Жанр: Наука
История и методология математики
...ся следующие последовательные приближения:
103
Процесс сходится при 3*2"г"1, что в-данном случае ввиду малости х имеет место.
Этим способом, было найдено 17 верных знаков sin 1° в десятичной системе
(результат вначале был получен в 60-ричной системе),, Такая, степень точности
позволила вычислять таблицы тригонометрических функций с. точностью до девятого
знака. Такой уровень техники приближенных вычислений, в Европе был достигнут
лишь к концу XVI в.
Другое направление в решении кубических уравнений основывалось на получении
геометрического образа положительного корня путем: пересечения подходящим
образом подобранных. конических сечений. В" сочинениях подобного типа авторы
отчетливо выделяли алгебру как особую математическую дисциплину,
систематизировали все виды, уравнений первых трех степеней по расположению
членов по обе стороны знака равенства, находили условия существования
положительных корней уравнений - словом, создавали элементы общей теории
уравнений,, Большим недостатком алгебры в это время было отсутствие символики,
словесное описание операций, Это задерживало развитие алгебры. .
Помимо выделения алгебры, важнейшей характерной чертой арабской математики было
формирование тригонометрии, И в этой области происходил синтез разнообразных
тригонометрических элементов: исчисление хорд и соответственные таблицы древних,
в особенности результаты (Птолемея и Менелая, операции с линиями синуса и
косинуса у древних индийцев, накопленный опыт астрономических измерений.
На основе этого разнородного материала математики стран Ближнего Востока и
Средней Азии ввели все основные тригонометрические линии. В связи с задачами
астрономии они составили хаблицы тригонометрических функций с большой частотой и
высокой точностью. Данных накопилось при этом так много, что стало возможным
изучать свойства плоских и сферических треугольников, способы их решений.
Получилась богатая фактами стройная система тригонометрии как плоской, так и
сферической. Такую систему представляет, например, сочинение Насирэддина (1201 -
1274) "Трактат о полном четырехстороннике", где:*1) развита теория отношений; 2)
изложена теория фигур, состоящих из четырех попарно пересекающихся прямых; 3)
собраны способы решения плоских и сферических треугольников; 4) решена задача об
определении сторон сферического треугольника по трем углам.
Вместе с выяснением практического значения тригонометрии
последняя изменила свой облик. В ней стал преобладать материал об алгебраических
зависимостях тригонометрических функций и о вычислительных средствах и
возможностях тригонометрии. Из-за отсутствия удобной символики еще задерживалось
чисто аналитическое построение тригонометрии.
Итак, тригонометрия в математике средневекового Востока стала отдельной
математической наукой. Из совокупности вспомогательных средств астрономии она
преобразовалась в науку о тригонометрических функциях в плоских и сферических
треугольниках и о 'способах решения этих треугольников. Алгоритмическивычислительные
средства, стали играть в ней преобладающую роль. Оставался один
только шаг: введение специфической символики, чтобы тригонометрия приобрела,
привычный, нам аналитический облик. Однако для этого шага понадобилось еще много
времени. В дальнейшем тригонометрия стала развиваться со второй половины XVI в.
в Европе, в первую очередь под влиянием запросов мореплавания "и астрономии. В
конце XVI в. начало входить в употребление и название науки -"тригонометрия".
В настоящей главе мы уделили мало внимания геометрии. Это понятно; не
геометрические интересы были главными, определяющими в общем потоке
математических достижений. Но дошедшие до нас математические сочинения
среднеазиатских и ближневосточных математиков неоспоримо свидетельствуют о
высоком уровне геометрических знаний. Математическая литература того времени
богата, переводами сочинений Евклида, Архимеда, Аполлония и других авторов
античной Греции и комментариями этих сочинений. В арабских рукописях сохранились
многие достижения древности. Нередко эти рукописи являются единственным
источником многих немаловажных сведений о предшествующем развитии математики и
научной основой математического творчества европейских ученых Возрождения.
В ряду геометрических сочинений обращают на себя внимание глубокие исследования
по основаниям геометрии. В сочинениях Хайяма (XI в.) и Насирэддина (XIII в.) мы
находим попытки доказательства постулата о параллельных, основанные на введении
эквивалентных этому постулату допущений. Имена этих математиков с полным правом
могут быть поставлены в длинном ряду предшественников неевклидовой геометрии,
подвергавших логическому анализу систему аксиом и постулатов геометрии Евклида.
