/9, что
означает после несложного подсчета в уме: 2709 (000215649). Второе частичное
0 0 0 3 в 7
0 0 0 */i 5/Б У(r)
to 10 Но Ю
••0 Ю Ю f- о
произведение (387-20) получается открыванием второго ряда окошек, что дает
00061/61/4, или 774, к которому справа приписывается нуль. Оба частичных
произведения 2709 и 7740 складываются на суммирующем устройстве. Последнее в
своих окошках покажет сумму 10449.
Третья часть машины состояла из шести барабанчиков с нанесенными на них цифрами:
1, 2, ..., 9, 0 и соответственно из панели с шестью окошками! Поворотом
барабанов в окошках фиксировалось число, которое вычислителю надо запомнить.
Конструктивное решение машины Шиккарда изображено на рис,, 32 (1 - множительное
устройство, 2 - суммирующее, 3 - записывающее устройство для памяти) ,
Машина Шиккарда была изобретена и построена в 1623 г. О ней ничего не было
известно, по-видимому, никому, кроме Кеплера и узкого круга друзей изобретателя.
Поэтому до последнего времени считалось, что первый арифмометр изобрел в 1642 г.
Б лез Паскаль (1623-1662). Арифмометр Паскаля, построенный на принципе
десятичных зубчатых передач, позднее. (1673-1674) был усовершенствован
Лейбницем. Счетные устройства были еще долгое время несовершенными и не имели
широкого распространения и практического применения
вплоть до 1874 г., когда инженер Однер (Петербург) изобрел специальное
установочное устройство - колесо Однера, употребляющееся в простейших
вычислительных машинах и в наше время.
Многие вычислительные методы были разработаны в связи с численным решением
алгебраических уравнений, переплетены с ним. С особенной силой эта связь
проявилась в сочинениях И. Ньютона и его предшественников и современников. Еще в
молодости (ок. 1676 г.) Ньютон разработал способ приближенного нахождения корней
уравнений, применяемый до сих пор. В наши дни продолжается исследование
многоугольника Ньютона, изобретенного им для разложения в ряд по дробным
степеням аргумента х решения у уравнения f(xt y)=Q. В связи с задачами
вычислительного характера Ньютон вывел формулу бинома и распространил ее на
случаи дробного и отрицательного показателя степени бинома.
В 1673-1683 гг. Ньютон читал в Кембриджском университете лекции по алгебре. Его
преемник по кафедре издал в 1707 г. эти лекции под названием "Универсальная
арифметика". Они
Рис. 32
замечательны как своеобразный итог развития алгебры XVII в., как пример
неразрывности арифметики и алгебры в то время и • ведущей роли в алгебре
вычислительных методов: "Все действия арифметики столь необходимы в алгебре, что
они лишь совместно образуют полную науку вычислений, и поэтому я буду излагать
их обе вместе", - писал Ньютон 1.
Подготовительный аппарат алгебры - основные понятия и правила действий -
содержит разделы, посвященные операциям над арифметическими дробями.
Геометрические способы построения корней, уравнений трактуются как
вспомогательные для приближенной оценки величины корней. Материал общей теории
уравнений также подчинен задаче численного решения задач, приводящихся к
алгебраическим уравнениям.
Практические цели, стоящие перед математиками XVII в., привели к. расширению
арсенала, вычислительных средств и приемов численного решения задач. Главными
достижениями в этом плане являлись: изобретение логарифмов и методов точного или
приближенного (если точное оказывается невозможным) вычисления корней
алгебраических уравнений. Все эти нововведения обогатили элементарную
математику. В то же время каждое из этих открытий несло в себе элементы,
получившие развитие в неэлементарных ее частях: в математическом анализе и в
высшей алгебре. В этом проявилась особенность неразделяемого массового развития
всего состава, математики и относительность, искусственность ее деления на
элементарную и высшую, на различные дисциплины и т. д. Не надо никогда забывать,
что выделение одной из сторон, ветвей математики хотя-и облегчает-ее изучение,,
но обедняет, огрубляет общую картину развития всей совокупности математических
знаний. Вопрос о связях и взаимодействиях как внутри, так и вне математики
остается коренным вопросом всей математики, особенно в случаях, когда речь идет
о ее логической структуре или об ее истории.
стр. 7.
И. Ньютон. Всеобщая арифметика. М.-Л,, Изд-во АН СССР, 1948,
ПРОЦЕСС СОЗДАНИЯ МАТЕМАТИКИ ПЕРЕМЕННЫХ ВЕЛИЧИН
5,1. НАЧАЛО ПЕРИОДА МАТЕМАТИКИ ПЕРЕМЕННЫХ ВЕЛИЧИН
В истории науки математика XVII в. занимает особое, весьма значительное, место.
XVII в. открывает новый период - период математики переменных величин.
К концу предыдущего, XVI, столетия алгебра, тригонометрия, геометрия, а также
приемы вычислений накопили достаточно много фактов и достигли такого состояния,
что стали существенной частью технического и общенаучного прогресса. В течение
XVII в. математические методы продолжали весьма энергично внедряться в
естествознание, прежде всего в механику. Так, в 1632 и 1638 гг. Галилей дал
математическое выражение законов падения тел, несколько ранее (1609-1619) Кеплер
открыл и математически сформулировал свои знаменитые законы движения планет. К
1686 г. Ньютон смог сформулировать и убедительно продемонстрировать закон
всемирного тяготения: законы движения планет объясняются притяжением их к Солнцу
с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния и прямо пропорциональной
их массам. Законы притяжения оказались универсальными для любых тел, массу
которых можно представить сосредоточенной в центре. Большинство ученых работали
во многих областях науки, они пытливо изучали природу, отыскивали ее законы и не
особенно заботились о разграничении наук.
Успехи в выявлении и математическом оформлении столь многих естественнонаучных
закономерностей привели к созданию системы наук о природе - математического
естествознания. Последнее представлялось в виде общей науки, которая объясняла
отдельные явления действием общих, математически сформулированных законов
природы. Философская идея универсальности математического метода, отражающая
быстрое развитие техники и математики, довлела над умами крупнейших ученых и
философов XVII в. (Декарт, Спиноза, Лейбниц, Ньютон).
Каждый новый успех математического естествознания вызывал резкое повышение
спроса на приложения математической теории. Математика во все времена
развивалась под определяющим влиянием практики и в конечном счете технического,
материального прогресса. В XVII в. математическое творчество ученых протекало в
атмосфере высокого давления практических обстоятельств.
В течение этого столетия изменились формы существования математики. На смену
энтузиастам-одиночкам пришли научные организации. С 1662 г. начало свою
деятельность Лондонское королевское общество, играющее и ныне роль национальной
Академии наук. В 1666 г. организована Парижская академия. Тем было положено
начало эпохе организации научных учреждений и обществ, ставших плодотворной
формой коллективного труда ученых при государственном покровительстве наукам.
Переписка ученых и появлявшиеся изредка книги не удовлетворяли требованиям
научного общения. В XVII в. было положено начало периодике. С 1665 г. в Лондоне
выходят "Philosophical Transactions"; одновременно в Париже появился "Journal
des S^a" vans" (существовал до 1792 г.); в 1682 г. в Лейпциге был основан
Лейбницем журнал "Acta Eruditorum" (существовал до 1731 г.).
Изменение практического положения, идейных основ и организационной структуры и
роли математики происходило наряду с глубокими качественными изменениями в ее
содержании. Изучение чисел, постоянных величин, фигур дополняется изучением
движений и преобразований, функциональных зависимостей. Меняется внутреннееТаким же
образом выразим через х и у линии CF, СЯ, подставим в условие CF-CH=2BC-CD и
получим уравнение искомого геометрического места F(x, y)=0.
Декарт скупо поясняет, что геометрическое место в случае трех и четырех прямых
представляет собой коническое сечение. В случае, когда число прямых п"4, Декарт
устанавливает, что для 2п или 2п - 1 прямых уравнение геометрического места
имеет степень=/г относительно двух переменных х и у. Задача Паппа относительно
пяти прямых оказывается разрешимой циркулем и линейкой, или, по терминологии
Декарта, плоской задачей. Такой же задача оказывается и для шести прямых, но
Декарт этого не отметил V
Вторая книга "Геометрии" названа: "О природе кривых линий". Она посвящена более
подробному рассмотрению кривых
1 См. Г. Г. Цейтен. История математики в XVI ГТТИ, 1933, стр. 204.
и XVII. веках. М,
F D г. /? Н
у
X
В Е Р М ft ис. 8 J
различных порядков, их классификации и выявлению их свойств. Все кривые Декарт
делит на два класса в зависимости от того, возможно ли провести их исследование
средствами, которыми располагал Декарт. В соответствии с этим в математику
оказалось возможным допускать лишь такие кривые, которые описываются непрерывным
движением (циркулем или линейкой) или же несколькими такими последовательными
движениями, из которых последующие вполне определяются им предшествующими.
Остальные кривые получили название меха" .
нических (позднее у Лейбница трансцендентных) и были исключены из класса
допустимых кривых., Их свойства могут быть открыты лишь случайно благодаря
'Специфическим (приемам, не носящим систематического характера.
Все допустимые кривые, таким образом, могут быть построены с помощью некоторого
шарнирного механизма. Относительно них без доказательства высказано утверждение,
что они выразимы алгебраическими уравнениями. Тем самым Декарт -предвосхитил
одну из главных теорем кинематики механизмов (доказанную в 1876 г. Кемпе),
гласящую, что с помощью плоских шарнирных' механизмов, в которых движение
(первых звеньев полностью определяет движение остальных, можно описывать дуги
любых- алгебраических кривых и нельзя описать ни одной трансцендентной.
Декарт мимоходом бросает замечание, что степень уравнения кривой инвариантна,
относительно выбора системы прямолинейных координат. Но гипноз принципа
построения кривых только с помощью шарнирных механизмов слишком владеет
Декартом. Поэтому в основу классификации кривых он кладет не порядок уравнения,
а число звеньев шарнирного механизма. В силу этого принципа кривые оказываются
разделенными по родам (genre), причем к га-му роду относятся кривые порядка 2п-1
и 2/г. Этот неудобный принцип был заменен только Ньютоном, который ввел
классификацию кривых по степеням уравнений.
Декарт еще не в силах построить общую теорию кривых рода . Но для демонстрации
силы и универсальности своего метода он вновь возвращается к задаче Паппа,
исследуя частные ее случаи. Например, пусть задача Паппа поставлена для пяти
прямых (см. рис. 35): четыре - параллельны и эквидистантны (FG,. DEf В А, Я/),
пятая перпендикулярна к ним (GA). Найти С такую,, что CF.CD.CH=CB.CM-AJ.
Положим: СМ = х\
тогда CF == 2а - у,
CB = y- CD = a-y
Уравнение искомого геометрического места
(2а - у) (а - у) (а + у) = аху, или у* - 2а*у2 --"- а*у + 2а8 = аху.
Для фактического построения данной кривой Декарт применяет специальный прием,
рассматривая точки пересечения движущихся параболы и прямой 1.
Значительную часть второй книги составляют теоремы о проведении нормалей и
касательных к алгебраическим кривым. Свой метод ("метод нормалей") Декарт
распространил на конические сечения: и на* так называемые декартовы овалы. Он
подчеркивал значение высказанных теорем для оптики. Мы рассмотрим этот "метод
нормалей" ниже.
Книгу замыкает предложение о возможности распространения метода Декарта на
трехмерный случай. Высказывается при этом идея представления пространственной
кривой с помощью проектирования ее на две взаимно перпендикулярные плоскости,
общая прямая которых является одной из осей координат,, Однако эта идея
оказалась у Декарта одиночной, неразвитой; к тому же в его рассуждения вкралась
ошибка. Он, в этом единственном предложении аналитической геометрии в
пространстве, утверждает, что проекции нормали к пространственной кривой
..являются нормалями к проекции кривой, что неверно даже для плоской кривой, не
говоря уже о наличии в общем случае целой нормальной плоскости. Нет у Декарта и
речи о трех координатах точки в пространстве и об уравнениях поверхностей.
Задача третьей книги: "О построении телесных, или превосходящих телесные, задач"
- построение общей теории решения уравнений и использование для этого наряду с
алгебраическими средствами геометрических мест. Алгебраическая символика Декарта
уже несущественно отличается от современной. Всякое уравнение мыслится
приведенным к виду Рп(х)=0, где Рп(х) - полином с целыми коэф!фициентами,
расположенный по убывающим степеням неизвестного х. Из рассмотрения проблемы
делимости Рп(х) на х - а, где а - корень уравнения, Декарт делает глубокий
вывод, что число корней уравнения равно числу единиц в наивысшем показателе
степени х2. Он при этом учитывает корни действительные (положительные), ложные
(отрицательные) и те, которые можно вообразить (мнимые и комплексные).
Доказательства этого вывода он дать еще не может. Еще много лет не могли дать
доказательства и другие ученые. Только в 1797 г. это смог сделать Гаусс.
1 См. Г. Г. Ц е и т е н. УК. соч., стр. 206.
2 Аналогичные идеи несколько раньше Декарта высказал А. Жирар в со-сочинении
"Invention nouvelle en 1'Algebre". Amsterdam, 1629.
Декарт показал, что уравнение имеет столько положительных корней, сколько
знакоперемен в ряду коэффициентов, и столько отрицательных - сколько повторений
знака. Он ввел также приемы преобразования коэффициентов уравнения, чтобы
добиться необходимого изменения его корней: увеличения, уменьшения или изменения
знака. •
Замечательной по глубине замысла является постановка проблемы приводимости, т.
е. представления целой рациональной функции с рациональными коэффициентами в
виде произведения таких же функций. Декарт показал, что уравнение 3-й степени
решается в квадратных радикалах (с помощью циркуля-и линейки)", лишь если оно
приводимо. Вопрос о приводимости уравнения 4-й степени он свел к вопросу о
приводимости его кубической резольвенты. Если дано уравнение x*-\-px2+qx+r=Q, то
его можно записать в виде
где вспомогательное у определяется из уравнения + (р2 - 4г)у2- *72=0,
кубического относительно у2.
Декарт не дает этому утверждению доказательства, Из комментариев к "Геометрии",
составленных Ф. Скоутеном \(1615- 1660), профессором математики в Лейдене,
горячим приверженцем Декарта, можно сделать вывод, что при этом применялся:
метод неопределенных коэффициентов. Скоутен рассматривает уравнение я4 - рх2 -
qx-}-r=Q и записывает его в виде (х2 -\-yx-\~-+z) (х2 - yx+v)=Q. Приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях х, он, для определения у, z, v, получает
уравнения
z - у2 + v = - р;
vz = г; г/6 - 2/н/4 + (р2 - 4г)*/2 - "/2-0.
Решение уравнений 3-й и 4-й степени геометрическими средствами у Декарта
сводится к задачам о построении (вставке) двух средних пропорциональных и о
трисекции угла. Подобно арабским математикам, но, по-видимому, совершенно
самостоятельно, Декарт практически решает эти уравнения с помощью пересечения
двух конических сечений. Затем он распространил этот метод на уравнения третьего
рода (5-й и 6-й степени), подбирая пересечения окружности и движущейся
специальным образом подобранной
П. Ферма (1601-1665)
кривой. Замечания Декарта о решении подобным методом уравнений степени п"6 не
оказались достаточно ясными, чтобы о них говорить определенно.
Таково содержание "Геометрии" Декарта - первого сочинения по аналитической
геометрии, сыгравшего огромную роль в дальнейшем развитии математики XVII в.
Аналитическая геометрия Декарта имела еще много недостатков. Прежде всего,
область этой науки была еще чрезмерно сужена априорными требованиями,
проистекающими скорее из философских источников, чем из потребностей метода,
ограничена только алгебраическими кривыми. Неудачной оказалась классификация
алгебраических кривых по жанрам .(родам), а не по степеням уравнений, их
выражающих.
Декарт не довершил проникновения в геометрию алгебраического аппарата, не
распространил свой метод на изучение свойств кривых по свойствам соответствующих
уравнений. Координатные оси в "Геометрии" еще неравноправны; проводится только
одна ось, а другая координата восстанавливается по мере необходимости. Поведение
кривой изучается только в первом: квадранте, остальные квадранты не учитываются.
Однако ("Геометрия" Декарта означала шаг "принципиального значения в перестройке
математики, что сделало это сочинение классическим:.
Переворот во взаимоотношении алгебры и геометрии и взаимное проникновение их
методов с помощью метода координат представляли в математике явление
революционное. Подобные перевороты никогда в истории не делаются одним
человеком. Так и появление аналитической геометрии не было заслугой одного
Декарта,, При этом речь идет не только о тех современниках, в работах которых в
неразвитом виде содержались те или иные идеи, подхваченные и переработанные
Декартом. Таких современников было много. Мы имеем в виду то, что одновременно с
Декартом аналогичную систему взглядов развил в специальном сочинении французский
математик П. Ферма (1601-1665).
Ферма происходил • из семьи торговца, проживавшей на юге Франции. Окончил
университет в г. Тулузе по юридическому факультету. С 1631 г. до конца жизни
занимался в Тулузе юридической деятельностью, будучи советником местных органов
управления. Математикой занимался в свободное время. Был знатоком современной
математики- и классических сочинений древних. Получил выдающиеся результаты в"
теории чисел, геометрии, методах оперирования с бесконечно малыми, оптике.
Ферма, не любил печатать свои сочинения, а сообщал о своих достижениях в научной
переписке и при личном общении и дискуссиях со многими выдающимися учеными.
Поэтому подавляющее число работ Ферма было опубликовано лишь после его смерти, в
1679 г., и позднее.
Идеи аналитической геометрии, т. е. введение прямолинейных координат и
приложение к геометрии алгебраических методов, сосредоточены в небольшом
сочинении Ферма "Введение в теорию плоских и пространственных мест", ставшем
известным с 1636 г., но напечатанном вместе с другими сочинениями в 1679 г.
Исходными пунктами этой работы явились сочинения древних, особенно Аполлония, по
изучению геометрических мест. Те геометрические места, которые представлялись
прямыми или окружностями, назывались плоскими, а представляемые коническими
сечениями - пространственными. Задачей Ферма' было показать, что уравнениям 1-й
степени соответствуют прямые, а коническим сечениям - уравнения 2-й степени.
Метод координат вводится так же, как у Декарта: задается одна ось - ось абсцисс,
на ней откладываются от выбранного
начала отрезки, соответствующие значениям одной переменной. Значения другой
переменной, также изображаемые отрезками, восстанавливаются из конца первого
отрезка под выбранным для данной задачи углом (чаще всего прямым). Затем Ферма
выводит уравнения прямой, окружности и всех конических сечений.
Вначале'он доказывает, что уравнение прямой, проходящей через начало координат,
будет иметь вид ах=Ъу. Затем последовательно выводятся: уравнение окружности в
прямоугольных координатах с центром в начале координат; гиперболы, отнесенной к
асимптотам; параболы, отнесенной к диаметру и касательной в конце его; эллипса
(гиперболы) в случае, когда осями будут сопряженные диаметры.
Замечательно^ что Ферма рассматривает задачу и с другой стороны. Он исследует
общие виды уравнений 1-й и 2-й степени, преобразованием: координат (перенос
начала и поворот оси) приводит их к каноническим фермам, облегчая тем самым их
геометрическое толкование. Например, пусть дано уравнение 2я2+2.я#+ +у2=а2.
Перепишем его в виде ('#+#)2+*2=Д2. Выберем_новые' оси: x+y=Q, x=Q. Новые
координаты будут: хг = х]/2 ; у^ =
2л2 - х?'
=х+у. Новое уравнение----------= 2. По Аполлонию, замечает
У\
Ферма, эта кривая - эллипс, отнесенный к сопряженным диаметрам.
Распространение аналитической геометрии на изучение пространственных
геометрических мест Ферма проводит путем изучения пересечений поверхностей
плоскостями. Однако пространственные координаты и у него еще отсутствуют, а
аналитическая геометрия в пространстве остается незавершенной.
"Введение" Ферма показывает, что он, по-видимому, последовательнее Декарта
внедрял координатный метод, особенно приемы преобразования координат, и не был
стеснен априорными соображениями, ограничивающими возможности его методов.
Однако это сочинение не оказало на математику столь значительного влияния, как
декартова "Геометрия". Причин этому было две. Во-первых, "Введение" было
напечатано очень поздно, а до этого времени было известно лишь узкому кругу
корреспондентов Ферма. Во-вторых, оно было изложено тяжеловесным,
затруднительным для понимания языком алгебры Виета.
Ферма понимал, что он находится только в самом начале исследований новой
математической дисциплины. Но он добавлял: "И все же мы не раскаиваемся в
написании этого преждевременного и не вполне зрелого сочинения. Действительно,
для науки представляет некоторый интерес не утаивать от последующих поколений
еще неоформившиеся плоды разума; и благодаря новым открытиям науки первоначально
грубые и простые идеи как укрепляются, так и множатся. И в интересах самих
изучающих соста150
вить себе полное представление как о сокращенных путях разума, так и о
самопроизвольно развивающемся искусстве"].
Дальнейшее развитие аналитической геометрии показало, что идея Декарта о едином
методе, в котором соединятся методы алгебры и геометрии, осуществилась не так,
как это ему представлялось. Аналитическая геометрия вошла в систему
математических дисциплин, не поглотив алгебру. Последняя продолжала
самостоятельное развитие, превращаясь в общую теорию уравнений. Что же касается
аналитической геометрии, то в первые 50- 70 лет после появления она только
переживала период утверждения и признания в обстановке горячих споров о
правомерности, удобствах и возможностях ее методов. Факты этой науки
накапливались вначале медленно. К 1658 г. был решен вопрос о полукубической
параболе, в чем приняли участие В, Нейль (1637--1670), Г. ван Гейрат (род. 1633
г.) и Ферма,, В 1679.г. Ф. Лагир (164Q--17.18) впервые нашел способ писать
уравнения поверхностей. Тем не менее только к 1700 г. А, Паран (1666-1716) смог
вывести уравнение сферической поверхности и касательной плоскости к ней. В
систематической форме использовал и несколько развил аналитическую геометрию И,
Ньютон в сочинении "Перечисление кривых 3-го порядка"!(1704).
Облик, близкий современному, придал аналитической геометрии Л. Эйлер, посвятив
этому второй том "Введения в анализ" (1748). Ему предшествовал только Клеро
(1713-1765), распространивший аналитическую геометрию на трехмерное пространство
с помощью введения трехосной прямолинейной системы координат. Название -
аналитическая геометрия - впервые ввел французский математик академик С. Ф.
Лакруа (1764-1848) в конце XVIII в.
Появление в математике аналитической геометрии существенно облегчило
формирование анализа бесконечно малых,, С другой стороны, она стала необходимым
средством построения механики у Ньютона, Лагранжа и Эйлера, весьма эффективным
при решении многих задач математического естествознания. В математике XVII в.
возникновение аналитической геометрии знаменовало появление возможностей для
создания анализа переменных величин. Эти возможности вскоре были реализованы,
так как наиболее важные задачи были ^как мы увидим ниже) таковы, что вызывали
острую необходимость срочного перехода к • открытию методов и общих теорий
математического анализа.
5.3. НАКОПЛЕНИЕ ИНТЕГРАЦИОННЫХ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ МЕТОДОВ
Появление анализа бесконечно малых было завершением дли-тельного процесса,
внутриматематическая сущность которого со1
П. Ферма. Введение в изучение плоских и телесных мест. В кн.: Р. Декарт.
Геометрия. М.-Л., ОНТИ-ГТТИ, 1938, Приложение, стр. 147.
стояла в накоплении и теоретическом осмысливании элементов дифференциального и
интегрального исчисления и теории рядов. Для развития этого процесса к XVII в.
сложились существенные предпосылки: наличие сложившейся алгебры и вычислительной
техники; введение в математику переменной величины и координатного метода;
усвоение^ инфинитезимальных идей древних, особенно Архимеда; накопление методов
решения задач на вычисление квадратур,, кубатур, определения центров тяжести,
нахождение касательных, экстремалей и т. д.
Побудительными причинами этого процесса были в первую очередь запросы механики,
астрономии, физики. Эти науки не только предъявляли к математике требования
решения того или иного класса задач. Они обогатили ее представления о
непрерывных величинах и непрерывных движениях,, о существе и видах
функциональных зависимостей, В тесном взаимодействии математики и смежных наук
вырабатывались инфинитезимальные методы - основа математики переменных величин.
В решении задач такого рода, в поисках оби{их методов их решения, а
следовательно и в создании анализа бесконечно малых, принимали участие многие
ученые: Кеплер" Галилей, Кавальери, Торричелли, Паскаль, Валлис, Роберваль,
Ферма, Декарт, Барроу и многие другие., Создание элементов математического
анализа представляло собой многосторонний творческий труд большого числа ученых,
Для удобства изучения этого сложного процесса разделим методы, содержащие
крупицы анализа бесконечно малых, на две группы: сначала рассмотрим те из них, в
которых проявляются элементы позднейшего интегрального исчисления; их мы назовем
интеграционными. Затем речь пойдет о дифференциальных методах, т. е. методах
решения задач на определение касательных и т. п., - тех, что решались позднее
средствами дифференциального исчисления. Открытие связей интеграционных и
дифференциальных методов оказалось тем решающим этапом, после которого сразу
началось формирование математического анализа.
Интеграционные методы. Вначале эти методы вырабатывались, накапливались и
выделялись в ходе решения задач на вычисление объемов, площадей, центров
тяжестей и т. п. Задачи Архимеда пересматривались вновь и вновь, изучались его
инфинитезимальные методы, выяснялись их математические возможности.
Интеграционные методы слагались в то время как методы определенного
интегрирования. Процесс формирования и внедрения в математику этих методов был
очень бурным и быстрым; уже через 50-60 лет со времени появления первой работы
он привел к образованию интегрального исчисления.
Самым ранним по времени опубликования методом этого типа был метод
непосредственного оперирования с актуальными бесконечно малыми величинами.
Появился он в 1615 г. в сочинениях Кеплера.
И. Кеплер (1571-1630)
Иоганн Кеплер (1571-1630), уроженец Вюртемберга - одного из многочисленных в ту
пору немецких государств, - выдающийся астроном и математик. Он посвятил
практически всю свою жизнь изучению, развитию и пропаганде гелиоцентрической
системы Коперника. Анализируя огромный материал астрономических наблюдений, он в
1609-1619 гг. открыл законы движения планет, носящие его имя: 1) планеты
движутся по эллипсам; Солнце находится в одном из его фокусов; 2) радиусывекторы
планет "заметают" за равные промежутки времени равные секториальные
площади (см. рис. 36); 3) квадраты времен обращения планет
Рис. 36
вокруг Солнца относятся как кубы их средних расстояний до Солнца.
Формулировка этих законов показывает, что для математического доказательства их
справедливости недостаточно владения известной в то время вычислительной
техникой, знания конических сечений и алгебраических оредств. Задача вычисления
секториальных площадей требовала умения пользоваться бесконечно малыми
величинами. Этого умения требовали и другие задачи• практического характера. И
вот по поводу одной из таких практических задач Кеплер изложил свой метод
яснольз ов а кия бескрнеч но малых величин.
Речь идет об отыскании наиболее целесообразной формы бочек и о способах
измерения их вместимости. Сочинение, посвященное этой проблеме, так и
называется: "Новая стереометрия винных бочек, преимущественно австрийских, как
имеющих самую выгодную форму и исключительно удобное употребление для них
кубической линейки с присоединением дополнения к архимедовой стереометрии"
(Линц, 1615). Состоит оно, не считая предварительных замечаний, из трех частей:
часть теоретическая, специальная стереометрия австрийской бочки, правила для
измерения вместимости бочек. Для нас наибольший интерес представляет
теоретическая часть. Начинается она со "Стереометрии правильных кривых тел". Это
- просто пересказ сочинения Архимеда "О шаре и цилиндре". Кеплер принимает
античный метод исчерпывания, которым пользовался Архимед, называет его глубоким,
но отбрасывает заключительный этап приведения к противоречию. Он хочет разгадать
замысел Архимеда, который привел того к получению столь замечательных
результатов, освободить его от наслоений, вызванных формальными требованиями
строгости. Этот замысел, по мнению Кеплера, состоит в том, что любая фигура или
тело представляется в виде суммы множества бесконечно малых частей. Круг,
например, состоит из бесконечно большого числа бесконечно узких секторов, каждый
из которых может рассматриваться как равнобедренный треугольник. Все
треугольники имеют одинаковую высоту (радиус круга), а сумма их оснований равна
длине окружности. Таким же образом шар оказывается составленным из бесконечного
множества конусов, вершины которых сходятся в центре шара, а основания образуют
поверхность шара.
Метод суммирования актуально бесконечно малых Кеплер распространяет и на другие
несложные геометрические фигуры и тела (конусы и цилиндры) и их части,
рассмотренные Архимедом.
В некоторых случаях он еще дальше отходит от строгости изложения, вводя
интуитивные соображения. Например, доказано, что боковая поверхность вписанного
конуса_ относится к площади основания (большому кругу шара) как 1/2 : 1; эта
поверхность вдвое меньше боковой поверхности описанного конуса. И вдруг Кеплер
пишет: "Весьма правдоподобно, что поверхность полусферы есть среднее
пропорциональное между поверхностями (боковыми. - /С. Р.) обоих конусов"1.
Справедливости ради заметим, что в большинстве высказываний об интуитивной
правдоподобности результата или других рассуждений Кеплер отсылает к Архимеду,
который "это доказывает со всей строгостью".
От правильных кривых тел Архимеда Кеплер переходит к изучению тел, образованных
вращением круга около прямой, не проходящей через его центр, а также вращением
других конических сечений (рис. 37). Всего он рассмотрел 92 вида тел вращения,
называя их по внешнему виду лимонами, яблоками, вишнями, турецкими чалмами и т.
п. и даже вообще желваками,
Метод вычисления объемов тел вращения
R
Рис. 37
Рис. 38
и их частей был у Кеплера единым. Во-первых, изучаемое тело делилось на
бесконечное число единиц, "ломтей", занимающих равноправные положения в теле.
Эти части перегруппировывались, образуя другое тело, объем которого можно
вычислить. Если оказывалось невозможным провести непосредственное суммирование,
то они предварительно заменялись другими частями, эквивалентными данным.
Разъясним этот метод на двух примерах.
В теореме 18 Кеплер доказал, что всякое кольцо кругового или эллиптического
сечения равновелико цилиндру, высота которого равна длине окружности,
описываемой центром сечения, а
1 И. Кеплер. Стереометрия винных бочек стр. 123.
М., ОНТИ-ГТТИ, 1935.
основание - сечению кольца. Метод доказательства: кольцо (тор) рассекается на
доли плоскостями, проходящими через центр тора перпендикулярно поверхности.
Каждый разновысокий ломтик заменяется цилиндриком с тем же основанием и с
высотой, равной
среднему арифметическому наибольшей и наименьшей высоты, Столбик -из этих
цилиндриков дает наглядное доказательство теоремы. Далее Кеплер обсуждает
возможные обобщения, связанные с формой сечения кольца, приходя к выводу, что
теорема, верна для всех сечений, симметричных относительно вертикали,
проведенной через центр сечения.
Второй пример более сложен. В нем речь идет об определе-'' нии объема яблока, т.
е. тела, образованного вращением вокруг хорды сегмента, большего, нежели
полукруг, а также частей яблока.
Кеплер представляет яблоко 'Состоящим из долек, образованных меридиональными
сечениями и имеющих общий отрезок MN (рис. 38). Развернув экватор яблока в
прямую DS, Кеплер перераспределяет ломтики, деформируя их без изменения объема.
Образуется цилиндрическое тело MNSD, которое можно представить отсеченным от
цилиндра,, основанием, которого является круг, образующий яблоко, а высота равна
длине окружности радиуса AD. Объем этого тела равен объему яблока,,
Тот же результат получается, если яблоко представляется раз- " деленным: не на
элементарные меридиональные дольки, а на концентрические цилиндрические слои"
имеющие осью MN - своеобразные "стружки". Развернув каждую стружку
перпендикулярно плоскости DMN, Кеплер получил совокупность бесконечно тонких
прямоугольников, составляющих упомянутое цилиндрическое тело (например,
прямоугольник JKad).
Теперь можно перейти к определению объема пояса яблока - той его части, которая
остается после извлечения из него сердцевины, т. е. цилиндрической части,
имеющей MN своей осью. Если пояс образован, например, сегментом //CD, то он
равновелик части LSDO цилиндрического тела. Эта часть в свою очередь состоит из
двух частей: цилиндрического сегмента VTDO и тела VLST. Последнее Кеплер
рассматривает как разность двух тел: VLST= = GLST-GLV.
Так как точка G является центром круга, тело GLST оказывается равновеликим шару
того же радиуса, что и заданный. Поэтому тело VLST трактуется как шаровой пояс,
образованный тем же сегментом //CD.
Эти соображения и лежат в основе теоремы 20: )"Пояс яблока составляется из пояса
сферы и прямой части цилиндра, основанием которой служит сегмент, недостающий
(до полного круга) на вращающейся фигуре, образующей яблоко, а высотой - длина
окружности, описанной центром большого сегмента".
В конце доказательства Кеплер поместил в качестве добавления правило для
вычисления объема яблока и его сферического
пояса. Методы Кеплера в определении объемов тел вращения, разумеется, были
нестрогими. Это было ясно и ему самому и его современникам. Вокруг кеплеровских
суммирований актуально бесконечно малых разгорались споры. Как и во все эпохи,
не было недостатка в придирчивых критиках. Ученик Виеты шотландец А. Андерсон
выпустил даже специальное сочинение "В защиту Архимеда" (1616, через год после
выхода, в свет рассматриваемого сочинения. Кеплера), где обвинял Кеплера в
оскорблении памя-. ти Архимеда.
Тем не менее плодотворность суммирования элементов, вычитанная у Архимеда
Кеплером, была очевидной. Первая же попытка- создать регулярный алгоритм
оперирования с бесконечно малыми стала весьма популярной. Многие ученые
посвятили свои работы усовершенствованию оперативной стороны этого предприятия
и'рациональному разъяснению возникающих при этом понятий. Наибольшую известность
приобрела геометрия неделимых,, изобретенная Кавальери.
Бонавентура-Кавальери (1598-1647), ученик. Г. Галилея,, происходил из знатного
рода. Монашеская карьера сочеталась в его жизни с научной и преподавательской
деятельностью по математике. С 1629 г., по рекомендации Галилея, он занял,
кафедру математики в Болонье, будучи, одновременно настоятелем католического
монастыря ордена иеронимитов. Прекрасный знаток, античных авторов, он в то же
время глубоко изучал высказанные Галилеем и Кеплером идеи создания исчисления
неделимых. Кавальери написал ряд сочинений по астрономии, технике вычислений,
коническим сечениям, тригонометрии. В1632 г. он опубликовал 11-знач-ные таблицы
логарифмов тригонометрических функций. Но делом его жизни, имевшим наибольшее
значение для развития математики, был метод неделимых, задуманный как.
универсальный метод геометрии,
Идея рбщегометода нед&щмых была впервые высказана Б. Кавальери~ТП621 г.
'ЕГрукопйси, представленной им при за^ня-тии профессорской должности в 1629 г.,
уже имеет место систематическое применение неделимых.
Итогом многолетнего усовершенствования метода неделимых явилась книга
"Геометрия, изложенная новым способом при помощи неделимых непрерывного" (1635,
2 изд., 1653)., Этому же предмету была посвящена книга Кавальери "Шесть
геометрических опытов" (1647).
Метод неделимых был изобретен для определения размеров плоских фигур и тел. Как
фигуры, так и тела представляются составленными из элементов, имеющих
размерность на единицу меньше. Так, фигуры состоят из отрезков прямых,
проведенных параллельно некоей направляющей прямой, называемой регула. Этих
воображаемых отрезков бесконечно много. Они заключены между двумя касательными,
имеющими название парных. Каса157
Б. Кавальери (1598-1647) Памятник Кавальери, поставленный в Милане в 1844 г. в
память двухсотлетия выхода в свет его "Геометрии"
тельные параллельны регуле; за регулу может быть принята одна из них.
В геометрических телах неделимыми являются плоскости, параллельные некоторой
плоскости, избранной в качестве регулы.
Их тоже бесконечно много; границами их совокупности служат две парные
касательные плоскости, параллельные регуле, Часто одна из них избирается в
качестве регулы.
Идею своего метода Кавальери образно выражал, предлагая читателям представить
паука, непрерывно ткущего геометрию из неделимых.
Совокупность всех неделимых, вводимая Кавальери, по существу вводит понятие
определенного интеграла. Однако логические
/7 В С
/ S/ 7" •^7v
х~а
х=Ь
Рис,. 39
трудности, связанные с пониманием неделимого, составления площадей из линий, не
имеющих ширины, и тел из бесконечно тонких плоскостей и т. п. не дают еще
возможности судить о совокупностях, всех неделимых. Поэтому Кавальери вынужден
рассматривать отношения тел и фигур, ограничиваясь случаями, когда, отношения
неделимых постоянны. Таким образом, сущность геометрии неделимых Кавальери можно
сформулировать так: плоские, фигуры и тела относятся друг к другу, как все их
неделимые, взятые вместе; если неделимые находятся в одном и том же отношении
друг к другу, то отношение площадей соответствующих фигур (или объемов тел)
равно этому отношению.
Эти утверждения практически эквивалентны современным умозаключениям типа: даны
две фигуры, ограниченные на нашем чертеже (рис. 39) осью х, прямыми х = а и х=Ь
и соответственно y\=fi(x )и #2=/2 (*). Отношение площадей
k=\
ъ
1 ы*"
/2 (х) dx
Если
У ik
= а = const для любого yfe, то и
= k
Кавальери рассматривал и отношения степеней неделимых. Например, он ввел
совокупность квадратов неделимых и доказал теорему; сумма квадратов неделимых
параллелограмма втрое больше суммы квадратов неделимых треугольника,
образованного в результате проведения диагонали. Введем дли краткости
обозначения: ' ЛС = а, RT=x, TV=y, RS = - - Ь, ST^z. Тогда
x=b + z, y=b-z и сумма квадратов частей неделимых ;
= 2b2 + 2'z2. Суммируем все неделимые, обозначив сумму квадратов
неделимых символом [ ] (рис. 40):
{ЛЕС] + [CGE] = 2 [ABFE] + 2 [ВСМ] + 2 [РЕМ].
Заметим, что
[ЛЕС] = [CGE] [ABFE] = - [ACGE]\
[ВСМ] = [РЕМ] = - [ЛС?1,
что нетрудно, понять, вообразив над каждым линейным элементом квадрат и
рассматривая их совокупности. Следовательно,
{АСЕ] = - {ACGE} + - [АСЕ] + - [АСЕ]\ 4 8 " 8
[ЛС?] = 4- [ACGE].
О
В переводе на язык интегрального исчисления Кавальери доказал, что
или иначе:
lim
Г x*dx = - *(a?
П3
Эту теорему Кавальери сумел обобщить на случай суммирования более высоких
степеней неделимых, вплоть до 9-й, решив таким образом группу задач,
эквивалентных вычислению определенных
а
интегралов вида f xndx для п - 1, 2, ... ,9. То, что у Кавальери
о
рассматриваются не выражения, эквивалентные интегралам, а их отношения, дела
принципиально не меняет. Достаточно выбрать
___ ч 1 я с К J) \ Е \
/ 1
г R I R С Рис. 41
в качестве единого знаменателя интеграл, соответствующий сумме
неделимых.
Другим обобщением, метода являлось введение криволинейных
неделимых.
Метод неделимых позволил решить множество трудных задач, ранее не поддававшихся
решению. У него появились горячие приверженцы, Один из них, Е. Торричелли,
писал, что новая геометрия неделимых переходит из рук одних ученых к другим, как
чудо науки; она, по мнению Торричелли, убедила мир*, что века. Архимеда и
Евклида были годами детства ныне взрослой геометрической науки. Торричелли,
активно работавший методами Кавальери, первый сумел определить объем тела,
образованного вращением ветви гиперболы вокруг одной из своих осей.
Однако у этого метода были свои недо.....
статей,. Во-первых, он был непригоден для • измерения длин кривых, так как
соответствующие неделимые (точки) оказывались безразмерными. Во-вторых,
невыясненность j" понятия неделимого, невозможность его рационального объяснения
создавала для всей теории атмосферу необоснованности. В-третьих, развитие метода
сильно задерживалось из-за того, что Кавальери, в соответствии со сложившимися в
его время представлениями о научной, строгости, избегал применять
символику и приемы алгебры.
Тем не менее определенное интегрирование в форме геометрических квадратур в
первой половине XVII в, уже зарекомендовало себя. Все усилия отныне были
направлены на уточнение его и на достижение возможно более общих результатов.
Паскаль (1623-1662), например, рассматривал квадратуры в форме, близкой той,
которая употребляется Кавальери. Попытка уточнения состоит в том, что сумму всех
неделимых он понимал как сумму элементарных площадок, образуемых бесконечно
близкими одинаково отстоящими друг от друга ординатами, ограниченными отрезком
оси абсцисс и кривой (т. е. сумму вида 2 ydx). В ряде задач он вводил сумму всех
синусов, определяя ее как сумму произведений ординат на элементы дуги (2yds),
которая в случае ^ окружности единичного радиуса оправдывает свое название
(Ssirupdicp). При помощи этого геометрического эквивалента определенного
интегрирования Паскаль сумел решить много задач на определение площадей,
объемов, статических моментов и т. д.
В случае, когда речь идет о сумме синусов, Паскаль высказал мысль, сыгравшую
впоследствии большую роль в истории математики. Он ввел вспомогательный
треугольник ?/(?, подобный AAD/ (рис. 41), и сохранил его в своих рассуждениях
даже тогда, когда расстояние между двумя соседними ординатами бесконечно мало:
К- А. Рыбников
EKE-A ADI;
ЕЕ КЕ
AD ID
или в более привычных нам обозначениях: yds^rdx. Последующая теорема Паскаля:
сумма синусов какой-нибудь дуги четверти круга равна отрезку основания'между
крайними синусами, умноженному на радиус, легко переводится на язык
интегрального исчисления.
S X
В самом деле: ( yds =r f dx. Так как #=гсозф, х= г sirup, $==Гф;
то
или
7 Т
f r cos ф d (г ф) = г Г d (r sin
| cos ф Ар = d (sin ф) == sin ф. о о
По признанию Лейбница, треугольник Паскаля послужил ему прообразом
дифференциального треугольника, составленного из дифференциалов dx, dy, ds.
Важное усовершенствование, геометрических квадратур было проделано Ферма,
который ввел деления квадрируемой площади ординатами; отстоящими друг от друга
на неравных расстояниях. Это дало ему возможность распространить способы
вычисления
"а
выражений, эквивалентных ( xPdx, на случай? когда п - дробное
6 и отрицательное. •
;У JL Пусть, например, речь идет о вычислении интеграла } х v dx,
о
где р"0, "7"0. В формулировке Ферма речь идет о квадрировании площади,
образованной отрезком оси абсцисс [0, х], двумя крайними ординатами и кривой,
уравнение которой x"* = yv. Интервал интегрирования делится на отрезки точками с
координатами: х, ах а2 я, ..., где а"1. Последующие операции состоят в
вычислении последовательно: Ах, у, уАх, %уАх и переходе к случаю, когда ширина
полосок бесконечно уменьшается. Приведем эти выкладки в виде таблицы:
Ах (\~ а)х,
Р
У х* ,
Р+д
у Ах (1- d)x "*f
JL JL а "* х q ,
Р+д /Н-"7 (1 - а) а ? х q
а2(1 -а) х, ...
_2р _р_
а 1 х q, ...
2P±L Р+ (1 - а) а я х "*
Суммирование/как видим, свелось к суммированию геометрической прогрессии, сумма
которой
1 -
•X 1 .
р-Н Чтобы избежать того, что коэффициент при ^~ делается
неопределенным, когда полоски уменьшаются, Ферма делает подстановку-a =ipg.
Тогда
1 - а _ - _ 1иЁ7_ - -lln
) 1L+I + Р*_±.
_ -
В предельном случае а = 1, следовательно (J = 1 и
А ", __ ' "?
UU
Аналогичные вычисления позволяют получить ^x~ndx. Ферма
х
делит интервал интеграции, точками с абсциссами х, ах, а2*,-..., где а"1.
Последовательно вычисляя, по образцу" данному выше, Ах, у, г/Ах, SyAj, и
переходя к предельному случаю, когда а==1,
Ферма получает результат:
(0=1)
По-видимому, Ферма изобрел этот метод под влиянием сочинений Непера, потому что
он сам назвал его логарифмическим.
Математики первой половины XVII в. с большим удивлением и энтузиазмом
убеждались, какое большое количество, казалось бы, разнородных задач геометрии и
механики приводилось к квадратурам. С каждым годом, с каждым новым результатом
все более выявлялась общность операций, которые приходилось применять при
решении этих задач. Геометрический эквивалент определенного интегрирования,
возникший как специфический метод геометрии, частично воспринятый от Архимеда,
постепенно приобретал черты-общего метода математики. В нем все больший удельный
вес приобретали численные методы и элементы грядущего анализа бесконечно малых.
В этом отношении характерным примером являлись работы Дж. Валлиса (1616-1703),
английского математика, профессора Оксфордского университета (с 1649 г.), одного
из основателей (с 1663 г.) Лондонского королевского общества. В 1655 г. им была
издана "Арифметика бесконечного". Используя метод Кавальери, он перевел на
арифметический язык отношения сумм неделимых. Так, отношение степеней неделимых,
которые мы интерпретировали как интегрирование степенной функции fxndx, он
представил как отношение сумм чисел. Отношение суммы неделимых треугольника к
сумме неделимых параллелограмма с тем же основанием и
0 + 1+2+ ... +я высотой сводится Валлисом к отношению - - - - - J -------- - - ,
котоn
+ n
рое при безгранично возрастающем п равно - .
о
2, 3, . . . , т степеней неделимых истолковано как
Отношение сумм
nk ,"|" nk _[_ nk _|_ (. ; ...|- nk
(k = 2, 3,..., /n) для я неограниченно возрастающего. Значения этих
отношений до ife=9 получены Кавальери; они равны ----.
К -т- 1
Валлис, пользуясь неполной математической индукцией, распространяет этот
результат на случай любого целого k. Так, им получена была, формула,
эквивалентная
dx = •
m + l ' и
•Валлис-знал из сочинений Архимеда, что площадь параболи2
ческого сегмента равна - площади описанного параллелограм"5
ма. Он и его перевел., на язык отношений указанных выше сумм; отношение
1/сГ + /Г + /2" + ... + Уп~
-У'п'
при неограниченно возрастающем п равно
Та же неполная
индукция приводит Валлиса к обобщению этого результата на все дробные, а затем и
на отрицательные показатели степени.
Идеи, включающие элементы определенного интегрирования, широко распространились
среди математиков западноевропейских стран. Методы интегрирования охватывали к
60-м годам XVII в. обширные классы алгебраических и тригонометрических функций.
Было решено огромное число задач, осветить которые в настоящей книге невозможно.
Нужен был только один толчок - рассмотрение всей совокупности методов с единой
точки зрения, чтобы перевернуть всю интеграционную проблематику и создать
интегральное исчисление.
Дифференциальные методы. В математике XVII в. наряду с интеграционными методами
складывались и методы дифференци164
альные. К дифференциальным методам мы отнесем, по образцу определения
интегральных методов, те, в которых содержатся элементы будущего
дифференциального исчисления. Вырабатывались эти элементы при решении задач,
которые в настоящее время решаются с помощью дифференцирования. Такие задачи
были в то время трех видов: определение касательных к кривым, нахождение
максимумов и минимумов функций и отыскание условий существования кратных корней
алгебраических уравнений. К этой группе тесно примыкают запросы механики,
вытекающие из необходимости определять скорость в любой точке траектории в
случае неравномерных движений, не говоря о более сложных задачах.
Научное наследие древних и средневековых авторов в этой области не было столь
определенным и значительным, как в случае интегральных методов. Задачи о
касательной рассматривались не систематически, единообразных приемов выработано
не было. Общим, по-видимому, было стремление понимать касательную как прямую,
имеющую с кривой одну общую точку и обладающую' свойствами локальной
односторонности., В области экстремальных задач помимо фактов элементарной
изопериметрии существовали лишь диоризмы, т. е. ограничения, накладываемые на
условия задачи, чтобы она имела решение в области рациональных и действительных
чисел или геометрических отрезков. Диоризмы часто содержат указания на
экстремальные значения. Например," когда алгебраическое уравнение имеет кратные
корни, кривые, пересечением которых уравнение решается, не пересекаются, а
касаются друг друга, Таким образом, некоторая взаимосвязанность дифференциальных
задач к XVII в,.'уже была отмечена.
В течение XVII в. дифференциальные задачи решались еще самыми различными
методами. Как и всегда в науке, наряду с новым существует старое. Так
происходило и в рассматриваемой нами области. Геометрические построения в духе
античных математиков, механические соображения, исследования в духе новой тогда
аналитической геометрии Декарта, инфинитезимальные соображения - в их тесном
сплетении вызревало дифференциальное исчисление. Приведем несколько примеров,
характеризующих этот процесс.
Уже в школе Галилея для нахождения касательных и нормалей к кривым
систематически применялись кинематические методы. При этом касательная
появляется как диагональ параллелограмма, сторонами которого являются
горизонтальная и вертикальная составляющие скорости. Например, пусть тяжелая
материальная точка брошена с некоторой горизонтальной начальной скоростью (рис.
42). Перемещения точки по оси х будут пропорциональны отрезкам времени x=nt, по
оси у (вертикальной) -
квадратам этих отрезков у = -|- Р. Траектория - парабола, параметр которой
Галилей определял как учетверенную^^ьшотх^паде-^ ния, которая была бы нужна,
чтобы сообщить точке скорость, рав165
ную начальной горизонтальной скорости У = -.-~*2?t
It
Обозначив
параметр
через 2/?, Торричелли нашел, что отношение верРис.
тикальной компоненты скорости gt к горизонтальной и равно
~- или -. Отсюда Торричелли заключил, что касательная перех
р
секает ось параболы в точке,, лежащей на отрезок 2у выше данной
точки или на у выше вершины параболы,,
Этот кинематический метод дал начало рассмотрению различных бросаний и сложных
движений и определению касательных в любой точке траектории. Систематическое
изложение метода и его главнейших применений дал в 1640 г. Роберваль. Несмотря
на важность кинематического метода, он был очень неудобен, так как. исходил из
индивидуальных особенностей кривых и поэтому был недостаточно алгоритмичен.
Поэтому больше перспектив для. определения касательных и нормалей в то время
представлял метод нормалей Декарта, содержащийся во второй книге его
"Геометрии".
Пусть необходимо провести нормаль к алгебраической кривой в точке (я, Ь) и пусть
это осуществлено. Нормаль пересечет ось абсцисс в точке, координаты которой (с,
О). Семейство концентрических окружностей с_дентррм в (с, О) содержит одну
окружность радиуса- R = |/"(а -с)5 + fra , которая имеет с кривой две общие.
точки, слившиеся в одну, именно точку (я, Ь). Одно из двух неизвестных, например
у, может быть исключено из уравнений данной кривой и окружности. Так как х = а -
двойной корень, то при этом должно получиться уравнение вида (х-а)2 Р(х)=0. Это
дает возможность определить величину с с помощью метода неопределенных
коэффициентов. Для этого Декарт приравнивает левую часть полученного уравнения
произведению (х-а)2 на многочлен степени на две единицы меньше и с
неопределенными коэффициентами. Сравнение коэффициентов при членах одинаковой
степени дает уравнения, которыми определяется с.
Связанная с методом Декарта проблема отыскания кратных корней алгебраических
уравнений получила развитие у голландского математика и инженера И. Гудде (16281704).
Правило последнего, коротко говоря, состоит в отыскании общего
наибольшего делителя уравнений f(x)=0 и /'(*)=(); последнее уравнение получено
умножением коэффициентов данного уравнения /(я)-О
на члены произвольной арифметической прогрессии. Применяемый в наши дни способ,
связанный с алгебраическим способом образования последовательных производных
левой части алгебраического уравнения, появился, по-видимому, впервые у Ролля в
конце XVII в. Однако возвратимся к дифференциальным методам.
Накопление методов дифференциального исчисления приняло наиболее-явную форйу у
Ферма.; В 1638 т. он' сообщил в 'письме Декарту, что решил задачу определения
экстремальных значений
функции /(*)• Ферма составлял уравнение
•- = 0 и.
после преобразований в левой части полагал /г=0. Вопреки/мне(tm)^
нию позднейших исследователей, которые видели в этом идеи' исчисления бесконечно
малых, в действительности Ферма нашел
это условие и аналогичное --- - = 0 еще алгебраическими путями.
Рассуждения тут примерно такие: /(я)=0; найти экстремум.
Пусть для. некоторого х функция достигает максимума. Тогда f(x±h)"f(x), f(x)±Ph
+ Qh2±..."f(x). Вычитаем из обеих, частей по f(x) и делим на h: ±P±Q/i±,. ."0.
Так как h можно выбрать любой малости, член Р будет больше по модулю суммы всех
остальных членов. Неравенство поэтому возможно лишь при условии P=G, что и дает
условие Ферма. В случае минимума рассуждения аналогичные. Ферма знал также, что
знак Q определяет характер экстремума.
Так же близок к дифференциальному исчислению метод Ферма отыскания касательных к
алгебраическим кривым.
На малой дуге MN алгебраической кривой /(я)=0 (рис. 43) путем проведения секущей
SMN строится характеристический треугольник MNP. AMNP~&MRS. Отсюда SR = - -Чггг-,
или в
PN
более привычных нам символах SR ••
Затем Ферма
переходит от секущей к 'касательной, полагая й=0, получая
о У
тем самым о* = - - .
У
Позднее он распространил этот метод определения касательных на случай неявной
функции f(x, y)=0. Полученное им выражение легко переводится в привычное нам
дх
ду
= 0.
Все функции Ферма - алгебраические полиномиальные. В случаях, когда в
исследуемых функциях попадались иррациональности, он освобождался от них
возведением обеих частей уравнения в степень. Впрочем, в этом узком сравнительно
классе функций метод Ферма определения касательных и экстремальных значений
общий, символика - единообразная. К сожалению, Ферма не стре167
Рис. 43
милея публиковать свои работы, притом он пользовался труднодоступными для
понимания алгебраическими средствами Виеты с его громоздкой символикой. Видимо,
поэтому он не сделал последнего, уже небольшого, шага на пути к созданию
дифференциального исчисления.
К середине XVII в. накопился достаточно большой запас средств решения задач,
ныне решаемых с помощью дифференцирования. Однако не было еще выделено особой
операции дифференцирования, понятий, равнозначных понятиям производной и
дифференциала. Не была ясна связь дифференциальных и интеграционных методов.
Математический анализ формировался в рамках и в терминах алгебры, геометрии,
механики - сложившихся уже к тому времени наук. Так всякое новое математическое
исчисление всегда проходит пери-' од формирования в пределах уже. существующей
системы математических наук, используя их средства,.
О связи дифференциальных: и интеграционных методов. Последним этапом
эмбрионального периода анализа бесконечно малых явилось установление связи и
взаимообратности дифференциальных и интеграционных исследований,, Побудительных
причин 'для этого было много. Одними из важнейших.., были "так. лдзываемые_обратные
задачи на касательные. Задачи этого типа состоят в определении
кривых исходя из заданного общего свойства всех. касательных к ним. Речь идет не
о нахождении огибающих семейства прямых, а о таких свойствах касательных,
которые зависят от положения точки касания. В общей постановке задачи этого типа
можно сформулировать так: найти y=f(x) из условия fi(x" У У У')=0- Таким
образом, речь идет о необходимости решить дифференциальное уравнение первого
порядка с двумя переменными.
Обратные задачи на касательные возникли в результате запросов практики.
Например, мореплаватели еще в эпоху великих географических открытий обратили
внимание на кривую постоянного истинного курса корабля - локсодромию. Это
кривая, касательные к которой пересекают меридианы, проведенные в точках
касания, под постоянным углом. Различные обратные задачи на касательные были
поставлены также в геометрической оптике и в кинематике.
Приближенные графические методы не могли считаться удовлетворительным средством
решения этих задач. Попытку дать
общий метод первым пpeдпpEHял.J51
кapт^О^хщедложил классифицировать все
алгебраические кривые (неалгебраических кривых он, как было сказано, не
рассматривал), расположить их в ряд, отыскивать их касательные и проверять,
обладают ли они заданным свойством. Разумеется, первая же попытка использовать
этот метод проб, предпринятая Декартом при решении задачи де Бона, показала
практическую его непригодность.
Задача де Бона заключалась в требовании квадрировать криобладающую
свойством -^г- == "--* где S* - подкасаДекарт
испробовал
вую,
тельная. Аекарт испрооовал кривые вида уп = ах2 + Ьх+с (п=1,
2,..., 1000), но безуспешно. Тогда он избрал другой путь: заменил систему
координат на" косоугольную, выбрав вместо оси х •прямую у=х-а. В этой-системе
подкасательная оказалась постоянной (=aV 2). В
самом: деле, уравнение
х - у
а
подстановкой
х\
= у + а-х преобразуется в — = х Уг'2 получается уравнение
йУз.
ц ~- и после подстановки
а
, Кривая де
Бона оказалась неалгебраической. Декарт доказал этот, для нас почти очевидный,
факт кинематически. Именно он показал, что эта кривая образована двумя
независимыми движениями: равномерным движением прямой *=0 и движением прямой 1/1
= 0 или у=-х-a со скоростью, пропорциональной пройденному расстоянию. Кривая
представляет геометрическое место точек пересечения этих двух движущихся прямых.
Как было сказа" . но, Декарт относил такие кривые к разряду механических и из
своей системы математики исключал.
Задача де Бона, как и другие обратные задачи на касательные, указывала на
взаимную обрат-ность задач о проведении касательных и других. Сущность этих
других задач состояла в решении, говоря современными терминами, дифференциальных
уравнений. Особенно хорошо удавались задачи,
Рис. 44
которые можно было свести к интегрированию (- -=/(*)).
\ dx J
Отдельных результатов здесь добились шотландец Д. Грегори (1638-1675) и
англичанин Дж. Валлис (1616-1703). Не замедлил появиться и общий, хотя и
сформулированный в терминах геометрии, результат о взаимно-обратной зависимости
задач на квадратуры и на проведение касательной. Принадлежит он И. Барроу (1630
- 1677), профессору Кембриджского университета, ученику В ал лиса и другу И.
Ньютона, Опубликован этот результат в 1669г., в "Лекциях по геометрии и оптике".
Состоит он в следующем.
*• Заданы две кривые OF и ОЕ (рис. 44). Точки F и Е имеют общую абсциссу.
Кривые связаны условием: DF*R = SODE, или в на(tm)
ших символах: R*y = tvdx. Тогда подкасательная
DT = R •
DF n DF
-, или КDE
DT
= DE\ т.
Этой теореме^ Барроу дал два доказательства.
а) Кинематическое. Кривая OF пусть будет траекторией движущейся точки F. Закон
движения:' проекция F на ось х постоянна, т. е. точка D движется с постоянной
скоростью /?, скорость возрастания ординаты DF геометрически изображается
отрезком DE9 или
v. Короче:
JL = ft. _?. = о. Касательная есть диагональ прямо-dt dt
угольника, составленного из этих скоростей. Тогда подкасательная
или 0 =
dx
. По Галилею, путь, пройденный точкой
при равномерно ускоренном движении" равен
б) Более строгое, по методу древних. Проведена прямая FT, определяемая
условием DT=R--. Нужно доказать, что это -
DC*
касательная, т. е. опорная прямая, точки которой в локальной области лежат по
одну сторону от кривой.
Проведем в точке / кривой прямые L//C и IKLt параллельные оси Ох. По
свойству кривых площадь SP&IEG = R-LF. Из чертежа
L/C LF
DT
R
, откуда L/C • DE = R • LF = SPD EG.
DF DE Но в силу монотонности кривой ОЕ
* DE
в зависимости от того, находится точка / правее или левее точки F. Отсюда
соответственно L/C^/L, что и доказывает расположение прямой по одну сторону от
кривой, т. е. что она касательная.
Опираясь на этот результат, Барроу решил большое число обратных задач на
касательные. С его сочинениями знакомились многие ученые, в том числе Ньютон и
Лейбниц.
Итак, к середине XVII в. математика находилась на грани открытия
дифференциального и интегрального исчисления. Точнее сказать, это открытие
совершалось.
5.4, ПОЯВЛЕНИЕ АНАЛИЗА БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ
Первым этапом существования анализа было формирование, дифференциального и
интегрального исчисления. Последнее возникло'как-самостоятельный отдел
математики почти одновременно в двух разновидностях: в виде теории флюксий в
трудах И. Ньютона и его английских последователей и в виде исчисления,
дифференциалов. Г. В. Лейбница, получившего распространение прежде всего •на
европейском, континенте,.
Развитие математических исчислений носит отчетливо выраженный диалектический
характер,, В рамках уже существующих исчислений происходит процесс накопления
предпосылок, элементов и составных частей нового исчисления. Затем наступает
момент, когда, происходит переворот в методе. Появляются математические работы,
в которых накопившиеся в данной области факты пересматриваются с новой, единой
точки .зрения. Центр внимания перемещается с попыток решения отдельных задач на
сам метод или группу методов, которые явно формулируются, совершенствуются и
применяются. Область применения появившегося таким путем исчисления,
как.правило, оказывается более широкой, нежели область его возникновения. Работы
И. Ньютона и Г. В. Лейбница по анализу бесконечно малых отражают именно такой
поворотный пункт в истории математического анализа.,,
. Теория флюксий. Наиболее ранней формой анализа является теория флюксий,
открытие которой принадлежит И. Ньютону.
Исаак Ньютон (1642-1727) родился в семье фермера в местечке Вулсторп близ г.
Кембриджа (Англия). В 1655 г. он окончил Кембриджский университет со степенью
бакалавра. Учителем его был И. Барроу. В 1668 г. И. Ньютон получил степень
магистра, а через год, в 1669 г., Барроу, будучи в расцвете сил, уступил Ньютону
свою кафедру в знак уважения к талантам и научным достижениям своего ученика.
Профессором в Кембридже, Ньютон был до 1701 г. В 1672 г. он был избран членом, а
с 1703 г. - президентом Лондонского королевского общества. Наиболее значительные
работы по математике Ньютон написал во время пребывания в Кембридже.
Основными направлениями научной деятельности Ньютона были физика, механика,
астрономия и математика. Ему принадлежат в этих областях науки первоклассные
достижения, в том числе: вывод и формулировка основных законов классической
механики, открытие закона всемирного тяготения, законов спектраль171
И. Ньютон (1642-1727)
ного разложения света, разработка дифференциального и' интегрального
исчисления в форме метода флюксий.
Математика в системе научных воззрений Ньютона была частью общей науки о природе
- натуральной философии - и орудием физических исследований. В качестве
математического аппарата механики, который учитывал бы движение и охватывал
связанные с ним понятия скорости и ускорения, Ньютон разработал метод, названный
им методом, или теорией, флюксий.
В методе флюксий изучаются переменные величины, вводимые как абстракции
различных видов непрерывного механического движения. Называются они флюентами,
т. е. текущими, от латинского слова fluere - течь. Все флюенты являются
зависимыми переменными; они имеют общий аргумент - время. Точнее, речь идет о
математическом абстрагированном аналоге времени - некоей воображаемой
абстрактной равномерно текущей независимой величины, к которой отнесены все
флюенты,. Это, разумеется, не осложняет задачи Ньютона, так как не стесняет при
соотнесении переменных, в задачах. •
'
Далее вводятся скорости течения, флюент, т. е. производные по времени. Названы
они флюксиями. Так как флюксия, представляет собой переменную,, то можно
находить флюксию от флюксии, и т. д. Символы первой, второй и т, д. флюксий,
если флюенту обозначить у, будут: |/, у, у и, т д. Для вычисления мгновенных
скоростей - флюксий потребовались бесконечно малые изменения флюент, названные
Ньютоном моментами. Символ момента времени 0; момент флюенты у, следовательно,
запишется: Oj/, т. е. произведение мгновенной скорости на момент времени. По
существу момент флюенты - это ее дифференциал. Иногда, когда рассуждения всходят
из заданной: флюксии, обозначенной, допустим:, у'9 вводятся специальные символы
флюент: 'у, или Пу (символ, указывающий на квадратуру),, Символы Ньютона не так
удобны, как символы дифференциалов, ведущие свое происхождение от Лейб(tm) ница и
распространенные в наше время. Однако они еще сохранились, например, в механике,
В теории флюксий решаются две главные задачи, сформулированные как в
механических, так и в математических терминах:
1) определение скорости движения в данный момент времени по заданному пути.
Иначе: определение соотношения между флюксиями из заданного соотношения между
флюентами;
2) по заданной скорости движения определить пройденный за данное время
путь. В математических терминах: определить соотношение между флюентами по
заданному соотношению между флюксиями.
Первая задача, так называемая прямая задача теории флюксий, представляет задачу
дифференцирования неявной, в общей постановке, функции и получения
дифференциального уравнения, выражающего элементарные закономерности природы.
Вторая - обратная задача теории флюксий - есть задача интегрирования
дифференциальных уравнений, поставленная в самом общем виде. В частном виде в
этой задаче речь идет о нахождении первообразных функций. Таким образом,
интегрирование в теории флюксий вводится вначале в виде неопределенного
интегрирования.
Для прямой задачи Ньютон ввел единообразное правило — алгоритм
дифференцирования функций. Поясним его, вслед за Ньютоном, на примере. Дано
соотношение между флюентами:
х3 - ах2+аху - #3=0. Образуем то же соотношение для флюент, испытавших
мгновенные изменения, т. е. когда к каждой флюенте добавлен ее момент;
(х•+ iO)8 _ а (х + хО)*+ а (х + хО) (у + уО) - (у +
В развернутом но формуле бинома виде:
. уЗ 4~ Чг2Л'Г) *~4- Чу""ггОО -1~ г303 -__
Л/ Т Oi/v ЛЛ/ | О А/ ЛЛ\/w j Л/ \J
• -ах2 - 2ах*хО --ахЧЮ + + аху + ахуО -{- аухО + ахО*уО -
- Зу200у - '
= 0.
\
Q.
Первый столбец равен нулю по условию; остальные члены разделим на 0 и отбросим
как бесконечно малые все те члены, в которых после этого сохранится бесконечно
малый момент времени - О. Получим соотношение между флюксиями:
Зх2х - 2ах • х + ау ••* + ах у - Зу* • у = 0.
Этот метод Ньютон формулирует в виде правила:
1) расположи по степеням переменных;
"К
2) умножь на члены арифметической прогрессии и на*- -
, х
или - соответственно;
У
3) сумма произведений дает отношение между флюксиями
1. гз Л/ - - • ах2 + аух - у3 //3 - у + о 1 ' i " аху- - ах2 +
ж3
2. 3. 3-^-X 9 JL - (} , z, - - , , и X X з-i-у ,
о, JL У -, 0
Зх*х - 2ахх + аху - Зу*у •+ •аху
Члены арифметической прогрессии можно заменить членами другой прогрессии вида 3
+ т, 2+т, 1+т для целочисленных т. Дальнейшие усовершенствования
дифференциального исчисления: дифференцирование неполиномиальных функций,
отыскание экстремумов функций, геометрические и механические приложения -
принципиальных трудностей для Ньютона не представили. Флюксии от иррациональных
функций получаются по правилу дифференцирования сложной функции: например, если
z =
то
= ах - у2, 2zz = ах_ - 2уу\
2z
В более сложных случаях Ньютон прибегал к представлению функций степенными
рядами и к оперированию с этими рядами. Класс функций, которым располагал
Ньютон, был еще сравнительно ограниченным; внутри него подобное представление
функций не вызывало сомнений. Тем не менее соображения о сходимости ряда и о
правомерности представимости той или иной функции рядом постоянно были в поле
зрения Ньютона.
Обратная задача теории флюксий: нахождение соотношения. между флюентами по
известному соотношению между флюксиями - по своей постановке чрезвычайно обща.
Она, как мы указывали, эквивалентна общей задаче об интегрировании любых
дифференциальных, уравнений. Подходы Ньютона к решению столь общей проблемы и
приемы решения складывались постепенно.
Прежде всего простое обращение результатов нахождения флюксий дало ему огромное
количество квадратур. Со временем он обнаружил необходимость дописывать при
этом" обращении аддитивную постоянную. Затем оказалось, что операция обраще- .
ния даже сравнительно простых уравнений вида Mx + Ny=Q, получающихся при
вычислении флюксий, не всегда возможна и не дает исходную функцию. Ньютон
обнаружил это, рассматривая, те случаи, где М=М(х, у) и N^=N(x, у) целые,
рациональные,.
Когда непосредственное обращение, прямого метода, не приносит успеха, Ньютон
прибегает к разложению функций в степенные ряды как к универсальному средству
теории флюксий" Данное
уравнение он разрешает, например, относительно ~^- или (полагая
х
~-я=1) относительно у и разлагает функцию, стоящую в правой. части, в
степенной, ряд, а затем этот ряд почленно интегрирует.
Для разложения функций в степенные ряды Ньютон использовал все результаты своих
предшественников и накопил большой арсенал приемов,, Среди них наиболее часто
применялись:
а) обобщение (индуктивное) теоремы о степени бинома (а + Ь)п на
случай дробного и отрицательного показателя степени;
б) деление (непосредственное) числителя дробно-рациональной функции на
знаменатель;
в) метод неопределенных коэффициентов в различных модификациях. Например, в
уравнении t/=l- Зх+у + х2 + ху надо отыскать разложение у в ряд по степеням х,
подставить этот ряд в правую часть вместо у и затем решать уравнение
почленным интегрированием. Члены разложения будем отыскивать последовательно:
у==х + ... Подставим в правую часть и получим у = 1 - 2я + ..., откуда: у=хх2+...
Подставим снова уже два члена разложения у в правую часть уравнения:
откуда
Вычисления по методу неопределенных коэффициентов Ньютон располагал в таблице
У 1 - Зх + у + х* + ху
1- Зх + X2
У Y ___ у2 -|- "з - - ** + - ^ + ... 6 30
*
ху X °~~" X ~у 3 - - л: + • • .
9 1 4
Сумма 1-2х- Г" X " JL х* + "L д4 .."." ..... JL хь + e e e .3
6 30
1 1 1 й' 1
У v v2 1 л • * л \~ 3 " ..... б" ' "зо" Л 8
"45(tm) ^
г) замена переменных, в силу чего в ряд раскладывается не функция у, а удачно
подобранная функция от у,- а также замена системы координат;
д) обращение рядов, которое лучше, по-видимому, пояснить на примере. Вычисляя
длину пути окружности (/?=!, центр в-начале координат), Ньютон получил элемент
дуги; в переводе на
" dx / • \
привычную нам символику, as =--?==•; (s = arcsinx), или, используя
биномиальную теорему ряда: '
У 1
di-dxfl+-±-x* + -$-x*-
as-ax^i | 2 л t e л
Интегрируем почленно:
= (1 - .^2) 2 L
• ] '
+ . . Л ' -/ •
в виде
= arcsin х = х-{ — х3-] — х
Задача состоит в отыскании ряда для обратной функции, т. е. sin x.
'
Оборачивание Ньютон проводит следующими этапами. Обрывает ряд:
ьз'5 х7+ -,..1 -2.4.6-7 J
2-3 1-2.4.5
Полагает х= s+ p. Отсюда
О^Р + -~(53 + 352Р+...) + ^-(5б+-..). Пробует: р=А, As, As2. Очевидно, А- 0 в
этих случаях.
(1) (2)
I Накс
Наконец, попытка p±=Bs3 дает
Значит,
v - о - оЗ
Л - - с" ' - " --- о •
Следующий шаг: р = - - s3 + q. Подстановка, в (2) дает
•
откуда
"-Л1 ___________
? V 12 40 J " 120
Значит,
A:==s_J-S3+_l_se ,
6 120
и т. д. Закон образования коэффициентов подмечается легко:
X3 . Хк
Из обращенного ряда получается ряд для. cos* (сов* = 1/1 -
у2 t4
l-- + - -.'-.
2! 41
Аппарат представления функций степенными рядами, в который включаются, кроме
упомянутых много других частных приемов,, является оперативной основой
ньютоновой теории флюксий. Он позволяет проводить дифференцирование и
интегрирование широкого класса аналитических функций, вычислять экстремумы
функций, получить много примеров приложения методов теории флюксий к геометрии,
механике и другим наукам. Насколько далеко продвинулся Ньютон в труднейших
вопросах теории флюксий, показывает одно его письмо 1676 г., в котором он
сообщает об условиях интегрируемости биномиального дифференциала. Последний:
y=az(r) (e+fz^v интегрируется, если -i- или -i- +Я-целое
Ц Г]
положительное число.
Ньютон получил большинство результатов теории флюксий в течение 60-70-х годов
XVII в. Однако он не спешил с публикацией написанных им на эту тему работ. Он
неохотно давал согласие на публикацию даже тогда, когда вспыхнул спор о
приоритете открытия дифференциального и интегрального исчисления между
ним и Лейбницем. Более того, его знаменитые "Математические начала натуральной
философии", появившиеся в 1686-1687 гг., оказались написанными без применения
методов теории флюксий, хотя многие из приведенных в этой книге результатов
первоначально были получены средствами этой теории.
Причиной такого положения дел была помимо несовершенства методов решения
обратных задач недостаточная логическая обоснованность теории флюксий. Введение
в математику переменных величин, оперирование с бесконечно малыми приводит к
необходимости рационального объяснения большого числа, связанных между собой
основных понятий и проблем. Ньютон это хорошо понимал, но справиться с подобными
затруднениями не мог.
Взгляды Ньютона на обоснование теории флюксий менялись. Выше мы указывали, что
исходные позиции теории флюксий лежат в механике. Это позволяет перенести в
механику противоречия, возникающие при толковании основных понятий этой теории.
Однако оперативная сторона дела предполагает отбрасывание безе-конечно малых.
Доказать законность такой операции, выявить таинственную сущность этих величин,
не являющихся ни нулями, ни конечными величинами, - эта задача не решалась
имевшимися в распоряжении Ньютона средствами.
В поисках выхода Ньютон создал метод первых и последних отношений - раннюю форму
теории пределов. Он изложил его в "Математических началах натуральной
философии", первый отдел первой книги которых так и называется: "О методе первых
и последних отношений, при помощи которого последующее доказывается".
Метод состоит в рассмотрении предельных отношений "едва-едва зарождающихся"
(первые отношения) или "только-только исчезающих" (последнее отношение) величин.
Несмотря на неудачную терминологию, Ньютон сумел изложить основные теоремы о
пределах и бесконечно малых, лежащие в основании курсов математического анализа.
Так, им доказаны теоремы о пределах отношений, длины дуги непрерывной гладкой
кривой к хорде и к касательной.
