Жанр: Наука
История и методология математики
...Принимая z за бесконечно малое, п - за. бесконечно большое, причем отношения
между z и п таковы, что их. произведение конечно: nz-*-v, а также, что при этом
" ,
COS 2 -"• 1, Sill 2 -* 2 = - ,
п
Эйлер находит
COS V -
Sin ?/' =
21 Отсюда уже следует искомая формула:
eiv = COSV +
Кроме разложения функций в ряды Эйлер разработал метод представления функций
бесконечными произведениями, как, например:
202
Ч я2 У Ч 9я2) Ч 25я2 J " '
Эти разложения были применены для упрощения вычисления логарифмов
тригонометрических функций.
Для нужд интегрального исчисления в теории функций были 'собраны методыпредставления
функций в виде суммы элемен- \/ • тарных дробей. Наконец, для
изучения свойств функций Эйлер V применил аппарат непрерывных дробей. Было
открыто также много фактов, полезных для будущей теории функций комплексного
переменного. Например, Даламбер и Эйлер в работах по гидродинамике показали, что
эти функции имеют вид w = u+iv и что действительная и мнимая части таких,
функций удовлетворяют условиям
ди ~дх'
dv
dv
Даламбер в 1752 г., а Эйлер в 1755 г. показали, что эти условия достаточны для
аналитичности функции ш. Позднее (в 1777 г.) Эйлер доказал и необходимость этих
условий, ныне в некоторых книгах ошибочно носящих название условий Коши -•
Римана.
В" течение 30-40-х годов XVIII в. главным: образом благодаря^/ Эйлеру была
разработана и систематизирована теория элементарных аналитических функций. Она
тотчас же повлекла поток открытий, сопровождавшихся большими и страстными
спорами. Особенно много споров вызывала трактовка функций комплексного
аргумента.
Большое значение имел в этом плане спор о природе логарифмов комплексных чисел,
начатый еще Лейбницем и И. Вернул-ли. Первый утверждал, что эти числа - мнимые,
тогда как И. Бернулли отстаивал утверждение, что эти числа действительные. В
1749 г. Эйлер правильно решил этот вопрос. Он заметил, что значение у=1пх
определяется из равенства
Отсюда
X 1 =
JL- u-i(xT_\\
. " У - I \X ~ Ajt
что соответствует в современных обозначениях:
-1).
Так как хп , т. е. "корень с бесконечно большим показателем Ь, продолжает Эйлер,
имеет бесконечно много разных значений, во203
обще говоря мнимых, то и логарифм имеет бесконечно много значений, вообще говоря
мнимых. Однако споры не утихали, так как не была выяснена их основа: сущность
понятия комплексного числа. Мы вернемся к этому вопросу еще раз при изложении
истории теории функций комплексного переменного.
Неясность существовала и в вопросе о соотношении объемов |классов аналитических
и аналитически выразимых функций. [Эйлер, как было сказано выше, считал их
равносильными; всякое [аналитическое выражение представимо рядом. Это убеждение
раз-| дел ял о подавляющее большинство математиков XVIII в. Даже в П. 797 г.
Лагранж пытался построить теорию аналитических функ-|дий, опирающуюся на
утверждение, что всякая функция всюду, \за исключением, быть может, отдельных,
значений аргумента, пред-Ъ;авима рядом Тейлора,
Накопившийся запас представлений о способах выражения. функциональных
зависимостей начал приходить, однако, в противоречие с этой концепцией. Эйлеру
пришлось рассматривать и более общие классы функций, как: было указано выше.
Так, ему принадлежит идея рассмотрения функций, геометрически выраженных
линиями, начерченными свободным движением руки. При этом неизбежно встала задача
о соотношении объема данного класса и класса непрерывных (в смысле Эйлера)
функций. Эйлер считал, что последний класс, по-видимому, беднее, потому что
существование аналитической формулы определило бы 'однозначное аналитическое
продолжение. Функции же, образованные свободным движением руки, не имеют такого
ограничивающего условия,, Толчком, к рассмотрению указанных проблем послужили
задачи математической физики, в особенности задача о 'колебании струны. Этой
принципиально важной задаче уделяли большое внимание еще в XVII в. многие
ученые: Галилей, Мерсенн, Декарт, Гюйгенс и др.
В 1715 г. Тейлор вывел уравнения колебания струны из усд2и
^
ловия, что ускорение точки струны, т. е. --", обратно пропорционально радиусу
кривизны
Р = -
дх*
Для малых колебаний это дает
. и У __ а2 и у dt* дх* '
Тейлор наложил на задачу еще одно условие, что все точки колеблющейся струны
одновременно возвращаются на ось абсцисс.
Это дало ему возможность утверждать, что р = -.
Тогда
Принимая далее ось абсцисс за начальное положение струны, концы которой
закреплены, Тейлор нашел решение уравнения в
виде
у = A sin Ьк • sin abt.