Примерно в середине XV в. развитие математических наук в описываемых нами здесь
районах замедляется и прекращается. Причины этого явления коренятся в
наступившем экономическом разобщении обширных территорий, о которых шла речь
выше.
Народы Средней Азии, Ближнего Востока и Северной Африки в силу исторически
сложившихся условий оказались задержанными на феодальной стадии развития, жили в
обстановке войн и политических неурядиц, подвергались возраставшему колониаль105
ному нажиму сильных капиталистических стран. Прогресс науки, в том числе и
математики, оказался приостановленным на несколько столетий.
4.3. МАТЕМАТИКА В ЕВРОПЕ В СРЕДНИЕ ВЕКА И В ЭПОХУ ВОЗРОЖДЕНИЯ
"
- На европейском континенте математика имеет не столь древнее происхождение, как
во многих странах Ближнего и Дальнего Востока. Если не считать математики римлян
(о которых, мы не будем специально говорить из-за недостатка места, а также изза
слабого уровня научно-теоретического развития и влияния на последующее
развитие математики), то заметных успехов в Европе математика достигла только в
эпоху развитого средневековья и особенно Возрождения. Наступление эпохи средних
веков в Европе, или эпохи-феодализма, относят к V в. н. э., к-тому времени,
когда пала западная Римская империя; В течение V-X вв. происходит длительный
процесс становления феодальных отношений в Европе, раздробленной на множество
владений. Экономика этих владений имеет натуральный характер, обмен весьма слаб.
На XI-XIV вв. падает пора, расцвета феодализма. В это время происходит
разделение труда между городом и деревней, ремеслом и земледелием. Растут
города, и развиваются товарно-денежные отношения. В XII-XV вв. в борьбе, и
войнах складываются национальные государства. В XIV в. феодальный мир потрясают
крестьянские войны, в которых за религиозной окраской нетрудно разглядеть их
антифеодальную сущность., В XV-XVIII вв. происходит созревание в недрах
феодализма капиталистических отношений и разложение феодального уклада. Начало
этого последнего периода, т. е. XV и XVI вв., в культурном и идеологическом
развитии ряда стран Западной и Центральной Европы известно под именем
Возрождения.
Техника средневековой Европы, вначале примитивная и разобщенная, приобретает к
концу этого периода массовый характер, а уровень технических достижений быстро
повышается. Вот несколько примеров. Добыча руд и металлургия, начатая в VIII в.,
набирала силу в течение четырех веков и в XII в. превратилась в заметную область
европейской промышленности. В том же веке были открыты свойства магнитной
стрелки. Около 1000 г. появилось стекло, но шлифовка и амальгамирование стекла
для изготовления очков, зеркал, подзорных труб были введены лршъ в XIV в. Около
1100 г. изобретены часы с колесным, позднее с колесно-пружинным механизмом, а
через 100 лет -часы с боем. Бумага стала входить в обиход в Европе с XII в., а
книгопечатание было изобретено лишь в середине XV в. В период XIII- XIV вв. все
шире стал применяться порох. Эти примеры показывают, что технические достижения
европейских народов, вначале слабые и редкие, накапливаются и создают условия
для ускоре106
ния технического прогресса и для смены всей системы г' ?н
ских, политических, научных и культурных отношени,
зрений.
Аналогичную картину вначале очень замедленного, за все более
ускоряющегося развития и, наконец, коренного, реви люционного преобразования
представляют естествознание и математика, в средневековой Европе.
Действительно, в V-XI вв. уровень математических знаний,. в "Европе был
весьма""низким." Скотгако-шгбуДь крупных математических открытий или сочинений
не обнаружено. Даже образованные люди редки. По-видимому, единственными
хранителями математических знаний, превышавших обычные бытовые запросы, были
немногочисленные ученые-монахи, хранившие, изучавшие и переписывавшие
естественнонаучные и математические сочинения древних. Церковь накладывала
сильнейший отпечаток схоластики и на эти островки знания.