Понятие предела, в каком бы оно виде ни появлялось, есть понятие
неалгоритмическое. С ним невозможно связать последовательность операций,
эффективно приводящих к его нахождению. От условно-оценочной трактовки предела
(пусть задано е"0. Тогда найдем такое б"0, что и т. д.) Ньютон тоже был далек;
она приобрела права гражданства лишь в самом конце XIX в. Разрыв между
оперативно-алгоритмической стороной теории флюксий и ее логическими основами
остался неустраненным. Теория флюксий знаменовала тот этап развития анализа
бесконечно малых, когда он, по выражению К. Маркса, "существует, а затем
разъясняется", а в своих основах является таинственным "мистическим". Дальнейшая
судьба теории флюксий связана с острой борьбой, вспыхнувшей сразу же после
появления этой теории, именно вокруг ее основ.
Г. В. Лейбниц (1646-1716)
Исчисление дифференциалов. Как было сказано выше, анализ бесконечно малых возник
почти одновременно в двух разных, независимых друг от друга формах. Первой по
времени изобретения была ньютонова теория флюксий. Однако первые публикации по
математическому аналиу были посвящены другому виду исчисления - исчислению
дифференциалов.
Автор нового исчисления Г, В. Лейбниц (1646-1716) родился в Лейпциге в семье
профессора местного университета по кафедре
философии и морали. Образование получил в университетах Лейпцига и Йены. Всю
жизнь состоял на службе у германских государей: майнцского курфюрста, а затем
ганноверского герцога. Выполняя дипломатические поручения, Лейбниц посетил Париж
и Лондон, где вступил в научное общение с виднейшими учеными. За научные заслуги
он был избран членом Лондонского королевского общества (1673) и Парижской
академии наук (1700). Лейбниц основал Берлинскую академию, а также оказал
положительное влияние на развитие науки в России: он был знаком с Петром I,
переписывался и беседовал с ним, обсуждал проекты организации Академии наук в
Петербурге, развертывания научных исследований в России,,
Деятельность Лейбница весьма многообразна: он был видным дипломатом, политиком
и-ученым. Так же разнообразны его научные интересы: естественные науки, физика,
философия, право" литература и языкознание, математика были объектами его
исследований, нередко весьма замечательных и предвосхитивших многие последующие
открытия.
Математические работы Лейбница, которые нас интересуют.в первую очередь, тесно
связаны с его философскими воззрениями. Мы не имеем возможности подробно
описывать философские позиции Лейбница и их эволюцию от сочувствия механическому
материализму до своеобразной разновидности метафизического объективного
идеализма. Отметим лщпь, что во всех различных по содерж а нию м атем атических
з анятиях он ру ково дствов а лея одной целью.' Цель эта философская: создание
универсального метода научного познания, по терминологии Лейбница - всеобщей
характеристики.
Всеобщая характеристика должна заменить все. логические •суждения исчислением,
производимым над. словами и другими символами, однозначно отражающими понятия.
Она, таким образом, мыслится как некоторый общий .логико-математический аппарат
суждений. Математика при этом приобретает расширенное толкование как наука об
отражении всевозможных видов связей и зависимостей простейших элементов.
Современная Лейбницу математика должна была, по его замыслу, войти в будущую
общую математику. Он видел идеал, по его словам, в "подчинении алгебры
комбинаторному искусству, или буквенной алгебры общей буквенной науке, или науке
о формулах, выражающих вообще порядок, подобие, отношение и т. п., или общей
науки о количестве - общей науке о качестве, так что наша буквенная математика
становится только замечательным образчиком комбинаторного искусства или общей
буквенной науки".
Установление всеобщей характеристики и открытие закономерностей новой математики
решит проблему научного доказательства и устранит разногласия, так как вместо
споров понадобится лишь произвести вычисления.
Зерна новой математики хранятся в старой. Последнюю нужно изучить, выбрать и
поставить проблемы, относящиеся к разработке бесконечных процессов, с которыми
не может справиться алгебра, создать новые алгоритмы. Этим алгоритмам необходимо
придать по возможности совершенную символику, отражающую сущность понятий или
операций. Выбору символики Лейбниц придавал огромное значение. Он указывал, что
необходимо выбирать обозначения, удобные, для открытий, т. е. необходимо, чтобы
обозначения коротко выражали сущность вещей. Тогда сокращается, работа мысли.
Оперативное значение новых алгоритмов возрастает, если они будут механизированы"
Таковы в основном были исходные установки Лейбница. Они определили направление и
характер его математических занятий, которые привели к открытию
дифференциального и интегрального исчисления.
До 1673 г.,, до поездки в Париж, Лейбниц много занимался комбинаторными
задачами, видя в них математическую основу логики. В Париже он встречался с
Гюйгенсом и тот ввел его в курс инфинитезимальных проблем математики. Гюйгенс же
поставил перед Лейбницем ряд задач,, связывающих эти проблемы с комбинаторикой.
Решив одну из задач Гюйгенса о нахождении сумм
чисел вида ----/Лейбниц нашел также суммы некоторых ря-k(k + 1)
дов. При этом, широко использовал паскалев арифметический треугольник и.
конечные разности высших порядков. В этот подготовительный период им были
основательно проштудированы сочинения Декарта, Кавальери, Валлиса, Паскаля,
Гюйгенса и др.
Примерно с этого времени в бумагах Лейбница все чаще встречается применение
характеристического треугольника Паскаля для решения задачи о проведении
касательной к кривой,, При этом он постепенно, приходит к мысли о возможности
суммирования разностей (dx и dy\, образующих стороны характеристического
треугольника. К суммам этих малых разностей приводят и задачи о квадратурах.
Лейбниц, усмотрев это обстоятельство, высказал предположение, что решение
обратных задач на касательные полностью или в большей части можно свести к
кв.адратурам. Таким путем, не зная работ Барроу и Ньютона, но, как и они, исходя
из обратных задач на касательные, Лейбниц открыл взаимо-обратную связь между
методами проведения касательных (в последующем операции дифференцирования) и
квадратурами (позднее интегрирование). Тогда же он высказал мысль, что сводка
результатов дифференцирования путем простого оборачивания может быть полезна при
интегрировании функций (эквивалентными соображениями пользовался и Ньютон).
Так, в чисто математическом плане лейбницево исчисление складывалось в общих
чертах из следующих посылок:
а) задачи суммирования рядов (с 1673 г.) и привлечение систем конечных
разностей;
181 ~~
б) решение задач о касательных, характеристический треугольник Паскаля и
постепенный перенос соотношений между конечными элементами на произвольно, а
затем бесконечно малые;
в) обратные задачи на касательные, суммирование бесконечно малых разностей,
открытие взаимообратности дифференциальных и интеграционных задач (примерно к
1676 г.).
Все эти годы Лейбниц предпринимал многочисленные попытки создать удобную
символику. Он приходит к мысли о символе d (сокращение слова differentia -
разность) для обозначения бесконечно малой разности. Вслед за Кавальери и
Паскалем: он представлял интеграл как: сумму "всех" ординат, которых бесконечно
много, и записал его символом отпу или чаще otnnl. Позднее он заменил отп на /,
исходя из начальной буквы слова Summa. Взаимообратность задач он тоже старался
отражать в символах:
если
t. = axtto 1 =
Вскоре он пришел к мысли, что
лучше писать d(ax)\ ведь "dx" это то же,, что ~, т. е. разность
d '
между ближайшими х. Но из f(ax)=t получается, что дифференциал d(ax) будто бы
равен конечной величине /. Так постепенно выяснилась необходимость
усовершенствовать символ интеграла, включив в него символ дифференциала
аргумента: fydx.
При помощи Ольденбурга (161 5-- 1 677) , '' секретаря Л ондон-ского королевского
общества, Лейбниц завязал (1676- - 1677) переписку с Ньютоном. В письмах он
сообщал свои результаты и стремился узнать больше о методах и результатах.
Ньютона. В основном речь шла о способах разложения функций в ряды "и о решении
обратных задач на. касательные. Корреспонденты хорошо понимали друг друга,
осознавали близость своих целей' и выводов. Без большого труда они разгадывали
сущность методов, применяемых соперником. К сожалению, вскоре переписка
прекратилась, так как Ньютон перестал отвечать на письма.
Казалось бы, эта переписка должна была ускорить публикацию нового исчисления.
Однако Лейбниц, как и Ньютон, не спешил с этим. Он работал над
усовершенствованием методов исчисления и над обоснованием, стремясь оправдать
его появление или логически строгой дедукцией, или достаточно большим
количеством новых результатов и практических достижений. Только в 1684 г. в
лейпцигском журнале "Acta Eruditorum" Лейбниц опубликовал первый мемуар об
анализе бесконечно малых "Новый метод максимумов, минимумов, а также
касательных, для которого не служат препятствием ни дробные, ни иррациональные
величины и особый для этого род исчисления".
Мемуар этот невелик, менее 10 страниц. В нем нет доказательств. Но в нем впервые
на страницах научного журнала появляется дифференциальное исчисление как объект
математического исследования в виде, во многом напоминающем современную его
структуру.
Дифференциал аргумента dx принят за совершенно произвольную величину.
Дифференциал функций dy определен равенством
dy =-^-, где St - подкасательная к кривой в точке (х, у). Введены
St
символы: dx и dy. Сформулированы правила дифференцирования постоянной величины,
суммы функций, разности, произведения,
частного, степени, корня. Отмечена инвариантность вида, первого дифференциала от
выбора аргумента. Дифференциалы понимаются вначале как величины,
пропорциональные мгновенным приращениям величин. Правда, позднее, дифференциалы
вновь. определяются как бесконечно малые разности.
Мемуар 1684 г. был трактатом о дифференциальном исчислении. Через два года, в
1686 г., вышло в свет другое сочинение Лейбница "О глубокой геометрии", в
котором сосредоточены правила интегрирования .многих элементарных функций. Для
обозначения операции интегрирования введен символ /, истолковываемый как сумма
дифференциалов, а также-подчеркнута его взаимообрат-ность с операцией
дифференцирования. В том же году Лейбниц разрабатывает основы теории
соприкосновения кривых, вводит соприкасающийся круг и применяет его к измерению
кривизны,, При этом он допустил ошибку, полагая, что в общем случае этот круг и
кривая имеют четыре совпадающих точки. Ошибку эту исправил в 1692 г. его
последователь Яков Бернулли, показав, что в общем случае таких точек только три.
Анализ бесконечно малых вышел, таким образом, из стадии формирования и заявил о
себе как о новой математической науке, сразу же продемонстрировав необычайную
плодотворность. Активная пропаганда нового исчисления Лейбницем, и его учениками
и последователями, среди которых сразу же выделились братья Бернулли: Яков
(1654-1705) и Иоганн (1667-1748), способствовала также его бурному
распространению. А поток новых открытий Лейбница не иссякал.
В 1693 г. он распространил новое исчисление на трансцендентные функции путем
разложения их в ряды с помощью метода неопределенных коэффициентов. Эту группу
результатов он изложил в статье с характерным для публикаций XVII и XVIII вв.
длинным заголовком: "Дополнение практической геометрии, распространяющееся на
трансцендентные проблемы с помощью нового наиболее общего метода бесконечных
рядов".
В последующих работах Лейбница охвачены по существу все начальные отделы
дифференциального и интегрального исчисления. Так, в 1695 г. он опубликовал
правило дифференцирования общей показательной функции и формулу многократного
дифференцирования произведения
Ат(ху) = dmx.d°y + - d"1-1 x-dy + m(m~1) d^x-dty +....
Тогда же ему удалось обобщить понятие дифференциала на случаи отрицательного и
дробного показателя. В течение 1702-1703 гг. были разработаны приемы
интегрирования рациональных дробей.
С помощью нового исчисления математикам конца XVII - начала XVIII в. удавалось
решать быстро возрастающее число трудных и практически важных задач. Лейбниц и в
этом роде деятельности проложил дорогу. В 1691 г., например, он установил форму,
которую принимает подвешенная за концы тяжелая гибкая однородная нить, и вывел
уравнение цепной линии. С 1696 г. его занимают новые задачи - вариационные. Он
решил задачу о брахистохроне ----- кривой кратчайшего спуска, нашел метод
решения задач о геодезических линиях,
Символика и термины Лейбница оказались очень хорошо продуманными; они были
несложными и отражали существо дела, помогали пониманию и позволяли оперировать
с ними по сравнительно простым правилам. Многие из них дошли до наших дней.
Лейбниц ввел термины: дифференциал, дифференциальное исчисление, функция,
координаты, дифференциальное уравнение, алгоритм (в смысле, аналогичном
современному пониманию) и многие другие, а также большую часть символов.
Практические успехи и разработанность исчисления достигли такого уровня, что в
конце века (1696) появился первый учебник дифференциального исчисления и его
приложений к геометрии: "Анализ бесконечно малых" Г. Ф. Лопиталя.
Практическая ценность исчисления Лейбница, оперативная, простота привлекали к
нему внимание ученых. Оно быстро делалось центром всей математики, основным
орудием исследования в руках ученых. Но в этом исчислении было слабое место:
оставалось неясным, какое рациональное объяснение можно дать основным понятиям:,
опирающимся на бесконечную близости, бесконечную малость или бесконечную
протяженность "процесса. В рукописях и в статьях Лейбниц постоянно возвращается
к нерешенной проблеме обоснования анализа бесконечно малых. Попыток он
предпринял много, с самых разных исходных позиций. У него можно найти: трактовку
бесконечно малых как неархимедовых величин; привлечение интуитивно
воспринимаемой потенциальной бесконечной малости; ссылки на античный метод
исчерпывания и сведение всех трудностей к нему; постулирование возможности
замены отношения бесконечно малых отношением конечных величин; неразвитые
представления о пределе, стремлении к нему; введение в рассуждения в качестве
опоры непрерывности, будто бы присущей природе всех вещей.
Однако проблема обоснования анализа бесконечно малых оказалась не под силу
Лейбницу, так же как и Ньютону. Основы этой важнейшей части математики, в
которой следовали один за другим замечательные достижения, оставались
невыясненными, таинственными. В области обоснования новый анализ в течение
XVII в. и значительной части XVIII в. пережил "мистически;0*", по меткому
выражению К. Маркса, период.
Большое место в сочинениях по истории математики этого времени занимает спор
между последователями И. Ньютона и Г. В. Лейбница о приоритете открытия
дифференциального и интегрального исчисления. В свое время так оно и было; спор
приобретал напряженный характер, разрастался до размеров национального
соперничества и ссоры, вовлекал огромное количество ученых и даже политических
деятелей.. Но не все" даже самые громкие споры, самые, модные теории, защищаемые
самыми фанатичными адептами, в истории долго существуют и имеют непреходящее
значение. Законы истории неумолимо отражают именно содержательную сторону науки,
ее соответствие экономическому строю человеческого общества, существенные связи.
Поэтому мы вправе уделить упомянутому спору о приоритете лишь несколько фраз,
По-видимому, Ньютон и Лейбниц открыли свои формы исчисления независимо друг от
друга. Оба опирались на опыт многочисленных предшественников, в котором
накопилось достаточно предпосылок для их открытий. Оба отразили, исходя из
разных посылок, общую потребность науки в анализе бесконечно малых. Ньютон,
видимо, добился успеха раньше, Лейбниц - несколько позже. Однако приоритет в
публикации, преимущества, в удобстве • алгоритмов и символов, заслуги в активной
пропаганде нового исчисления принадлежат Лейбницу.
Появление аналитической геометрии и анализа бесконечно малых создало к концу
XVII в. новое положение в математике. Эти новые области привлекли самый большой
интерес и именно в них были быстро достигнуты очень важные результаты. Роль этих
областей, в особенности анализа бесконечно малых, сделалась настолько
значительной, что можно назвать математику этого периода математикой переменных
величин,,
Однако всегда следует помнить, что рассмотрение главного, определяющего, не
исчерпывает всего содержания науки; в нем еще много сторон, много линий
развития, не являвшихся в то время главными, но впоследствии оказавшихся весьма
важным. Поэтому представляется необходимым сделать несколько замечаний о
математике XVII столетия.
Алгебра в этом веке все более освобождалась от геометрических элементов. В ней
окреп символический буквенный аппарат. Определилась основная научная
проблематика; общая теория уравнений. В этой области можно отметить:
а) Постановку и некоторое продвижение проблемы приводи-* мости алгебраических
уравнений, т. е. представления целых рациональных функций с рациональными
коэффициентами в виде произведения двух или большего числа аналогичных функций
(см., например, И. Ньютон. "Всеобщая арифметика").
б) Введение Лейбницем в 1693 г. начал теории определителей и правила,
известного теперь как "правило Крамера". Заметим, что
термин "детерминант" прослеживается только с 1815 г. (у Коши), а символ
детерминанта - с 1841 г. (у Кэли).
в) Непрекращающиеся (но, разумеется, безуспешные) попытки найти решение в
радикалах уравнений степени выше четвертой.
г) Попытки доказать основную теорему алгебры о числе корней алгебраического
уравнения,
Геометрия существенно, расширил а свой состав. В нее вошла, как было показано
выше, новая аналитическая геометрия, связавшая ее с алгеброй. Геометрические
приложения анализа постепенно формируются в будущую самостоятельную
математическую дисциплину - да||^ЕШШ1ажьщгЮ- ищетщю,.Наконец, в XVII в,
закладываются основы проективной геометрии. В 1636 г. Ж. Дезарг (1593-1662),
французский инженер и архитектор, разрабатывая теорию перспективы, развил целую
систему проективно-геометри-ческих представлений: бесконечно удаленных
предметов, инволюции и т. д. Проективные представления внесли в теорию
конических сечений кроме Дезарга Б. Паскаль (1640), Ф. Лагир (1685).
Теория чисел обогатилась замечательными исследованиями Ферма, определившими
дальнейшее ее развитие.'В частности, ему принадлежат сформулированные без
доказательства, две теоремы:
а) Великая теорема Ферма: диофантово уравнение xn+yn = zn, п"2, целое, не имеет
решения в натуральных числах. До сих пор она доказана только для небольших /г;
общего доказательства еще нет.
б) Малая теорема Ферма: если р - простое, а - целое, не делящееся на /?,
To'a^sl (mod/?), т. е. а^~л - 1 делится на р. Первым дал доказательство этой
теоремы, лежащей в основе теории сравнений, Л. Эйлер.
В 1665 г. Б. Паскаль впервые сформулировал принцип математической индукции. Он
же,- а также П. Ферма и Г. В. Лейбниц, о чем упоминалось выше, в ряде статей
разработали основные понятия комбинаторики.
Теория вероятностей, в связи с задачами которой предпринимались комбинаторные
исследования, в середине XVII в. вступила в стадию формирования как науки.
Вероятностные соображения, в которых интуитивные представления о степени
логической возможности дополнялись подсчетами теоретических частот, начали
появляться в XVI в., но только в сочинениях Паскаля, Ферма и Гюйгенса стало
входить в обиход, в связи с задачей разделения ставки, понятие математического
ожидания. По-видимому, в самом конце XVII в. Я. Бернулли открыл простейшую форму
закона общих чисел (опубликовано в 1713 г.), завершив первый, по классификации
А. Н. Колмогорова, этап истории теории вероятностей.
Из материала настоящей главы можно сделать общий вывод, что математические
дисциплины, составляющие в наши дни классическую основу высшего образования,
начали формироваться именно на рубеже XVII и XVIII вв.
РАЗВИТИЕ ОСНОВНЫХ ЧАСТЕЙ МАТЕМАТИКИ
В XVIII ВЕКЕ
6.1. ОБ УСЛОВИЯХ И ОСОБЕННОСТЯХ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИКИ
В XVIII в.
Процесс развитая математики в ходе ее истории становится все более и более
сложным. К периоду, рассматриваемому в настоящей главе, эта сложность и
многосторонность достигла высокой степени.
Научная разработка математических проблем почти целиком сосредоточилась в
странах Европы. В экономическом плане история Европы XVIII в. характеризуется
решающей победой капиталистического способа производства. Вторая половина XVIII
в. в странах Европы в основном уже может быть отнесена к эпохе промышленного
капитализма. Развитие экономической и общественной жизни людей, связанное со
становлением новой, капиталистической формации, стало приводить к этому времени
к перестройке социальных, научных, культурных и других идеологических концепций.
Темпы развития науки в это время быстро нарастают. Промышленная революция,
образование мирового рынка, связанные с этим нужды мореплавания,
кораблестроения, военной техники, теплотехники, гидроэнергетики и т. п.,
практические нужды общества ставят перед наукой быстро усложняющиеся задачи.
Помимо задач механики и астрономии перед физико-математическим комп187
лексом наук встали проблемы создания математического аппарата исследования
электромагнитных явлений и теплоты.
Решение научно-технических и даже просто научных задач становится делом
государственной важности. Таблицы положении
Луны, Солнца, звезд, проблема изобретения хронометра высокой точности, показания
которого не зависели бы от качки корабля, нахождение методов отображения сферы
на плоскость как важнейшая часть картографии и др. приобретают необычайную
актуальность, срочность. В то же время владение средствами нового анализа
создает обстановку возможности решения подобных задач, их доступности усилиям
ученых.
Для научных исследований в крупнейших городах Европы создаются специальные
учреждения - академии наук, субсидируемые государством. Постепенно возрастает
роль высших учебных заведений, ставшая особенно заметной к концу XVIII в., в
эпоху Великой французской буржуазной революции. В обществе появляется заметная
прослойка ученых-профессионалов., в том числе профессионалов-математиков,
главным: делом жизни которых являются научные исследования и преподавание, В
связи с этим происходит заметная демократизация состава, ученых. В самом деле,
например, величайший математик XVIII в. Л. Эйлер был сыном сельского пастора, Ж.
Л. Лагранж происходил из семьи офицера, П. С,. Лаплас и М. В. Ломоносов.-
крестьянского происхождения, Ж, Даламбер не имел родной семьи. Число подобных
примеров можно значительно увеличить.
В начале века математики в своих исследованиях могли исходить уже из весьма
значительного конкретного материала. Его основу и наиболее актуальную часть
составлял анализ бесконечно малых, возникающий в Англии в виде ньютоновского
исчисления флюксий, а на континенте Европы - в виде лейбнидевского исчисления
дифференциалов. Их общность, а во многих частях и совпадение, были уже осознаны.
Совокупность методов решения прямых задач этих исчислений, составляющих ныне
основную часть дифференциального исчисления, была в основном создана.
Дифференциальное исчисление заняло место одной из частей классической основы
математического анализа. Появились первые учебники, систематически излагающие
его методы и результаты1.
В области обратных задач, т. е. интегрального исчисления, время подведения
итогов еще не наступило, так как было сделано еще не так много. В области
неопределенного интегрирования продолжалась разработка приемов интегрирования в
элементарных функциях. Так, например, идея интегрирования дробно-рациональных
функций при помощи разложения их на простейшие дроби была высказана Лейбницем
лишь в начале XVIII L. (1702- 1703). О перестройке интегрального исчисления на
базе понятия определенного интеграла еще не могло быть и речи.
1 См., например, Г. Ф. Л опит а ль. Анализ бесконечно малых. М.-Л., Гостехиздат,
1935. Впервые опубликована в 1696 г.
По мере накопления приемов интегрирования усиливалась потребность в исследовании
простейших трасцендентных функций в в обогащении их класса. Геометрические
методы исследования, основанные на изучении площадей и абсцисс, зависящих друг
от друга определенным образом, оказывались недостаточными, негибкими. Их
дополняли методы представления функций степенными рядами и усовершенствования
символической формы их выражения.
Наряду с формированием основы математического анализа - дифференциального и
интегрального исчисления - к началу века появились результаты и в его высших
областях: теории дифференциальных ур авнений, вариационном исчислении.
Интегрирование первых обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, к
которым приводили задачи математического естествознания, пробовали осуществлять
с помощью лишь алгебраических и элементарных трансцендентных функций. Отдельные
результаты были достигнуты. Однако вскоре математики убедились, что на таком
пути решить сколько-нибудь широкий круг уравнений не удается. Задача была
трансформирована, и решение дифференциальных уравнений стали отыскивать в
квадратурах.
Арсенал приемов интегрирования дифференциальных уравнений был: еще невелик, В
него входили: разделение переменных,, отдельные случаи нахождения интегрирующего
множителя, решение однородного уравнения первого порядка подстановкой y=xt. И.
Бернулли в 1697 г. проинтегрировал уравнение, носящее теперь его имя,
dy + Р (X) У dx = Q (А:) if dx, преобразовав его в линейное дифференциальное
уравнение первого
порядка с помощью подстановки у :-~ v "Л Этот способ -был, впрочем, известен
также Лейбницу и Я. Бернулли. На рубеже веков И. Бернулли сумел дать решение
линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка
понижая его порядок с помощью интегрирующего множителя вида хр. Сколько-нибудь
систематической разработки теории дифференциальных уравнений еще не было, но
задача эта стояла как первоочередная.
В области вариационного исчисления математики сумели накопить некоторый запас
задач особого рода - вариационных, - осознать их своеобразие, найти решения ряда
элементарных задач. Задача создания общего метода выдвинулась на первый план и в
этой части математического анализа.
В ходе энергичной работы в различных областях математического естествознания
быстро росло число задач, решаемых с помощью методов еще нового тогда анализа
бесконечно малых. Крепла уверенность, что дифференциальные уравнения отражают
если не все, то во всяком случае главнейшие закономерности природы. Решение
дифференциальных уравнений представлялось многим ученым универсальным средством
познания. Однако этот могучий арсенал приемов нес в "своих основах неразрешенное
противоречие между растущими практическими успехами и логической
несообразностью, необоснованностью приемов оперирования с бес-, конечно малыми
величинами и особенно необоснованностью отбрасывания их. Этому противоречию
суждено было в скором будущем проявиться, и притом в резкой форме.
Алгебра,Ччна которую опирался новый анализ, к концу XVII в. "приобрела
достаточно усовершенствованный буквенно-символиче-ский аппарат. Ее практические
возможности кроме решения в радикалах уравнений первых четырех степеней и
некоторых "приближенных методов существенно расширились за счет установления
многих фактов общей теории алгебраических, уравнений и элементов теории
определителей. Центральной проблемой алгебры сделалась проблема отыскания общего
метода решения алгебраических уравнений любой степени. Понятие решения таких
уравнений в значительной степени еще сливалось с задачей представления корней
уравнений посредством: той или иной комбинации радикалов,,
Арифметические вычислительные методы к этому времени обогатились за. счет
использования логарифмов и соответствующих многочисленных таблиц. Начали
появляться вспомогательные, вычислительные устройства, среди которых наиболее
совершенны-ными были арифмометры Шиккарда, Паскаля, Лейбница и др. и
логарифмические шкалы,. Пестрота и разнообразие, неравномерность развития,
всегда присущие науке.в любой момент времени, в арифметике проявились в
отставании понятия отрицательного числа и даже в неравноправном положении
десятичных дробей сравнительно ^"обыкновенными.
В составе геомётриякромимо элементарных частей и тригоно-метр-ий -ученые XVIII
в. могли использовать аналитическую геометрию, не очень еще совершенную,
созданную в 30-е годы XVII в. Декартом и Ферма. К ней примыкала совокупность
геометрических приложений дифференциального исчисления, впоследствии
выделившаяся в особый вид геометрии •- дифференциальную геометрию.
К началу XVIII в. накопился значительный запас сравнительно еще элементарных
представлений теоретико-вероятностного характера. Начальные соображения ряда
ученых, например Кар-дано и Тартальи о числе способов получения желаемого
количества очков при игре в кости, Луки Пачиоли относительно задачи разделения
ставки, позволяли предвидеть возможность математи190
ческого изучения случайных явлений. В последующем Паскаль, , Ферма, Я. Бернулли
и др. нащупали в хаосе случайных событий определенные количественные
закономерности, из которых самой важной была простейшая форма закона больших
чисел. Вынужденная узость конкретного материала (азартные игры, отдельные
таблицы с результатами наблюдений) и элементарность методов (арифметикокомбинаторных)
воспринимались как временное и преодолимое препятствие.
Объем математических сведений, которыми должен был. располагать
квалифицированный математик конца XVI! - начала XVIII в., был, таким образом,
довольно велик,, Видимо, в силу • . именно этого обстоятельства начиная со
второй половины XVII в. начали появляться многотомные сочинения, имеющие целью
охватить всю математику, изложить ее в целом, систематически. Например, в 1661
г. в Вюрцбурге вышел в свет однотомный "Курс математики или полная энциклопедия
всех математических дисциплин" ("Cursus mathematicus sive absoluta omnium
mathema-ticarum disciplinarum Encyclopaedia") К. Шотта. Через 13 лет,, в 1674
г., "Курс, или мир математики" ("Cursus sen mundus mathematicus") лионца Дешаля
потребовал уже трех томов. Через 20 лет, в 1693 г., "Курс математики" ("Cours
des mathematiques",. Paris) Озанама появился в пяти томах. .
Тенденция к созданию единой системы математики не ослабевала и в последующие
века, являясь непременным спутником дальнейшего роста математики. В наши дни
выразителем подобных устремлений является, например, многотомное (еще не
завершенное) сочинение. "Элементы математики", коллективный автор которого
(группа математиков, преимущественно французских) выступает под общим
псевдонимом Никола, Бурбаки.
В течение XVIII в. существенно изменилась структура математики" ее состав.
Самые большие, коренные изменения произошли в математическом анализе. Во много
раз увеличилось количество входящих в него фактов. По своему содержанию анализ
трансформировался. Из метода, придуманного для решения определенного класса
задач, он преобразовался в анализ функций, приобрел структуру, близкую к
современной. В течение XVIII в. от классического анализа постепенно отпочковался
ряд дисциплин, получивших самостоятельное развитие. В первую очередь приобрела
самостоятельность теория дифференциальных уравнений, наиболее интенсивно
разрабатываемая в силу ее практической ценности. Теория обыкновенных
дифференциальных уравнений получила систематическое развитие, начиная с работ И.
Бернулли и особенно Я. Риккати.. В то же время ряд практических задач выдвинул
проблему решения уравнений с частными производными. Первые успехи были
достигнуты в^ решении задач о колебаниях струны, мембраны" % столба воздуха в
трубе и т. п. Поэтому наиболее ранние теоретиК
ческие успехи относятся к методам интегрирования уравнений гиперболического
типа.
На базе расширения понятия функции на область комплексного аргумента, широкого
применения разложения функций в ряды начала создаваться теория функций
комплексного переменного. В ней был открыт ряд фактов, в том: числе формулы
Муавра и Эйлера. Открытие и применение конформного отображения суще-, ственно
продвинуло эту обяастъ анализа и еще больше подчеркнуло ее своеобразие,
Геометрические приложения анализа также выделились в самостоятельную дисциплину
- дифференциальную геометрию. Крупнейшие ученые эпохи - Эйлер, Клеро, Монж,
Менье и др.- работали в этой области, стремясь создать общую дифференциальногеометрическую
теорию, способную исследовать пространственные объекты:
пространственные кривые и поверхности.
Из совокупности методов решения класса вариационных задач сложилось особое
исчисление - вариационное. Вначале, его составляли только так называемые прямые
методы, созданные. Эйлером. Во второй половине века было открыто исчисление,
основанное на введении нового понятия --••• вариации.
Кроме этих больших направлений в анализе получили серьезное продвижение: теория
рядов, исчисление конечных разностей, теория специальных функций и др.
Структура математики, разумеется, не исчерпывалась в то время анализом
бесконечно малых со всеми его ответвлениями,, Настойчивые попытки исследования
общей теории алгебраических уравнений привели к разработке теории детерминантов,
теории делимости многочленов, линейной алгебры и др. В самом конце столетия, в
1799 г., появилась замечательная книга Руффини "Общая теория уравнений, в
которой доказывается невозможность алгебраического решения общих уравнений выше
четвертой степени". Доказательство было не совсем строгим, но в нем были новые
идеи, вводящие в современную нам алгебру. Руффини, в частности, ввел понятие
группы операций и фактически связал некоторые свойства группы с проблемой
разрешимости уравнений в радикалах.
Весьма существенно пополнилась совокупность геометрических дисциплин. В нее уже
входила аналитическая геометрия, принявшая к середине века облик, весьма близкий
к современному как по символике, так и по объему. Вместе с учением о перспективе
сложилась к концу века начертательная геометрия, ставшая тотчас же важнейшей
частью высшего технического и математического образования. Привлекали интерес
ряда ученых проективно-геоме-трические идеи Дезарга, что подготовило почву для
исследований Понселе, который в начале XIX в. создал стройное здание проективной
геометрии. Весьма интересные исследования проводились в области тригонометрии и
элементарной, или, точнее говоря, синтетической геометрии.
В настоящем перечне составных частей комплекса математических наук XVIII
столетия нельзя обойти молчанием теорию чисел. Несколько обособленное положение
этой дисциплины не мешало тому, что она постоянно находилась в центре внимания
крупнейших ученых, прилагавших огромные усилия для решения ее трудных, но
заманчиво просто сформулированных задач. Как мы покажем далее, XVIII, в.
многое дал. теории чисел: найдено общее решение неопределенных уравнений
второй степени, сформулирован закон взаимности для. квадратичных вычетов,
доказана ирра- j циональность я и е и т. д. Наконец, в XVIII в. было
.положено [ начало научной разработке теоретико-вероятностных проблем, тес1
но сплетенных с задачами элементарного комбинаторного анализа--J
Из европейских государств наибольшую активность в математике мы наблюдаем во
Франции, где работали Даламбер, Лагранж, Лаплас, Монж, Лежандр и многие другие
выдающиеся, математики. Мы будем также часто обращаться к работам английских
математиков - Тейлора, Маклорена, Стирлинга, немецких - Ламберта, Гаусса и др.
Ведущее место в математике XVIII в. занимала и Россия благодаря деятельности Л.
Эйлера, Д. Бернулли и других петербургских академиков.
Для нашей Родины начало XVIII в. было временем энергичного преодоления
исторически обусловленной многовековой отста- \ лости. Реформы Петра I были
направлены на реорганизацию ар- * мии и флота, создание промышленности,
переделку государственного аппарата, налаживание системы подготовки необходимых
специалистов. Эти реформы быстро и энергично проводились в жизнь. Так, например
в 1701 г. была открыта, навигацкая школа (морское училище), в 1711 -1712 гг. —
артиллерийская школа. С 1714 г. во многих крупных городах России были
организованы так называемые цифирные школы, имеющие целью привить учащимся
элементарную математическую грамотность. В следующем, 1715 г., начала работать
Морская академия.
Первое научное учреждение России - Петербургская академия наук - было создано в
1725 г. Как составная часть Академии существовали гимназия и университет,
готовившие кадры, в которых остро нуждалась страна. Для ведения научной работы и
подготовки отечественных специалистов были приглашены из других стран молодые
талантливые профессора. В Петербург приехали и математики: сыновья И. Бернулли -
Даниил и Николай (последний вскоре, в 1726 г., скончался), ученик Я. Бернулли -
Я. Герман, бывший ранее профессором в Падуе, а затем во Франкфурте-на-Одере.
Немного времени спустя приехал совсем юный уроженец Швейцарии Л. Эйлер, нашедший
в России вторую родину.
Молодая Академия быстро завоевала международную известность. В первом же выпуске
научного журнала "Комментарии Петербургской академии наук" (за 1726 г.;
опубликовано в 1728 г.) содержались важные статьи об интегрировании
дифференциальных уравнений. Со второго тома в "Комментариях" начал публиковать
7 К. А. Рыбников 193
Li' К |l
Л. Эйлер (1707-1783)
свои работы Эйлер. В третьем томе был помещен важный мемуар Д. Бернулли о
колебании струны, в котором решение было дано в виде тригонометрического ряда.
В 15 томах этого научного журнала Академии наук, вышедших в период 1728-1802
гг., и в других ее изданиях этого же периода было опубликовано более 700 научных
статей и книг по теоретическим и прикладным вопросам математики. Многие из этих
работ оказали большое влияние на развитие науки. "Не могу Вам довольно
объяснить, с какой жадностью повсюду спрашивают о петербургских мемуарах", -
писал Эйлеру в 1734 г. Д. Бернулли, который к тому времени уже возвратился на
родину.
Однако своеволие временщиков и царей, интриги и взаимная вражда царедворцев
тяжело сказались на Академии. Внутри нее велась тяжелая неравная борьба за
воспитание национальных научных кадров, проводимая М. В. Ломоносовым (17111765).
Были закрыты гимназия и университет при Академии. Большие трудности
переживал и Московский университет, основанный в 1755 г. по инициативе
Ломоносова.
Славой и гордостью нашей отечественной науки в области математики являлся в то
время Л. Эйлер. Он напечатал огромное число книг и статей, воспитал большое
число учеников, ставших позднее академиками. Его значение в истории математики
исключительно велико.
Леонард Эйлер (1707-1783) - уроженец г. Базеля (Швейцария). Его отец, Пауль
Эйлер, был небогатым пастором. В молодые годы он увлекся математикой, изучал ее
под руководством Я. Бернулли. Своему сыну он прочил тоже духовную карьеру.
Однако "в Базельском университете Леонард увлекся математикой, слушал лекции И.
Бернулли и регулярно занимался с ним. Он блестяще окончил университет, получил
ученую степень магистра, но работы найти не мог.
Его друзья, сыновья И. Бернулли - Даниил и Николай, уехали в 1.725 г.
в'Петербург. По их рекомендации получил приглашение работать в Петербургской
академии наук и Л. Эйлер. Вакантным, правда, было место на кафедре физиологии,
но это не смущало молодого ученого. Все-таки работа! В мае 1727 г. он приехал в
Россию и прожил здесь 14 лет (до 1741 г.).
Физиологией заниматься не пришлось. Эйлеру представили возможность вести
исследования в области физико-математических наук. Он с огромным: рвением
принялся за научную и педагогическую работу; За это время он опубликовал свыше
50 и подготовил к печати 80 научных, работ, по анализу, теории чисел,
дифференциальным уравнениям, астрономии. В том числе появилась в 1736 г.
двухтомная "Механика", включающая механику' точки. Эйлер выполнял многочисленные
государственные задания. В 1738 г., во время напряженной работы над составлением
географических карт России, он частично потерял зрение. Но научная деятельность
его разрасталась. У него появились талантливые ученики: Котельников, Румовский,
Фусс, Головин, Сафронов и др. Авторитет Эйлера быстро рос, рос авторитет и
Петербургской академии.
Однако в Петербурге работать было неспокойно. Тревожная политическая обстановка,
о которой мы упоминали выше, пугала Эйлера. В 1741 г. он принял предложение
переехать в Берлин во вновь организуемую Академию наук. В Берлине он проработал
до 1766 г. в должности вице-президента и директора математического отделения. За
это время он написал около 300 научных работ, книг и статей. Примерно половину
их он отправлял для публикования в Петербург, где по-прежнему числился почетным
академиком и
У
откуда получал деньги. Эйлера тянуло обратно в Петербург. Он вел оживленную
переписку с Россией, поддерживал Ломоносова, принимал у себя в доме и учил
молодых ученых, приезжавших из Петербурга, закупал научные инструменты, давал
отзывы.
Наряду с огромным количеством статей Л. Эйлер в берлинский период жизни написал
ряд монографий, в которых в систематическом виде излагал современное состояние
математических наук" В 1744 г. он написар трактат о вариационном исчислении,
новой, открытой им области математики. В 1748 г. вышло в свет ""Введение в
анализ бесконечно малых", а в 1755 г. -• "Дифференциальное исчисление",,. Так
было положено начало громадной работе Эйлера по приведению в систему необычайно
разросшегося , математического анализа. Как продолжение написанной в Петербурге
"Механики" в 1765 г. выходит "Механика", посвященная движению твердого тела.
Наконец,,' Эйлер преодолел сопротивление прусского короля, преодолел
сопротивление Шумахера - всемогущего в то время секретаря Петербургской академии
- и стоящей за ним группы и в 1766 г. со всей семьей переехал в Петербург. Здесь
он был окружен почетом и мог, казалось бы, спокойно жить, умеренно работая. К
тому же преклонный возраст и почти полная потеря зрения вынуждали знаменитого
математика к покою.
Но необычайная научная активность Эйлера продолжалась. Во второй петербургский
период он представил в Академию еще 416 книг и статей, диктуя их своим ученикам;
Академия не успевала публиковать труды Эйлера. Они печатались в изданиях
Академии в течение 80 лет после его смерти (до 1862 г.). Среди работ этого
периода особенно много больших монографий, в которых приводятся в систему
различные области математики и смежных. дисциплин. В течение 1.768-1770 гг.
вышли в свет три тома "Интегрального исчисления", включающие в себя кроме
методов интегрирования функций теорию дифференциальных уравнений обыкновенных и
в частных производных, а также вариационное исчисление. В те же годы появились:
двухтомный трактат об алгебре, трехтомное сочинение натурфилософского характера,
написанное в форме "Писем о разных физических и филозофических материях,
писанных к некоторой немецкой принцессе". Второй петербургский период жизни
Эйлера дал науке и другие большие сочинения: диоптрику в трех томах, новую
теорию исчисления лунной орбиты (1772), теорию кораблестроения и навигации
(1778) и др.
Научное наследие Эйлера огромно. Им написано свыше 850 сочинений, среди которых
свыше 40 больших, нередко многотомных, монографий. На родине Эйлера, в
Швейцарии, было предпринято в 1909 г. издание полного собрания его сочинений.
Было рассчитано, что оно должно составить 72 огромных тома большого формата.
Однако в течение 50 лет вышло 42 тома, а материал, предназначенный для
опубликования, убавился едва на- половину. Кроме того, в Ленинграде, Берлине и в
других городах хранится
свыше трех тысяч писем из научной переписки Эйлера; многие письма по существу
являются научными работами. Опубликована же лишь небольшая часть этой переписки.
Научные работы Эйлера охватывают практически всю современную ему математику. Во
всех областях математики он сделал выдающиеся открытия, ставившие его на первое
место в мире. Ему было "доступно понимание математики как единого, хотя, и
огромного, целого. В нем он привел в систему главнейшие отрасли, и прежде всего
анализ со всеми его ответвлениями, Лаплас указывал, что Эйлер был общим учителем
для всех математиков второй половины XVIII в.
Научная деятельность Эйлера в основном имела алгоритмическую направленность. К
построению общей теории он приходил, отправляясь от конкретных задач, имеющих
практическое значение. В его научном наследии исключительно велик удельный вес
практики. Примерно 40% его работ посвящено прикладной математике, физике,
механике, в том числе небесной механике, гидромеханике, теории упругости,
баллистике, кораблестроению, теории машин, оптике и др. Черты алгоритмичности
присущи и его чисто, казалось бы, теоретическим работам. Особенно это заметно в
трудах по анализу бесконечно малых, который по существу строился им как,
математический аппарат классической механики и физики.
Нет возможности перечислить хотя бы главные открытия и научные достижения
Эйлера. Их слишком много. Характеризовать их означало бы практически
характеризовать всю математику XVIII в. В трудах Эйлера содержится ряд глубоких
идей, получивших дальнейшее развитие, лишь через несколько десятков лет.
Например, он частично предварил исследования К, Ф. Гаусса во внутренней
геометрии поверхностей. В 1758 г. он доказал теорему о топологической
(эйлеровой) характеристике многогранников, положив начало накоплению фактов
топологии. Ему принадлежит первое использование методов анализа в решении
теоретико-числовых задач и создание, аналитической теории чисел. Теоремы и
формулы, методы и символы, носящие имя Эйлера, часто встречаются в математике и
в наши дни, занимая в ней важное место.
Многие открытия Эйлера переоткрывались после его смерти другими учеными.
Особенно много таких переоткрытий встречается в теории дифференциальных
уравнений. Например, задачу о колебаниях круглой мембраны Эйлер свел еще в 1766
г. к линейному дифференциальному уравнению второго порядка с переменными
коэффициентами. Теперь это уравнение носит имя Бесселя, немецкого математика и
астронома XIX в. К слову, решение, данное Эйлером этому уравнению, представляет
собой бесконечный ряд, выражающий цилиндрические функции первого рода и любого
порядка (цилиндрические функции нулевого порядка появились в ме-муаре Д.
Бернулли о колебаниях гибкой нити, подвешенной за один конец). Примеров
подобного рода переоткрытий можно привести ^очень много.
Научные заслуги Эйлера и его учеников выдвинули Петербургскую академию наук на
одно из первых мест в мире. Россия сделалась одним из центров математических
исследований. Педагогическая деятельность Эйлера, его учеников, подготовка новых
кадров в университетах: Петербургском академическом (существовал до 1783 г.) и
особенно в Московском (организован в 1755 г.) - создали условия для широкого
развертывания сети высших учебных заведений России и роста математически
образованных кадров в следующем, "XIX столетии.
Перейдем к характеристике развития отдельных математических наук.
6.2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОСНОВ АНАЛИЗА БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ
Еще при жизни И. Ньютона и Г. В. Лейбница стало очевидным, что недавно открытые
исчисления флюксий и дифференциалов явились лишь преддверием новой области
математики, ее элементарной частью,, Содержание анализа бесконечно малых (как
стали называть эту. область математики) фантастически быстро поиолнялось
новыми фактами,, Операции дифференцирования и интегрирования оказывались
применимыми ко все более широкому классу функций. Соответственно расширились
возможности приложения анализа бесконечно малых. В свою очередь практические
потребности вынуждали распространять операции анализа на быстро
возрастающий класс функций. В сущности самой главной трудностью в развитии
анализа бесконечно малых была необходиЛ мость такого представления
функциональных зависимостей, ко(tm) \ торое позволяло бы: применять к ним
операции нового исчисления., Поэтому оказывалось все более необходимым
исследовать смысл" понятия функции, дать классификацию всех известных функций, и
найти способы оперирования с ними. Задача создания теории функций
сделалась первой, предварительной задачей анализа бесконечно малых. Эйлер писал,
что весь анализ бесконечно малых вращается вокруг переменных величин и их
функций.
Монографии XVIII в., посвященные систематическому изложению анализа, ярко
отразили эту особенность его развития. В них, как правило, дифференциальному и
интегральному исчислению были предпосланы специальные введения или даже книги,
содержащие анализ функций. Типичным и наиболее совершенным образцом, которому
следовали математики XVIII в., является серия книг Л. Эйлера.
Старая идея систематического изложения всей современной математики, позволяющего
осмыслить ее как единую науку, нашла в Л. Эйлере своего последователя. Он
понимал, что гигантский рост математики уже не позволит осуществить эту идею в
одном сочинении. Поэтому Л. Эйлер написал серии монографий, освещающих
современное состояние отдельных частей математики. Анализу бесконечно малых он
посвятил следующие книги!
а)к"Введение в анализ бесконечно малых" - 2 тома, изд. 1748г. б)
"Дифференциальное исчисление" - 2 тома, изд. 1755 г. в) "Интегральное
исчисление" - 3 тома, изд. 1767-1770 гг. (4-й том, вышедший в 1794 г., после
смерти Л. Эйлера, был составлен из ряда его работ).
Эти классические, без всякого преувеличения, сочинения отразили состояние
анализа, в XVIII в. и послужили образцом для последующих аналогичных трудов на
несколько десятилетий, практически до начала следующего, XIX, столетия,, Первый
том "Введения в анализ..." Эйлера был посвящен учению о функциях, об их
классификации, свойствах, способах разложения функций в бесконечные ряды и
произведения, в непрерывные дроби и в суммы простых дробей.
Анализ функций. Понятие -функции имеет два аспекта: функции как соответствия и
как аналитического выражения. Интуитивное восприятие функциональной зависимости
как проявления причинной связи явлений в различных модификациях свойственно
человечеству с давних времен. Большую1 историю имеют также попытки выражения
этих зависимостей средствами математики. Одними из первых, попыток являлись
учение античных математиков о геометрических местах и составление многочисленных
таблиц, В дальнейшем совокупность средств математического выражения функций
обогащалась. В нее входили символический аппарат диоф'антова анализа,
алгебраические и тригонометрические функции, логарифмы и другие конкретные
данные о тех или других функциях или классах функций.
Общая идея функции как соответствия сравнительно общей(tm) природы была подчеркнута
Декартом. Однако возможность опери"/ рования с функциями неизбежно связывалась с
их конкретными выражениями: средствами геометрии или аналитическими
символическими выражениями. И. Ньютон к этому добавил' механическую трактовку
функции в своей теории флюксий. Оперативная часть этой теории основывалась, как
известно, на разложениях функций в степенные ряды. В свою очередь Лейбниц
выразил общую идею функциональной зависимости, введя термин "функция" и
соответствующий символ для всех отрезков, связанных с кривой, и таких, что длина
их зависит от положения точки на кривой (ординаты, отрезки касательных,
подкасательных, нормалей, поднормалей).
Практические успехи анализа бесконечно малых побуждали ученых обращать большее
внимание на такую трактовку^ понятия / функции, которая способствовала бы
оперированию с конкретными | функциями. Эту тенденцию весьма отчетливо выразил в
1718 г. И. Бернулли, предложивший считать, что функция есть просто аналитическое
выражение. На ту же господствующую в то время позицию встал и Эйлер, дав
следующее определение функции: "Функция переменного количества есть
аналитическое выражение, состав199
ленное каким-либо образом из этого переменного количества и чисел, или
постоянных количеств"1.
Чтобы придать этому определению наибольшую возможную общность, Эйлер допускал
как действительные, так и мнимые значения аргумента. Функция, понимаемая просто
как аналитическое выражение, образуется у Эйлера с помощью класса допустимых
операций, в который входят арифметические действия, степени, корни, решения
алгебраических уравнений, К ним Эйлер присоеИррациональные
Рациональные
Рис. 45
динил элементарные трансцендентные функции: ez, Iriz и тригонометрические
функции. Наконец" в класс допустимых операций было включено интегрирование.
Классификация функций произво/дится в соответствии с определением' этого понятия
в основном по виду их символических выражений (см. рис, 45), с)йлер
дополнил'этот принцип классификацией функций по их свойствам. Так, он ввел
однозначные и многозначные, четные и нечетные функции, показал, каковы
символические признаки наличия или отсутствия того или иного свойства,
сформулировал признаки определения того, какие из свойств функции сохраняются
при производстве той или иной операции, а какие - не сохраняются. Классификация
функций Эйлера означала новый этап восприятия этого понятия, отличающийся
сравнительно
/ большой общностью. Однако отодвигание на второй план общего понятия функции
как соответствия, опара только на аналитико-оперативную_ц4)яетику определили
^ограниченность понимания
, функции даже Эйлером.
V Все функции мыслятся у него представимыми степенным рядом
1 Л. Эйлер. Введение в анализ бесконечно малых, т. 1. М., Физматгиз. 1961,
стр. 5.
(где z вообще говоря, комплексное). Следовательно, представление о всех функциях
было по существу еще ограничено классом аналитических функций. Такое заблуждение
вполне объяснимо. Значительно позднее выяснилось, что поскольку к аргументу
применяются только операции указанного выше класса, то и в результате будут
получаться только функции аналитические всюду, кроме, может быть, изолированных
особых точек, причем аналитичность сохранится и в сколько угодно малой,
окрестности этих точек, где функция допускает разложения в обобщенный степенной
ряд. Поведение функции в малом участке определяет, по Эйлеру, поведение ее в
целом, что свидетельствует о существовании у него в то время идеи аналитического
продолжения.
Из того же определения функции как аналитического выражения выросло своеобразное
определение непрерывности. Функция считалась непрерывной, если она задана на
всей области существования единым аналитическим выражением. Так, непрерывными
оказывались функции у = - " y = tgx и т" п. Свойство непреX
рывности функции в смысле, привычном для нас, называлось связ-\| ностью функции.
Разумеется, наряду с описанной концепцией понятия функции как аналитического
выражения' в работах Л. Эйлера, Ж. Далам-бера и других математиков XVIII в.
можно найти и другие определения. 'Возможны и другие трактовки этого. понятия,
отражающие ту мысль, что соответствие является его основным признаком. Однако
представление функции как аналитического выражения было доминирующим,
Основным, средством, позволяющим приводить функции к виду, удобному для
оперирования с ними, было разложение их в степенные ряды., Опыт подсказывал
математикам, что в ряды разложимы все известные им функции. Исключения из этого
общего правила появились в основном позднее; в то время они были слишком
немногочисленны, чтобы изменить сложившиеся представления и существенно повлиять
на структуру теории функций. Поэтому после классификации функций и введения
основных понятий в теории . функций XVIII в. непосредственно следуют разделы
оперативного характера, куда входят методы разложения функций в ряды и свойства
последних.
^ В своем "Введении в анализ" Эйлер разработал многообразный аппарат изучения
функций с помощью степенных рядов. Он изучил последовательно классы функций:
рациональных, дробно-рациональных, иррациональных, где особенно интересна
система остроумных подстановок, устраняющих иррациональность. Затем следуют
методы разложения в ряд показательных и логарифмических функций. Здесь впервые
вводится и полностью разъясняется определение логарифма положительного числа как
показателя степени, при возведении в которую выбранное основание дает заданное
число: если ax=N, то x = \ogaN. Затем выведена формула:
-0+f)'.
которая в более поздней символике записывается так:
* = 11т(1+
n-*oo \
(здесь у Эйлера i - бескойечно большое число. Символ г •- начальная буква слова
infinite).
Тригонометрические функции также вводятся аналитически. Их определения уже не
связываются столь тесно с геометрическим образом круга,, В результате
исследования их свойств выводится формула Эйлера
e±vl = cos v _±. l s-m ^
где t -мнимая единица. Формула выведена в характерной для того времени манере:
вначале приводится формула Муавра:
а затем
(cos z ± I sin г)п = cos пг ± t sin nz,
(cos z -f i sin z)n 4- (cos г - i sin z)n
008/22
sin nz
(eosz-f-1sin_z)fl--_(cosz - t sinz)n
__..__I
Принимая z за бесконечно малое, п - за. бесконечно большое, причем отношения
между z и п таковы, что их. произведение конечно: nz-*-v, а также, что при этом
" ,
COS 2 -"• 1, Sill 2 -* 2 = - ,
п
Эйлер находит
COS V -
Sin ?/' =
21 Отсюда уже следует искомая формула:
eiv = COSV +
Кроме разложения функций в ряды Эйлер разработал метод представления функций
бесконечными произведениями, как, например:
Ч я2 У Ч 9я2) Ч 25я2 J " '
Эти разложения были применены для упрощения вычисления логарифмов
тригонометрических функций.
Для нужд интегрального исчисления в теории функций были 'собраны методыпредставления
функций в виде суммы элемен- \/ • тарных дробей. Наконец, для
изучения свойств функций Эйлер V применил аппарат непрерывных дробей. Было
открыто также много фактов, полезных для будущей теории функций комплексного
переменного. Например, Даламбер и Эйлер в работах по гидродинамике показали, что
эти функции имеют вид w = u+iv и что действительная и мнимая части таких,
функций удовлетворяют условиям
ди ~дх'
dv
dv
Даламбер в 1752 г., а Эйлер в 1755 г. показали, что эти условия достаточны для
аналитичности функции ш. Позднее (в 1777 г.) Эйлер доказал и необходимость этих
условий, ныне в некоторых книгах ошибочно носящих название условий Коши -•
Римана.
В" течение 30-40-х годов XVIII в. главным: образом благодаря^/ Эйлеру была
разработана и систематизирована теория элементарных аналитических функций. Она
тотчас же повлекла поток открытий, сопровождавшихся большими и страстными
спорами. Особенно много споров вызывала трактовка функций комплексного
аргумента.
Большое значение имел в этом плане спор о природе логарифмов комплексных чисел,
начатый еще Лейбницем и И. Вернул-ли. Первый утверждал, что эти числа - мнимые,
тогда как И. Бернулли отстаивал утверждение, что эти числа действительные. В
1749 г. Эйлер правильно решил этот вопрос. Он заметил, что значение у=1пх
определяется из равенства
Отсюда
X 1 =
JL- u-i(xT_\\
. " У - I \X ~ Ajt
что соответствует в современных обозначениях:
-1).
Так как хп , т. е. "корень с бесконечно большим показателем Ь, продолжает Эйлер,
имеет бесконечно много разных значений, во203
обще говоря мнимых, то и логарифм имеет бесконечно много значений, вообще говоря
мнимых. Однако споры не утихали, так как не была выяснена их основа: сущность
понятия комплексного числа. Мы вернемся к этому вопросу еще раз при изложении
истории теории функций комплексного переменного.
Неясность существовала и в вопросе о соотношении объемов |классов аналитических
и аналитически выразимых функций. [Эйлер, как было сказано выше, считал их
равносильными; всякое [аналитическое выражение представимо рядом. Это убеждение
раз-| дел ял о подавляющее большинство математиков XVIII в. Даже в П. 797 г.
Лагранж пытался построить теорию аналитических функ-|дий, опирающуюся на
утверждение, что всякая функция всюду, \за исключением, быть может, отдельных,
значений аргумента, пред-Ъ;авима рядом Тейлора,
Накопившийся запас представлений о способах выражения. функциональных
зависимостей начал приходить, однако, в противоречие с этой концепцией. Эйлеру
пришлось рассматривать и более общие классы функций, как: было указано выше.
Так, ему принадлежит идея рассмотрения функций, геометрически выраженных
линиями, начерченными свободным движением руки. При этом неизбежно встала задача
о соотношении объема данного класса и класса непрерывных (в смысле Эйлера)
функций. Эйлер считал, что последний класс, по-видимому, беднее, потому что
существование аналитической формулы определило бы 'однозначное аналитическое
продолжение. Функции же, образованные свободным движением руки, не имеют такого
ограничивающего условия,, Толчком, к рассмотрению указанных проблем послужили
задачи математической физики, в особенности задача о 'колебании струны. Этой
принципиально важной задаче уделяли большое внимание еще в XVII в. многие
ученые: Галилей, Мерсенн, Декарт, Гюйгенс и др.
В 1715 г. Тейлор вывел уравнения колебания струны из усд2и
^
ловия, что ускорение точки струны, т. е. --", обратно пропорционально радиусу
кривизны
Р = -
дх*
Для малых колебаний это дает
. и У __ а2 и у dt* дх* '
Тейлор наложил на задачу еще одно условие, что все точки колеблющейся струны
одновременно возвращаются на ось абсцисс.
Это дало ему возможность утверждать, что р = -.
Тогда
Принимая далее ось абсцисс за начальное положение струны, концы которой
закреплены, Тейлор нашел решение уравнения в
виде
у = A sin Ьк • sin abt.
В 1747 г. Даламбер нашел общий, интеграл этого уравнения" Пусть дано уравнение:
• ' д№ djca
После замены at=t оно примет вид
at3
или
т.
at V at
дх
Л у
дт
является полным дифференциалом,
Обозначим
at
дх
Тогда
откуда
И следовательно,
du = gdr +
dy = pdi + qdx,
у ~}-u -
Здесь ф и -^ - произвольные функции, определяемые только начальными условиями.
Из условий закрепленности концов у вывел:
*=/
- 0 Даламбер
При этом он считал само Собой разумеющимся, что функция непрерывна
в смысле XVIII в., т. е. аналитическая и, следовательно,
дифференцируемая.
" Через год после работы Даламбера (опубликована в 1750 г.) Эйлер ввел
соображение о том, что положение конечной колеблющейся струны в любой момент
времени /о определено, если задано ее начальное положение y\t=Q=f(x) и начальное
распределение
скоростей. - - I =?(#). Тогда функция ф (х), введенная в реdt
|*=
шение, данное Даламбером, выражается через функции f(x) и g(x). Именно
Ф(*)-Ф (-*) = /(*),
(чтобы получить это выражение, в условии
• -"- = яф' (р& + х) - аф' (at - х) = g (х)
положим /=0 и проинтегрируем обе части равенства).
Но, как замечает Эйлер, функции f(x) и g(x) вообще не непрерывные, а связные,
Это обусловлено требованием сплошности струны. Следовательно" произвольная
функция у="р(х)9 введенная Даламбером, не является, вообще говоря, непрерывной.
Вокруг проблемы определения природы функции ф(я) разгорелся спор, длившийся
около 50 лет. В него были вовлечены многие крупные ученые XVIII в. Спор, как это
часто бывает, перерос свои границы. Он превратился в спор о природе функций,
входящих в состав интегралов уравнений с частными производными, а затем - вообще
о соотношении между внутренними свойствами функций и характером выражающего их
аналитического аппарата. Среди множества возникших в связи с этим проблем
оставалась долгое время нерешенной старая проблема: являются ли связные линии,
вычерченные свободным движением руки, непрерывными, точнее аналитически
выразимыми.
Решить эту проблему оказалось возможным, лишь обогатив средства аналитической
выразимости функций. Эти пути в XVIII в. уже наметились в результате введения в
математику аппарата тригонометрических рядов. В одной из своих 15 статей,
посвященных задаче о колебании струны, Эйлер дал решение одного из
частных случаев в виде тригонометрического ряда. Через пять лет, в 1753 г., Д.
Бернулли предложил общее решение в аналогичной форме, исходя из, физического
соображения, что звук, издаваемый колеблющейся струной, слагается из основного
тона и бесконечного множества обертонов. Именно:
{/ - длина струны, a=a(f), Р = Р(0" 7='У(^К •••)•
Однако Эйлер выступил против такой трактовки, общего решения, так как, по его
мнению, функция, предложенная Д. Бернулли, являлась недостаточно общей. В самом
деле, она непрерывная, нелетная, периодическая. Поэтому, по Эйлеру, она могла
выражать лишь частное решение, в крайнем случае - класс частных решений,,
Возникший спор привел к задаче: выяснить объем класса функций, представимых
тригонометрическими рядами.
Дальнейшее развитие понятия функции, состава теории функций и ее места в системе
математического анализа выходит за рамки XVIII в. Однако, чтобы не возвращаться
далее к этому вопросу, изложим в основных чертах его дальнейшую историю.
В 1807 г. (опубликовано в 1822 г.) Фурье в работах по аналитической теории тепла
доказал, что связные линии, заданные на конечных участках различными
уравнениями, представимы на любом таком участке рядом,
/1=1
где коэффициентами являются выражения, получившие впоследствии название
коэффициентов Фурье:
ап = - { f(x) cos пк dx,
я J
-я +я
bn = - i f(x)sinnxdx. ял)
Все эйлеровские связные кривые, начерченные свободным движением руки, оказались
охваченными аналитическим аппаратом тригонометрических рядов. Несоответствие
общих представлений о функциональной зависимости и ограниченных аналитических
средств их выражения оказалось сглаженным. Создались условия для трактовки
функций как соответствий весьма общего вида. Вскоре такие трактовки стали
преобладающими. Так, в 1810 г. Лакруа писал: "Всякое количество, значение
которого зависит
от одного или нескольких других количеств, называется функцией этих последних,
независимо от того, знаем мы или не знаем, через какие операции нужно пройти,
чтобы перейти от этих последних к первой" 1. Аналогичное определение дано в
"Аналитической теории тепла" Фурье: "Функция fx обозначает функцию совершенно
произвольную, т. е. последовательность данных значений" подчиненных общему
закону или нет, и соответствующих всем значениям х, содержащимся меж#у нулем и
какой-либо величиной х"2.' Лобачевский в 1834 г. утверждал: "Общее понятие
требует, чтобы функцией от х назвать число, которое дается для каждого х и
вместе с х постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или
аналитическим выражением, или условием, которое 'подает средство испытывать все
числа и выбирать одно из них, или, наконец, зависимость может существовать и
оставаться неизвестной... Обширный взгляд теории допускает существование
зависимости только в том смысле, чтобы числа' одни с другими в связи понимать
как бы данными вместе"3. Аналогичную трактовку понятия функции дали в 1837 г.
Дирихле и другие ученые, и она стала общепринятой,
Однако вскоре, обнаружилось, что и ряды Фурье не являются универсальным
аппаратом представления функций. Во всех случаях сходимости рядов Фурье,
относящихся: к непрерывным функциям', кроме непрерывности требовалось выполнение
дополнительных условий: конечность производной, ограниченность изменения
функции, кусочная монотонность, существование некоторого интеграла, выполнение
неравенства и т., п. П. Дюбуа-Реймон в 1876 г. показал, что нельзя освободиться
от дополнительных условий и ограничиться только свойством непрерывности функции.
Он построил пример непрерывной функции, ряд Фурье которой расходится в некоторых
точках4.
При построении этого примера Дюбуа-Реймон использовал прием накопления
особенностей при построении функции - прием, идущий от Больцано. Регулярное
применение этого приема показало, что удается построить непрерывную функцию
Ф(х), периодическую на сегменте [0, 2я], с накоплением особенностей в любой
точке. Соответственно ряд Фурье будет расходиться в любой точке указанного
сегмента. Вновь образовался разрыв между арсеналом средств аналитической
выразимости функций и общей трактовкой понятия функции5. Грубо говоря, кривых
снова оказалось больше, чем формул.
1 S. F. Lacroix. Traite du calcul differentielle et du calcul integral, t. L
Paris, 1810, p. 1.
2 J. B. Fourier. Theorie analytique de chaleur. Paris, 1835, p. 5.
3H. И. Лобачевский. Об исчезновении тригонометрических строк. Собр.
соч., М.-Л., Гостехиздат, 1951, стр. 43.
4 См., например, Г. М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального
исчисления, т. 3. М., Гостехиздат, 1949, стр. 598-605.
5 Теория рядов Фурье и вообще тригонометрических рядов в свою очередь
получила мощные стимулы развития, которые привели ее к современному
Еще более осложнилось дело к концу XIX в., когда понятие кривой приобрело
большую абстрактность и общность, чем ранее. В 70-х годах XIX в. Г. Кантор
построил общее понятие кривой средствами теории множеств 1. Плоская кривая была
определена у Кантора как множество тйчек на плоскости, связное, т. е. без
изолированных точек, совершенное, т. е. замкнутое (содержащее все свои
предельные точки), и всюду плотное, на себе (любая его точка -предельная).
Однако это было такое множество, которое нигде не плотно на плоскости (не имеет
внутренних, точек). Построение Кантора, естественно, было воспринято некоторыми
математиками критически, "как уводящее в сторону от возможности использовать
сложившийся аналитический аппарат.
Этот недостаток будто бы устранялся в определении кривой К. Жор дана, данном им
в 1882 г.: плоская кривая есть совокупность, точек плоскости, координаты которых
заданы уравнениями x=x(t), y = y(i), правые части которых - непрерывные функции
от параметра t на некотором отрезке [/о, Т], Кривые. Жордана оказались весьма
разнородными и зачастую весьма сложными,, Применение вычислительных алгоритмов к
кривым этого класса еще более затруднилось, когда, в 1890 г. Пеано открыл, что
существуют кривые Жордана, которые могут заполнять целиком все внутренние точки
некоторого квадрата. Только частные классы этих кривых имеют сравнительно
простую структуру. Например,, -когда существуют непрерывные производные x'(t) и
y'(t)9 то кривая есть линия, имеющая длину
y'2(t)dt.
Тем не менее возможности для алгоритмического оперирования с функциями даже -
столь общей природы, как оказалось, сохранились. Только теперь они опирались на
общую идею аппроксимирования функций, приближенного их воспроизведения. Способы
аппроксимации, как известно, различны. Решающую роль в осуществлении этой идеи
сыграли результаты Вейерштрасса. Он доказал в 1885 г., что любая функция f(x)\
непрерывная в [а, &]" аналитически выразима на нем как сумма равномерно сходяще00
гося ряда целых алгебраических полиномов: ^У Pn(x).
л=1
состоянию. В нее вошли общие признаки сходимости (начиная с работ Дирихле,,
1837), понятия теоретико-множественного характера (Г. Кантор с" 1872 г.), меры и
интеграла (Риман и в особенности Лебег, 1902-1906). В первой четверти XX в. в
нее вошли крупные результаты Данжуа, Лузина, Меньшова, Бари и др.. % История
этой математической дисциплины весьма богата фактами, но содержит еще много
нерешенных проблем.
1 К построению теории множеств Кантор пришел исходя именно из исследований
относительно изображения функций тригонометрическими рядами.
Математический анализ XVIII в., в особенности та его часть, которую мы назвали
анализом функций, послужил источником многих идей современной теории функций. В
нем были созданы начала теории функций комплексного переменного. Как мы увидим
далее, класс вариационных задач привел к созданию вариационного исчисления и
возникновению ряда элементов современного функционального анализа. Выяснение
широкого смысла-понятия функции как причинного соответствия общей природы
развилось впоследствии в теоретико-множественную концепцию этого понятия. Анализ
всех возможных классов функций' и их свойств оказался необходимым условием для
появления современной конструктивной теории функций.
Изложенная выше история развития понятия' функции в XVIII в. и позднее была бы
неполна, если бы мы не отметили, что в этот период вместе с обогащением анализа,
функций изменилась его служебная роль. Из введения в анализ он превратился-в
одну из его высших областей - теорию функций. Свойства же элементарных функций
вошли составной частью вв оперативные исчисления--дифференциальное и
интегральное. Место введения в анализ заняли теория действительного числа и
теория пределов.
Проблема обоснования анализа бесконечно малых. Работы по вопросам обоснования
анализа, появлявшиеся в течение XVIII в., настолько многочисленны, что
составляют большую самостоятельную отрасль математической литературы вообще.
Одной из самых характерных черт анализа бесконечно малых в XVIII в. была
невыясненность его исходных понятий, невозможность объяснить рационально
правомерность введенных операций. Взгляды создателей анализа на этот предмет не
отличались ни постоянством, ни определенностью. Как Ньютон, так и Лейбниц
предприняли множество попыток объяснения своих исчислений, не достигнув успеха.
Их ближайшие последователи только усугубили путаницу. Практические успехи
анализа бесконечно малых' приходили во все увеличивающееся противоречие с его
неясными, зыбкими основами. Анализ бесконечно малых переживал мистический, по
определению К. Маркса, период своего развития.
Уязвимость такого положения вскоре дала себя знать. У анализа бесконечно малых
появились противники, ставящие под сомнение или отвергающие его методы,
результаты и в особенности трактовку основных понятий. Приверженцы же могли
противопоставить этим возражениям лишь накопление практически важных
результатов. К. Маркс по этому поводу писал: "Итак, сами верили в таинственный
характер новооткрытого исчисления, которое давало правильные (и притом в
геометрическом применении прямо поразительные) результаты математически
положительно неправильным путем. Таким образом, сами себя мистифицировали и тем
более ценили новое открытие, тем более бесили толпу старых ортодоксальных
математиков и вызывали с их сто210
роны враждебные вопли, будившие отклик даже в мире неспециалистов и необходимые
для прокладывания пути новому"1.
Видная роль во враждебных выступлениях против анализа бесконечно малых
принадлежала ирландскому епископу, видному философу-идеалисту Дж. Беркли,
который был озабочен укреплением позиций религии, расшатываемых под влиянием
грандиозных успехов естественных наук. Наряду с другими сочинениями философского
характера, где он отстаивал позиции субъективного идеализма, Беркли издал в
1234^х-л:рл1С1^х^Аналистх или рассуж-/ дение, обращенное к одному неверующему
математику", в котором он стремился доказать, что анализ (как и все области
науки) имеет отнюдь не большую обоснованность, чем догматы богословия;.
Критические аргументы Беркли были характерны для субъективного идеалиста. Они
состояли из утверждений о чувственно-интуитивной несообразности,
невоспринимаемости понятия флюксий и способа их последовательного образования,
а. также о логических противоречиях в высказываниях Ньютона относительна
оснований анализа.
Возникла оживленная полемика, способствующая в конечном счете выяснению спорных
вопросов. Она не входила, в расчеты; Беркли, и он вскоре отошел от этой
специальной темы, отнюдь не изменив своих общих воззрений. Однако критический
пересмотр проблемы обоснования анализа бесконечно малых продолжался в среде
математиков с большой интенсивностью. Он был остро необходим.
Самой первой реакцией английских математиков (Джарин, Робине, Пимбертон,
Маклорен и др.) была защита теории флюксий и авторитета Ньютона. Они
комментировали его труды и внесли в них частичные усовершенствования. При этом
было высказано немало полезных мыслей. Так, например, привлечено внимание к
правильному толкованию понятия предела переменной величины. Однако этот путь
оказался, как и следовало ожидать,, исторически бесплодным.
Виднейшие математики, занимавшиеся в середине XVIII в, проблемой обоснования
анализа бесконечно малых, видели свою задачу пока еще только в рационализации
его основ, в устранении пробелов, неясностей, мистического оттенка. Среди многих
попыток этого периода, который К. Маркс называл рациональным,, особенно
выделяются теории Эйлера и Даламбера.
Для Эйлера и его последователей (Торелли и др.) дифференциальное исчисление
Лейбница не должно было трактоваться как исчисление дифференциалов,
сопровождающееся отбрасыванием бесконечно малых. По Эйлеру, дифференциальное
исчисление есть метод определения отношения исчезающих приращений, получаемых
функциями, когда их аргументам даются исчезающие приращения. Основным понятием
здесь является не дифференциал,,
1 К. Маркс. Математические рукописи. М., "Наука", 1968, стр. 169.
а производная. Что же касается бесконечно малых, или дифференциалов, то они есть
просто точные нули. Производные, следовательно,
имеют вид - ; требуется лишь выбирать то значение, к которому
стремится (приближается) отношение конечных разностей Ау = у\ - у и
AX=XI - х, уменьшившихся каждое до нуля,,
Теория нулей Эйлеру не могла, быть признана удовлетворительной. Она 'лишь
маскировала реальные предельные переходы, которые практически совершались при
дифференцировании •функций. К тому же дифференциалы, объявленные нулями, вскоре
появляются у самого Эйлера в виде главных линейных частей приращения функций.
Без них оказалось невозможно обойтись.
Теория Даламбера также возникла на почве критического пересмотра наследия
Ньютона и Лейбница для выявления их рациональной сущности. Этот пересмотр
заставил Даламбера отдать предпочтение методу первых и последних отношений
Ньютона. Этот метод .Даламбер развил, придав ему форму метода пределов. Он
считал, что одна, величина является пределом: другой величины, если вторая может
стать к. первой ближе, чем на любую .данную' величину, 'как бы ни была мала эта
последняя, причем приближающаяся величина никогда не сможет превзойти вели"чину,
к которой она приближается.
Отсюда видно, что переменные, по Даламберу, - монотонны, предел - односторонний.
Кроме того, чтобы избежать оперирования с нулями, Даламбер ввел требование,
чтобы предел не1 совпадал ни с каким значением переменной.
- . Вычисление производных, по Даламберу, состоит из следующих операций:
переменному аргументу х дается конечное приращение Ад:; функция y=f(x) получает
вследствие этого конечное
же приращение Д#; составляется отношение - - и упрощается;
1\Х
наконец, полагается Дя=0. Подобный метод фактически основывается на
предположении, что разложение y-\-Ay=f(x+&x) в ряд по степеням Дя уже известно,
что по существу эквивалентно утверждению, что найдена и сама производная и ее
остается только высвободить из ее окружения, по выражению К. Маркса.
Теория пределов имела многих последователей. В 1786 г. швейцарец Люилье победил
на конкурсе, объявленном Берлинской академией наук (президентом которой был
Лагранж) на тему о ясной и точной теории математических бесконечно больших и
бесконечно малых величин. Его сочинение "Элементарное изложение начал высших
исчислений" было построено на базе теоршКпределов.
В нем производная - была введена как символ выра)кеdx
" \
ния
".
