Жанр: Наука
История и методология математики
...проходит пери-' од формирования в пределах уже. существующей
системы математических наук, используя их средства,.
О связи дифференциальных: и интеграционных методов. Последним этапом
эмбрионального периода анализа бесконечно малых явилось установление связи и
взаимообратности дифференциальных и интеграционных исследований,, Побудительных
причин 'для этого было много. Одними из важнейших.., были "так. лдзываемые_обратные
задачи на касательные. Задачи этого типа состоят в определении
кривых исходя из заданного общего свойства всех. касательных к ним. Речь идет не
о нахождении огибающих семейства прямых, а о таких свойствах касательных,
которые зависят от положения точки касания. В общей постановке задачи этого типа
можно сформулировать так: найти y=f(x) из условия fi(x" У У У')=0- Таким
образом, речь идет о необходимости решить дифференциальное уравнение первого
порядка с двумя переменными.
Обратные задачи на касательные возникли в результате запросов практики.
Например, мореплаватели еще в эпоху великих географических открытий обратили
внимание на кривую постоянного истинного курса корабля - локсодромию. Это
кривая, касательные к которой пересекают меридианы, проведенные в точках
касания, под постоянным углом. Различные обратные задачи на касательные были
поставлены также в геометрической оптике и в кинематике.
Приближенные графические методы не могли считаться удовлетворительным средством
решения этих задач. Попытку дать
168
общий метод первым пpeдпpEHял.J51
кapт^О^хщедложил классифицировать все
алгебраические кривые (неалгебраических кривых он, как было сказано, не
рассматривал), расположить их в ряд, отыскивать их касательные и проверять,
обладают ли они заданным свойством. Разумеется, первая же попытка использовать
этот метод проб, предпринятая Декартом при решении задачи де Бона, показала
практическую его непригодность.
Задача де Бона заключалась в требовании квадрировать криобладающую
свойством -^г- == "--* где S* - подкасаДекарт
испробовал
вую,
тельная. Аекарт испрооовал кривые вида уп = ах2 + Ьх+с (п=1,
2,..., 1000), но безуспешно. Тогда он избрал другой путь: заменил систему
координат на" косоугольную, выбрав вместо оси х •прямую у=х-а. В этой-системе
подкасательная оказалась постоянной (=aV 2). В
самом: деле, уравнение
х - у
а
подстановкой
х\
= у + а-х преобразуется в — = х Уг'2 получается уравнение
йУз.
ц ~- и после подстановки
а
, Кривая де
Бона оказалась неалгебраической. Декарт доказал этот, для нас почти очевидный,
факт кинематически. Именно он показал, что эта кривая образована двумя
независимыми движениями: равномерным движением прямой *=0 и движением прямой 1/1
= 0 или у=-х-a со скоростью, пропорциональной пройденному расстоянию. Кривая
представляет геометрическое место точек пересечения этих двух движущихся прямых.
Как было сказа" . но, Декарт относил такие кривые к разряду механических и из
своей системы математики исключал.
Задача де Бона, как и другие обратные задачи на касательные, указывала на
взаимную обрат-ность задач о проведении касательных и других. Сущность этих
других задач состояла в решении, говоря современными терминами, дифференциальных
уравнений. Особенно хорошо удавались задачи,
Рис. 44
которые можно было свести к интегрированию (- -=/(*)).
\ dx J
Отдельных результатов здесь добились шотландец Д. Грегори (1638-1675) и
англичанин Дж. Валлис (1616-1703). Не замедлил появиться и общий, хотя и
сформулированный в терминах геометрии, результат о взаимно-обратной зависимости
задач на квадратуры и на проведение касательной. Принадлежит он И. Барроу (1630
- 1677), профессору Кембриджского университета, ученику В ал лиса и другу И.
Ньютона, Опубликован этот результат в 1669г., в "Лекциях по геометрии и оптике".
Состоит он в следующем.
*• Заданы две кривые OF и ОЕ (рис. 44). Точки F и Е имеют общую абсциссу.
Кривые связаны условием: DF*R = SODE, или в на(tm)
ших символах: R*y = tvdx. Тогда подкасательная
DT = R •
DF n DF
-, или КDE
DT
= DE\ т.
Этой теореме^ Барроу дал два доказательства.
