Жанр: Наука
История и методология математики
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ,............-"... 5
1.1. Предмет истории математики.......... . . . 6
1.2. О материалистическом понимании предмета математики ......
1.3. Роль практики в развитии математики . . ...... .
1.4. Связь математики с другими науками .......... 10
I 1.5. О диалектическом характере законов развития математики ....
/1.6. О воздействии социально-экономического строя общества на развитие
математики . . . . . . . . . .
. . . . -' - 13
| 1,7. Главнейшие периоды в истории математики......- •. 14
/ 1.8. Роль истории математики в системе подготовки математиков-специа/
листов • . . -................. "16
Г л а в а 2. Процесс формирования математических представлений
2.1. Возникновение первых математических понятий и методов . . .
2.2. Математика древнего Египта . . . ......... .
2.3. Математика древнего Вавилона . . ....... 25
2.4. Математика древнего Китая.....'. .. ........ 28
2.5.-Математика древней Индии1' ............ 40
Г л а в а 3. Формирование первых математических теорий
3.1. Первые математические теории в древней Греции ...... 48
3.2. Аксиоматическое построение математики в эпоху эллинизма . . .
3.3. Инфинитезимальные методы в древней Греции ....... 67
3.4. Математические теории и методы поздней античности .
Г л а в а 4. Развитие элементарной математики
4.1. Общие замечания о периоде элементарной математики .... 96
4.2. О математике народов Средней Азии и Ближнего Востока .... 97
4.3. Математика в Европе в средние века и в эпоху Возрождения . .
4.4. Дальнейшее развитие элементарной математики . . . .
. . 125
Г л а в а 5. Процесс создания математики переменных величин .
5.1. Начало периода математики переменных величин....., 138
5.2. Возникновение аналитической геометрии........ 140
5.3. Накопление интеграционных и дифференциальных методов ... 151
5.4. Появление анализа бесконечно малых......... 171
Г л а в а 6. Развитие основных частей математики в XVIII веке
6.1. Об условиях и особенностях развития математики в XVIII в. . .
6.2. Преобразование основ анализа бесконечно малых...... 198
6.3. Развитие аппарата математического анализа....... 221
6.4. Создание вариационного исчисления......... 247
6.5. Развитие геометрии.............. 261
6.6. Создание предпосылок современной алгебры и теории чисел ,. . .
6.7. Развитие теории вероятностей и комбинаторного анализ ^Х ... 306
Г л а в а 7. Начало периода современной математики
7.1. О характере развития математики в XIX в. .......... 309
7.2. Возникновение основных понятий современной алгебры . . .
. 311
7.3. Перестройка основ математического анализа . , . . .
" . 327
7.4. Развитие аппарата и приложений математического анализа . . .
7.5. Создание теории функций комплексного переменного...... 367
7.6. Преобразование геометрии . . ,..'.'. . . . ,
. . 393
Г л а в а 8.
Математика в Р о семи ... , . '. , . . ..... 410
Заключение.
Список литературы.
Именной указатель.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Изучение истории науки, ее методологических основ составляет важную часть
подготовки специалистов в высших учебных заведениях. Общепризнано" что незнание
опыта развития науки, неумение его анализировать делают исследователя
беспомощным перед задачами будущего. Эти соображения определяют ." задачу
настоящей книги: помочь студентам математических специальностей университетов и
педагогических институтов, а также широким кругам математиков-специалистов,
осмыслить с марксистско-ленинских позиций исторический опыт своей науки,
движущие силы и пути ее развития.
Первое издание книги опубликовано в Издательстве 'МГУ в двух томах. При
подготовке к настоящему изданию оба тома сведены в один, а структура и
изложение, унифицированы. В книге тщательно отобран и кратко проанализирован тот
материал, на примере которого наиболее наглядно проявляются закономерности
развития математики. Необходимые изменения внесены в текст и список
рекомендованной литературы. Автор надеется, что указанные усовершенствования
сделали книгу еще более полезной делу идейного воспитания математиковспециалистов
и повышению уровня их научной подготовки,,
Профессор Казанского государственного университета Б. Л. Лаптев прочитал
рукопись этого издания и своими замечаниями оказал автору неоценимую услугу.
Дружеское участие коллег" работающих вместе с автором в научно-исследовательском
семинаре МГУ по истории математики и механики, принесло несомненную пользу при
подготовке книги к печати. Автор благодарен 3. А. Кузичевой за активное участие
и большую помощь в издании книги.