Urn
А/ (л:)
- - - -
^
Страстными приверженцами и пропагандистами \
метода пределов были петербургский академик С. Е. Гурьев и его последователи П.
А. Рахманов и академик В. И. Висковатов.
Однако теория пределов XVIII в. не получила признания у большинства
современников. Главной причиной этого была органически присущая понятию предела
неалгоритмичность. "Методу пределов,- писал в 1797 г. Л. Карно,- свойственно
одно серьезное затруднение, не имеющее места в анализе бесконечно малых: именно,
в нем нельзя, как в этом последнем, отделять бесконечно малые количества друг от
друга, и так как количества в нем всегда связаны, друг с другом, то невозможно
ни использовать при вычислениях свойства, принадлежащие каждому из них в
отдельности, ни подвергать уравнения, в которых они встречаются, преоб- ,
разованиям, способствующим их исключению" *. Определение у предела как
одностороннего недостижимого предела монотонной | последовательности было
недостаточным, неразвитым. Оно еще должно было развиться в понятие предела
функции, освободившись от подобных ограничений. Наконец, теория пределов еще не
включала в себя, понятие * сходимости последовательностей и, что еще более
важно; критерия этой сходимости, введенного лишь в первой половине XIX в. Коши и
Больцано. Словом, эта теория; чтобы, стать общепризнанной и общеупотребительной,
должна была, помимо строгости в выяснении смысла, основных понятий анализа,
приобрести алгоритмический аппарат.
Поэтому не удивительно, что ко второй половине XVIII в. вы- v явилась еще одна
концепция обоснования анализа, названная \ К. Марксом алгебраической"
Ее сущность состояла в том, чтобы положить в основу анализа понятие
производной, определение которой включало бы эффективный способ ее отыскания,
не опирающийся на туманные понятия бесконечно малой, предела и т. п. Операцию
дифференцирования, согласно этой концепции, следовало бы заменить алгебраическим
приемом или каким-либо другим специальным алгоритмом.
По-видимому, первые работы в области алгебраического дифференциального
исчисления появились в Англии. В 1748 г. .вышло "Учение об ультиматорах" Джона
Киркби, неудачнО'в"^ТйТчас^''же^" забытое. Через несколько лет в двух работах
(1758-1764) Джон \ Ланден развил "анализ вычетов". В последнем рассматривались
\
f(xi) - f(x) 0 выражения вида '-^-^-L^-L. Значение такого выражения
при
х\=х Ланден называл "специальным значением", или "отношением вычетов", и ввел
для него символ [xJ-'y\. Разыскание "специального значения" для элементарных
алгебраических функций в "анализе вычетов" опиралось на теорему
X- V пг ът
iii
п
1 Л. Карно. Размышления о физике бесконечно-малых. М, ГТТИ, 1933, стр. 199.
При v = x получается значение производной для у = хп:
т
У'= -х
п
Рассуждения Ландена, как и других приверженцев алгебраического обоснования
аналиЗа, по существу опирались на самоочевидность разложения функций в ряд. Их
алгебраические приемы были пригодны фактически лишь для полиномиальных функций.
Распространение этих.приемов даже на класс аналитических-функций связано с
трудностями, с которыми их авторы не умели справиться (распространение на
бесконечные ряды свойств конечных сумм, представимость функций степенным рядом и
т. п.).
Самой серьезной работой, выяснившей полностью возможности алгебраического
дифференциального исчисления и определившей его судьбу, была большая работа
Лагранжа "Теория аналитических функций, содержащая принципы дифференциального
исчисления, освобожденные от всякого рассмотрения бесконечно малых или
исчезающих пределов и флюксий, сведенные к алгебраическому анализу бесконечных
количеств" (1797). Ее исходным и центральным пунктом было стремление доказать
теорему, что всякая функция y=f(x+h) почти всюду (быть может, за исключением
отдельных значений аргумента) разложима в степенной ряд
/ (Х + А) = / (Х) + ph + q№ + rh* + ...
Доказательство Лагранж строил таким образом, что исключал все особенные случаи
(возможность появления членов разложения с отрицательными или дробными степенями
Лит. п.). Тем самым он выделил для исследования класс аналитических функций,
отнеся остальные функции к разряду исключений. Это было отмечено позднее
Вейерштрассом, по инициативе которого за функциями, представимыми степенными
рядами, было сохранено название аналитические. Степенные ряды Лагранж
использовал для приближения функций полиномами, опираясь на то, что для всех
достаточно малых h каждый член разложения будет больше суммы следующих за ним
членов. При этом для конкретных функций он вывел формулу остаточного члена и
ввел в употребление теорему о среднем.
Последовательные производные определены Лагранжем как коэффициенты при
последовательных степенях h с точностью до соответствующих числовых
коэффициентов. Последующее изложение дифференциального исчисления было проведено
Лагранжем в этом же сочинении.
Таким образом, дифференциальное исчисление, по мысли Лагранжа, должно было
представлять часть алгебры, отличающуюся лишь специфическими алгоритмами.
"Алгебра есть не что иное, как теория функций. В алгебре искомые количества
должны
Ж. Л. Лагранж (1736-1813)
быть функциями данных количеств, т. е. выражениями, представляющими различные
операции, которые нужно произвести над этими количествами, чтобы получить
значения искомых. В алгебре, в собственном смысле слова, рассматривают только
первоначальные функции, происходящие из обычных алгебраических операций; это
первая ветвь теории функций. Во второй ветви рассматривают производные функции,
и это та ветвь, которую мы называем просто "Теорией аналитических функций" и
которая содержит все, относящееся к новым исчислениям"1-так пояснил эту свою
мысль Лагранж.
1 J. L. L a g r a n g e. Theorie des fonctions analytiques... Oeuvres de
Lag-range, t. IX Paris, 1881, p. 16.
Однако .вскоре выяснилось (и Коши сыграл в этом главную* роль), что теория
Лагранжа некорректна. Основная теорема о разложении функций в ряд по существу
опиралась на неявное предположение, что всякая функция разложима в ряд Тейлора.
Этот порочный круг оказался неустранимым. Кроме того, Лаг-ранж не смог избежать
неявных апелляций к бесконечно малым и к предельным переходам. Операции с рядами
тоже-оказались необоснованными, так как: они производились без исследованиясходимости
ряда.
В" обстановке острой борьбы обнаруживалась несостоятельность одного за другим
почти всех способов обоснования математического анализа. Только по отношению к
понятию предела-критика вела не к отказу от концепций, основывающихся на нем,, а
к их уточнению. Но это понятие трудно и долго входило в анализ, так как всякий
раз возникали трудности, связанные с вопросом о существовании предела и о
способах эффективного его на-" хождения,. Подобные трудности существовали долго,
до конца XIX в., когда был создан "е, б-аппарат" теории пределов.
Идеи К. Маркса о путях развития математического анализа" В изложении проблемы
обоснования анализа бесконечно малых в XVIII в. мы неоднократно ссылались на ряд
идей К. Маркса,, содержащихся в его математических рукописях,. В предыдущем
параграфе мы целиком исходили из этих идей; исследования Маркса имеют для нашей
науки основополагающий характер. Дадим здесь их краткий обзор, отнюдь не
претендуя на полноту анализа содержания всех математических, рукописей Маркса.
Математикой Маркс -начал заниматься в конце 50-х годов-прошлого века в связи с
работой над "Капиталом" и не прекращал этих занятий до последних дней своей
жизни. .Работая самостоятельно, он помимо применений математики к исследованию
экономических проблем перешел к систематическим занятиям математическим
анализом. Здесь он поставил перед собой задачу - сорвать покров тайны,
окружавшей основные понятия: и методы дифференциального исчисления со времен
Ньютона и Лейбница. Труднейшая задача обоснования анализа бесконечно малых
сделалась для Маркса пробным камнем применения метода материа: листической
диалектики к математике. При решении этой задачи Маркс проделал большую
предварительную работу. Он изучил и критически сравнил многочисленные учебники
математического анализа для высших школ Англии и Франции и познакомился с
некоторыми классическими произведениями Ньютона, Эйлера, Маклорена и др.
В ходе этой работы К. Маркс убедился в неудовлетворительности почти всех попыток
обоснования анализа, кроме теории пределов, важнейшим представителем которой
являлся Коши. В конце 70-х годов Маркс приступил к изучению теории пределов и к
обработке и систематическому изложению складывающейся у него собственной точки
зрения. Смерть (14 марта 1883 г.) прерва'216
ла занятия. Исследования остались неоконченными. Математические рукописи К.
Маркса в той части, которая относится к математическому анализу, отражают эту
большую работу.
Для К. Маркса анализ бесконечно малых не является изолированной, обособленной
областью математики. Он представляет собой закономерно возникший новый этап
исторического развития -математики, Поэтому задача выявления логической
структуры анализа в подавляющей части сводится к анализу его истории. Эта
история начинается с накопления неразвитых форм,, прообразов, понятий и операций
анализа, ведущих, к переходу от алгебры конечного к алгебре бесконечного,
включающей в себя бесконечные ряды, интеграционные и дифференциальные методы.
Появление собственно дифференциального и интегрального исчисления связано уже с
изобретением специфических алгоритмов.,
Работая над выяснением диалектического перехода от алгебры к анализу бесконечно
малых, К. Маркс обращал внимание на то, что основатели дифференциального и
интегрального исчисления, равно как и ученые более позднего времени, с самого
начала. действовали на почве самого исчисления и не искали его алгебраических
истоков.
Ньютон "был еще слишком поглощен разработкой самих- дифференциальных операций,
которые у Тейлора и Маклорена предполагаются уже имеющимися и известными,. К
тому же, как свидетельствуют его первые элементарные формулы исчисления, Ньютон
явно пришел к. ним первоначально, отправляясь от механических, а не
принадлежащих чистому анализу исходных пунктов. С другой стороны, что касается
Тейлора и Маклорена, то они с самого начала в своей работе оперируют на почве
самого дифференциального исчисления, и ничто их не побуждало поэтому
доискиваться наивозможно более простых алгебраических, исходных пунктов этого
исчисления, тем более что спор между последователями Ньютона и.Лейбница вращался
вокруг определенных, уже готовых форм исчисления, как только что открытой,
совершенно особой математической дисциплины, до которой обычной алгебре, как до
звезды небесной, далеко... Подлинные и в силу этого простейшие взаимосвязи
нового со старым открываются всегда лишь после того, как это новое само
приобретет уже завершенную форму..." 1.
В истории обоснования дифференциального исчисления в XVIII в. К. Маркс различал
следующие периоды:
1. Мистическое дифференциальное исчисление. В силу того, что основоположники
анализа бесконечно малых, в первую очередь Ньютон и Лейбниц, с самого начала
отождествляли приращение с дифференциалом, они могли получать правильные
результаты, лишь отбрасывая бесконечно малые более высоких порядков. Это с
неизбежностью приводило к тому, что дифференциалу
1 К. М а р к с. Математические рукописи, стр. 199.
приписывались какие-то особые, таинственные свойства, что бесконечно малые
рассматривались как некие мистические величины: и нули и не нули одновременно.
К. Маркс не видел в этом решительно никакой диалектики и считал такую трактовку
неправиль-.ной. В то же время он высоко оценивал открытие дифференциального и
интегрального исчисления и подчеркивал то обстоятельство, что борьба мнений,
развернувшаяся вокруг этого открытия, была необходимой, чтобы проложить путь
новому.
2. Рациональное дифференциальное исчисление исправляет методы Ньютона и
Лейбница. Его виднейшими представителями были 'Эйлер и Даламбер. Как мы
разъясняли выше, определение производной, по Даламберу, проведено более строго,
но реальный (эффективный) способ нахождения производной при этом не выявляется.
Больше того, составление отношения — и последующие
А*
операции с ним основываются на предложении, что разложение f(x+&x) в ряд по
степеням ДА; уже найдено, что эквивалентно нахождению искомой производной,
которую остается только "вы" свободить из ее окружения",.
3. Алгебраическое дифференциальное исчисление. Лагранж, главный
представитель этого течения, уже явно исходит из разложимости функции /(АГ+Й) в
ряд по степеням h и определяет производную как коэффициент того члена ряда,
который содержит приращение h в первой степени. Вопрос об алгоритмах нахождения
производной для тех или иных классов функций остается, таким образом, открытым.
Больше того, Лагранж так и не доходит до собственного дифференциального
исчисления. Дифференциальные символы у него представляют собой просто "дело
номенклатуры, которая одна только и остается от собственно дифференциального
исчисления"1. К. Маркс также отметил, что в приложениях своей аналитической
теории функций Лагранж сам постоянно использует то или другое из отвергаемых им
"метафизических" представлений: ньютоновы флюксии, лейбницевы бесконечно малые,
даламберовские предельные значения отношений исчезающих величин, а также
специфическую для дифференциального исчисления символику.
Остановимся еще на некоторых других идеях К. Маркса в области основ
математического анализа. Задача, которую он ставил перед собой, состояла для
начала в выяснении сущности дифференциального исчисления как такового, т. е. как
особого математического исчисления, оперирующего с характерными для него
символами. В соответствии с этим К. Маркс прежде всего выявлял реальную сущность
процесса дифференцирования.
По К. Марксу, производная f (х) от функции y=f(x) получается следующим образом:
образуется (если это возможно) "предварительная" производная, т. е. функция
1 К. Маркс. Математические рукописи, стр. 177.
•ф(х, Xl) =
Значение этой функции для х\=х (если оно существует) и есть производная от
данной функции. К. Маркс искал алгоритмы, позволявшие (в простейших случаях)
непосредственно находить по выражению функции ее производную. Так, в случае
степенной функции у=Хп
Ф (х, хг] =
- х*
Хл - X
что при х\=х дает
Такого рода способы непосредственного нахождения производной К. Маркс называл
алгебраическим дифференцированием. Термин "алгебраическое" употреблялся им в том
же смысле, как и у многих математиков XIX в.: как не требующее использования
понятия бесконечно малой величины.
Алгебраическое дифференцирование К. Маркса допускает символическое отображение в
общепринятом в его время* виде" Обозначая
% - х = А*, уг - у = Д#,
причем Дя=йО, К. Маркс получал для предварительной производной символическое
выражение --. Соответственно обозначение
Ал;
производной f(х) будет
dx
Этот символ, который К, Маркс (в
соответствии с употреблявшейся в его время терминологией) называл "символическим
дифференциальным коэффициентом", непосредственно имеет смысл только в целом.
Однако в силу способа образования производной можно рассматривать выражения
/' (х) dx = dy.
Эта формула верна и для дифференцирования сложной функции. В этом случае она
используется как оперативная формула, позволяющая (в довольно широких
предположениях) свести нахождение производной от функции
к отысканию производных f '(х) и ср^я). Для этого достаточно в формулу для
дифференциала подставить
Но таким образом происходит оборачивание метода. Мы следуем не от реального
математического процесса образования производной к ее символическому выражению,
а, наоборот, опираясь на символическую формулу, находим выражение для
производной. Первым нетривиальным примером такого оборачивания метода , является
дифференцирование произведения у = иг. Обращаясь к выводу формулы *
d(uz) _ dz , ^ du
dx
dx
dx
К. Маркс указывал, что "символический дифференциальный коэффициент становится,
таким образом, самостоятельным исходным пунктом^ реальный эквивалент которого
лишь должен быть найден... Но тем самым и дифференциальное исчисление выступает
как некое специфическое исчисление, которое оперирует уже самостоятельно, на
собственной почве, ибо исходные пункты егоdu
dz -, ---- суть лишь ему принадлежащие и его характеризуюdx
• их
шие математические величины. И это оборачивание метода получилось здесь как
результат алгебраического дифференцирования uz. Алгебраический метод, таким
образом, сам собой превращается в противоположный ему дифференциальный метод...
Но тем самым символические дифференциальные коэффициенты -,-----
dx dx
тотчас же. превращаются в оперативные символы, в символы процессов, которые
должны быть выполнены,.. Первоначально возникший как символическое выражение
"производной", т. е. уже выполненных операций дифференцирования, символический
дифференциальный коэффициент теперь играет роль символа.тех операций
дифференцирования, которые только предстоит еще произвести" 1.
К. Маркс не ограничивался понятием дифференциала как оперативного символа. В
применении к вопросу о приближенном выражении приращения функции он использовал
понятие дифференциала* как главной линейной части приращения. Понятие
дифференциала как оперативного символа, впервые открытое К. Марксом, и различие
обоих понятий дифференциала приобретают, как это было показано советским
математиком В. И. Гливенко, особенна важное значение в современных обобщениях
понятия дифференциала на функциональный анализ.
В ходе работы над математикой К. Маркс интересовался широким кругом вопросов.
Среди них: о применении математики в экономических" исследованиях, о
математических способах отображения движения и многие другие. Несмотря на
незавершенность математические рукописи К. Маркса имеют большое научное
значение.
1 К. М а р к с. Математические рукописи, стр. 55-57.
6.3. РАЗВИТИЕ АППАРАТА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Перестройка основ математического анализа происходила в обстановке, когда
последний быстро и успешно развивался. Многие исследователи последующих времен,
говоря о математиках XVIII в., упрекали их за то, что они в погоне за
практическими
результатами оставались якобы безучастными к его основам,, Мы показали в
предыдущей главе, что это было, конечно, не. так.
В оперативной части анализ также был преобразован самым: радикальным образом:,,
Был выработан удобный, действенный, развитый аппарат исчислений, В н_ачдд.е..^УВД---в".....анализ
подразде-.....
лялся еще. только jja две ча'стаГ дифференциальное ж-интегральное исчисление.
Первое включало в себя, в частности, всю теорию ря-"ТЮ'ВГБо""втором же были
сосредоточены методы решения всех так называемых, обратных, задач анализа,
бесконечно малых. Таким: образом, в интегральное исчисление помимо методов
интегрирования функций включалась вся теория дифференциальных уравнений, как
обыкновенных, так и: с частными производными, а также вариационное исчисление.
Ярким примером такой нерасчлененности структуры математического анализа является
рассмотренная выше серия монографий Эйлера.
Фактическое богатство анализа, накопленное, в течение XVIII в., огромно. Оно
слишком велико, чтобы дать в рамках настоящего учебника его систематический
обзор,, Да в этом здесь и нет необходимости. Мы укажем лишь на некоторые
наиболее характерные особенности развития дифференциального и интегрального
исчисления и теории дифференциальных уравнений,
Дифференциальное исчисление. Вскоре после появления первых работ Г. В. Лейбница
выяснилось, что его исчисление дифференциалов и символика имеют большие
преимущества перед, исчислением флюксий и. соответствующей системой символов.
Они лучше отображали сущность операций анализа, и последний, естественно, принял
форму, в основном предсказанную Лейбницем.. Однако в качестве основного понятия
математики XVIII в., в отличие от Лейбница, приняли не дифференциал, а
производную, как менее уязвимую логически. Постановка задач дифференциального
исчисления изменилась. Вслед за Эйлером оно стало трактоваться большинством
математиков как метод определения отношения исчезающих приращений, получаемых
функциями, когда переменному количеству, функциями которого они являются, дается
исчезающее приращение.
В течение длительного времени дифференциальное исчисление сохраняло тесные связи
с исчислением конечных разностей. Эта связь была в рассматриваемое нами время
настолько тесной,, что оба эти исчисления фактически объединялись в единое
исчисление для функций как непрерывного, так и дискретного аргумента. Помимо
обычных соображений, в которых учитывается "моло221
дость" и нерасчлененность анализа, такое положение объяснялось, по-видимому,
большим прикладным значением исчисления конечных разностей для методов
интерполяции, численного дифференцирования и интегрирования, приближенного
решения дифференциальных уравнений. Не последнюю роль играли при этом
соображения, связанные с доказательствами по аналогии. Совместное "рассмотрение
обоих исчислений создавало большие возможности для подобных аналогий. *
Математики XVII и XVIII вв. много внимания, уделяли развитию исчисления конечных
разностей. В работах XL Ферма, I! Барроу, Г. Лейбница, Дж. Валлиса, И. Ньютона и
др. сформировалась эта область математики. Изобретатели анализа беско-.нечно
малых ввели многочисленные аналогии между конечными разностями и
дифференциалами, используя их для дальнейшего развития дифференциального
исчисления. Вот один из примеров.
В 1711 г., Ньютон вывел известную интерполяционную фор" .мулу1
f (а + пЬх) - / (а) + яА/ (а) +
n(n2)
1-2-3 где п - целое положительное число,
А/(а), А*/(а), А"/(а),-.-последовательные конечные разности функции f(x)
при х=а.
А/(*) = /(*+А*)-/(*), А2/ (*)" А/ (х + АЛ-) - А/ (*), А3/ (*) =. А2/ (х + Аж) -
А2/ (х),
Эту формулу Ньютона Тейлор распространил на случай бес-жонечно большого числа
членов, где Ал; стремится к нулю, но, од-жако, так, чтобы n-kx=h было конечным.
Тогда
ДА: t - Ах) (ft - 2Дл:)
превратилось у него в
1-2-3
df(x) dx
1-2
А3/И Дл3
Дх2
dx2
3!
d*f(x) dx3
1 И. Ньютон. Конечные разности. В кн.: И. Ньютон. Математические работы. М.,
ОНТИ, 1937, стр. 210-217.
Подобное использование аналогий и параллельное развитие дифференциального
исчисления и исчисления конечных разностей было характерно для анализа XVIII в.
Особенное распространение эта черта получила к середине века, что ярко
продемонстрировал, например, Эйлер в своем "Дифференциальном исчислении" (1755).
Он посвятил, в частности, первые две главы систематическому изложению теории
конечных разностей в объеме, превышающем дальнейшее ее применение в настоящем
сочинении, к интерполированию рядов, преобразованию их для улучшения сходимости,
и подобным вопросам.
Основным аппаратом дифференциального исчисления явилось разложение функций в
степенные ряды. Сравнительно богатый" арсенал средств, накопленный
предшественниками, в самом начале века обогатился теоремой Тейлора. Последний
нашел ее, как мы показали выше, использовав аналогию с исчислением конечных:
разностей, экстраполируя на исчисление дифференциалов интерполяционную формулу
Ньютона. В 1712 г. Тейлор уже сообщил свою теорему в одном письме, Публикуя ее в
"Methodus incremen-torum. directa et inversa" (1715), Тейлор дополнил ее выводом
для:. частного случая, называемого рядом Маклорена. Последний дал новый вывод,
этой теоремы в 1742 г.
Регулярное применение рядов Тейлора и Маклорена стало | характерной особенностью
дифференциального исчисления. Их: значение оказалось настолько большим, что
когда в 1784 г. Кон-дорсе присвоил этим рядам имена их. открывателей, это было
воспринято как само собой разумеющийся факт. Задача разложить в ряд
элементарными путями все известные функции и тем самым-обеспечить эффективность
операций дифференциального исчисления сделалась не только актуальной, но и,
казалось, достижимой, В этом направлении были достигнуты крупные успехи. Все
известные математикам XVIII в. (и, по-видимому, все возможные)-функции
обнаруживали свойство разложимости в степенные ряды,, бесконечные произведения и
т. п., и с ними оказывалось возможным оперировать. Огромное увеличение фактов
дифференциального исчисления, кажущееся пренебрежение к необходимости более
глубокого изучения свойств рядов создали прецеденты для неправильных оценок
творчества математиков XVIII в. в области математического анализа. С разной
степенью определенности различные авторы писали о формализме и беспечности в
этих вопросах.
Однако это не соответствует действительности. Первые же трудности
выдвинули проблему сходимости рядов. Уже в 1715 г. П. Вариньон сформулировал
относительно биномиальных разложений ряд требований, сущность которых сводилась
к тому, чтобы члены разложения неограниченно уменьшались, равно как и остаток
ряда. Усилия, направленные на замену смутных метафизи-1 ческих рассуждений
точным определением сходимости, продолжа-1 лись в течение всего столетия. При
этом основные заслуги математиков XVIII в. можно сформулировать так: вывод и
исследование
различных форм остаточного члена ряда; преобразование рядов с целью получить
ряд, заведомо сходящийся; творческое осмысление оперирования с расходящимися
рядами.
В 1754 г. Даламбер при выводе ряда Тейлора высказал соображения, сводящиеся к
представлению остаточного члена /г-крат-ным интегралом. Эйлер стремился отыскать
иные- критерии сходимости, рассматривая модули разностей сумм членов ряда,
взятых в конечном числе,. В 60-х годах идея различения сходящихся и расходящихся
рядов проникла в учебники, например в учебники Кестнера (1760 и 1761 гг.). В
1768 г. Ламберту удалось строго доказать ряд теорем относительно сходимости
разложения числа я в цепную (непрерывную) дробь. В конце века, в 1797 г.,
Лагранж .представил остаточный член ряда Тейлора сначала в интегральном виде, а
затем в виде, в котором: он известен сейчас под его именем. Усилия математиков
XVIII в. правильно понять проблемы сходимости (равно как и их. -ошибки) создали
к началу XIX в., условия для строгого подхода к ее решению. Новый этап^ теории
щаов^-характеризующийся регулярными строп?м^Ъ11ёиками остаточных членов и
характера сходимости, начинается в первые десятилетия XIX в. и связан в первую
очередь с работами Коши.
О большом внимании к проблеме- сходимости свидетельствуют работы по улучшению
сходимости рядов. Многие преобразования рядов для получения сходящихся рядов
принадлежат Эйлеру. Вот пример: дан ряд
S = ах - Ь& + схв - dx* + ______
Производится замена переменных.
= У +
S = а (у + ^ + ...) - (у + // +......)Ч~ с (у + if + ..
S = ay + (a - b) y* + (a - 2b + c) y* + ... = = ay + Аа-г/2
Затем новая замена переменных у -
приводит к
S'= а+
Да I
Если ряд 5 .сходится, то ряд S' сходится к этой же сумме. Но существуют такие
значения х, для которых 5 сходится, а 57 - расходится.
Оперирования с рядами вне области их сходимости приводили к парадоксальным
результатам. Однако Эйлер нашел способы получать важные результаты анализа
именно с помощью расходящихся рядов. Вообще Эйлер нередко оперировал с
расходящи224
мися рядами, видя для этого основания в индуктивном распространении на
бесконечные ряды операций, применимых к полиномиальным функциям. Оправданием
законности оперирования с расходящимися рядами для Эйлера было получение
правильных результатов. Чтобы избежать несообразностей, следует, говорит он
правильно определить понятие суммы расходящегося ряда., При этом надо отказаться
от обычных представлений, связанных со словом "сумма", и считать, что суммой
ряда является конечное, выражение, из разложения которого этот ряд возникает.
Например, суммой ряда
будет
II v | v2 [ t-3 I ••--]-- л -f- л -}-- л -j- . . .
-, потому что данный ряд получается из разложения
последнего выражения. Такое определение оказывается более общим и предвосхищает
многие важные идеи последующих времен, например идею аналитического продолжения,
не говоря уже о возможности использования важного аппарата расходящихся рядов.
Наряду со степенными рядами в математический анализ вошли новые^шш^разложегиш
функций. Д. И. Стирлинг (1730) и
"например, разложения в асимптотические
ряды,. В 1748 г. Эйлер ввел тригонометрические ряды для решения задач
математической физики. Это средство получило применение не только в работах.
Эйлера, но и в сочинениях других математиков: Д. Бернулли (1753) по -уравнениям
математической физики (например, решение уравнения колебания струны), Да-ламбера
(1754) и одновременно Клер о по небесной механике. К концу XVIII в. Лаплас (1782
г., опубликовано в 1785 г.) и Ле-жандр (1783, опубликовано в 1786 г.) "решили
задачу о притяжении эллипсоидального тела, введя разложения в ряды по
сферическим функциям.
Математический анализ в XVIII в.^обргатился_мощным и разнообразным аппаратом
разложения функций в ряды различных видов. Этот* аппарат был создан под
непосредственным влиянием задач математической физики. В ходе его разработки
постепенно были подняты проблемы изучения общих свойств рядов, главным образом -
их сходимости. Без этого систематическое использование ч созданного аппарата
было затруднительно. Построение достаточно общей и строгой теории рядов
сделалось к концу века первоочередной проблемой, от решения которой зависели
практические успехи математического анализа.
Правила дифференцирования в подавляющем большинстве были разработаны еще в
трудах Лейбница и братьев Бернулли. Расширение этих правил в связи с расширением
класса исследуемых функций не представляло принципиальных трудностей. Так, вслед
за аналитическим выражением тригонометрических, показательных и других классов
функций были немедленно получены аналитические выражения их производных.
К. А. Рыбников
Накопление фактов дифференциального исчисления происходило быстро. В
"Дифференциальном исчислении" (1753) Эйлера это исчисление появляется уже в
весьма полном виде. Например, теорема о независимости значения частных
производных от порядка дифференцирования была известна еще в начале века. Эйлер
дал ей доказательство, распространив последнее на частные производные высших
порядков. В теории полного дифференциала Эйлер показал, что в
частные производные должны удовлетворять условию
дР ^ dQ
ду дх
Символы ----- , - -",, однако, были введены позднее, около 1786 г., дх ду
Лежандром. Необходимость, а затем достаточность данного условия, чтобы выражение
Pdx-}-Qdy было полным дифференциалом, была доказана Эйлером. Он же, рассматривая
функции трех переменных f(x, у, г) и их полные дифференциалы вида Pdx-\-Qdy -\--
Rdz, ввел условия
дР
дх dz
дх dz
ду
Именем Эйлера названы также и формулы дифференцирования сложных функций, теорема
об однородных функциях и многие другие факты.
Правила определения экстремумов функций одной переменной y=f(x) были даны
Маклерском. Эйлер разработал этот вопрос для функций двух переменных., Лагранж
показал (1789), как. от" , личать вид условного экстремума для функций многих
переменных, а затем (1797) применил для их исследования метод неопределенных
множителей, носящий его имя. Упомянем, наконец,
вопрос об исследовании неопределенностей вида ----,0-оо, оо - со,
которые провел Эйлер.
Дифференциальное исчисление в течение XVIII в. накопило почти все факты,
характеризующие его современную структуру. Был разработан сильный аппарат
представления функций рядами. Он приобрел достаточно развитую аналитическую
форму. Помимо общих проблем рационального истолкования его основных понятий,
связанных с невыясненностью понятия бесконечно малого количества и рассмотренных
нами в предыдущей главе, перед ним встали новые проблемы обоснования. Эти
проблемы относились к суммируемости рядов, разложимости функций в ряды различных
типов, условий существования интегралов -от заданных полных дифференциалов и т.
п.
Интегральное исчисление. Создатели анализа бесконечно ма^
' _ _ __л.гттт/'" ттлтттлго г\аг"г"луг
отчлтдтэ о а п f\ п о т о t-т Q о а гт с" _
лых ввели итеп,альное ^
ЧИ (
бенно^явно^У "Лейбница вопрос был сложнее: интеграл появился
•^ " . ____ _, л",г,т . т Л
ТГОГ^ ГП7ИЛГТ1Л О ^vOPIfmU AUU Г" f^n, ТТ Т-ЛТТГЧТГ/Л ТТОГ"ТТО
1 Hii I СА К ciVU-Hiv/xx **~-------- ' j.
д. A -
чи своих исчислений. В теории флюксии Ньютона взаимная об-патность задачи
вычисления флюксий и флюент проступала осог
хг ТТ^Л^тттттто тэ/лгтгк- ^Ы.Л
Г.ТТПЖНРР' ИНТРГПЯП TTHCTPltJ TIP a
вначале как определенный, как сумма бесконечно большого числа бесконечно малых
дифференциалов. Однако интегрирование практически сводилось к отысканию
первообразных функций. Идея неопределенного интегрирования была вначале
доминирующей.
"" Обратные задачи были поставлены в самом общем виде. "Интегральное исчисление
включало еще помимо интегрирования функций задачи и теорию дифференциальных
уравнений, вариационное исчисление, теорию специальных функций и т. п. Эти
области математического анализа лишь постепенно отделились от
интегрального'исчисления в течение XVIII в. 'Интегральное исчисление в такой
общей постановке необычайно быстро разрослось. Эйлеру понадобилось в 1768-1770
гг. три больших тома, чтобы дать его систематическое, изложение. Первый том
этого колоссального труда включал в себя в первой части собственно
интегрирование функций; обыкновенные дифференциальные уравнения ^ заняли вторую
часть первого тома, и весь второй том; третий том был отведен дифференциальным
уравнениям с частными-производными и вариационному исчислению. Однако весь этот
материал понимался еще все-таки как единое интегральное исчисление.
• "
По Эйлеру, который выражал общепринятую точку зрения, интегральное исчисление
являлось методом нахождения по данному соотношению между дифференциалами
соотношения между самими количествами. Действие, которым это достигалось,
называлось интегрированием. Исходным понятием такого исчисления, разумеется, был
неопределенный интеграл. ^Само исчисление имело целью выработку методов
отыскания первообрГазншПфунк-ций для функций возможнсТ!^
Задача построения исчисления в основном была решена в течение первой половины
XVIII в. Главные достижения в этом деле вначале принадлежали И. Бернулли,
написавшему первый систематический курс интеграЗТБНрга-исчисления (1742), затемЗид^
ру. Вклад последнего в" интегральное исчисление необычайно велик. По
справедливому замечанию Н. Н. Лузина* об Эйлере, доведенные им до конца
интеграции и найденные им квадратуры еще до сих пор образуют рамки всех
современных курсов и трактатов по интегральному исчислению; математика в течение
150 лет после смерти Эйлера не могла пробить бреши в том кольце интеграции,
которое было выковано Эйлером, и таким образом добавить новые квадратуры. В
отношении интегрального исчисления современные учебники являются лишь
переделками трактата Дилера, только подновлением этого труда в отношении языка.
Аналогичную оценку давал академик А. Н. Крылов.
8* 227
Несмотря на кажущуюся чрезмерной категоричность этих суждений, они
подтверждаются при конкретном рассмотрении знаменитого "Интегрального
исчисления" Эйлера и сравнении его с современными учебниками. Методы
неопределенного интегрирования достигли практически современного уровня во
второй половине XVIII в.
Формирование совокупности методов нахождения первообразных функций
сопровождалось вьщаботкой общих понятий исчисления и ?0ответствующ|^
Ъ'онятияГнеопредёленного интеграла как основного, ввел целую систему
определений. Интеграл вместе с произвольной аддитивной постоянной интегрирования
он называл полным. Фиксирование произвольной постоянной приводило к частному
интегралу. Зра" чение последнего при некотором определенном значении аргумента
давало эквивалент определенного интеграла.
Эту стройную последовательность оказалось невозможным выдержать в прикладных
вопросах (в случае, когда первообразная не является элементарной функцией), и в
соответствующих приближенных вычислениях определенное интегрирование вводилось
как суммирование в смысле, аналогичном современному. Необходимое видоизменение
символа Лейбница
\f(x)dx
ь"
для случая определенного интегрирования было тоже найдено не сразу. Символ
Эйлера
/(*)**[',
[adx =
(где вместо f(x) еще стояло р) получил с 1779 г., по предложению Лапласа,
соответствующий термин "определенный интеграл". Привычный нам (кажущийся таким
естественным) символ
J/W
dx
был введен Фурье только в 1819-1822 гг.
Параллельно с развитием интегральнотсьисншжения возникали обобщения
рпер^цМ...0Ж
Ш1ШРЖ1ШЯ-ГЬ ^43 г. Клеро)ввел криволинейные интегралы
^*------------'
-Qdt/,
взятые вдоль кривой, в книге "Теория фигуры земли, основанная на началах
гидростатики" (русский перевод вышел в 1947 г.). в связи с практическими
задачами разработал и ие. Через два года (в 1772 г.) Лагранж,
оассматривая задачу о притяжении эллипсоида вращения (опубликована в 1775 г.),
вв^^в_^тематику^тройные интегралы.
В ходе развитйТПштегрального исчисленияпоявилсяряд задач специального характера.
Попытки их решения повели к разработке новых областей математического анализа.
Последние оано или поздно отделились от своего первоначального источника
__интегрального исчисления XVIII в.
Прежде всего следует упомянуть о теории "дифференциальных уравнений и о
вариационном исчислении. Мы рассмотрим их далее специально в соответствии с тем
значением, которое эти отделы имели для развития математики.
Вычисление интегралов специальных видов уже в начале века привело к открытию
ряда фактов теории специальных функций. Одним из первых, было открытие эйлеровых
интегралов первого и второго рода, т. е. соответственно бета-функции
В (а, Ь) = f я*-1 (1 - x)b~-1 dx о
(1730-1731) и гамма-функции
(1729-1730).
Интегрирование по частям, примененное к: гамма-функции, дает
Г(а+1) = аГ(а), a"0. • , •
Если а - натуральное, то '
Г(а+1) = аГ(а)= ... = а! Г(1) = а!
Это дало Эйлеру основание дать обобщенное определение факториала
- , ^^^^^
п\ = Г еххп-1 dx. S
В случае бета-функции при натуральных а и 6
В (а, 6) = - L_ .
подобные соображения позволяют обобщить (как и понятие факториала) понятие
биномиального коэффициента на случай непрерывно изменяющихся аргументов.
Доказательство абсолютной сходимости для а"0, Ь"0, разумеется, еще не могло быть
дано,
- ....... - -~ - 22'9 ...... "" ..... "' ' ' ' '
как и рассмотрение этих функций для комплексных значений аргумента.
Из числа многих специальных интегралов можно отметить "интегральный
логарифм":
х 1пх
In*
Г eldt
= J "Гкоторый
приобрел вместе с функцией ?(я) большое значение. в аналитической
теории чисел, например при исследовании проблемы распределения простых чисел в
натуральном ряду,, Эйлер разложил интегральный логарифм li(g
в ряд:
| At
(tm)
з з
где с - постоянная Эйлера:
;
.с -0,577215...,
арифметическая природа которой не выяснена до настоящего
времени,, • .... • ...... •- - - ..... - -
"-и*",....
Класс специальных, или трансцендентных, фушпйяй, включал в себя также
эллиптические функции, возникшие при обращении эллиптических интегралов,, т. е.
интегралов вида . ^/
(где R- знак рациональной функции, /г=3 или /г=4, а полином Pn(*Y не имеет
кратных корней). Свое название эти интегралы получили за то, что через один из
них
. - k* sin2 a da
(интеграл второго рода в нормальной форме Лежандра) выражается длина дуги
эллипса
u = as\na, v-bcosa (a"b)
- k2 sin2 a da.
Интегралы этого вида были применены многими математиками XVIII в. для
вычисления длин дуг различных кривых. В 1761 г.
Q- РП открыл теорему сложения эллиптических интегралов, а идея
v п/5оащения была впервые высказана в конце XVIII в. Гауссом, ч ТРООИЯ
эллиптических функций в основном была построена в V XIX в в трудах
Абеля, Якоби, Лиувилля и других математиков, j
Как уже было сказано, указанные функции являются одним ич видов специальных
функций -трансцендентными,, Они имеют обший источник- интегралы, не выражающиеся
через элемента?" . ные функции. Другой основной класс специальных функций
появляется, как известно, при решении линейных дифференциальных уравнений
второго порядка с переменными коэффициентами (функции Бесселя, Ламе,
цилиндрические и т. д.).
При вычислении ряда трудных интегралов был применен также метод комплексных
подстановок, связавший впоследствии интегральное исчисление с теорией функций
комплексного переменного. Например, еще Даламбер и Эйлер утверждали, что
и одновременно Тогда
Ф (х + iy) = М + iN Ф (х - iy) = М - IN.
Р + iQ = J (М + iN) (dx + idy), P - iQ^{(M- iN) (dx - idy),
откуда
P = f Mdx - Ndy" Q = f Ndx + Mdy.
Из того, что выражения под интегралами являются полными дифференциалами функций
Р и Q, следуют известные условия Даламбер а- Эйлера
дМ = _ dN . dN = дМ_ ду дх ' ду дх
Например, для гамма-функции
*
оо
Г (n) = f e-*xn-1 dx
Эйлер (1781 г., опубликовано в 1794 г.) производит замену x=ky. Тогда
Полагая затем
Г (п) •= е-ьууп~1 dy. 6
k = р -f lq = г (cos a ± i sin а), 231
он нашел
л cos да Л/ ==
(я) cos /га -
откуда в качестве частного результата (при п = -, р = 0, q = 1 j получил
интегралы,, известные теперь как интегралы Френеля
(X)
J Уф
О
(Эйлер учитывал, что
Другой частный результат Эйлер получил, положив во втором уравнении /г-"оо,
откуда •
f ^
J
e'px sin
а затем (p = Q, q=l)
sin xdx'
Целью подобных подстановок является стремление получать интегралы функций от
одной переменной. При этом иногда в качестве исходного берется такой интеграл,
значение которого уже известно, чтобы получить новые, более сложные интегралы.
Так, Эйлер в одной из работ применил подобный метод к интегралу
dz
С ,dz ^
J /l-za
и получил два новых интеграла
Р - Г cos(fl-f co)dt; л _ Г sin (ft + со) dv
} кг ' y~J ут '
где
•& = const; 232
tg2co1-
и* cos 20'
s = V\ - 2i"2 cos 20 +
= const.
Лаплас рассматривал интегралы с мнимыми пределами.
Эта область интегрального исчисления играла важную роль в создании теории
функций комплексного переменного как один из ее источников.
Итак, в течение XVIII в. в интегральном исчислении сформировалась совокупность
методов, близкая к его нынешнему составу и уровню". Это исчисление также дало
начало новым отделам математического анализа, как, например, теории специальных.
функций. От него отделились и превратились в самостоятельные области математики
теория дифференциальных уравнений и вариационное исчисление. Интегральное
исчисление послужило, наконец, одним из источников теории аналитических функций.
Дифференциальные уравнения. Перед создателями анализа задача интегрирования
дифференциальных уравнений вначале выступила как часть более общей задачи:
обратной задачи анализа бесконечно малых. Естественно, внимание вначале
сосредоточилось на различных уравнениях первого порядка. Их решения
разыскивались в виде алгебраических или элементарных трансцендентных функций с
помощью более или менее удачно подобранных приемов. Для того чтобы свести эту
задачу к операции нахождения первообразных функций, создатели анализа и их
ученики стремились в каждом дифференциальном уравнении разделить переменные.
Этот прием, которым теперь начинаются систематические учебные курсы теории
дифференциальных уравнений, оказался, по-видимому, и исторически первым.
Около 1692 г. И. Бернулли нашел другой прием, использовав в ряде задач умножение
на интегрирующий множитель. Этот же прием успешно применял в 1720 г. Бернулли.
Постепенно выяснилось, что метод интегрирующего множителя, по-видимому, можно
рассматривать как общий метод интегрирования уравнений вида
трудно, однако, осуществимый из-за подбора этого множителя.
Арсенал приемов решения дифференциальных уравнений включал также
замену переменных. Лейбниц (1693), а затем И. Бернулли с помощью
подстановки y=xt решали однородные^ уравнения первого порядка. Уравнение И.
Бернулли
+ bynqdx (а = const, 6 = const, -р = р(х), q = q(x))
было с помощью подстановки yl~n = v преобразовано (Лейбницем в 1693 г., И.
Бернулли в 1697 г.) в линейное дифференциальное
уравнение первого порядка. В ходе решения этого уравнения И. Бернулли
предвосхитил метод вариации постоянных, введенный в 1775 г. Лагранжем. Наконец,
к 1700 г. И. Бернулли сумел решить линейное дифференциальное уравнение /г-го
порядка
вводя интегрирующий множитель вида х? и последовательно понижая с его помощью
порядок уравнения,
Однако эти, а также некоторые другие приемы были разрознены, а количество задач,
сведенных к дифференциальным уравнениям, гигантски выросло и все возрастало. По
существу все прикладные задачи анализа, известные в то время, требовали решения
многочисленных и разнообразных дифференциальных уравнений. Каждое из этих
уравнений было продиктовано конкретной задачей математического естествознания, а
его решение сулило открытие важной тайны природы или технического
усовершенствования.
Вопросы общей теории дифференциальных уравнений в начале XVIII в., разумеется,
не могли быть поставлены. Слишком был слаб аппарат, пригодный для решения
дифференциальных уравнений, не выделены отдельные классы дифференциальных
уравнений, не изучены их особенности. Оставался единственный' путь - путь
упорной, методической работы над решением возможно более широких классов
уравнений. На этот путь встали все (крупные математики того времени. Слишком
важна и неотложна 5ыла задача. Количество сочинений и конкретных результатов,
полученных ими, огромно. Мы можем здесь лишь наметить некоторые тенденции
развития и указать на наиболее важные результаты.
Заметные результаты этой работы стали обнаруживаться уже в 20-х годах XVIII в. В
172?,х., ихальянский математик Я. Риккати опубликовал разностороннее
исследование уравнения, названного по предложению Даламбера (1769) уравнением
Риккати. Речь шла об интегрируемости в элементарных функциях нелинейного
дифференциального уравнения
dy , л 1 "
---\- ау2* - Ьха
(a, a, b - постоянные). Риккати рассматривал первоначально это уравнение в более
сложном виде
dq
хп
dx
__ "У , У
dx q
где у и q - любые функции от х. Однако ему пришлось-упростить задачу, положив
q=xn.
Исследованием уравнения Риккати занимались многие математики: Г. Лейбниц, X.
Гольдбах, Я. Бернулли Н. Бернулли, Д Бернулли и др. Д. Бернулли установил
(1724), что это уравнение интегрируется в элементарных функциях, если
4k а = - 2 или а = - -^ЗТ"
(fr - целое число), В 1738 г. Эйлер применил к решению этого уравнения теорию
рядоТГВ"это~Ж5 'время он йГачигает рассматривать общее уравнение Риккати
(Р(х)" Q(x), R(x) - непрерывные функции), частными видами которого являются не
только" специальное уравнение Риккати, но и уравнение Бернулли (при R(x)=0) и
линейное дифференциальное уравнение (при* Р(х) = 0). Эйлер же в 60-х годах XVIII
в. обнаружил, что при наличии двух частных решений интегрирование уравнения
Риккати сводится к квадратурам. Если же известен один частный интеграл v, то оно
может быть преобразовано в линейное дифференциальное уравнение подстановкой
У
v •+• -Ч г
Еще к концу 30-х годов XVIII в. Эйлер разработал алгоритм решения линейных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, основанный на понижении
порядка некоторых однородных уравнений с помощью показательной функции. В 1743
г, в одной из работ Эйлера был-опубликован метод решения линейного однородного
дифференциального уравнения любого порядка с постоянными коэффициентами при
помощи подстановки
а в случае кратных действительных корней характеристических уравнений -
подстановки
у = uekx.
В случае наличия пары комплексных корней а±р/ подстановка того же типа
у = иеах
сводит задачу к уравнению
Уи = О,
dx*
тригонометрический вид решения которого был известен Эйлеру еще с 1740 г.
Через несколько лет (в 1753 г.) для понижения порядка уравнения
dx dx2
Эйлер применил множитель етх, Затем он предположил, что решение нового уравнения
имтет вид
-4L } == Г
где А{ и В\ - неопределенные коэффициенты. Эти коэффициенты, а также т он нашел
дифференцированием обоих членов этого уравнения и почленным сравнением"
Даламбер (в 1766 г.) нашел, что общее решение неоднородного линейного уравнения
равно сумме некоторого частного решения и общего решения соответствующего
однородного уравнения,
Многие ученые (в особенности Клер о и Эйлер) интенсивно разрабатывали метод
интегрирующего множителя. Помимо отыскивания специальных видов интегрирующего
множителя для отдельных классов уравнений были поставлены более общие задачи.
Так, в 1768-1769 гг. Эйлер исследовал классы дифференциальных уравнений первого
порядка, обладающих интегрирующим множителем данного типа, и делал попытки
распространить эти исследования на уравнения высших порядков.
По инициативе Эйлера в 30-х годах сложилось и окрепло убеждение, что для
интегрирования дифференциальных уравнений даже простых, казалось бы, классов
множества элементарных функций и простейших трансцендентностей недостаточно. В
этих целях внутри теории дифференциальных уравнений приходилось ограничиваться
тем, чтобы выразить решения в квадратурах; методы же вычисления интегралов,
получающихся при этом, были вынесены в собственно интегральное исчисление.
Наряду с обыкновенными дифференциальными уравнениями были найдены решения
отдельных уравнений с частными производными. Уже около 1735 г. Эйлер, занимаясь
различными задачами о траекториях, пришел к "модулярным", или "параметрическим",
уравнениям
dz
U6 ? / ".
- = f(x,y),
дх
а также
dz дх
= F(x, у, г),
называемым так потому, что речь идет о семействе кривых, в уравнения которых
входит переменный параметр, или, по терминологии того времени, модуль.
Применение интегрирующего множите236
Ля R ко второму уравнению дало Эйлеру условие интегрируемости в виде
дх
дг
-дг'
откуда он нашел выражение для интегрирующего множителя
•=Г
дг
dx.
Несколько дифференциальных уравнений с частными производными решил Даламбер, в
том числе уравнение колеблющейся струны, о котором речь шла выше.
Таким образом, в области решения дифференциальных урав-" нений в первой половине
XVIII в, работа состояла в решении отдельных специфических уравнений. В этот
период были выработаны предпосылки для создания первых форм общей теории, в
том числе ряд основных понятий.
В 1743 г, появились понятия частного и общего интегралов, найденные Эйлером еще
в 1739 г. Они были опубликованы в ме-муаре, где речь идет об едином алгоритме
решения линейного дифференциального уравнения п-го порядка с постоянными
коэффициентами. В работах этих лет Эйлер рассмотрел и особые решения ряда
дифференциальных уравнений, которые были известны еще из "Methodus incrementorum
etc" Тейлора (1715).
Тейлор обнаружил особое решение, рассматривая уравнение
4*" - 4ж2 =
"(-*L\*
\ dz ) '
(I)
Подстановками
-T, 0=1
у*
он преобразовал (1) в уравнение
у* - 2zyy' Продифференцировав
а затем приравняв
(2)
vy' - zy = 0
и подставив,в уравнение (2)
Тейлор получил выражение
= с/, х = 1 ,
которое он назвал "некоторым особым решением задачи".
Неразъясненность этого вида решения, не содержащегося в общем решении,
побудившая Тейлора назвать его "особым", сохранилась в сочинениях K^iepo,
рассматривавшего (в 1738 г.) особое решение уравнения
Эйлер, однако, уже в 1736 г. обнаружил, что если найден интегрирующий множитель
\i(x, у) дифференциального уравнения, то
- = 0 может дать особое решение. Например,
xdx
имеет интегрирующий множитель
* dy
а особое решение-будет
-г8 = 0.
Лишь в 1774-1776 гг. Лагранж сумел детально выяснить, как получать особые
решения: либо непосредственно из дифференциального уравнения,, либо из общего
решения дифференцированием по постоянной. Он же дал геометрическую интерпретацию
особого решения как огибающей семейства интегральных кривых, Систематическое и
единое изложение всех сведений об особых решениях обыкновенных дифференциальных
уравнений Лагранж дал в 1801 г. в "Лекциях об исчислении функций".
Мы можем заметить, что практические успехи, достигнутые крупнейшими учеными
XVIII в. в решении дифференциальных уравнений, оказались в 60-х годах настолько
значительными, что создалась объективная возможность для построения общей теории
дифференциальных уравнений.
Эта общая теория была изложена впервые Эйлером в его знаменитом сочинении
"Интегральное исчисление". Оно, как мы уже указывали, состоит из трех томов,
вышедших в свет последовательно в 1768, 1769 и 1770 гг., и завершает серию книг
Эйлера, посвященных систематическому построению современного ему анализа и его
приложений. Теория дифференциальных уравнений - обыкновенных и с частными
производными - составляет основное содержание этого труда. Ему предшествует лишь
интегрирование функций, занявшее первую половину первого тома. За ним следу238
ет только вариационное исчисление, составляющее приложение к третьему тому.
Дифференциальные уравнения в эти годы находились в стадии самой энергичной
разработки и поисков методов решения новых и новых типов уравнений. Эйлер
впервые в "Интегральном исчислении" дал строгую и четкую классификацию всех
известных уравнений и систематически: изложил способы их решения вплоть до самых
современных, "не так давно найденных", по его выражению, результатов. Огромное
количество последних найдено1 самим Эйлером. Таким образом, теория строилась как
совокупность методов решения уравнений, а эти последние рассматривались в связи
с физической задачей, породившей их. При таком состоянии теории дифференциальных
уравнений еще не появилась потребность в постановке задач о теоремах
существования и единственности, столь характерных для более позднего периода.
По-видимому, нецелесообразно описывать содержание этого огромного труда Эйлера,
насыщенного множеством конкретных методов и результатов. Кроме того, это
сочинение издано полностью в переводе на русский язык. Поэтому перейдем к
характеристике основных направлений в теории дифференциальных уравнений, *
сложившихся во второй половине XVIII в.
Более отчетливо эти основные направления проявились в области обыкновенных
дифференциальных уравнений. Эти направления формировались, как правило, в
результате потребностей решения прикладной задачи кли~ группы их. Вокруг них
концентрировалось' наибольшее количество работ,.
Первое из направлений состояло в развитии теории линейных дифференциальных
уравнений, главным образом второго порядка, и их систем как с постоянными, так;
и с переменными коэффициентами. К такого рода уравнениям приводили задачи о
малых колебаниях материальных точек и их систем с конечным числом степеней
свободы. Примером подобных задач являются задачи, связанные с конструированием
маятниковых часов и применением маятниковых аппаратов для гравиметрических
исследований. К этому классу относятся и задачи о колебательных движениях
часовых пружин, появившиеся после того как была выяснена ограниченность
применения маятниковых часов. Переход от колебаний точки к колебаниям систем
точек повлек за собой расширение задачи на случай бесконечного числа степеней
свободы: колебаний столба воздуха, струны и т. п.
Проблемы аналитической динамики точки и системы точек выдвинули в качестве
другого главного направления теории дифференциальных уравнений развитие методов
решения нелинейных уравнений первого и второго порядка и их систем. Движение
твердого тела вокруг неподвижной точки выражается нелинейной системой трех
уравнений второго порядка относительно ср(0" Ф(0" - так называемых углов Эйлера,
выраженных в функциях от
времени. Движение центра тяжести планеты в солнечной системе выражается решением
квазилинейной системы
*2 ^77 = ° (' = 1,2,3; k = const).
dt*
\
Квазилинейными в общем случае оказываются и уравнения Эйлера, появляющиеся в
"вариационном исчислении при решении задачи об экстремуме функционала
Нелинейное уравнение второго порядка получается, в частности, в задаче о
нахождении геодезических на поверхностях. К уравнениям того ж;е вида приводились
решения уравнений движения точки в сопротивляющейся среде,
Сложность проблемы решения уравнений и невозможность интегрировать их в конечном
виде послужили основной причиной возникновения третьего большого направления.
Речь идет о разработке приближенных методов решения дифференциальных уравнений.
Классический метод ломаных, ныне широко применяющийся в теоремах о существовании
и единственности решения уравнения
с начальными условиями X=XQ, у=Уо, был найден и опубликован в 1768 г" Эйлером.
Задачи небесной механики, в постановке кото(tm), рых учтены возмущающие силы,
явились первым объектам, применения методов приближенного интегрирования. С
учетом;сравнительной малости эксцентриситетов орбит планет и возмущающих сил
решение остается в первом приближении в виде круговой орбиты, которая затем
исправляется.
Геометрические приложения теории обыкновенных дифференциальных уравнений,
выделившиеся в особую область математики- дифференциальную геометрию, оставили
след и в теории самих уравнений. Теория особых решений составила заметное
направление в общей теории дифференциальных уравнений. Изучение семейств
интегральных кривых и решение задач о нахождении огибающих и изогональных
траекторий, перенесение результатов на семейства поверхностей - таков путь
исследований в этом, четвертом, направлении. Его значение возросло, когда
первоочередными стали проблемы существования и единственности решения
дифференциальных уравнений.
Исследования в области создания теории дифференциальных уравнений в частных
производных, несмотря на свою многочисленность, не давали еще возможности четко
выделить основные
аправления. Задача была еще слишком сложной. И хотя к дифференциальным
уравнениям в частных производных было сведено большое число задач физики,,
механики и теории поверхностей, решение их продвигалось медленно.
Систематическая работа в этом направлении начала развертываться лишь в-60-х
годах. Эйлеру же принадлежит первая монография, 'где "хгделшга~;тГО1штка
построения теории дифференциальных уравнений с частными производными. Речь идет
о третьем томе "Интегрального, исчисления", вышедшем в 1770 г. Наряду с Эйлером
теорию уравнений с частными производными разрабатывали" Даламбер, Лащ^
многие другие ученые. ~--^~~~~
Одной из главных идей, сравнительно быстро утвердившихся в теории уравнений
первого порядка, была идея сведения их интегрирования к интегрированию
обыкновенных уравнений или их систем. Ее использовал Даламбер (1768) при решении
линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Аналогичные методы развивал Эйлер. Метод сведения общего линейного
дифференциального уравнения
Рр
к интегрированию системы
dz_ ' R
разработанный в 1776 г. Лапласом и Лагранжем, входит в современные учебники,
Когда несколько позднее (в 1781, 1787 гг.) Лаг-ранж распространил этот метод на
линейные уравнения с любым числом переменных, он открыто высказал, что решение
уравнений с частными производными зависит от искусства сведения их к
обыкновенным дифференциальным уравнениям.
В решении нелинейных уравнений первого порядка Эйлер (1770) показал, что
дифференциальное уравнение с тремя переменными всегда можно привести к линейному
уравнению с четырьмя переменными. Этот результат был развит в работах Лаг-ранжа
(1774), Монжа (1787), Шарпи (1784). Последний довел до конца решение нелинейного
уравнения первого порядка с двумя независимыми переменными. Идея метода состояла
в том, что к уравнению
подбирают другое уравнение,
ы(*, У, 2, р, q) = a,
так, чтобы эта система из двух уравнений была вполне интегрируема. Определяемые
из системы уравнений функции
р = р(х, уу 2, a), q = q(x, у, г, а) приводят, как мы теперь знаем, к
уравнению Пфаффа
dz = p(x,y,z,a)dx + q(x,y,zya)dy. Интеграл этого уравнения
Ф(х, у, г, а, Ь) = 0,
где а и Ь.- произвольные постоянные, будет полным интегралом уравнения
Р(х,у,г, р, ?) = 0.
Об этом методе стало известно, однако, лишь в 1814 г. О нем сообщил французский
академик Лакруа, так как Шарли вскоре после представления своего мемуара в
Парижскую академию скончался, Шарли не мог распространить свой метод на
уравнения с большим числом переменных. Эта трудность была преодолена в XIX в. в
трудах К. Якоби и Пфаффа,
В ходе разработки методов решения дифференциальных уравнений первого порядка
выяснились виды их решений, взаимоотношения между ними и введена терминология,
сохранившаяся до настоящего времени. Итоги этого процесса подвел Лагранж в
работах 1774 и 1776 гг. Так, решение, зависящее от двух*произвольных постоянных,
получило название полного. Если в полном решении
z =
(я, у, а, Ь)
положить
где ty(a) -произвольная функция, а из уравнений
2 = ф (х, у, а, Ц (а)) и -^- = О
да
исключить а, то получится решение, названное общим. Наконец, исключение а и Ъ из
уравнений
да дЪ
давало решение, получившее название специального, а затем особого. Так как
решение дифференциальных уравнений не всегда сводится к квадратурам, Лагранж
ввел разные термины: решение уравнения и его интеграл.
Наряду с аналитически-вычислительными методами решения ^уравнений развивалась и
геометрическая теория их решений. Во-\рбще, теория дифференциальных уравнений с
частными производивши оказалась тесно связанной с задачами и понятиями геомет242
рии (теории поверхностей и пространственных кривых).-Это-, направление было
развито в серии великолепных работ Г. Монжа. Эту группу вопросов мы рассмотрим
позднее в разделе, посвященном развитию геометрии в XVIII в.
Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка возникали
преимущественно в ходе решения физических задач. Из них прежде всего следует
указать на задачу о колебании струны, приведенную к уравнению
dt2 дх2 '
о чем говорилось в предыдущей главе. Около 1760 г. Эйлер, раз-, рабатывая
проблемы гидродинамики, вывел уравнение объемного расширения жидкости
д*и д% , д*ы , д2и
дх2
ду2
dz2
Для этого уравнения Эйлер нашел частное решение, а в одном случае (когда
движение совершается по направлению к неподвижному центру, а скорости на
поверхностях соответствующих сфер одинаковы) - общий интеграл. Задачу о
колебании мембран Эйлер в 60-х годах XVIII в. свел к уравнению
"мГ - "7Т ~*.....
di2 дх2
д2г
ду2
Его решение он нашел в виде ряда для трансцендентной функции, которую мы теперь
называем цилиндрической, или (что совсем не обосновано) бесселевой, по фамилии
немецкого астронома Ф. В. Бесселя.
Задачи о колебании газа в трубах различных профилей, тео.....
рии потенциала и другие приводили также к уравнениям второго порядка.
Дифференциальные уравнения с частными производными составили особый
многочисленный класс уравнений XVIII в.
Что касается уравнений более высокого порядка, то они ис-следовалиСь лишь
эпизодически.
Исследования уравнений второго порядка были многочисленными, но создание общей
теории сталкивалось с непреодолимыми в то время трудностями. Первые успехи
наметились к 1770г., когда Эйлер применил преобразования линейных
дифференциальных уравнений второго порядка к каноническим формам. Например,
уравнение
д2г
•= а*
д2г дх2
подстановками
/, и = к - ау 243
приводится к виду
дЧ dudt
= 0.
Общий интеграл этого уравнения имеет вид
2 = / (t) + ф (и) = / (х + ау) + ф (х - ау) .
Таким путем было начато выделение канонических типов дифференциальных уравнений
с частными производными второго порядка.
Общее линейное дифференциальное уравнение с частными производными
= .
дх* дхду Р ду* * дх ду
где коэффициенты и свободный член являются некоторыми функциями от х и у9
рассматривал Лаплас (1777), создавший для его решения единый метод,, получивший
название метода каскадов,
'Сущность этого метода, как и для общего линейного дифференциального уравнения с
частными производными первого порядка
дх ду
которое решал Лаплас, состоит в замене переменных. Введя две новые переменные s
и si, Лаплас приходит к уравнению, носящему ныне его имя
32' , ди . ди . 1 . _, А
+ m-------1- п-------(- Ш + 7 = О,
as ds-i
или, кратко, D(u) = 0.
Если ф (5) и -ф (si) -две произвольные функции и если составить
(s) =
= J^(Si)ds!, ^a(si) = J то решение можно записать в виде ряда
si) +
+
+ . . .
Подстановка этого выражения в уравнение D(u)=Q даст для определения
коэффициентов Л0, Ль ..., ?0, Вь ... дифференциальные уравнения
= 0;
) - 0;
) = 0;
Если ряд для и обрывается, т. е. для некоторого k будет иметь место Ль==0т 5л =
0, то общий интеграл выражается в конечном виде. Когда же это не имеет места,
Лаплас представляет решение не рядом, а с помощью определенных интегралов. Он
показал, что в этом случае
.0
где р и pi -. частные интегралы, Д (и) =0,
р = f Г (s -2) Ф (г) dz, Р! = П (s - 2) я|) (z) dz,
"J
"J
а в этих интегралах
(ft- 1)1
Лаплас показал, что его метод является более общим, чем все другие. В случае,
например, когда /, m, n - постоянные, в уравнении D(u)=0.
получается частный случай интегрирования обыкновенного дифференциального
уравнения второго порядка. Дальнейшие усовершенствования, внесенные в метод
каскадов Лагранжем и Лапласом, привели этот метод к современному виду.
Подведем итоги. Аппарат математического анализа в течение XVIII в. развился
необычайно быстро, приняв формы и объем, близкие к современному.
Дифференцирование, а также интегри245
i
f
05щие покатая и си м Золы
\'
\
Методы определенного интегрирования
Несобственные интегралы
рование в элементарных функциях по существу были в основном завершены. Важнейшей
частью математического анализа в его оперативно-алгоритмической трактовке
постепенно сделались дифференциальные уравнения, как обыкновенные, так и с
частными производными. Вместе с разработкой методов решения отдельных классов
уравнений формировались элементы общей теории,
В области обыкновенных, дифференциальных уравнений были выявлены основные их
типы, поддающиеся решению в квадратурах, найдены приемы приближенного их
решения. Сформулированы и сделались общепринятыми понятия общего и- особого
решения. В части дифференциальных уравнений с частными производными проведены
частичная классификация и выделение канонических типов, а также накоплено
множество частных приемов решения.
Однако теория, дифференциальных уравнений не могла долго\ развиваться как
совокупность частных приемов, пригодных для решения немногочисленных классов
уравнений. Накопление этих приемов необходимо, но не достаточно для построения
общей теории. Перед математиками все более остро вставала проблема существования
решения и установления его характера. Решения образовывали класс функций,
неизмеримо более широкий, чем класс первообразных от элементарных, функций.
Практические успехи теории дифференциальных уравнений и ее многообразные связи с
теорией функций . комплексного переменного, специальными функциями, вариационным
исчислением, и особенно с задачами математической физики, делали проблему
создания общей теории особенно настоятельной,.
В заключение приведем схему интегрального исчисления XVIII в. (рис, 46) для
облегчения понимания его сложной структуры и процесса, отпочкования от него
различных дисциплин., Классификация дифференциальных уравнений с частными
производными приведена в соответствии со структурой третьего тома "Интегрального
исчисления" Эйлера. В схему включено как часть интегрального исчисления и
вариационное исчисление; истории этого исчисления посвящен следующий раздел
настоящей главы.
6.4. СОЗДАНИЕ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Вариационное исчисление - один из важнейших отделов современного
математического анализа. Являясь составной частью функционального анализа,
оно тесно связано со многими математическими науками. Вариационные методы
проникают в различные области математики, механики, физики, техники,
создавая всякий раз возможности непосредственных приложений. 'Вариационное
исчисление возникло в XVIII в. В трудах ! Дилера и Лагранжа оно
получил о ""БЩ^етройной математической lдеории. Последняя тотчас доказала свою
полезность, так как
методами этой теории оказалось возможным решить большое число задач
практического характера. Возникновение вариационного исчисления и его выделение
в самостоятельную математическую дисциплину, разрабатывающую общие методы
определения
экстремумов функционалов, были обусловлены необходимостью решения особого класса
геометрических, механических и физических экстремальных задач практического
характера, называемых вариационными задачами.
Вариационные задачи. В истории математики задачи этого типа были поставлены и
подвергались исследованию очень давно. Примерами могут служить античная, теория
• изопериметров и многочисленные экстремальные-задачи в физике (механике и
оптике). Однако мы их. не будем здесь рассматривать,, так как способы, .решения,
этих экстремальных задач были еще индивидуальными и по существу специального
исчисления составить не могли. К концу XVIII в. накопились и были выделены в
отдельный класс экстремальные задачи особого рода, не поддающиеся
решению'средствами только что возникшего анализа бесконечно малых. Это была, вопервых,
задача. Ньютона,, поставленная и решенная им в "Математических началах
натуральной философии" (1687), В ней требовалось найти кривую, проходящую через
две данные точки и такую, чтобы она при вращении вокруг данной оси образовывала
тело вращения, испытывающее . наименьшее сопротивление при движении вдоль оси.
Другими вариационными задачами оказались задача о брахистохроне (1696);
изоперимет-рйческая задача (1697); задача о геодезических, линиях, на
поверхностях (1697),, По существу уже. в то раннее время были разработаны все
основные типы вариационных задач.'
Решения указанных задач были найдены в конце XVII -'начале XVIII в. Ньютон дал
для своей- задачи эквивалент дифференциального уравнения в форме геометрической
пропорции. Задача о брахистохроне была решена И. Бернулли, а затем Ньютоном,
Лейбницем и Я. Бернулли. Изопериметрическая задача и задача о геодезических были
решены также одновременно несколькими учеными. Методы решения были недостаточно
общими, специальными, но в них все более ясно проявлялись общие черты.
Создавались возможности для выработки общего метода.
Первый общий метод решения вариационных задач был выработан в серии работ Эйлера
в 1726-1744 гг. Вначале Эйлер, рассмотрев методы решения задачи о брахистохроне,
поставил (1726) эту же задачу в условиях сопротивления, оказываемого средой.
Затем (1728) он вывел дифференциальное уравнение геодезической линии на
поверхности. Малая общность и недостаточность приемов, применяемых при решении
задач уже осознанного в своем своеобразии класса, не удовлетворяли Эйлера. Он
стал искать общий метод и к 1732 г. нашел его. В статье Эйлера "Общее решение
изопериметрической задачи, поставленной в
самом широком смысле", мы находим первую общую постановку одномерной
вариационной задачи.
Эта работа Эйлера интересна в особенности тем, что она знаменует начало
характерного для развития математических исчислений диалектического переворота,
когда решения отдельных задач начинают рассматриваться как приложения общего
метода. Последний же, метод, делается предметом исчисления,
Эйлер классифицирует задачи, где отыскиваются, по его выражению, кривые,
обладающие экстремальным, свойством" При этом в качестве экстремального выбрано
свойство интегралов1" частных, видов, взятых вдоль кривой, принимать
максимальные или минимальные значения. Классификация Эйлера такова: а) из всех
вообще кривых определить ту, которая обладает экстремальным свойством Л; б) из
семейства кривых, обладающих, общим свойством А, выбрать экстремаль относительно
свойства В; в) из совокупности кривых, обладающих двумя свойствами А и В,
выделить экстремаль относительно свойства С и т. д.
Свойствами, или, как мы теперь говорим, функционалами, у Эйлера являются
интегралы. Почти все они имеют вид
Метод опирается на: а) идею сохранения экстремального значения свойства, когда
элемент экстремала заменен элементом другой близкой, кривой, б) принцип Лейбница
- Я. Бернулли, что экстремаль сохраняет свои экстремальные свойства в любой
своей части. Метод состоит в варьировании одной, двух и т. д. (в зависимости от
вида задачи) ординат ив приравнивании значений свойств соответствующего элемента
экстремали до и после варьирования.
Через четыре года (в 1736 г." опубликовано в 1741 г.) Эйлер обобщил этот метод
на интегралы вида
, у, s,
где
Наконец, KjJ44_^M столь большую
общность, что перерос в специальное исчисление, систематически изложенное
Эйлером в книге "Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума
или минимума, или решение изопериметрической задачи, взятой в самом широком
смысле" - первой в истории книге по вариационному исчислению.
Вместо решения еще одной трудной вариационной задачи или целого их класса Эйлер
выдвинул общий метод, который можно
применять к решению различных видов таких задач. Цель этого метода, названного
Эйлером "методом максимумов и минимумов в применении к кривым линиям", самая
общая - отыскание кривых линий, для которых какая-либо наперед заданная величина
достигает своего наибольшего или наименьшего значения. Рассмотрим этот метод по
существу.
Сформулированная только что задача еще поставлена недостаточно определенно,.
Эйлер вводит следующие условия определенности: а) задача ставится и решается для
одного и того же отрезка оси абсцисс; б) вводится два вида экстремумов:
абсолютный и относительный; в) определяется вид функционала как. "неопределенной
интегральной величины"
w=
Идеи, положенные Эйлером в основу абсолютного метода. максимумов и минимумов,
сравнительно просты. Пусть необходимо среди всех возможных кривых на отрезке
[XQ, х] выбрать такую /(*, у) = 0, чтобы интеграл
х
w = Г Zdx
ie
принимал экстремальное значение. Всякую кривую у=у(х), определенную в некоторой
области значений XQ^X^.X\, Эйлер заменяет полигоном, абсциссы вершин которого
выбираются на оси Ох на равных расстояниях друг от друга" Это, по мысли Эйлера,
дает возможность с любой степенью точности аппроксимировать кривую.
Интегральную формулу максимума и минимума
I=$Z(x,y,y',y",...)dx
он заменяет суммой вида
п-\
где
-, xi = Xt-i + dx,
a yi - ординаты в фиксированных точках **. Кроме того, заменяя производные
отношениями конечных разностей
dx
dx
dx*
Эйлер добивается возможности рассматривать значение формулы максимума или
минимума для данной кривой как функции
ординат:
Затем он решает обычную экстремальную задачу: варьируется некоторая произвольная
ордината yv; разность значений /" соответствующих. неизменной . и варьированной
кривой, приравнивается нулю. Тем самым получается дифференциальное
уравнение
экстремали.
Таким образом, Эйлер сводил решение вариационной задачи к. решению другой - об
экстремуме функции многих переменных (ординат). Этот метод стал универсальным
для любого типа вариационных задач и является основным для вариационного
исчисления в созданной первоначально Эйлером форме.
Пусть для простоты z = z(x, у, у'). Тогда
Рис, 47
заменяется на
п-\
Ордината yv испытывает приращение на nv (рис. 47). Тогда в указанной сумме
изменятся только члены, содержащие yv. Это
dx
Чтобы вычислить их приращения, Эйлер дифференцировал Z по х, у, р и заменял
дифференциалы dxi, dyi, dpi приращениями соответствующих величин Xi, Уг, Рг.
Cv_l, t/v-1, Pv-l) =
= + nv,
Так как приращение получает лишь yv, то dxv-i = dxv = dyv-\ = 0, dyv
-i = +
nv
nv
-
dx
Следовательно, величина приращения
Z (*v-i , //v-i , Pv-i) dx + Z (xVj */v, pv) dx будет .
Pnv •-}•- N'nvdx - P'nv.
Ho Pf - P^=dPy а вместо N' можно писать N.
Тогда
Pnv -f Mivd* - P'nv = 0
или
т. e.
что в привычных нам символах означает
т. е. дифференциальное уравнение Эйлера.
Распространив этот метод на случаи, • в которых подынтегральное выражение
зависит от производных более высокого порядка, Эйлер приходит к уравнению вида
dP
dx
^L
dx*
dx9
••0.
При этом он не останавливается перед возможностью неограниченного продолжения
этого ряда. Он лишь отмечает, что дифференциальное уравнение кривой всегда будет
иметь порядок в два раза больший, чем формула максимума или минимума. Из этого
замечания естественно вытекает условие, обеспечи-.
вающее определенность задачи: среди всех кривых, проходящих через 2п
заданных точек, определить ту, для которой fZdx, где
M N О Р Рис. 48
был бы максимумом или минимумом (рис. 48) . '
Изложение метода, данное Эйлером, очевидно, не удовлетворяет требованиям
современной научной строгости. В нем не обоснованы, в частности, вопросы
законности перехода к пределу и перестановки предельных переходов. Не доказано
также, дает
ли предел экстремумов аппроксимирующих функций экстремум функционала. Однако
необходимо помнить, что Эйлер не мог и поставить требования научной строгости в
смысле, принятом в XX в. Кроме того, исследование указанных вопросов повело бы
не только к отысканию дифференциального уравнения, экстремали, но и к
аппроксимации решения этого уравнения решением системы обыкновенных уравнений,
что выходило за пределы поставленной Эйлером задачи.
Метод Эйлера решения задач на относительный экстремум. имеет целью отыскание
экстремали не, среди всех кривых, определяемых на данном участке оси абсцисс, но
среди некоторого их семейства, каждая из кривых которого обладает одним или
несколькими свойствами. Если дополнительное условие состоит в сохранении
постоянного значения . другого (или нескольких) функционала - интеграла, то
получается обобщенная изопери-метрическая' задача. Эйлер приводит ее к задаче на
вычисление абсолютного интеграла следующим образом.