а) Кинематическое. Кривая OF пусть будет траекторией движущейся точки F. Закон
движения:' проекция F на ось х постоянна, т. е. точка D движется с постоянной
скоростью /?, скорость возрастания ординаты DF геометрически изображается
отрезком DE9 или
v. Короче:
JL = ft. _?. = о. Касательная есть диагональ прямо-dt dt
угольника, составленного из этих скоростей. Тогда подкасательная
или 0 =
dx
. По Галилею, путь, пройденный точкой
при равномерно ускоренном движении" равен
б) Более строгое, по методу древних. Проведена прямая FT, определяемая
условием DT=R--. Нужно доказать, что это -
DC*
касательная, т. е. опорная прямая, точки которой в локальной области лежат по
одну сторону от кривой.
Проведем в точке / кривой прямые L//C и IKLt параллельные оси Ох. По
свойству кривых площадь SP&IEG = R-LF. Из чертежа
L/C LF
DT
R
, откуда L/C • DE = R • LF = SPD EG.
DF DE Но в силу монотонности кривой ОЕ
* DE
в зависимости от того, находится точка / правее или левее точки F. Отсюда
соответственно L/C^/L, что и доказывает расположение прямой по одну сторону от
кривой, т. е. что она касательная.
Опираясь на этот результат, Барроу решил большое число обратных задач на
касательные. С его сочинениями знакомились многие ученые, в том числе Ньютон и
Лейбниц.
Итак, к середине XVII в. математика находилась на грани открытия
дифференциального и интегрального исчисления. Точнее сказать, это открытие
совершалось.
5.4, ПОЯВЛЕНИЕ АНАЛИЗА БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ
Первым этапом существования анализа было формирование, дифференциального и
интегрального исчисления. Последнее возникло'как-самостоятельный отдел
математики почти одновременно в двух разновидностях: в виде теории флюксий в
трудах И. Ньютона и его английских последователей и в виде исчисления,
дифференциалов. Г. В. Лейбница, получившего распространение прежде всего •на
европейском, континенте,.
Развитие математических исчислений носит отчетливо выраженный диалектический
характер,, В рамках уже существующих исчислений происходит процесс накопления
предпосылок, элементов и составных частей нового исчисления. Затем наступает
момент, когда, происходит переворот в методе. Появляются математические работы,
в которых накопившиеся в данной области факты пересматриваются с новой, единой
точки .зрения. Центр внимания перемещается с попыток решения отдельных задач на
сам метод или группу методов, которые явно формулируются, совершенствуются и
применяются. Область применения появившегося таким путем исчисления,
как.правило, оказывается более широкой, нежели область его возникновения. Работы
И. Ньютона и Г. В. Лейбница по анализу бесконечно малых отражают именно такой
поворотный пункт в истории математического анализа.,,
. Теория флюксий. Наиболее ранней формой анализа является теория флюксий,
открытие которой принадлежит И. Ньютону.
Исаак Ньютон (1642-1727) родился в семье фермера в местечке Вулсторп близ г.
Кембриджа (Англия). В 1655 г. он окончил Кембриджский университет со степенью
бакалавра. Учителем его был И. Барроу. В 1668 г. И. Ньютон получил степень
магистра, а через год, в 1669 г., Барроу, будучи в расцвете сил, уступил Ньютону
свою кафедру в знак уважения к талантам и научным достижениям своего ученика.
Профессором в Кембридже, Ньютон был до 1701 г. В 1672 г. он был избран членом, а
с 1703 г. - президентом Лондонского королевского общества. Наиболее значительные
работы по математике Ньютон написал во время пребывания в Кембридже.
Основными направлениями научной деятельности Ньютона были физика, механика,
астрономия и математика. Ему принадлежат в этих областях науки первоклассные
достижения, в том числе: вывод и формулировка основных законов классической
механики, открытие закона всемирного тяготения, законов спектраль171
И. Ньютон (1642-1727)
ного разложения света, разработка дифференциального и' интегрального
исчисления в форме метода флюксий.
Математика в системе научных воззрений Ньютона была частью общей науки о природе
- натуральной философии - и орудием физических исследований. В качестве
математического аппарата механики, который учитывал бы движение и охватывал
связанные с ним понятия скорости и ускорения, Ньютон разработал метод, названный
им методом, или теорией, флюксий.