ПРЕДМЕТ И МЕТОД ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
Настоящая глава - вводная. Ее цель - разъяснить ряд исходных положений,
необходимых для лучшего понимания научных проблем истории математики. Опыт
показывает, что когда изложение начинается с четкой постановки вопросов
принципиального характера, легче составить целостное представление о математике,
ее современном состоянии, путях развития и о месте математики в системе научного
знания человечества. Разумеется, подлинное понимание .предмета истории
математики, равно как и предмета другой науки, не исчерпывается знанием
соответствующих определений. Оно пополняется и совершенствуется по мере
обогащения фактического состава знания.
Из-за ограниченности объема книги мы рассматриваем сравнительно неширокий круг
вопросов, а связанные с этим разъяснения делаем по возможности краткими.
Формулируемые при этом утверждения не претендуют на полноту аргументации.
1.1. ПРЕДМЕТ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
Все отрасли математики, какими бы разными они ни казались, объединены общностью
предмета. Этим предметом являются, по определению Ф. Энгельса, количественные
отношения и пространственные формы действительного мира. Различные
математические науки имеют дело с частными, отдельными видами этих
количественных отношений и пространственных форм или же выделяются своеобразием
своих методов.
Состав математики, как и всякой другой науки, следующий:
а) факты, накопленные в ходе ее развития;
б) гипотезы, т. е. основанные на фактах научные предположения, подвергающиеся
в дальнейшем проверке опытом;
в) результаты обобщения фактического материала, выраженные в математических,,
в данном случае, т е о р и я х и з а к о н а х;
г) м е т о л о л о г и я математики, т. е. общетеоретические
истолкования математических законов и теорий, характеризующие общий подход к
изучению предмета математики.
Все эти элементы взаимосвязаны и постоянно находятся в развитии. Выяснение того,
как происходит это развитие в изучаемый исторический период и куда оно ведет, и
является предметом истории математики, одной из математических дисциплин.
История мате# .^ки есть наука об объективных законах развития математики.
В - соответствии с этим на историю математики возлагается • решение
большого круга задач., Нет возможности и необходимости их. перечислять.
Целесообразнее здесь дать лишь суммарные характеристики направлений историкоматематических
исследований.
Во-первых, в работах историко-математического характера воссоздается богатство
фактического содержания исторического развития математики. В них освещается, как
возникли математические методы, понятия и идеи, как исторически складывались
отдельные математические теории. Выясняются характер и особенности развития
математики "у отдельных народов в определенные исторические периоды, вклад,
внесенный в математику великими учеными прошлого, и в первую очередь
отечественными учеными.
Во-вторых, историко-математические работы раскрывают многообразные связи
математики. Среди них: связи математики с практическими потребностями и
деятельностью людей, с развитием других наук, влияние экономической и социальной
структуры общества и классовой борьбы (особенно в области идеологии) наа
а полином
фигурой
ж2
Ч ,
2yz +
2zu
2ux
Свободный член размещается в центре этой фигуры.
Другим крупным достижением математиков средневекового Китая было регулярно
применяемое суммирование прогрессий
известное из сочинений Шэнь Ко (XI в.) и Ян Хуэя .(XIII .в.), Своеобразие
приемов вычисления сумм прогрессий данного вида можно проиллюстрировать на
задаче вычисления числа ядер, сложенных в пирамиду с квадратным основанием.
Пусть для определенности в пирамиде насчитывается 5 слоев:
о о о о о
00000 00000 00000 00000 0000 + 0000 + 0000 + 0000 +
о о о + +
о о о + +
.000 + +
о о + + +
00+ + +
о + + + +
+ 0000
+ 0000
+ 0000
+ 0000
+ + о о о + + о о о + + о о о
+ + +00
+ + + 00
+ + + + о
Тогда количество ядер: S = l2+22+32+42+52. Из соотношений:
12=1
2а = 1 + 3
З2 = 1 + 3 + 5
42 =1+3 + 5 + 7
52 = 1 + 3 + 5 + 7 +[9
следует, что 5 = 5-1+4-3 + 3-5 + 2-7 + 1 -9, или в общем виде S = n-l + (n- 1) -
3+(м- 2) -5 + ... + 1- (2п- 1), что иллюстрируется частью фигуры, отмеченной
крестиками.