Основной организационной предпосылкой развития математики в Европе было
открытие учебных заведений. Одно из первых подобных заведений организовал в г.
Реймсе (Фр_андия) Гер-берс (940-1003), позднее ставший римским папой под
именем . Сильвестра II.
В школе Герберта кроме прочих наук учили счету с применением счетной доски -
абака, усовершенствованного путем замены пустых жетонов, каждый из которых имел
значение единицы, на жетоны с написанными на них цифрами. В то время
существовало много способов счета. Среди приверженцев--сложившихся
'разнообразных "традиций' * слета основное место занимали две враждующие партии:
абакистов и алгоритмиков. Первые в основном отличались требованием,
обязательного использования абака и 12-ричной римской нумерации. Алгоритмики
пользовались письменным обозначением индусских цифр, некоторые из. них вводили
знак нуля, счет вели на бумаге, применяли 60-рич-ные дроби. Б спорах
формировались системы счисления и приемы "отет17"всё 'более близкие к привычным
нам системам
и приемам.
Через столетие, в XII-XIII вв., появились в Европе первые университеты. Самыми
первыми университетами были итальянские в Болонье, Салерно и других городах.
Вслед за ними были открыты университеты в Оксфорде и Париже (1167), Кембридже
(1209), Неаполе (1224), Праге (1347), Вене (1367) и т. д. Это были учебные
заведения, безраздельно подчиненные церкви. Во главе университетов стояли отцынастоятели
(ректоры), во главе факультетов - деканы. Студенты сначала обучались
на подготовительном факультете искусств (артистическом), затем переходили на
один из основных факультетов: богословский, юридический или медицинский.
Математика входила составной частью в семь свободных искусств (artis liberalis),
изучавшихся на факультете искусств.
Весь цикл этих искусств распадался на два концентра. Первый составлял тривиум:
грамматика, риторика, т. е. искусство устно выражать мысли, и диалектика, или
умение вести спор. Второй концентр - квадривиум включал в себя арифметику,
геометрию, астрономию и музыку, т. е. теорию гармонических интервалов. Уровень
математических познаний выпускников университетов был низок; во многих
европейских университетах вплоть до XVI в. от лиц, претендовавших на звание
магистра, по математике требовалась только,,., клятва, что он знает шесть книг
евклидовых "Начал"." Так как университеты были подчинены'реакционным
устремлениям церкви, то школьная наука (схоластика) вырождалась в бесплодные
умствования и споры, оправдывая тот смысл, который вкладывается сейчас в слово
"схоластика". Система средневекового образования в течение нескольких веков была
необходимой, "но недостаточной предпосылкой развития математической науки.
При таком положении дел, естественно, математические знания не -
совершенствовались в европейских учебных заведениях. Они привносились извне. Это
были сохраненные остатки, математики римлян или греческо-византийских
государств. В большей же части научные знания приобретались путем перевода
сочинений с арабского языка на. латинский. Таким_путем европейцы познакомились с
"Началами" Евклида, "Альмагестом" Птолемея
и другими трудами античных......математиков,' с рядом, сочинений
математиков Средней Азии и Ближнего Востока.- Деятельность переводчиков иногда
бывала очень активной. Так,'Жерар (1114- 1137) из Кремоны перевел с арабского
более 80 сочинений. Однако, поскольку книги существовали только в рукописном
виде в ограниченном- числе экземпляров, а число достаточно подготовленных для их
понимания людей было незначительным, то переоценивать значение этой работы не
приходится.
Некотщс1С,,^жжвлеиие- в математике наступило в XIII в. в связи с двумя
факторами: борьбой против схоластики и богословия, начатой Роджером Бэконом
(1214-1294), и математическими трудямЕ,ЛеонардоДизанского (ок. 1200 г.). Первый
из них в своей резкой критике противопоставлял догматам, основанным на вере,
опыт как единственный источник научного познания. В центре всей опытной науки
находятся, по Бэкону, физико-математические знания. Вообще все науки основаны на
математике и их истины имеют ценность лишь постольку, поскольку они выражены
числом и мерой, т. е. в математической форме. Математика в философских
воззрениях Бэкона является азбукой всей натуральной философии, т. е. всего
естествознания. Роль математики повышалась в связи с ростом прогрессивных сил в
философии.