Чтобы удовлетворить сразу двум условиям (если речь идет о кривых, обладающих
одним общим свойством) - неизменности значения общего свойства В и формуле
максимума или минимума /1, - необходимо дать приращения не одной, а двум
соседним ординатам. "Дифференциальные значения" обоих свойств будут иметь в силу
изменения двух ординат yv и у^+\ (см. рис,, 47) на hv и осо соответственно
следующий вид:
dAv • nv dBv • nv
00;
Из заданных условий (экстремальности А и постоянства. В) следует, что оба эти
выражения должны быть приравнены нулю:
• nv • nv
* осо z": °"
• осо = 0.
После исключения из этой системы двух уравнений nv и осо Эйлер получал уравнение
искомой кривой
(а = const, p = const). To же уравнение получается, если искать кривую, для
которой выражение аЛ + рВ достигает абсолютного экстремума.
Указанный метод Эйлер распространил и на еще более сложные случаи: а)
подынтегральная функция Z в выражении функционала сама представляет собой
функционал; б) эта подынтегральная функция задана посредством дифференциального
уравнения, способ решения которого неизвестен. Такой, например, являлась у
Эйлера задача о брахистохроне в сопротивляющейся
г
dv = gdx - hvndx J/l + p2.
среде. Как заметил Эйлер, здесь идет речь о нахождении максимума выражения
при условвд
При этом он правильно решил вопрос о границах применимости так называемого
принципа Лейбница - Бернулли о наличии экстремального свойства в каждой точке
экстремали.
В книге Эйлера приведено большое число примеров (свыше 60), иллюстрирующихшироту
возможностей нового метода. В них была продемонстрирована практическая
ценность исчисления и установлены его тесные связи с механикой и физикой,.
Помимо тех недостатков, которые в XVIII в. заметить было еще невозможно, у
метода Эйлера существовал еще один; громоздкость. В течение нескольких
последующих лет Эйлер упорно работал над отысканием удобного алгоритма.
Переход от прямых методов "к исчислению вариаций. Положение -.начало изменяться
с 1755 г., когда • совсем еще юный преподаватель математики артиллерийской школы
в г. Турине Лагранж сообщил Эйлеру об изобретенном им общем аналитическом методе
вычисления вариации интеграла посредством интегрирования по частям. Этот метод
основывался на введении вариации функции и на распространении на вариации правил
дифференциального исчисления. Поясним эту мысль подробнее.
Чтобы сравнить значение интеграла /(С) вдоль кривой С с его значениями вдоль
соседних кривых, Лагранж изменял функции
у = у(х), г = г(х),
определяющие кривую С, прибавляя к ним величины 8у(х), 6z(x) - их вариации. Если
вариации в крайних точках сегмента [*ь Х2], на котором рассматривается задача,
обращаются в нуль, то образуются две кривые сравнения С и С+бС с общими концами.
Последняя из этих кривых задана функциями
8у(х),
6г(х).
Из всех возможных кривых сравнения теперь следует такую, чтобы для любых
вариаций 6у(х)9 8г(х)
выбрать
Д/=/(С
- 7(С)"0.
Между вариациями 8у(х)9 8z(x) и приращением функционала в вариационном
исчислении, с одной стороны, и дифференциалом независимой переменной dx и
дифференциалом функции
y = f(x) в дифференциальном исчислении, с другой стороны, существует аналогия.
Эту аналогию и обнаружил Лагранж. Она позволила ему применить в вариационном
исчислении алгоритмы, аналогичные алгоритмам дифференциального исчисления и
доказать перестановочность символов d и б, а также / и 6.
Эйлер, который был буквально на пороге подобного открытия, с энтузиазмом
встретил сообщение молодого математика. -Он поделился с ним своими идеями, а
чтобы дать возможность Лаг" ранжу первому опубликовать свои результаты (что
произошло в 1762 г.), приостановил печатание своих статей на подобные темы.
После 1762 г. Эйлер дал в ряде работ подробное, усовершенствованное и снабженное
примерами изложение вариационного исчисления. Он же придумал название новому
исчислению; вариационное. В одной из работ (1771) Эйлер дал вариационному
исчислению новое истолкование. Оно теперь могло быть понято как. метод-выбора из
однопараметрического семейства, кривых такой кривой, которая реализует некоторое
экстремальное свойство. Это толкование существенно сближает вариационное
исчисление с дифференциальным исчислением. Однако оно еще не сделалось
достаточно общим, так. как в нем: не рассматривались указанные Д. Бер-нулли
случаи, когда бесконечно малые перемещения точки вдоль кривой сопровождаются
конечными отклонениями касательных ("сильные вариации")"
Конец XVIII в. ознаменовался серией исследований Эйлера, Лагранжа и других
ученых. Вариационное исчисление при этом •сравнительно быстро приняло
завершенную1 форму в его наиболее элементарной части, относящейся к теории
первой вариации. Рассматривался еще лишь слабый экстремум и соответственно лишь
сравнительно гладкие кривые. •
Главной задачей вариационного исчисления теперь как будто бы оказывалась
проблема отыскания экстремумов функционалов возможно более широкого класса.
Длинный ряд работ в XIX в. был посвящен именно этой теме. Однако наряду с этим
кругом проблем оставалась нерешенной еще одна задача: как различить вид
достигаемого экстремума. Относительно этой задачи еще Лагранж, опираясь, повидимому,
на аналогии с дифференциальным исчислением, указанные выше, отметил
возможность применения второй вариации для решения этого вопроса.
В самом деле, пусть, например, задан функционал
х
/ =
Если
6/
то знак &I совпадает со знаком 84 (при достаточно малых вариациях функций и их
производных). В 1786 г. Лежандр (опубликовано в 1788 г.) смог привести вторую
вариацию к виду, из которо255
го явствовало, что ее знак зависит от знака , . Это привело
ду
его к так называемому условию Лежандра: чтобы на экстремали осуществлялся
максимум (соответственно минимум), необходимо,
d^F d^F \
чтобы вдоль нее — " 0 (соответственно --г ^" 0 ]. Это
ду' ду' J
условие оказалось и достаточным для слабого экстремума, что было показано К.
Якоби в 1837 г., при условии, что экстремаль
может быть включена в поле экстремалей - в однопараметриче-ское семейство
кривых, не пересекающихся между собой и заполняющих некоторую односвязную
область.
Понятие тюля экстремалей, введенное К. Якоби, оказалось необходимым для
отыскания сильного экстремума функционала. Это подтвердилось в работах К.
Вейерштрасса, который к 1879 г. разработал методы решения этой проблемы. Идея
Вейерштрасса (с учетом последующих усовершенствований ее Д. Гильбертом) состояла
в следующем: пусть дано поле экстремалей у=у(х, а). В него включена и искомая
экстремаль. Введем функцию, выражающую зависимость углового коэффициента
касательной к экстремали от координат точки касания и(х, у), которую назовем
наклоном поля,, Приращение функционала имеет вид
А/ = Г IF (х, у, yf) - F (х, у, и) - -^ (у - и)] dx. J L
ди J
Подынтегральная функция широко известна в настоящее •время как функция
Вейерштрасса и имеет специальное обозначение E(xt у, и, у'). Знак этой функции
указывает на вид экстремума: E^JO в случае минимума и Е^О в случае, максимума.
Если это условие рассматривается относительно слабого экстремума, то достаточно,
чтобы указанное условие соблюдалось в точках поля, близких к экстремали, и для
достаточно малой разности \уг-и\. В случае сильного экстремума условие
Вейерштрасса должно выполняться, очевидно, для любых у', а не только для у',
достаточно мало отличающихся от и.
Таким образом, в течение XIX столетия были найдены условия правомерности
операций вариационного исчисления. Эти условия были распространены на широкие
классы функционалов и снабжены строгими доказательствами. Выяснение достаточных
условий для обеих разновидностей экстремумов, основанных на теории экстремалей,
логически завершило целый этап развития вариационного исчисления. Последнее
формировалось как исчисление вариаций. Прямой метод Эйлера, казалось бы,
окончательно забыт.
О дальнейшем развитии вариационного исчисления. Однако на рубеже XIX и XX вв.
возродились прямые методы в вариационном исчислении. Еще М. В. Остроградский в
1834 г.. показал, что задача вариационного исчисления об экстремуме кратных
интегралов эквивалентна задаче решения некоторого дифференциального уравнения
математической физики. В самом деле, если
/ = Jj^C*, У, z, p,'q)dxdy9
где
2 _"... ?iK д =_ д?_ а-^= - дх 9 ду
ТО
Д/ - Г[ [^.(д:, у, z + 6z, р + 6р, (/ + бд) - Р (л, у, zy p9'q)]dxdy=*' •
Необходимое условие экстремума
Преобразуя по формуле Остроградского двойной интеграл в криволинейный,
можно ' получить
ГГГ^_^'Л?Л_ ....... ^(JlL
JJ & ' дх \-dp.J ду V dq
G ~
откуда, в предположении непрерывности подынтегральной функции, вытекает
= о
дг дх др ду \ dq
Вариационная задача об экстремуме двойного интеграла оказывалась, таким образом,
эквивалентной краевой задаче для дифференциального уравнения с частными
производными второго порядка.
Например, гармоническая функция, являющаяся решением .задачи о потенциале
(задачи Дирихле)
^1 + ^ = 0, dx2 ду2
одновременно дает экстремум двойного интеграла
На это обстоятельство обращали внимание Гаусс (1840), Томсон (1847) и, наконец,
Дирихле. Возможности, открывающиеся в связи с нахождением вышеотмеченной
эквивалентности, были высоко
9 К. А. Рыбников 257
оценены. Физический смысл этого явления в пространственном случае
устанавливается легко: если и - потенциал скоростей в установившемся течении
однородной несжимаемой жидкости, то соответствующее уравнение будет
ду*
п
= 0.
Искомое решение UQ (среди всех функций, принимающих на границе
области заданные значения) обращает в минимум
что соответствует минимуму кинетической энергии.
Риман, узнавший этот факт из лекций Дирихле, назвал его принципом Дирихле.
Выводы он распространил на введенные им ' так: называемые римановы поверхности.
Для Рим'ана является очевидным (по-видимому, из физических соображений), что для
любой гармонической функции достаточно задать ее значение на границе области,
чтобы иметь ее однозначную определенность внутри области,,
Рассмотрим простейший случай краевой задачи Дирихле для однолистного круга.
Пусть задана функция распределения краевых значений и(я|)) - непрерывная функция
угла. Задача сводится к установлению теоремы существования: внутри круга
существует одна и только одна, непрерывная: функция и, непрерывно приближающаяся
к заданным краевым .значениям и 'удовлетворяющая уравнению Ди = 0. Введем
' - '
ЯШ
+
определенный на площади круга, и имеющий -смысл в любой его точке. Все значения
этого интеграла конечны и, очевидно, неотрицательны. Тогда существует
неотрицательная нижняя грань его значений для всех возможных и. Эта грань
достигается при некотором и, т. е.
Тогда уравнение
дх*
ду*
•=0
есть необходимое и достаточное условие обращения в нуль первой вариации.
Это рассуждение, которое привело к формированию в трудах Римана геометрической
теории функций комплексного переменно258
Рис, 49
оказалось уязвимым 'в исходном пункте. Оказалось, что невозможно прийти к выводу
о существовании гармонической функции, опираясь на вариационную задачу, так как
существуют примеры таких задач, которые не допускают никакого решения. Вейерштрасс
еще при жизни Римана доказал, что из существования нижней грани
указанного выше интеграла не следует, что эта грань' достигается в классе
допустимых функций. Знаменитый пример' Вейерштрасса. о том, что ломаная,
соединяющая точки плоскости, меньше любой кривой, проходящей через эти точки
(рис. 49), хотя к семейству этих кривых не принадлежит, был опубликован только в
1869 г., но был известен Риману. Последний не смог . дать убедительного
доказательства своих" результатов, основанных на применении принципа Дирихле.
Это удалось сделать
его ученику Нейману (1884) и ученику Вейерштрасса Шварцу" кото'рые в 'своих
доказательствах не прибегали к вариационным методам. ' .
Таким образом, выявилась разница между экстремальной проблемой в конечномерном
'точечном пространстве и в пространстве функциональном. В первом
последовательность точек непременно допускает предельные точки. Во втором из
последовательности функций не всегда удается выделить подпоследовательность,
сходящуюся к некоторой предельной функции. Для преодоления подобных трудностей в
вариационном исчислении понадобилось вновь разработать прямые методы,
Ведущая идея .прямых методов современного вариационного исчисления восходит к
Эйлеру. Она состоит в том, что вариационная- задача рассматривается как
предельная для соответствующей задачи на экстремум функции конечного числа
переменных. Последний разыскивается обычными метадами, а затем предельный
переход дает решение вариационной задачи. Непосредственно к Эйлеру восходит
конечно-разностный метод, который отличается от других прямых методов тем, что,
например, функционал
рассматривается не на произвольных кривых (из числа допустимых в данной задаче),
а на ломаных, составленных из заданного числа я прямолинейных отрезков с
заданными абсциссами вершингде
а, а + Ал;, а + 2Алг, . . . ,а + (n - l)kx, b,
Ъ - а
п
Первых успехов в возрождении прямых методов достиг Гильберт, который в 1904 г.,
возвратившись к вопросу о принципе Дирихле, доказал существование решения в
доказательстве Ри-мана, построив последовательность функций, эффективно достигающую
искомой функции. Затем вскоре Ритц (1908) разработал
еще один широко известный теперь метод,,
Идея Ритца заключается в том:, что функционал V изучается
на линейных комбинациях
с постоянными коэффициентами.
При этом: функционал превращается в функцию коэффициентов
0 = /("!, "а, ... ,ал).
Решая, систему- уравнений
JL^o • (i=l, 2,3,.,., /i), дщ
получаем точки экстремума этой функции, а затем, переходя к пределу при /г-"оо,
- решение вариационной задачи. Разумеется, при этом необходимо, чтобы был^
выполнены условия относительно свойств функционала и полноты системы функций и\,
"2, ..... , tln.
В общей разработке прямых методов помимо работ Г. Вейля, Лебега и Куранта
большое значение имели исследования советских ученых. Л. А, Люстерник, И. Г.
Петровский, М. А, Лаврентьев, Н. Н. Боголюбов, Н. М. Крылов и другие обогатили
вариационное исчисление высокоэффективными прямыми методами,, Огромен вклад
советских математиков в изучение качественных методов вариационного исчисления,
получивших за. последние 30 - 40 лет особое развитие, что вполне закономерно,
так как дифференциальные -уравнения, к которым сводятся задачи вариационного
исчисления, в конечном виде в большинстве случаев не решаются. Качественные же
методы позволяют решать вопросы о существовании решений, об их числе, давать
характеристику семейств экстремалей и т. п.
Вариационное исчисление в XX в. стало составной частью функционального анализа,
той частью, в которой изучаются экстремумы функционалов. Кроме того,
вариационные методы и принципы составляют важнейшую часть теоретической
механики. С успехом применяются они в решении многочисленных задач прикладного
характера.
Более чем двухсотлетняя история вариационного исчисления дает богатый материал
для исследования общих закономерностей развития математических исчислений: их
формирования, связанного с оборачиванием метода; трансформирования содержания,
отражающего диалектичность развития, вхождения в более общие части математики,
взаимосвязи с практикой и т. д.
6.5. РАЗВИТИЕ ГЕОМЕТРИИ
Открытия принципиального значения, сделанные в геометрии в течение XVII в.,
предопределили для этой науки в следующем, XVIII в. качественно новый характер
развития. В составе геометрии появились новые дисциплины. Практически все
классические/ области геометрии, исключая только неевклидовы геометрии,,
оформились в это столетие. Речь идет об аналитической, дифференциальной,
начертательной и проективной геометриях, а также о работах по основаниям;
геометрии,, Их общими -чертами являются: развитие в рамках и на основе системы
геометрии Евклида, непосредственное воздействие на эти области математики
практических задач. Среди различных задач и методов геометрии большое значение
имели геометрические приложения, анализа бесконечно малых. Из них возникла и
развилась • дифференциальная, геометрия - наука,, занимавшая в XVIII в.
центральное место в' системе геометрических дисциплин.
Аналитическая геометрия. Под таким названием общепринято понимать ту -часть
геометрии, где изучаются геометрические фигуры и преобразования, задаваемые
алгебраическими уравнениями. Для аналитической геометрии характерно
использование методов алгебры и координатного метода.
W4""'""Сочинения Декарта" и. Ферма открыли все возможности для развития
аналитической геометрии еще в 30-х годах XVII в. Однако для претворения в
жизнь очевидных (для нас), преимуществ аналитической геометрии даже в случае,
плоских " задач потребовалось довольно много времени. Прошло около столетия,
пока средствами аналитической геометрии удалось получить
результаты, которые превзошли достижения древних, в особенности Аполлония.
В XVIII в. аналитическая геометрия еще пере-../ живала процесс, становления,
накапливания и исследования, новых!/ фактов.
Аналитическая геометрия Декарта и Ферма включала лишь плоские задачи.
Исследование кривых выше второго порядка было в ней сравнительно редким
явлением. Но даже этот скромный объем был труден для современников. В
течение XVII в. появилось много сочинений, в которых комментировались новые
методы. Л Однако подлинно новый шаг в развитии аналитической геометрии 1 был
сделан только в начале XVIII в. в результате выхода в свет \
в 1704jr., сочинения R_Ньютона "Перечисление кривых третьего \ порядка".
~~"~ '-(tm)~~-- - - .-~.'.(tm)-~--"---,.,-......._.. _j
'. НЬ'ютой отказался от декартовой классификации кривых по их родам. Он увидел,
что классификация по степеням уравнений кривых лучше приспособлена для нужд
аналитического аппарата новой геометрии. Порядок кривых в новой классификации
получил геометрическую трактовку в виде возможного числа точек их пересечения с
прямой. Затем Ньютон перенес на кривые третьего п°рядка ряд понятий и теорем,
доказанных для конических сече261
ний, соответственно видоизменив их. Так, он ввел диаметры кривых как
геометрические места точек ряда параллельных прямых, алгебраическая сумма
расстояний которых от точек пересечения прямых с кривой равна нулю. В случае
перпендикулярности диаметра к сопряженным хордам вводится ось кривой. Если все
диаметры пересекаются в одной точке" то эта точка получает название' общего
центра. Соответственно распространяются многие другие понятия и теоремы.
Виды кривых определены Ньютоном с учетом конечных ветвей кривых, наличия или
отсутствия диаметров, наличия и свойств бесконечных ветвей. Всего оказалось 72
вида кривых, каждому из которых Ньютон дал название. Эти виды кривых
записываются уравнениями четырех типов. Если обозначить
ах? + Ьх% + сх + d = A то указанные уравнения будут:
xif + ey = A9 ху^А, у* = А, у = Л.
Сложная и громоздкая, классификация заставила Ньютона сосредоточиться на
особенностях кривых: узлах, точках заострения и т. п. Для облегчения этой задачи
Ньютон использовал- третье из-указанных выше уравнений - уравнение
полукубической парау*
== ах(r) + Ьх* + сх + d,
и показал, что каждая, кривая третьего порядка получается из нее посредством
подходящего центрального проектирования. Такая проективная классификация, или"
по выражению Ньютона, "органическое описание", выявляет все проективно разные
кривые третьего порядка исходя из свойств корней уравнения
ах(r) + Ь& + сх + d = 0.
Именно если три корня действительны и различны, то кривая состоит из двух
различных ветвей; равенство всех трех корней свидетельствует о наличии точки
возврата. Равенство двух корней указывает либо на двойную, либо на изолированную
точку, Кривые, имеющие только одну ветвь, соответствуют наличию двух мнимых
корней.
Мы не будем останавливаться больше на содержании этого сочинения. Оно слишком
специфично. Принципы классификации кривых третьего порядка не оказались ни
простыми, ни универсальными, результаты - недостаточно полными и не снабжены
доказательствами. Значение настоящего сочинения Ньютона было не в этом. Ньютон
раскрыл новые возможности метода координат. И, кроме того, значительно его
усовершенствовал. Ньютон ввел равноправные оси координат, определил знаки
функций во всех четырех квадрантах, создал основы исследования свойств кривых
свойствам выражающих их уравнений. Эти возможности были подхвачены и развиты
Стерлингом в книге "Ньютоновы кривые
тоетьего
Стирлинг снабдил теоремы Ньютона доказательствами, а также вывел ряд теорем
общего характера. Ему принадлежит, в частности
вывод канонической формы дщшш--"^^ порядка путем выбора оси координат,
параллельной асимптоте. Общими свойствами' алгебраических кривых успешно
занимался Маклорер (1720), который развил ньютонов органический способ
образования кривых. Специальные мемуары на эту тему издали Ф.' Николь (1731),
Мопертюи (1731), Брекенридж' (1733) и др. Впоследствии кривым: третьего порядка
были посвящены работы Штейнера, Сальмона, Сильвестра, Шаля, Клебша и др.
Как было указано' выше, аналитическая геометрия Декарта и Ферма не включала в
себя методы решения пространственных задач. Оба автора сумели -лишь дать общие
указания о необходимости проектирования пространственных кривых на координатные
плоскости. В течение почти столетия эта кажущаяся в наше время очевидной идея
реализовалась лишь эпизодически, по частным-поводам и не имела общего характера.
Систематическое использование пространственных координат в аналитической
геометрии было начато в 1731 г. в КТГйге Клеро "Исследования о кривыУ двоякой
кривизны". Так назывались пространственные кривые:* 'Каждую точку последних
Клеро проектировал ортогонально на две взаимно -перпендикулярные координатные
плоскости. Таким образом пространственная кривая оказывалась заданной как
геометрическое место пересечения двух цилиндрических поверхностей, а в
аналитической форме она выражалась системой двух уравнений. В случае, когда
задано единственное уравнение, Клеро правильно интерпретировал его как уравнение
поверхности, приводя много примеров, главным образом поверхностей вращения:
п
у* + г2 = ах,
& = а2 (у2 + г2) и т. п.
Работы Клеро создали возможность для систематического построения аналитической
геометрии в форме, более или менее привычной для нас. Это осуществил Эйлер к
1748 г.
/шалитичщсая '"геометрия" в первой половине XVIII в. формировалась в тесном
сплетении с геометрическими приложениями математического анализа. Она уже играла
роль фундамента большой области математических знаний, несмотря на
незавершенность как по форме, так и по содержанию. Поэтому Эйлер, делай опытку
систематического построения математического анализа,
осуществленную им в ряде монографий, выделил для аналитической геометрии
специальный том ("Введение в анализ...", т. 2). Значение этого сочинения в
истории аналитической геометрии необычайно велико. Охарактеризуем содержание
этого тома подробнее.
Е^ основной его части, состоящей из двадцати двух глав, излагается система
аналитической геометрии на плоскости. В первой главе введены прямолинейные
координаты, как -прямоугольные, так и косоугольные, а также разъяснен способ
записи уравнений кривых, дано понятие непрерывности кривых, как свойство кривой
быть выраженной единым аналитическим выражением, в соответствии с понятием
непрерывности функции, введенным в первом томе "Введения в анализ бесконечных".
Вторая глава посвящена ' преобразованиям систем: координат: повороту осей и
переносу начала, а также анализу уравнения, прямой в виде
ах + $у = 0.
Следующие две главы относятся к классификации кривых по степеням их уравнений и
выявлению общих свойств кривых. Еще две главы отведены специально исследованию
кривых второго порядка. При этом в главе V речь идет-о тех свойствах конических
сечений, которые получаются из общего уравнения второй степени, а в главе VI
исследуются канонические формы уравнений кривых второго порядка. Бесконечные,
ветви и асимптоты конических сечений рассматриваются в главах VII и VIII.
Далее следует классификация .кривых третьего порядка (главы IX и X), В
соответствии с характером бесконечных ветвей эти кривые разделены на 1.6 видов,,
При этом Эйлер сравнил свою классификацию с той, которую дал Ньютон, и показал
неполноту последней" Соответствующая классификация кривых четвертого порядка,
проделанная в главе XI, дала уже 146 .видов, Не продолжая этой бесперспективной
работы, Эйлер перешел вновь к разработке общих методов исследования кривых по их
уравнениям, дав краткие указания об этом в главе XII.
Касательные, являющиеся предметом тринадцатой главы, рассматриваются по
отношению как к простым, так и к кратным точкам кривых. В интересной главе XIV о
кривизне кривых вначале определяется парабола, аппроксимирующая кривую в
окрестности данной точки, а затем для этой параболы отыскивается круг кривизны.
Длина радиуса кривизны кривой \
0 = At + Bu + Ct* + Dtu + Ей* + Ft3 + Gt*u + Htu* + ... в начале координат
находится по формуле
Б2С)
Кроме того, Эйлер нашел здесь же точки перегиба первого и более высоких
порядков, точки заострения. Чтобы добиться наи264
большей общности, он заменял аппроксимирующую параболу более общими
кривыми, например arm = sn.
последних, а две следующие (XVI и XVII) посвящены исследованию кривых по их
свойствам. Речь идет о таких, например, задачах: исследовать кривую
y*-P(*)y + Q(x) = o, ' •• - -
если известно, что для данного аргумента х кривая имеет две орди-- наты у\ и у&
связанные между собой условием
Другим условием является, например, то, что кривая имеет с данным лучом у=а,х
данное число точек пересечения. Интересно, что при этом Эйлер ввел полярные
координаты:
х = г cos ф, у = г sin ф.
В главе XVIII Эйлер собрал и систематизировал сведения о подобии и аффинных
свойствах кривых. Кривые, по Эйлеру, называются аффинными, если их координаты
связаны соотношениями
X ^
х.
т
Это понятие удержалось в математике до наших дней.
Наконец,, в четырех завершающих плавах рассматриваются: пересечения кривых
(глава XIX), составление уравнений сложных кривых, (глава XX), трансцендентные
кривые (глава XXI) и геометрическое решение тригонометрических уравнений.
.Последние две главы появились, разумеется, в качестве геометрической трактовки
функций, введенных в первом томе "Введения в анализ". В них рассматриваются
кривые тригонометрических функций, логарифмическая кривая, циклоиды всех трех
видов, линия хУ = ух и различные спирали. Для исследования этих кривых
используются как декартовы, так и полярные координаты.dy
•)
д*г
дх ду
Затем через' норм, ал ь к поверхности проводится секущая плоскость,, Выражение
для радиуса кривизны этого произвольного нормального сечения получается еще
более сложным вследствие того,, что теперь параметры а и р уже * независимые.
Они выражаются через параметр, определяющий сечение, т. е. через угол между
горизонтальным следом нормальной плоскости и осью абсцисс.
Из нормальных сечений выбираются два: главное, перпендикулярное координатной
плоскости хОу, и перпендикулярное главному. Для этих сечений выражение кривизны
упрощается. Затем вводится угол ф между плоскостями нормального и главного
сечений и вновь выводится общее выражение для радиуса кривизны
_ - (р2 + "?2) (1 + Р2 ф 92)3/2 sec2 ф _
Это громоздкое выражение Эйлер расписал для частных случаев: цилиндра г - I/a2 -
уг , конуса z- )Лг2л;2 - \у* и эллипсоида z2 = a2 - тх2 - пу2, а. затем
преобразовал к виду
_ 1 _ cos 2ф + # sin 2ф '
где
дх* ' дхду ' ду2
равно как М и #.
Отсюда равенство кривизн в локальной области поверхности
определяется 'равенством величин L, Ж, Ж. Когда
то соответствующий радиус кривизны достигает экстремума. Сече-. ния, дающие 'для
радиуса кривизны максимум f и минимум: g, взаимно перпендикулярны,
Эйлер делает последнее упрощение: пусть при достижении максимума / будет q" = 0.
Тогда #=0 и радиус кривизны будет
Минимум g радиуса кривизны достигается в этом случае при Ф = - -9 Выразив L и
М через f и g, Эйлер, наконец, получил
cos2"p(/ - g) ' - •
Употребляемая в настоящее время формула кривизны нормаль-. ' ного сечения была
получена из данного выражения Дюпеном через пятьдесят лет.
Из приведенного примера видно, что в "ходе создания, общей теории поверхностей
аппарат чрезвычайно усложнился. -Преодолевать возрастающие в связи с этим
трудности удавалось лишь немногим, а возможности приложений уменьшались. Но
работа продолжалась под непосредственным давлением практики, прежде \ всего
картографии и геодезии.
В 70-х годах одной из главных проблем в этой области стало развертывание
поверхностей. Понятие развертывающейся поверхности ввел Эйлер. В статье 1771 г.
о телах, поверхности которых можно наложить на плоскость, он исходит из
соответствия между координатами (л:, у, г) - точки развертывающейся поверхности
и (/, и) - точки плоскости, с которой совпадает указанная точка поверхности,
после развертывания. На плоскости берется элементарный прямоугольный треугольник
с вершинами
V, и), (t + dt, и), (/, u + du).
Ему соответствует элементарный треугольник на поверхности t- вершинами
(*, у, г), (x + ldt, y + mdt, z+ndT),
(x+.Kdu, y + \idu, z + vdu), конгруэнтный с ними (7, m, л, v\, |i, v -
соответствующие частные
производные: - =: /, "-- • = h и т. д. V Конгруэнтность и раdt
ди J
венство соответствующих отрезков привели Эйлера к следующим условиям
развертывания:
+ dy* + dsf == dt2 + du\
= 0.
Решение Эйлера содержало общую идею изгибания поверхностей и повлекло за собой
ряд значительных результатов. Так, Эйлер доказал, что касательные произвольной
пространственной кривой образуют развертывающуюся поверхность. Тенсо (1.780)
ввел точки перегиба и классифицировал их. Точки плоского перегиба у него
соответствовали случаю, когда кручение было равно нулю. Их можно было обнаружить
по точкам перегиба плоской кривой, по которой развертывающаяся поверхность,
соответствующая пространственной кривой, пересекала координатную плоскость хОу.
Другой тип - точки линейного перегиба, соответствующие случаю, когда кривизна
равна нулю, Эти точки являются. точками перегиба для всех проекций
пространственной кривой. В них соприкасающаяся плоскость перпендикулярна
плоскости проекций. Аналогичную классификацию точек перегиба ввел Монж (1771 г.,
опубликовано в 1.775 г.). Он же исследовал развертывание поверхностей.
\ Попытки построения общей теории поверхностей и простран-Уртвенных кривых
методами" заимствованными из аналитической Геометрии и дифференциального
исчисления, продолжались и в 80-х годах XVIII в. Новые идеи ввел Эйлер (17821786
гг.). Он рассматривал пространственные координаты х9 у, z кривой как
функции длины дуги s и направляющих коэффициентов осей подвижного триедра, с
помощью сферического отображения.
Ряд ученых - Монж, Лагранж, Ламберт, Менье и в особенности Эйлер - получили в
дифференциальной геометрии значительное количество конкретных результатов.
Последние находили применение в геодезии и картографии. Однако* число лиц,
занимавшихся этой проблемой, быстро уменьшалось. Утяжеление аппарата, не
соответствующее раскрываемым возможностям, тревожило выдающихся математиков и
заставляло их пессимистически оценивать перспективы развития общей теории
поверхностей и пространственных кривых.
А тем временем пути .дальнейшего развития дифференциальной геометрии уже
намечались: а) большее привлечение геометрических соображений, временно
отодвинутых на второй план усилиями по созданию аналитического аппарата; б)
расширение
Г. Монж (1746-1818)
последнего за счет привлечения теории дифференциальных уравнений; в) перевод
геометрических фактов на язык дифференциальных уравнений и геометрическая
интерпретация этих уравнений. Наибольшие успехи в этих областях были достигнуты
в революционной Франции конца XVIII в. исследованиями Монжа и его учеников.
Гаспар Монж (1746-1818), выходец из крестьянско-буржуаз-нои семьи, был, как и
многие другие математики, .активным деятелем Великой французской буржуазной
революции. Неоднократно он занимал большие государственные посты (морской
министр, организатор военной промышленности Франции и т. п.), с честью выполняя
свои обязанности. Начав свою научно-педагогическую деятельность в качестве
профессора военно-инженерной школы,
Монж добился крупных успехов в математике, физике, химии и технике и в 1780 г.
был избран членом Парижской академии наук. Он был также одним из основателей
Политехнической школы в Париже (1794) и ее профессором.
В математике основные работы Монжа относятся-к области геометрии. Охарактеризуем
здесь его достижения в дифференциальной геометрии. В течение 70-х годов Монж.
опубликовал два сочинения: "Мемуар о развертках, радиусах кривизн и различных
видах перегибов кривых двоякой кривизны" (1771 г., опубликовано в 1785 г.) и "О
свойствах многих видов кривых поверхностей" (1775 г., опубликовано в 1780 г.). В
них дано широкое и полное исследование свойств пространственных кривых и
поверхностей,, введено развертывание поверхностей, исследованы эволюты,
огибающие и т. п.
В частности, в первой из упомянутых работ, где Монж изучал пространственные
кривые, показано, что эти кривые, могут иметь неограниченно много эволют, что
они все. лежат на развертывающейся поверхности, (имеется в виду развертка
нормалей) и что они являются геодезическими линиями этой поверхности. Монж ввел
также спрямляющую развертывающуюся поверхность и показал, что исходная кривая
является ее геодезической. В этой же работе введены упомянутые выше два типа
точек перегиба и многие термины, сохранившиеся до нашего времени:-ребро
возврата, развертывающаяся поверхность, геометрическое место центров кривизны и
др.
Вторая работа в основном посвящена развитию теории развертывающихся
поверхностей. В ней, в частности, выяснено отличие линейных и развертывающихся
поверхностей, найдено известное дифференциальное соотношение:
ff__52-= О
Установлено, кроме того, что развертывающиеся поверхности могут трактоваться как
геометрические места касательных к пространственным кривым, а также то, что они
суть огибающие некоего двупараметрического семейства плоскостей и т. д.
Однако классификация кривых и поверхностей по виду и по степеням их
алгебраических уравнений и связанный с этим громоздкий аппарат не удовлетворяли
Монжа. Новая классификация поверхностей была дана Монжем в лекциях для
Политехнической школы, выходивших отдельными выпусками, а в 1801 г. -*•
отдельной книгой. В ней Монж исходит из потребностей практических приложений и
соответствующих нужд технического образо*
вания. Свойства; и структура поверхностей проявляются яснее, ^ если
кроме уравнений задан способ их конструирования, форми}
рования путем перемещения в пространстве заданной линии. При этом в качестве
объекта изучения выступают не алгебраические уравнения, а дифференциальные
уравнения в частных произ\;
ВОДНЫХ.
~ 274
Оказалось, что дифференциальным уравнениям с частными производными первого
порядка соответствует большое семейство поверхностей. В него в,ходят
цилиндрические и конические поверхности, поверхности вращения и каналов.
Последние образуются. движением окружности постоянного диаметра, плоскость круга
которой перпендикулярна заданной кривой, а центр передвигается по ней. Кроме
того, к этому классу относятся поверхности склонов насыпей, т. е. такие, у
которых линиями наибольшего спуска являются прямые постоянного наклона, а также
винтовые поверхности.
Рассматривая поверхности с различных точек зрения, Монж получал одновременно и
дифференциальное уравнение поверхности и конечное уравнение,, как его интеграл.
Например, рассматривая цилиндрические поверхности как такие,_ касательная
плоскость которых параллельна образующей
х = аг, у = Ьг%
он получил их уравнения.
дх .
ду
Но в то же время из условия, что образующая цилиндрической поверхности
параллельна прямой, получается конечное уравнение этой
поверхности
у -
02),
где ф - произвольная функция. Последнее уравнение, дает решение
дифференциального уравнения цилиндрической поверхности. Соответствующие
результаты для конических поверхностей
(х - а)-
ду
= ="- С И
а для поверхностей склона насыпей
= а и 2 = а * -
- Ф
В этой части работы введена геометрическая интерпретация характеристик как линий
пересечения двух бесконечно близких поверхностей и выведено их дифференциальное
уравнение. Дифференциальные уравнения второго порядка определяют семейства
развертывающихся поверхностей, а также те линейчатые поверхности, которые
описаны прямой, перемещающейся по двум пространственным кривым параллельно
заданной плоскости, и классы поверхностей, кривизны которых удовлетворяют
некото-рым условиям (резные, трубчатые, минимальные). Общие линейчатые
поверхности определяются дифференциальными уравнениями третьего порядка, равно
как и более сложные поверхности,
вроде поверхности, огибающей сферу переменного радиуса, центр которой движется
по заданной кривой.
Перевод фактов теории поверхностей на язык дифференциальных уравнений в частных
производных сопровождался у Монжа разработкой геометрической теории этих
уравнений. В частности, он дал геометрическую трактовку общей теории
дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка, Полный
интеграл таких уравнений f(x, у, z; a, b)= О геометрически интерпретируется
двупараметрическим семейством поверхностей, Если заменить Ь = "р(а), где ср -
символ произвольной функции, то уравнению
/ (*, у, г, а, ф (а)) = О
соответствует однопараметрическое семейство поверхностей (Монж назвал их
огибаемыми). Уравнение огибающей их 'поверхности получается исключением
параметра а из уравнений
' . ' ' f-o и -^--0
- ' ' да
Отсюда при фиксированных значениях а. получаются уравнения: характеристик
(образующих огибающих поверхностей, являющихся геометрическими образами общегоинтеграла).
Все характеристики огибаются кривой, которую Монж назвал ребром
возврата. Подобные соображения, высказанные относительно уравнения
и его полного дифференциала.
dq
привели Монжа к системе уравнений
^х _ dy ___ dz__ ___ _' __ dp __
__ ,"_ _ _ ____ .,_. _ ____.
Y + qZ
Интегрируя их, он получил уравнения характеристик.
Геометрические методы внесли также ясность в трактовку уравнения,
названного впоследствии уравнением Пфаффа:
Если условие интегрируемости выполняется, то его решение геометрически
представляется семейством поверхностей
f(x, у, 2) = С,
на которых любые кривые ортогональны к кривым
dx _ dy __ dz ~ ~~Q~ ~~"~^'
ЕСЛИ же это условие не выполнено, то, как показал Монж, при задании
дополнительной зависимости ф(л:, у, z)~0 уравнение Пфаффа определяет на
поверхности "p(#, у, г)=0 однопараметри-ческое семейство кривых, ортогональных к
тем же кривым
dz
Рис. 51
Теория характеристик Монжа, сведение задачи решения дифференциальных
уравнений с частными производными к системе обыкновенных
дифференциальных уравнений,, геометрическая интерпретация решений, тесная
взаимосвязь и взаимодействие геометриче* ских и механических методов
- ВСЯ СОВОКУПНОСТЬ 7777777^
достижений Монжа привела
дифференциальную
геометрию к новому этапу.
Он характеризуется
введением в .геометрию
аппарата дифференциальных уравнений и дальнейшим; расширением
ее теоретических и практических возможностей.
В конце XVIII в. исследование одной инженерной проблемы дало дифференциальной
геометрии основы теории линейных конгруэнции," стоявшей некоторое время
особняком. Рель идет о задаче, рассмотренной Монжем' в 1871 г. в "Мемуаре по
теории выемок и насыпей", опубликованном в 1784 г. (см. рис. 51).
Постановка задачи такова: даны два равных объема земли, ограниченных неравными
замкнутыми поверхностями. . Элементы одного объема необходимо перенести в другой
с соблюдением принципа наименьшей работы и, следовательно, стоимости. Траектории
переносимых частиц образуют двупараметрическое семейство прямых, удовлетворяющее
условиям: а) через каждую точку D проходит одна и только одна прямая семейства;
б) на каждой прямой семейства есть элементы объема R (точка, отрезок) ; в)
линейчатая поверхность, образованная прямыми семейства, высекает в D и R равные
объемы; г) Г f f r dV = min (dV - элемент
(D)
объема D, r - расстояние между соответствующими точками объемов D и R).
В плоском случае семейство прямых у = ах+Ь - однопара-метрическое. Монж
составлял дифференциальное уравнение, приравнивая элементарные площадки в
фигурах D и R. Наличие общей касательной к D и R позволяет определить значение
аддитивной постоянной уравнения.
Прямолинейные конгруэнции возникают в трехмерном случае. Монж доказал, что среди
всех линейчатых поверхностей, образо277
ванных при этом, существует только два семейства развёртывающихся поверхностей.
Если поверхности нормальны друг к другу, то конгруэнция ортогональна к
поверхности. На последней образуется ортогональная сеть линий кривизны. Нормали
к поверхности образуют вдоль этих линий развертывающуюся поверхность. Длина
отрезка нормали от поверхности до пересечения с одной из двух бесконечно близких
нормалей совпадает с длиной радиуса кривизны плоского сечения поверхности по
линии кривизны.
Наконец" Монж утверждал, что условию минимальности работы в таких, задачах
удовлетворяют именно, нормальные конгруэнции. Доказательство этого факта,
однако, появилось лишь через сто лет (1886; Сен-Жермен и Аппель).
В первой половине следующего, XIX, века происходило пополнение классического
состава, дифференциальной геометрии. Ученики' и французские коллеги Монжа
(Карно, Фурье, Ампер, Пуассон и др.) по существу привели эту науку в ее
классической части к современному состоянию.. Отметим: индикатрису и цикли-ду
Дюпена (в работах: 1813 и 1822 гг.), введение бинормали Сен-Венаном (1845),
направляющие косинусы Френе (1847) и Серре (1851).
Новый этап дифференциальной геометрии ознаменован исследованиями Гаусса (1828) о
внутренней геометрии поверхностей, т. е. о таких их свойствах, которые
инвариантны относительно изгибания. Идеи Гаусса, а также работы о свойствах
поверхностей постоянной гауссовой кривизны (Миндинг в 1839 г., Лиувилль в 1850
г.) создали область соприкосновения дифференциальной геометрии с неевклидовой 1.
Об этом речь будет идти ниже.
Начертательная и проективная геометрии" Методы начертательной геометрии
формировались в области технических приложений математики. Факты учения о
перспективе были известны с давних времен; особенно они были развиты художниками
и архитекторами эпохи Возрождения. Эти факты составили необходимую основу для
создания того раздела теоретической геометрии, в котором пространственные образы
изучаются посредством комплекса отображений на плоскости. Метод координат для
построения перспективы и соответствующие начала аксонометрического
проектирования впервые применил Дезарг в 1636 г.
Формирование начертательной геометрии в особую математическую науку завершилось
в работах Монжа. С 1795 г. Монж читал в Политехнической школе лекции об
ортогональном проектировании на плоскости. В 1798-1799 гг. он опубликовал уже
полностью разработанный ^р^^з^^^телънои геометрии ("Geometric descriptive"), в
котором систематически провел отображе1
О дифференциально-геометрических исследованиях Гаусса см. А. П. Н о р-ден.
'Геометрические работы Гаусса. В сб.: "Карл Ф/ридрих Гаусс". М.. Изд-во АН СССР,
1956, стр. 113-144.
ние пространственных фигур с помощью двух ортогональных проекций на две взаимно
перпендикулярные координатные плоскости. Этот прием он дополнил развертыванием
проекционных плоскостей около оси проекций в одну плоскость и сведением
пространственных построений и перемещений к соответствующим преобразованиям
проекций.
Учебник начертательной геометрии Монжа состоит из пяти глав. В первой главе
разъяснены цель и метод начертательной геометрии, а также элементарные задачи
относительно прямых и плоскостей. Затем следуют построения касательных
плоскостей и нормалей к кривым поверхностям. Пересечения кривых поверхностей
рассмотрены в третьей плаве, а соответствующие задачи вынесены в четвертую
главу. Пятая глава посвящена исследованию методами начертательной геометрии
кривизды линий и поверхностей.
Изложение Монжа. не является элементарным. Он рассматривал ряд новых и трудных
задач. Так,, он исследовал поверхности с ребром возврата, геодезические
поверхности и линии наибольшего, ската на них, поверхности одинакового ската и
т. п., навеянные его дифференциально-геометрическими исследованиями.
Влияние работ Монжа и близких к ним по содержанию учеб.
ников Л акру а было длительным:. Их сочинения в течение первой
половины XIX в. переиздавались много раз. Усовершенствования:
частного характера и разработка различных способов проектиро.....
вания составили основное содержание работ по начертательной геометрии в
дальнейшем. Эта область геометрии со времен Монжа прочно вошла в круг
математических дисциплин, входящих в систему технического образования,.
Теоретический аспект технической перспективы и более общее понимание последней
как одного из видов проективных преобразований были разработаны еще. Дезаргом.
Идея изучения проективных свойств геометрических объектов возникла как новый
подход к трудной античной теории конических сечений с целью упростить и обобщить
ее. Сочинение Дезарга "Черновой набросок подхода к явлениям, происходящим при
встрече конуса с плоскостью" (1639) и Б. Паскаля "Опыт о конических сечениях"
(1640) содержат превосходное решение этой проблемы и служат основой новой
геометрической науки - проективной геометрии.
Центральная проекция в ней обогатилась бесконечно удаленными элементами, связав
воедино пучки сходящихся и параллельных прямых, равно как и плоскостей. Весьма
плодотворным оказалось и понятие инволюции. Проективные и инволюторные свойства
конических сечений составили целую теорию, среди многочисленных теорем которой
выделяются теоремы, названные именами их авторов - Дезарга и Паскаля. Кроме
того, Дезарг открыл много теорем о полюсах и полярах конических сечений.
Вначале лишь немногие ученые восприняли идеи Дезарга и Паскаля. Их сочинения
оказались утерянными. Лишь в 1845. г.
Шаль нашел копию сочинения Дезарга. От работ Паскаля по проективной геометрии
сохранился лишь набросок. В течение более столетия можно отметить лишь
эпизодические применения проективных преобразований. Сама эта область еще не
выделилась в отдельную дисциплину. Поэтому строгое и систематическое 0т
построение начертательной геометрии, проделанное Монжем к концу XVIII в., сыграл
о .роль необходимой предпосылки для построения проективной геометрии.
Сочинения Л. Карно "О корреляции фигур в геометрии" (1801) и "Геометрия
положения" (ISO'S) вновь обратили внимание ученых на полузабытую со времен
Дезарга и Паскаля науку. Довершил (1822) теоретическое построение и оформление
новой области математики офицер наполеоновской армии Понселе, который имел для
этого достаточно свободного времени в русском плену в Саратове. Выделив класс
проективных преобразований фигур, Понселе уделил основное внимание соотношению
между проективными и метрическими свойствами фигур.
Дальнейшее развитие проективной геометрии проходило под знаком поисков решения
этой проблемы. В XIX в. соответственно наметились даже два направления.
Приверженцы одного из этих направлений (в особенности Штаудт) стремились
освободить проективную геометрию от всякой метрики. Другие (например,, Мебиус)
всячески развивали аналитические методы.
Противоречие это сгладилось в результате установившихся связей проективной
геометрии с неевклидовой, с теорией функций комплексного переменного, когда,
раскрылись возможноетй проективной геометрии и ее подлинное место в системе
математических наук. Общность проективных свойств была использована Кэли и
Клейном при рассмотрении различных геометрических, систем с единой точки зрения.
Синтетико-геометрические устремления Штаудта и др. послужили основой
аксиоматического построения проективной геометрии в начале XX в.
Основания геометрии. К этой области геометрии относят те исследования и
результаты, в которых изучается обоснованность выбора исходных понятий, дается
анализ систем аксиом, положенных в основу геометрических теорий, а также
содержатся конкретные преломления в последних ведущих математических идей. При
этом раскрываются как внутриматематические связи геометрии, так и более широкие
ее связи с другими науками.
Основания геометрии в XVIII в. - это по преимуществу основания евклидовой
геометрии. Главным содержанием научных .исследований был критический анализ
"Начал" Евклида. Тяжеловесная система "Начал" не удовлетворяла многих
математиков. Поэтому среди большого числа сочинений выделялась группа, в которой
критиковалась система аксиом Евклида, в особенности постулат о параллельных.
В плане научного пересмотра оснований евклидовой геометрии нет необходимости
упоминать о многочисленных дискуссиях,
занимающих большое место в сочинениях, посвященных этому вопросу. Дело в том,
что критика была пестрой, противоречивой, в большом числе случаев недостаточно
обоснованной. По справедливому замечанию Даламбера, нельзя указать такого автора
сочинения по основаниям геометрии, который не осуждал бы своих предшественников
и современников в
более или менее энергичных выражениях и #/_ ?/ А/
не превозносил свою систему.
Придирчивый анализ оснований евклидовых "Начал", и в особенности аксиомы о
параллельных и ее многочисленных "доказательств", привел математиков к убеждению
в неудовлетворительности всех известных "доказательств" этой аксиомы. Некоторые
из математиков, исходя из стрем- " ' ления доказать аксиому о параллельных
Рис. 52
путем приведения к противоречию, получили ряд теорем неевклидовой геометрии.
"Так,
итальянский математик монах И. Саккери рассматривал проблему параллельных таким
образом: из концов отрезка АВ восставим перпендикуляры АА\ и ВВ\ равной длины
(рис. 52). Точки А\ и В\9 а затем середины С и С\ оснований прямоугольника
соединим пряТЕ
мыми. Определим величину углов прямоугольника:^ А = ^В = •-'--• по построению.
Перегнем чертеж по ССг.
Х .1. АВ\ также ССг J_ A& и
Последующие предположения о величине этих равных углов получают у Саккери
название гипотез: острого, прямого и тупого углов. Гипотеза тупого угла быстро
привела его к противоречию. По замыслу Саккери, таков же должен быть исход и
гипотезы острого угла, что дало бы доказательство аксиомы о параллельных. Однако
случилось непредвиденное. Гипотеза острого угла при логическом ее развитии
давала странные результаты, но к противоречию не приводила. Выводы Саккери, как
выяснилось впоследствии, по существу совпадали с первыми теоремами геометрии
Лобачевского: сумма углов треугольника оказалась меньше 2d, площадь треугольника
не была в состоянии неограниченно увеличиваться при увеличении его сторон;
появилась необходимость в существовании некоторой абсолютной единицы длины и т.
п.
Примерно через тридцать лет Клюгель (1763) сделал обзор важнейших попыток
доказательства теоремы о параллельных линиях и пришел к выводу, что Евклид
правильно поместил это предложение среди аксиом.
Одной из последних работ по основаниям геометрии в XVIII в. является
статья Ламберта, швейцарца по происхожде-йию, берлинского академика. Около
1766 г. он написал "Теорию параллельных линий", навеянную работами Саккери и
Клюгеля. ДТамберт модифицировал четырехугольник Саккери; именно он по-/строил
перпендикуляры АА\±,АВ, ВВ\Л-АВ" A\B\JLAA\ и свел #задачу к определению
величины угла В\. Гипотеза прямого угла дала евклидову геометрию, гипотеза
тупого угла привела к противоречию., А вот гипотеза острого угла .снова дала
странные тео- | ремы, но ни к каким противоречиям не привела.
"\
Основания геометрии во'второй половине XVIII в. приобрели 1 помимо научного
большое общественное значение. Вопрос о пригодности "Начал" в качестве школьного
учебника геометрии был поставлен под сомнение и явился предметом широких
дискуссий. В Англии и частично в Германии эти дискуссии привели к преобладанию
изданий, сохраняющих дух и структуру евклидовых "Начал" и лишь более или менее"
упрощающих изложение. Во •Фр анции, наоборот, исходные установки создания
школьного курса и в конечном' счете всей системы элементарной геометрии
определялись общими воззрениями французских энциклопедистов, в особенности
Даламбера, В результате появился ряд учебников для начальной и средней школы
французских авторов: Дал-амбе-ра, Безу, Лежандра, Лакруа. С большей или меньшей
решительностью авторы этих учебников отрывали преподавание геометрии от
евклидовой схемы.
Влияние этих книг было велико. В них по существу был создан современный нам тип
школьного учебника геометрии. Для этого была проделана огромная работа. То, что
кажется теперь очевидным в построении основ школьного учебника геометрии, •было
достигнуто к концу XVIII в. усилиями французских математиков"
• Что же конкретно было сделано? Во-первых; в основы геометрии были введены
метрика и движение, которых столь тщательно избегал Евклид. Во-вторых, была
произведена широкая арифмети-зация, в том числе арифметизация теории отношений и
пропорций, в результате чего отпала необходимость в пятой книге "Начал".
Введение алгебраической символики и элементов алгебры сняло необходимость во
второй книге "Начал". Употребление радикалов упразднило в курсе геометрии
сложную классификацию иррациональностей, развитую в десятой книге "Начал". Так,
евклидовы "Начала" были переработаны в курс элементарной геометрии, живое
изложение которого сделало его доступным для широких кругов учащейся молодежи и
для решения практических задач. Создание новых принципов преподавания геометрии
и углубленный анализ евклидовой системы аксиом по существу создали предпосылки
для перестройки всей системы геометрических наук. Эта перестройка произошла в
XIX в. Начало ей было лоложено введением геометрии Лобачевского.
6.6. СОЗДАНИЕ ПРЕДПОСЫЛОК СОВРЕМЕННОЙ АЛГЕБРЫ И ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
Декарт, связавший в единой науке - аналитической геометии__методы
алгебры и геометрии, считал, что он создал единую
науку,'соединившую-и как бы поглотившую обе эти дисциплины. Однако
использование, алгебраического аппарата в аналитической геометрии не повело к
упразднению алгебры, Алгебра .развивалась в дальнейшем своим оригинальным путем,
имея собственную научную проблематику. Этой проблематикой оказалась по
преимуществу......т?Сф!Ш-^ы?б^ Последняя включала"
в'себя как формирование общей теории уравнений, так и накопление способов
численного и графического их решения. Научная разработка подобных проблем
приводила одновременно и к перестройке основ алгебры, связанной с расширением
понятия числа, и к усовершенствованию алгебраического буквенно-симво-лического
аппарата. Развитие этих - двух сторон алгебры, по существу определяющих еет. е.
- . • •'•;". у = ч + -~-
Повторяя этот- прием, получим
\j
Если цепная дробь обрывается, то корень рационален. Если же--он иррационален, то
.цепные дроби позволяют оценить, с какой погрешностью осуществлено любое
последовательное приближение.
Практически приемы решения алгебраических уравнений, накапливаясь, открывали
перспективы /для развития теоретической части алгебры. Будущее этой науки
постепенно раскрывалось в р азнообр азных теоретических исследованиях,
группирующихся вокруг двух проблем: разрешимости алгебраических" уравнений в
радикалах и доказательства основной теоремы алгебры.
Мы уже указывали, что Жирар (1629) и Декарт (1637) впервые установили, что
алгебраическое уравнение может иметь столько корней, сколько единиц имеет его
наивысшая степень. JB XVIII в. постановка этой проблемы трансформировалась.
.Теперь уже требовалось доказать, что всякое алгебраическое уравнение степени п
имеет именно п корней (действительных и комплексных). В качестве эквивалентного
утверждения предлагалось доказать разложимость левой части уравнения в
произведение линейных и квадратных множителей с действительными коэффициентами.
Над решением этой и других связанных с ней проблем трудились Далам-i;6ep, Эйлер,
Лагранж, Гаусс и многие другие математики.
Первое доказательство было дано Даламбером (1746). Оно состояло в установлении
факта, что
тт\Рп(х)\ = 0.
Однако соображения Даламбера были нестрогими, содержали в явной форме апелляцию
к средствам математического анализа и не облегчали затруднений алгебраистов.
1 См., например, Г. М. Шапиро. Высшая алгебра. М, Учпедгиз, 1938.
Полученное почти одновременно доказательство Эйлера (опубликованное в 1751 г.)
опиралось на рассмотрение графиков кривых
соответственно при четном и нечетном п. Оказывалось при этом, что уравнение
Рп(х)=0 при п нечетном имеет один вещественный корень или нечетное их число, при
п четном существует четное число вещественных корней или же их вовсе нет; если
свободный член уравнения четной степени отрицателен, то уравнение имеет во
всяком случае два вещественных корня разных знаков. Трудность была тем самым
сведена к доказательству теоремы для уравнений четной степени: п=2т. Так как
2п~1"2г/г"2п, то, до-множая уравнение 2n- 2m линейными множителями вида x-at
видим, что доказательство достаточно проводить для уравнений, степени которых
имеют вид 2п. Относительно уравнений последнего типа Эйлер высказал важную
теорему: левая часть алгебраического уравнения степени 2п (/г"1, целое)
разлагается на два множителя степени 2я-1, и наметил пути ее доказательства *"
При этом он нашел два важных свойства алгебраических уравнений: "а) рациональная
функция корней уравнения,, которая принимает при всех возможных подстановках
корней k различных значений, удовлетворяет алгебраическому уравнению степени k,
коэффициенты которого суть рациональные функции коэффициентов данного уравнения;
б) рациональная функция корней уравнения, инвариантная относительно перестановок
корней, есть рациональная функция коэффициентов исходного уравнения.
Уточняя доказательство Эйлера, Лагранж ввел и разработал теорию подобных
функций, т. е. "функций, инвариантных при подстановках одной и той же группы и
только при них. У Лагранжа речь идет о подобии симметрических функций корней
уравнения в случае, если все 2k значений, которые они способны принимать, при
всех перестановках корней, различаются между собой. Относительно подобных
функций Лагранж доказал, что они рационально выражаются друг через друга и через
коэффициенты данного уравнения.
Смысл доказательств Эйлера и Лагранжа с современной точки зрения таков. Пусть
дано уравнение Рп(х)=0. Его коэффициенты - элементы поля D действительных чисел.
/С - поле Галуа данного уравнения. Степень /С над D :n=2r-k (& - нечетное). По
теореме Силова, существует подгруппа Н порядка 2Г группы Галуа G этого
уравнения. Образуем q - поле элементов, инвариантных относительно подстановок из
Я:
ъ "" * Я1^' И" Г' Башмакова. О доказательстве основной теоремы алгебры, ст
Сб2:5у_о1орико"математические исследования", вып. X. М., Гостехиздат, 1957,
10*
Степень К над q есть 2Г, степень q над D - нечетное k. Поле q образуется
присоединением к D корня v неприводимого над D многочлена Р\(х) степени k. Но k
нечетно; следовательно1, д = О2.
Рассмотрим К над D. Его степень 2Г. Если К=О(щ)9 то ц - корень уравнения Р2(х)
=0 степени 2Г с действительными коэф-. фициентами, как в уравнениях,
рассматривавшихся Эйлером.
Известно, что группы порядка рг, где р - простые, г, - натуральные, разрешимы;
их Нормальные делители имеют простые порядки р. Здесь же р=2. Значит,
где каждое из промежуточных нормальных полей -квадратичное по отношению к
предыдущему. Соответствующие квадратные уравнения, которые нужно решать над
предыдущим полем:, чтобы получить последующее, имеют либо действительные, либо
.комплексные корни. Пусть Кг - первое поле,, совпадающее с полем комплексных
чисел; последующие поля будут тоже совпадать с этим же полем., В противном
случае все поля совпадут с D.
Обратно, если исходить из K=J^rj то для отыскания корня-уравнения Р$(х)=0
степени 2Г надо решить над D одно уравнение степени 2Г~"1"" Его корни породят
поле /Cr-i, а над ним - одно квадратное уравнение. Возможно повторение этого
рассуждения для степени на единицу ниже и т. д.
Элементы этих идей новой алгебры явственно угадываются в доказательствах Дилера
и Лагранжа.
Другая группа элементов теории Галуа была накоплена, в ряде исследований
проблемы приводимости уравнений; Ньютон первый вышел за пределы вопроса о
приводимости уравнений над полем рациональных чисел. Он предложил алгоритм" для
решения вопроса о том, может' ли уравнение "быть приведено при помощи •какоголибо
иррационального делителя, или, что то же самое... нельзя ли так разделить
уравнение на. две равных части, чтобы из каждой вы могли извлечь корень" 2.
Помимо постановки вопроса о возможности приведения уравнения над различными
областями это рассуждение содержит некоторую идею теории Галуа. В самом деле,
Ньютон ставит по существу вопрос о присоединении к полю рациональных чисел иррациональностей
вида Vk и приводимости уравнения над этим расширенным полем. Иначе
говоря, речь идет об отыскании квадратичных подполей поля разложения полинома.
Алгоритмы Ньютона, а вслед за ним и Варинга для решения вопроса о том,
распадается ли заданное уравнение на множители, если область рациональных чисел
расширить присоединением
1 Так как единственными неприводимыми уравнениями нечетной степени над
полем действительных чисел являются линейные уравнения.
2 И. Ньютон. Всеобщая арифметика. М., Изд-во АН СССР, 1948,
стр. 270.
квадратичной, биквадратичной или кубической иррациональности, просты, но
громоздки. Ньютон и Варинг представляли всякий раз полином в виде произведения
множителей с неопределенными коэффициентами, зависящими от иррациональностей
исследуемого ви да. 3 атем следовали попытки такого подбор а неопределенных
коэффициентов, чтобы искомое разложение осуществилось.
'Громоздкие методы не открывали перспектив и приводили к ошибкам. Тем не менее
они были полезны. В них фактически рассматривались поля-алгебраических чисел,
определялся общий вид элементов этих полей.
Накопление предпосылок нового этапа развития алгебры в XVIII в. достигает
кульминации в исследованиях Лагранжа, нашедших отражение в его
"Размышлениях.Jэй^;MI:i^i&Шi^cщм.решении уравнений" (1771--
1772)ТВГэтом'сочинении Лагранж крити-чески п€ресШт{ЖПП^
тому времени методы и попытки
решения алгебраических уравнений. К открытым уже ре-'зольвентам он добавил
еще одну, весьма общего характера.
Он рассмотрел алгебраическое уравнение
Xй + bi л:71"(tm)1 ~f" bz Хп~~2 + , . . = О
и, в соответствии с методом Чирнгаузена, вспомогательное уравнение
У
k)
с неопределенными коэффициентами f, g, ...f.k. Лагранж исключил х из обоих
уравнений:
уп + Ду*-\ + ВуП~~2 .J... а ^ ф ..... _|_" ру + Т = О
и подобрал коэффициенты f, gf ..... так, чтобы
Тогда решение заданного уравнения свелось к решению системы уравнений: уп=-Т и п
- 1 уравнения, в которых находятся неопределенные коэффициенты /, g, ... . Корни
первого из уравнений:
п-\
где а, а2, ..., ап~1 - преобразованные корни единиц (корни уравнения уп-1=0).
Подставив эти значения в выражение для х:
-а2#2 + ... +ап-\уп-\
он получил систему п уравнений:
а2г/!+ ...
а2у а2
Вследствие того что
1 + а + ex* + .. . = 0;
1 + а2 + а* + ... = 0;
ОН "ПОЛУЧИЛ
nalyl =
Затем Лагранж упростил систему с учетом
= _ -L.. 11оложив
•*! ^:: '
он получил
'
ex.
т, • откуда
линейную функцию корней уравнения, названную позднее резольвентой Лагранжа.
Функция Q=tn при всех перестановках
! значений. Коэффикорней
уравнения Р7г(л:)=0 принимает циенты уравнения
суть симметрические функции от О* (1=1, 2, ..., &). Последние в свою очередь
являются симметрическими функциями корней Хг (i=l, 2, ..., п). Следовательно
корни х\ (/=1, 2, ..., п) можно определить через k"^n\ корней 6^.
Однако все известные для уравнений степени п^4 способы отыскания резольвент
приводят при п^.5 к резольвенте степени k"n. Это заставило Лагранжа сомневаться
в том, что рассмотренные им методы могли решать уравнения степени п^5. Однако он
считал, что рассмотренные им группы подстановок корней
уравнений являются "дорогой к решению", так как он обнаружил на этом пути
решения для класса так называемых циклических уравнений, т. е. уравнений с
циклической группой подстановок.
Лагранж достиг весьма большой общности. Он рассматривал уравнения с
произвольными буквенными коэффициентами. Относительно их он исследовал поля
рациональных функций корней. Он ввел группу подстановок корней уравнения
(симметрическую группу) и изучил соответствие между ее подгруппами и под-полями
рациональных функций, инвариантных относительно подстановок этих подгрупп.
Наконец, Лагранж доказал и первые теоремы теории групп, например, что порядок
подгруппы есть делитель порядка группы.
Вслед за Лагранжем подстановки корней уравнений изучал Руффини. Он предложил в
1799 г, доказательство неразрешимости в радикалах уравнения степени /г^5. Однако
это доказательство не было общим, так как Руффини принял без доказательства" что
корни резольвент рационально выражаются через корни исходного уравнения. В
последующих работах, появившихся в 1801, 1802, 1806 и 1813 гг.,-он пытался
доказать это предложение, но полного обоснования так и не смог добиться. Однако
он провел систематическое исследование конечных перестановок и доказал ряд
важных теорем. При этом он впервые ввел термин '"группа". В 1814 г. Руффини
открыл и сформулировал правило приближенного вычисления корней уравнений,
переоткрытое в 1819 г. Гор-нером.
Алгебра, таким образом, развивалась в течение XVIII в. как наука о решении
алгебраических уравнений. В ней получили известное завершение проблемы,
связанные с элементарно-математическими средствами решения уравнений. Были
разработаны основные предпосылки для создания теории Галуа и теории групп.
Алгебра на рубеже XIX в. находилась накануне коренной перестройки,, сделавшей ее
соединением ряда алгебраических наук, предметом изучения которых стали объекты
более сложной и абстрактной природы: группы, поля, кольца и т. д.
Развитие алгебры в этот период демонстрирует еще раз общую закономерность
развития математики: новые области математики рождаются в недрах старых, их
основные понятия и, методы оперирования проходят период "эмбрионального"
развития. Затем происходит возникновение новой математической дисциплины.
Характерной особенностью процесса возникновения является переворот в методе.
Выделение сопровождается возникновением нового символического аппарата,
играющего двоякую роль: отражения реальных математических процессов и
оперативную. Новыми областями в данном случае являются теория Галуа и теория
групп.
В настоящей книге мы неоднократно отмечали отдельные факты истории теории чисел.
Эта область математики, в которой изучаются свойства целых, рациональных и
алгебраических
чисел, а также свойства любых других чисел, вытекающие из
приближений их рациональными числами, выросла из арифметики. В XVIII в. она еще
тесно была связана с алгеброй. Однак{ своеобразие проблематики и методов теории
чисел уже осознав^ лось'достаточно определенно. Накопившийся запас теоретико-чис
ловых фактов также способствовал выделению теории чисел в" особую
область математики. Ниже мы-дадим очерк основных моментов истории теории чисел.
Еще в Древней Греции, как мы упоминали, были выделены по принципу общности
свойств различные подмножества целых чисел: простые/ квадратные, совершенные,
полигональные, составляющие пифагорейские тройки и др. Там же была разработана
стройная теория делимости, доказана бесконечность числа простых чисел в
натуральном ряде, изобретен алгоритм Евклида. Сочинения Диофанта представили
много примеров раннего и' высокого развития неопределенного -анализа. История
математики в Китае и Индии свидетельствует о раннем появлении ряда теорем теории
сравнений" и других фактов теории чисел,,
Однако развитие теории чисел происходило весьма медленно" Между новыми
открытиями проходили десятилетия, а иногда и века. Теоретико-числовые результаты
достигались в большинстве выдающимися учеными и оставались изолированными.
Возможными, причинами этого были: специфичность предмета теории чисел,
возрастающая абстрактность в постановке задач этой теории,. необычайная
трудность их. решения, требующая высокого развития математики и незаурядных
личных качеств ученого. В силу этих причин существенное обогащение теории чисел
и ее (формирование и обособление имели место лишь в XVJI-XVIII вв. В этот период
ее проблемами занимались несколько 'крупных ученых: Ферма, Декарт, Б, Паскаль,
Валлис, Лейбниц, Эйлер и др.
В течение XVII в. наибольших результатов добился П. Ферма. В его переписке и на
полях принадлежавшей ему книги сочинений Диофанта содержится большое число
теоретико-числовых результатов. В частности, Ферма записал там свою знаменитую
"великую" теорему: уравнение xn-\-yn = zn для целых показателей при /г"2
неразрешимо в целых числах. Приписка Ферма гласила, что он владеет поистине
чудесным доказательством, но на полях недостаточно места, чтобы его записать.
Однако общее доказательство этой теоремы не найдено до настоящего времени, хотя
ек" занимались многие величайшие математики и бесчисленное множество любителей.
Теорема приобрела популярность в начале XX в.,, когда за решение этой задачи
некий Вольфскель установил премию в 100 тысяч марок (премия была отменена в
конце первой: мировой войны).
Своей постановкой великая теорема, по-видимому, была обязана стремлению Ферма
обобщить теорему о составлении пифагорейских троек целых чисел. Тот же источник,
древнегреческую математику, можно с большой уверенностью назвать и для малоа
теоремы Ферма. В связи с этим он исследовал делимость чисел и проблему
нахождения всех делителей заданного числа. К этому же кругу вопросов относятся
работы Ферма о совершенных и других числах специальной структуры.
Большое место в исследованиях Ферма, разумеется, занял неопределенный анализ
Диофанта, т. е. целочисленные решения, неопределенных уравнений и их систем.
Особое внимание он уделил уравнениям вида ах2+1=у2, где а не есть точный
квадрат. Относительно этого уравнения (за которым впоследствии из-за случайной
обмолвки Эйлера утвердилось название уравнения Пел-ля) Ферма, умел: а) находить
его наименьшее решение; б) получать, зная наименьшие, все остальные решения.
К XVIII в. в. математике накопилось много теоретико-числовых
(фактов, порой весьма важных и сослуживших в дальнейшем полезную службу при
появлении новых областей математики. Однако эти факты не были систематизированы,
связи между ними не раскрыты, возможности применяемых методов не изучены. К тому
же после работ Ферма, Паскаля и др. в теории чисел наступило полувековое
затишье, вплоть до того времени, когда * теорией чисел занялся Эйлер. С его
именем связано становление \ теории чисел как науки. Проблемы этой области
математики нахо- I дились в поле зрения Эйлера в течение всей его жизни. Им он
У посвятил,, как подсчитано, or.....ромное число работ: около 150. у
По-видимому, первым стимулом к занятиям Эйлера теорией чисел была переписка с
Гольдбахом, Последний в письме от 1 декабря 1729 г. спрашивал: "Известно ли Гебе
замечание Ферма о том, что все числа вида 22*""1+1, именно 3, 5, 17 и т. д.,
суть простые, причем сам он, по его признанию, не. смог этого доказать, и,
насколько я знаю, после него никто не доказал" 1.
. Вскоре (1732-1733) Эйлер доказал, что теорема -Ферма не- • верна уже
для я=6, ибо число 225 +1 = 4 294967 297 делится на €41. Кроме того, он доказал
ряд теорем, относящихся к проблеме делимости, в том числе малую теорему Ферма.
Нахождение доказательств, обобщений или опровержений теорем Ферма было только
первым этапом теоретико-числовых исследований Эйлера. В последующем он охватил и
развил все основные ^разделы теории чисел, как алгебраической, так и
аналитической, определив ее состав и методы на много лет вперед.
Работы Эйлера определили проблематику, структуру и методы алгебраической теории
чисел, т. е. той ее части, в которой используются по преимуществу методы
арифметики и алгебры и не привлекается по возможности аппарат теории функций и
анализа бесконечно малых.
Здесь ему прежде всего принадлежат работы по теории делимости, выросшей к нашему
времени в теорию сравнений. Помимо доказательства малой теоремы Ферма Эйлер ввел
функцию ср(т),
л v,TT?Torr(rsPoridance mathematique et physique de quelques celebres
geometres .du XVIII siecle, t. I. St. Pet., 1843, S. 10.
значение которой равно числу чисел, меньших т и взаимно-простых с ним.
Относительно этой функции он доказал, что если а и Ъ взаимно-просты, то ф(аб)
=ф(а)ф(6) и что ф(ра)=ра-pa~~lt если р - простое и а - целое. Затем он цашел
выражение Ф(АП) для произвольного т, если известно представление пг в виде
произведения простых чисел, и. доказал, что афм-1 делится на т, если а и т
взаимно просты.
Эйлер ввел понятие первообразного корня по модулю т: число g называется
первообразным корнем по модулю т, если gh-1 делится на т тогда и только тогда,
когда k кратно ф(/п). Им введено также понятие индекса числа N по модулю т при
основании g, т. е. показателя степени k числа g, такого,, что разность gk-N
делится на т. Он нашел ряд свойств индексов, доказал существование
первообразного корня по любому простому р и теорему Вильсона: (т-1)1 + 1 делится
на т, если т - простое число.
Эйлер ввел понятие степенных вычетов и создал их теорию. Число а он назвал
вычетом степени п по модулю р, если существует такое целое число х, что хп-а
делится на р. Он показал, что свойства степенных вычетов важны не только для
решения двучленных сравнений
хп- 05=0 (mod р),
но и для других задач, например для задачи представления чисел квадратичными
формами. Занимаясь свойствами квадратичных вычетов, он открыл (1722) знаменитый
и теперь закон взаимности:
даны два простых числа р и q\ если хотя бы одно из них имеет вид 4/1+1, то
сравнения
лга==р (mod #),
;t-2 = q (mod p) . • ,
являются одновременно разрешимыми. Если же и р и q имеют вид 4я+3, то из
разрешимости одного из уравнений следует неразрешимость другого.
После Эйлера квадратичный закон взаимности доказал Ле-жандр (однако его
доказательство было неполным). Гаусс до 1801 г. дал восемь доказательств этого
закона. Наконец, Лежандр к 1808 г. нашел удобную форму записи квадратичного
закона взаимности:
?-!_ 2
(7-1
введя символ
+ 1, если р есть квадратичный вычет по mod q, - 1, если р есть квадратичный
невычет по mod q.
Не менее велики заслуги Эйлера в разработке проблем дио-фантова анализа
(решения неопределенных уравнений в целых и
рациональных числах), для нужд которого он разработал и строго обосновал теорию
непрерывных дробей. Здесь прежде всего заслуживает упоминания доказательство
великой теоремы Ферма дЛЯ V0=3 и /г=4. Для этого Эйлер использовал и развил
метод спуска, изобретенный Ферма. Этот метод состоит в следующем. Пусть
'существует нетривиальное решение (#о, #о, ?о) уравнения Ферма, "удовлетворяющее
условию Яо#о2о?=0. Тогда оказывается возможным найти другое -нетривиальное
решение (xi, y\, z\), элементы которого также натуральны и соответственно меньше
по величине, чем ' (XQ, #о, ZQ). Продолжая; мы придем к неограниченной
последовательности убывающих троек натуральных чисел, т. е. к противоречию.
Эйлер доказал множество теорем, примыкающих к указанной теореме Ферма, более
подробное рассмотрение и перечисление которых представляло бы интерес лишь для
специалистов.
Из других задач диофантова анализа Эйлер уделил большое внимание "задаче
отыскания целочисленных решений уравнения второго порядка с двумя неизвестными и
с целыми коэффициентами
ах? + Ьху 4- су* + dx + еу + f = 0.
Вопрос о получении бесконечного числа решений, если известно одно решение (*"",
уо), Эйлер свел к решению уравнения Пелля
(D - натуральное, не квадратное число).