Прибавив еще
(гс - 2)2+ ...
получим
35.'= (2л + 1) я + (2л + 1) (я - 1) + ... + (2л + !)•! =
___ /Г) л- I 1 \
~~~ I^/J -f- Jt I • *~~~
Наконец
х = г2 (mod "/2),
Наряду с арифметико-алгебраическими задачами в Китае развивались
элементы комбинаторики; был найден треугольник биномиальных
коэффициентов, известный теперь под названием треугольника
Паскаля. По-видимому, как одно из обобщений задач арифметики появились
теоретико-числовые задачи. Типичные примеры таких задач приведены у Сунь-цзы
(III в. н. э.), решавшего задачу нахождения числа, которое при .делении на 3, 5,
7 дает соответственно остатки 2, 3, 2. Это задача на. решение линейной системы
сравнений с попарно взаимно-простыми модулями^
2; г2 = 3; rd =* 2; дг = 3; д2 = 5; д9 = 7)
Сунь-цзы находит вспомогательные числа Nh N2, N3, для которых:
s= 1 (mod дг), 35 ^ = 1 (mod 3), 2Мг = I (mod 3),
1 (rn°d %)" т- е. 21 JV2 = 1 (mod 5), или • N2 = 1 (mod 5), = 1 (mod 9e),
1 5 ATS = 1 (mod 7), #3 s 1 (mod 7).
Тогда: Жх = 2; N2 - 1 ; N3 = I ; ^a% = 70; 7V2^3 - 21 ; N3g& = 15;
A: = (Ntffo + Ntftfa + N&gJ (mod q^q)\ х г (140 + 63 + 30) (mod 105); *== 233
.(mod 105); * = 233- 105/.
При t = 2 наименьшее значение х будет 23.
Аналогичные задачи решались и в более поздние времена. Так, Цинь Цзю-шао (XIII
в.) решал задачу, сводящуюся к следующей системе сравнений:
* = 32(mod 83), *E=E70(mod 110),
*s= 32 (mod 135).
Практический подход к задачам геометрии, наблюдавшийся в "Математике в девяти
книгах", сохранялся в китайской математике на протяжении всего рассматриваемого
периода времени.
В геометрическом наследии древнего и средневекового Китая вид ное место занимает
сочинение Лю Хуэя (III в. н. э.) "Математика морского острова", имевшее вначале
характер комментария и добавления к последней части "Математики в девяти,
книгах".
В "окончательном виде в "Математику морского острова" входят задачи на.
определение размеров недоступных предметов и рас-стояний до них. Решаются они по
преимуществу применением теоремы Пифагора или подобия треугольников. Попыток
систематического дедуктивного построения математики в Китае не отмечено.
Все известные нам источники утверждают, что с XIV в. в Китае начинается
длительный период застоя в развитии наук. Добытые ранее знания не развиваются и
даже забываются; математика развивается, преимущественно за. счет усвоения,
иностранных знаний. В 1583 г.' в Китай проник иезуит-миссионер М. Риччи, вслед
за которым Китай наводнила Целая армия священнослужителей и монахов. Видимо, не
без их содействия в 1606 г. в Китае впервые появились издания "Начал" Евклида, в
1650 г. -таблицы -логарифмов Влакка-. Оригинальное же развитие китайской науки
под-давлением колонизаторов' и законсервировавшихся феодальных форм: правления
прекратилось. Китайские математики-специалисты подготавливались к научной
деятельности за границей, в большинстве там же и. работали.
Математика в Китае получила новый стимул к развитию только в XX в. под влиянием
народно-освободительного движения, а затем народной революции и руководства
Коммунистической партии Китая. В 1928 г. в Нанкине была образована центральная
научно-исследовательская академия, среди 13 институтов которой был и институт
математики. Собравшиеся в этом институте ученые вели работу по многим
направлениям одновременно. Они получили результаты, в области рядов Фурье,
аналитической теории чисел, топологии, дифференциальной геометрии,, теории
вероятностей и математической статистики, алгебры, теории конечных групп.