Заслуги Леонардо в математике были совсем другого рода. Он получил хорошее
математическое образование в Алжире, где жил его отец - один из торговых
представителей богатого и сильного итальянского города Пизы. По торговым делам
Леонардо объездил Сирию, Северную Африку, Испанию, Сицилию, по108
полняя свои знания при любой возможности. Около 1202 г. он написал "Книгу об
абаке". Эта книга является подлинной энциклопедией математических знаний
народов, живших на берегах Средиземного моря. Более 200 лет она была
непревзойденным образцом математических сочинений для европейцев и подготовила
новые успехи математики в эпоху Возрождения.
В "Книге об абаке" 15 отделов. В первых семи изложены исчисление'"целых ''Чисел
* по позиционной десятичной системе и операции с обыкновенными дробями. Отделы
8-11 содержат приложения к коммерческим расчетам: простое и сложное тройное
правило, пропорциональное деление, задачи на определение монетных проб.
Разнообразный набор задач, решаемых с помощью простого и двойного ложных
положений, суммированием " арифметических прогрессий и квадратов натуральных
чисел, нахождением целочисленных решений неопределенных уравнений первой
степени, составляет отделы 12 и 13. Предпоследний, 14-й отдел посвящен
вычислению квадратных и кубических корней и операциям с "биломиями", т. е. с
выражениями вида a±Yb. Завершается "Книга об абаке" 15-м отделом, содержащим
краткое изложение алгебры и альмукабалы, близкое к алгебре Хорезми, а также
задачи на непрерывные числовые пропорции и геометрические задачи, сводящиеся к
приложению теоремы Пифагора.
Другое сочинение Леонардо "Практическая геометрия", написанное около 1220 г.,
посвящено 'измерению площадей многоугольников и объемов тел вплоть до объема
шара. Доказательства теорем взяты из работ Евклида и Архимеда; встречаются
задачи, свидетельствующие о знании Лернардо_начал тригонометрии,. "Известно еще
одно сочинение Леонардо-.....по теории чисел,
В нем идет речь о свойствах чисел, суммах вида
а также об отыскании рациональных решений уравнений У2 = х2 + а\ z2 = x2-а.
Наконец, сохранились сведения об участии Леонардо в публичных состязаниях по
математике и о решении им трудных задач., В наши дни его имя носят возвратные
последовательности Ч
Время, протекшее после работ Леонардо вплоть до эпохи Возрождения (XV-XVI вв.),
в историю математики не внесло как будто ярких идей, больших открытий, коренных
преобразований. Их не любят математики, мало на них останавливаются. Однако в
эти "вспомогательные" столетия в математике происходил интересный и
малоизученный процесс накапливания предпосылок. Математические знания
распространялись среди все более
1 См. А. И. Маркушевич. Возвратные последовательности. М., Гостех-издат, 1950.
широких кругов ученых. Идеи и результаты, накопленные в сочинениях Леонардо и
других математиков, содержание переводимых книг античных авторов, наличие
большого числа поставленных и осознанных, но еще не решенных теоретических и
практических задач - все это вело к новому научному подъему. Духовный гнет -
естественное следствие гнета экономического и политического. Государи и князья,
сретские и церковные, задерживали прогрессивные стремления, всеми средствами:
угрозами, преданием анафеме и физическим уничтожением своих идейных противников.
В этих условиях наметились два главных направления развития математики, в
которых, последняя достигла наибольших успехов. Это были: серьезное
усовершенствование алгебраической символики и формирование тригонометрии как
особой науки,
Еще современник Леонардо генерал доминиканского монашеского ордена Иордан
Неморарий "(род. 1237 г.) изображал с помощью букв произвольные числа. Впрочем,
буквенного исчисления из этого не получилось, так как результат любой операции
над двумя буквами обязательно обозначался третьей буквой (а-\-Ь = с, a-b = d и
т. д.).
Профессор Парижского университета Николай Орезм (1328- 1382) обобщил понятие
степени, введя дробные показатели степени, правила производства операций над
ними.и специальную символику, предваряя фактически идею логарифма. Например:
'V' ' ', ,
о 3
2-27
= 27:
= 3
2-р
Зо • о
И Т, Д.