В широкую и разветвленную алгебраическую теорию чисел, создаваемую! Эйлером,
входят работы о представлении чисел квадратичными формами ах2+Ьу2. Ёще'Валлис
(1685) утверждал, что всякое число можно разложить на множители единственным
образом. Ему принадлежит теорема, что число простых делителей числа т = /А-^-Л
(р, qt г, ...-простые) равно (М-1) (p+l) (v+ + 1)..., а их сумма равна
- 1
р-1
q -
г^-н _
г-1
Для нахождения простых делителей больших чисел Эйлер построил метод, основанный
на представлении этих делителей в виде квадратичных форм. Последние должны
обладать тем свойством, что простые числа представляются, если возможно,
единственным образом, а сложные - неединственным или не представляются вообще.
Оказалось, что подобное свойство зависит от произведения n=ab. Те числа я,
которые порождают подобные формы, Эйлер назвал удобными и нашел критерий
удобности числа: число'я является удобным, если для каждого целого л:"1/3я ,
взаимно-простого с я, сумма п+х2 будет или простое, или удвоенное простое, или
квадрат простого, или степень числа два. Удобных чисел
Эйлер нашел 65, наибольшее из них - 1848. Предположение Эйлера, что 1848 -
последнее удобное число, до сих пор не доказано.
В трудах Эйлера содержались все предпосылки для создания системы алгебраических
методов теории чисел. Они послужили источником для позднейших исследований.
Например, исследования Эйлера, о представлении чисел значениями квадратичных
форм и о виде простых делителей легли в основу созданной Гауссом общей теории
квадратичных форм. Попытка Куммера : (1847) продолжить работу Эйлера по решению
великой теоремы Ферма, помимо доказательства ее для я"^.100, привела к открытию
отсутствия единственности разложения на простые множители в' алгебраических
полях, и к созданию теории идеалов. Работы по теории сравнений и открытие
квадратичного закона взаимности повлекли обобщения Э. Куммера, Д. Гильберта и
др., завершенные наиболее общей формой этого закона, найденной и доказанной И.
Р. Шафаревичем.
Особо важным этапом развития теории чисел являлось применение к решению ее задач
методов математического анализа, Эта часть теории чисел - аналитическая - берет
свое начала также в XVIII в. в трудах Эйлера. Последний разработал аналитические
методы для решения проблемы распределения простых чисел в ряду натуральных
чисел, а также для ряда аддитивных проблем. Эти методы раскрывают связи между
свойствами целых чисел и свойствами аналитических функций.
Первая из указанных проблем получила 'для своего решения методы, основанные на
применении так называемой дзета-функции, введенной Эйлером,
и тождества Эйлера
2-?- = П
п=\
(п - натуральные, р - простые).
Рассматривая значения обеих частей этого тождества при 5"1 и сколь угодно
близких к единице, Эйлер смог дать аналитическое доказательство известного со
времен Евклида факта бесконечности числа простых чисел в натуральном ряду. Кроме
того., он высказал утверждение (не дав ему строгого доказательства):
Настойчивые поиски аналитически выраженного закона распределения простых чисел,
как известно, не привели к успеху до
сих пор. Некоторые подходы к решению, впервые после Евклида, появились у Эйлера,
высказавшего предположение, что неограниченная арифметическая прогрессия, а0 и d
которой - простые, содержит неограниченно много простых чисел. Лежандр,
разделявший с Эйлером эту уверенность, тоже не дал доказательства. Доказать
гипотезу Эйлера удалось только в 1837 г. Дирихле.
Лишь в 1798 г., Лежандр отыскал эмпирическую формулу для функции я(я),
значения которой равны числу простых чисел
• • In x- 1,08866
Позднее Чебышев ((1848) установил, что я(х) при возрастании х
колеблется около отрезков ряда, асимптотически приближающего
С
=
J
In х
и дал близкие оценки амплитуды этих колебаний.
Для комплексной плоскости Риман заметил, что порядок разности л(х)-Li(x) зависит
от расположения так называемых нетривиальных нулей функции ?(s), действительные
части которых лежат между нулем: и единицей. Он высказал также'Гипотезу, что
все действительные части при этом лежат на прямой х = -.
Строгое доказательство для оценки значения п(х) в предельном случае
1{т_*М_=1
появилось лишь в 1896 г. Относительно же гипотезы Римана авторы настоящего
доказательства Адамар и Валле-Пуссен смогли найти только, что на прямой
х = 1, s = х + iy
нет нулей ?(s).
Весьма значительным является вклад математиков XVIII в. (по преимуществу Эйлера)
в аддитивную теорию чисел, где изучаются разложения больших целых чисел N на
слагаемые
взятые из некоторых числовых последовательностей {а#}..
Задачи аддитивной теории чисел (или, как ее тогда называли, partitio numerorum)
ведут свое происхождение, по-видимому, от задачи Фибоначчи о гирях: как
подобрать числа (веса гирь), ai, a2, аз, ..., чтобы всякое число могло быть
представлено как их
сумма. Лейбниц (1674) в связи с этой задачей отметил, что число 3 допускает три
разбиения, 4 - пять разбиений, 5 - семь, 6 - одиннадцать, а 7 - пятнадцать
разбиений.
Эйлер занимался проблемами partitio numerorum с 1741 г. Он исходил из двух
бесконечных произведений
\(l+akz) и
Разложим вслед за Эйлером эти произведения в ряд по степени г. Коэффициент при
гп первого степенного ряда есть сумма всех произведений по п в каждом из чисел
а& без повторений. Во втором ряду будут те же суммы, но с произвольными
повторениями а^
Для решения задачи о числе представлений целого числа N суммами k натуральных
чисел, одинаковых или различных, Эйлер рассматривал два произведения:
(*) = П 0 +***) = 2 А* (*)**;
где
Здесь ап,н - число представлений .числа k в виде суммы п раз(tm) личных
положительных слагаемых, a bntk - число представлений k в виде суммы п
произвольных положительных слагаемых без учета порядка сложения.
Далее Эйлер находил функциональные уравнения для f\(z) и fz(z) и с их помощью
определял функции Ап(х) и Вп"(х):
л ч ' (1 -х) ... (1 - л*)
Разлагая в степенной ряд функцию
Эйлер свел свою задачу к задаче отыскания числа решений уравнения
k=\
в целых неотрицательных числах х\9 ..., хп, которое равно Сп, N. Он построил для
этого таблицу чисел СП| я.
Далее, переходя к определению чисел Сп из
1 - ** ' 0 fc=l
или, что то же, к определению числа решений уравнения
в целых неотрицательных х\, ..., *п, он эмпирически нашел, что
оо оо
3fta- Я 3fl2-|-n,
* П ^ - *•) = 2
Опираясь на соотношения между произведениями и степенными рядами,, Эйлер доказал
много предложений о числе разнообразных. представлений целых чисел. Отметим
здесь два из них:
во-первых, тождество для суммы делителей чиСла п (/ -
знак суммы) • . .
-2)- f (/i-5)- (/i-7) +
во-вторых, теорему, что всякое целое число может быть единственным образом
представлено суммой степеней числа 2, что вытекает из
Метод Эйлера по существу явился методом производящих функций. После примерно
столетнего перерыва, с конца XIX в., этот метод стали широко применять как в
теории чисел, так и в других математических дисциплинах: комбинаторном анализе,
теории вероятностей и др. В теории чисел он был существенно усовершенствован И.
М. Виноградовым, а также Г. Харди и Дж. Литлвудом.
К аддитивным задачам теории чисел, поставленным в XVIII в., относится и задача
Варинга (1770): всякое натуральное число
представимо суммой /г-ных степеней натуральных чисел, причем число членов г
суммы зависит только от п. Варинг не дал ее доказательства. Как и в большинстве
задач теории чисел, успех и в этом случае достигался трудно. Так, Лагранж
доказал, что для п=2, г==4. Затем было установлено, что для п=3, г"^7, чтог"я.
Лишь в 1909 г. Гильберт дал первое общее доказательств^ Он yc-s тановил, что г
конечно для всех п, но не смог дать для г дос.та-1 точно хорошую оценку. Ё
1919 г. Харди и Литлвуд нашли, что! г^п.2п~19 а позднее, что r*^\(n-2)2n-l+5. В
1934 г. И. М. Виноградов при помощи созданного им нового метода
тригонометрических сумм существенно продвинул задачу Варинга, да" ьочти
исчерпывающую оценку r^3n(lrm+ll) для больших п. Этим же методом он доказал одну
из проблем Гольдбаха, что всякое достаточно большое нечетное число является
суммой трег простых I чисел. Две другие проблемы Гольдбаха: всякое четное чис чо
ость сумма двух простых и всякое нечетное число есть сумма простого ! и двух
квадратов - остаются нерешенными до настоящего времени.
В завершение нашего обзора аналитических методов теории чисел XVIII в. мы
упомянем исследования об арифметической природе чисел; В части, относящейся к
числам я и е, применение ап--парата цепных дробей, разработанного главным
образом Эйлером, шозволило . Ламберту в 1767 г. доказать иррациональное и" числа
" а также ет для т - рационального. _ Трансцендентное!! элих чисел была
установлена лишь в конце XIX в.: доказательство трансцендентности числа е дано в
1873 г. Ш. Эрмитом, а числл
'я - в 1832 г. Ф. Линдеманом,. К работам Эйлера относится постаI
' - новка проблемы об арифметической природе чисел типа а ' = Ь.
Эйлер во ."Введении в анализ бесконечно малых" (1748;
105) указывал, что
логарифм рационального числа при рациональном основании, если он не целый,
должен быть трансцендентным.
В частности, он утверждал, что в выражении а п ==Ь (где п не есть квадратное
число) а и & не могут быть одновременно рациональными. В более общем виде эту
проблему сформулировал Д. Гильберт как проблему об арифметической природе чисел
аь для а и b алгебраических. В 1929 - 1934 гг. А. О. Гельфонд полностью решил
эту задачу, доказав, что число вида аъ (где а - алгебраическое, отличное от нуля
и единицы, a b - алгебраическая иррациональность) является трансцендентным.
Теория чисел в XVIII в. по существу переросла в отдельную область математики. В
ней определились практически все главные проблемы и направления. В сочинениях
Эйлера, Лагранжа, Ле-жандра, Ламберта и других математиков были выработаны
многочисленные методы теории чисел, как элементарно-алгебраичес1
См. И. Г. Ламберт. Предварительные сведения для ищущих квадратуру и спрямление
круга. В сб.: "О квадратуре круга". М. - Л., ГТТИ, 1934, стр. 105-166.
кие, так и аналитические. Все эти исследования, естественно, нуждались в
систематизации, в приведении к логически" стройной структуре с единых позиций.
Эта работа в конце XVIII в. была начата' Лежандром, который опубликовал в 1797 -
1798 гг. "Опыт теории ^чисел", имея- - целью построить систему сведений о •
свойствах целых чисел. В дальнейших переизданиях он дополнял ее результатами
Гаусса, Абеля и других математиков XIX в. В двух томах этой книги содержится
огромный материал, накопленный в. теории чисел, что придает ей помимо
исторического практическое значение как весьма полезного справочника,,
Характер и направление исследований по теории чисел в течение
почти всего XIX в. были по существу определены работами
Гаусса. Свое основное сочинение^ этой^област]^ - ^А]Рифметиче,
сжие^с^
"г., когда" его
Автору" "был о всего 24 года, оно вышло в свет. Последующие теоретико-числовые
работы Гаусса появились в 1811 г. и в период
1828 - 1832 гг.; это свидетельствует о постоянном интересе Гаусса
к теории чисел. •
Открытия Гаусса в теории чисел огромны. Мы, к счастью, имеем возможность
отослать заинтересованного читателя к пре-1 красной статье Б. Н. Делоне "Работы
Гаусса по теории чисел" 19 ограничившись здесь краткими и предварительными
оценками.
Мы уже упоминали, что Гаусс много сил отдал изучению квадратичного закона
взаимности, дав ему восемь строгих доказательств. Изучая квадратичные формы, он
по существу создал арифметику квадратичных расширений. Эта часть его
исследований послужила исходным пунктом и образцом, для последующей разработки
арифметики алгебраических, расширений, вплоть до работ Д. Гильберта по теории
полей классов.
Гаусс открыл и доказал биквадратичный закон взаимности и построил' арифметику
."целых комплексных чисел. Аппарат теории сравнений, столь употребительный в
наши дни, обязан своим возникновением Гауссу. Для построения в XIX в. теории
алгебраических чисел эта группа открытий Гаусса послужила отправным пунктом и
образцом.
В своих исследованиях Гаусс ввел и изучил целый ряд групп: группу классов форм
одного дискриминанта, группу родов и др. На конкретных примерах он первый изучил
структуру абелевых групп. В частности, он показал, что абелева группа является
прямым произведением групп циклических, доказав тем самым основную теорему
теории абелевых групп.
Считается общепризнанным, что со времени работ Гаусса теория чисел развивается
уже как стройная теория2, задачи которой побуждают к развитию новых и тонких
методов анализа (в особенности теории функций комплексного переменного), алгебры
и
1 В сб.: "Карл Фридрих Гаусс". М., Изд-во АН СССР, 1956, стр. 11-12.
оо?м' А- О. Гельфонд и Ю. В. Линник. Чисел теория. БСЭ, т. 47,
СТр. GOO.
305'
даже геометрии. Определялись и основные направления теории чисел: а) разработка
специальных методов теории чисел, носящих иногда название элементарных; б)
аналитические методы, применяемые по преимуществу к задачам распределения; в)
диофантовы уравнения и диофантовы приближения.
Далее мы будем, иметь возможность возвращаться к вопросам -развития теории чисел
(например, в связи с рассмотрением фундаментальных-исследований П. Л. Чебышева).
При этом, однако, характер и размеры настоящей книги не позволят нам дать общий,
более или менее детальный, обзор теории чисел и ее взаимосвязей с другими
математическими науками.
6.7. РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И КОМБИНАТОРНОГО АНАЛИЗА
Обзор развития математики в XVIII в. был бы неполным, если бы мы опустили
теоретико-вероятностные работы и применяемый в них аппарат, По-видимому, теория
вероятностей в те времена не занимала еще заметного места среди других
дисциплин, Но будущие успехи математики (как и вообще науки), получая
необходимые предпосылки в наиболее .развитых ее областях, выкристаллизовываются,
выделяются чаще всего в областях новых,, еще количественно небольших и зачастую,
слабо развитых.
Теория вероятностей в XVIII в. расширила сферу своих приложений. Ее методы
проникли в статистику (в частности, в демографию), страховое дело, теорию ошибок
наблюдений, теорию стрельбы. Это расширение происходило в тесной связи с
обогащением математических методов и результатов теории вероятностей..
Наиболее ранним теоретическим результатом в этой области было, по-видимому,
доказательство Муаддом (1730) локальной предельной теоремы, оценивающей
асимптотичесюГверВятность
того, что в п независимых испытаниях, в каждом из которых р - вероятность
наступления искомого события, число этих наступлений \л не превзойдет np-\-t У
пр(\-/?). Муавр доказал эту теорему для р=-; он вывел также необходимую для
этого формулу Стирлинга:
s! = J/2ttS'S^r-s ?6s, где остаточный показатель 8S удовлетворяет условию
|9sl"lis~' 306
Позднее Лаплас обобщил эту теорему для любого р\ 0"/?"1. Появившаяся здесь
интегральная форма этой теоремы
/2л
ii связанное с этим понятие нормального распределения вероятностей сыграли в
дальнейшем большую роль. В частности, упомя- • нем принадлежащее Пуассону (1837)
распространение теорем Муавра - Лапласа на случай обобщения закона больших чисел
в формуле Бернулли для независимых испытаний, вероятность появления в которых
некоторого-события зависит от номера испытания. Пуассон получил при этом новый
вид распределения .вероятностей, известный ныне как закон Пуассона, и
использовал его в работах 'по теории стрельбыГ".......-**""-----*---~~~ ••
Проблема вычисления вероятностей, гипотез на основе определенных результатов
некоторых наблюдений в разных аспектах рассматривалась в работах Д. Бернулли"
Эйлера, Симпсона, Кон-дорсе и др. Важнейшим результатом здесь были формулы
Бейеса, опубликованные в 1764 г. Примыкающая к этому теория ошибок наблюдений
получила разработанный Лежандром, Лапласом и Гауссом метод наименьших квадратов.
***-^(tm)~~~~'*~~~~~а'"-
"""Помимо" угаэтнййг^йутп'фу пп теоретических результатов можно отметить
довольно большое число конкретных задач теоретико-вероятностного характера.
Среди них: задача контроля продукции, так называемая '"петербургская игра",
задача Бюффона о бросании иглы и др.
На рубеже XVIII и XIX вв. теоретико-вероятностные результаты были, сведены в
единую систему, построенную на четко определенных основных понятиях. Выделение
новой математической дисциплины - теории вероятностей - нашло яркое выражение в
ряде работ Лапласа, особенно в его классической "Аналитической теории
вероятностей" (1812 г., затем 1814, 1820 и 1866 гг.).
Аппарат теории вероятностей в то время, когда основным ее объектом были азартные
игры, состоял из арифметических приемов, почерпнутых в особенности из
комбинаторики. Вместе с обогащением методов теории вероятностей за счет
привлечения предельных рассмотрений и других средств математического анализа
.удельный вес комбинаторных приемов стал уменьшаться. Но комбинаторика
продолжала развиваться, так как ее содержание по существу не исчерпывалось
приложениями к теории вероятностей.
Можно считать, что комбинаторика как научная дисциплина ведет начало от работ
Лейбница и Я. Бернулли. Первый из них к 1666 г. дал первое систематическое
построение этой части математики в "Рассуждении о комбинаторном искусстве".
Позднее (около 1700 г.) Лейбниц усовершенствовал комбинаторную симво* лику с
помощью развитой системы индексов. Я. Бернулли в со307
чинении "Искусство предположения" (1713) построил комбинаторику как основной для
того времени аппарат решения теоретико-вероятностных задач. Здесь же он доказал
важный частный случай закона больших чисел, известный как теорема Бернулли. В
связи с изучением сумм вида V^w он открыл числа, называемые
числами Бернулли,
Однако решение многих конкретных задач комбинаторики длительное время не
сопровождалось усовершенствованием общей теории, вплоть до конца 70-х годов
XVIII в. В это время в Герма" нии сформировалась многочисленная математическая
школа, ос-нователем и руководителем которой был К. Ф. Гинденбург.
Прошло 40 - 50 лет, и комбинаторная школа, исчерпав возможности немногочисленных
оперативно-вычислительных методов и не преодолев противоречия между содержанием
задач и громоздким формально-символическим аппаратом, распалась.
Комбинаторные методы остались в арсенале ученых как средство решения задач в
различных областях математики. Новое развитие комбинаторный анализ начал
получать в сере/дине XX в. в связи с выяснившимися широкими возможностями
приложений.
НАЧАЛО ПЕРИОДА СОВРЕМЕННОЙ МАТЕМАТИКИ 7.1. О ХАРАКТЕРЕ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИКИ В
XIX ВЕКЕ
В истории математики XIX-в. знаменует начало нового периода, получившего
название периода современной математики, Понятие современной математики, равнокак
и выделение соответствующего периода ее развития, разумеется, несколько
неопределенно,, Оно, по-видимому, не может быть иным, так как развитие науки
постоянно меняет представления о современности ее главных теоретических идей и
практических достижений. Мы здесь условимся включать в период современной
математики отрезок времени, начало которого отмечено такими преобразованиями в
математике, которые послужили главной причиной приведения ее к современному
состоянию. По нашему мнению, историю математики XIX и начала XX в. следует
выделить в отдельный период, который можно назвать периодом математики нового
времени, в соответствии с общеисторической периодизацией.
Характерные особенности нового периода развития математики с большой
определенностью стали проявляться в самом начале XIX в. Мы имеем в виду работы
Абеля и Галуа о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах. Они выдвинули
на первое место в алгебре ряд весьма абстрактных общих понятий, среди которых
первое место принадлежало понятию группы. Создание и развитие теории Галуа и
теории групп сделалось одной из главных задач новой алгебры.
Открытие в 20 - 30-х годах XIX в. Лобачевским, а также Я. Больяи и Гауссом
основных фактов неевклидовой гиперболической геометрии, а в 60 - 70-х годах -
отыскание их интерпретаций вызвали в системе геометрических наук преобразования
поистине революционного характера. Значение их состояло не только в изменении
лица геометрии; оно вышло за пределы этой области математики, а зауем и за
пределы математики вообще.
Система дисциплин, составляющих математический анализ, подверглась в своих
основах глубокой перестройке на основе создаваемой теории пределов и теории
действительного числа. К концу XIX в. логические средства анализа пополнились
специфическими разновидностями гипотетико-условных .суждений, применяющих
аппарат особых неравенств (так называемый е, 6-аппарат). Это придало выводам и
приложениям анализа новый, более высокий уровень математической строгости.
Наряду с развитием аппарата классического математического
" анализа и его приложений из него выделились самостоятельные
матем'атические дисциплины. Прежде всего, это огромные области
дифференциальных уравнений, а также теорий функций действительного
и соответственно комплексного переменного.
Отмеченные выше явления не исчерпывают всей картины развития математики в XIX
столетии. Мы выбираем их в качестве примеров главных, определяющих линий этого
"развития. Прежде чем перейти к .более детальному их рассмотрению, отметим еще
три черты, имеющие общий для большинства математических наук характер.
Мы имеем в виду, во-пе^^ расширение содержания предмета математики. Оно
обусловлено тем, что во всех математических науках происходил процесс обобщения
основных понятий, замены одних понятий другими, более общими. Этот процесс
происходил как следствие возросших требований смежных наук, когда исследовать
огромное количество задач оказывалось возможным лишь с иных, более общих, точек
зрения. Большое количество задач возникало также внутри математики в результате
внутренних логических потребностей развития теории.
Среди исследований, возникших в результате запросов математической теории, было
в те времена особенно много таких, которые отражали усиление внимания к
обоснованию математики. Это - дгорая характерная- .^щьха^мазш^итм^^^^Ж в.
Попытки обоснования математики в целом или отдельных ее частей столь же
многочисленны, как и в прошлом, XVIII, столетии. Но они приняли теперь иное
направление. В них производился критический пересмотр исходных понятий
(определений) и утверждений (аксиом) ; делались попытки построения строгой
системы определений и доказательств; производился критический пересмотр
логических приемов математических доказательств.
Повышенное внимание к вопросам обоснования, изменившийся характер
соответствующих исследований, усиление требований
математической строгости имеют вполне реальные и определенные причины. Эти
причины по преимуществу коренятся в огромном объеме фактического материала и
большом количестве новых математических теорий. Помимо усложнения структуры
самой математики связи последней с практикой стали весьма сложными, во многом
опосредованными. Отдельные результаты и даже целые-области новой математики
получают конкретные применения не сразу, а. через годы и десятилетия. При таком
положении дел бесцельно ждать сигналов о корректности или некорректности теории
в виде обнаруженных ошибок. Поэтому наша наука,, обращаясь к практике как к
критерию истинности ее результатов вынуждена была учитывать и практику
логических, суждений., преломляя их в требования логической; строгости. Понятие,
математической, или логической, строгости в ходе "истории, как известно,.
меняется. Оно отображает накопленный опыт работы человеческого мышления в
области математики - опыт, который суммируется: в постепенно складывающиеся
требования к строгости. Устойчивый. стандарт математической строгости сложился
лишь к концу XIX в. Он опирался на теоретико-множественные концепции и на
арифметику натуральных чисел. Однако вскоре борьба воззрений вокруг этой
проблемы обострилась в связи с открытием: противоречий (антиномий) в
канторовской теории множеств.
^Третьей х"|!Ш^^ развития математики, в.
XIX в. является значительное расширение области приложений, в основном
обусловленное увеличением возможностей аппарата ма-тематического анализа. В
математическое естествознание вслед за механикой и оптикой вошли задачи
термодинамики и электромагнитных явлений. Резко возросли математические запросы
техники: баллистики, машиностроения и др.
Задача составления общих характеристик, столь трудная вообще, делается в
особенности трудной по мере приближения к современности. Поэтому, не умножая
далее соображений общего характера, перейдем к изложению истории развития
отдельных математических дисциплин, возвращаясь к общим соображениям тогда,
когда это будет необходимо. Поскольку раньше всего принципиальные изменения
проявились в алгебре, мы и перейдем сейчас к освещению истории этой науки, и
прежде всего истории алгебраических проблем на рубеже XVIII и XIX вв.
7.2. ВОЗНИКНОВЕНИЕ ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЙ СОВРЕМЕННОЙ АЛГЕБРЫ
Проблемы общей теории алгебраических уравнений. Современная алгебра -
чрезвычайно широкая и разветвленная область математики. Она объединяет большое
число самостоятельных научных дисциплин. Их общим предметом являются
алгебраические операции, представляющие собой далеко идущие абстракции операций
элементарной алгебры. Эти операции определяются в
К. Ф. Гаусс (1777-1855)
многообразных множествах. Последние выбираются для исследования преимущественно
из соображений их приложимости. При этом оказывается необходимым заботиться о
сохранении известной близости свойств определенных в них операций и свойств
•операций над числами. Так выделился класс алгебраических образований,
наибольшее значение среди которых приобрели поля, кольца, группы и структуры.
Алгебра взаимодействует с другими •областями математики, участвуя в образовании
новых, "пограничных" дисциплин (топологическая алгебра, теория групп и алгебр Ли
и т. п.).
Столь общие воззрения на природу и состав алгебры сложились по существу недавно,
лишь в XX в. Как было показано вы-ще, вплоть до XIX в. основной задачей алгебры
являлось решение алгебраических уравнений, понимаемое как нахождение корней
уравнения с помощью рациональных, операций и операции извлечения корня. В
поисках общей формулы математики перепробовали громадное количество методов и к
самому концу XVIII в. были вынуждены (фактически рассматривать поля и группы;
еще не вводя этих понятий явно.
На '.рубеже XVIII и XIX вв. в алгебре были сделаны откры-тия необычайной
важности. Они сопровождались введением в эту науку ряда новых понятий (в первую
очередь понятия группы),, которые легли в основу современной алгебры. Эти
открытия повели к преобразованию всей алгебры в течение XIX в. Мы имеем здесь в
виду результаты К. Ф Гаусса, Н. Г. Абеля и Э. Галуа, относящиеся к
доказательству основной теоремы алгебры, доказательству неразрешимости в
радикалах уравнений степени п^Ь-и созданию теории Галуа. Рассмотрим подробнее
эти результаты.
Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) сделал свои первые открытия в алгебре еще совсем
молодым человеком во время обучения-: в Геттингенском университете (1795-1798).
В марте 1796 г., занимаясь задачей отыскания корней уравнения
хп _ 1 =,_- о,
он обнаружил связь между этой задачей и делением окружности: на равные части,
доказав, что правильный 17-угольник можно вписать в круг с помощью циркуля и
линейки. Соответствующий алгебраический факт, что уравнение х17--1=0 разрешимо в
квадратных радикалах, Гаусс обобщил вскоре, найдя критерий возможности такой
разрешимости (уравнение разрешимо для простого п вида /г=22* + 1) и дав его
геометрическую интерпретацию.
При доказательстве этой группы предложений Гаусс развил' методы, послужившие
одной из исходных точек при создании теории Галуа, по собственному признанию ее
автора. Так, например,, Гаусс явно высказал, что цель его исследований полинома
4-
X + 1
состоит в том, чтобы последовательно разлагать полином на множители вплоть до
линейных, обнажая при этом структуру уравнения.
Гаусс установил, что уравнение Х=0 степени т=п- 1, где п - простое, неприводимо
в поле рациональных чисел и нормально над ним, т. е. все его корни рационально
выражаются через: один из них. Оказалось, что эти корни имеют вид а, аР, (аР)Р,
,..,. т. е. что группа автоморфизмов этого уравнения циклическая. Оставался лишь
один шаг для того, чтобы обнаружить, что любая подгруппа циклической группы
является ее нормальным делите313
лем. Этот шаг сделал Галуа, учитывавший также указание Ла-гранжа, что
подстановки корней уравнений указывают путь к построению их общей теории.
Через три года, в 1799 г., Гаусс получил в Гельмстедте степень доктора за
диссертацию, посвященную доказательству основной теоремы алгебры. Спустя много
лет он вернулся к этой теореме и дал (в .1815, 1816 и 1849 гг.) три новых
доказательства.
Первоначальная формулировка этой теоремы, данная Жираром (1629) и Декартом,
'содержал а, как мы уже упоминали, утверждение, что уравнение Рп(х)=0 может
иметь столько корней,-сколько единиц содержит его степень. В связи с последующим
введением комплексных чисел а-\-Ы это понимание возможности переросло в
уверенность, что корней уравнения Рп"(х)-0 (где п - степень уравнения) будет
именно п - действительных и комплексных. Вслед за первым доказательством
Даламбера (1746) появились и другие. При этом предполагалось, что всякий полином
может быть разложен на линейные множители .
Оставалось доказать, что все корни Xi (i=l, 2, ..., п) имеют вид а+Ы (а и b -
действительны). Проблема заключалась теперь в установлении разложимости всякого
алгебраического уравнения •с действительными коэффициентами в произведение
вещественных •множителей степени п=\ или п = 2.
Мы не будем рассматривать те доказательства, в которых содержатся явные
апелляции к фактам математического анализа., Вообще говоря, отказаться полностью
от использования свойств "непрерывности при доказательстве этой теоремы
невозможно. Однако вопрос о чисто алгебраическом доказательстве основной теоремы
алгебры был в это время весьма актуальным. Такое алгебраическое доказательство
искал и Гаусс.
В упомянутой выше докторской диссертации он критически рассмотрел все
доказательства и обнаружил их общий недостаток: априорное предположение, что
корни уравнений .существуют. В действительности необходимо доказывать
существование корней, чтобы избегнуть порочного круга. Существование Гаусс
относил к области комплексных чисел {а+Ы}, так как никаких других более общих
видов величин он не мог себе представить. Тем не менее он отмечал, что если бы
были определены другие числовые области, то вопрос существования корня надо было
относить к ним.
Алгебраическое доказательство Гаусса исходило из предположения, что заранее
задана область К комплексных чисел. Состояло это доказательство в установлении
того факта, что каждое уравнение с вещественными коэффициентами имеет корень в
указанной области. В иной, эквивалентной, постановке требуется доказывать
разложимость любого полинома, коэффициентами ко314
торого являются действительные числа, на вещественные множители первой и второй
степени.
Отказ от предположения о существовании корней уравнения,, постулированный
Гауссом, а также от обращения к (фактам математического анализа, сильно
затруднил задачу. По существу пришлось строить поля разложенцы многочленов.
Громоздкое доказательство заняло специальный мемуар (1815). Оно потребовало--
введения ряда специальных понятий и лемм 1," Так, Гауссу пришлось заново строить
теорию симметрических функций и доказывать их. '.алгебраическую независимость,,
Это дало ему возможность. ввести новый способ доказательства, получивший
впоследствии (у Кронекера, Кенига и др.) название принципа Гаусса. Соотношение
между элементарными симметрическими функциями
может быть лишь тождественным. Пусть, например, дан полином,
разлагающийся на. линейные множители
и между его коэффициентами установлено какое-либо соотношение
Ф(\, Я2, *"...) = "• -
В' силу принципа Гаусса это соотношение останется верным при подстановке
коэффициентов любого другого полинома Qn (у) ;=0" Таким образом, все соотношения
между коэффициентами разложимых многочленов верны для коэффициентов всех
многочленов, Вслед за этим вводится понятие дискриминанта
и доказывается ряд лемм, которые в силу их специального характера мы не будем
здесь приводить.
Дальнейшее доказательство опирается на лемму: если
Q (и, *) = П
(i=l, 2, ... , п)
и w - неопределенная величина, то
ае
?" --,
дх
Q и
X - W
ди )
1 См. И. Г. Башмаков а. О доказательстве основной теоремы алгебры, В сб.:
"Историко-математические исследования", вып. X. М., Гостехиздат, 1958" стр. 257304.
делится на Q\(x, и). Применяя эту лемму к многочленам, Гаусс "получил известное
тождество:
дк
да
w,
где 8i - целая функция, рациональная относительно своих аргу-.ментов.
При помощи этого тбждества Гаусс построил затем поле, в котором вспомогательный
многочлен 6 (и, х) имеет линейный множитель, а заданный многочлен - множитель
второй степени.
Примерно через 50-60 лет Кронекер сумел использовать метод построения полей,
данный Гауссом, и создать (1882) 1 конструкцию- поля разложения для любого
полинома. Оказалось, что *если дан Рп(х) -многочлен с коэффициентами из поля &,
над которым уравнение Рп(х)=0 неприводимо, то можно (не предполагая
существования K^k) построить поле разложения, т. е. минимальное поле, в котором
я
р/1 (*)== П (*-*")•
•1=1
Тогда основная теорема алгебры приняла вид: поле любого полишома
(с вещественными или комплексными коэффициентами) есть
, .подполе поля комплексных чисел или изоморфно этому подполю.
Другое из замечательных алгебраических открытий начала. .'XIX в. -
доказательство неразрешимости в радикалах уравнения .пятой степени., Как мы
указывали выше, поиски подходящей формы иррациональности для решения того или
иного класса алгебраических уравнений сменились уверенностью/ что, по-видимому,
это невозможно, Задача обернулась; необходимым оказалось исследовать наиболее
общие выражения, содержащие радикалы, *с тем чтобы выяснить, могут ли они быть
выражениями корней алгебраического уравнения пятой степени.
По этому пути и повел свои исследования в самом конце XVIII в. П. Руффини. В
1799 г. он опубликовал "Общую теорию уравнений, в которой доказывается
невозможность алгебраического решения общих уравнений выше четвертой степени".
Но первый реальный успех выпал на долю скромного молодого норвежского математика
Нильса Генрика Абеля (1802- 1829). За время своей короткой жизни он успел
сделать так много открытий в математике, что по праву может считаться одним из
наиболее выдающихся математиков XIX в. Начав с доказательства невозможности
решения в радикалах уравнения пятой степе-"яи, Абель произвел вслед за тем
основополагающие исследования в области теории аналитических функций. Он также
исследовал ;ряд классов специальных функций, в первую очередь эллиптических и
гиперэллиптических.
* L. Kronecker. Werke, Bd. Ill, SS. 341-360; Bd. II, SS. 247-300.
Н. Г. Абель (1802-1829)
Еще в школе (около 1820 г.) Абель заинтересовался проблемой разрешимости
уравнений в радикалах. Одно время ему казалось, что он дал доказательство
разрешимости в радикалах уравнения пятой степени. Вскоре выяснилось, что это
доказательство содержало ошибку. Но ошибочное доказательство сослужило хоро-'
тую службу. Абель получил государственную стипендию и возможность поехать в
Европу для усовершенствования в математике.
Исправленное доказательство появилось в 1824 г. в "Мемуа-ре об алгебраических
уравнениях, где доказывается невозможность разрешимости общего уравнения пятой
степени". В нем Абель, по317
видимому независимо от Руффини, шел тем же путем;*он стремился доказать, что
наиболее общие выражения, содержащие радикалы, не могут быть корнями общего
алгебраического уравнения пятой степени. Интересно, что это доказательство Абеля
страдало тем же недостатком, что и доказательство Руффини. Оно опиралось'на
предположение, что корни резольвенты должны рационально выражаться через корни
данного уравнения.
Наконец, в 1326 г. в работе Абеля "Доказательство невозможности алгебраической
разрешимости уравнений, степень которых превышает четвертую" многовековая
проблема получила удовлетворительное разрешение. Здесь Абель рассматривал
уравнения пятой степени с переменными коэффициентами. Решения он трактовал как
выражения корней через алгебраические функции коэффициентов. Этот вид функций
образуется из аргументов посредством конечного числа, четырех арифметических
операций в операции извлечения корня, показателем которого является простое
число.-
Громоздкое доказательство Абеля1 начинается с построения наиболее общего вида
алгебраических функций
п-1
где п - простое число, q\ - алгебраические функции того же порядка, что и v, ностепени
выше, чем т-1; р - алгебраическая, функция порядка на единицу ниже, чем
и, построенная так, что она не выражается рационально через % ..., q.n-\. Затем,
во втором параграфе, рассмотрены свойства .алгебраических функций,
удовлетворяющих, данному уравнению, и доказано, что если уравнение алгебраически
разрешимо, то его корню всегда можно дать такой вид, что все алгебраические
функции, из которых он составлялся,, выражаются через рациональные функции
корней данного уравнения.
Следующий параграф посвящен вопросу о подстановках и а числе различных значений,
которые при этом могут принимать функции нескольких переменных. Здесь доказана
теорема, известная как теорема Коши: если число различных значений v меньше р -
наибольшего простого числа, не превосходящего п, то оно не превышает 2. Отсюда
получается результат, что не существует функции от пяти величин, имеющей три или
четыре различных значения. Наконец, в четвертом параграфе показано, что никакое
самое общее радикальное выражение не может быть универсальным выражением корней
уравнения данной степени, большей чем четвертая.
Доказательства Абеля-Руффини не дают возможности выделить классы уравнений,
разрешимых в радикалах. Они не снимают также возможности такой разрешимости для
уравнений с чис1
См. Н. Г. Чеботарев. Теория Галуа, т. I. M.- Л., ГТТИ,
1936.
Э. Галуа (1811-1832)
ленными коэффициентами подбором подходящих иррационально. стей в конкретном
случае. Исследования надо- было Расширять. Перед Абелем как и в свое время перед
Лагранжем, встала общая проблема' разрешимости - основная проблема классической
' нашел частный класс уравнений, разрешимых в радикалах, - циклические
уравнения. """*~v,,
Абель в "Мемуаре об одном особом классе алгебраически разрешимых уравнений"
(1829) вновь исследовал ^ циклические уравнения, отыскав для них явные выражения
корней через коэффициенты. Кроме того, он рассмотрел еще один класс разрешимых
уравнений, которые по существу являются нормальными уравне-1 ниями с
коммутативной (абелевой) группой Галуа. ]
, Как в этой, так и в другой (оставшейся незаконченной и опуб- • ликованной лишь
в 1839 г.) работе Абеля ""Об алгебраической ; разрешимости уравнений"
доказан ряд теорем, относящихся к теории Галуа-.- Например, Абель
доказал теорему, эквивалентную теореме Галуа: чтобы неприводимое уравнение
было разрешимо в радикалах, необходимо и достаточно, чтобы все корни были
рациональными функциями двух известных корней. В других теоремах онисследовал
структуру нескольких конкретных классов^ разрешимых, групп.
Фактически Абель исследовал структуру ком-1 мутативных групп. Он показал, что
эти группы являются произ-1 ведениями циклических групп,. Однако понятие группы
у него еще! не было выделено,,
• 1
Возникновение теории Галуа,,, Абель не смог дать общи'й кри- ' терий
разрешимости уравнений с числовыми коэффициентами в радикалах,, Но решение,
и этого вопроса не заставило себя долго ждать. Оно принадлежит Эваристу Галуа
(1311-1832), французскому математику, скончавшемуся, как. и Абель, в очень
молодом возрасте. Его жизнь/короткая, но наполненная активной полнти--ческой
борьбой, страстный интерес к математическим занятиям представляют яркий
пример того, как в деятельности одаренного человека накопленные предпосылки
науки претворяются в качественно новый этап ее развития.
Галуа успел написать мало работ. В русском издании его работы, рукописи и
черновые записи-заняли лишь 120 страниц в книге маленького формата1. Но значение
этих работ огромно. Поэтому рассмотрим его замыслы и результаты подробнее. ,
Возьмем вслед за Галуа уравнение
Рп (х) = *" + %^П-4 + • • • + вл-i * + ап = 0.
Для него определим область рациональности - совокупность рациональных функций от
коэффициентов уравнения
R(al9 я2, .'.. , ап).
Область рациональности R является полем, т. е. совокупностью элементов,
замкнутой по отношению к четырем действиям. Если Яь #2 ..., CLn - рациональны,
то R - поле рациональных чисел; если же коэффициенты - произвольные величины,-то
R есть поле элементов вида 02" • •• "-п_^ где числитель и знаменатель -
мноQ(alt
а^ ... , ап)
гочлены. Область рациональности можно расширить, присоединяя к ней элементы,
например корни уравнения. Если к этой области присоединить все корни уравнения,
то вопрос о разрешимости уравнения делается тривиальным. Задача разрешимости
уравне1
См. Э. Г а л у а. Соч. М.-Л., ОНТИ, 1936.
ния в радикалах может ставиться только по отношению к определенной области
рациональности.
Галуа доказал, что для всякого уравнения Рп(х}=0 можно в той же области
рациональности найти некоторое уравнение Q(x)=0, называемое нормальным. Корни
данного уравнения рп(х)=0 и соответствующего нормального уравнения Q(x)=Q
выражаются друг через друга рационально. Нормальное уравнение - это- уравнение,
обладающее- тем свойством, что все его корни рационально выражаются через один -
из них и элементы поля коэффициентов. Примером нормального уравнения является
уравнение хп- 1=0. Его корни:
Нормальным также является, например,- квадратное уравнение.
Все подстановки корней нормального .уравнения образуют группу G. Это и есть
группа Галуа уравнения Q(x)=Q, или, что то же самое, уравнения Рп(я)=0. Она
обладает, как выяснил Галуа, замечательным свойством: любое рациональное
соотношение между корнями и элементами поля R инвариантно относительно
подстановок группы G. Таким образом, Галуа связал с каждым: уравнением группу
подстановок его корней. Он же. ввел (1830) термин "группа" и дал. ему адекватное
современному, хотя и не столь формализованное, определение.
Структура группы Галуа оказалась связанной с задачей разрешимости уравнений в
радикалах. Чтобы разрешимость имела. место, необходимо и достаточно, чтобы
соответствующая группа Галуа была разрешима. Это значит, что в данной группе
существует цепочка "'
•• •
G ="ЯР1 =Э Ял 13 + . . . ZD HPk (= Е)
нормальных делителей с простыми индексами р\9 р%9 ..., р&. Напомним, кстати, что
нормальные делители, или, что то же самое, инвариантные подгруппы Я*, - это
такие подгруппы группы G, для которых справедливо gHi = Hig, где g - элемент
группы G.
Общие алгебраические уравнения Рп(х)-0 при д^5, вообще говоря, такой цепочки не
имеют, так как группы подстановок "имеют только один нормальный делитель индекса
2 - подгруппу всех четных подстановок. Поэтому эти уравнения в радикалах, вообще
говоря, неразрешимы.
Аппарат, введенный Галуа для установления разрешимости алгебраических уравнений
в радикалах, имел значение, выходящее за рамки указанной, задачи. Его идея
изучения структуры алгебраических полей и сопоставления с ними структуры групп
конечного числа подстановок была плодотворной основой современной алгебры.
Однако она не сразу получила признание.
Перед роковой дуэлью, оборвавшей его жизнь, Галуа в течение одной ночи
сформулировал свои важнейшие открытия и переМ
К А. Рыбников
слал их другу О. Шевалье для публикации в случае трагического исхода. Это письмо
было опубликовано вскоре после смерти Га-луа, однако идеи, содержащиеся в нем,
не нашли отклика. Только через 14 лет, в 1846 г., Лиувилль разобрал и
опубликовал все математические работы Галуа, В середине XIX в. в двухтомной
монографии Серре, а также в работе Э. Бетти (1852) впервые появились связные
изложения теории Галуа. И только с 70-х годов прошлого века идеи Га'луа начали
получать дальнейшее развитие в разных направлениях.
В области классической основы, наиболее близкой собственным идеям Галуа, новые
задачи группировались вокруг проблемы классификации алгебраических
иррациональностей и установления их арифметической природы. Сюда, например,
относится теорема Кронекера-Вебера, что корни абелевых уравнений (т. е,
уравнений с коммутативной группой) с рациональными коэффициентами рационально
выражаются через корни из единицы,. Дальнейшие обобщения этой теоремы привели к
общей теории полей классов, где речь идет о классификации всех абелевых
расширений данного поля: алгебраических чисел. Последнее является конечным
алгебр аическим р асширением поля р ацион а л ьных чисел. Совре -менная теория
алгебраических чисел сложилась как соединение теории этих чисел с теорией
идеалов и теорией Галуа,,
Постановка новых, более общих задач способствовала быстрому усложнению теории
Галуа и росту общности.ее результатов. Среди этих задач упомянем, например,
проблему разыскания, всех уравнений, которые для заданной области рациональности
обладают определенной., наперед заданной группой. Проблемы такого рода привели к
изучению полей общих рациональных функций (проблема Люрот-Штейница). Обобщения
задачи о разрешимости уравнений в радикалах привели к проблеме общего характера
о возможности сводить уравнение к цепочке вспомогательных уравнений с меньшим
числом параметров. Первые общие результаты здесь были получены лишь советским
математиком Н. Г. Чеботаревым в его теории резольвент. Другой советский
математик И. Р. Шафаревич в 1954 г. решил так называемую обратную задачу теории
Галуа: для любой разрешимой группы любого порядка, если расширяемое поле kQ
алгебраических, чисел содержит корень п-и степени из единицы, всегда существует
сколько угодно его расширений /С, имеющих над &0 любую наперед заданную
разрешимую группу п-то порядка.
Современная теория Галуа превратилась в сложную разветвленную математическую
дисциплину, включающую в себя обширный материал о связях между свойствами
уравнений, алгебраических чисел и групп 1.
1 См. Н. Г. Чеботарев. Проблемы современной теории Галуа. В кн.: Э. Галуа. Соч.,
стр. 183-241; Н. Г. Чеботарев. Собр. соч., т. III, стр. 5- 43; Н. Г. Чеботарев.
Основы теории Галуа, тт. 1-2. М., Гостехиздат, 1934-1937.
Возникновение теории групп. Аппарат, введенный Галуа, в
ячительной степени опирается на понятие группы. Галуа же, поидимому-
независимо от Руффини, ввел соответствующий термин.
Плодотворность этого понятия и необходимость его введения быпт!
очевидны для многих математиков. Группы подстановок факПИ
^Чч."Л-'*А/Ажл-ь* •"*
..,-_ ^-, - f-^'y (tm)r -г
7тически
рассматривал еще Лагранж. С 1815 г. Коши провел, серию исследований по
теории конечных групп, доказав, в частности, теорему о том, что каждая группа,
порядок которой делится на простое число /Л содержит по крайней мере одну
подгруппу порядка р. • .
В первой половине AlA в, факты теории групп играли еще
вспомогательную роль, главным, образом в теории алгебраических уравнений.
Складывающаяся теория групп была еще преимущественно теорией конечных групп -
групп подстановок. К середи- ! не века выяснилось, что понятие группу имеет
более широкое / применение. В связи с этим в 50-х годах в работахЛэди~и др.
начало появляться более общее, абстрактное определение группы. Выяснилось, что
наиболее важные "свойства группы зависят не от характера элементов подстановки,
а от групповой операции. Процесс перехода к абстрактной теории групп ускорился с
1870 г., после появления работы К. Жордана "traite des substitutions et desequations
algebriques" ("Трактат о подстановках и алгебраических уравнениях").,
где были подытожены результаты теории конечных групп,в применении к теории
чисел, теории" функций и алгебраической геометрии.
К концу XIX в. теория конечных групп оформилась и достигла высокого уровня.
Появился ряд сводных трактатов, содержащих ее систематическую разработку. В это
же время появились первые приложения теории групп. В 1890-1.891 гг. русский
кристаллограф и геометр Е. С. Федоров и немецкий математик А, Шёнфлис независимо
друг от друга решили методами теории групп задачу классификации всех
кристаллических пространственных решеток. Они установили наличие 230
пространственных групп симметрии, состоящих из совокупности самосовмещений
кристаллических структур. Точки, получаемые друг из друга преобразованием данной
группы, называются гомологичными по отношению к этой группе и образуют так
называемую правильную систему. В настоящее время исследование структуры
кристаллических веществ включает в себя определение их федоровских групп.
Дискретные конечные группы, к которым принадлежат федоровские группы, получили
распространение в теории многомерных пространств в связи с теорией правильных
многогранников в них. Ь основе этих рассмотрений лежит теорема Жордана: число
конечных линейных групп заданного измерения существенно конечно, la же теорема
получила приложение на рубеже XIX-XX вв. в теории ^алгебраических интегралов
линейных дифференциальных уравнении, римановых поверхностей и др. Например,
Жордан укана
связь между линейными дифференциальными уравнениями,
П* 323
имеющими алгебраические интегралы, и конечными группами. Оказалось, что
необходимым и достаточным условием существования алгебраических интегралов у
линейного дифференциального уравнения фуксова типа является условие конечности
группы линейных преобразований, претерпеваемых его интегралами при обходе
независимой переменной вокруг каждой из критических точек.
К концу XIX в, тебрия конечных групп сформировалась настолько, что для нее
приобрела актуальность проблема классификации. Однако в общем виде эта проблема
не решена до сих пор. Чрезвычайные трудности возникают и при исследовании e"i
частных аспектов. Например, окончательно не решен вопрос о структуре и
классификации конечных разрешимых групп. Оказалось также, что все известные
простые некоммутативные конечные группы имеют четные порядки. Проблема
Бернсайда: будет ли эта свойство общим для всех групп этого класса - остается
покп нерешенной.
При таком положении вещей в теории групп, когда выделено общее, абстрактное
понятие группы, естественно, возникал вопрос об исследовании бесконечных групп,
как непрерывных, так и дискретных,. а также о создании вычислительного аппарата,
приспособленного для нужд теории групп. Эти три группы вопросов были поставлены
и получили развитие в конце XIX - начале XX в.
Главные достижения здесь принадлежат ученикам К. Жорда-на - Ф. Клейну и С. Ли,
которые предприняли систематическое изучение теории групп и ее возможных
обобщений и приложений,
Норвежский математик Софус Ли распространил методы теории групп на проблему
интегрирования дифференциальных уравнений, Он ввел около 1873 г. новый вид
группы, названный им "непрерывные группы преобразований". С каждым
дифференциальным уравнением он связал такую группу преобразований, которая
оставляет его неизменным. Группы Ли состояли из преобразований вида
a
определяемых параметрами. Например, для вращения плоскости: параметрами являются
углы поворота, для пространства - так называемые эйлеровы углы. Перемножение
двух преобразований,, являющихся элементами группы, дает преобразование, тоже
являющееся элементом группы. Параметры последнего связаны с параметрами
сомножителей непрерывными функциями
F =
а2,
р2, . . . , Р").
Группы, определенные таким образом, получили название групп Ли.
Структура групп Ли оказалась связанной с вопросом
б интегрируемости дифференциальных уравнений в квадратурах. Соответствующие
структурные свойства групп Ли получили, по аналогии с теорией Галуа,
интерпретацию свойств разрешимости. Ли "классифицировал всевозможные группы
преобразований на плоскости и построил таблицу нормальных типов дифференциальных
уравнений с указанием, решаются ли они в квадратурах. Вопрос, вытекает ли из
непрерывности функций FI существование таких параметров в группе, для которых
функции FI аналитичны, был включен Д. Гильбертом в число его знаменитых проблем:
и в • настоящее время решен положительно 1.
Другое важное приложение теории непрерывных групп было осуществлено около 1872
г. Ф. Клейном. Позднее будет рассказано о концепции Клейна, что любая из
геометрий (евклидова, аффинная, проективная и т. д.) имеет в своей основе
некоторую непрерывную группу преобразований и представляет собой по существу
учение об инвариантах этой группы,
Открытие столь многообразных приложений теории непрерывных групп было причиной
введения еще более общего, абстрактного определения непрерывной группы. В него
входит требование задания предельного перехода, согласованного с группой
операций. Вскоре удалось показать ({это сделал Ван Данциг), что это определение
более общее, нежели определение Ли, и что существуют непрерывные группы, не
являющиеся группами Ли. Так как фй этом определении отвлекаются от того, что
элементы группы являются преобразованиями, то приходят по существу к
топологической группе и к топологическому пространству. В связи с этим создалась
настоятельная необходимость объединить отдельные* топологические факты в единую
теорию. Это было проделано А. Пуанкаре в его знаменитом мемуаре "Analysis situs"
("Анализ положения") (1895) и в-пяти прибавлениях "к нему (1899-1911).
На рубеже XIX и XX вв. теория групп стала необычайно разветвленной, составив
ядро современной алгебры. Ее составляет ряд высокоразвитых теорий: конечных
групп, бесконечных дискретных групп, непрерывных групп, в том числе групп Ли.
Теоретико-групповые методы проникли в ряд математических дисциплин и их
приложений. Открытия де Бройля, Шредингера, Дирака и др. в квантовой механике и
в теории структуры материи показали, что современная физика должна опираться на
теорию непрерывных групп, в особенности на теорию представлений групп линейными
операторами, теорию характеров и др., разработанные Картаном, 1. Ьеилем и
другими учеными.
Прошло около половины столетия после работ Гаусса, Абеля и алуа, а центр тяжести
в алгебраических исследованиях переГТТИ
1954 НапримеР' л- с- Понтрягин. Непрерывные группы.
М.,
местился в теорию групп, подгрупп, колец, структур. В алгебре вступил в
свои права период современной математики.
Некоторые другие пути формирования современной алгебр*
Из богатой и разнообразной истории алгебры XIX в. мы выделил] сравнительно
небольшую область формирования некоторых ОСНОЕ ных понятий. Это сделано потому,
что в выделении немногих алгебраических, объектов -т-' группы, поля, а позже
кольца и структуры - и в создании соответствующих теорий отражаются главные
изменения, происшедшие в алгебре в течение XIX - начала XX в. Эти изменения
предопределили основные направления развития алгебры в первой половине XX в.
j
Более обстоятельное исследование истории создания, совре- | менной алгебры
связано с решением нескольких . историко-мате-^ матических задач.
Во-первых, необходимо проследить обогащение теории групп, а также теории других
основных алгебраических понятий фактическим материалом, позволяющим полнее
раскрывать их свойства,, Так, наряду с историей конечных и непрерывных,
бесконечных групп большой интерес в силу их важности для приложений вызывают
бесконечные дискретные группы.
Во-вторых,- перед исследователями встает задача раскрытия связей теории групп (а
также теории полей, колец и структур) с другими математическими дисциплинами.
Например" наметившееся внедрение теоретико-групповых рассмотрений в область
топологических свойств привело к тому, что теперь каждый топологический образ
характеризуется в известной мере своей фундаментальной группой, -в общем случае
бесконечной. Особенно велика, по-видимому, роль теории групп в теории узлов,,
частным: случаем которых являются косы,, Среди многих задач, которые здесь
предстоит решить, можно назвать, например, за/дачу подробного выяснения того
обстоятельства, что в топологических образах фундаментальные группы несут, повидимому,
функции, сходные с функциями групп Галуа в алгебраических полях.
История алгебры XIX в. будет неполной, если исследователь не обратит внимания,
в-третьих, на формирование линейной алгебры, выраставшей из теории систем
линейных уравнений и связанной с ней теории определителей и матриц. Во второй
половине XIX в. велись весьма активные исследования теории инвариантов
уравнений, т. е. выявления функций их коэффициентов, сохраняющих свои значения
при том или ином заданном классе преобразований. На этом пути развития выросла
более общая теория форм, нашедшая применение не только в алгебре, но и в других
областях математики: теории чисел, дифференциальной геометрии, алгебраической
геометрии, механике и др., а также в их приложениях.
Мы не смогли, наконец, выделить место для освещения истории гиперкомплексных
числовых систем Гамильтона и Грассмана, созданных в 1830-1840 гг., и для богатой
совокупности средств
учения векторных пространств, играющих ныне столь важную Иоль в исследовании
различных, казалось бы, математических теорий с единых, весьма общих позиций.
7.3. ПЕРЕСТРОЙКА ОСНОВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Усиление роли теории пределов. Математический анализ к XIX в. стал разветвленной
системой дисциплин и продолжал занимать центральное место в математике.
Неиссякающий поток новых теоретических результатов и непрерывно расширяющаяся
область приложений обусловили то, что в общей структуре математики особое место
заняли именно аналитические дисциплины.
Математическое естествознание обогащало свое содержание главным образом за. счет
анализа, в первую очередь дифференциальных уравнений. Методы анализа глубже
проникали в физику, не только в механику и оптику, но и в теорию электрических"
.магнитных и тепловых явлений. В механике были подвергнуты разработке кроме
точек и их систем непрерывные среды. Разнообразные области техники: паровые,
машины, артиллерия, техника строительства, и др. - получали новые методы
аналитического исследования важнейших задач. В связи с этим структура и338
В(х) в отрезке [0, а] не имеет конечной производной 1. И Кривая Больцано
была найдена во всяком случае до 1830 г. Однако долгое время считалось, что
первые примеры непрерывной; недифференцируемой функции дали в 1875 г.
Вейерштрасс:
со
ak cos (bknx)
3 V
(0".а"1, Ь - целое нечетное .число, а6"1 + - п\- и Дарбу
/г=0
В "Учении о функциях" Больцано построены и исследованы, и. другие сложные
функции. Он изучил непрерывные функции, имеющие , бесконечное множество
экстремумов. Таковы, например: ломаная
с угловыми точками '
| o)f ,А-Ч Г А,
' ;' !V 2 ' 2 / V 4 '
о
непрерывная в [О, 1] и имеющая в х=1 разрыв; функция
f (х) = sin log (I - х)
- на [О, 1] и др.
Исследованию у Больцано подверглись и разрывные функции,-Он построил функцию
Ф(х)9 которая на [-1; +1] принимает все
значения от -1 до +1 и имеет разрыв в каждой точке этого сегмента, определив ее
следующим образом:
Ф(х) = х для х вида 2т + 1
2п
Ф(0) = -1,
Ф (х) = - х для всех остальных х.
Другим примером может служить монотонная функция, имеющая бесконечное множество
разрывов. Она задана последовательностью отрезков, попарно соединяющих точки:
(О 0) f - - -L 1 V ( - М 1 ' Jf\2f 2/ V2 '
V' U 'Т/
О функции Больцано. "Усп. матем.
Y_Z_ 13 V (2-.
V 8 * 8 J' \ 8 '
f 15 19
\ 16 ' 16
В сочинениях Больцано и в особенности в его "Учении о функциях" содержится
большое число результатов, позднее вошедших
в состав теории функций действительного переменного,, Более того, в сочинении
"Парадоксы бесконечного", написанном Больцано в последние годы жизни и*
увидевшем свет в 1851 г., мы встречаем существенные суждения позднейшей теории
множеств. Так, дано обычно приписываемое Дедекинду определение бесконечного
множества как такого, которое равномощно своей правильной части. .Высказан
принцип, что всякое, бесконечное, множество точек на 'Сегменте имеет по меньшей
мере одну предельную точку. В позднейшее время возобновилась публикация
материалов из научного наследия Больцано, что дает возможность полнее
охарактеризовать его научные достижения,.
Построение теории действительного числа и теории множеств. Ж, половине XIX в.
была разработана теория пределов, построены элементы -современной теории функций
и теории множеств. Однако теория пределов получила признание не сразу.
Крупнейшие "математики Европы не использовали этот метод в своих работах
{например, Пуассон), предпочитая лейбницевское исчисление бесконечно малых.
Большинство английских математиков долго не воспринимали идей Коши, равно как и
общепринятой теперь символики анализа .бесконечно малых, введенной Лейбницем,
видя в этом чуть ли не оскорбление памяти великого Ньютона. Не было недостатка и
в критиках теории пределов.
При .ближайшем рассмотрении этого кажущегося странным обстоятельства
.оказывается, что большинство критиков теории пределов принадлежало к
математикам, чьи работы были посвящены, в основном или в большинстве,
приложениям. Содержание критики с течением времени определилось в двух
Направлениях. Во-первых, было обращено внимание на то, что с понятием предела
нельзя связать никакого алгоритма его нахождения. Многие понятия не могли быть
признаны из-за их описательности, отсутствия количественных оценок. Таковы,
например: "приближаться неограниченно", "сколь угодно малое", "последнее
отношение бесконечно малых приращений" и т. д. Основное для теории пределов
понятие устремления означает апелляцию к интуиции движения. В силу этих
недостатков применение теории пределов, особенно в задачах практического
характера, было в глазах многих современников Коши необычайно и неоправданно
затруднительно.
Во-вторых, в теории пределов были обнаружены логические пробелы, устранить
которые ее защитникам не удавалось. Примером такого пробела может служить
определение вещественного числа. Последнее определялось как предел
последовательности рациональных чисел. Например, У 2 рассматривался как предел
последовательности его неполных извлечений: 1; 1,4; 1,41; 1,414 ____ Но
я того чтобы так определять это число, надо предполагать су-Чествование его, т.
е. совершать логически порочный круг в суж-ниях. Неясным оставалось также
понятие бесконечной совокуп-^ости элементов, к которому приходилось прибегать.
Наконец, неразработанность теории функций, которую преодолевал неизвестный в то
время Больцанр, приводила математиков к ошибкам, аналогичных упоминаемым: выше
убеждениям, что непрерывности функции достаточно для ее геометрической
представимости и существования производной почти всюду или что сходящийся ряд
непрерывных функций представляет сам непрерывную функцию. Таким образом,
проблемы обоснования анализа выражались теперь в острой необходимости: а)
построения строгой теории /действительного числа, б) разъяснения и включения в
математику .понятия бесконечного множества, в) выявления полного объема класса
непрерывных функций и включения в общую классификацию возможно более широкого
класса разрывных функций. От преодоления этих трудностей зависели дальнейшие
успехи математического анализа.
И вот в 1872 г., в один и тот же год, появился ряд примечательных работ. В
журнале "Mathematische Armalen" была опубликована первая из работ Г. Кантора об
основаниях, арифметики. Вышло в свет сочинение Р. Дедекинда "Непрерывность и
иррациональные числа". Появились работы на эту тему Е. Гейне и Ш. Мерэ 1. Все
эти сочинения преследовали единую цель: дать -строгую- теорию действительного
числа. Тот же вопрос в течение •ряда лет разрабатывал Вейерштрасс в знаменитых
лекциях об .аналитических функциях.,
В указанных многочисленных исследованиях появились разновидности теории
вещественного числа, удовлетворяющие высоким требов аниям строгости. Дедекинд
определял действительные числа как сечения во множестве рациональных чисел" дав
совокупности всех действительных чисел (линейному континууму) геометрическую
интерпретацию в виде прямой •линии. Свойство непрерывности прямой, по Дедекинду,
состоит в том, что при сечениях будет находиться либо самая правая точка одного
класса, либо самая левая точка другого. Совокупность всех рациональных чисел
свойством непрерывности не обладает. Тогда вводится иррациональное число
(точка), как такое сечение множества рациональных чисел, в классах которого нет
ни самого правого, ни самого левого числа (точки). Так, У Дедекинда была введена
^совокупность всех действительных чисел, уже обладающая свойством непрерывности.
Канторово определение действительного числа идентифицирует последнее со
сходящейся последовательностью рациональных чиs
Я(tm)Н' С" ^' МегаУ- Cn- Nouveau precis d'analyse infinitesimal. Paris, ed. 179'
loo 7 E' Heine- Die Elemente der .Fimctionlehre, Brorchardt 1, LXXIV, •1/^-188
("Journal fur die reine und angewandte Math.", 1872).
сел 1. Это определение, как и предыдущее, опирается на абстракцию актуальной
бесконечности и основывается на анализе понятия непрерывности. Подход к
определению непрерывности был различен. Дедекиндово определение базируется на
упорядоченности множества рациональных чисел. Определение же Кантора включает
рассмотрение разностей, расстояний между элементами, что соответствует природе
приятия сходимости. Однако оба подхода к определению непрерывности эквивалентны,
поскольку вещественные числа строятся на основе системы рациональных чисел.
Воззрения берлинского профессора К. Вейерштрасса на природу действительного
числа составляли часть его общего плана построения математического анализа,
понимаемого в широком смысле, на возможно более строгих основах. Вейерштрасс
ввел в математический анализ много важнейших результатов: систематическое
использование понятий верхней и нижней грани числовых множеств, учение о
предельных точках, обоснование свойства функции, непрерывной на отрезке,
достигать своей верхней и нижней грани, построение функции, не имеющей
производной ни в одной точке, доказательство возможности разложения непрерывной
на отрезке функции в равномерно сходящийся ряд многочленов и др. В этой стройной
и строгой системе математического анализа примерно к 1880 г. был выработан
современный вид определений и аппарат доказательств, опирающийся на.условно--
дедуктивные суждения ("пусть задано е"0, тогда можно выбрать такое б"0, что
...") и соответствующий символизм. Теория действительного числа служит
Вейерштрассу (как и другим ученым) основой для всего здания математического
анализа.
Вейерштрасс исходит при этом из множества положительных рациональных чисел {av|,
которое он называет агрегатом. Агрегат обладает тем свойством, что сколько бы и
какие бы элементы агрегата ни суммировались (речь всегда идет о конечном, хотя и
сколь угодно-большом, числе элементов), их сумма не превышает заданных
границ/Примером агрегата может служить любая десятичная дробь. Пусть заданы два
агрегата {av} и {#v}, индентифицируемые
с числами b и Ь'. Берем аликвотные части единицы -
п
(п=\, 2, 3, 4,... или п=19 10, 100, ... все равно!). Может осуществиться один из
трех случаев: а) перебирая элементы агрегатов, мы
найдем, что - повторяется одинаково часто; б) и в) для некото-п
рого п величина — чаще повторяется в первом (соответственно п
втором) агрегате. Эти три случая соответственно означают b = b\ /, b"b'.
Объединение агрегатов дает сумму соответствующих
1 См. И. В. Арнольд. Теоретическая арифметика. М., Учпедгиз, 1938,
стр. 286.
чисел. Составление агрегата {av-a^}9 элементами которого являются все возможные
произведения элементов вида {ava^}, служит для определения умножения.
Все виды теории действительного числа опирались на рассмотрение множеств
рациональных чисел., Этим самым трудности, связанные с обоснованием анализа,
переместились в область логического,анализа .ряда натуральных чисел и вообще
множеств с бесконечным числом элементов. В самом же анализе к концу XIX в.
установился, в основном современный стандарт логической строгости в определениях
и доказательствах.
Создание теории бесконечных множеств и трансфинитных чисел принадлежит Г.
Кантору, профессору университета в Галле. Серия его работ на эту тему
последовала вслед за работами по теории действительного числа. Он доказал (1874)
неэквивалентность множеств рациональных и действительных чисел. Через несколько
лет (1878) в его трудах было введено общее понятие мощности множества,
разработаны основы отображения и сравнения множеств и.доказана равномощность
множества точек линейного континуума, и точек /х-мерного многообразия.
Систематическая разработка теории множеств""бвгяв--завершена Кантором в
последующие пять лет (1879-1884). При этом он ввел понятие предельной точки;
производного множества, пример совершенного множества, получившего его имя
(1883), высказал континуум-гипотезу и т. IL
Развитие теории функций 'Вейерштрасса, •• теории множеств Кантора протекало в
последние годы XIX столетия в обстановке острой критики и борьбы. Особенно
острыми были выступления берлинского профессора Л. Кронекера, ученика Куммера. В
вопросах оснований математики Кронекер, основные работы которого относились к
алгебре и теории групп, был приверженцем арифме-тизации математики. Это
означало'стремление свести все трудности, связанные с обоснованием любой области
математики, к натуральному ряду. Эта позиция Кронекера нашла яркое выражение в
утверждении, которое он неоднократно повторял, что целые числа создал господь
бог, а все остальное есть дело рук человеческих.
Разумеется, апелляция к верховному существу не означает ничего иного, как
проявление идеализма, метафизической ограниченности и других несовершенств в
философских воззрениях Кронекера. Кстати заметим, что эта узость и
ограниченность воззрений (а Кронекер с большой страстностью отстаивал их)
наносила большой ущерб научному творчеству самого Кронекера. Пуанкаре правильно
указывал на это обстоятельство, шутливо добавляя, что Кронекер добился
выдающихся результатов в математике только потому, что он нередко забывал о
своих философских убеждениях.
Построенная Кантором общая теория мощностей множеств, отображений, операций над
множествами, свойств упорядоченных
множеств составила впоследствии основное содержание абстрактной теории множеств.
Понятие предельной точки и связанное с ниш понятие замкнутости множества после
введения в 1902 г. А. Лебегом понятия меры множеств и исследований Э. Бореля
привели к созданию метрической теории множеств. Последняя послужила основой
общей теории интегрирования и тригонометрических рядов. Позднее она привела к
построению в работах А. 'Лебега, К. Каратеодори, Ф. Хаусдорфа и др. общей теории
меры.
М. Фреше (1906) и Ф. Хаусдорф (1914), исследуя введенное Кантором понятие
связности и другие примыкающие к нему,, развили топологическую теорию множеств
как теорию множеств,. расположенных в общих метрических и топологических
пространствах. Наконец, дескриптивная теория точечных множеств и связанная с ней
весьма общая классификация разрывных функций (классификация Бэра) ведут свое
начало примерно с 1900 г., от работ Р. Бэра и А. Лебега. •
Теория множеств оказала огромное'воздействие на развитие математики. Она
явилась основой современной теории функций действительного переменного,
топологии, алгебры и теории групп, функционального анализа и др. Методы теории
множеств широка используются в большинстве математических наук современности,
ГЭто, однако, не означает сводимости всей математики к теории \ множеств. В
самой этой теории еще при жизни Кантора обнаружились парадоксы, как, например,
парадокс относительно сущест-'вования множества всех множеств и др.
Вопросы обоснования теории множеств,, исследования пределов ее применимости
влились в XX в. в специальную науку - математическую логику, составляющую
важную часть оснований /"современной математики. Эта часть математики
(основания),,
) J№QK22&K^
и
Алогических J30j33?ejmft относительно "соде"ржа1щя"7 формы и связей (в том
числе^ внутренних взаимосвязей) математики, развивается в XX в. весьма бурно. Ее
выводы получают практические приложения, отражая рост научной и технической
практики человечества.
7.4. РАЗВИТИЕ АППАРАТА И ПРИЛОЖЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Дифференциальные уравнения - основное оперативное средство анализа. Аппарат
математического анализа в XIX в. представлял собой быстро разрастающуюся
совокупность приемов и методов решения весьма уже многочисленных задач. Все эти
методы можно еще было разделить на три большие группы, объединяемые в
дифференциальном исчислении, интегральном исчислении и в быстро обособляющейся
от последнего теории дифференциальных уравнений. Контуры формирующейся теории
функций комплексного переменного, теории специальных функций и т. п.
вырисовывались еще слабо.
Из многообразных, приложений математического анализа мы выделим те, которые
связаны с решением дифференциальных уравнений. Тем самым мы оставим в стороне
сравнительно элементарные приложения, сводящиеся к дифференцированию или
интегрированию функций, требуемому условиями задачи. Эти операции уже вошли в
широкую, сравнительно доступную область практики. Однако возросшая сложность
приложений нуждалась в более общих и мощных средствах. Таким средством явилась
совокупность методов решения дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так и
с частными производными., Решение дифференциальных уравнений являлось главным
оперативным средством анализа, а проблемы, связанные с этим решением,, -
основными научно-практическими проблемами.
В выделенной нами области математического анализа ярко проявляется определяющее
влияние задач математического естествознания, в первую очередь механики и
математической физики, и тесное взаимодействие теоретических и практических
исследований. Вокруг решения проблем математической физики группируются
сравнительно большие коллективы ученых, образуя научные школы. Крупнейшее из
таких объединений сформировалось в Париже в Политехнической школе. Задачами
математической физики здесь успешно занимались Пу^ассон, Фурье,^|?оши_идр.
В Париже получили научную подготовку русские математики В. ЯЛ^ШМ^^
Возвратившись в Россию,
они основали Петербургскую математическую школу, одним из главных направлений
которой была разработка, методов решения задач математической физики.
Несколько значительных центров научного исследования: в области прикладных
методов анализа сформировалось в государствах Германского союза. В Берлине таким
центром сделалась Берлинская политехническая школа, ведущая роль в которой
принадлежа л а_Л^Дирихле. С 20-х годов заметное место начал занимаТьГКенигсбергский
уь^вецситет^ связи с работами Ф. Неймана и его учеников по
математической 1$ШШШг1^то^ над созданием математического аппарата
электромагнитных явлений много трудился К. Ф. Гауссу сот|руд1шчестве^ с Веберрм.
Большая группа 1?сслед^вателей математических методов физики и механики имелась
в Англии: Грин, Стокс^Хожссш, Гамильтон, Максвелл... и др. Усилиями столь
большого количества ученых бьппгдостигнуто быстрое и значительное расширение
области приложений математического анализа. Рассмотрим некоторые стороны этого
процесса.
Создание аналитического аппарата для исследования электромагнитных явлений.
Одной из первых успешно разрешенных задач была задача построения математической
теории электромагнитных явлений. К XIX в. учение об электричестве и магнетизме
выделилось-в физике в самостоятельную область. В 1820 г.
стало известным открытие Эрстедтом действия тока на магнитную стрелку,
установившее общность разнородных, казалось бы, явлений. К тому же времени Био,
Савар, Лаплас, Араго, Ампер, Кулон и др. ввели необходимые основные понятия:
заряда, количества электричества, плотности электричества, законы взаимодействия
неподвижных зарядов и т. д. Задачи электромагнетизма повлекли в математическом
плане множество работ по исследованию притяжений точек по закону Ньютона и
электростатических полей. .
Методы решения задач небесной механики, в частности задач о притяжении небесных
тел по закону Ньютона, получили новую область применения. Переход в
исследованиях от точечных центров притяжения к непрерывному распределению
материи привел от рассмотрения потенциалов дискретного точечного поля к силовым
полям, образованным телами или непрерывно распределенной материей, Было введено
понятие потенциала поля и определено его выражение для простейшего поля,
образованного заряженной точкой А (а, 6, с) массы т:
(где г= V (х-а)2 ,+ (у-b)2+(z-с)2, Y - постоянная-притяжения, р(х, ///г) -
притягиваемая точка). Вскоре же были найдены выражения потенциала для системы
притягивающих точек, а затем для поля с непрерывным распределением притягивающих
масс в объеме со: '
Vp(x, у, *) =
р (а , Ъ, с) do
(СО)
(р(а, Ь, с) - плотность распределения).
Еще в 1787 г. Лаплас показал,, что в пространстве вне тела потенциальная функция
удовлетворяет уравнению
дх2
[
ду2
,\
dz2
Впрочем, это уравнение встречалось еще у Эйлера, а понятие о силовой функции,
дифференцирование которой по направлению давало бы ньютоновские силы притяжения,
ввел в 1773г. Лагранж, оформив тем самым идею силовой функции, которую
высказывали еще Д. Бернулли, Эйлер и Клеро.