В методе флюксий изучаются переменные величины, вводимые как абстракции
различных видов непрерывного механического движения. Называются они флюентами,
т. е. текущими, от латинского слова fluere - течь. Все флюенты являются
зависимыми переменными; они имеют общий аргумент - время. Точнее, речь идет о
математическом абстрагированном аналоге времени - некоей воображаемой
абстрактной равномерно текущей независимой величины, к которой отнесены все
флюенты,. Это, разумеется, не осложняет задачи Ньютона, так как не стесняет при
соотнесении переменных, в задачах. •
'
Далее вводятся скорости течения, флюент, т. е. производные по времени. Названы
они флюксиями. Так как флюксия, представляет собой переменную,, то можно
находить флюксию от флюксии, и т. д. Символы первой, второй и т, д. флюксий,
если флюенту обозначить у, будут: |/, у, у и, т д. Для вычисления мгновенных
скоростей - флюксий потребовались бесконечно малые изменения флюент, названные
Ньютоном моментами. Символ момента времени 0; момент флюенты у, следовательно,
запишется: Oj/, т. е. произведение мгновенной скорости на момент времени. По
существу момент флюенты - это ее дифференциал. Иногда, когда рассуждения всходят
из заданной: флюксии, обозначенной, допустим:, у'9 вводятся специальные символы
флюент: 'у, или Пу (символ, указывающий на квадратуру),, Символы Ньютона не так
удобны, как символы дифференциалов, ведущие свое происхождение от Лейб(tm) ница и
распространенные в наше время. Однако они еще сохранились, например, в механике,
В теории флюксий решаются две главные задачи, сформулированные как в
механических, так и в математических терминах:
1) определение скорости движения в данный момент времени по заданному пути.
Иначе: определение соотношения между флюксиями из заданного соотношения между
флюентами;
2) по заданной скорости движения определить пройденный за данное время
путь. В математических терминах: определить соотношение между флюентами по
заданному соотношению между флюксиями.
Первая задача, так называемая прямая задача теории флюксий, представляет задачу
дифференцирования неявной, в общей постановке, функции и получения
дифференциального уравнения, выражающего элементарные закономерности природы.
Вторая - обратная задача теории флюксий - есть задача интегрирования
дифференциальных уравнений, поставленная в самом общем виде. В частном виде в
этой задаче речь идет о нахождении первообразных функций. Таким образом,
интегрирование в теории флюксий вводится вначале в виде неопределенного
интегрирования.
Для прямой задачи Ньютон ввел единообразное правило — алгоритм
дифференцирования функций. Поясним его, вслед за Ньютоном, на примере. Дано
соотношение между флюентами:
х3 - ах2+аху - #3=0. Образуем то же соотношение для флюент, испытавших
мгновенные изменения, т. е. когда к каждой флюенте добавлен ее момент;
(х•+ iO)8 _ а (х + хО)*+ а (х + хО) (у + уО) - (у +
В развернутом но формуле бинома виде:
. уЗ 4~ Чг2Л'Г) *~4- Чу""ггОО -1~ г303 -__
Л/ Т Oi/v ЛЛ/ | О А/ ЛЛ\/w j Л/ \J
• -ах2 - 2ах*хО --ахЧЮ + + аху + ахуО -{- аухО + ахО*уО -
- Зу200у - '
= 0.
\
Q.
Первый столбец равен нулю по условию; остальные члены разделим на 0 и отбросим
как бесконечно малые все те члены, в которых после этого сохранится бесконечно
малый момент времени - О. Получим соотношение между флюксиями:
Зх2х - 2ах • х + ау ••* + ах у - Зу* • у = 0.
Этот метод Ньютон формулирует в виде правила:
1) расположи по степеням переменных;
"К
2) умножь на члены арифметической прогрессии и на*- -
, х
или - соответственно;
У
3) сумма произведений дает отношение между флюксиями
1. гз Л/ - - • ах2 + аух - у3 //3 - у + о 1 ' i " аху- - ах2 +
ж3
2. 3. 3-^-X 9 JL - (} , z, - - , , и X X з-i-у ,
о, JL У -, 0
Зх*х - 2ахх + аху - Зу*у •+ •аху
Члены арифметической прогрессии можно заменить членами другой прогрессии вида 3
+ т, 2+т, 1+т для целочисленных т. Дальнейшие усовершенствования
дифференциального исчисления: дифференцирование неполиномиальных функций,
отыскание экстремумов функций, геометрические и механические приложения -
принципиальных трудностей для Ньютона не представили. Флюксии от иррациональных
функций получаются по правилу дифференцирования сложной функции: например, если
z =
то
= ах - у2, 2zz = ах_ - 2уу\
2z
Посмотри в окно!