После 1949 г. в Китае началось быстрое развитие математики в тесном содружестве
с математиками СССР. Особенно тесно ученые сотрудничали в области аналитической
теории чисел, где Хуа Ло-кэн и другие вели работы методом тригонометрических
сумм, изобретенным академиком И. М. Виноградовым. К работам Д. Е. Меньшова об
ортогональных рядах примыкают работы Чень Цзян-гуана и Ван Фу-чуна. Исследования
Су Бо-цина и других связаны^ работами советских математиков школы С. П. Финикова
по линейным комплексам. Даже в теории вероятностей, где особенно сильное влияние
оказывали английские и американские математики, сказалось сближение с советскими
специалистами школы А. Н. Колмогорова. Сотрудничество китайских математиков с
советскими коллегами всегда было плодотворным, обогащало их в научном отношении
и способствовало развитию прогрессивного мировоззрения и практических успехов в
приложениях математики.
2.5. МАТЕМАТИКА ДРЕВНЕЙ ИНДИИ
В древней и средневековой математике народов Индии много общего с китайской
математикой. В Индии математика тоже является очень древней наукой, издавна
составляющей часть культуры. В ней тоже преобладали вычислительноалгоритмические
методы и отсутствовали попытки построения дедуктивных систем;
геометрия индийцев - также практическая.
Эта общность характера науки и путей ее развития не случайна и отражает
сходность путей исторического развития обеих великих стран и давние
экономические и культурные связи между ними. В Индии к началу нашей зры уже
сложилась развитая феодальная система организации общества., Длительная
консервация феодальных отношений: усугублялась кастовым расслоением во-циальных
групп населения, что определило, несмотря на бурное временами течение
политических событий, весьма медленный темп развития производства и науки.
Английские, французские, португальские колонизаторы в течение нескольких
столетий насильственно задерживали естественное развитие производства, науки и
культуры индийского народа. Только в наше время происходит процесс национального
освобождения и подъема производительных сил .Индии.
Самыми ранними памятниками математической -культуры индийцев являются
религиозные книги: сутры и веды. Их происхождение относят к VIII-VII вв. до н.
э. Написаны они на давно уже умершем языке - санскритском. В них мы находим
геометрические построения, составляющие важную часть ритуалов при постройке
культовых сооружений: хра'мов, алтарей и т. д. В них MOJKHO найти первые способы
квадрирования кругов, применение теоремы Пифагора. Видимо, вследствие требований
архитектуры решалась и арифметическая задача о нахождении пифагоровых троек
натуральных чисел.
Числовая система с древних времен определилась как десятичная. Столь же рано
определилась склонность к оперированию большими числами, нашедшая отражение в
легендах. Будда, например, отличался феноменальным умением считать; он строил
числовые десятичные системы до 1054, давая наименования каждому разряду. Женихи
прекрасной богини Земли, добиваясь ее руки, обязаны были соревноваться в письме,
арифметике, борьбе и стрельбе из лука. Победитель соревнования Сарватасидда
придумал, в частности, шкалу чисел, идущих в геометрической прогрессии со
знаменателем 100, до Ю7+'9'46, т. е. до числа с 421 нулем. Пристрастие к
операциям с большими числами сохранялось в течение всей истории математики в
Индии.
Наиболее яркий период развития, оставивший самые значительные образцы
математической литературы, - это V-XII вв. н. з. В это время трудились
выдающиеся индийские ученые - математики и астрономы: Ариабхатта (конец V в.),
Брахмагупта
Посмотри в окно!
Чтобы сохранить великий дар природы — зрение,
врачи рекомендуют читать непрерывно не более 45–50 минут,
а потом делать перерыв для ослабления мышц глаза.
В перерывах между чтением полезны
гимнастические упражнения: переключение зрения с ближней точки на более дальнюю.
(род. 598 г.), Магавира (IX в.), Бхаскара Акарья (род. 1114 г.; От Ариабхатты,
жившего в северо-восточной Индии, осталось сочинение в стихах астрономического и
математического содержания. В нем сформулированы правила элементарной
математики- арифметики/ геометрии и тригонометрии,, Брахмагупта также в
стихотворной форме написал огромное сочинение в 20 книгах "Усовершенствованная
наука Брамы", в котором 12-я книга посвящена арифметике и геометрии, а 18-я -
алгебре и неопределенным уравнениям. Значительное математическое содержание
имеют две книги Бхаскары: "Лилавати" и "Виджаганита". "Лилавати" (что-значит
"прекрасная") Бхаскара посвятил своей дочери. В поэтической манере в 13 отделах
книги излагаются: 1) метрология; 2) действия над целыми числами и дробями и
извлечение • корней; 3) способ обращения, способ ложного положения и другие
частные приемы решения задач; 4) задачи на бассейны и смеси;
5) суммирование рядов; 6) планиметрия; 7-11) вычисление различных объемов;
12) задачи неопределенного анализа; 13) задачи комбинаторики.