Математическая теория электрического потенциала сформировалась сравнительно
быстро. Ряд задач о распределении электричества на поверхности проводников решил
Пуассон, вообще основательно разработавший многие отделы современной ему
математической физики: капиллярность, изгибание пластинок, электростатическую
магнетостатику, теплопроводность. Около 1813 г, он распространил уравнение
Лапласа на пространство, заключен346
ное внутри притягивающего тела, и вывел широко известное теперь уравнение
дх2 ду2
Пуассон решил много задач магнетостатики. При этом он факта" ческ^~;• опирался
на понятие потенциала, однако ввел это важное понятие_не он. Общая постановка
теории потенциала появилась в
трудах ~
'ТршГизложил свою теорию в сочинении "Иобдедогаше по математической теории
электричества и магнетизма^ (1828).\3десь он исследовал центральную проблему
электростатики тогд/времени: задачу о. распределении электричества на
поверхностиТпроводника, которое индуцируется воздействием внешних электрических
сил.. В основе рассуждений Грина лежало соображение, что электрические и
магнитные силы могут быть определены через функцию координат, такую, что
составляющие этих сил по осям суть ее частные- соответствующие производные,
взятые с обратным знаком. Потенциальная (как ее здесь впервые назвал Грин)
функция определяется распределением зарядов. Грин вывел далее'интегральную
теорему, известную ныне как формула Грина, показал, что значение потенциала
внутри "или вне любой поверхности выражается через значение потенциальной
функции и ее нормальной производной на этой поверхности.
Выражение поверхностной плотности р, по Грину,
dv 1
1 Г dv , dv I
-........."_ ^^ t
4Л \ ды (5(0. J
где в скобках помещены нормальные производные потенциала на
противоположных сторонах поверхности. Если речь идет о провод.....
нике, поле внутри которого, а следовательно и нормальная .производная,
отсутствует, то
Р -; -
dv
4jt
(теперь пишут: ? = 4яр, где Е - напряженность поля). Наконец, Грин ввел так
называемую функцию Грина, интерпретирующуюся как потенциал внутри замкнутой
заземленной проводящей поверхности, если туда помещен единичный заряд.
В несколько более общей форме и, по-видимому, независим^) от Грина построил
общую теорию потенциала Гаусс. Он сдела) это в работе "Общие теоремы
относительно сил притяжения и\ отталкивания ... действующих обратно
пропорционально квадрату расстояния" (1840). Функцию
v =
1 т
где т могут представлять как обычные массы, так и электрические или магнитные
заряды, Гаусс назвал потенциалом. Он систематически исследовал свойства
потенциальной функции и ее применение- к физическим явлениям. Небезынтересно
отметить появление в этой работе теоремы
дХ , дУ , dZ
дх. • ду dz J
= Г Г (X dy dz + Y dz dx + Z dx dy).
Эту теорему M. В. Остроградский доказал еще в 1828 г. и истолковал ее как
формулу гидродинамического баланса, устанавливающую равносильность учета
протекающей жидкости в единицу времени: а) исходя-из учета источников внутри
объема; б) исходя из скоростей протекания через оболочку.
Через одиннадцать лет Гаусс использовал эту формулу для того, чтобы связать
величину потока напряженности сил заданного потенциального поля с общей массой
или зарядом, помещенным, внутри поверхности. В наше время эту формулу называют
формулой Гаусса - Остроградского (что, очевидным образом, несправедливо).
В истории физики 1 отмечается, что понятию потенциала физики долго не придавали
принципиального значения, рассматривая потенциал, или потенциальную функцию,
лишь как удобное математическое понятие. Его физический смысл был раскрыт позже,
после установления понятий работы, энергии и закона сохранения энергии.
Иным было положение этого важного понятия в математике, Его введение облегчило
расширение области приложений математического анализа. Помимо оптики и колебаний
теперь возникала математическая теория электромагнитных явлений. Постановка
задачи о потенциале побуждала к расширению понятия интеграла,, к распространению
интегрирования на сложные объекты. В анализе была начата разработка
гармонических функций как решений дифференциального уравнения Лапласа: Ли = 0.
Оказалось, что гармонические функции могут служить для описания многих
физических и механических проблем, отличительной особенностью которых является
исследование разнородных состояний, зависящих от положения элементов, а не от
времени. Так, например, гармоническими функциями оказались помимо потенциалов в
полях притяжения и в электрических полях потенциал скоростей установившегося
безвихревого движения несжимаемой жидкости, температура тел при установившемся
рас1
См. Б. И. Спасский. История физики, ч. I. Изд-во МГУ,
1956" стр. 352-353.
пределении тепла, величина прогиба мембраны, натянутой на произвольный неплоский
контур, и др. Математический аппарат исследования гармонических функций,
возникший при решении одной задачи или одного" класса задач, получал постепенно
новые приложения.
Гармонические функции получили применение в широком классе краевых задач. Такова
задача Дирихле об отыскании значений гармонической функции в области по ее
значениям на границе (например, определение температуры внутри тела по
температуре на. его поверхности, определение "формы мембраны по виду контура),,
К этого рода задачам относится также задача Неймана,, в которой гармоническая
функция должна быть разыскана по величине нормальной производной на границе
области (нахождение температуры внутри тела по заданному на поверхности
температурному градиенту,, определение потенциала движения обтекающей твердое
тело несжимаемой жидкости из условия, что нормальные составляющие скоростей
частиц, прилегающих к поверхности тела, совпадают с заданными нормальными
составляющими скоростей точек поверхности тела),,
Для решения краевых задач теории гармонических функций были разработаны методы,
имеющие как практическое, так и большое теоретическое значение. Например, для
решения задачи Дирихле Г. А. Шварц и К. Нейман изобрели около 1870 г.
альтернирующий метод, Пуанкаре - метод выметаний (около 1880 г.), Фредгольм -:
метод'фундаментальных решений, связанный с интегральными уравнениями, Перрон -
метод верхних и нижних функций. Следует еще упомянуть метод сеток как основной
метод при приближенном решении краевых задач. Эти методы давали возможность
освободиться от того или другого ограничения, которое-приходилось налагать на
границу области. Но при сколько-нибудь общей постановке краевой задачи возникали
проблемы условий, существования решений и их устойчивости.
Большое значение в истории теории потенциала имеют исследования русского
академика А. М. Ляпунова, выполненные в конце XIX - начале XX в.1. В них
изучены: зависимость свойств потенциалов от равномерно распределенных по
поверхности зарядов и диполей, потенциал двойного слоя в случае диполей,
поведение производных решения задачи Дирихле при приближении к поверхности, на
которой задано граничное условие. Решение задачи Дирихле Ляпунов выразил в виде
интеграла по поверхности от произведения функции, входящей в граничное условие,
на нормальную производную функции Грина.
Как и его предшественники, Ляпунов был вынужден использовать ряд ограничительных
требований. Среди этих требований основным является выполнимость принципа
Неймана. Ограничение выделяет также класс поверхностей, относительно которых
рас1
См. А. М. Ляпунов. Работы по теории потенциала. М., ГТТИ, 1949.
Ж. Б. Фурье (1768-1830)
смотрены указанные выше вопросы; за этими поверхностями сохранилось название
поверхностей Ляпунова.
Проблемы математической физики, выросшие из первых работ по теории потенциала,
приобрели, как мы видим, к концу XIX в. большую общность. Решение 'столь общих
теоретических проблем, а затем бурное развитие методов численного решения
краевых задач (ставшее возможным в связи с появлением вычис350
лительных электронных устройств) целиком относятся к следующему, XX в. Равным
образом к этому более позднему времени относится эффективная разработка важной и
трудной обратной задачи теории потенциала: по распределению значений потенциала
-в силовом поле определить форму и плотность притягивающих масс - задача,
актуальность которой (например, для электротехники- и геофизики) очевидна.
Математическая теория теплопроводности. Наряду с приложениями математического
анализа к электромагнитным явлениям получала развитие другая область приложений
этой науки. Речь идет о создании математической теории теплопроводности, позднее
развившейся в термодинамику - общую науку о закономерностях теплового движения.
Побудительной причиной этого процесса было изобретение паровых машин,
сделавшихся вскоре энергетической основой машинного производства., Теоретически
исследовать работу паровых машин, найти способы повышения коэффициента их.
полезного действия - такова была одна из главных задач науки.
Требования, предъявляемые в связи с этим к математике,, нашли свое выражение в
условиях, конкурса, объявленного в 1811 г., Парижской академией наук: дать
математическую теорию законов распределения тепла и сравнить результаты этой
теории с данными опытов. Победителем конкурса оказался, паряжский академик (с
1817 г..) Ж.-Б. Фурье (1768-1830). Подобно многим ученым - его современникам,
Фурье был выходцем из небогатой семьи портного, окончил военную школу,
преподавал в ней. Вскоре после организации Политехнической школы он стал одним
из ее профессоров (1796-1798). Однако в 1798 г, он был включен в число
участников экспедиции Наполеона в Египет, а затем занялся организационноадминистративной
деятельностью в качестве префекта департамента Изеры (главный
город Гренобль). Лишь в 1817 г, Фурье смог переехать в Париж и целиком посвятить
себя научной""Деятельности.
Оснювные научные заслуги Фурье свя-ГсГЛЭТ^'рйспределения теп--тгпслгттр'еэттавил
Академии
. Рис. 54
мемуар, посвященный теории распространения тепла в твердом теле. В 1811 г.
последовал второй мемуар на эту тему. Через П лет, в 1822 г., Фурье опубликовал
"Аналитическую теорию тепла", оказавшую огромное влияние на развитие математики.
Фурье разделял убеждение о всеобщей значимости и всемогуществе анализа
бесконечно малых. В'его представлении анализ столь же обширен, как сама природа;
он отражает ее главные законы, выделяясь ясностью и определенностью, а главное -
возможностью доведения до численных приложений. Анализ физиче351
ского явления по существу заканчивался, как только удавалось выразить его
основные черты дифференциальным уравнением. Что же касается принципов построения
математической теории, то, по указанию Фурье, они, подобно принципам механики,
выводятся из небольшого числа фактов, о причине которых математика не
спрашивает, рассматривая их как результаты наблюдений, подтверждаемых, данными
опута.
Распространение тепла, как и света, Фурье представлял в виде потока элементарных
частиц, свободно проникающих через среду. Элементарное количество тепла dQ,
протекающее через пластинку Sdx за время dt с температурным перепадом dv,
удовлетворяет эмпирически подобранному соотношению
dx
(k - коэффициент теплопроводности, зависящий от материала пластинки) (рис.,
54).
Исходя из этого выражения плотности теплового потока, подсчитывается баланс
тепла на"участке за элемент времени (в основном, это делается так же, как и в
наше время) ! и приводится к "уравнению
dv - -
dt
где. А - оператор Лапласа.
Это уравнение Фурье интегрирует при заданных различных краевых условиях.
Задается либо распределение температуры v
:на границе, либо тепловой поток -~, либо их отношение:
dv
dn
Для решения уравнения теплопроводности при этих
v dn
граничных условиях Фурье разработал метод разделения переменных, известный
теперь как метод Фурье. Ему удалось решить задачи распространения тепла для
частных случаев шара, кольца, куба, цилиндра. Характерной чертой метода Фурье
является, как известно, разложение функций по найденным собственным функ-ция^Г
Фурье систематически применял разложение функций в тригонометрические ряды вида
/ (х) - V (ап cos пх + bn sin nx).
1 См. А. Н. Тихонов и А. А. Самарский. Уравнение математической физики.
М., ГТТИ, 1951, стр. 172 и далее.
Хотя ряды такого вида были известны и ранее, но после появления "Аналитической
теории тепла" они получили название рядов Фурье, сохранив его до сих пор. Фурье
применяет тригонометрические ряды не только при п целом, но и в более сложных
случаях, когда п определяется трансцендентным соотношением tg пл = ап (fl =
const"0). В работах Фурье встречаются даже разложения по бесселевым функциям.
Аппарат тригонометрических рядов дал возможность Фурье выразить с его помощью
функции весьма общей природы. Фурье практически мог разложить в ряд любую из
функций, которые ему могли в то время предложить. Поэтому он счел себя вправе
утверждать, что с помощью указанного аппарата можно дать выражение "абсолютно
произвольных" функций, понимая под этим функции, состоящие из произвольных
частей известных анализу функций,. Строгого доказательства он дать не смог,
разумеется, равно как и устранить ряд нестрогостей. Метод Фурье был
усовершенствован Пуассоном, Дирихле и особенно Остроградским. Последний-в ряде
мемуаров 1828-1836 гг. сформулировал этот метод в общем виде, - достаточно
общем:, чтобы решать задачу для любого твердого тела, ограниченного поверхностью
без особенностей. В этих мемуарах им была впервые выведена (1.828) упомянутая
выше формула. Остроградского - Гаусса, дано ее истолкование и обобщение (1834)
на я-мерную областьОн
же решил задачу о распространении тепла в жидкости и высказал в 1831 .г.,
задолго до Римана, принцип локализации: сходимость ряда Фурье абсолютно
интегрируемой функции в точке зависит лишь от значений ее в сколь угодно малой
окрестности этой точки. Впрочем, внимательное исследование показывает, что
принцип локализации рядов Фурье в не сформулированном явно виде употребляется в
ряде работ современников М. В. Остроградского. Этот принцип можно обнаружить в
сочинениях самого Фурье, а также у Дирихле (1829) и Лобачевского (1834).
Отнесение в историко-математических работах формулировки и доказательства
принципа Фурье к числу заслуг Римана основано на работе последнего "О
возможности представления функции посредствомтригонометрического ряда". Она была
представлена Рим аном в 1853 г. Гет^ингенскому Университету, но стала известной
в 1867 г., после ее опубликования. Работа содержит инте12
К. А. Рыбников 353
ресный очерк истории вопроса, и мы поэтому отсылаем к ней читателя *.
Математические исследования теплопроводности предварили создание более общей
науки о теплоте - термодинамике. В дальнейшем для ее формирования потребовалось
соединение математических методов, ведущих свое начало от Фурье, с соображениями
С. Карно об идеальном цикле (1824) и с законом сохранения энергии, открытым в
40-х годах XIX в,. Р. Майером, Г. Гельмгольцем и Дж. Джоулем. Это соединение
произошло в середине столетия, когда.-Р. Клаузиус (1850) и У. Тсшсон-Кельвин
(1851) дали формулировку второго начала термодинамики и ввели понятие энтропии.
Дальнейшее усовершенствование математического аппарата термодинамики связано с
выходом за пределы математического анализа. и введением теоретико-вероятностных
суждений в кинетическую теорию газов Дж. Максвелла (I860) и статистических
представлений в теорию тепловых процессов Л. Больцмана (1871),,
В результате исследований ряда ученых швейцарский физик Фик к 1885 г. смог
развить количественную теорию диффузии. При этом выяснилось, что его первый
закон о количестве диффундирующего вещества аналогичен закономерности,
обнаруженной Фурь.е для теплоты. Именно, масса вещества dm, диффундирующего за
время dt через площадку S (см. рис. 54), перпендикулярную оси Ох, выражается
формулой
dc
dt,
dc где----- градиент концентрации, a D - коэффициент диффузии,
(ЛХзависящий
от природы частиц и состояния растворителя и диффундирующего вещества.
Если коэффициент диффузии постоянен, получается второй закон Фика
dc __ ъ d*c ~dT ~~ ~d^'
т. е. уравнение, эквивалентное уравнению теплопроводности.
В плане математического анализа "Аналитическая теория тепла" послужила, после
работ Эйлера и его современников, началом новой разработки теории
тригонометрических рядов. Попытка Фурье доказать, что любую функцию можно
разложить в тригонометрический ряд, привела к появлению исследования проблемы
представимости функций тригонометрическими рядами в работах Дирихле,
Лобачевского, Римана и др. В этих исследованиях сложилась одна из предпосылок
создания к концу XIX в. канторовой теории множеств, более широко, теории функций
действительного переменного.
1 См. Б. Риман. Соч. М., ГТТИ, 1948, стр. 225-261.
О математическом аппарате механики. Мы привели примеры именений математического
анализа в области электрических и мягнитных явлений, а также теории теплоты.
Этими примерами ппоблема разумеется, не исчерпывается. Аналитические методы
проникали во многие области естествознания, приобретая в них значение решающих -
оперативных средств. Едва ли не в первую оче-оедь'они проникли в механику,
определяя ее содержание. Аналитическая механика npHo6peTa^a^B^H^^ajMHmcKHH облик
именно как учение о дифференциальньК^^вненияХг-, выражающих свойства траекторий
любых мех айичестщх систем. Исследование свойств этих уравнений и их
интерпретации для частных случаев приобрели значение главной задачи
аналитической механики. Решающую же роль в построении системы этой науки стали
играть общие поло" жения, или, как их принято называть, принципы, или законы,
механики.
Пусть задана система, положение которой для каждого заданного момента времени t
определено значениями п независимых параметров "7i, "?2, ,..., "7п, т. е.
система с п степенями свободы. Для описания ее 'движения вводится два понятия:
живая сила, или кинетическая энергия, Т и силовая функция, или потенциальная
энергия, U. Понятия кинетической и потенциальной энергии противопоставляются
друг другу, поэтому чаще всего рассматривается функция Лагранжа (ранее известная
под именем кинетического потенциала, имевшего не, столь общий смысл) :
L = T(qt,q't)*-U(qt) (i = 1, 2, . . . , л).
Уравнения движения, механической системы суть дифференциальные уравнения
Лагранжа (введенные им в конце XVIII в.):
J.*±--*L- (i-l 9 П)
dt дц "~ "% U "' A ..... ' Я}'
В качестве интеграла уравнения получается закон сохранения энергии,
сформулированный в середине XIX в.
В случае возмущенных движений вследствие применения внешних сил Р справа
добавляется соответствующий интеграл:
Т+ U=const+.( Pdt.
Решение и исследование дифференциальных уравнений Ла- \ гранжа было одним из
основных направлений аналитической меха- i ники XIX в.
Другой подход к формулированию основных принципов механики состоял в том, что
исходили не из дифференциальных уравнении, но из некоторых интегралов,
относительно которых решалась вариационная задача отыскания минимума. На этом
пути получа-ся вариационные принципы механики; основным аппаратом при
12* 355
этом является аппарат вариационного исчисления. Первым ционным принципом
был^принцип наименьшего действия. Его высказал впервые в 1744 г Мопертюи.
Математически строгая формулировка принципа принадлежала Эйлеру, последующие
обобщения - Лагранжу, Якоби и Жуковскому. Позднее появились и другие
вариационные принципы, например принцип Гамильтона -• Остроградского, или,,
ин&че, принцип стационарного действия V,
Развитие, общих методов интегрирования дифференциальных уравнений динамики,
получившее начало в середине XIX в;, составляет отдельную область приложений
математического анализа. В этой области рассматривается сравнительно неширокий
класс дифференциальных уравнений, который однако, подвергается по возможности
глубокому исследованию. Математические результаты здесь особенно тесно сплетены
с прикладными интерпретациями их, образуя теоретическую основу всех
механических, дисциплин"
"В этой обширной области приложений-мы сможем упомянуть лишь о некоторых
достижениях прикладной математики2. Так,, например, задача приведения,
дифференциальных уравнений механики к канонической системе уравнений первого
порядка в случае стационарных связей была существенно продвинута уже в начале
века (1809) Пуассоном и вскоре (1834) решена Гамильтоном. Остроградский обобщил
эти уравнения на случай нестационарных связей. Он же свел интегрирование
канонической сТГСТемьГ'к интегрированию одного нелинейного уравнения с частными
производными. То же проделал и Гамильтон для частного.случая стационарных
связей, использовав оптико-механическую аналогию.
По установившейся традиции математический аппарат меха(tm) ники, связанный'С
рассмотрением основных, принципов этой науки, целиком включается в последнюю.
Присоединимся :к этому и мы, хотя в этой области разделить математику и механику
едва ли возможно" Отметим лишь, что методы математического анализа были и
остаются ведущими в решении крупнейших проблем механики: движения тяжелого
твердого тела, теории устойчивости равновесия и движения, колебания материальных
систем и т. п.
Усовершенствование оперативных средств теории дифференциальных уравнений.
Приложения методов математического анализа образовывали 'важные части смежных
научных дисциплин, раскрывая перед ними и перед всем математическим
естествознанием новые перспективы развития и изменяя их состав и структуру.
Особенно это было заметно в развитии математических методов механики и физики. В
свою очередь процесс широкого развертывания прикладных частей оказывал влияние
на структуру самого матема-тического анализа.
1 Богатый материал по историй вариационных принципов содержится в сб.:
"Вариационные принципы механики". М., Физматгиз, 1959.
2 В XIX в. было принято делить математику на чистую и прикладную.
:356
Что касается классической основы математического анализа, т е дифференциального
и интегрального исчисления и элементарной' теории функций, то, как было показано
в предыдущей главе, она подверглась коренной перестройке. В ней были строго
сформулированы
в терминах арифметики основные понятия: бесконечно
малой, непрерывности, предела, дифференциала и др. Понятие-функции. приобрело
современный, весьма общий, характер. Теоремы'- получили уточненные формулировки
с обязательным указанием ограничительных условий: уточнение области значений
аргумента, вида функций и т. п., при соблюдении которых они являются
справедливыми. Оперативные возможности этой части анализа в результате
перестройки значительно расширились, а выводы приобрели большую степень
достоверности.
В' 'теории дифференциальных уравнений усиление их приклад-ной роли оказалось
также связанным с постановкой более широких проблем и выработкой более общих
понятий. Так, уже в первой половине XIX в. в теории обыкновенных
дифференциальных уравнений практически прекратились попытки отыскания
.конкретных' приемов интегрирования в квадратурах.' 'Выяснилось, что отыскание
таких приемов - явление редкое, а возможности - незначительные. Были добавлены
лишь немногие факты, в частности относительно уравнения Якоби (1842):
(Ах + By + С) dx + (А,х + Вгу + Сг) dy + (А^х + В2у + С2) X
X (xdy - ydx) = 0.
Среди многочисленных исследований в этой - области -заметное
место занимают те, где изучаются- возможности получения решения уравнения, если
отправляться от известных в некотором числе его частных интегралов. Например, в
1878 г. Дарбу доказал, что уравнение
*~~- • ""'"
менее
где L, М, N - целые многочлены, высшая степень которых т, мо-Ж6Т Ь
еН° без пРименения квадратур, если известно не h 2 его частных
алгебраических интегралов. Значительный
вклад в разработку этого направления внесли, в частности, математики
России: Ф. Г. Миндинг, А. Н Коркин В П Ермаков и др.
" • • г
(tm)(tm)ВиДН°е МеСТ° заняли также проблемы вывода условий интеЛ | грируемости и
выделения классов уравнений, интегрируемых в М квадратурах. Укажем в
качестве примера вывод Лиувиллем усло-ным пНГГрИруем°сти спеЧиального уравнения
Риккати. Характерным в этом плане являются и выведенные Чебышевым (1853) условия
интегрируемости биномиального дифференциала.
Постановка и решение более общих проблем приводят, как правило, к расширению
круга понятий. Примером может служить теория линейных дифференциальных
уравнений. Частные виды этих уравнений с переменными коэффициентами: уравнение
Бесселя (известное, впрочем, еще Даламберу и Эйлеру), гипергеометрическое
уравнение
х (1 - х) у" +'[с - (а + b + 1)х] у' - abx^O
(служившее, в частности, предметом исследований Эйлера в 1778 г. и Гаусса в 1812
г.), уравнения Лежандра, Ламе и др. - приводили к возникновению теории
специальных функций: цилиндрических, шаровых и т. п" Работы Штурмана и Лиувилля
по решению уравнения
при заданных значениях некоторой линейной функции от у и у' в двух точках оси х
положили начало исследованию по теории краевой задачи, названной по имени ее
исследователей. Оказалось, что решение этой задачи приводит к необходимости
развить теорию интегральных уравнений и теорию разложения функции по
фундаментальным функциям.
Дифференциальные уравнения с частными производными в своем развитии всегда
сохраняли самый тесный контакт с задачами физики и техники. Как было показано
выше, наибольшее прикладное значение имели уравнения второго порядка. Поэтому и
в теоретическом плане они привлекали наибольшее внимание. Для них в первую
очередь были выделены канонические типы уравнений: гиперболические,
параболические и эллиптические. Накапливавшиеся методы, решения отдельных типов
уравнений подвергались систематизации и посильному обобщению. Эти методы в
огромной степени вбирали в себя факты вариационного исчисления, теории функций
комплексного переменного, тригонометрических рядов и других высших разделов
анализа. Именно в силу их практической значимости эти уравнения оказывались
центрами, где сосредоточивались результаты из различных областей математики. Тем
самым, в частности, создавались предпосылки для широких аналогий, характерных
для современного функционального анализа и общих теорий в области
дифференциальных уравнений.
Необходимо также упомянуть, что в то же время выявилось практическое значение
уравнений вида
Эти уравнения привлекали внимание Эйлера. Ими же занимался Монж. В начале XIX в.
их исследовал И. Ф. Пфафф. В 1814358
1815 гг. он сумел показать, что решение этого уравнения (получившего с тех пор
его имя) состоит из соотношений
Ф"(*1. ••• ,*/•) = 0 и d"S)t(xl9..., хп) = 0 (1=1, 2, ..., п).
Возникшая отсюда проблема Пфаффа интегрирования этого уравнения при минимально
возможном числе соотношений между аргументами Xi(i=l, 2,..,, п) вызвала и
вызывает широкое обсуждение. Помимо огромной роли проблемы в создании
геометрической теории дифференциальных уравнений и приложений последних к
геометрии она получила большое значение для. механики,, Оказалось, что
неголономные связи являются уравнениями Пфаффа между виртуальными перемещениями.
Уравнения Пфаффа нашли приложение и в термодинамике.
Якоби (он назвал, эти проблемы именем Пфаффа) получил многочисленные важные
результаты о характере интегральных многообразий этого уравнения. Коши (1819)
разработал метод характеристик, вслед за чем появился ряд сочинений по теории
характеристик для разных видов уравнений различных порядков.
В обстановке быстрого пополнения фактического состава и приложений теории
дифференциальных уравнений решающее значение, приобрела выработка общих, идей,
объединяющих и организующих по возможности большее число фактов. Формирование
подобных общих идей вообще составляло характерную черту математического анализа
XIX в. Особенно важное значение эта черта приобретала в теории дифференциальных
уравнений. Здесь уже нельзя было исходить из интуитивной убежденности в
существовании общих решений, которые остается только найти по возможности
наиболее удачным способом. Надо было доказывать существование решений, исходя из
известных элементов. Уже в начале века появились первые доказательства столь
характерных для современного анализа теорем существования. Они принадлежали
Коши. Эти теоремы были доказаны для дифференциальных ур&внений с учетом условий
начального состояния, т. е. для задач, известных ныне как задачи Коши.
В лекциях по анализу, которые Коши читал в Политехнической школе, он дал решение
этой задачи в простейшей постановке. Дано обыкновенное дифференциальное
уравнение первого порядка: У -/(*, У). Доказать существование и единственность
его решения при заданных начальных условиях: х=х""; y = yQ. Коши доказал это в
области, где f(x, у) и -jj-f(x, у) непрерывны. При этом он отправлялся от
эйлеровского способа приближенного интегрирования: на отрезке оси абсцисс (х0,
X) наметил точки с абциссами о, 1,..., Xn-i, хп-Х. Из этих точек восстановил
ординаты:
Уп = У о ЧВершины
ординат определяют многоугольник, аппроксимирующий искомую интегральную
кривую. Остается доказать существование
предельной функции у=Птуп9 удовлетворяющей условиям задаП-"оо
чи Коши.
Это доказательство Коши усовершенствовал в- 1844 г. его ученик Ф. Муаньо.
Употребляемое ныне условие Липшица было введено последним в 1876 г., Вскоре Дж.
Пеано доказал теорему существования
хотя бы одного решения упомянутой задачи Коши в области, где f(x, у)
непрерывна,
Коши смог распространить свой метод доказательства теорем существования на
случай уравнения . . ,
y(n* = f(x, у, у',..., Г"'1)
при заданных X-XQ, у=-уо и соответственно yQ'(i=l9 2,.-.., п-1) путем сведения
его к системе, уравнений первого порядка. К 1842 г. Коши доказал теорему
существования для линейной системы уравнений с частными производными, указав
способ приведения к этому виду нелинейной системы. Окончательную, по выражению
Пуанкаре, форму теоремам существования придала С. В. Ковалевская (1874), которая
доказала теорему существования и единственности решений системы дифференциальных
уравнений
~тг~ = ot
х9 u
l9
ит)
(/=1, 2, .... m),
и, = щ (t, xlt xz, ... , xn)
(i = l, 2,..., m), при заданных начальных значениях
- t = t0, и, ="р,(*1, xt,...,xa) (i = l, 2, ... , т)
в случае голоморфности функций Д и фг-. При этих условиях Ковалевская доказала,
что система имеет для достаточно малых t - /о
360 ,
голоморфное решение, однозначно определенное начальными услоВИЯ
Наконец, Пикар в 1890 г. развил идею Коши и создал другой метод
доказательства теорем существования и единственности, основанный на
доказательстве сходимости последовательных приближений
У" ' . '
л
У! = Уо + J / (х, г/о) dx'
f (x* Z/fe-0 dx.
Теоремы существования имели в истории дифференциальных уравнений принципиальное
значение. Они решали вопрос о строгости, законности их применения. В то же время
методы последовательных приближений, применяемые при доказательстве
соответствую-'щих теорем, создавали основу для разработки методов численного
интегрирования дифференциальных уравнений.
К XX в. доказательства теорем существования сделались неотъемлемой частью многих
теоретических, исследований, вошли в норму математической строгости" В теории
дифференциальных уравнений много работ было посвящено различным обобщениям
теоремы Ковалевской: для случаев неаналитических функций, неаналитических
решений, проблемы единственности во всей области существования решения, а не
только локальной, и т. п.
Проникновение в теорию дифференциальных уравнений методов других математических
дисциплин. Начиная с 70-х -годов прошлого века теория дифференциальных,
уравнений пополнилась двумя направлениями, не потерявшими своей актуальности и в
наше время. Мы имеем в виду внедрение в эту область математики теоретикогрупповых
представлений и создание качественных методов.
Мы уже упоминали, что Ф. Клейн и С. Ли после обучения в Париже у Жордана
задались целью распространить данные теории групп на возможно большее число
областей математики. Клейн рассматривал непрерывные группы геометрических
преобразований и, исследуя свойства этих групп, в особенности их инварианты,
создал классификацию геометрических наук.
Ли в свою очередь связал (начиная с 1873 г.) теорию групп с исследованием
дифференциальных уравнений.
Каждому дифференциальному уравнению Ли считал возможным соотнести непрерывную
группу преобразований, относительно которой уравнение является инвариантом.
Группы, рассматриваемые при этом, содержат преобразования, определяемые
числовыми параметрами
x-*f(x, "!,..., ал). 361
Такого рода взаимно-однозначное соотнесение преобразований и систем параметров
справедливо лишь для малых преобразований. В зависимости от соответствующих
бесконечно малых преобразований Ли получил возможность составить классификацию
дифференциальных уравнений. При этом он выделил группу преобразований,
составляющих класс дифференциальных уравнений, интегрируемых в квадратурах. ,
Теоретико-групповая точка зрения, введенная Ли, доказала узость класса
дифференциальных уравнений, решаемых в квадратурах, и бесперспективность попыток
построения общей теории диф-• ференциальных уравнений в этом направлении.
Поэтому впредь до обнаружения возможностей приложений исследования непрерывных
групп в дальнейшем проводились в плане построения их общей теории. Из последней
выделилась теория групп Ли как таких групп, в которых произведение двух
преобразований имеет своими параметрами непрерывные функции параметров
преобразований-сомножителей
Точнее говоря, теория непрерывных, групп преобразований появилась именно как
теория групп Ли и приобрела, близкий к современному уровень общности лишь позже.
Прикладное значение теоретико-групповых концепций для .дифференциальных
уравнений проявилось в математической физике. Уравнения классической механики,
как известно, инвариантны относительно преобразований Галилея. Противоречия,
обнаружившиеся в электродинамике движущихся тел с результатами классической
механики, разъяснились после введения лоренцевых преобразований. Эти
преобразования
tк'
нашел в 1887 г. В. Фохт. Он же доказал инвариантность относительно этих
преобразований волнового уравнения
(Аи - оператор Лапласа).
Лоренц (19041_ открыл, что если преобразования Галилея, т. е. повороты,
переносы начала и преобразования вида
xf = к.- vt\ у' •= у\ г* = z\ t' = t, 362
А. М. Ляпунов (1857-1918)
где использована идея мгновенной передачи взаимодействия тел заменить
преобразованиями Лоренца, то указанные противоречия могут быть устранены.
.Пуанкаре в свою очередь показал, что преобразования Лоренца образуял-группу.
Идея рассмотрения классов дифференциальных уравнений с различными группами
преобразований получила тем самым практическое воплощение.
Под давлением прикладных задач, в частности задач небесной механики, возникла и
развивалась качественная теория дифференциальных уравнений. Как ни велики были
успехи в решении различных классов дифференциальных уравнений, ни один из
методов не мог помочь в решении старых задач о движении трех тел,, подчи363
ненных законам ньютонианской механики. Работы Ли подтвердили невозможность
решения соответствующих дифференциальных уравнений в квадратурах. Методы
приближенного решения давали лишь частное решение заданной задачи,
соответствующее заданным начальным условиям на конечном интервале. Поведение
интегральных кривых во всей области существования, как того требовали проблемы
небесной механики, не помогал выяснить ни один из методов.
Пуанкаре в серии мемуаров, начатых в 1878 г. и известных под общим названием "О
кривых, определяемых дифференциальными уравнениями", исследовал проблему, можно
ли и как охарактеризовать поведение семейства интегральных кривых уравнений
y'=f(x" У} или системы
dx , , dy t "
'
---- fr\ i у 111* ---- fЛ / V 111
.._ ----уу v " i/ 7 " ---- т 2 v "
7/
на всей плоскости, исходя из свойств функций i/, или cpi и ф2.
Вообще многие из работ А. Пуанкаре посвящены дифференциальным уравнениям. Помимо
проблем небесной механики он исследовал задачу о колебании трехмерных
континуумов, изучил ряд задач теплопроводности, теории потенциала,
электромагнетизма и т. д. В ходе этих, исследований Пуанкаре существенно
обогатил совокупность оперативных средств теории дифференциальных уравнений. Он
изучал разложения: решений дифференциальных уравнений по малому параметру,
доказал асимптотичность некоторых рядов, выражающих решения дифференциальных
уравнений с частными производными, исследовал особые точки. По-видимому,
практические задачи послужили для него толчком и к разработке качественных
методов.
В математике качественными называют методы, дающие возможность выявить
особенности искомого решения задачи, существование и количество решений и их
особенности, не проводя ее численного решения.
Методы Пуанкаре были в основном геометрическими, точнее, топологическими.
Рассматривая семейство интегральных кривых, Пуанкаре выделил особые точки и дал
их классификацию. Он исследовал специально характер поведения интегральных
кривых в окрестности особых точек. Для особого вида интегральной кривой -
замкнутой, к которой приближаются по спиралям близкие кривые семейства, Пуанкаре
ввел название предельного цикла. В качестве одной из задач, решаемых
качественными методами, он изучил интегральные кривые, заданные на торе.
Пуанкаре дал первые приложения качественных методов к задаче трех тел. Позднее
его исследования о предельных циклах получили применение в радиотехнике (работы
А. А. Андронова).
Успех топологических методов Пуанкаре был облегчен наличием предпосылок в виде
развитых геометрических идей в теории функций комплексного переменного и в
дифференциальной геометрии,
также идей теории множеств Г. Кантора. Своеобразие примененных Пуанкаре методов
состояло в том, что они соединили теорию дифференциальных уравнений с
топологией. Это вело в свою оче-оедь к формированию топологии как особой отрасли
математики,
в первую очередь в упомянутых нами выше работах Пуанкаре. Внутри же теории
дифференциальных- уравнений за качественными методами укоренилось название
топологических.
Почти одновременно с Пуанкаре качественные методы были введены в работах А. М,
Ляпунова (1857-1918). Воспитанник Петербургского университета и ученик П. Л.
Чебышева, он приступил в 1882 г. по совету своего учителя к решению конкретной,
но трудной астрономической задачи: исследовать возможность существования фигур
равновесия вращающейся жидкой массы, отличных от эллипсоидальной. Вскоре круг
его исследований расширился, охватив проблему устойчивости равновесия и движения
механических систем, определяемых конечным числом параметров, теоршо\ч/
потенциала и др.
Общую проблему устойчивости, о которой мы только что упомянули, Ляпунов свел к
исследованию качественными методами поведения решений системы обыкновенных
дифференциальных. уравнений
___ :-- /" (•&]_, Xj" . . . , Xfl, I) • (I
-~- 1, ^*, . . . , /X),
at
где'/7! - при малых Xi разложимы в сходящиеся ряды по целым степеням хь. и
F,(0, О,..., 0) = 0.
Ляпунов отказался от введения линеаризации уравнений путем отбрасывания всех
нелинейных членов для выяснения вопроса об устойчивости движения. Устойчивость,
по Ляпунову, связывалась с поведением по отношению к возмущениям начальных
данных. В докторской диссертации 1892 г. "Общая задача об устойчивости движения"
Ляпунов строго определил основные понятия теории "Устойчивости, выделил случаи,
когда линеаризация дает решение вопроса об устойчивости, исследовал ряд случаев,
где линеаризация была недостаточной. В связи с этим Ляпунов решил многие вопросы
теории обыкновенных дифференциальных уравнений: о существовании и эффективном
построении периодических решений одного класса нелинейных дифференциальных
уравнений, поведение интегральных кривых уравнений в окрестности положения
равновесия и др.
воряде работ (1903-1918) Ляпунов дал решение задачи, ука-аннои ему Чебышевым, о
форме фигур равновесия равномерно устяЦаЮЩеЙСЯ жидкости в УСЛОВИЯХ
ньютонианского тяготения. Он весия°ВИЛ существование близких к эллипсовидным
фигур равно-однородной и слабонеоднородной жидкости. Оказалось, что
невозможно отделить неэллипсоидальные фигуры равновесия от эллипсоидальных.
Ляпунов доказал неустойчивость принятых в астрономической теории грушевидных
фигур равновесия. Не перечисляя всех результатов, укажем лишь, что работы
Ляпунова по
устойчивости до сих пор содержат большую часть полученных в этой области фактов.
Они продолжают быть основоположными в развитии теории дифференциальных уравнений
и приложений ее к исследованию колебаний физических, и механических систем.
В современной математике, любая физическая: система, поведение которой вблизи
каждого состояния описывается системой диф" ференциальных уравнений вида
dt
!, *2, ... , *л) (i = 1, 2, ... , я, /- - время),
носит "название динамической системы. Общая теория динамических систем изучает
совокупность всех их движений, соответствующих всевозможным начальным
состояниям. Теория дифференциальных уравнений ко времени работ Ляпунова и
Биркгофа (последний начал разрабатывать общую теорию динамических систем в 1912
г.) оказывалась не в состоянии изучать ни решения задачи о движении динамических
систем во всей области определения, ни поведение решений вблизи особых точек.
Поэтому в общей теории динамических систем большое значение приобретают
качественные методы,
Применение качественных методов при этом облегчается геометрическими
представлениями динамических систем. Совокупность возможных состояний последних
трактуется как я-мерное многообразие, называемое фазовым пространством системы.
Точками этого пространства служат отдельные состояния Р динамической системы.
Совокупность всех движений динамической системы представляется как непрерывная
группа преобразований фазового пространства. Отдельное движение характеризуется
движением точки Р по ее траектории. Роль теории групп для теории динамических
систем настолько велика, что в настоящее время динамическую систему часто задают
именно как группу преобразований.
Общая теория динамических систем - актуальная область математики, выросшая из
практических, приложений теории дифференциальных уравнений.
История теории дифференциальных уравнений в XIX в. и ее .приложений еще слабо
разработана. Известно много фактов этой истории, правда весьма разнородных.
Общетеоретические закономерности прослеживаются еще с трудом. Настоящая глава
представляет одну из немногих попыток выяснения исходных пунктов и главных
закономерностей развития этой области математики. В ней: а) показано
возрастающее воздействие быстро усложняющихся задач практики на математический
анализ в его классиче366
ой постановке; б) указаны пути преобразования аппарата ана-°иза в особенности
теории дифференциальных уравнений и расши-ения области его приложений; в)
выяснены некоторые черты процесса появления и развития элементов общей теории
дифференциальных уравнений (теоремы существования, качественные методы'идеи
теории групп); г) отмечено налаживание связей теории дифференциальных уравнений
с другими областями математики (топологией, теорией групп, геометрией, теорией
функций), появление общих элементов и взаимопроникновение методов.
7,5. СОЗДАНИЕ ТЕОРИИ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
О предпосылках создания общей теории функций комплексного переменного.
Современная теория функций комплексного -переменного охватывает чрезвычайно
обширную область математики. 'Этим именем называют большую и разветвленную
совокупность математических дисциплин - теоретических и прикладных. Перечислить
все. эти дисциплины, тем более охарактеризовать их, - дело трудное и громоздкое,
даже если ограничиться одними аналитическими функциями, Привлечение к
исследованию функций неаналитических, но обладающих некоторыми свойствами
аналитических функций (мы имеем в виду теории функций квазианалитических и
моногенных, отображений внутренних и квазиконформных и т. п.) весьма расширяет
область рассматриваемой нами здесь теории и усиливает трудности анализа путей ее
формирования,
Для рассмотрения в настоящей .главе мы выберем вопросы, связанные с вхождением
в-математику мнимых и комплексных объектов,, обращая меньше внимания на свойство
аналитичности функции, т. е. представимости ее степенным рядом
Мы считаем себя вправе поступить так потому, что об истории класса аналитических
функций и связанного с этим классом аппарата степенных рядов мы уже приводили
некоторый материал.
Рассмотрим вначале вопрос о предпосылках создания теории Функций комплексного
переменного, накопившихся к XIX в.
Понятие мнимого, а затем комплексного числа известно в математике и используется
с давних времен. История его появления отражает ту общую черту развития
математических исчислений,
то введение и использование обратных операций ведет, как прави-вь
необходимости расширения числовой области. Так, введение
ычитания вынудило в конце концов дополнить натуральный ряд
ленногТеЛЬНЫМИ числами" Деление привело к расширению целочисоперани
РЯАа Д° множества рациональных чисел. В свою очередь
ния ©бшй извлечения корня явилась оперативной причиной введещего
п°нятия действительного числа. Частный случай, когда
речь шла об извлечении корня четной степени из отрицательного " числа, требовал
введения мнимых чисел.
Только в XVI в. в связи с алгебраическим решением кубиче4 ских
1/гр[ВТ1|енмй'|'^^кта:белли (1572) отошел от трактовки мнимых чисел как
таиш!тв^1Ш1И^Жй:вТ115Ж1Шх и выработал правила .арифметических, операций с
мнимыми числами.' Однако еще в течение очень долгого времени, несмотря на
некоторые удачные мысли (например, Валлиса) относительно интерпретации, мнимых и
комплексных чисел, их природа не была разгадана и к ним относились как к
некоторому сверхъестественному явлению в математике. Еще в 1.702 г. Г. В,
Лейбниц, писал, что мнимые числа - это прекрасное и чудесное убежище
божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием. Не было в истории
недостатка в подобных утверждениях о мистических свойствах мнимых и со стороны
других ученых.
• Неразъясненность понятия комплексного числа не могла заслонить их полезности в
решении конкретных задач. Большое количество накопленных фактов дало повод
математикам XVIII в, перенеси^ понятие мнимости и в область переменных величин,
Поскольку этбтТшр?^
то в зави......
симости от характера задачи мнимые величины представали перед исследователями в
разном "обличье": .физическом, геометрическом или же в аналитическом. Задачанаучной'интерпретации
комплексных чисел решалась сразу в разных планах, вместе с
обидим развитием математического анализа.
По-видимому, наиболее ранними в этом столетии были'попытки Лейбница и И.
Бернулли ввести операции с комплексными числами с целью достичь возможно более
общих результатов в интегрировании. Используя в этих целях разложение
подынтегральных функций на элементарные дроби, они широко "пользовались
аналогиями. Например, в 1704 г. И. Бернулли утверждал, что, поскольку применение
к дифференциалу
'adz
Ьа -2я
.подстановки
'+1 - ; •
преобразует его в так называемый логарифмический дифференциал
adt 2bt '
то применение к
• adz
мнимой подстановки
даст "дифференциал мнимого логарифм
Еще одна мнимая подстановка
1 -'-.
\г
"/--!/?"'
и помимо установленной только что
1зи между arctg - и о
Ln t = Ln
Ъ - 2 I//'.-Г
[ение:
И. Бернулли находит еще одно соотношу j
r_ , rf(arcsin6/r)= (- -
^К-дению фактов о мнимых ко-Подобные методы способствуют накопл.ы. Поэтому
понятно, что личествах, но не проясняют "их природьле- числа формально операкаждая
из попыток ввести комплексны?орой весьма- ожесточенным. тивным путем
приводила к спорам, пер о природе логарифмов от-В качестве примера упомянем
спорый начался, в 1712 г. между рицательных и мнимых величин, кото^ьицательных
чисел мнимыми, Лейбницем, считавшим логарифмы отричто они действительны. При и
И. Бернулли, настаивавшем на том, данный" им факт, что этом И. Бернулли опирался
на "доказал
даламбер и Эйлер.
В спор включились ряд ученых, в томпак в 1749 г. Эйлер открыл Однако он не утих
даже после того, к.кил убедительное для того многозначность логарифма и
предлож времени доказательство.
Эйлер исходил из уравнения
-'-о
т. е. в современной форме записи
fy.
JLY
/г ) '
13V,
2 К- А. Рыбников
Здесь, как мы уже упоминали, / - "бесконечно большое" число. Разрешая это
уравнение относительно у, Эйлер получил
т" е"
у = lux = i (xl - 1),
= In x = 1 im n (x n - 1).
Здесь х1 - корень с бесконечно большим показателем, Он беско-нечнозначен. Все
его значения различны; вообще говоря, они мнимые."Следовательно,-логарифм тоже
имеет бесконечное множество различных значений; которые отличаются на числа,
кратные 2я|/ -"i. В самом деле, •
Отсюда
•х ='а + Ь V- Г= р (cosф + V- fsin ф) =
= ес (cos ф + 'V- I sin ф).
+ (ф ± 2Ьс V- 1) ' (К = 0 , 1 , 2, 3, . . . ).
Одно из значений логарифма действительного положительного числа
будет /действительно, .остальные - мнимые. Значения логарифмов отрицательных
и мнимых чисел • - все мнимые.
Решающий толчок введению мнимых чисел в математический анализ- был дан тогда,
когда выяснилась их полезность в решении дифференциальных, уравнений
математической физики. .Это проявилось в сочинениях Даламбера (1752) и Эйлера
(1755) по гидродинамике. В этих работах были использованы результаты Эйлера
.(1734) и Клеро (1739), эквивалентные утверждению, что выражение -
'
Pdx + Qdy
является полным если
дифференциалом некоторой функции Ф (
дР
ду
дх
Даламбер решал задачу обтекания твердого тела жидкостью (однородной и без учета
веса). Обозначив pug - составляющие по осям скоростей частиц, протекающих через
точку М(х,. у), он нашел из сравнения их полных дифференциалов уравнения
дх
ду
dp___dq__ ^ Q
ду дх
которые интерпретируются как условия того, что pdx-\-qdy и pdy - q dx
полные дифференциалы. Эти уравнения были получены также
9 и л ером.
Теперь уже нетрудно определить пару сопряженных гармониях функций, являющихся
решениями системы уравнений Да46
тбера__Эйлера. Следовало лишь применить метод, предложеиЛа
Даламбером в случае уравнения колебания струны, Пусть
p dx + q dy - du,' p dy - q dx = dv.
Тогда
Отсюда
d (u + I7'-1 v) =-(p+ /-1(7) d (x + V- d (u - V- 1 v) = (p - 1/- 1 "7) d (x- V'yj.
y)
Сопряженные гармонические функции; как нетрудно теперь увидеть, представляют
действительную и мнимую части функции комплексного переменного.
Эйлер, получив аналогичный результат и не имея возможности дать ему подходящую
интерпретацию, выразил сопряженные гармонические функции в виде рядов по
однородным гармоническим полиномам/ представляя при этом комплексные .числа- как
в алгебраической, так и в тригонометрической форме,,
К середине XVIII в. в математическую практику вошли различные аспекты понимания
комплексного числа, как переменного, так и постоянного. Наибольшие заслуги в
этом принадлежат Эйлеру. Он же в серии монографий, посвященных общему построению
анализа ("Введение "в анализ бесконечно малых", тт. 1 - 2. "Дифференциальное
исчисление", "Интегральное исчисление", тт. 1 - 3), счел возможным включить в
общую систему и аналитические функции комплексного переменного. Во "Введении в
анализ бесконечно малых" (1748) Эйлер ввел комплексную переменную в качестве
наиболее общего понятия переменной величины, использовав комп-. лексные числа
при разложении функций на линейные сомножители. н ввел впервые формулы (приведем
их в привычной нам симво_
n - 1);
13V,
а также формулы связи между тригонометрическими и показательными функциями
cosy =
е+ь + i
slnv =
p+iv__e-iv
iv = cos v + i sin v.
Если-рассмотреть всю совокупность фактов, установленных Эйлером и его
современниками, то можно прийти к выводу, что основ-ные факты теории
элементарных функций комплексного переменного были в большей части уже выявлены,
Что касается дифференцирования и интегрирования, функций комплексного
переменного, то Эйлер, полагая
/ (х + iy) = и (х, у) + iv (х, у),
j
действовал, с ними, как с парами функций вещественного переменного. Кроме того,
в серии работ (1776-1783) он использовал комплексные числа при вычислении
интегралов. Не формулируя явно, он выделил класс аналитических функций
комплексного переменного, высказав относительно них принцип симметрии, состоящий
в том, что всякая функция-Z (г), где z=x+iy, имеет вид
а при г •==• х - iy
[Z(x-iy) = M-iN.
Если теперь рассмотреть интеграл
где
то
- iN)(dx - idy),
откуда
Как указывалось выше, условие, что подынтегральные выражения есть полные
дифференциалы, ведет к известным условиям Далам-бера - Эйлера
ду
_ дх ' -ду
дМ дх
В других случаях Эйлер использует
2 = u(cosq) + isinq").
Полагая здесь ф= const, он таким образом интегрирует вдоль луча, выходящего из
начала, координат.
Работа Эйлера "О лршхстявлшж*.^
плоскости" (.1777)- не только содержит идею, но и практически вво-ди^он^формное
отображение областей сферы на плоскость. Эйлер называл' эти отображения1^додв^^
Термин "конформный"
был впервые употреблен, по-видимому, петербургским академиком Ф.
Шубертом в 1789 г. Рассматривая долготу t и широту и сферической поверхности,
соответствующие декартовым координатам, х '.и у точек, плоскости, Эйлер вывел
общие условия конформного отображения в виде
dx_ = р du + г dt cos и ,
dy = г du - р dt cos и, откуда
dx + i dy = (р + if) № - i dt cos u)..
С помощью подстановки
это' преобразуется в
. dx + i dy = (р + ir} cos u dz.
Геометрически это соответствует: стереографической проекции сферы на плоскость
? = s(cost + t sin /),
преобразованию плоскости g посредством логарифма
е == ing = Ins + it,
зеркальному отражению в действительности оси z=e. Такое конформное отображение
сферы (без полюсов) на плоскость
называется проекцией Меркатора в картографии1. Поэтому
iy = 2Г (г) = 2Г (ins- ft), x-iy = 2Г (Ins + it),
^И- Маркушевич. Очерки по истории теории аналитических Гостехиздат, 1951,
стр. 33.
13 К- А, Рыбников 373
Г (z) - аналитическая функция при г действительном, откуда
с действительными значениями!
*=Г(1п/- it) + Г (Ins + it),
Таким образом; еще Эйлер сумел практически решить общую зада- 1 чуо конформном
отображении областей сферы на плоскость. '
Математическая литература XVIII в. в интересующем' нас
здесь плане представляет пестрое переплетение важных результатов,
проливающих свет на природу комплексных величин, не менее
важных приложений последних к гидродинамике, картографии и
I другим наукам, и обильных ошибок и неясностей в пользовании
I мнимыми объектами. Различные интерпретации комплексных чисел
\ еще не сформировались в единую концепцию, тем более это отно\Й1тея
к комплексным переменным. Однако все необходимые элементы
общей теории, охватывающей свойства функций комплексного
переменного, в основном сложились, наступила пора создания
этой теории. Эта пора совпала с наступлением XIX в.
Введение основных понятий теории функций комплексного переменного.
Очередной этап -истории теории. 'функций комплексного
v переменного был характерен введением уточненных определений
. / основных понятий. Прежде всего речь идет о появлении геометри\/
ческих интерпретаций понятия комплексного числа. Эти интерпретации
были первыми выделены в явном виде из массы накопленных
Фактов в качестве предмета специального систематического
изучения. В 1799 г, и в последующие годы появилась серия работ,
в которых 'были даны более или менее удобные интерпретации
комплексного числа и определены правила действий. Общим во
всех работах было введение плоскости, на которой комплексные
числа изображены либо в виде, точки, либо в виде направленного
отрезка.
Геометрическим представлением мнимых чисел и операций над ними владели К.
Вессель (в 1799 г.), Бюе и Арган (в 1806 г.), Гаусс, а вскоре и многие другие
ученые. Однако они сочетали этот вопрос с конкретными задачами в других областях
математики. Достаточно же общая теоретическая трактовка вопроса появилась
вначале у Гаусса, а затем в работах Коши.
Землемер по специальности, К. Вессел^ в работе "Об аналитическом представлении
направления" (1799) поставил задачу отыскать аналитическое выражение
длинн'Т^аправления отрезка на плоскости. Для этого он использовал комплексные
числа
г = х + У - 1 у = г (cos ф + V - 1 sin ф),
попутно выяснив их сущность и отношение к действительным чис374
для изображения которых достаточно одной прямой. На осях координат он ввел
единичные отрезки
+ 1, -1, +в(-1/=Л), -8,
обобщив затем этот прием добавлением третьей пространственной единичной
координаты ±TI. Числа изображены были векторами из начала координат, над ними
определены операции и решен ряд задач, вплоть до аналитического выражения
вращения,,
Написанная на датском языке, работа Весселя оставалась долгое время
незамеченной. Более широкую известность, впрочем тоже'не сразу, получили
вышедшие в 1806 г. работы Аргана и Бюе. В них была реализована та же идея
изображения мнимого
числа путем откладывания отрезка, перпендикулярного действи.....
тельной оси. Идеей изображения комплексного числа как элемента двухразмерного
пространства полностью владел Гаусс, в течение длительного времени не посвящая
ее изложению специальной работы, так как,, по его мнению, необходимо было
считаться
с убеждениями современников......Лишь в 1831 г.,.."он опубликовал
работу по теории б'иквадратичных вычетов, где, изложил теоретическое обоснование
и геометрическую "интерпретацию комп.....•
лексных чисел, дав им впервые это сохранившееся до наших дней название. Чтобы
лучше понять, сколь глубоко Гаусс проник в теорию комплексных чисел, достаточно
привести отрывок из письма Гаусса астроному и математику Бесселю (1811 г.;
опубликовано лишь в 1880 г.). В этом письме по поводу вводимого им интегральf
'die
ного логарифма li(x) = I -.......:~~ Гаусс писал: "Что нужно понимать
под.....fyx-dx для х=а + Ы? Очевидно, если хотят исходить из ясных
понятий, нужно принять, что к, отправляясь от значения, для которого интеграл
должен равняться нулю, посредством бесконечно малых приращений (каждое вида а +
Ы) переходит к x=a + bi, и тогда сложить все qx-dx.
Итак, смысл (интеграла) вполне установлен. Но переход можно осуществить
бесконечно многими способами: так же как совокупность всех действительных
величин можно мыслить в виде бесконечной прямой линии, так и совокупность всех
величин, действительных и мнимых, можно осмыслить посредством бесконечной
плоскости, каждая точка которой с абсциссой а и ординатой b будет представлять
величину а + Ы. Непрерывный переход от одного значения х к другому а + Ы
представляется тогда посредством линии и возможен бесконечным множеством
способов. Я утверждаю теперь, что интеграл fyx-dx при двух различных переходах
всегда сохраняет одно и то же значение, если внутри части плоскости, заключенной
между двумя линиями, представляющими переход, ср* нигде не обращается в
бесконечность. Это прекраснейшая теорема, нетрудное доказательство ко1Q*
13 375
торой я дам при удобном случае. Она связана с другими прекрасными истинами,
относящимися к разложению в ряды".
В этом отрывке содержится многое: отчетливая интерпретация мнимых чисел,
определение интеграла в комплексной плоскости,
интегральная теорема (известная теперь как теорема Коши), разложимость
аналитический функции в степенной ряд. Е" этом же
письме Гаусс рассмотрел \ — и его значение в точке х = 0. При
обходах вокруг этой точки к первообразной. y=logx будут добавляться постоянные
слагаемые ±2ш.
Выяснение смысла интегрирования на комплексной плоскости имело особенно большое
значение потому, что использование комплексных переменных при вычислениитрудных
определенных интегралов оказывало, по-видимому, наибольшее в то время
влияние на развитие теории функций комплексного переменного. Лаплас (1.749-1827)
в серии работ 1782-1812 гг. неоднократно прибегал к помощи мнимых при
интегрировании функций, Он развивал метод решения линейных уравнений, разностных
и дифференциаль-.ных,' известный под названием преобразования Лапласа:
неизвестная функция y(s) заменяется интегралом вида fq".(x)xsdx, или
f"p(x)er*xdx, где ф(я)-новая неизвестная функция. Это преобразование
переводит, как мы теперь говорим, функцию-оригинал f (0 " 0 " * " °° в
функцию
F(p)== tf(t)er*dt о
"комплексного переменного p = a+it. Необходимые преобразования (замена
переменной при интегрировании,- интегрирование по направлениям:, отличным от
действительной, оси) Лаплас еще рассматривает как "орудия открытия", удобный
метод, подобный своеобразной индукции. Его действительное значение, конечно,
больше: с помощью преобразования Лапласа и аналогичных методов эффективно
решаются многие задачи электротехники, гидродинамики, механики,
теплопроводности, так как при этом в соответствующих линейных дифференциальных
уравнениях с частными производными число переменных сокращается. Особенно широко
оно применяется в операционном исчислении.
Результаты Лапласа и других ученых, занимавшихся аналогичными проблемами,
получаются, таким образом, при изучении свойств стеленных рядов с помощью
перехода от вещественных членов ряда к комплексным. Интегрирования в комплексной
области, пожалуй, еще нет; интегрируются мнимые функции по вещественному
аргументу. Новая идея в этом направлении была высказана Пуассоном (около 1820
г.): выбирать пути изменения переменной между вещественными пределами по
последовательности комплексных значений. Целью этого являлось преодоление
затруд376
о ^вязанных с несобственностью интегралов из-за обращения НоНьштегральной
функции в бесконечность. По выражению Пуассона,
"не является суммой дифференциалов", так как
: 00.
Но если ввести подстановку
х = - eiz = - (cos 2 + i sin z)
и интегрировать no z от 0 до (2я+1)я, то интеграл окажется равным - \2п+ 1 )ni.
Таким же способом
Г А,
J *т
[ cos (ш - 1 ) (2п + i ) я - 1 1 .
"
Под давлением практических задач затруднения,, связанные с применением
комплексных, переменных, были в основном преодолены рядом ученых. Назрела,
необходимость в систематической разработке теории функций комплексного
переменного и ее связей с остальными частями анализа бесконечно малых,
Выполнение этой задачи выпало в значительной части на долю Коши.
В "Алгебраическом анализе" и "Резюме лекций по дифференциальному и интегральному
исчислению" Коши, как известно, стремился построить цельную и строгую систему
анализа бесконечна малых. В этой его системе нашли отражение усилия по
систематизации фактов, относящихся к использованию в анализе комплексных чисел и
переменных количеств. Принципиально нового по сравнению с предшественниками и
современниками лекции Коши в этой области не содержат. Комплексное переменное
здесь в основном еще только вспомогательное средство для решения трудных задач
интегрального исчисления; при введении операций велик элемент аналогии.
Однако сама попытка построения системы анализа, естествен-но, вынудила Коши к
разъяснению смысла основных понятий и операций с мнимыми. Первые существенные
результаты Коши опубликовал в 1825 г. в двух работах: "Мемуар о теории
определенных интегралов" и "Мемуар об определенных интегралах, взятых между
мнимыми пределами". Первый из них был написан еще в 1814 г. В нем и цель еще
осталась прежняя: применить мнимые величины. к вычислению определенных
интегралов. Исходный пункт 1\оши - соотношение
X У
У X
J
t, y)dxdyy
XQ Уо
известное еще от Эйлера (1769). Затем Коши выбирает две Функции S и V,
удовлетворяющие уравнениям Даламбера - Эйлера?
Этому требованию удовлетворяет, как известно, действительная и
мнимая часть аналитического выражения
Подставив в правую и левую части исходного соотношения вместо f(x" У)
соответственно правые и левые части уравнения: Даламбера - Эйлера, Коши получил:
X У
У X
У о XQ
0 XQ
откуда
х
х
, Y)-V(x,
, Y)-S(x,
, y)-S(x0, y)dy;
, y)-V(x0, y)]dy.
XQ
I/O
Лишь незадолго до опубликования Коши догадался свести эти две формулы в одну,
чтобы получить соотношение относительно функции комплексного переменного. Первое
из соотношений он умножил на / и сложил со вторым соотношением. Получилось:
х
\F(x + iY)dx -
XQ
Уо
или
iy)idy
iy0) dx = + iy) idy,
-iY)dx =
XQ
= J F (x + iy0
iy) idy,
является интегральной теоремой Коши для интегрирования по прямоугольному
контуру:
ADC
F(z)dz = J F(z)dz.
ABC
При этом Коши, независимо от Гаусса, указал на необходимость требования, чтобы
f(x, #)=?*= "*" на сторонах прямоугольника и внутри
его.
Во втором из упомянутых выше мемуаров .Коши выясняет
j f(z)dz (рис. 55). Чтобы соблюсти
смысл интеграла
аналогию с интегралами от функции действительного переменного и иметь
возможность трактовать заданный интеграл как л редел интегральной суммы, Коши
указал, что следует установить для z=x+iy • соотношения:
х == х (t), у = y(t).
Эти функции должны быть монотонны и непрерывны в области tQ^t
и удовлетворять
условиям:
Иначе говоря, исследуемый интеграл Коши заменил интегралом вдоль некоторой
кривой, соединяющей на комплексной плоскости точки (*"", у0) и (Xt Y). С учетом
уравнений кривой -x=x(t), y - y(t) придем к интегралу
Рис. 55
следует Формулировка интегральной теоремы: если ЧНа И непРеРывна в
прямоугольнике х^х^Х и Т° значение интеграла не зависит от пути интегрирова-ее
доказательства Коши привлек методы вариационного
исчисления. Именно он заменил x(t) и y(t) на близкие значения x(t)+su(t),
y(t)+&v(t) вычислил вариацию интеграла и установил, что она равна нулю.
Современный вид доказательство интегральной теоремы получило в 1883 г. у Фалька
и в 1884 г. у Гурса. Совершенно естественный переход к анализу случаев, когда
f(z) обращается в бесконечность внутри или на. границе прямоугольника, привел
Коши к необходимости ввести понятие вычета. Еще в мемуаре 1814 г? он пришел к
нему, ' отыскивая разность между двумя интегралами с общими пределами, но
взятыми по разным путям, между которыми оказываются полюсы функции. В 18,263 г.
появляется и самый термин: вычет, который Коши вводит следующим образом: "Если,
после того как найдены значения х, обращающие/(я) в бесконечность, прибавить к
одному из этих значений, обозначаемому через х\, бесконечно малое количество е и
далее разложить \f(xi + &) по возрастающим степеням того же количества, то
первые члены разложения будут содержать отрицательные степени е и один из них
будет произведением - на конечный
коэффициент, который мы назовем вычетом функции относящимся к частному
значению х\ переменной х". Сумма таких вычетов называлась у Коши интегральным
вычетом.
В большом числе (16) работ Коши создал теорию вычетов. В основном эта
теория'оформилась, в 1826-1829 -гг., но Коши продолжал ее
развиватек1ГБ"гШследующие годы, отыскивая новые и новые приложения этой теории к
решению различных задач интегрального исчисления (преимущественно к вычислению
определенных интегралов), алгебраических, трансцендентных и дифференциальных
(речь идет о системах линейных уравнений с постоянными коэффициентами)
уравнений, теории разложения функций в ряды и математической физики. Интересно,
что при этом Коши настойчиво подчеркивал наличие идеи о вычетах у Эйлера, и не
отстаивал свой приоритет.
В работах Коши впервые появилась интегральная формула - весьма важная для
последующего развития теории функций комплексного переменного и ее приложений.
Она была введена в серии-работ Коши, посвященных разложению аналитических
функций в ряды. В наиболее явной форме она впервые появилась в мемуаре. "О
небесной механике и о новом исчислении, называемом исчислением пределов" (1831).
Вначале интегральная формула Коши была получена как условие разложения функции в
ряд. Отметив, что
4-я +я
J" en&dp= Г ern#dp,
а при л =
2я,
Коши рассмотрел сначала полином f(x) = а0 + 0i* + а
= *0р/, и получил
Ч-я
где
Эта формула верна и для любой (по словам Коши) функции.
конечной и непрерывной" при удовлетворении условия
Если /(0) = 0, то очевидно
dp
Подставив в эту формулу вместо /(х) выражение
х - х
где \х\" х\, Коши получил
-+-Я
'
Следовательно ,
-я • --я
х dp =:
Если использовать имеющееся у Коши соотношение
, __ dx
то можно получить интегральную формулу в современной форме
W~ "bJj х-х
с
Но упомянутое выражение для dp имеет место лишь если модуль х постоянен. Таким
образом, контур интеграции здесь - окружность. Результат получился у Коши еще
недостаточно общий. В на381
Б. Риман (1826-1866)
стоящее время известно, что теорема справедлива для любой взятой в качестве
контура замкнутой спрямляемой жордановой кривой.
В других мемуарах Коши рассматривал применения этой теоремы к теории сходимости
рядов, для вывода остаточного члена
Тейлора и оперирования с рядами. Вслед за Коши многие матики XIX и XX вв.
посвящали свои работы его интегральной теоеме. Последняя
2ju
IK известно, дает выражение f(z) для г любого, находящегося в области
аналитичности функции, через ее значение на контуре С. Широкая применимость
интеграла Коши в теории специальных функций, аналитической теории
дифференциальных уравнений, аналитической теории чисел, теоретической физике,
различных областях механики, определила в последующем его актуальность,
сохранившуюся до наших дней,
Наряду с мемуарами Коши и вслед за ними появилось много работ по теории функций
комплексного переменного. Их трудно перечислить, тем более охарактеризовать.
Здесь мы упомянем прежде всего замечательную работу Абеля "Исследования ряда
1 I т I т (т- 1) 2 !
1 + - Х+ -2 *-+...,
где т и х - любые комплексные числа", содержащую вывод двух замечательных
теорем" Первая теорема: если ряд f(a)=VQ + v\a +
+ U2a2 + ......сходится для некоторого а=ао, то он сходится для а,
меньшего ао по модулю (понятие модуля у Абеля еще отсутствует, что утяжеляет
язык изложения). Вторая теорема: f(a-ijJ)-"/(a), если -р-й), a^.ao, т. е. сумма
сходящегося степенного ряда есть непрерывная функция аргумента. Здесь же Абель
отметил ошибку Коши, утверждавшего, что сумма сходящегося ряда непрерывных
функций непрерывна. Общий же вклад Абеля в теорию функций, в которой он заложил
основы теории алгебраических функций и (одновременно с Якоби) теории
эллиптических функций, настолько значителен, что заслуживает специального
исследования.
40-е годы XIX в. отмечены в истории теории функций комплексного переменного"
крупнейшими открытиями, по существу завершившими период ее формирования. В 1843
г. Лоран нашел РЯД
+оо
2 **"*-•
носящий ныне его имя. В эти ще годы Л иувилль применил теорию Коши к теории
эллиптических функций. Среди доказанных им теорем имеется, например, такая: если
аналитическая функция f(x) Ff ч ^fe^ комплексной плоскости ограничена по модулю,
то / W=const. Пюизё разработал теорию алгебраических функций и осуществил
разложение многозначных алгебраических функций по дробным степеням. Характер
новых открытий и их уровень делались уже весьма близкими к современным.
V V
Одним из признаков того, что теория уже сформировалась, является появление
монографий, содержащих ее систематическое изложение в стиле, близком к
аксиоматическому, и имеющих также учебные цели. В теории функций комплексного
переменного этс момент наступил в середине XIX в. Профессор Петербургского ун*
верситета И" И. Сомов в 1850 г" опубликовал "Основания теори! эллиптических
функций", Через шесть лет, в 1856 г., Врио и Бук| издали небольшой мемуар
"Исследование функций мнимого перс менного", являющийся по существу первым
учебным пособие" С 1861 г. в Берлинском университете начались курсы лекций
Вейерштрасса по теории аналитических функций.
Создание геометрической теории функций комплексного переменного. В 40-х годах
прошлого века, одновременно с завершением формирования основ теории
аналитических функций, в эту теорию были внесены новые идеи, существенно
изменяющие ее состав, характер и цели. Большая группа идей вошла с работами Б.
Римана (1826-1866).
Исследования Римана в области теории функций комплексного переменного характерны
наличием широких аналогий, связавших эту теорию со многими другими областями
математики. Тем самым была в значительной мере преодолена изолированность
представлений о функциях комплексных переменных. Одновременно в рамках самой
этой теории сформировались новые отделы, тесно связанные с другими
дисциплинами,. Основные результаты Римана содержатся в его диссертации "Основы
общей теории функций комплексного переменного" (1851) и в "Теории а бе левых
функций" (1857). .Известно, что аналитическая функция w = u + iv "от
комплексного аргумента z = x + iy удовлетворяет (помимо ставших само собой
разумеющимися требований дифференцируемости по совокупности действительных
переменных, и непрерывных) уравнениям Даламбера - Эйлера:
ди дх
OV
ду
ду дх
Отсюда, очевидно, следуют условия Аи = 0, Av=0
дх*
Во времена Римана появилось много интерпретаций этого замечательного факта.
Гельмгольц трактовал и как потенциал скорости движения несжимаемой жидкости в
плоскости (к, у); при этом v была функцией тока. В электротехнике, когда речь
шла о стационарном течении тока, Кирхгоф вводил функцию и и называл ее
электростатическим потенциалом. Ом определял ее как напряжение, а Фурье
интерпретировал и как температуру в решении задачи о стационарном движении
тепла. Наконец, у Гаусса отмеченный
сЬакт трактовался как условие, что значение
dw _ d(u-\-iv) dz
зависит лишь от точки х+гу9 а не от направления dx+idy, т. е. отображение
плоскости (х, у) на плоскость (и, v) есть конформное отображение.
Риман также исходил из того, что действительная, и мнимая части функции
удовлетворяют уравнениям Лапласа:
Да = 0, Аи = О,
т. е. являются гармоническими. Если известна функция и, то сопряженная функция v
определяется с точностью до аддитивного постоянного:
да
Г
= \ J
j ,
------- - dx
ду
dy
Риман решил, что создаются условия для переноса идей математической физики в
теорию" функций. К тому же методы решения уравнения Лапласа, были к тому времени
достаточно хорошо разработаны. Соответствующая краевая задача, называемая
проблемой Дирихле,, формулируется так: найти значения функции в точках области
по ее значениям и на границе области. Решения задачи Дирихле для ряда
специальных случаев были разработаны Гауссом (1813 и 1840 гг.), Грином. (1828),
Кирхгофом, Дирихле и др. В этих исследованиях, позднее выкристаллизовывалась
теорема существования: если на границе односвязной области G задана непрерывная,
функция и(х, у), то существует аналитическая внутри области G функция. f = u +
iv, действительная часть которой непрерывно приближается к заданным граничным
значениям.
Риман в этом круге задач исследовал проблему: в какой мере аналитические функции
определяются по краевым условиям. Быстро выяснилось в то время, что в случае
конечной области, ограниченной единственной замкнутой кривой, для определения
функции w = u + iv от z=x + iy достаточно задать граничное распределение
значений и и значение v в одной точке области. Можно, наоборот, задать граничное
распределение v и значение и в точке; можно, наконец, задать в каждой точке
контура соотношение ср(м, v) или для каждой пары граничных точек два
соотношения, связывающие значения и и v в этих точках.
Во всех рассуждениях Риман опирался на так называемый принцип Дирихле: среди
всех возможных функций, имеющих одинаковые граничные распределения в области G,
та функция, которая доставляет
будет гармонической в заданной области. Это предложение Риман узнал, повидимому,
из лекций Дирихле. Однако оно было известно также Гауссу, Томсону,
Кирхгофу в связи с решением задач математической физики (теория потенциала). Ему
был придан вполне определенный физический смысл: интеграл / выражает
кинетическую энергию установившегося течения однородной несжимаемом жидкости,
г/се и "- потенциал скоростей.
Пусть, например, задан двумерный случай: интеграл
Мди V i / ди i^+
определен для площади круга, ' причем задано непрерывное граничное распределение
и. Этот интеграл неотрицателен. Тогда су-"
ществует, по мнению Римана, неотрицательная нижняя грань значений
.интеграла, которая достигается. Тем самым утверждается существование
функции и с заданным граничным распределением; сообщающей минимум данному
интегралу. Для этой функции:
откуда как необходимое условие вытекает
, д*и
Аи =
дх*
ду*
= 0.
Рис. 56
Однако Риман не смог дать доказательство существования функции и, обращающей
интеграл / в минимум. Более того, Вейерштрасс,
узнав о вышеуказанных рассуждениях Римана, привел пример множества
допустимых (непрерывных, дифференцируемых, принимающих на границе заданные
значения) функций, не включающего в себя функцию, соответствующую нижней
грани. Таково, например, множество всех кривых с непрерывной кривизной,
соединяющих точки Л, С, В. Кратчайшей линией является ломаная ABC, не входящая в
рассматриваемое множество, так как непрерывность кривизны нарушается в точке С.
(см. рис. 56).
Римановы теоремы существования, возникшие из физических аналогий, сделавшись
объектом споров, надолго повисли в воздухе. Они были доказаны Шварцем (1870) и
Нейманом (1884) иными путями, а обоснованность суждений Римана удалось доказать
лишь Д. Гильберту (1901-1909), применившему для этой цели прямые методы
вариационного исчисления. В более общей форме этот вопрос был исследован Р.
Курантом и Г. Вейлем.
Другая группа аналогий, введенных Риманом, имеет своим исходным пунктом
геометрическую интерпретацию комплексных
чисел и функций комплексного переменного. К тому времени уже было известно, что
аналитические функции комплексного переменного определяют конформное отображение
одной плоскости на другую, причем не обязательно взаимно однозначное. С этим
пересекается представление об аналитической функции, получающейся из начального
элемента непрерывными продолжениями, определяемыми уравнениями Даламбера-Эйлера"
Возможное разнообразие продолжений, а также стремление преодолеть
неоднозначность конфсфмных отображений, по-видимому, привели Римана к идее.
специальных поверхностей, в необходимых случаях многолистных; за этими
поверхностями укрепилось и до сих пор существует название римановых.