Кстати заметим, что в одном' из своих сочинений Орезм: вводит долготу' и широту
в плоском прямоугольнике и использует введенные таким образом ранние формы
прямоугольных координат для гра'фического изображения интенсивности физических
явлений в зависимости от времени. При этом он отмечал, что изменение поблизости
от экстремумов самое медленное.
В конце XV в. бакалавр Парижского университета Н. Шюке. помимо дробного
показателя степени ввел также отрицательные и нулевые цоказатели, отрицательные
числа, а также внес усовершенствования в алгебраическую символику. В этой
символике нет еще специального символа для неизвестного, а большинство символов
образовано путем сокращения слов (синкопическая алгеб-раическая символика).
Например: 53 га_обозначает 5 х~3 (т - сокращение слова minus), а вообще akm
обозначает ax~k. Знаком корня служит Rx (от слова radix - корень), знаком
сложения -
р. Так что выражение у 24 + ]/37 - 20г-2, взятое нами наугад,
в символике Шюке имело бы вид Rx24p R^37 m202 m.
Большой вклад в формально-символическое усовершенствование алгебры внесли в XV и
XVI вв. коссисты - математики Юж110
ной Германии, воспринявшие эти идеи из Италии. Название кос-систов происходит от
итальянского слова cosa, т. е. вещь, как обозначалось неизвестное в уравнениях.
Они разработали несколько систем символов, удобных для записи математических
действий, а некоторые из них высказали в своих сочинениях идеи, близкие к
понятию логарифма.
Какое бы, однако, большое значение ни имела сложившаяся в средние века тенденция
совершенствования формы, решающей роли в дальнейшем, развитии алгебры и вообще
математики она иметь не могла. Новый шаг был связан с успехами в алгоритмическиоперативной
части, связанной с решением нового класса алгебраических уравнений -
кубического, о чем речь будет идти ниже.
Успехи тригонометрии, о которых мы выше упоминали, яви-'лись следствием развития
астрономии. Тригонометрия по существу почти все средние века являлась частыо
астрономии, культивировавшейся не столько в силу своего естественнонаучного
значения, сколько в силу необходимости составления астрологических гороскопов.
Факты тригонометрии были восприняты, как и. другие факты математики, в
большинстве при переводе научных трактатов с арабского языка. При этом в поле
зрения европейских, математиков, оказывались достижения астрономов.и математиков
как античной Греции, так и более поздней арабской науки.
В XV в., когда дальние плавания стали возможны,, когда изу-.ченный мир стал
расширяться и знания о нем быстро изменялись, ломая, застывшие схоластические
представления, резко возрос интерес, к астрономии. Это была пора,
непосредственно предшествующая открытию Америки (1492), первому плаванию вокруг
Африки. i( 1498), первому кругосветному плаванию (1.519), открытию и
доказательству гелиоцентрической теории Коперника (1473- 11543). Для
тригонометрии наступили счастливые времена. И вот, наконец, в 1461 г. появилось
сочинение "Пять книг о треугольниках всякого рода", в котором впервые
тригонометрия была отделена от астрономии и трактована как самостоятельная часть
математики. Написал его немецкий математик Иоганн Мюллер (1436-1476), более
известный под именем Региомонтан (латинизированная производная от названия
города Кенигсберга, где он родился).
В этой книге систематически рассмотрены все задачи на определение треугольников,
плоских и сферических, по заданным элементам. При этом Региомонтан расширил
понятие числа, включив в него иррациональность, возникающую в случае
геометрических несоизмеримостей, и приложил алгебру к решению геометрических
задач. Тем самым была существенно нарушена античная традиция и открыто новое
понимание предмета тригонометрии и ее задач.
Региомонтан продолжил ранее начатую другими учеными работу по составлению таблиц
тригонометрических функций. Его таб111
лица синусов имела частоту через каждую минуту и точность до седьмого знака. Для
этого величину радиуса образующей окружности он брал равной 107, так как
десятичные дроби еще не были известны. Он ввел в практику тригонометрические
функции, получившие в XVII в. названия тангенса и котангенса, составив таблицу
их значений.