Чтобы сохранить великий дар природы — зрение,
врачи рекомендуют читать непрерывно не более 45–50 минут,
а потом делать перерыв для ослабления мышц глаза.
В перерывах между чтением полезны
гимнастические упражнения: переключение зрения с ближней точки на более дальнюю.
В более сложных случаях Ньютон прибегал к представлению функций степенными
рядами и к оперированию с этими рядами. Класс функций, которым располагал
Ньютон, был еще сравнительно ограниченным; внутри него подобное представление
функций не вызывало сомнений. Тем не менее соображения о сходимости ряда и о
правомерности представимости той или иной функции рядом постоянно были в поле
зрения Ньютона.
Обратная задача теории флюксий: нахождение соотношения. между флюентами по
известному соотношению между флюксиями - по своей постановке чрезвычайно обща.
Она, как мы указывали, эквивалентна общей задаче об интегрировании любых
дифференциальных, уравнений. Подходы Ньютона к решению столь общей проблемы и
приемы решения складывались постепенно.
Прежде всего простое обращение результатов нахождения флюксий дало ему огромное
количество квадратур. Со временем он обнаружил необходимость дописывать при
этом" обращении аддитивную постоянную. Затем оказалось, что операция обраще- .
ния даже сравнительно простых уравнений вида Mx + Ny=Q, получающихся при
вычислении флюксий, не всегда возможна и не дает исходную функцию. Ньютон
обнаружил это, рассматривая, те случаи, где М=М(х, у) и N^=N(x, у) целые,
рациональные,.
Когда непосредственное обращение, прямого метода, не приносит успеха, Ньютон
прибегает к разложению функций в степенные ряды как к универсальному средству
теории флюксий" Данное
уравнение он разрешает, например, относительно ~^- или (полагая
х
~-я=1) относительно у и разлагает функцию, стоящую в правой. части, в
степенной, ряд, а затем этот ряд почленно интегрирует.
Для разложения функций в степенные ряды Ньютон использовал все результаты своих
предшественников и накопил большой арсенал приемов,, Среди них наиболее часто
применялись:
а) обобщение (индуктивное) теоремы о степени бинома (а + Ь)п на
случай дробного и отрицательного показателя степени;
б) деление (непосредственное) числителя дробно-рациональной функции на
знаменатель;
в) метод неопределенных коэффициентов в различных модификациях. Например, в
уравнении t/=l- Зх+у + х2 + ху надо отыскать разложение у в ряд по степеням х,
подставить этот ряд в правую часть вместо у и затем решать уравнение
почленным интегрированием. Члены разложения будем отыскивать последовательно:
у==х + ... Подставим в правую часть и получим у = 1 - 2я + ..., откуда: у=хх2+...
Подставим снова уже два члена разложения у в правую часть уравнения:
откуда
Вычисления по методу неопределенных коэффициентов Ньютон располагал в таблице
У 1 - Зх + у + х* + ху
1- Зх + X2
У Y ___ у2 -|- "з - - ** + - ^ + ... 6 30
*
ху X °~~" X ~у 3 - - л: + • • .
9 1 4
Сумма 1-2х- Г" X " JL х* + "L д4 .."." ..... JL хь + e e e .3
6 30
1 1 1 й' 1
У v v2 1 л • * л \~ 3 " ..... б" ' "зо" Л 8
"45(tm) ^
г) замена переменных, в силу чего в ряд раскладывается не функция у, а удачно
подобранная функция от у,- а также замена системы координат;
д) обращение рядов, которое лучше, по-видимому, пояснить на примере. Вычисляя
длину пути окружности (/?=!, центр в-начале координат), Ньютон получил элемент
дуги; в переводе на
" dx / • \
привычную нам символику, as =--?==•; (s = arcsinx), или, используя
биномиальную теорему ряда: '
У 1
di-dxfl+-±-x* + -$-x*-
as-ax^i | 2 л t e л
Интегрируем почленно:
= (1 - .^2) 2 L
• ] '
+ . . Л ' -/ •
в виде
= arcsin х = х-{ — х3-] — х
Задача состоит в отыскании ряда для обратной функции, т. е. sin x.
'
Оборачивание Ньютон проводит следующими этапами. Обрывает ряд:
ьз'5 х7+ -,..1 -2.4.6-7 J
2-3 1-2.4.5
Полагает х= s+ p. Отсюда
О^Р + -~(53 + 352Р+...) + ^-(5б+-..). Пробует: р=А, As, As2. Очевидно, А- 0 в
этих случаях.