Факты теории функций комплексного переменного, будучи распространены на римановы
поверхности, приобретают большую общность. Кроме того, Риман установил связь
между обоими типами аналогий, использовав физическую интерпретацию для получения
теорем существования для функций на замкнутых многолистных римановых
поверхностях., Эти поверхности рассматриваются как однородные проводники. При
подключении к ним батареи возникает поле, потенциал которого и однозначен,
непрерывен и удовлетворяет уравнению Ди = 0 на всей поверхности. Точки
подсоединения 'батареи являются точками разрыва функции и, которая ведет себя в
этих точках как hifi и 1пг2 соответственно. Так получается теорема
существования: на всякой замкнутой римановой поверхности существует
потенциальная функция и, всюду непрерывная, кроме двух заранее выбранных точек,
где и делается логарифмически бесконечной. Мнимая, часть v на данной римановой
поверхности находится после 'соответствующих разрезов, обеспечивающих
однозначность ветвей функции u + iv, что приводит к необходимости подсчета
модулей, периодичности.
Тот цикл работ Римана, который мы здесь рассматриваем, по-, ложил начало большой
и важной области современной теории функций, известной ныне под объединяющим
названием - геометрической. В этих работах содержится глубоко разработанная
теория конформных отображений, в том числе основная теорема о существовании и
единственности (при подходящих условиях) конформного отображения на круг
произвольной односвязной области (граница которой содержит более одной точки).
В этих работах содержится ряд топологических по существу результатов, вроде
теоремы, что число разрезов поверхности, необходимых для превращения ее в
односвязную, не зависит от выбора системы разрезов. Через несколько десятков
лет, на рубеже XIX и XX вв., топологические идеи Римана, не получившие у своего
автора достаточно строгого оформления, влились в формирующуюся топологию.
Риману принадлежит другая замечательная идея. Речь идет о применении функции
комплексного переменного
(широко теперь известной как дзета-функция Римана) к определению количества
простых чисел на заданном отрезке натурального ряда. Вместе с исследованиями
Чебышева результаты" полученные здесь Риманом, положили начало аналитической
теории чисел. .Гипотезы Римана о свойствах дзета-функции, в особенности
гипотеза,
что все ее нетривиальные нули лежат на прямой х= + •-, несмотА
ря на огромные усилия, остались до сих пор недоказанными.
Наконец, мы не можем не обратить внимание читателей еще на один цикл работ
Римана, идейно близких к его геометрической теории функций комплексного
переменного, Речь идет об исследованиях различных классов функций,
удовлетворяющих линейным дифференциальным уравнениям с алгебраическими
коэффициентами. Рассматривается семейство функций
У =
Функции yi(i=l9 2, ..., п)-аналитические во всей комплексной
плоскости, за исключением конечного числа точек я?-'(/=1, 2, ....., k).
При обходе около этих точек заданные функции подвергаются линейному
преобразованию, тоже определенному для каждой точки. Затем рассматривается
совокупность всевозможных замкнутых путей, не проходящих через точки a,j. Ей
соответствует множество линейных' преобразований- заданного семейства функций —
его группа монодромии. Задача состоит в том, чтобы построить дифференциальное
уравнение, решениями которого были бы все. функции заданного семейства.
Эти исследования Римана, хотя также незавершенные (их сумел завершить лишь в XX
в. Д. Гильберт), дают основание считать его одним из основателей аналитической
теории дифференциальных уравнений. Других идей и работ Римана мы здесь не сможем
коснуться, чтобы не отойти слишком далеко от основного замысла настоящей главы.
Геометрическая теория функций комплексного переменного получила быстрое развитие
вскоре после безвременной смерти Римана. Уже к концу 60-х годов прошлого века
появилось большое количество работ, авторы которых разрабатывали отдельные
аспекты теории функций комплексного переменного, отправляясь от идей Римана. В
связи с этим возникла необходимость возможно более полного изучения научного
наследия Римана и издания его сочинений. Так, в 1876 г. Г. Вебер и Р. Дедекинд
издали собрание его сочинений. В 1902 г. появились важные добавления к этому
собранию сочинений, подготовленные В. Виртингером и М. Нете388
К. Вейерштрасс (1815--1897)
ром. На русском языке том сочинений Римана вышел в свет в 1948 г. Он был
подготовлен В. Л. Гончаровым. К его содержательному обзору научных работ Р.имана
и комментариям мы отсылаем читателя.
Аналитическое направление развития теории функций комплексного переменного.
Другое направление развития теории функций комплексного переменного в XIX в., за
которым закрепилось в истории название "аналитическое", сформировалось в работах
К. Вейерштрасса (1815-1897). В сферу научных интересов последнего входили
преимущественно проблемы математического анализа: его классических основ, теории
функций комплексного переменного, вариационного исчисления, дифференциальной
геометрии. Для этой широкой области К. Вейерштрасс всю жизнь разрабатывал
систему логического обоснования, опирающуюся на строгую теорию действительного
числа как среды, в которой функционируют все основные понятия и методы. Именно в
его лекциях был
построен в основном современный стандарт строгости в математи-, ческом анализе и
ставшая традиционной структура.
Те же цели строгого и систематического построения преследовал К. • Вейерштрасс,
создавая последовательно и настойчиво теорию функций. Уже в 1841 г. он сумел
обобщить теорему Коши •о разложении в степенной ряд функции комплексного
переменного, непрерывной и дифференцируемой в кольце, образованном двумя
концентрическими окружностями. Искомый ряд содержал члены с положительными и
отрицательными степенями и ;был по существу рядом Лорана. Последний, как было
отмечено.выше, отыскал этот. ряд в 1843 г., и историческая традиция сохранила за
этим рядом его имя. Результаты же К, Вейерштрасса, долго, не попадавшие в
печать, были известны меньше. Они распространялись преимущественно слушателями
его лекций,, Около 1842 г. К. Вейерштрасс овладел идеей аналитического
продолжения.
Однако в эти годы главные интересы К. Вейерштрасса cocpjs-" •доточивались на
изучении конкретных классов функций: эллиптических, гиперэллиптических и
абёлевых и сопредельных с ними вопросов. Общие концепции в теории функции
комплексного переменного начали вырабатываться в лекциях, которые К. Вейерштрасс
в течение долгих лет читал.в Берлинском университете. Помимо лекций об
эллиптических функциях, их -приложениях к геометрическим и механическим задачам
об абёлевых функциях и вариационном исчислении начинают появляться его курсы по
теории аналитических функций. С 1856 г. К. Вейерштрасс читал лекции о
представлении функций сходящимися .рядами, а с 1861 г.- об общей теории функций.
Наконец, появились специальные сочинения К. Вейерштрасса: "К теории однозначных,
аналитических функций" (1876) и "К учению о функциях" (1880), в которых его
теория аналитических, функций приобрела известную завершенность,
В основе теории К, Вейерштрасса лежит понятие степенного ряда. Для него
определяется круг сходимости и вводится определение равномерной сходимости.
Далее рассматриваются лишь равномерно сходящиеся ряды. Относительно них
последовательно доказан ряд теорем; в частности, доказывается, что если ряд
сходится равномерно в окрестности каждой точки, лежащей внутри или на границе
данной области, то он сходится равномерно во всей области.
Вейерштрасс вводит понятие элемента функции
= fk(x).
Для этого в области сходимости ряда он выбирает точку а0. В ее окрестности как
функции fk(x), так и F(x), выражаются степенным рядом
который и получил у Вейерштрасса название элемента функции F(x).
Пусть затем точка а\ лежит в окрестности а0 и Р\(х-а\) -----соответствующий
элемент функции F(x). Для тех х, которые лежат как в окрестности a0l" так и в
окрестности аь имеет место
Pi (X - fli) =
где
.Если-а -произвольная точка в области сходимости, то между а0
и а можно вставить последовательность точек: at из окрестности а0, а2 - из
окрестности а\ и т. д. вплоть до ап, попадающей уже в-окрестность а.
Для'Соответствующих элементов функции F(x) имеют место: •
р,=0
Таков же алгоритм образования по произвольному элементу в области сходимости
всякого другого элемента F(x) в той же области. Может случиться, что область
сходимости ряда Р(х-а) будет выходить из первоначальной. Тогда из PQ(X-a0),
применяя указанный алгоритм, можно образовать множество рядов, область
сходимости которых выходит за пределы первоначальной. Так строится полная
аналитическая функция F(x), как совокупность всех продолжений какого-либо
элемента. Затем проводятся исследования: особых точек на границах круга
сходимости, однозначности и многозначности функций, поведения целой функции в
беско-.нечности, разложения функции в произведение и других конкретных вопросов
теории. Аппарат отличается единообразием; это - степенные ряды, операции с ними,
оценки, зачастую весьма тонкие.
Вслед за работами К. Вейерштрасса, в течение последней четверти XIX в.,
появилось большое количество работ по аналитической теории функций комплексного
переменного. Среди них видно" место занимают работы учеников Вейерштрасса - С.
В. Ковале: ской и Миттаг-Леффлера, а также Ш. Эрмита, Э. Пикара, Э" Ла' герра,
А. Пуанкаре и др. Лекции Вейерштрасса послужили на много лет прообразом
учебников по теории функций комплексного переменного, которые начали появляться
с тех лор довольно часто.
Превращение теории функций комплексного переменного в комплекс аналитических,
дисциплин. В конце XIX в. теория функций комплексного переменного чрезвычайно
разветвилась, превратившись в обширный комплекс дисциплин. В нее теперь входит
геометрическая теория функций, основанная на теории конформных отображений и
римановых поверхностей. Получили цельную форму теории различных видов функций;
целых и мероморфных, эллиптических и модулярных, автоморфных, гармонических,
алгебраических. В тесной связи с последним классом функций развилась теория
абелевых интегралов. К этому комплексу примыкала создающаяся аналитическая
теория дифференциальных уравнений и аналитическая теория чисел. Теория
аналитических функций установила и укрепила связи с другими математическими
дисциплинами.
Изменился за это время и характер научных исследований в области теории функций
комплексного (переменного. Вначале, как было показано выше, большинство этих
исследований проводилось в плане развития одного из трех направлений: теории
моногенных или дифференцируемых функций Коши, геометрических и физических идей
Римана, аналитического направления Вейерштрасса. Лишь постепенно различия и
связанные с ними споры преодолеваются,, На рубеже XX в. появляется и быстро
растет число работ, в которых осуществляется синтез, казалось бы разнородных,
идей и методов. Создается единая, общая концепция теории функций комплексного
переменного, находящая свое выражение в структуре монографий, учебников и в
характере методов исследования. Одним из основных понятий, на котором явно
обнаружились связь и соответствие геометрических представлений и аппарата
степенных рядов, было понятие аналитического продолжения. Из многочисленных
примеров, которые можно было бы привести в подтверждение этого тезиса, наиболее
ярким является работа Адамара - "Ряд Тейлора и его аналитическое продолжение"
(1901). В ряде работ Пуанкаре, Клейна и Кебе была показана связь геометрии
Лобачевского с римановыми поверхностями и значение неевклидовой геометрии в
изучении этих поверхностей и свойств связанных с ними аналитических функций.
Ф. Клейн развил физические интерпретации функций комплексного переменного в
работе "О римановой теории алгебраиче-* ских функций и их интегралах" (1881).
Огромную роль в истории аналитических функций сыграли труды Н. Е.
Жуковского и
С. А. Чаплыгина, открывшие необозримую область ее приложений в аэро- и
гидромеханике. Аналитическая теория дифференциальных уравнений явилась
своеобразным поставщиком различных специальных функций, разрабатываемых
средствами теории аналитических функций: модулярные функции Эрмита, автоморфныеКлейна
и Пуанкаре, функции Шварца и т. д. При построении аналитической теории
дифференциальных уравнений широко использовались материалы из разных областей
теории аналитических функций. Так [поступал, например, Фукс -ученик
Вейерштрасса.
В теорию аналитических функций в качестве элементов-единой основы был внесен ряд
понятий из теории множеств Кантора, из теории функций действительного
переменного (К. Жордан, Э. Бо-рель, А" Лебег, Т. Стильтьес, Р. Бэр), теории
групп и топологии., Совокупность основных понятий, таких, как область, ее
граница, предел,- связность, сходимость, аналитичность, непрерывность и др.,'
подверглась глубокому логическому анализу и уточнению,, что укрепляло единство
воззрений на все вопросы теории,,
Общая теория функций комплексного переменного проникла и в педагогическую
практику, породив два типа учебников: а) книги, специально посвященные этому
вопросу; б) общие курсы математического анализа, куда эта теория входит как
составная часть. Учебники второго типа к началу XX в., по-видимому,
преобладали,. Примером могут служить курсы Бертрана, Пикара и, наконец, Гурса,
который в "Курс математического анализа" (1902) включил теорию аналитических,
функций (второй том, первая часть).
Позднее, с расширением учебных программ в части, относящейся к рассматриваемой
теории, оба типа учебной литературы получили равные права и применяются в
зависимости от общих задач данного учебного заведения.
7.6. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ
Геометрические науки к началу XIX в. Геометрия к началу XIX в. представляла уже
большой комплекс дисциплин, выросших из анализа и обобщения данных о
пространственных формах тел, использующих методы других областей математики и в
силу этого тесно переплетенных с ними. Помимо элементарных частей в геометрию
входили почти все те части, которые и ныне составляют структуру ее высших
областей, развитие которых является актуальной задачей современной математики.
Аналитическая геометрия, возникшая еще в XVII в., завершила большой путь
развития и определила свое место как часть геометрии, изучающая фигуры и
преобразования, задаваемые алгебраическими уравнениями с помощью координатного
метода и использующая методы алгебры. Помимо ее учебной и прикладной роли в ней
самой наметились тенденции развития, состоящие в усовершенствовании и обобщении
координатного метода, а также в усилении аналитичности при исследовании
геометрических образов,
14 К. А. Рыбников 393
что особенно важно для приложений. Первая из этих тенденций нашла, как известно,
воплощение во введении различных избыточных координат. Мы имеем в виду
однородные координаты, представляющие отношения двух переменных к третьей,
проективные, т. е. линейные, комбинации однородных координат, введенные Г. Дарбу
тетрациклические и пентасферические координаты и др. Вторая из тенденций привела
к включению в аналитическую геометрию векторных методов.
Дифференциальная геометрия заняла, как было показано, видное место в геометрии к
концу XVIII в. Характерное для этой части геометрии использование понятий и
методов дифференциального исчисления обусловило прочные и далеко идущие связи ее
с математическим анализом и с многочисленными прикладными задачами. В начале XIX
в. для дифференциальной геометрии раскрылись новые возможности развития,
благодаря введению Гауссом (1824) внутренней геометрии поверхностей. В процессе
создания общей теории поверхностей дифференциальная геометрия приобрела новые
связи, преимущественно с неевклидовыми, геометриями.
Казалось бы, приостановившиеся в своем развитии со времен Дезарга и Паскаля
методы изучения свойств фигур, инвариантных относительно проектирования, в 20-х
годах XIX в. сформировались в работах Ж. Понселе и др. в новую область геометрии
- проективную геометрию" Выделение, проективных свойств фигур в отдельный класс
и установление соответствий между метрическими и проективными свойствами явились
предметом многих исследований, осуществлявшихся как синтетическими методами
(Штейнер, Шаль, Штаудт и др.), так и аналитическими (Мёбиус, Штуди, Картан и
др.). В систему современной геометрии проективная геометрия вошла как часть,,
обладающая высокой общностью, могущая включить в единую систему многие
геометрические теории. Такому положению проективная геометрия,обязана влиянию
геометрии Лобачевского и последующих исследований А. Кэли и Ф. Клейна.
Изменения, внесенные в геометрию со стороны указанных ее областей, весьма
значительны. Однако коренная перестройка всего содержания геометрии и ее
структуры определялась не этими изменениями. Принципиально новое содержание было
внесено в нее геометрией Лобачевского. Поэтому мы в основном и посвятим
дальнейшее изложение истории открытия геометрии Лобачевского *и вообще
неевклидовых геометрий, а также их влиянию на формирование современной
геометрии.
Открытие геометрии Лобачевского и ее некоторые характерные особенности.
Создатель неевклидовой геометрии Николай Иванович Лобачевский (1792-1856)
родился в Нижнем Новгороде (ныне г. Горький) в семье бедного чиновника. Он
окончил Казанский университет (1811) и работал в нем много лет. Вскоре (с 1816
г.) он был уже профессором, а еще через несколько лет--ректором (с 1827 до 1846
г.) этого университета. Благодаря его
H. И. Лобачевский (1792-1856)
усилиям Казанский университет превратился в первоклассное учебное заведение.
Много сил Н. И. Лобачевский потратил на улучшение деятельности школ.
Мировоззрение Лобачевского было материалистическим. Во взглядах на основные
понятия математики, в частности геометрии, он твердо подчеркивал их материальное
происхождение, рассматривая их как отражения реально существующих отношений
вещей Действительного мира. Математические абстракции не могут рождаться по
произволу, они появляются как результат взаимоотношений человека с материальным
миром. Научное познание имеет
14*
единственную цель: изучение реального мира. Критерием истинности научного
познания является, по Лобачевскому, практика, опыт.
Лобачевский не был специалистом в узкой области математики. Его научное наследие
включает в себя серьезные работы по алгебре ("Алгебра или вычисление конечных",
1834 и др.) и математическому анализу ("Об исчезновении тригонометрических
строк", 1834; "О сходимости бесконечных рядов", 1841; "О значении некоторых
определенных интегралов", 1852 и др.). Он первый ввел различие между
непрерывностью и дифференцируемостью функций, нашел метод численного решения
алгебраических уравнений, известный под его именем, и др. Однако наивысшую,
можно сказать бессмертную, славу Лобачевский заслужил своими работами по
геометрии.
Отправным пунктом исследований Лобачевского по неевкли-; довой геометрии была
аксиома о параллельных. Как известно, дедуктивно построенная система евклидовой
геометрии опирается на некоторую совокупность аксиом. Как показал позднее Д.
Гильберт, эти аксиомы вводят различные аспекты понятий: соединения или
принадлежности, порядка, движения или конгруэнтности, непрерывности и
параллельности. Последняя из этих аксиом (фигурирующая в "Началах" Евклида в
качестве пятого постулата) стоит как бы особняком. За ней в силу сложности
формулировки не было призвано свойство очевидности, и в течение многих веков
предпринимались попытки дать ее доказательство, разумеется, безус......
пешные.
Геометрия, в зависимости от того, используется ли аксиома о параллельных или
нет, делится на две части. Та часть, куда входят предложения, не опирающиеся на
эту аксиому, носит название абсолютной геометрии. Лобачевский, который вначале
пытался дать доказательство упомянутой аксиомы, вскоре убедился в возможности
расчленения геометрии на абсолютную и неабсолютную и осуществил его. Вслед за
этим он попробовал заменить аксиому о параллельных ее отрицанием: он
предположил, что через точку, не лежащую на данной прямой, может проходить более
чем одна прямая, лежащая в одной плоскости с прямой и не пересекающаяся с ней
при продолжении. При этом он обнаружил, что формального противоречия не
получается, а система выводов складывается в новую геометрию, отличную от
евклидовой, но столь же логически строгую и последовательную, несмотря на
непривычность, странность ее утверждений.
Днем рождения неевклидовой геометрии можно считать 11(23) февраля 1826 г., когда
на заседании отделения физико-математических наук Казанского университета
Лобачевский доложил о своем сочинении "Сжатое изложение основ геометрии со
строгим доказательством теоремы о параллельных". Через три года, в 1829 г., он
издал это сочинение в расширенном виде под названием: "О началах геометрии". В
последующем Лобачевский раз396
вивал свою новую геометрию, опубликовав ряд работ: "Воображаемая геометрия"
(1835), "Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам" (1836),
"Новые начала геометрии с полной теорией параллельных" (1834-1838), небольшая
книжка "Геометрические исследования" на немецком языке (1840), "Пангео-метрия"
(1855).
Попытки доказать аксиому о параллельных приведением к противоречию имели место
до работ Лобачевского. И. Саккери (1733) даже получил ряд предложений, которые
затем ошибочно признал противоречивыми, а следовательно, аксиому о параллельныхдоказанной.
И. Ламберт около 1766 г. (опубликовано в 1786 г.), следуя по тому же
шути, не смог ни примириться с получающейся системой выводов, ни опровергнуть
ее. Аналогичные исследования предпринимали Ф Швейкарт (1818) и Ф. Тауринус
(1825). Однако только венгерский математик Я. Больяи (1802- 1860) ясно выразил
ту же мысль, что и Лобачевский, и к 1832 г., независимо от последнего, развил
систему неевклидовой геометрии, выпустив сочинение: "Аппендикс,- т е.
приложение, содержащее науку о пространстве, абсолютно истинную". После смерти
Гаусса (1855) выяснилось, что тот тоже открыл начальные факты геометрии
Лобачевского, но молчал о них. из боязни уронить свою научную репутацию. Он даже
не решился поддержать молодого Я. Больяи, когда тот прислал ему свою работу.
Подлинное мужество ученого, свойственное Лобачевскому, особенно ярко проявилось
в обстановке непризнания и нападок, созданной вокруг его работ, которая
продолжалась до самой его смерти.
Геометрия Лобачевского в абсолютной своей части не отличается по существу от
геометрии Евклида. В той же части, которая использует аксиому о параллельных,
дело обстоит иначе. К этой части относятся теоремы о: а) расположении
параллельных прямых; б) сумме углов в треугольниках и многоугольниках; в)
площадях; г) вписанных в окружность и описанных многоугольниках; д) подобии и
конгруэнтности фигур; е) тригонометрии; ж) теореме Пифагора; з) измерении круга
и его частей. В этих пунктах двумерная геометрия Лобачевского отличается от
евклидовой планиметрии. Рассмотрим конкретнее некоторые особенности геометрии
Лобачевского.
Допущение, что через точку О вне прямой можно провести больше одной прямой, не
встречающейся с данной, приводит к вь воду, что таких прямых бесконечно много.
Они образуют ny4oJ В пу-чке этих прямых есть две крайние прямые: ОБ и OBi (рис.
57] Они и называются параллельными прямой ОцД. Теперь возникав необходимость
ввести направление параллельности. В направлении параллельности прямые
.сближаются, в противоположном - удаляются. Угол параллельности а зависит от
расстояния между параллельными, т., е. от длины соответствующего перпендикуляра
х, следующим образом:
tg
Л (X)
где А -постоянная, зависящая от выбора единицы длины,, Если
, то зт (л) •
-; в случае же х-*~"х" я(л;)-"0. Наконец, прямые,
имеющие общий перпендикуляр, расходятся в обе стороны.
\ \ 1 (
/ 1 \ \
Рис. 58
Вслед за тем оказывается, что сумма углов треугольника меньше 2d. При увеличении
сторон треугольника эта сумма уменьшает-! ся. Аналогичные суждения справедливы и
для многоугольников.! Вследствие этого стало необходимым выдвинуть еще один
признак) равенства треугольников, исходя .из равенства трех пар соответствующих
углов.
Площади всех треугольников образуют множество с верхней гранью с -я, где с -
постоянная, зависящая от выбора единицы измерения площадей, равная отношению
площади треугольника к его дефекту (разности суммы внешних углов треугольника и
4d). В геометрии Лобачевского не существует подобных треугольников и
многоугольников. Допущение подобия эквивалентно постулату Евклида о
параллельных. Длина окружности / растет быстрее радиуса г и равна
Рис. 59
Дальнейшее развитие геометрии Лобачевского связано с введением пучков прямых:
сходящихся, расходящихся и параллельных (рис. 58). Относительно пучков прямых
вводятся циклы (иначе называемые ^-линиями, или основными линиями). Это -
геометрические места точек, являющиеся ортогональными траекториями лучка прямых.
Их положение определяется начальной точкой, выбранной на одной из прямых пучка.
Эти циклы для трех видов пучков соответственно называются : окружность, экви
дистанта (или гиперцикл) и орицикл (образ предельной окружности при j?-"oo).
Соответствующие пространственные образы, образованные вращением циклов вокруг
избранной прямой, будут: сфера; гиперсфера, орисфера соответственно. Лобачевский
установил,
что на орисфере, если прямые заменить орициклами, осуществляется
планиметрия Евклида и тригонометрия.
Во все соотношения геометрии Лобачевского входит единица длины (масштаб), а углы
и длины зависят друг от друга. Единицей длины является OR - длина абсолютной
дуги орицикла (рис. 59). Это - дуга, отсчитываемая от избранной точки О на одной
из параллельных прямых пучка, до /? -пересечения орицикла с прямой пучка,
параллельной касательной к орициклу в точке О. В настоящее время отрезок, равный
по длине абсолютной дуге, называют также радиусом кривизны пространства
Лобачевского.
Аппарат вычислений в геометрии Лобачевского основывается на оперировании с
гиперболическими функциями. Например, теорема, аналогичная теореме синусов для
треугольника, в геометрии Лобачевского приобретает вид
sin a sin P
shka
shkb
sin у shkc
Вся тригонометрия оказалась в основном тригонометрией гиперболических функций.
Совокупность ее формул оказалась подобной совокупности формул сферической
тригонометрии в системе Евклида, но для сферы мнимого радиуса RL Вслед за
тригонометрией . Лобачевский разработал в своей системе аналитическую и
дифференциальную геометрии.
В сочинениях Лобачевского построена система, не содержащая логических
погрешностей и столь же богатая фактами, как и геометрия Евклида. Тем самым
показано, что мыслима не только одна система геометрии и что другие системы
можно получать путем видоизменений и обобщений основных положений геометрии Евида.
Однако прием, оказанный геометрии Лобачевского, был
более чем обескураживающим. На его сочинения академики (в том числе
Остроградский) давали отрицательные отзывы, в печати появились пасквили на
Лобачевского. Требовалось незаурядное мужество и вера в научную достоверность и
значимость своих исследований, чтобы противостоять этому. Лобачевский проявил
необходимые качества, боролся настойчиво" но умер-в 1856 г. нетто-1 пятым и
непризнанным.
Рис, 60
Проблема интерпретации геометрии Лобачевского и геометри" ческих систем вообще.
Задача, которую не смог решить Лобачевский"- это задача обоснования новой
геометрии. Можно сколь угодно далеко идти по пути накопления ее фактов, но не
получить уверенности в строгости ее логической основы, в ее'значимости для
практических приложений и относительно ее места в науке,. Лобачевский "заметил,
что для бесконечно малых размеров его геометрия превращается в евклидову. Кроме
того, сходство тригонометрических соотношений в обеих геометриях позволяло
надеяться на скорое открытие связей между ними.
Путь Лобачевского в решении проблемы обоснования -поиски материальных объектов,
для которых осуществлялась бы его геометрия. Вспомогательный путь приложения
фактов геометрии к математическому анализу, в особенности к вычислению трудных
интегралов, был также использован Лобачевским.
Но вернемся к основным попыткам. Требуется, скажем, измеряя углы треугольников,
обнаружить, Отличается ли их сумма а от 2rf, т. е. обнаружить дефект d = 2d-а.
Лобачевский доказал, что этот дефект должен быть прямо пропорционален площади
треугольника S и обратно пропорционален квадрату радиуса кривизны пространства,
т. е.
Чтобы дефект был заметен, надо выбирать треугольники самых больших размеров.
Поэтому Лобачевский занялся непосредственным измерением космических
треугольников.
С положения 3! Земли на орбите (рис. 60) фиксируется некоторая звезда Л, которая
выбрана так, чтобы
ЕСЛИ фиксировать ту же звезду А из противоположной точки 32 орбиты, то "С32Л =
2й - 2р. Величина (J есть параллакс звезды, измеряемый обычно с большой
точностью. Если космическое пространство
имеет геометрию Лобачевского, то можно определить угол параллельности
-со. Однако все. измеренные отклонения неизменно оказывались в пределах точности
наблюдения, и эксперимент Лобачевского не удался.
Это теперь не, представляется удивительным:,. Известно, что в 1931 г. Шиллинг
доказал, что современные средства астрономической техники не могут ни доказать,
ни опровергнуть предположения Лобачевского о геометрии космического
пространства,, если допустить, что радиус кривизны пространства превышает 60
световых лет,, Неутешительные данные наблюдательной астрономии дополняет общая
теория относительности, которая для изотропного мира дает значение радиуса,
кривизны '1,8-1 09 световых лет. Если же учесть, что геометрия космического
пространства тесно связана с распределением и движением масс, заполняющих его и
обладающих свойствами притяжения, то эта геометрия примет весьма сложную форму.
Тем не менее, несмотря на неудачи с экспериментом, Лобачевский находился на
верном пути,, Его идея - это идея интерпретации: данные всякой теории должны
проверяться опытом,, Геометрия Евклида возникла как обобщение многовекового
опыта людей и подтверждена практикой,, Возможная конструкция, созданная
Лобачевским, должна опереться на систему реально существующих объектов, чтобы
быть признанной непротиворечивой,,
Как это часто бывает в истории математики, разгадка находилась рядом; математики
уже имели все необходимое, чтобы решить проблему интерпретации геометрии
Лобачевского. Необходимо было лишь привлечь данные теории поверхностей.
Мы уже упоминали, что дифференциальная геометрия в начале XIX в. получила новую
область распространения в теории поверхностей. В трудах Гаусса, особенно в его
"Рассуждении о кривых поверхностях", была построена внутренняя геометрия
поверхностей. Для этого Гаусс использовал криволинейные координаты и и v на
поверхности. Линейный элемент (дифференциал дуги)
ds2 = Edu2 + 2F dudv + G dv*
и гауссова кривизна /С = - дали возможность найти все элеRI
RI
менты поверхности. Факты внутренней геометрии оказались инвариантными
относительно изгибания поверхностей, т. е. таких деформаций последней, при
которых линейный элемент остается инвариантным. С тех пор более столетия
проблемы изгибаний и
внутренней геометрии поверхностей являются .важнейшими проб" лемами
дифференциальной геометрии.
Около 1840 г. Ф. Миндинг, профессор университета в Дерпте (Тарту) Г йзута?^^^
гауссовой кривизны. Среди
поверхностей постоянной отрицательной кривизны он, в частности, выделил
поверхность вращения трактрисы
т. е. кривой, у которой длина отрезка а касательной от точки касания до базы OF
постоянна. Кривизна этой поверхности
поэтому такая поверхность названа псевдосферой.
Миндинг показал, что для любого треугольника,, сторонами которого являются,
геодезические, линии на поверхности постоянной. кривизны /С, имеет место
соотношение
ctg А • sin С + cos С • cos |/"/Г • b = ctg Yk' a • sin ]/Т b"
Е случае /С"0 это одна из формул сферической тригонометрии.
Если же /С"0, то .после подстановки УК =: - вследствие
ri
sin ix = i sh л:, cos ix = ch x
"формула получает вид
ctg A • sin С ~f- cos С • ch - = cth - • sh - .
r r r
Из этой формулы можно вывести остальные формулы гиперболической тригонометрии.
Тригонометрия геодезических треугольников на поверхности постоянной
отрицательной кривизны оказалась гиперболической тригонометрией.
За пять лет до выхода этой работы Миндинга, в 1835 г., Лобачевский в
"Воображаемой геометрии" показал, что требование аксиомы параллельности можно
свести к вопросу о справедливости соотношений гиперболической тригонометрии.
Результат Миндинга означал по существу, что внутренняя геометрия псевдосферы
изоморфна планиметрии Лобачевского. Однако ни Миндинг, ни Лобачевский этого не
заметили.
Обнаружил этот факт впервые итальянский геометр Е. Бельт-рами. Он внимательно
изучал сочинения Лобачевского по французским и итальянским переводам. При этом
он увидел, что результаты одного его дифференциально-геометрического
исследования содержат искомую интерпретацию геометрии Лобачевского.
Бельтрами исследевал задачу картографии: отобразить поверхность на плоскость
таким образом, чтобы все геодезические линии
на поверхности изображались прямыми на плоскости. Он обнаружил, что такое
отображение можно установить для сфер и для поверхностей постоянной
отрицательной кривизны, а также нашел среди последних псевдосферу (см. рис. 61).
Линейные элементы
У\
х
Рис. 61
(основные метрические формы) плоскости Лобачевского и псевдосферической
поверхности оказались выраженными одной и той же. формулой. Это означало, что
внутренняя геометрия псевдосферы изоморфна внутренней геометрии гиперболической
плоскости Лоба-. чевского. Образом прямых Лобачевского явились геодезические на
поверхности, а движения интерпретировались изгибаниями поверхности на себя.
Бельтрами опубликовал свои результаты в 1868 г. в^статье "Опыт истолкования'
неевклидовой геометрии". Это была первая
интерпретация геометрии Лобачевского. Она произвела большое впечатление. После
нее положение этой части геометрии изменилось. Сомнения в ее непротиворечивости
отпали, так как плоскость Лобачевского интерпретировалась на поверхности
евклидова пространства. Однако интерпретация была неполной, так как поверхность
псевдосферы отображает лишь часть плоскости Лобачевского, что легко заметить на
рис. 62. Очевидно также, что никакие комбинации бельтрам'иевых поверхностей не
устраняют неполноту.
Бельтрамл смог таким образом доказать непротиворечивость геометрии Лобачевского
лишь для некоторой ограниченной части плоскости. Остался открытым вопрос об
интерпретации всей плоРис.
скости Лобачевского. Только в 1901 г. Д. Гильберт доказал, что в трехмерном
пространстве не существует аналитической поверхности постоянной отрицательной
кривизны, не имеющей нигде особенностей и повсюду регулярной. Поэтому
осуществить интерпретацию типа Бельтрами всей плоскости Лобачевского невозможно.
Следующая по времени интерпретация" проведенная. в_ 1.8.71 г. Ф, Клейном в
работе "О'так называемой неевклидовой геометрии", основывается на введенном Кэли
проективном мероопределении на плоскости., Кэли ввел это понятие в 1859 г. в
"Шестом мемуаре о-формах" следующим образом: Формы - это однородные многочлены.
Для геометрического истолкования теории форм: Кэли привлек аналитическую
геометрию проективного пространства" построенную Плюккером. С бинарной формой он
связал систему точек прямой, однородные координаты которых обращают эту форму в
нуль,. Аналогично тернарная форма представляется кривой проективной плоскости;
если эта форма квадратична, соответствующая кривая есть коническое сечение.
Затем Кэли фиксирует одну из бинарных квадратичных форм и пару точек,
соответствующую ей на прямой. Его определение абсолюта по существу вводит его
как образ, относительно которого рассматриваются автоморфизмы. Для определения
расстояния между двумя точками Кэли строит ангармоническое отношение этих двух
точек и точек абсолюта,. Логарифм ангармонического отношения и есть, по Кэли,
расстояние. На плоскости абсолютом является кривая второго порядка; ее
пересечение с любой прямой плоскости определит на ней абсолют проективной
метрики,,
Клейн в упомянутой выше работе доказал, что проективная метрика Кэли,
определяемая действительной кривой второго порядка, совпадает с метрикой
пространства постоянной отрицательной кривизны. Теперь Клейн может (и он именно
это делает) отобразить плоскость Лобачевского на внутренность абсолюта, например
внутрь круга. Точки плоскости отображаются во внутренние точки абсолюта, прямые
перех'одят в хорды без конечных точек, параллельные прямые - в хорды с общим
концом. Движение- проективное преобразование, переводящее круг сам в себя и
хорды - в хорды. Расстояние, как и у Кэли,
ITO 1 эхAM
BN
В пространстве используется проективное отображение на внутренность сферы.
Геометрия Лобачевского интерпретируется посредством абсолюта Клейна (рис. 63).
Например, из точки О оказывается возможным провести две прямые ОМ и ON, не
пересекающиеся с данной прямой MN ,и тем самым параллельные ей в смысле
Лобачевского. Геометрия Лобачевского оказывается с этих позиций геометрией
подгруппы всех проективных преобразований, при которой абсолют отображается сам
в себя. Модель Клейна
явилась долгожданным полным доказательством непротиворечивости геометрии
Лобачевского и наличия у нее реального смысла. После этой работы Клейна
появились и продолжают появляться новые интерпретации, обнаруживая новые
связи геометрии Лобачевского с другими областями математики. Приведем
для примера модель А. Пуанкаре, предложенную им в 1882 г. в связи , с задачами
геометрической теории функций комплексного переменРис.
кого. Плоскость Лобачевского изображается тож;е внутренностью круга (рис, 64),
прямые - дугами окружностей" перпендикулярными данной окружности, и диаметрами.
Движения интерпретируются комбинациями инверсий, Мы здесь имеем в виду
гиперболическую инверсию, т. е. такие преобразования точек плоскости
относительно окружности с центром О и радиусом г, когда каждой точке М на луче
ОМ ставится в соответствие точка ЛГ, такая, что OAf-OAiW2.
Разработка принципов классификации геометрических теорий. Наличие интерпретаций
означало доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевского. Точнее
говоря, этим была доказана возможность сведения указанной проблемы к вопросу о
непротиворечивости геометрии Евклида, а через нее к данным опыта. В свою очередь
определившаяся равноправность по крайней мере двух геометрий - евклидовой и
Лобачевского - повела к появлению других различных геометрических систем, к
необходимости выработать единые принципы классификации этих систем, к разработке
аксиоматического метода и укреплению его положения как важнейшего метода всей
геометрии и вообще математики современности.
. Ф. Клейн внес в классификациюлжтем геометрии идеи ...теории групп. Коротко
говоря, он отметил, что все движения, рассматриваемые в геометрии, образуют
группу: произведение двух движений есть движение, каждое движение можно
сопоставить с обрат405
ным ему. Геометрия Евклида и геометрия Лобачевского имеют разные группы
движений. Если поставить вопрос более общо, то оказывается, что геометрия
пространства характеризуется свойствами группы движений этого пространства.
Именно движение есть такое преобразование, которое позволяет сравнивать фигуры с
одинако-\ выми свойствами. Таким образом, выделяется совокупность свойств \
пространственных объектов, инвариантных относительно движения. \ Наука об этих
'свойствах р является геометрией. \ Эти воззрения были изложены и развиты
Ф. Клейном в речи". прочитанной им в 1872 г. при вступлении на кафедру в
немецком городе Эрлангене, "Сравнительное обозрение новейших геометрических
исследований". В дальнейшем она сделалась гораздо более известной математикам
как "Эрлангенская программа Ф.'Клейна". По Ф. Клейну, для построения геометрии
необходимо задать: а) некоторое многообразие элементов; б) группу
преобразований, дающую возможность отображать элементы заданного многообразия
друг на друга. Геометрия должна изучать те отношения элементов, которые
инвариантны при всех преобразованиях данной группы.
С этих позиций возможны, например, следующие геометрии: а) геометрия Евклида,
изучающая инварианты 'перемещений; б)' аффинная геометрия, объектом изучения
которой являются инварианты так называемых аффинных преобразований
n
l/f = ?T J? -Jdet
=
при условии:
-(в частном случае, когда рассматриваются ортогональные преобразования, мы
всегда будем иметь: det=±l); в) проективная геометрия, т. е. наука об
инвариантах дробно-линейных преобразований
х, = aix + b1y + c1 ,
У' =
detЬ2у
Ь3 с3
Пр,и такой постановке вопроса геометрия Лобачевского трактуется как часть
проективной геометрии, где изучаются инварианты подгруппы проективных
преобразований, переводящей в себя т@чки некоторой окружности.
В классификацию Клейна помимо указанных входят многие другие геометрические
системы. Например, конформная геометрия, охватывающая группу таких
преобразований, которые переводят круги в круги, а также сохраняют углы. Другим
примером может служить топология - геометрия групп непрерывных преобразований,
т. е, таких, при которых сохраняется бесконечная близость точек.
Уже более ста лет идея Клейна о том, что геометрию можно строить на любом
многообразии, .в котором установлена группа преобразований, является руководящей
не только для классифика-• ции геометрических теорий, но и для построения новых
систем; геометрии, Однако -она не является единственной. В середине XIX в.
появился еще один общий принцип рассмотрения геометрических теорий. Это был
принцип, который мы -условимся впредь называть метрическим, Впервые он изложен в
общем виде в 1854 г. Риманом в- ставшей впоследствии знаменитой лекции "О
гипотезах, лежащих в основании геометрии" (опубликовано в 1867 г.).
Исходные идеи геометрических исследований Римана в первом: приближении таковы.
Для построения геометрической' теории необходимо задать: а) многообразие
элементов; б) координаты этих элементов (в общем случае я); в) закон
измерения расстояний' между бесконечно близкими элементами многообразий.
Последний задается: исходя из предпосылки, что геометрическое пространство' в
бесконечно малых частях евклидово. Это означает, что в самом общем виде задан
линейный элемент дуги, определяемый дифференциальной. квадратичной формой
Здесь
8tk = 8ik (*ь - - - . *"); 8ik = 8kt ds*"0.
Указанная форма, очевидно, является обобщением гауссовой квадратичной формы во
внутренней геометрии поверхностей:
ds2 = Eduz + 2F dudv + G dv*.
Движения определены как преобразования, относительно которых линейный элемент ds
инвариантен. Отсюда
Вслед за ds остаются в этом случае инвариантными длина кривой и другие
соотношения, относящиеся к так называемой метрике пространства. Само понятие
пространства, вслед за столь широким обобщением понятия расстояния между двумя
точками,
приобрело весьма общую трактовку (например, пространство цветов, фазовое
пространство и т. д.). Это понятие быстро эволюционировало вплоть до
современного (представления о римановых пространствах как общих дифференциальногеометрических
многообразиях с необходимыми уточнениями. Теория римановых
пространств носит в настоящее время название римановой геометрии.
Риман не создал аналитического аппарата, адекватного столь широко задуманной на.
основе метрического принципа геометрии. Лишь к началу XX в., когда в трудах
итальянских математиков Р. Риччи-Курбастро и Т. Леви-Чивита оформилось тензорное
исчисление как синтез теории алгебраических форм и.теории квадратичных
дифференциально-геометрических форм, оказалось, что оно является наиболее
удобным аппаратом для разработки проблем римановой геометрии. Широкие обобщения
понятия расстояния между двумя элементами и соответственно всех метрических
суждений привели к введению понятия метрического пространства. Более узкая
постановка вопроса в плане выяснения возможных разновидностей неевклидовой
геометрии - геометрии пространств постоянной положительной кривизны - получила
название геометрии Римана.
Становление аксиоматического метода в геометрии. Идея Лобачевского о том, что
логически мыслима не одна геометрия. Евклида, получила во второй половине XIX в,
подтверждение; возникли многочисленные геометрические системы. Воплотилась в
жизнь в виде разнообразных интерпретаций, а затем и приложений и другая его идея
- что истинность геометрии проверяется лишь опытом и что расширяющийся опыт
потребует введения не только евклидовой геометрии. Истинная, природа,
пространства может оказаться и неевклидовой.
Третья идея Лобачевского, как. было указано, состояла в том, что новые геометрии
могут быть построены путем видоизменения и обобщения системы аксиом'и вообще
исходных положений евклидовой геометрии. Эта идея повлекла целую серию
исследований по основаниям геометрии. Еще в 1866 г. Г. Гельмгольц ввел движение
в качестве .основного понятия геометрии. Г. Кантор (1871) и Р. Дедекинд (1872)
исследовали аксиому непрерывности. Паш (1882), добиваясь решения проблемы
включения метрической геометрии в проективную, глубоко исследовал две группы
аксиом: порядка и принадлежности (по позднейшей классификации аксиом,
осуществленной Д. Гильбертом). Вслед за Пашем эти группы аксиом исследовали Д.
Пеано (1889) и Пиери (1899). Наконец, в 1899 г. появилось первое издание
"Оснований геометрии" Д. Гильберта, в котором впервые была изложена полная и
достаточно строгая система аксиом геометрии.
Таким образом, к концу XIX в. в геометрии укоренился аксиоматический метод. С
того, же времени аксиоматический метод распространился и на другие области,
сделавшись одним из основных методов современной математики. Геометрические
теории оказались
едва ли не самой удобной частью математики для станов, аксиоматического метода.
Вместо громоздкой системы опредь. ний, аксиом и постулатов, принятой в "Началах"
Евклида, тепер*. сделалось возможным ввести лишь совокупность аксиом, которая и
служит описанием основных понятий и их свойств. В геометрии же сложились первые
требования логической строгости, которым должны удовлетворять аксиомы;
требования их совместности и полноты. Совместность включила в себя требования
независимости и непротиворечивости. Последняя доказывается построением
интерпретаций и по существу эквивалентна этому построению. Независимость какойлибо
аксиомы устанавливается заменой ее отрицанием с последующим построением
интерпретаций с целью доказать непротиворечивость новой системы. Полноту системы
аксиом стали понимать как свойство определять систему объектов с точностью до
изоморфизма. В отличие от геометрии аксиоматика теории групп, например, не.
может быть полной, так как -существуют группы с неизоморфной структурой.
Аксиомы геометрии, как и вообще математические аксиомы, не являются вечными
априорными истинами. Критерий их истинности лежит в практике; на каждом этапе
исторического развития математики выявляется их относительность. Большая роль
аксиоматического метода не может затенить реальное происхождение аксиом, не
может служить основанием, для их идеалистических оценок. По справедливому
выражению Ф. Энгельса, ""..выведение математических величин друг из Друга,,
кажущееся априорным, доказывает не их априорное происхождение, а только их.
рациональную взаимную связь" 1"
Развитие геометрии в XX в. из-за громадного фактического объема и сложности
связей не оказалось возможным включить в состав настоящей главы. Первоначальное
представление об этом предмете читатель может получить, например, из статьи
А.Д.Александрова "Геометрия"2, к которой приложена хорошо подобранная
библиография.
А
1 К. Маркс и Ф. Энгельс. Собр. соч., т. 20, стр. 37.
2 А. Д. Александров. Геометрия. БСЭ, изд. 2, т. 10, стр. 533-550.
МАТЕМАТИКА В РОССИИ
Состояние научных исследований по математике к -началу XIX в, В предшествующих
внесенных выдающимися математиками России. Эти материалы свидетельствуют о
возрастании объема и удельного веса научных исследований наших отечественных
ученых и могут дать некоторое (представление об уровне и характере развития
математики в России в XVIII и XIX вв.
Однако приведенные сведения оказались отрывочными, потому что выбор их был
подчинен целям общего характера, стоявшим перед автором при написании той или
иной главы, поэтому необходимо дополнить указанные сведения кратким, по
возможности связным очерком развития математики в России. При этом мы будем
стремиться избегать повторений ранее приведенных материалов.
В XVIII в. в России существовало только два учебно-научных центра: Петербургская
академия наук (основана в 1725 г.) и Московский университет (открыт в 1755 г.).
Научная деятельность в области математики и смежных дисциплин полностью
исчерпывается трудами Л. Эйлера и его немногочисленных учеников. Гигантские по
количеству и важности результаты Эйлера оставались все же изолированным
явлением, не находили широкого научного отклика в России, где образованных людей
было еще немного.
Также не нашли непосредственного развития многие замечательные мысли М. В.
Ломоносова о математике, ее значении и характере ее методов. Московский же
университет выполнял в XVIII в. по преимуществ^улебад
Положение начало изменяться в первой половине XIX в., когда под натиском нового,
капиталистического производства в России, несмотря на сопротивление, царизма,
были проведены некоторые реформы. Возросшая при этом роль науки и образования
для экономики России нашла свое выражение, в частности, в основании ряда
университетов, Начало XIX в. было ознаменовано появлением университетов:
Тартусского (1802),, Вильнюсского (1803), Казанского (1804), Харьковского
(1805), Петербургского (1819) и Киевского (1834). Во второй половине XIX в. было
открыто еще три университета: Одесский (1865), Варшавский (1869) и Томский
(1888). Ко времени Великой. Октябрьской социалистической революции в России
насчитывалось всего И университетов (в 1909 г. был открыт Саратовский
университет)т~"~~............................
В каждом из университетов с момента его организации учреждались физикоматематические
факультеты и кафедры математики (в Саратовском университете это
произошло лишь в 1918 г.).
Деятельность университетов, руководивших в то время также всеми средними и
низшими учебными заведениями" была важней-, шей частью создания основ
развертывания научных исследований по математике. Другими частями этого важного
процесса были: повышение уровня преподавания математики в средних учебных
заведениях, издание математической литературы, в том числе журналов, появление
научных математических обществ.
В университетах к середине XIX в. начала разворачиваться серьезная: научная
деятельность. Этому сопутствовало объединение в ряде городов ученых-математиков
на основе общей тематики, которое привело к образованию научных школ. Этот
термин мы будем применять к сравнительно многочисленным группам ученых,
поддерживающих научные связи и объединяемых общностью научного направления,
выделяющегося либо классом решаемых теоретических проблем или задач, либо
своеобразием применяемых методов.
Первым научным центром в области математических исследований оказался Петербург,
точнее Петербургская академия наук. Вслед за тем вокруг университетов стали
складываться другие математические центры и школы: в Казани, Москве, Киеве,
Харькове и других городах. В дальнейшем мы сможем уделить основное внимание
развитию лишь Петербургской и Московской математических школ.
Петербургская математическая школа. После смерти Л. Эйле-ра (1783) уровень
математических исследований в Петербурге снизился. Новый подъем обозначился лишь
в 20-е годы XIX в. Он был связан с деятельностью М. В. Остроградского и В. Я.
Буня-ковского. Оба они являлись уроженцами Украины, оба получили
М. В. Остроградский (1801-1861)
серьезную научную подготовку в Париже - самом значительном в то время центре
математической науки. Это обстоятельство определило идейное родство и связь
работ петербургских математиков с ведущими идеями лучших математиков того
времени.
Михаил Васильевич Остроградский (1801-1861) окончил Харьковский университет в
1820 г. Он был учеником прогрессивного ученого, ректора университета Т. Ф.
Осиповского. Борьба последнего с реакционным большинством профессоров,
окончившаяся изгнанием Осиповского из университета, отразилась и на судьбе
Остроградского, который не получил диплома. Остроградский продолжал свою
подготовку в Париже (1822-1828) и возвратился на
родину уже ученым с высокой научной репутацией. Он обосновался в Петербурге,
будучи вначале (1828) избран адъюнктом, а затем (с 1830 г.) академиком. Кроме
того, Остроградский вел преподавание в ряде технических и военных высших учебных
заведений.
Научные интересы Остроградского развивались в тесной связи с актуальными для
парижских математиков проблемами. Даже большинство работ он написал и
опубликовал на французском языке.
Собрание сочинений М. В" Остроградского на русском языке было издано только в
1.959-1961 гг. Академией наук УССР.
Так же, как и его современники (Фурье, Лаплас, Коши, Пуассон и др.),
Остроградский основные усилия направлял на решение прикладных проблем:.
Большинство его работ относилось к области механики, математической физики и
связанных с ними проблем математического анализа. Кроме того, он оставил после
себя первоклассные работы по алгебре, теории чисел и теории вероятностей,.
Центральное место в научной деятельности Остроградекого занимают его работы по
математической физике. Построение математической теории разных явлений природы
было в центре внимания крупнейших парижских математиков в то время, когда Б •
Париже учился Остроградский. В 1822 г.- появилась "Аналитическая теория тепла"
Фурье, в 1825 г. завершен выход в свет пятитомной "Небесной механики" Лапласа, в
1826 г. была- издана "Теория электромагнитных явлений" Ампера. В 1826 г,, была
написана и первая работа Остроградского (опубликована в 1832 т.). • Она- была
посвящена задаче о распространении воли на поверхности жидкости в цилиндрическом
бассейне. Несколько позже (1829) Остроградский решил ту же задачу для бассейна,
имеющего форму кругового сектора.
Вернувшись в Петербург, Остроградский опубликовал "Заметку об интеграле,
встречающемся в теории притяжения", где он дал оригинальный вывод уравнения
Пуассона, который он нашел и сообщил Коши еще в 1826 г. Вслед за тем он посвятил
несколько мемуаров математической теории тепла. Здесь он развил метод Фурье для
твердых тел в общей форме, а также впервые дал строгое решение задачи о
распространении тепла в жидкости. Его заметка "О теории теплоты" .(1828 г.,
опубликована в 1831 г.) содержит обобщение метода Фурье. Это обобщение состоит в
основном: а) в определении характеристических чисел краевой задачи и
соответствующих им фундаментальных функций (вообще говоря, не
тригонометрических); б) в исследовании разложимости функций в ряд ,по
фундаментальным функциям. При этом Остроградский открыл свойство попарной
ортогональности фундаментальных функций, а также нашел формулу разложения по
фундаментальным функциям
/(*,#, г) =?Jlll^
аи ш
Здесь у Остроградского интегралы, разумеется, тройные по области, содифференциал
объема, и - фундаментальная функция, соответствующая данному
слагаемому суммы, а отношения интегралов - обобщенные коэффициенты Фурье.
Особенностью этой работы Остроградского является также то, что он опирается на
упоминавшийся нами принцип локализации. Доказательство общего разложения по
фундаментальным функциям не проведено строго. Впрочем:, последующие обобщения
метода Фурье,- достигнутые в работах Ламе и Дюгамеля, обладали еще меньшей
общностью и доказательностью, чем у Остроградского.,
Многие сочинения Остроградского 'посвящены решению других задач математической
физики: о намагничивании разобщенных брусков, о притяжении сфер и сфероидов, об
интегрировании уравнений малых колебаний упругих сред и т. п.
С исследованиями по математической физике связана также •большая группа работ
Остроградского в различных областях механики. Н. Е. Жуковский, знаменитый
русский математик и механик, делит эти исследования Остроградского на три части;
относящиеся к анализу "принципа виртуальных перемещений и вариационных принципов
механики, к решению дифференциальных уравнений механики и посвященные частным
задачам механики. В частности., среди обобщений принципа Лаграюка. находятся:
распространение этого метода на системы с освобождающимися связями, общий метод
нахождения скоростей упругих точек при ударе о жесткую связь и др. Имеются и
работы чисто прикладного характера по баллистике и артиллерийской технике,
В области математического анализа Остроградскому принадлежат большие открытия.
По большей части эти открытия связаны с его прикладными, работами и возникли как
усовершенствования,-необходимые для достаточно общей постановки задачи. Так,
например, знаменитая формула Остроградского
ЯК-?-
ду
•+J*L}"iv= Г Г Pdydz + Qdzdx + Rdydx
dz I JJ
была выведена впервые в 1828 г. Ее обобщение на случай я-крат-ного интеграла
было в 1834 г. найдено Остроградским для определения вариации кратного
интеграла. В статьях по вариационному исчислению находится также важная формула
дифференцирования кратного интеграла по параметру
- Udxdydz ... = ;* J
да
ds
dxdydz ... -
da
/CtHv)
где параметр входит как в подынтегральную функцию U, так к в уравнения,
определяющие границу S области интегрирования L.
В статье "О преобразовании переменных в кратных интегралах" (1836, опубликована
в 1838 г.) дан метод, употребляющийся и в наше время.
Ряд статей Остроградского посвящен теории интегрирования' алгебраических
функций. Например, в них доказано, что алгебраический интеграл от рациональной
функции может быть только ра-г циональной функцией. Это вытекает (при я=1) из
более общего-1 результата, доказанного Остроградским: пусть дана рациональная
функция R(x, у), где
Если при этом /Я(х, y)dx есть алгебраическая функция, то он является целой
рациональной функцией от у степени я- 1, коэффициенты которой - рациональные
функции от х. Доказано также, что интеграл от алгебраической функции не может
содержать ни показательных, ни тригонометрических функций. Найден способ
отделения алгебраической части интеграла от рациональной дроби* без оснований
называемый теперь в учебниках "(Правилом Эрмита"..
Эти и многие другие результаты Остроградского в области; теории интегрирования
помимо их связи с прикладными задачами отразили новый этап развития
интегрального исчисления. Мы уже указывали, что выделение класса функций,
интегрируемых в элементарных функциях," в основном было завершено во времена
Эйлера и в значительной части благодаря его усилиям. Новая •проблематика
состояла из более общих проблем относительно природы классов функций,
получающихся при интегрировании того или иного класса функций: рациональных,
алгебраических, элементарных, трансцендентных и т. д. Помимо Остроградского в
этой области работали Абель, Лиувилль и др. Их результаты временами были близки,
а иногда даже перекрывались. В последующем общая теория интегрирования была
успешно продвинута П. Л. Чебы-шевым.
В плане обзора работ Остроградского по математическому анализу укажем еще на
некоторые его результаты в области теории дифференциальных уравнений. В 1838 г.
он опубликовал "Заметку о линейных дифференциальных уравнениях", где для
уравнения вида
вывел определитель, называемый теперь детерминантом Вронского (Г. Вронский
(1775-1853) ввел этот детерминант в 1812 г.),
W(x) =
У 1
У 2
У 2
Уп У'п
{y\j У29 ..., Уп - частные интегралы уравнения).
Ранее (1835) Остроградский внес улучшения в метод Ньютона •приближенного решения
системы дифференциальных уравнений.
В связи с задачей интегрирования рациональных дробей Остроградский нашел новый
способ выделения кратных корней многочленов. Его "Лекции по алгебраическому и
трансцендентному анализу" (1837) сыграли большую роль в развитии математического
образования в России.
В сфере научных интересов Остроградского находилась и теория вероятностей,
которой он посвятил шесть статей в разное время (от 1834 до 1859 г.). В них он
исследовал вопросы теории страхования, азартных игр, статистического контроля
качества продукции, производящие функции и другие актуальные для его •времени
вопросы теории вероятностей, подходя к ним с позиций практических приложений. Не
избежал он в одной из своих работ и характерных для математиков того времени (в
первую очередь для Лапласа) заблуждений, состоящих в необоснованном приложении
соображений теории вероятностей к решению вопросов судебной практики и других
специальных проблем,, Другой определенной его ошибкой было пренебрежительное
отношение к работам Лобачевского,, Эта ошибка замечательного математика учит,
как недопустимы в науке проявления теоретической ограниченности,
невнимательности или самомнения, как вредят они развитию науки. Их: нельзя
оправдать никакими, даже самыми большими; .заслугами, ни теоретическими, ни
практическими.
Виктор Яковлевич Буняковский (1804-1889) также получил высшее математическое
образование в Париже, где в 1825 г. ему была присуждена ученая степень доктора
математики. Возвратился он в Россию в 1827 г. Долгие годы был профессором
университета и других высших учебных заведений Петербурга. Вскоре после приезда
Буняковский был избран (1828) адъюнктом, а затем (1830) академиком. С 1864 г. и
почти до самой смерти он являлся вице-президентом Академии наук.
В большом и разнородном научном наследии Буняковского (ему принадлежит около 130
работ) имеются важные научные результаты. В работах по теории чисел (их более
40) мы встречаем доказательства квадратичного закона взаимности, решение ряда
задач диофантова анализа, учения о простых числах и т. д. Более 20 работ
Буняковский посвятил теории вероятностей и ее приложениям. Он решил многие
важные задачи, возникавшие при организации страхового дела, ссудных касс,
анализа народонаселения России (таблицы и эмпирическая формула смертности,
подсчеты
призывныхконтингентов и др.), промышленности. В качестве государственного
эксперта по статистике и страхованию (с 1858 г.) Буняковский оказал большое
содействие проникновению математических методов в практику хозяйственного
строительства. Написанные им "Основания теории вероятностей" (1846) охватили все
отделы теории вероятностей и ее -приложений и явились первым большим
руководством по этой науке в России.
В работах Буняковского по "анализу решено большое число конкретных задач в части
теории интегрирования, сходимости рядов и т, д. Ему, в частности, 'Принадлежит
(1859) честь открытия известного неравенства:
- ъ
ъ
ь
{11 (х) • Ф (х) d*]a " j Г (х) dx • J "р* (х) dx,
'а
а
а
которое иногда называют неравенством К. Шварца, хотя последний нашел и
опубликовал его лишь через 16 лет после Буняковского, Геометрические
исследования. Буняковского в основном посвящены проблемам оснований геометрии.
Он тщательно исследовал историю доказательств постулата о параллельных, тонко
обнаружил несовершенства всех этих доказательств. Однако к работам 'Лобачевского
Буняковский отнесся отрицательно, разделив ошибку Остроградского, и продолжал
искать логически строгое доказательство постулата. Неевклидова, геометрия
представлялась ему логически немыслимой.
Работы Буняковского, как и подавляющего большинства математиков XIX в.,
оказались забытыми, влившись и трансформировавшись в некоторый обобщенный опыт
науки. Освоение и обобщение этого опыта для математиков нашего века является еще
далека не полностью решенной задачей. Но в то.время (к середине XIX в.)
деятельность Остроградского и Буняковского, их учеников; многие из которых стали
крупными, специалистами в различных областях математики и техники, определила
новый подъем математики в России, особенно в Петербурге. Начал складываться
коллектив творчески работающих математиков, ведущее место в котором к концу
жизни Остроградского занял .приехавший из Москвы П. Л. Чебышев.
Чебышев (по его собственному указанию надо произносить Чебышов) Пафнутий Львович
(1821-1894) окончил в 1841 г. Московский университет. На конкурсе студенческих
работ за сочинение на тему "Вычисление корней уравнений" он был награжден
серебряной медалью. Будучи оставлен при университете, защитил в 1846 г.
магистерскую диссертацию:-"Опыт элементарного анализа теории вероятностей". В
следующем году Чебышев переехал в Петербург и начал работать в университете. При
этом университете он защитил в 1849 г. докторскую диссертацию "Теория сравнений"
и работал в течение многих лет (1850-1882) профессором. Деятельность Чебышева в
Академии наук началась в 1853 г., когда
П. Л. Чебышев (1821-1894)
его избрали адъюнктом. Рост научного авторитета Чебышева был в дальнейшем
отмечен избранием в число академиков (в 1856 г.- экстраординарным, в 1859 г. -
ординарным).
В научном наследии Чебышева насчитывается более 80 работ. Оно оказало огромное
влияние на развитие математики, и в особенности на формирование Петербургской
математической школы. Для работ Чебышева характерна тесная связь с практикой,
широкий охват научных проблем, строгость изложения, экономность математических
средств в достижении крупных результатов.
Более конкретное изучение творчества Чебышева в настоящее время облегчается тем,
что Академия наук издала полное собрание его сочинений. Помимо этого, в 1945 г.
был выпущен в свет
сборник "Научное наследие П. Л. Чебышева". Два тома этого сборника составлены из
обзорных статей, в которых характеризуются труды Чебышева по математике (1-й
том) и кинематике механизмов (2-й том).
Математические результаты Чебышева в основном распространяются на четыре
области: теорию чисел, теорию вероятностей, , теорию наилучшего приближения
функций и общую теорию полиномов, теорию интегрирования,,
Деятельность Чебышева в области теории чисел началась в 40-х, годах, прошлого
века. Академик Буняковский привлек молодого ученого к комментированию и изданию
сочинений Эйлера по теории чисел" Одновременно Чебышев готовил монографию по
теории сравнений и ее приложениям в качестве докторской диссертации. К 1849 г.
обе эти задачи были выполнены и соответствующие книги опубликованы.
В качестве приложения к,"Теории сравнений" Чебышев опубликовал, в частности,
мемуар "Об определении числа простых чисел, не превосходящих данной величины".
Вскоре появилось еще несколько статей Чебышева на. эту тему.
Проблема распределения простых чисел, в ряду натуральных чисел -одна из самых,
старых в теории чисел. Она известна со времен древнегреческой науки,, Первый шаг
к ее решению сделал Евклид, доказав теорему, что в натуральном ряду имеется
бесконечно много простых чисел,, До тех пор, пока Эйлер не привлек средства
математического анализа, ее решение практически не продвигалось. Эйлер сумел
дать новое доказательство этой теоремы, "сходя из определения, дзета-функции:
р=2 1 -
(п - натуральные, р - простые) и соображений, что сумма У] -
п=1
при 5"1 и s-"l неограниченно возрастает. Следовательно, произведение
имеет неограниченно большое число сомножителей. Лишь в 1837 г. Дирихле обобщил
теорему Евклида, доказав, что в любой арифметической прогрессии {a + nb}y где а
и Ь взаимно просты, содержится бесконечно много простых чисел. В 1798 - 1808 гг.
Лежандр, изучив таблицы простых чисел до 106, вывел эмпирически, что число
простых чисел в отрезке [2, х] выражается формулой
7 Jn*-l-, 08366
Чебышев доказал, что формула Лежандра неверна, глубоко исследовал свойства
функции п(х) и показал, что истинный порядок
х роста этой функции тот же, что и функции -----. Более того, им
были даны точные оценки
0,92129" -*1*L" 1,10555.
\пх
Это открытие Чебышева произвело огромное впечатление.
.Многие математики работали над усовершенствованием его методов и улучшением
результатов. Сильвестр в статьях 1881 и 1892 гг.
сузил вышеупомянутое неравенство:
0,95695 " -2J(*L " 1,04423..
In х
Дальнейшие приближения получили Шур (1929) и Брейш (1932). Чебышев нашел также
интегральные оценки п(х). Ему удалось доказать, что с ростом х значение функции
л(х) колеблется
около
J In г
-, удовлетворяя бесконечно много раз неравенствам
In z
\пп х
Только в 1896 г. Адамар и Валле-Пуссен доказали, предельную теорему:
Л (X)
lim
= 1.
л
dz \nz
Уже в наши дни А. Сельберг нашел (1949) элементарное доказательство этого
асимптотического закона. В 1955 г. А. Г. Постников и Н. П. Романов упростили
громоздкий вывод Сельберга.
Исследование расположения простых чисел в натуральном ряде привело к появлению
работ Чебышева о теории квадратичных форм. В 1866 г. появилась его статья "Об
одном арифметическом вопросе", посвященная диофантовым приближениям, т. е.
приближенному целочисленному решению диофантовых уравнений, что он проделал с
помощью аппарата непрерывных дробей.
Идеи Чебышева в области теории чисел разрабатывали его ученики: А. Н. Коркин, Е.
И. Золотарев, А. А. Марков, Г. Ф. Вороной и др.1. Советскую школу теории чисел,
'весьма авторитетную и многочисленную, ныне-возглавляет академик И. М.
Виноградов. Кроме того, на посту директора Математического института АН СССР (с
1932 г.) И. М. Виноградов' руководит самым крупным и значительным коллективом
советских, ученых-математиков.
К теории вероятностей Чебышев обратился еще. в молодые годы, посвятив ей
магистерскую диссертацию. В те времена теория вероятностей переживала
своеобразный кризис. Ее основные закономерности: закон больших чисел и
предельная теорема Муавра - Лапласа
О" ,__ .±1
f я J
/2
(предельный закон вероятностей для уклонения числа х появлений случайного
события от математического ожидания а этого числа х при п опытах с постоянной
вероятностью р; дисперсия а2 = пр (1-р)) были в основном, найдены еще в XVIII в.
Осознание общезначимости этих законов привело к .широкому их применению вплоть
до попыток приложения их. в области социальной практики людей. Это вызвало столь
большое число необоснованных и ошибочных суждений, что сказалось на научной
репутации самой теории вероятностей. Без солидного обоснования понятий и
результатов дальнейшее развитие этой науки было невозможно.
Чебышев написал по теории вероятностей всего четыре работы (в 1845, 1846, 1867 и
1887 гг.), но, по всеобщему признанию, эти работы вывели теорию вероятностей
снова в ранг математических наук, послужили основой для создания целой
математической школы.
Исходные позиции автора проявились уже в его магистерской диссертации, где он
ставил перед собой цель дать такое построение теории вероятностей, которое в
наименьшей степени привлекало бы аппарат математического анализа. Этого он
достигал, отказываясь от перехода к пределу и заменяя этот переход системой
неравенств, в которые заключены все соотношения. Числовые оценки .погреш1
См. Б. Н. Делоне. Петербургская школа теории чисел. М., Изд-во АН СССР,
1947.
ностей и отклонений остались характерной чертой и для последующих работ Чебышева
по теории вероятностей.
В дальнейшем Чебышев расширил аппарат теории вероятностей. Для этого он привлек
алгебраические непрерывные дроби, свойства которых он вначале изучил в связи с
задачами об интегрировании алгебраических функций. На базе алгоритма непрерывных
дробей он построил общую теорию разложения произвольной функции в ряд по
ортогональным -полиномам. Дополнив аппарат-строгим определением свойств
математических ожиданий и других определений и рассуждений, Чебышев в 1866 г.
нашел доказательство закона больших чисел в самой в то время общей классической
формулировке; если математические ожидания величин к, у, г, ..., х2, У2, z2, ...
будут соответственно а, Ь, с, ..., аь Ьь сь ..., то вероятность, что среднее
арифметическое N величин х, у, г, ... от среднего арифметического математических
ожиданий этих величин разнится не более как на
bl -
N N
при всяком /, будет превосходить 1 - -.
Достаточно общее и строгое доказательство центральной предельной теоремы
Чебышеву удалось найти лишь к 1887 г. Для того чтобы доказать, что "если
математические ожидания величин tii, u2t из, ... равны нулю, а математические
ожидания всех их степеней имеют числовую величину ниже какого-либо конечного
предела, вероятность того, что сумма п величин ы\ + и2+ ... +иП9 деленная на
квадратный корень из удвоенной суммы математических ожиданий их квадратов,
заключается между двумя какими-нибудь-величинами t и f, с возрастанием числа п
до оо имеет пределом величину интеграла.
Чебышеву пришлось найти метод, известный в современной литературе как метод
моментов.
В доказательстве последней теоремы Чебышев допустил логический пробел.
Оказалось, что помимо условия независимости случайных величин нужно
предположить, что среднее арифметическое дисперсий при /г-^оо стремится к
некоторому положительному пределу. Этот недостаток был исправлен его учеником А.
А. Марковым.
Ученики Чебышева - Марков и Ляпунов - развили своими работами его направление в
теории вероятностей до такой степени, что, по словам А. Н. Колмогорова, теперь
эти работы всюду воспринимаются как исходный пункт всего дальнейшего
современного
А. А. Марков (1856-1922)
развития теории вероятностей. В их трудах получили развитие метод моментов
(Марков) ,и метод характеристических функций (Ляпунов). Среди достижений
Петербургской школы теории вероятностей особенно заслуживает быть отмеченной
теория цепей Маркова. Работы Чебышева, Маркова и Ляпунова составляют, по
классификации А. Н. Колмогорова, целый этап в истории теории вероятностей. Этот
этап охватывает вторую половину XIX в. В те423
чение этого периода теория вероятностей в Западной Европе столь активной
разработке не подвергалась.
Значительная группа работ Чебышева посвящена теории приближения функций. Эта
группа работ примечательна огромным теоретическим последействием, которое
привело к возникновению современной конструктивной теории функций. Последняя
изучает, как известно, зависимости между свойствами различных классов функций и
характером их приближения другими, более простыми функциями в конечной или
бесконечной области.
Во время заграничной, научной командировки 1852 г. Чебышев заинтересовался
различными видами шарнирных механизмов, с помощью которых осуществляется преобр
а-зование прямолинейного поступательного движения поршня паровой машины в
круговое движение маховика. Одной, из рис. 65 "
разновидностей подобных механизмов
является широко извести ы и п а р а л л ел огр а м м
Уатта. Чебышев вообще построил большое количество механизмов и посвятил им:
много исследований. Возьмем, например, механизм, где вокруг О и 0\ могут
вращатся О А и 0\А\ (рис. 65). Движение точки М, передающей толчки поршня на
вращающиеся части, не прямолинейное. Оно носит характер биений. Задача
рассчитать механизм так, чтобы отклонения точки М от вертикали были минимальными
(чтобы избежать вредного влияния на работу машины), приводит к математической
задаче: определить движение точки М функцией, наименее, отклоняющейся от нуля на
данном промежутке. Наиболее удобной для оперирования функцией является полином.
Отсюда вытекают задачи определения полиномов, наименее уклоняющихся от нуля, а
также аппроксимирования функций полиномами, Последняя задача, по Чебышеву,
ставится так: на отрезке [а, Ь] задана непрерывная функция. Рассматривается для
этого же отрезка множество всех полиномов Рп(х) степени не выше N.
Рассматриваются
для всех данных полиномов, и из них выбирается тот, который дает наименьшее
значение данного выражения.
Чебышев исследовал свойства и нашел вид целого класса специальных полиномов,
носящих его имя и в наши дни. Полиномы Чебышева, Чебышева - Лагерра, Чебышева -
Эрмита и их разновидности играют большую роль в математике, имея многообразные
приложения. Не говоря о кинематике механизмов, послужившей исходным пунктом
чебышевской теории наилучшего приближения,
последняя прилагается к решению алгебраических уравнений, интерполяции,
приближенным квадратурам, геодезическим и картографическим задачам и т. д.
В теории Чебышева наилучшего приближения функций содержатся идеи общей теории
ортогональных многочленов, теории моментов и методов квадратур. Ортогональные
многочлены с весом получаются у него при разложении интеграла
dx (p (x) " 0)
j z - л a
в ряд вида
а затем в соответствующую этому ряду непрерывную дробь
_*""_
z аг -_.__|_ _______^2____
Если составить последовательность подходящих дробей
'то знаменатели образуют систему многочленов, ортогональных на' (а, Ь) с весом
р(х) ^6.
Ортогональные многочлены Чебышев связал со способом наименьших квадратов. Он
нашел, что многочлен Рп(х), обращающий
в минимум
$p(x)[f(x)-Pn(x)]*dx,
а
может быть представлен в виде суммы
где РЬ(Х] - указанные выше ортогональные многочлены, а коэффициенты
ъ
r\f(x)Pk(x)p(x)dx
15 К. А. Рыбников 425
Ряд статей Чебышева посвящен теории интегрирования. В них речь идет об
интегрировании алгебраических иррациональностей и методах приближенного
вычисления определенных интегралов. Здесь ему принадлежит окончательное решение
вопроса об условиях интегрируемости дифференциального бинома
я"1 (а + bxny dx
(т, л, р - рациональные числа) в элементарных функциях. Именно он установил, что
найденные еще в XVIII в. случаи интегрирyarn + 1 т + 1 ,
мости! р - целое число;-----~- или — -}- п -. целые числа, явп
п
ляются единственно возможными. Настоящий цикл работ Чебы" шева связан с работами
И. И. Сомова. И в этой области, как и во всех предыдущих, идеи Чебышева
разрабатывали его ученики и другие ученые: Е. И. Золотарев, И. П. Долбня, И. Л.
Пташицкий, Д. А. Граве и др.
Научной деятельности Чебышева мы уделили сравнительно много места потому, что
она является основой, началом быстрого развития математики во второй половине
XIX в. в Петербурге, Чебышев и его ученики А. А. Марков, А. М. Ляпунов, Е. И.
Золотарев, А. Н. Коркин, Г. Ф. Вороной и другие образовали ядро научного
коллектива математиков, за которым: в литературе упрочилось название
Петербургской математической школы. Коллектив этот в 1890 г. организовал
Петербургское математическое общество, которое функционировало до 1.905 г.
Петербургские математики оказали решающее влияние на формирование- научных школ
в других городах. Так,, А. М." Ляпунов, проработавший ряд лет (1885-1902) в
Харькове, во многом способствовал развертыванию научной деятельности и
объединению математиков. Уезжая в Петербург, он оставил своего ученика В. А.