Другое сочинение Бхаскары — "Виджаганита" - состоит из восьми "отделов: 1)
действия, над положительными'и отрицательными числами; 2-3) неопределенные
уравнения 1-й и 2-й степени; 4) линейные алгебраические уравнения; 5) квадратные
уравнения;
6) системы линейных уравнений; 7-8) .неопределенные уравнения 2-й степени.
Мы не, ставим себе здесь целью описание всех источников, заслуг и роли отдельных
лиц. Нашей целью является оценка уровня достижений математиков Индии,
особенностей форм и методов математического исследования и путей -развития
индийской, математики. Поэтому здесь мы дадим лишь общие характеристики.
Как было уже сказано, главной особенностью индийской математики является
преобладание вычислительных приемов, преподносимых учащимся или читателям в
догматической форме. Среди арифметических правил обращает на себя внимание
широкое распространение правила обращения, которое состоит в следующем:
задумывается число, но учащемуся или противнику сообщаются лишь
последовательность операций с задуманным числом и конечный результат. Решение
задачи состоит в последовательном проведении всех операций в обратном порядке.
Например, в сочинении Бхаскары "Лилавати" перед неизвестной красавицей ставится
задача: назвать число, которое, будучи умножено на три, увеличено затем на три
четверти произведения, разделено на 7,
уменьшено на - частного, умножено само на себя и уменьшено
о
на 52, после извлечения квадратного корня, прибавления 8 и деления на 10, даст
2. Среди других правил вычислительной техники индийцев есть правило извлечения
корней и действий с иррацио-нальностями.
Оперирование большими числами (в качестве еще одного при41
мера приведем задачу определения числа членов геометрической прогрессии, если 0i
= 3, q = 5, *S = 22 888 183593), помимо отработки единой числовой десятичной
системы с нулем и числовой символики, привело к введению в математику
представлений о бесконечно больших числах. Бхаскара вводил это представление,
рассматривая выражения вида - и поясняя, что это есть тоже число,
но не претерпевающее изменений, приращения или ущерба, какое бы большое число мы
к нему ни прибавляли или от него ни отнимали; его, по выражению Бхаскары, можно
уподобить вечному времени бесконечной цепи.существований.-
Индийские математики ввели и правильно трактовали и понятие отрицательного
числа. Так, Брахмагупта разъясняет, что числа могут трактоваться либо как
имущество, либо как долг. Правила операций с числами тогда таковы: сумма двух
имуществ есть имущество, двух долгов - долг, имущества и долга - их разность, а
если они равны - нуль. Сумма нуля и долга есть долг,, имущества и нуля -
имущество. Произведение двух имуществ или двух неимуществ есть имущество;
результат произведения имущества на долг представляет убыток. То же правило
справедливо и при делении., Квадрат имущества, или долга, есть имущество;
имущество имеет два корня: один составляет прибыль, другой - долг. Корня убытка
не существует, ибо таковой не может быть квадратом. Однако, вводя отрицательные
числа, индийские математики не использовали их как равноправные элементы
математики, считая их только чем-то вроде логических возможностей, потому что,
по выражению Бхаскары, люди с ними не согласны.
Кроме правил и задач арифметики в индийскую математику входили также решения
ряда задач алгебры, неопределенного анализа, комбинаторных задач. К алгебре
относятся в первую очередь правила решения линейных уравнений, их систем и
квадратных уравнений,, Например, Ариабхатта формулирует задачу: капитал 100 (мы
обозначим его р) отдан в рост. Прирост за месяц (=х) отдан снова в рост на 6
(=/) месяцев. Общий прирост 16 ( - q). Каков прирост за месяц?
Соответствующего уравнения: tx2+px=qp Ариабхатта, разумеется, не пишет, но
правило, даваемое им для решения этой задачи, есть не что иное, как общее
правило для квадратного уравнения. В самом деле, он дает предписание: умножь
сумму прироста и прироста прироста (т. е. q) на время (t) и капитал (/?),
прибавь квадрат половины капитала f-^-J, извлеки квадратный
корень, затем вычти половину капитала и раздели остаток на время.