Подведем итоги, не увеличивая количества примеров. В течение V-XV вв. в Европе
постепенно сложилась система, обучения, включавшая в себя математику, - система,
через которую регулярно пополнялся слой образованных, людей. Ученые,
интересовавшиеся математикой, и студенты университетов усваивали достижения
античной Греции, Византии, арабоязычных народов Ближнего Востока и Средней Азии.
Была 'широко распространена практика перевода арабских рукописей научного
содержания на латинский язык - универсальный язык науки средрв^иеМвья.
Математика развивалась в связи с практическими запросами техники и мореплавания,
поэтому вначале медленный темп научной жизни к концу рассматриваемого периода
заметно ускорился,, Большое стимулирующее воздействие на развитие математики
оказали прогрессивные течения средневековой (философии, идеологическая борьба
против засилья церкви, феодалов, против застывших схоластических догм,
освящаемых авторитетами и политикой светских и духовных репрессий. Определение
места математики в системе наук как азбуки естествознания, или, как последнее
иначе называли, натуральной философии, стабилизировало ее положение и ускорило
процесс создания в математике фундамен-. та основных знаний, накопления
предпосылок для новых успехов. Совокупность воздействующих на математику
(факторов оказалась такой, что в ней определились наибольшие успехи в создании
формально-символической стороны алгебры и в тригонометрии. Был также высказан и
пущен в научный обиход, особенно в XV- XVI вв., ряд мыслей, имеющих большое
значение для последующего: обобщение понятия числа, обобщение понятия степени,
предвестники систем логарифмов. Необходим был практический успех, хотя бы
небольшой, чтобы вся масса накопленных предпосылок пришла в движение.
Своеобразная линия развития научных знаний сложилась на территории Восточной
Европы, особенно в средневековой Руси. Своеобразие это состояло в том, что
научное наследие усваивалось на основе византийской науки. Кстати, в сочинениях
по истории науки эта линия развития математики освещена весьма недостаточно.
Термином средневековая Русь мы здесь будем обозначать весь комплекс русских
княжеств, ведущую роль в котором играли: Киевская Русь (X-XII вв.), ВладимироСуздальское
княжество (XII-XIII вв.), Новгород i(XIII-XV вв.). Тяжелая
историческая судьба русского народа привела к тому, что число непосредственных
свидетельств состояния наук в эти времена на Ру112
си резко уменьшилось. Задача пополнения источников исследова* ния и детального
изучения уже добытых археологами, этнографа* ми и историками данных является
актуальной и еще не решенной. Наличные материалы позволяют дать следующую общую
характеристику первых этапов развития математики у нас на Родине.
Уже в начале X в. на Руси существовала письменность. Тесные связи с Византией
способствовали ускоренному приобретению знаний. Математическое, в частности,
образование было на уровне европейского. При дворе киевского князя Владимира
Святославича (род. 1015) было налажено обязательное книжное учение его
приближенных. При Ярославе Мудром (978-1054) действовала школа, От того времени
до нас дошли замечательные литературные и общекультурные памятники: "Русская
правда", "Повесть временных лет", '"Слово о полку Игореве", разнообразные
летописи. Архитектурные памятники и археологические раскопки дают все новые
подтверждения высокого уровня техники и культуры в русских княжествах.
Практические хозяйственно-технические математические сведения и расчеты
записывались с помощью десятичной алфавитной, системы нумерации, сходной с
греческой алфавитной системой. К слову заметим, что эта старославянская
нумерация используется и в наши дни в церковных книгах. Эта система практически
не ограничивала величины чисел. В документах встречаются иногда и очень большие
числа, для которых существуют особые названия. В обычном,, "малом", счете 104
называлось неведием, позднее - тьмой, 105 - легионом, 106 - леодром. По другой
системе" "великого" счета, тьмой называли 106, легион - К)12, леодр - 1024,
ворон - 1048, колода - 1096 или 10'49, после чего простодушный летописец
заявлял: "Сего же числа несть больше".
Помимо вычислений практического характера очень рано начинают встречаться
теоретические вопросы и задачи, составленные числолюбцами. Древнейшей
сохранившейся специально математической рукописью я
...Поділитися у соцмережах