Стеклова на посту председателя Харьковского математического общества. Д. А.
Граве, переехав в 1902 г. из Петербурга в Киев, создал там через несколько лет
научную алгебраическую школу, откуда вышли О. Ю. Шмидт, Н. Г. Чеботарев и др.
Научные интересы петербургских математиков, да и самого Чебышева, в частности,
не ограничивались теорией чисел, теорией вероятностей и отдельными проблемами
математического анализа (теория интегрирования, теория приближения функций). Из
других областей математики наиболее интенсивно разрабатывались дифференциальные
уравнения (Ляпунов, Имшенецкий, Сонин и др.) и теория функций комплексного
переменного (Сохоцкий).
Петербургская математическая школа в конце прошлого века и в начале нынешнего
превратилась в совокупность нескольких математических научных школ, оказавших
большое влияние на развитие математики в России. Связи ленинградских
(петербургских) математиков с другими научными школами России после Великой
Октябрьской социалистической революции настолько ук426
С. В. Ковалевская (1850-1891)
репились, а научные интересы настолько переплелись, что сам термин
"Петербургская школа" потерял свой обособляющий смысл.
Математическое творчество С. В. Ковалевской. Прежде чем перейти к характеристике
других математических коллективов, осветим научную деятельность первой в мире
женщины - профессора математики, составившей славу русской науки, но оставшейся
трагически одинокой, - Софьи Васильевны Ковалевской (1850- 1891).
С. В. Ковалевская выросла в семье богатого генерала, сделавшегося после отставки
помещиком. Образование она получила до15*
машнее, но ее учили хорошие педагоги. Рано обозначился у нее интерес к
математике. Так как доступ в университеты в России для женщин был закрыт, она
последовала примеру передовых женщин того времени и уехала для получения
образования за границу. Получить заграничный паспорт ей помог брак с В. О.
Ковалевским, ставшим широко известным впоследствии своими работами по
палеонтологии. Любовь к науке, и прежде всего к математике, прогрессивное
мировоззрение, " созвучное умонастроению передовых мыслителей и борцов с
самодержавием, помогли С. В. Ковалевской преодолеть условности и предубеждения
родных и вообще людей ее круга.
С. В. Ковалевская уехала в Германию в 1869 г. После кратковременного пребывания
в Гейдельберге, где работали в то время Кенигсбергер, Дюбуа-Реймон, Кирхгоф,
Гельмгольц, она прибыла, в Берлин и убедила К. Вейерштрасса руководить ее
математическими занятиями. Талант Софьи Васильевны развернулся под уме" лым
руководством, и уже в. 1874 г, ее учитель направил в университет в Геттинген три
работы: "К теории уравнений в частных производных", "О форме кольца Сатурна" и
"О приведении одного класса.абелевых интегралов третьего ранга к интегралам
эллиптическим". Этих работ с избытком хватило для присуждения, ей степени
доктора- философии без защиты диссертации.
В первом из сочинений Ковалевская доказала существование единственного
аналитического решения задачи Коши для .дифференциального уравнения с частными
производными вида
== /
?=1
a"n)
при условиях: а) аналитичности функции / в окрестности (д;0, аь ... ..., аг) и
функций, входящих в начальные условия; б) уравнение
г
имеет нормальную форму, т. е. a+\\at"^n + N. Здесь же она
нашла, независимо от Коши, линейное преобразование аргументов, приводящее
уравнение к нормальной форме. Значительным открытием Ковалевской в этой области
явился пример уравнения типа теплопроводности
дх {ду*
с начальными условиями х=а, "ф = "ро (y/b) l. Для этого уравнения задача Коши
вообще не имеет голоморфного решения, так как степенной ряд
1 Этот символ означает аналитичность функции в окрестности у=Ь.
k\
формально удовлетворяющий условиям задачи, сходится лишь при весьма специальных
условиях относительно
Эти результаты Ковалевская распространила на нормальные системы дифференциальных
уравнений с частными производными, -придав им вид, близкий современному"
Во второй работе Ковалевская нашла более высокую степень приближения по
сравнению с решением Лапласа, что позволило ей утверждать, что кольца. Сатурна в
сечении имеют не эллиптическую (по Лапласу), а яйцевидную форму. Позднее была
установлена несплошность структуры этих колец.
Наконец, в третьей статье ею были найдены условия приведения
ультраэллиптического интеграла, содержащего полином восьмой степени, к
эллиптическому интегралу первого рода. .
В том же 1874 г. Ковалевская вернулась в Россию. Она выступила с научными
докладами, познакомилась с Чебышевым, Марковым, Жуковским, Бугаевым и другими
учеными-математиками, вела литературную деятельность,. Однако несмотря на
значительный научный авторитет и содействие ученых для Ковалевской оказалось
невозможным: ни получить работу в университете, ни даже сдать магистерские
экзамены (степени, полученные за границей, не принимались в русских
университетах). Царское правительство ни под каким видом -не допускало женщин в
высшую школу.
Только в 1883 г., после смерти В. О. Ковалевского, она получила приглашение на
должность доцента во вновь открытый университет в Стокгольме и переехала в
Швецию, где через * год (в 1884 г.) стала профессором. Здесь перед ней открылись
возможности для научной работы. Год за годом она читала курсы лекций. Их высокий
научный уровень и педагогическое мастерство лектора вызывали благожелательные
отклики. Известно, что С. В. Ковалевская читала следующие курсы лекций: теория
дифференциальных уравнений с частными производными (1884, 1890), вейер-штрассова
теория алгебраических (1885), абелевых (1885-1887), эллиптических (1888) и тетафункций
(1888), теория потенциала (1886), теория движений твердого тела (1886 -
1887), качественная теория дифференциальных уравнений по Пуанкаре (1887-1888),
'аналитические методы теории чисел (1890) и др.
Энергичная научная деятельность Ковалевской принесла тем временем новые плоды. В
1888 г. она получила премию Парижской академии наук за лучшее в объявленном
конкурсе решение задачи о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки, где
рассмотрен случай нагруженного (не вполне симметрического) ги429
роскопа. За другую работу в этой области ей была присуждена премия Шведской
академии наук.
Существо дела здесь состоит в том, что уравнения движения тяжелого твердого тела
около неподвижной точки в общем случае не имеют однозначных решений с пятью
произвольными постоянными и на всей комплексной плоскости в качестве особых
точек
Рис. 66
содержат только полюса. Установив это, Ковалевская нашла затем:" что в некоторых
случаях все элементы движения могут выражаться через эллиптические, функции от
времени t. Эти функции, как известно, на комплексной плоскости имеют в качестве
особых точек только полюса и, следовательно, однозначны.
Первый из таких случаев, когда центр движения находится в неподвижной точке, был
исследован Эйлером и Пуансо. Они доказали, что для того, чтобы полностью
определить движение, достаточно интегралов живых сил и площадей..
Второй случай выделил и разрешил Лагранж. Это случай, когда эллипсоид инерции
относительно неподвижной точки является, эллипсоидом вращения, а неподвижная
точка лежит на оси вращения этого эллипсоида. Лагранж прибавил к интегралу живых
сил и к интегралу площадей относительно вертикали, проходящей через точку опоры,
третий интеграл, выражающий постоянство условий скорости относительно оси
вращения эллипсоида инерции. Это дало ему возможность выразить все элементы
движения через посредство эллиптических трансцендентностей.
Третий случай разрешила Ковалевская. Это тот случай, когда центр тяжести тела
лежит на плоскости экватора эллипсоида инерции, построенного для неподвижной
точки, служащего эллипсоидом вращения и удовлетворяющего условию А = В = 2С (Л,
5, С - главные моменты инерции).
Н. Е. Жуковский наглядно интерпретировал эти три случая (см. рис. 66).
Через три года после смерти С. В. Ковалевской, в 1894 г., А. М. Ляпунов придал
этим ее результатам весьма общую форму. Однако эта проблема в общем-виде еще не
разрешена. Общих
методов изучения соответствующих уравнений для любых параметров и начальных
данных еще нет.
Крупнейшие русские математики - Чебышев, Буняковский и Имшенецкий.--добились в
1889 г. избрания С. В. Ковалевской членом-корреспондентом Петербургской академии
наук. Однак© даже члену-корреспонденту Академии,, имеющему прославленное научное
имя, царское правительство не разрешало вести работы в Академии или
университетах; женщинам это было запрещено. Умерла С. В. Ковалевская в 1891 г. в
расцвете творческих сил и замыслов; похоронена в Стокгольме, на Северном
кладбище.
Московская математическая школа. В заключение-рассмотрим. основные этапы
формирования Московской математической школы. В отличие от Петербургской школы,
где средоточием математических исследований являлась Академия наук, математики
Москвы группировались" вокруг университета. Историю математики в XIX в. в Москве
следовало бы начинать с 1804 г., с момента организации физико-математическогофакультета
и кафедр, чистой и прикладной математики. Первая половина века
характеризуется в основном постепенным повышением уровня преподавания, ростом
квалификации профессоров и преподавателей. В трудных условиях самодержавного
гнета медленно росло и количество студентов: за 11 лет (1825-1836) физикоматематический
факультет окончило 119 человек, т. е. в среднем около 11 человек
в год; за следующие 18 лет (1837-1854) его окончило уже 453 человека, что
составляет около 25 человек в год. Возможности применения научных талантов были
весьма ограниченными. Тем не менее из выпускников Московского университета за.
полстолетия вышло немало видающихся ученых: академики П. Л. Чебышев, И. И.
Сомов, Ф. А. Бредихин, профессоры В. Я. Цингер, А. Ю. Давидов, М. Ф. Хандриков,
Н. А. Любимов/ А. Г. Столетов и др.
В 1811 г. в Москве была предпринята попытка создать первое в России
математическое общество. Инициатором был подполковник Н. Н. Муравьев. Целью
общества, как было указано в его уставе, было распространение математических
наук. Впрочем, практически дело свелось к обучению прикладным военным наукам.
Через пять лет, в 1816 г., на базе общества выросло военно-учебное заведение,
готовящее офицеров генерального штаба. В 1826 г. оно было переведено в
Петербург.
Перелом в налаживании серьезной научной деятельности в Москве наметился лишь в
60-е годы XIX в. Он целиком связан с организацией Московского математического
общества. Математические общества, как и всякие другие научные общества,
являются формой коллективного труда ученых, важнейшей составной частью которого
является научная взаимная информация и обсуждения. Появление научных обществ
знаменует новый, более высокий уровень научных исследований. В наши дни помимо
обществ существует много организационных форм коллективного труда ученых
(лаборатории, семинары, институты, координационные цен431
Н. Д. Брашман (1796-1866)
тры и т. п.), но роль научных обществ не снижается. Можно думать, что в грядущем
коммунистическом обществе общественные формы научных объединений займут еще
большее место.
Московское математическое общество начало свою деятельность в 1864 г. Вначале
это была небольшая группа ученых, преимущественно преподавателей университета,
собиравшихся на квартире у всеми уважаемого учителя многих из них, профессора Н.
Д. Брашмана (1796-1866), ушедшего в этом же, 1864, году в отставку.
На первом заседании, 15 сентября 1864 г., Н. Д. Брашман был избран президентом
общества, А. Ю. Давидов - вице-президентом. Было решено, что целью нового
общества будет взаимное содействие в занятиях математическими науками. Для этого
все 13 членов общества поделили между собой отрасли физико-математических наук,
чтобы следить за их успехами и развитием и сообщать о них на заседаниях. По
математике эти реферативные задания распределились таким образом (формулировки
сохранены): А. Ю. Давидов •- интегрирование уравнений с частными
дифференциалами; А. В. Летников - дифференциальные уравнения; Н. Н. Алексеев -
интегрирование иррациональных функций и эллиптические функции; К. М. Петерсон -
аналитическая геометрия; С. С. Урусов -, теория -конечных разностей; Ф. А.
Слудский, а затем с 1865 г. Н. В. Бугаев - теория чисел. Другие члены общества
взяли на себя рефераты по механике,, астрономии и физике.
Через год, в октябре 1865 г., члены общества возбудили ходатайство об
официальном утверждении своей организации. До этого, в апреле 1865 г., они
решили издавать "Математический сборник"; первый выпуск этого журнала появился-в
октябре 1866 г. Официальное оформление общества произошло 28 января 1867 ivОбщество
испытывало большие' финансовый"и""организационные трудности, но дело
шло. К 1901. г. в нем состояло уже 101, а к 1913 г.- 112 человек. С перебоями,
но выходил и "Математический сборник" - старейшее русское специально
математическое периодическое издание, существующее и в наши дни., Наладился в
1873 г. обмен изданиями с заграничными организациями. Научный авторитет общества
и связи его членов крепли. Большую помощь обществу оказывал его влиятельный член
- П. Л. Чебышев.
Постепенно в'обществе произошла дифференциация, которая привела к
преобразованию" математики и механики (носившей в то время название прикладной
математики) и практически к их обособлению от других наук. До 1.91.7 г. из 971
научного- сообщения, прочитанного на заседаниях общества, 640 (66%) пришлось на
математику, 217 (22%)-на механику и 114 (12%) на физику и астрономию.
Научные интересы московских математиков охватывали многочисленные области.
Однако вскоре выкристаллизовались наиболее продуктивные направления,
складывающиеся в научные школы. Во второй половине XIX в. таких школ было две:
прикладной математики (механики) и дифференциальной геометрии. Крупным также
было направление дифференциальных уравнений.
Инициатор организации математического общества и его первый руководитель Н. Д.
Брашман окончил в Вене Политехнический институт и университет. После работы в
Петербурге и в Казани (1825-1834) он прибыл в Московский университет как
профессор прикладной математики. За 30 лет работы в университете он заложил
научные основы преподавания теоретической и практической механики. Читал он
лекции и по математическим дисципли433
Н. Е. Жуковский (1847-1921)
нам. Его научные интересы относились к исследованию принципа наименьшего
действия и к гидромеханике. Он был учителем многих выдающихся математиков (П. Л.
Чебышев, И. И. Сомов и др.) и механиков (А. С. Ершов, А. Ф. Давидов, Ф. А.
Слудский и др.).
Преемник Брашмана по преподаванию механики Б университете и на посту президента
Московского математического общества А. Ю. Давидов (1823-1885) был ученым
широких научных взглядов, счастливо сочетавшим теоретические и прикладные
занятия. Его работы по механике относятся к двум проблемам: теории.
равновесия тел, погруженных в жидкость, и капиллярным явлениям. Ему принадлежит
метод нахождения положений равновесия плавающих тел с помощью поверхности
центров (поверхности, на которой размещены все центры тяжести для различных
сечений тела постоянного отсеченного объема). Теорию капиллярных явлений Давидов
стремился связать с общей теорией равновесия жидкостей и изучать ее средствами
аналитической механики с помощью принципа виртуальных перемещений, но с учетом
изменения плотности на границах. Математические исследования Давидова относятся
. к применениям теории вероятностей, дифференциальным уравне- у ниям с частными
производными, теории интегрирования.
В конце XIX в. в университете, и высшем техническом училище работало
сравнительно много математиков прикладного направления: Ф. А. Слудский, Д. Н.
Лебедев, Ф. Е. Орлов, В. Л. Цингер. Общепризнанным главой этого научного
направления сделался Николай Егорович Жуковский (1847-1921). Он окончил
университет в 1868 г. по прикладной математике. Многие годы Жуковский преподавал
в университете и в высшем техническом училище. Вступив в математическое общество
(1876), он сделался одним, из самых активных и авторитетных членов; его избрали
вице-президентом (1903-1905),, а затем президентом (1905-1921) общества.
В сочинениях и во всей деятельности Жуковского нашло наиболее яркое выражение
сочетание ученого-теоретика и инженера-практика. В математике его основные
исследования, концентрируются вокруг уравнений математической физики, причем
большое место отведено приближенным методам решения. Много работал он над
проблемами теории функций комплексного переменного, открыв применения этой
теории к решению сложных проблем гид-ро- ,и аэромеханики.
Среди многочисленных работ (около 80) Н. Е. Жуковского, написанных до 1900 г.,
преобладают работы по гидродинамике. В них исследуются проблемы качки судов,
реактивные водометные двигатели, трение жидкости в полости тела и т. п. В связи
с техническим консультированием московского водопровода Жуковский открыл явление
гидравлического удара и разработал его теорию. Кроме того, ему принадлежит
большое количество исследований по механике: теории движения твердого тела
вокруг неподвижной точки, устойчивости движения и т. д.
В последние годы XIX в. Жуковский сосредоточил усилия на разработке проблем
аэромеханики и авиации. С 1889 г. появляются его исследования по теории
воздухоплавания. Вскоре он перешел к экспериментам в этой области, построив в
Московском университете (1902) первую аэродинамическую трубу. Через два года, в
1904 г., он открыл метод присоединенных вихрей, сделав его основой
аэродинамических расчетов. За этим последовала разработка теории подъемной силы
крыла и вихревая теория винта. Одновременно расширялись и эксперименты. Вместе с
учениками и сотрудниками (число которых быстро росло) Н. Е. Жуковский в 1904 г.
К. М. Петерсон (1818-1881)
принимал участие в проектировании и строительстве первого в 'России
аэродинамического института в Кучино (под Москвой). В 1910 г. он организовал
аэродинамическую лабораторию в Московском высшем техническом училище.
Неисчислимые научно-теоретические и экспериментальные заслуги Жуковского дали
основание В. И. Ленину назвать его "отцом русской авиации".
Жуковский воспитал огромное количество ученых-теоретиков, экспериментаторов,
инженеров, офицеров-летчиков. Он был окружен вниманием и заботой Советского
правительства. После его смерти в 1921 г. исследования были продолжены и развиты
его учениками, в особенности С. А. Чаплыгиным. Из прикладной мате436
матики развились многочисленные отрасли механики - науки многообразной, тесно
сочетающей математические методы теоретического исследования с экспериментом и
потому особенно важной для современных отраслей новой техники. Советская
механика вносит ныне достойный вклад в строительство научно-технической базы
коммунизма и имеет многочисленных выдающихся представителей (М. В. Келдыш, М. А.
Лаврентьев и др.).
Другая научная школа,, о которой мы выше упоминали, ведет свое начало от работ
К, М. Петерсона по классической дифференциальной геометрии, Петерсон (1818-1881)
окончил в 1852 г. университет в Тарту. Его учителями были Зенф и Миндинг,
которые, по.-видимому, привили ему интерес к проблемам дифференциальной
геометрии. В кандидатской диссертации "Об изгибании поверхностей" (1853) и в
последующих работах Петерсон по существу определил развитие теории поверхностей
на долгие годы. Он исследовал, изгибания поверхностей, ввел изгибание на главном
основании, решал связанную с изгибанием задачу определения поверхности по
заданным квадратичным формам, выведя аналитические условия, определяющие
поверхность с точностью до положения в пространстве. Эти условия известны, как
формулы Майнарди - Кодадци, хотя последние получили свои результаты на четыре и
пятнадцать лет соответственно позже Петерсона. Кроме того, он нашел изгибания
минимальных поверхностей, открыл новые классы поверхностей. Отметим, что
Петерсон всю жизнь работал преподавателем средней школы, а степень доктора
получил в Одесском университете (1879)-не за отмеченные работы, а за не столь
значительные работы по теории дифференциальных уравнений.
Теория поверхностей и их изгибаний надолго сделалась объектом исследования
московских геометров. Вслед за Петерсоном этими проблемами занимался Б. К,
Млодзеевский, посвятивший им свою магистерскую диссертацию. Здесь он вывел общее
уравнение изгибания (уравнение в частных производных 2-го порядка" выражающее
координаты точек поверхности с данным линейным элементом ds2 в функции величин
u, v). Он получил результаты в теории дифференциальных инвариантов поверхностей
и многомерных многообразий, а также относительно частных классов поверхностей.
Д. Ф. Егоров (1869-1931) исследовал трижды ортогональные системы и ввел так
называемые потенциальные поверхности (вошедшие в мировую литературу по
инициативе Дарбу как поверхности ?). Эти работы были впоследствии продолжены его
учениками Л. Н. Сретенским и С. П. Финиковым. Московскую школу дифференциальной
геометрии после Егорова возглавляли С. П. Фиников и С. С. Бюшгенс. В настоящее
время эта школа представляет активный творческий коллектив, возглавляемый С. П.
Финиковым.
Жуковский, Егоров и Млодзеевский в наиболее яркой форме отразили и в
значительной мере определили стиль работы математиков Москвы конца XIX - начала
XX в. Этот стиль характеризо^
Д. Ф. Егоров (1869-1931)
вался широтой научных интересов, отсутствием узкой специализации, стремлением к
исследованию обобщающих идей. Вначале Жуковский, а затем Егоров и Млодзеевский
ввели в практику преподавания научные семинары и лекции, посвященные новым
областям математики. Это ускорило процесс роста молодых ученых. В семинарах
университета выросли Н. Н. Лузин, В. В. Голубев, И. И. Привалов, В. В. Степанов,
а затем П. С. Александров, А. Н. Колмогоров, Д. Е. Меньшов, -Л. Н. Сретенский,
П. С. Урысон, А. Я. Хинчин и др., составившие основу Московской математической
школы по438
еле Великой Октябрьской социалистической революции и завоевавшие ей своими
работами ведущее положение в науке.
Тематически объединение научных интересов значительной части московских
математиков (если не сказать большинства) произошло в начале XX в. вокруг
проблем теории множеств и теории функций. Внимание было обращено на исследование
основных понятий анализа (функции, производной, интеграла и т. д.) и операций
(например, разложение функций в ряды) с более общих точек зрения" Характерным
моментом многих исследований сделалось стремление к полному выяснений
действительного смыслового объема общих понятий и к их. обобщению, когда с их
помощью не удается получить исчерпывающий ответ на поставленный вопрос. При этом
наметилось много общих черт с творчеством выдающихся французских математиков
(Борель, Лебег, Бер и др.), с которыми Егоров и Млодзеевский познакомились во
время научных командировок во Францию.
Начало бурному развитию этого нового направления в Москве положили диссертация
И. И, Жегалкина о трансфинитных числах и работа Д. Ф. Егорова "О
последовательностях измеримых функций" (1911). Основным результатом последней
явилась теорема: всякая сходящаяся почти всюду последовательность измеримых
функций1 сходится равномерно на замкнутом множестве, дополнение к которому имеет
сколь угодно малую меру. Теорема эта сразу же подчеркнула значение исследований
по теории функций для всего математического анализа, позволив продвинуть те
вопросы, где трудность состоит в исследовании характера непрерывности и
сходимости,
Через год, в 1912 г., ученик Д. Ф/Егорова Н. Н. Лузин (1883- 1952) установил еще
более тесную связь структурных свойств измеримых функций с-более узким классом
непрерывных функций, открыв замечательное С-свойство: всякую измеримую функцию,
конечную почти всюду на некотором отрезке, -можно изменить на множестве сколь
угодно малой меры так, чтобы она. стала непрерывной на всем отрезке. Йазвание
этого свойства выбрано по начальной букве французского слова: continuite, что
означает непрерывность.
Открытие С-свойства создало сразу же широкие разносторонние возможности,
раскрытые и в значительной степени реализованные в книге Лузина "Интеграл и
тригонометрический ряд" (1915), представленной им в Московский университет в
качестве магистерской диссертации. Значение этой книги, определившей на многие
годы вперед линии развития метрической теории функций (т. е. части теории
функций, основывающей свои выводы на понятии меры множества), было оценено
тотчас после ее появления присуждением ее автору ученой степени доктора, минуя
степень магистра. Поэтому мы уделим некоторое место ее характеристике.
1 Измеримые функции - функции, у которых для любого действительного М множество
значений х, для которых f(x)"M, будет измеримо.
Н. Н. Лузин (1883-1952)
Выяснение взаимосвязей новой теории функций с математическим анализом было
главной целью этой книги. Более конкретная постановка задачи состоит в
совместном изучении структурных свойств определенных классов функций и
аналитического аппарата, изображающего этот класс функций и операции над ним.
При этом возможны две взаимно обратные постановки задачи: а) исходя из
структурного свойства функции определить аналитический аппарат, ее изображающий;
б) исходя из класса аналитических выражений отыскать структурное свойство
соответствующих функций.
440 ' ' •
В первой из шести глав книги Лузина дан общий обзор свойств измеримых множеств и
измеримых функций и вывод С-свойства, Вторая глава посвящена отысканию
примитивной функции. Примитивная, по Лузину, - это непрерывная функция, имеющая
данную функцию своей производной почти всюду (последнее обусловлено
необходимостью охватить обобщения понятия интеграла, введенные Лебегом и
Данжуа). Оказалось,, что всякая измеримая функция, конечная почти всюду, имеет -
примитивную. Лузин искал тут же примеры применения теоремы о существовании
примитивной. Он рассмотрел задачу Дирихле для круга,, Для произвольной измеримой
функции, конечной почти всюду на окружности, он доказал существование
гармонической функции, голоморфной внутри круга и принимающей значения этой
функции почти всюду на окрестности. Это обстоятельство открыло дорогу для
исследований в дальнейшем граничных свойств аналитических функций.
Изучение характеристических свойств первообразных функций" составившее
содержание третьей и четвертой глав, привело к выделению интеграла (в смысле
Римана, Лебега и Данжуа) с переменным верхним пределом из множества
первообразных данной функции.
Класс аналитических выражений, изучаемых Лузиным в раз* витии общей постановки
задачи,, есть класс тригонометрических рядов, прежде всего рядов Фурье. Их
свойствам посвящена пятая глава диссертации. Еще в 1912 г. Лузин опубликовал
пример тригонометрического ряда
У А,г cos пх + Вп sin пк (Ап - -"* 0, Вп - -" 0),
*•"*
--"оо П--"с*"
аись
№ tefi
Г
ш
I-1и
доказав, что указанные условия не обеспечивают сходимости тригонометрического -
ряда почти всюду "и который почти всюду расходится. Воспроизведя его чздесь, он
вывел в дальнейшем необходимые и достаточные условия для сходимости почти всюду
ряда Фурье для функции с интегрируемым квадратом (т. е. такой, что существует
интеграл Лебега от ее квадрата на отрезке от 0 до 2л). Введенный в связи с этим
особый интеграл
2JX
llmt S (* + *)- &(*-* ?-*о J а
(где функция g(x)-с интегрируемым квадратом) стал сильным средством
исследования. С его помощью Лузин, в частности, открыл свойство почти
симметричности измеримых функций.
Шестая глава посвящена определению условий представимости функций
тригонометрическими рядами. Здесь исследованы различные методы суммирования
тригонометрических рядов, неодно441
значность (и даже бесконечнозначность) изображения функции посредством
тригонометрических рядов. Выделение единственного способа разложения функции в
тригонометрический ряд Лузин связал с обобщением понятия интеграла. Он считал,
что неопределенным интегралом от f(x) следует назвать функцию Ф(х), являющуюся
суммой ряда, который получится при интегрировании ряда,
изображающегося).
Богатство идей, содержащихся в диссертации Лузина, до-разительно. Мы смогли дать
здесь о ней лишь первоначальное представление. Все основные понятия анализа:
функция (в том числе, .измеримая), производная, .интеграл и др. - подверглись
глубокому изучению с точки зрения меры соответствующих множеств. Метрическая
теория функций в России и в СССР имеет в лице Лузина ^своего основателя.
В 19.15 г. Лузин и его ученики, в первую очередь П. С. Александров и М. Я.
Суслин, начали заниматься дескриптивной теорией функций - тем ее направлением, в
котором исследуются представления широких классов функций при помощи предельного
перехода, отправляясь от непрерывных функций,
На историческом рубеже, когда Россия стояла перед Великой Октябрьской
социалистической революцией,, Московская школа теории функций представляла
объединение немногочисленных, но необычайно активно и плодотворно работающих
ученых, в большинстве молодых (А. Я. Хинчин, В. В. Голубев, Д. Е. Меньшов, П. С,
Александров, М. Я. С}слин,- П. С. Урысон и др.). Они и их младшие товарищи и
ученики обеспечили в дальнейшем внедрение идей теории функций в топологию,
теорию чисел, теорию вероятностей, качественную теорию дифференциальных
уравнений, теорию аналитических функций и в другие области математики.
Три научные школы: механики, дифференциальной геометрии # теории функций -
вписали наиболее яркие страницы в историю московской математики в период 18601917
гг. Однако изучение доказывает, что они не исчерпывают всех сторон
деятельности математиков Москвы, объединенных в большинстве в научное обще,ство.
Более того, многие значительные стороны деятельности Московского
математического общества этого периода, оказавшие .определенное фактическое
влияние на развитие математики, еще .слабо изучены. Можно надеяться, что в
будущем появятся новые .исследования, полнее раскрывающие деятельность, роль и
значение математиков Москвы.
Подведем итог. К началу XX в. Россия имела уже некоторое .количество ученыхматематиков.
Они сосредоточивались в Академии наук и в немногочисленных высших
учебных заведениях. В Москве и Петербурге они образовали научные объединения.
Сильные коллективы ученых-математиков работали в ряде городов России. Среди них
были выдающиеся представители, прославившие отечественную науку своими
достижениями. Однако и эта отрасль отечественной науки (мы имеем в виду
математику) носила
отпечаток гнетущего влияния отживающего общественно-экономического строя царской
России.
Деятельность замечательных ученых-математиков оставалась изолированной.
Математические отделения университетов были весьма немногочисленными;
математиков-ученых и преподавателей были буквально единицы. Доступ в математику,
как и во все другие науки, народным массам был закрыт. Гармонического развития
всего фронта математической науки, сколько-нибудь широких свя-злй ее с народным
хозяйством не было. В среде математиков были ученые с реакционными воззрениями.
После Великой Октябрьской социалистической революции, когда народ под
руководством Коммунистической партии приступил к строительству социализма,
наступила пора нового развития математики. Этот период развития советской
математики, период замечательных достижений, выдвинувших ее в первые ряды
мировой науки, находит свое отражение в коллективных трудах: "Математика в СССР
за 15 лет" (1933), "Математика в СССР за 30 лет" (1948), "Математика в СССР за
40 лет" (1959), "Математика в СССР, 1958-1967" (1970), а также в многочисленных
книгах и статьях.
Советские математики представляют ныне многочисленный отряд интеллигенции.
Вместе со всем советским народом они трудятся над построением коммунистического
общества в нашей стране, борются за мир во всем мире, за лучшее будущее всего
человечества. Изучение и обобщение опыта их практической и теоретической
деятельности представляет важную задачу научных исследований по истории
математики.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Настоящая книга написана с таким расчетом, чтобы помочь тем, кто ее вдумчиво
прочитал, достичь следующих результатов:
1. Накопить первоначальный запас фактических -знаний и сформировать
содержательное, научно обоснованное представление об истории математики, ее
предмете, научных задачах и об особенностях научных исследований.
2. Понять, в чем состоит научный, марксистский, подход к анализу и решению
проблем математики, связанных с задачей выявления закономерностей ее развития,
3. Приобрести вкус и необходимые навыки для дальнейшей работы над историческими
и методологическими проблемами математики и для более полного овладения методами
их исследований с позиций коммунистического мировоззрения.
Изложение доведено до первых десятилетий нашего века, вклго......
чительио. Позднейшее развитие математики оказалось невозможным осветить в
настоящей книге по следующим причинам:
а) научный материал, который при этом следует подвергать анализу или
даже только упоминать в качестве примеров" необычайно велик по объему,
содержание работ весьма разветвлено и во многих случаях узко специфично. Для
его изложения понадобилось бы сочинение гораздо большего объема, чем данная
книга, или даже несколько таких сочинений;
б) выявление закономерностей развития науки требует не только изучения
большого фактического материала. Чтобы эти законы можно было выявить,
необходим известный промежуток времени, нередко довольно значительный. При
несоблюдении этого условия резко снижаются возможности для объективного анализа
и обоснованных оценок и для отсеивания временного, случайного, наносного,
навеянного обстоятельствами кратковременного значения. Поспешность в оценках
в большинстве случаев приводит к ошибкам и заблуждениям. История математики
может представить примеры подобных заблуждений, к сожалению, многочисленные.
Среди читателей книги найдутся те, кто захочет продолжать работу по истории
математики и в области ее методологии. В их интересах в список литературы в
конце книги включено сравнительно большое число монографий, частью многотомных,
и научных сборников. Знакомство с ними может явиться следующим шагом в историконаучном
образовании читателя, вплотную подводящим его к возможности
самостоятельных научных исследований. Очень важно, чтобы в работе над фактами не
были потеряны из виду общие цели исследования и соответствующие методологические
основы. Материал, изложенный в главе 1, может при этом существенно помочь.
Список рекомендованной литературы состоит преимущественно из изданий на русском
языке. Это диктовалось соображениями доступности и повышения учебного
воздействия. Список может удовлетворить потребности не только тех, кто впервые
изучает историю математики, но и тех, кто приступает к первым научным
исследованиям.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Сочинения классиков марксизма-ленинизма
Маркс К. Математические рукописи. М., "Наука", 1968.
Энгельс Ф. Диалектика природы, В кн.: К. М арке и Ф.Энгельс. Собр.
соч., т. 20. Э в г е л ь с Ф. Анти-Дюринг. В кн.: К. Маркс и Ф. Э н г е л ь
с. Собр. соч.,
т. 20.
Ленин В. И. Материализм и эмпириокритицизм. Поли. собр. соч.,
т. 18. Ленин В. И. Философские тетради, Поли собр. соч., т. 29.
Издания общего характера об истории математики
"Математика в СССР за 15 лет". М., ГТТИ, 1938.
"Математика в СССР за 30 лет". М., ГТТИ, 1948.
"Математика в СССР за 40 лет, 1917-1957", тт. 1-2. М., Физматгиз, 1959.
"Математика в СССР, 1953-1967". М., "Наука", т. 1, 1969; т. 2, 1970.
"История отечественной математики", тт. 1-1 Изд-во АН УССР, 1966-1970.
"История математики", тт. 1-3. М., изд. ИИЕиТ АН СССР, 1970-......1972.
"История- и методология естественных наук". Изд-во МГУ, выходит с 1960 г, (вып.
V, 1966; вып. IX, 1970; вып. XI, 1971; вып. XIV, 1973).
"Историко-математические исследования" (далее сокращенно ИМИ), вып. 1--18. М.,
Г.......ГТИ - "Наука" (выходят с 1948 г.).
"Вопросы истории естествознания и техники". М., изд. ИИЕиТ АН СССР (выходят с
1956 г.).
Бур бак и Н. 'Очерки по истории математики,. М., ИЛ, 1963.
Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины 19 столетия. М.,
Физматгиз, 1960.
В и л е и т н е р Г. Хрестоматия по истории математики, М., ОНТИ, 1935.
КолмогоровА. Н. Математика. БСЭ, изд. 2, т. 26, стр. 464-483.
С т р о и к Д. Краткий очерк истории математики, изд. 2. М., ИЛ, 1969.
Шереметьевский В. П. Очерки по истории математики. М., Учпедгиз, 1940.
Книги об истории смежных наук
Б е р р и А. Краткая история астрономии. М., ГТТИ, 1946. Воронцов-Вельяминов Б.
А. Очерки истории астрономии в России. М.,
Гостехиздат, 1956. Г р и г о р ь я н А. Т. Очерки истории механики в России.
М., Изд-во АН СССР,
1961.
Моисеев Н. Д. Очерки по истории механики. Изд-во МГУ, 1961. Тюлина И. А.,
Ракчеев Е. Н. История механики. Изд-во МГУ, 1962.
В сб.: "Вариационные принципы механики". М., Физматгиз, 1959. Кудрявцев П. С.
История физики, тт. 1-2. М., Гостехиздат, 1956. Спасский Б. И. История физики.
Изд-во МГУ, т. 1, 1963; т. 2, 1964.
Издания первоисточников
Евклид. Начала, тт. 1-3. М.-Л., ГТТИ, 1948-1950. Архимед. Сочинения. М.,
"Наука", 1962.
445 .
Четыре сочинения о квадратуре круга. Архимед, Гюйгенс, Ламберт, Лежандр^ М. -
Л., ГТТИ, 1936.
Мухаммед Насирэддин Туей. Трактат о полном четырехстороннике, Баку, Изд-во АН
АзССР, 1952.
Аль-Хорезми Мухаммед. Математические трактаты. Ташкент, 1964.
Хайям О. Трактаты. М., Изд-во АН СССР, 1961.
Аль-Каши Д. Г. Математические трактаты. М., Гостехиздат, 1956.
Леонардо да В и н ч и. Ибранные естественнонаучные произведения, М.. Изд-во АН
СССР, 1955.
Кеплер И. Новая стереометрия винных бочек. М.-Л., ГТТИ, 1935.
К а в а л ь е р и Б. Геометрия неделимых. М.-Л., ГТТИ, 1940.
Декарт Р. Геометрия. М.-Л,, ГОНТИ, 1938.
Декарт Р. Рассуждение о методе. М.-Л., Изд-во АН СССР, 1953.
Гюйгенс X. Три мемуара по механике, М.-Л., Изд-во АН СССР, 1951.
Лейбниц Г. В, Избранные отрывки из математических сочинений. "Успехи5
математических наук", 1948, т. 3, вып. 1 (23).
Ньютон И. Математические работы, М.-Л,, ОНТИ, 1937.
Ньютон И. Всеобщая арифметика/М.-Л,, Изд-во АН СССР" 1948.
Ньютон И. Математические начала натуральной философии, тт. 1-2. СПб.,.' 1915.
Л о п и т а л ь Г, Ф. Анализ бесконечно малых, М.-Л., ГТТИ, 1935.
Больаи Я. Аппендикс. Приложение, содержащее науку-о пространстве, абсолютно
истинную.... М,, Гостехиздат, 1950.
Б о льда но Б. Парадоксы бесконечного. Одесса, 1914.
Галуа Э. Сочинения. М.-Л., ОНТИ, 1936.
Дедекинд Р. Непрерывность и иррациональные числа, Одесса, 1914. •
Дирихле Лежек Р. Лекции по теории чисел. М.-Л., ГТТИ, 1936.
К а р н о Л. Размышления о метафизике исчисления бесконечно малых, М.-Л.,, ГТТИ,
1930.
Ковалевская С. В. Научные работы. М,-Л., Изд-во АН СССР, 1948.
Кош и О, Алгебраический анализ. М., 1864.
К о ш и О. Краткое изложение уроков о дифференциальном и интегральном
исчислении. СПб., 1831.
Лаплас П. Опыт философии теории вероятностей. М, 1998.
Лобачевский Н. И. Собрание сочинений, тт. 1-5. М,, Гостехиздат, 1946- 1951.
Л v з и н Н. Н. Интеграл и тригонометрический ряд, М.-Л., Изд-во АН СССР, 1951.
Лузин Н. Н. Лекции об аналитических множествах и их приложениях. М.,
Гостехиздат, 1953.
Ляпунов А. М. Избранные труды. М.-Л., Изд-во АН СССР, 1948.
Марков А. А. Избранные труды. М., Изд-во АН СССР, 1951.
Мои ж Г. Приложения анализа к геометрии. М., ГТТИ, 1936.
Монж Г. Начертательная геометрия. Л., Гостехиздат, 1947.
"Об основаниях геометрии". Сборник классических работ по геометрии Лобачевского
и развитию ее идей. М., Гостехиздат, 1956.
Остроградский М. В. Полное собрание трудов, тт. 1-3. Киев, Изд-во АН УССР, 19591961.
Остроградский М. В. Избранные труды. М.-Л., Изд-во АН СССР, 1948.
Петерсон К- М. Об изгибании поверхностей. В сб.: ИМИ, вып. 5. М., Гостехиздат,
1952.
Р и м а н Б. Сочинения. М., Гостехиздат, 1948.
Чебышев П. Л. Полное собрание сочинений, тт. 1-5. М.-Л., Изд-во АН СССР, 19441951.
Чебышев П. Л. Избранные труды. М.-Л., Изд-во АН СССР, 1955.
Эйлер Л. Универсальная арифметика, тт. 1-2. СПб., 1768-1769.
Эйлер Л. Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами либо максимума,
либо минимума. М.-Л., ГТТИ, 1934.
Эйлер Л. Дифференциальное исчисление. М., Гостехиздат, 1949.
Эйлер Л. Интегральное исчисление, тт. 1-3. М., Гостехиздат, 1956-1958.
Эйлер Л. Введение в анализ бесконечно малых, тт. 1-2. М., Физматгиз, 1961.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА К ОТДЕЛЬНЫМ ГЛАВАМ
Предмет и метод истории математики
Александров А. Д. Общий взгляд на. математику. В сб.: "Математика, ее
содержание, методы и значение". М., Изд-во АН СССР, 1956,
В ей ль Г. О философии математики. М.-Л., ГТТИ, 1934.
Киселева Н. А, Математика и действительность. Изд-во МГУ, 1967.
Статьи Гнеденко Б. В., П о г р е б ы с с к о г о И, Б., Р ы б н и к о в а К. А.,
Я н о в с к о и С. А. о предмете и о значении истории математики в сборнике ИМИ,
вып. 11. М., Физматгиз, 1958.
Г л а в а 2 Процесс формирования математических представлений
Б е р е з к и н а Э. И. Древнекитайский трактат ^Математика в девяти книгах".
В сб.: ИМИ, вып. 10. М., Гостехиздат, 1957, стр. 425-586. Ван дер В ар дан Б,
Л. Пробуждающаяся наука, гл. 1-3. М., Физматгиз,
1959.
Выгодский М. Я Арифметика и алгебра в древнем мире,, гл" I-2, М., "Наука",
1967. Б а ш макова И. Г., Ю ш к е в и ч А. П. Происхождение систем
счисления.
"Энциклопедия элементарной математики", т. I, 1951. Ней г е б а у э р О.
Лекции по истории античных математических наук (догреческая
математика), т, 1. М,, ОНТИ, 1937.
Нейгебаузр О. Точные науки в древности. М., "Наука", 1968. X у а Л о - к е н.
Современное положение1 математики в Китае. "Вестник АН
СССР", 1953, № б, стр. 14-20. Юшкевич А. П. История математики в средние века,
гл. 1-2. М., Физматгиз,
1961.
Б а ш м а к о в а И. Г. Лекции по истории математики в древней Греции. В сб.:
ИМИ, вып. 11. М., Физматгиз, 1958, стр. 225-438,
В а н дер В а р д е н Б. Л. Пробуждающаяся наука, гл. 4-8. М., Физматгиз, 1959.
Выгодский М. Я. Арифметика и алгебра в древнем мире, гл. 3. М., "Наука", 1967.
Ц е и т е н Г. Г. История математики в древности и в средние века, изд. 2. М.-
Л., ГТТИ, 1938.
Глав а 4 Развитие элементарной математики
Абельсон И. Б. Рождение логарифмов. М., Гостехиздат, 1948.
Гиршвальд Л. Я. История открытия логарифмов. Изд-во ХГУ, 1952.
Гнеденко Б. В. Очерки по лстории математики в России. М.-Л., Гостехиздат, 1946.
МатвиевскаяГ. П. К истории математики в Средней Азии. Ташкент, 1961.
Матвиевская Г. П. Учение о числе на средневековом Ближнем и Среднем Востоке.
Ташкент, 1967.
Матвиевская Г. П. Развитие учения о числе в Европе до XVII века. Изд-во АН
УзССР, 1971.
Цейтен Г. Г. История математики в XVI-XVII веках, гл. 1-2. М.-Л., ГТТИ, 1938.
Юшкевич А. П. История математики в средние века, гл. 3-4. М., Физмат-j гиз,
1961.
•
Г л а в а 5 I
Процесс создания математики переменных величин Ш
Р ы б н и к о в К. А. Об алгебраииеских корнях дифференциального исчисления!
В сб.: ИМИ, вып. И. М,, Физматгиз, 1958, стр. 583-592. ,
•
"Исаак Ньютон, 1643-1727", М.-Л, Изд-во АН СССР, 1943.
И
"Московский университет - памяти Ньютона". Изд-во МГУ, 1946.
'
Цейтен Г. Г, История математики в XVI и XVII веках" гл. 3. М.-Л., ГТТИ,
1938. Медведев Ф. А. Развитие понятия интеграла. М,, "Наука", 1974.
Г л а в а 6
Развитие основных частей математики в XVIII веке
Дорофеева, А. В. Развитие вариационного исчисления как исчисления вариаций. В
сб.: ИМИ, вып. 14. М., Физматгиз, 1961, стр. 101-181.
К о л ь м а н Э. Бернард Больцано. М., Изд-во АН СССР, 1955.
"Леонард Эйлер", М., Изд-во АН СССР, 1958.
М о н ж Г. Сборник статей. М.-Л., Изд-во АН СССР, 1947.
Рыбников К. А. Первые этапы развития вариационного исчисления, В сб.: ИМИ, вып"
2. М., Гостехиздат, 1949,
"Сборник статей к 200-летию со дня рождении Ж.-Л. Лаграижа". М., ГТТИ, 1.937.
С и м о н о в Н. И. Прикладные методы анализа у Эклера. М,, Гостехиздат, 1957.
С т р о и к Д. Очерк истории дифференциальной геометрии до XX столетия. М.-Л.,
ГТТИ, 1941.
Паплаускас А. Б. Тригонометрические ряды (от Эйлера до Лебега). М., "Наука",
1966. '' '
Г л а в а 7 Начало периода современной математики
Б е л о з е р о в С. Е. Основные этапы развитая общей теории аналитических
функций. Изд-во РГУ, 1962.
Гильберт Д. Основания геометрии. М., ГТТИ, 1948.
Делоне Б. Н. Краткое изложение доказательства непротиворечивости планиметрии
Лобачевского. М.-Л., Изд-во АН СССР, 1953.
К а г а н В. Ф. Лобачевский. М., Изд-во АН СССР, 1944.
Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии, ч. 1. М.-Л., ОНТИ, 1937.
Маркушевич А. Н. Очерки по истории теории аналитических функций. М.-Л.,
Гостехиздат, 1951.
Медведев Ф. А. Развитие теории множеств в XIX веке. М., "Наука", 1965.
"Проблемы Гильберта". М., "Наука", 1969.
"Карл Фридрих Гаусс". М., Изд-во АН СССР, 1956.
Тимченко И. Ю. Основания теории аналитических функций, ч. 1. Исторические
сведения о развитии понятий и методов, лежащих в основании теории аналитических
функций. Одесса, 1899.
Яновская С. А. Передовые идеи Лобачевского - орудие борьбы против идеализма в
математике. М., Изд-во АН СССР, 1950.
Г л а в а 8 Математика в России
Галченкова Р. И. Математика в Ленинградском (Петербургском) универ* ситете в XIX
веке. В сб.: ИМИ, выи. 14. М., Физматгиз 1961.
Гнеденко Б. Б. Очерки по истории математики в России. М.-Л., Гостех-издат, 1946.
Гнеденко Б. В., П о г р е б ы с с к и и И. Б. Михаил Васильевич Остроградский.
М., Изд-во АН СССР, 1963.
Я ел о не Б. Н. Петербургская школа теории чисел. М.-Л., Изд-во АН СССР, 1947,
"История естествознания в России". М., Изд-во АН СССР, т. 1, 1957; т. 2, 1960.
"Очерки по истории физико-математических наук в Казанском университете". В сб:
"Ученые записки Казанского университета", I960, вып. 20, кн. 7.
"Роль русской науки в развитии мировой науки и культуры". В сб": "Ученые записки
МТУ", 1947, вып. 91.
Статьи, посвященные развитию математики и механики в Московском университете в
сборниках ИМИ, вып. 1, 1948 и вып. 8, 1955.
Юшкевич А. П. История математики в России до 1917 г. М., "Наука", 1968.
Именной указатель
Абель (Abel N. Н.) (1802-1829). -
117, 231; 288, 305, 309, 313, 316-320,
332, 383, 415 Адамар (Hadamard J.) (18651963),.
- 301, 332, 392, 420 Александров А. Д. (р. 1912). - 16,
409, 448 Александров П. С. (р. 1896). - 16,
442 Ампер (Ampere А.) (1775-1836). -
278, 337, 346, 413
Андронов А. А. (1901-1952). - 364 Аполлоний (ок. 260-170 до н. э.).-
60, 81, 82, 83, 85, 87, 93, 150, 261 Аппель (Appel Р.) (1885-1930). -
Араго (Arago D.) (1786-1.853). -346 Арган (Argand) (1768-1822). - 286,
374, 375'
Ариабхата (р. 476 до н. э.). - 40-42 Аристарх из Самоса (310?-230? до
н.э.). -86
Аристотель (384-322 до н. э.). - 59 Арнольд И. В. (1900-1948). -342 Архимед
(ок. 287-212 до н. э.). -
59-62, 68-81, 86, 87, 93, 105, 108,
109, 127, 152, 154, 155, 157, 161, 163,
164 Архит из Тарента (ок. 428--365 до
н.э.).- 49, 59
ал-Баки (ум. ок. 1100) " - 100 Бари Н. К. (1901-1961). -• 209 Барроу
('Barrow J.) (1630-1677).-
78, 152, 170, 171, 181, 222 Ваше де Мезириак (iBachet de Meziriak)
(1587-1638).'- 92 Башмакова И. Г. (р. 1921). - 291,
ЗШ, 448
Безу (Bezout Е.) (1730-1783). - 282 Бейес (Bayes Th.) (ум. 1763). -307 Бельтрами
(Beltrami EX) (18351900).
- 402-404 Березкина Э. И. (р. 1931). - 29, 34,
448 Беркли (Berckeley) (1684-1753). -
12,211 Бернсайд (iBurnside) (1852-1927).-
324 Бернулли Д. (Bernoulli D.) (17001782).
- 73, 193-197, 207, 225, 235,
255, 307, 346 Бернулли И. ((Bernoulli Jo.) (16671748).
- 183, 189, 191, 193, 195, 199,
203, 227, 232, 234, 248, 368. 369 Бернулли Н. (Bernoulli N.) (16951726).
- 193, 195, 235 Бернулли Я. (iBernoulli .Ja.) (16541705).
- 140, 183, 186, 189, 193, 235,
248, 249, 254, 307 ^_.
Бертран (Bertrand J.) (1822-1900). -IH
393 Бессель (BesselF.W.) (1784-1846).-
231, 243, 358, 375
Бетти (iBetti Е.) (1823-1892),, - 322 Био (Biot 1-B.) (1774-1862). - 346 Биркгоф
(Birkhoff G.) (1884-1944).-
ал-Бируни (973 — ок. 1060). - 103 Боголюбов Н. Н. (р. 1909).- 260 Больцано
(Bolzano В..) (17811848).-
208, 213, 333-341 Больяи (Boiyai J.) (1802-1860).-
310, 397 Бомбелли (Bombelli R.) (ок. 15301573).
- 118-120, 368 Борель (Borel Е.) (1871-1956). -
344, 393, 439
Брахмагупта (598--626),, - 40-42 Брапшан Н. Д. (1796-1866).-432434
Бредихин Ф. А. (1831-1904). - 431 Бреккенридж (ок. Г/45). - 263 Бржечка Б.
Ф. (1891-1954). - 339 Бригг (Briggs D.) (1561-1631). -
131-133 Бугаев Н. В. (1837-1903). - 322,
429, 433 Буняковский В. Я. (1804-1889). -
345, 416, 417, 419, 431 Бурбаки Н. (Bourbaki N.). -191 Бхаскара А. (1114--ок.
1185). - 41,
42 Бэр (iBaire) (1874-1932). - 344, 393
439 Бюрги (Burgi J.) (1552-1632).-
126-128 Валле-Пуссен (Vallee-Poussin)
(1866-1962). -301, 420 Валлис (Wallis J.) (1616-1703).-
92, 152, 163, 170, 181, 222, 296, 299,
Ван Сяо-тун (VII в. н.э.). -34, 35 Ван Фу-чун. - 39 Ван дер Варден (van
der Waerden)
(p. 1903).- 27, 448 Ванцель (Wantzel P. L.) (18141848).
-53, 54 Варинг (Waring E.) (1734-1798).-
288, 292, 293, 303, 304 Вариньон (Varignon P.) (16541722).
- 223 Вебер (Weber H.) (1842-1913).-
322, 388 Вейерштрасс (Weierstrass К.) (18151897).
- 209, 256, 259, 336-339, . 342, 343, 384, 386, 389-393, 428
;9:УЁ(|
Бейль (Weyl H.) (1885-1955). -
260, 325, 386, 448 Вессель (Wessel) (1745-1818).-286,
374, 375 Виет (Viete F.) (1540-1603).- 98,
И9-127, 150, 157, 168 Билейтнер (WieJ eithner) (18741931).
- 446 Виноградов И. М. (р. 1891). - 39, 92,
303, 304, 421
Влакк А. (1600-1667). - 39, 133 Вороной Г. В. .(1868-1908). - 421,
426 Вронский (Wronski H.) (1778'1853),
- 415 Галилей (Galilei G.) (1564-1642).-
138, 152, 157, 165, 170, 204, 362 Галлей (Halley Е.) (1656-1742). -
81, 85, 284, 289 Галуа (Galois E.) (1811-1832).-
10, 56, 117, 291, 292, 295, 309, 313,
314, 319, 318-326 Гамильтон (Hamilton W, R.) (18051865),.-326,
345, 356 Гаусс (Gauss К.) (1777-1855). -
9, 92, 146, 193, 197, 231, 257, 278, 284,
286, 290, 298, 300, 305, 307,-310316,
345"-353, 374-376, 384, 386,,
394, 397,, 401
Гейне (Heine H.) (1821-1881).- 341 Гейрат (van Heiraet) (p. 1633). -• 151
Гельмгольц (Helmholz H.) (1821 -
1894). - 354, 384, 408, 428 Гельфонд А. О. (1906-1966). - 92,
304, 305
Герберт (940-1003). - 107
Герои' (I в. н.э.). -59, 90
Гильберт Д. (Hilbert D.) (18621943).
- 62, 260, 300, 304, 305, 325,
386, 388, 396, 404, 408, 449 Гинденбург (Hindenburg К. F.)
(1741-1808). - 308 Гипатия (370-415). - 89, 93 Гиппий из Эллады (V в. до н.
э.).-
53 Гиппократ Хиосский (V в. до н.э.).-
48, 52, 55, 60 Гливенко В. И. (1896-1940). - 220
Гнеденко Б. В. (р. 1912). - 16, 449, 450
Голубев В. В. (1884-1954). - 16,
438, 442 Гольдбах (Goldbach Ch.) (16901764).
- 235, 297, 304 Гончаров В. Л. (1896-1955). - 389
Горнер (Horner) (p. 1819). - 36, 99, 295
Граве Д. А. (1863-1939). - 426 Грассман (Grassman G.) (1809- 1877).-
Грегори (Gregory J.) (1638-1675).-
170 Грин (Green) (1793-1841). - 345,
347, 349, 385
Гуа (de Gua) (1712-1785). - 284 Гудде (Hudde) (1628-1704). - 166 Гурса. -
380, 393 Гурьев С. Е. (1766-1813). - 328 Гэн Чоу-чан (I в. до н. э.). - 29
Гэриот (Harriot Th.) (1560-1621).-
122 Гюйгенс (Huygens Ch.) (16291695).
- 140, 181, 186, 204 Давидов А. Ю. (1823-1885). -431,
433__435
Даламбер (D'Alembert) (1717-1783).
- 188, 193, 201-206, 211, 218, 224,
231, 234, 236, 237, 241, 281, 282, 286,
290, 327, 328, 332, 358, 369-372, 378,
384, 387 Данжуа (Denjou А.) (р. 1884). -
209, 441
ван Данциг. - 325 Дарбу (Darboux) (1842-1917). - 75,
286; 339, 357, 394, 437 Дедекинд (Dedekind R.) (1831 -
1916). - 58, 59, 340-342, 388, 408,
446 ' Дезарг (Desargues) (1593-1662). -
140, 186, 192, 278-280, 394 Декарт (Deskartes R.) (1596-1650).-•
15, 53, 123, 139-152. 165, 166, 169,
181, 190, 199, 204, 26 i, 263, 283, 290,
296, 314 Делоне Б. Н. (р. 1890). - 92, 305,
421, 449, 450 Демокрит (ок. 460--370 до н. э.). -
67 Деталь (Dechales) (1621-1678). -
191 Джоуль (Joule J.) (1818-1889). -
Динострат (IV в. до н. э.).--78 Диоклес (II в. до н. э.). - 90 Диофант (III в.
н. э.). -90-93, 127,
296, 297
Дирак (Dirac P.) (р. 1902). - 325 Дирихле (Dirichlet P. G.) (18051859).
- 208, 209, 257, 258, 301, 345,
349, 353, 354, 385, 386, 419, 441, 447 Долбня И. П. (1853-1912). - 426 ДюбуаРеймон
(Du Bois Reymond)
(1818-1896). - 208, 428 Дюгамель (Duhamel) (1797-1872).-
414 Дюпен (Dupin P. Ch.) (1781-1873).-
271, 278 Евдокс (ок. 408 - ок. 355 до н. э.).-
57-59, 63, 68 Евклид (IV в. до н. э.). -48, 57, 6067,
71, 80, 87, 93, 105, 109, 161, 261,
280-282, 296, 300, 301, 396-401,
405-409, 419, 446 Евтокий (VI в. н. э.). - 94 Егоров Д. Ф. (1869-1931). -
' Ермаков В. П. (1845-1922). - 332,
Жегалкин И. И. (1869-1947). -439 Жерар (1114-1187'). - 108 Жирар (Jirard
А.) (1595-1632). -
123/290,314 Жордан (Jordan С.) (1838-1922).-
209, 323, 324, 361, 393 Жуковский Н. Е. (1847-1921). -
356, 392, 414, 429, 430, 434-437 Зейдель (Seidel А.) (1821-1896). —
322 Зенодор (III-II вв. до н. э.). - 79,
90, 93 Зенон Элейский (ок. 490 - ок. 430 до
н. э.). -67, 68
Зенф (Serif К.) (1810-1849). - 437 Золотарев Е. И. (1847-1878). -
421 --426 Имшенецкий В. Г',. (-1832- 1892)., -
426, 431 Кавальери (Cavalieri В.) (15981647).
- 134, 152, 157-161, 164,
182, 447 Кантор (Cantor G.) (1845-1918). -
209, 341-343, 365, 408 Каратеодори (Caratheodory) (18731950).
- 344 • Кардано (Cardano G.) (1501-1576).-
116-123,190,287 Карно Л. (CarnotL.) '(1753-1823).-
213, 278, 280, 447 Карно С. (Carnot S.) (1796-1832).-
354 Картам (Cartan Е.) (1869-1951).-
325, 394
ал-Кархи (XI в. н. э.).-100 ал-Каши (ум. ок. 1530). - 98, 99, 103,
126, 447
Келдыш М. В. (р. 1911). - 437 Кеплер (Kepler Jo.) (1571-1630). -
125-128, 138, 140, 152-157, 447 Кестнер (Kastner) (1719-1800). -
224, 336 Кирхгоф (Kirchhoff) (1824-1887). -
384-386, 428 Клаузен (Klausen Т.) (1801-1885).-
56 Клаузиус (Clatisius R.) (1822-1888).
- 354
Клебш (Clebsch) (1833-1872). -263 Клейн (Klein F.) (1849-1925). -
280, 324, 325, 361, 392-394, 404407,
449 Клеро (Clairaut A.) (1713-1765). -
151, 192, 225, 236, 238, 263, 268, 269
346, 370 Клюгель (Rlugel G. S.) (17391812).
-281,282 Ковалевская С. В. (1850-1891). -
360, 361, 392, 427-430, 447 Кодацци (1824-1873). - 437 Колмогоров А. Н. (р.
1903), - 14, 16,
39, 186, 422, 423, 438, 446 Кольман Э. (р. 1892). - 336, 449 Кондорсе (de
Con dor set) (17431794).
-223, 307 Коперник Н. (1473-1543). - 111, 119,
153 Коркин А. Н. (1837-1928). -357,
421, 426 Коши (Cauchy О. L.) (1789-1857).-
13, 186, 203, 213, 216, 224, 286, 318,
323, 329-340, 345, 358-361, 374383,
390, 392, 413, 428, 447 Крамер (Kramer) (1704-1752). -
284, 288 Кронекер (Kronecker L.) (18231891).
- 315, 316, 322, 343 Крылов А. Н. (1863-1945). - 227 Крылов Н. М. (18791955),
- 260 Куммер (Rummer E.) (1810-1893).-
300 322 343
Курант Т?! V- 1888)."-260,, 386 Кэли (Cayley) (1821-1895). - 10,
186, 280, 323, 394, 404 Лаврентьев М. А. (р. 1900). - 260,
4Я7 Лагерр (Laguerre) (1834-1886). -
392, 424 Лагир (de Lahire) (1640-1718). -
151, 186 Лагранж (Lagrange J. L.) (17361813).
- 10, 44, 151, 188, 193, 204,
212-218, 224, 228, 234, 238, 241, 245,
247, 254, 255, 272, 284, 286, 290-295,
303, 304, 319, 323, 327, 333, 355, 356,
414, 430 Лакруа (Lacroix. S.) (1764-1848).-
151, 207, 208, 242, 268, 279, 282 Ламберт (Lambert J.) (1728-^1777).-
55, 193, 224, 272, 282, 304 Ламе (Lame G.) (1795-1870). - 231,
358, 414 Лаплас (Laplace P. S.) (1749-1827).
- 188, 193, 225, 233, 241, 244, 245,
286, 307, 346, 348, 352, 362, 376, 385r
413, 416, 421, 429, 447 Лебег (Lebesgue A.) (1875-1941).-
209, "260, 344, 393, 439, 441 Лебедев Д. Н. (1840-1880). -435 Леви-Чивита
(Levi-Civita T.) (18731941).-408
Лежандр (Legendre А. М.) (17521833).
- 55, 193, 226, 229, 255, 256,
282, 298, 301, 304, 305, 307, 358, 419,
420 Лейбниц (Leibniz G. W.) (1646!716).
-12, 15, 33, 79, 136, 140, 145,
171" 178-190, 198, 203, 210, 211,
217-222, 225-228, 233, 235,, 248,
249,, 254, 296, 302, 307., 340, 368, 369 Ленин -В. PL (1870-1924). - 8, 436,
Леонардо Пизанский (Leonardo Pisa-no; Fibbonacci) (1170-1250). -
108-110, 301
Летников A. B. (1837-1888). - 433 Ли (Lie S.) (1842-1899). - 10, 312,
324, 325, 361, 362, 364 Линдеман (LindemaH F.) (18521939).
-55, 304 Липшиц (Lipschitz) (1832-1903). -
360 Литлвуд (Littlewood) (p. 1885). -
303 Лиувилль (Liouville J.) (1809-1882),.
- 231, 278,, 322, 357, 383, 415 Ли Чун-фэн (VII в, н. э.). - 29 Ли Янь. -
28 Лобачевский Н. PL (1792-1856). (tm)
13, 55, 67, 208., 281, 282, 310, 332,
353, 354, 392-408, 417, 447 Ломоносов М. В. (1711-1765). -
188, 195, 196, 411 Лопиталь (de L'Hospital) (16611704).
- 184, 188, 288, 447 Лоран (Laurent P. A.) (1813-1854).-
383, 390 Лоренц (Lorentz G.) (1853-1928).-
362, 363 Лузин Н. Н. (1883-1952). --- 209, 227,
438-442, 447 Любимов Н. А. - 431 Люилье (L'Huilier S.) (1750-1840).-
212, 328 Люрот (Lurot J.) (1844-1910). -
Лю Синь (I в. н. э.). - 30 Люстерник Л. А. (р. 1899). - 260 Лю Хуэй (III в. н.
э.). - 29, 30, 39 Ляпунов А. М. (1857-1918). - 349,
350, 363-366, 422, 423, 426, 430, 447 Магавира (IX в. н. э.). - 41 Мазер
(Maseres F.) (1731-1824). -
286 Майер (Mayer R.) (1814-1878). -
Майнарди (Mainardi) (1800-1879).- . 437 Маклорен (Maclorin С.)
(16981746).
- 193, 211, 216, 217, 223, 226,
263, 284, 332, 334 Марков А. А. (1856-1922). - 421423,
429, 447
Маркс К. (Marx К.) (1818-1883).-
16, 88, 114, 139, 178, 209-213, 216220,
409, 446 Маркушевич А. И. (р. 1908). - 16,.
109, 373, 449 Мебиус (Mobius A.) (1790-1868). -
268, 280, 394 Менье (Menier J.) (1754:-1799). -•
192, 267, 272 Меньшов Д. Е. (р. 1892). - 39, 209,
438, 442 Меркатор (Mercator N.) (1620-1687),
- 133, 134
Мерсенн (Mersenne M.) (15881648).
-204
Мера (Мегау) (1835--1911). - 341 Миндинг Ф. Г. (1806-1885).. - 278,
357, 402, 437
.Миттаг-Лефлер (1846-1927),. - 392 Млодзеевский'Б. К. (1858-1923)-. -
437-439
Монж (Monge G.) (1746-1818). - 192, 193, 241, 243, 267, 272-280, 286,
358, 449
Мопертюи (Maupertuis) (1698---
1759). - 263, 269, 356 Муавр (Moivre A.) (1667-1754). -
192, 306, 307, 421 Муаньо (Moigno F. N.) (18041864).--360
Наве (Nave A. della). - 115 Насирэддин ат-Туси (1201-1274). -
100,104
Нейгебауер О. (р. 1899). - 27, 28, 448-Нейль (Neil W.) (1637-1670). - 151 Нейман
К. (Neurnar.ui К.) (18321935).
-349 Нейман Ф. (Neumann F.) (17981895).
-259, 345, 386 Неморарий (Nemorarius J.) (XIII в.),
- 110
Непер (Neper J.) (1550-1617). -
128-132 НетерМ. (NoetherM.) (1844-1921).-
Николь (Nicolle F.) (1683-1758).- 263
Никомед (III-II вв. до н. э.). - 89 Ньютон (Newton I.) (1642-1727). - 12, 15,
100, 101, 136-140, 145, 151, 170-185, 198, 199, 210-212, 216- 223, 227,
248, 261-264, 283-285, 288-293, 328, 340, 346, 416, 447 Ольденбург Г.
(1615-1677). - 182 Орезм Н. (Oresme N.) (1323-1382).-
110, 127
Остроградский М. В. (1801-1861)."- 256, 257, 345, 348, 353, 356, 400, 411417,447
Папп из Александрии (III в. н. э.).-
93, 143-145
Паран А. (1666-1716). - 151 Паскаль (Pascal (B.) (1623-1662).-
38, 44,- 134, 136, 140, 152, 161, 181,
182, 186, 190, 191, 279, 280, 296, 297,
394 Пачиоли (Pacioli L.) (1445-1514).-
190 Паш (Pasch М.) (1843-1930). - 62,
408 Пеано (Peano G.) (1858-1932). -
62, 360, 408 Пелль (Pell I.) (1610-1685). - 44,
Перрон О. (р. 1880). - 394 Петерсон К. М. (1818-1881). - 433,
436, 437, 447
Петровский И. Г. (1901-1973). -260 . Пиери (Pieri). - 62, 408 Пикар (Picard
E.) (1856-1941). -
361, 392, 393 Пифагор (VI в. до н. э.). - 33, 39,
40, 47, 48, 50, 51, 62, 109, 397 Платон (429-348 до н. э.). -47 Понселе
(Ponselet J.-B.) (17881867).
- 192,394
Понтрягин Л. С, (р. 1908). - 325 Постников.А. Г. (р. 1921). - 420 Привалов И.
И. (1891-1941). - 438 Прокл (410-485). - 93, 94 Пташицкий И. Л.' (1854-1912).
-----426 Птолемей (II в., н., э.). •- 90, 93, 104,
108 Пуанкаре (Poincare Н.) (1854-•
1912). --- 325, 349, 360, 363-365,
392, 393, 405, 429 Пуансо (Poinsot L.) (1777-1859).-
"430 Пуассон (Poisson) (1781-1840). -
278, 307, 340, 345-347, 353, 356, 376,
377, 413 Пфафф (Pfaff I.-F.) (1765-1825). -
242, 276, 277, 358, 359 Пюизё (Puiseux V.) (1820-1883). -
383 Раабе (Raabe J.-L.) (1801-1859). -
332 Региомонтан (Regiomontanus) (14361476).
- 111, 114 Ретикус (1514-1576). - 125 Риккати (Ricatti J.) (16761754).
-
191, 234, 235, 357 Риман (Riemann В.) (1826-1866). -
73, 203, 209, 258-260, 301, 353, 354,
382-392, 407, 441, 447 Риччи-Курбастро (1853-1925). -408 Роберваль (1602-1675).
- 152, 166 Розенфельд Б. А. (р. 1917). - 101 Ролль (Rolle М.) (16521719).
-
167, 289
ван Роумен. - 99 Руффини (Ruffini P.) (1765-1822) -
36, 99, 192, 295, 316, 318, 323 Савар (Savart F.) (1791-1841). - 346 Саккери
(Saccheri D.) (1667-1733).-
281, 282, 397 Сальмон (Salmon G.) (1819-1904).-
Самарский А. А. fp, 1919). -352 Сарватасидда. - 40 Сельберг А,. -420 Сен-Венан
(Saint-Venant) (' 17971886).
-278 Серре (Serret J.--A.) (1819-1885).-
278, 322 Сильвестр (Silvester J. J.) (18141897).
- 263, 420
Симпсон (Simpson Т.) (1710-1761).- 307
Скоутен (van Scooten) (16151660),.-
147 Слудский Ф. А. (1841-1897). -
433-435 Сомов И. И. (1815-1876). - 384, 426,
433, 434
Сонин И. Я. (1849-1915),, - 426 Сохоцкий Ю. В. (1842-1929). - 426 Спасский Б.
И. (р. 1911). - 348, 446 Спейдель Дж. - 133 Сретенский Л. Н. (1902-1973).
-
437, 438 Стевин (Stevin S.) (1548-1620). -
98, 119, 125, 127, 286 Стеклов В. А. (1864-1926). - 426 Степанов В. В.
(1889-1950). - 438 Стильтьес (Stieltjes Т.) (18561894).---393
Стерлинг (Stirling J.) (1692-1770).-
193,225,263,284,288 Стоке (Stokes G.) (1819-1903). -
332, 345
Столетов А. Г. (1839-1896). - 431
Су Бо-цин. - 39
Сунь-цзы (III в.). - 38
Суслин М. Я. (1894-1919), - 442
Тарталья (Tartaglia) (ок. 14991557).
- 115-117, 190, 287 Тауринус Ф. - 397 Тейлор (Taylor В.) (1685-1731).
-
193, 204, 217, 222-224, 236-238,
333, 334, 383
Теон из Александрии (IV в.). - 49 Теэтет (начало IV в. до н.э.). - 49 Тихонов
А. Н. (р. 1906). - 352 Томсон (Thomson Kelvin WJ (18241907).
-257, 345, 354, 386 Торричелли (Torricelli E.) (16081647).
- 152, 161, 164 Улуг-бек (1411-1449). -98, 103
Урусов С. С. - 433
Урысон П. С. (1898-1924). - 438,
Фаддеев Д. К. (р. 1907). -92 Фальк. - 380
Федоров Е. С. (1853-1919). -10, 323 Феодосии (I в. до и. э.). - 93 Ферма П.
(1601-1665). -• 92, 134,
139, 149-152, 162, 163, 167, 186,
190., 191, 222, 261, 263, 285, 296-299 Феррари (Ferrari L.) (1522-1565).---
116, 117,287 Ферро (Ferro Scepion del) (14651526).,
- 115, 116 Фидий,, - 71 Фиников -П. С. (1883-1964),. - 39,
Фиоре. - 115 Фихтенгольц Г. М. (1888-1959), -
Фогель. - 28
Фохт (Vogt К.) (1815-1895). - 362 Фредго'льм (Fredholm E.) (18661927).
- 349 Френд (Frend W.) (1757-1841). -
286 Френе Ж. (Frenet J. Е.) (18161900).
-----278
Френель О. (1788-1827). - 232 Фреше P. (Frechet R.) (р. 1878),, -
Фукс (Fuchs) (1833--1902). - 393 Фурье Ж. (Fourier J. В.) (1768'1830).
- 39, 207,, 208, 228, 284, 345,,
350--354, 384, 413, 414, 441 Хайам О. (ок. 1040 -ок. 1123).-
101, 105 Хакдриков М. Ф. (1837-1915). -
431 Харди Г. (Hardy G.) (1877-1947).-
303 Хаусдорф (Hausdorf F.) (18681942).
-344
Хинчин А. Я. (1894-1959). - 438, 442 ал-Хорезми (IX в.). - 100-102, 447 Цейлен
Л. ван (1539-1610). -126 Цейтен (Zeuthen H.) (1839-1920).-
56, 144, 146, 449
Цзу Чун-чжи (430-501). - 30 Цингер В. Я. (1836-1907). - 431435
Цинь Цзю-шао (XIII в.). - 35, 38 Чаплыгин С. А. (1869-1942). - 393,
Чеботарев Н. Г. (1894-1947). - 56,
284, 289, 318, 322, 323, 415, 426 Чебышев П. Л. (1821-1894). - 9,
301, 306, 357, 365, 388, 417-426,
429-434, 447 Черепнин Л. В., - 114 ЧжанХэн (78-139). -30 Чжан Цан (II в., до н.
э.). - 29 Чжан Цяю-цзянь (VI в.). - 30 Чжеиь Луань (VI в. н. э.). ----- 29 Чжу
Ши-цзе (ок. 1300). - 36 Чирнгаузен Э. В. фон (1651-1708).-
287 Шаль М. (1793-1880). - 263, 280,
Шарпи П. (ум. ок. 1785). - 241 Шафаревич И. Р. (р. 1923). - 300,,
322 Шварц Т. (Schwarz G.) (18431921).
- 259, 349, 386, 393, 417 Швейкарт Ф. (1780-(tm) 1857). - 397 Шевалье
(Chevallier О.).-- 322 Шиккард В. ~- 135, 136, 190 Шиллинг. - 401
Шмидт О. Ю. (1891-1956). - 426 Шредингер Э. - 325 Штаудт (Staudt Ch.) (17981867)1
-
280, 394
Штейнер Я. (1796--1863). - 263, 394 Штифель М. (ок. I486--1567). - 99,
Штурм (1803-4855). - 358 Шуберт Ф. (1758-1825). - 373 Шур И. (Schtir J.)
(1875-1825). —
Шэн Ко (XI в.). - 37 Шюке (Chuquet N.) (XV в.). - 33,,
ПО Эйлер Л. (Euler L.) (1707-1783). -
327, 331, 334, 346, 354, 356, 358,
369-374, 378, 380, 384, 387; 410,.
411, 419, 430, 447 Энгельс Ф. (Engels F.) (1820-1895).
- 46, 88, 114, 139, 140, 409, 446 Эратосфен (ок. 276-194 до н. э.).-
53, 60,72, ИЗ Эрмит Ш. (Hermite Ch.) (18221901).
- 268, 392, 393, 415, 424 Юшкевич А. П. (р. 1906). -101, 449,
450 Якоби (Jacob! К.) (1804-1851). -
231, 241, 356, 359, 383 Яновская С. А. (1896-1966). - 449" Ян Хуэй (XIII
в.). - 37
Поділитися у соцмережах