Соответствующая формула, очевидно, будет
х =
?лты прикладной науки. Есть нет, под чертежом представляют
полухорРазвитие
методов решения за ва, анализа представляет одно математики. Появление
подобных древних математических культур. Индии, Греции, Китая и других СТА
подобных задач,, лежит, по-видимому. периодически повторяющихся явлений,
В' самом деле, вопрос о периоде в] менно из целого числа дней (х) и целого ч к
неопределенному уравнению: 10960t/=30, например о периоде "повторения некоторых
полным неопределенным уравнениям. Индийские ходить целочисленные решения
различных видов уравнений 1-й и 2-й степени.
/
Мы уже упоминали о характерной форме изложи X при которой не"воспроизводится ни
ход рассуждений, ни доказательство, что не дает возможности судить о теоретикочисловых
методах индийских математиков. Однако то немногое, что известно"
показывает наличие ряда теоретико-числовых методов,, Например, известно,, что
корни неопределенного уравнения 1-й степени ах-Ьу=. = с получаются умножением на
с корней уравнения ах-Ъу=\. Пусть
а " Ь\ а = bq + г; qx •+• - х - у =
ь
у = qx + -~:_ = дх 4- z.
Чтобы решение у было целым:, необходимо, чтобы z было целым, т, е. задача
сводится к решению уравнения гх-Ьг=1, коэффициенты которого меньше коэффициентов
заданного уравнения (r"i&, b"a), а вид уравнения не изменяется. Продолжая эту
операцию, мы в конечное число шагов дойдем до уравнения и-rnv = \. Возвращаясь к
исходному уравнению, х и у выражаем через v. Метод этот, возможно, был найден по
аналогии с процедурой нахождения общего наибольшего делителя или с алгоритмом
непрерывных дробей.
Приведем еще один пример решения неопределенных уравнений. Уравнение ху = ах+Ьу
+ с преобразовывалось к виду (х-Ь) (у-a) =c + ab с помощью следующей
геометрической интерпретации. Площадь всего начерченного здесь прямоугольника S
= xy. Площадь гномона равна ax + by-ab. Оставшаяся незаштрихованной часть
прямоугольника Si=-(x-b)(y-a) (рис. 2) и в то же время Si = xy-ax-by + ab = c +
ab (по условию), (х-Ь) (у-a)=c+ab. После этого правую часть представляют в виде
произведения двух целых сомножителей.
В качестве еще одного примера рассмотрим циклический метод Бхаскары решения
уравнений вида у2 = ах2+1. Вначале проба43
ми подбирают числа х\, у\, Ь\, чтобы они удовлетворяли уравнению ax\ + bi = у\ и
при этом х\ и Ь\ были взаимно-просты, a &i - возможно меньше. Это можно сделать,
хотя бы положив -^- ^ У а .
Теперь составляют •----
т. е.
*1
Из него получают
целочисленные значения х2 и г, выбирая их так, чтобы
"У2___а
г2-а было как можно меньше. Тогда --- = Ь"
_-_ - ^ - целое, а DI
Ъ% равно квадратному числу /Д т. е. axl + b% = yl. Повторением получают
убывающую последовательность целых чисел: bi, Ь2, ..., 1 и, наконец, ахь+ •!
~:://L Разумеется, доказательства не было дано; впервые доказательство нашел
Лагранж. Имя Пел-ля было присвоено последнему уравнению в XVIII в. просто по
недоразумению.
Рациональные решения уравнения Пелля индийские ученые получали следующим
образом: для произвольных Xi, у\ и Х2, Уч и. соответственных Ъ\ и Ь2 составляли
уравнения:
axl
Полагая, что из вестей корень xQr у0 : axl - у\ = Ь, из выражения для bl
Ь2 получали:] х = 2х0у$; у = axl + yl, или
Y 1 =
или
К области алгебры и теории чисел в индийской математике отнесем, наконец,
элементарные комбинаторные сведения, знание
п , п
сумм JT k и Jj А2, треугольник Паскаля и другие сведения.
Индийская геометрия носит все черты прикладной науки. Есть чертежи, есть
правила, иногда даже правил нет, под чертежом написано только: "смотри!".
Некоторый интерес представляют тригонометрические таблицы, в которых хорды
замен
...Поділитися у соцмережах