(1) (2)
I Накс
Наконец, попытка p±=Bs3 дает
Значит,
v - о - оЗ
Л - - с" ' - " --- о •
Следующий шаг: р = - - s3 + q. Подстановка, в (2) дает
•
откуда
"-Л1 ___________
? V 12 40 J " 120
Значит,
A:==s_J-S3+_l_se ,
6 120
и т. д. Закон образования коэффициентов подмечается легко:
X3 . Хк
Из обращенного ряда получается ряд для. cos* (сов* = 1/1 -
у2 t4
l-- + - -.'-.
2! 41
Аппарат представления функций степенными рядами, в который включаются, кроме
упомянутых много других частных приемов,, является оперативной основой
ньютоновой теории флюксий. Он позволяет проводить дифференцирование и
интегрирование широкого класса аналитических функций, вычислять экстремумы
функций, получить много примеров приложения методов теории флюксий к геометрии,
механике и другим наукам. Насколько далеко продвинулся Ньютон в труднейших
вопросах теории флюксий, показывает одно его письмо 1676 г., в котором он
сообщает об условиях интегрируемости биномиального дифференциала. Последний:
y=az(r) (e+fz^v интегрируется, если -i- или -i- +Я-целое
Ц Г]
положительное число.
Ньютон получил большинство результатов теории флюксий в течение 60-70-х годов
XVII в. Однако он не спешил с публикацией написанных им на эту тему работ. Он
неохотно давал согласие на публикацию даже тогда, когда вспыхнул спор о
приоритете открытия дифференциального и интегрального исчисления между
ним и Лейбницем. Более того, его знаменитые "Математические начала натуральной
философии", появившиеся в 1686-1687 гг., оказались написанными без применения
методов теории флюксий, хотя многие из приведенных в этой книге результатов
первоначально были получены средствами этой теории.
Причиной такого положения дел была помимо несовершенства методов решения
обратных задач недостаточная логическая обоснованность теории флюксий. Введение
в математику переменных величин, оперирование с бесконечно малыми приводит к
необходимости рационального объяснения большого числа, связанных между собой
основных понятий и проблем. Ньютон это хорошо понимал, но справиться с подобными
затруднениями не мог.
Взгляды Ньютона на обоснование теории флюксий менялись. Выше мы указывали, что
исходные позиции теории флюксий лежат в механике. Это позволяет перенести в
механику противоречия, возникающие при толковании основных понятий этой теории.
Однако оперативная сторона дела предполагает отбрасывание безе-конечно малых.
Доказать законность такой операции, выявить таинственную сущность этих величин,
не являющихся ни нулями, ни конечными величинами, - эта задача не решалась
имевшимися в распоряжении Ньютона средствами.
В поисках выхода Ньютон создал метод первых и последних отношений - раннюю форму
теории пределов. Он изложил его в "Математических началах натуральной
философии", первый отдел первой книги которых так и называется: "О методе первых
и последних отношений, при помощи которого последующее доказывается".
Метод состоит в рассмотрении предельных отношений "едва-едва зарождающихся"
(первые отношения) или "только-только исчезающих" (последнее отношение) величин.
Несмотря на неудачную терминологию, Ньютон сумел изложить основные теоремы о
пределах и бесконечно малых, лежащие в основании курсов математического анализа.
Так, им доказаны теоремы о пределах отношений, длины дуги непрерывной гладкой
кривой к хорде и к касательной.
Понятие предела, в каком бы оно виде ни появлялось, есть понятие
неалгоритмическое. С ним невозможно связать последовательность операций,
эффективно приводящих к его нахождению. От условно-оценочной трактовки предела
(пусть задано е"0. Тогда найдем такое б"0, что и т. д.) Ньютон тоже был далек;
она приобрела права гражданства лишь в самом конце XIX в. Разрыв между
оперативно-алгоритмической стороной теории флюксий и ее логическими основами
остался неустраненным. Теория флюксий знаменовала тот этап развития анализа
бесконечно малых, когда он, по выражению К. Маркса, "существует, а затем
разъясняется", а в своих основах является таинственным "мистическим". Дальнейшая
судьба теории флюксий связана с острой борьбой, вспыхнувшей сразу же после
появления этой теории, именно вокруг ее основ.
Г. В. Лейбниц (1646-1716)
Исчисление дифференциалов. Как было сказано выше, анализ бесконечно малых возник
почти одновременно в двух разных, независимых друг от друга формах. Первой по
времени изобретения была ньютонова теория флюксий. Однако первые публикации по
математическому аналиу были посвящены другому виду исчисления - исчислению
дифференциалов.
Автор нового исчисления Г, В. Лейбниц (1646-1716) родился в Лейпциге в семье
профессора местного университета по кафедре
философии и морали. Образование получил в университетах Лейпцига и Йены. Всю
жизнь состоял на службе у германских государей: майнцского курфюрста, а затем
ганноверского герцога. Выполняя дипломатические поручения, Лейбниц посетил Париж
и Лондон, где вступил в научное общение с виднейшими учеными. За научные заслуги
он был избран членом Лондонского королевского общества (1673) и Парижской
академии наук (1700). Лейбниц основал Берлинскую академию, а также оказал
положительное влияние на развитие науки в России: он был знаком с Петром I,
переписывался и беседовал с ним, обсуждал проекты организации Академии наук в
Петербурге, развертывания научных исследований в России,,
Деятельность Лейбница весьма многообразна: он был видным дипломатом, политиком
и-ученым. Так же разнообразны его научные интересы: естественные науки, физика,
философия, право" литература и языкознание, математика были объектами его
исследований, нередко весьма замечательных и предвосхитивших многие последующие
открытия.
Математические работы Лейбница, которые нас интересуют.в первую очередь, тесно
связаны с его философскими воззрениями. Мы не имеем возможности подробно
описывать философские позиции Лейбница и их эволюцию от сочувствия механическому
материализму до своеобразной разновидности метафизического объективного
идеализма. Отметим лщпь, что во всех различных по содерж а нию м атем атических
з анятиях он ру ково дствов а лея одной целью.' Цель эта философская: создание
универсального метода научного познания, по терминологии Лейбница - всеобщей
характеристики.
Всеобщая характеристика должна заменить все. логические •суждения исчислением,
производимым над. словами и другими символами, однозначно отражающими понятия.
Она, таким образом, мыслится как некоторый общий .логико-математический аппарат
суждений. Математика при этом приобретает расширенное толкование как наука об
отражении всевозможных видов связей и зависимостей простейших элементов.
Современная Лейбницу математика должна была, по его замыслу, войти в будущую
общую математику. Он видел идеал, по его словам, в "подчинении алгебры
комбинаторному искусству, или буквенной алгебры общей буквенной науке, или науке
о формулах, выражающих вообще порядок, подобие, отношение и т. п., или общей
науки о количестве - общей науке о качестве, так что наша буквенная математика
становится только замечательным образчиком комбинаторного искусства или общей
буквенной науки".
Установление всеобщей характеристики и открытие закономерностей новой математики
решит проблему научного доказательства и устранит разногласия, так как вместо
споров понадобится лишь произвести вычисления.
Зерна новой математики хранятся в старой. Последнюю нужно изучить, выбрать и
поставить проблемы, относящиеся к разработке бесконечных процессов, с которыми
не может справиться алгебра, создать новые алгоритмы. Этим алгоритмам необходимо
придать по возможности совершенную символику, отражающую сущность понятий или
операций. Выбору символики Лейбниц придавал огромное значение. Он указывал, что
необходимо выбирать обозначения, удобные, для открытий, т. е. необходимо, чтобы
обозначения коротко выражали сущность вещей. Тогда сокращается, работа мысли.
Оперативное значение новых алгоритмов возрастает, если они будут механизированы"
Таковы в основном были исходные установки Лейбница. Они определили направление и
характер его математических занятий, которые привели к открытию
дифференциального и интегрального исчисления.
До 1673 г.,, до поездки в Париж, Лейбниц много занимался комбинаторными
задачами, видя в них математическую основу логики. В Париже он встречался с
Гюйгенсом и тот ввел его в курс инфинитезимальных проблем математики. Гюйгенс же
поставил перед Лейбницем ряд задач,, связывающих эти проблемы с комбинаторикой.
Решив одну из задач Гюйгенса о нахождении сумм
чисел вида ----/Лейбниц нашел также суммы некоторых ря-k(k + 1)
дов. При этом, широко использовал паскалев арифметический треугольник и.
конечные разности высших порядков. В этот подготовительный период им были
основательно проштудированы сочинения Декарта, Кавальери, Валлиса, Паск
...Поділитися у соцмережах