В 1747 г. Даламбер нашел общий, интеграл этого уравнения" Пусть дано уравнение:
• ' д№ djca
После замены at=t оно примет вид
at3
или
т.
at V at
дх
Л у
дт
является полным дифференциалом,
Обозначим
at
дх
Тогда
откуда
И следовательно,
du = gdr +
dy = pdi + qdx,
у ~}-u -
Здесь ф и -^ - произвольные функции, определяемые только начальными условиями.
Из условий закрепленности концов у вывел:
*=/
- 0 Даламбер
При этом он считал само Собой разумеющимся, что функция непрерывна
в смысле XVIII в., т. е. аналитическая и, следовательно,
дифференцируемая.
" Через год после работы Даламбера (опубликована в 1750 г.) Эйлер ввел
соображение о том, что положение конечной колеблющейся струны в любой момент
времени /о определено, если задано ее начальное положение y\t=Q=f(x) и начальное
распределение
скоростей. - - I =?(#). Тогда функция ф (х), введенная в реdt
|*=
шение, данное Даламбером, выражается через функции f(x) и g(x). Именно
Ф(*)-Ф (-*) = /(*),
(чтобы получить это выражение, в условии
• -"- = яф' (р& + х) - аф' (at - х) = g (х)
положим /=0 и проинтегрируем обе части равенства).
Но, как замечает Эйлер, функции f(x) и g(x) вообще не непрерывные, а связные,
Это обусловлено требованием сплошности струны. Следовательно" произвольная
функция у="р(х)9 введенная Даламбером, не является, вообще говоря, непрерывной.
Вокруг проблемы определения природы функции ф(я) разгорелся спор, длившийся
около 50 лет. В него были вовлечены многие крупные ученые XVIII в. Спор, как это
часто бывает, перерос свои границы. Он превратился в спор о природе функций,
входящих в состав интегралов уравнений с частными производными, а затем - вообще
о соотношении между внутренними свойствами функций и характером выражающего их
аналитического аппарата. Среди множества возникших в связи с этим проблем
оставалась долгое время нерешенной старая проблема: являются ли связные линии,
вычерченные свободным движением руки, непрерывными, точнее аналитически
выразимыми.
Решить эту проблему оказалось возможным, лишь обогатив средства аналитической
выразимости функций. Эти пути в XVIII в. уже наметились в результате введения в
математику аппарата тригонометрических рядов. В одной из своих 15 статей,
посвященных задаче о колебании струны, Эйлер дал решение одного из
частных случаев в виде тригонометрического ряда. Через пять лет, в 1753 г., Д.
Бернулли предложил общее решение в аналогичной форме, исходя из, физического
соображения, что звук, издаваемый колеблющейся струной, слагается из основного
тона и бесконечного множества обертонов. Именно:
{/ - длина струны, a=a(f), Р = Р(0" 7='У(^К •••)•
Однако Эйлер выступил против такой трактовки, общего решения, так как, по его
мнению, функция, предложенная Д. Бернулли, являлась недостаточно общей. В самом
деле, она непрерывная, нелетная, периодическая. Поэтому, по Эйлеру, она могла
выражать лишь частное решение, в крайнем случае - класс частных решений,,
Возникший спор привел к задаче: выяснить объем класса функций, представимых
тригонометрическими рядами.
Дальнейшее развитие понятия функции, состава теории функций и ее места в системе
математического анализа выходит за рамки XVIII в. Однако, чтобы не возвращаться
далее к этому вопросу, изложим в основных чертах его дальнейшую историю.
В 1807 г. (опубликовано в 1822 г.) Фурье в работах по аналитической теории тепла
доказал, что связные линии, заданные на конечных участках различными
уравнениями, представимы на любом таком участке рядом,
/1=1
где коэффициентами являются выражения, получившие впоследствии название
коэффициентов Фурье:
ап = - { f(x) cos пк dx,
я J
-я +я
bn = - i f(x)sinnxdx. ял)
Все эйлеровские связные кривые, начерченные свободным движением руки, оказались
охваченными аналитическим аппаратом тригонометрических рядов. Несоответствие
общих представлений о функциональной зависимости и ограниченных аналитических
средств их выражения оказалось сглаженным. Создались условия для трактовки
функций как соответствий весьма общего вида. Вскоре такие трактовки стали
преобладающими. Так, в 1810 г. Лакруа писал: "Всякое количество, значение
которого зависит
от одного или нескольких других количеств, называется функцией этих последних,
независимо от того, знаем мы или не знаем, через какие операции нужно пройти,
чтобы перейти от этих последних к первой" 1. Аналогичное определение дано в
"Аналитической теории тепла" Фурье: "Функция fx обозначает функцию совершенно
произвольную, т. е. последовательность данных значений" подчиненных общему
закону или нет, и соответствующих всем значениям х, содержащимся меж#у нулем и
какой-либо величиной х"2.' Лобачевский в 1834 г. утверждал: "Общее понятие
требует, чтобы функцией от х назвать число, которое дается для каждого х и
вместе с х постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или
аналитическим выражением, или условием, которое 'подает средство испытывать все
числа и выбирать одно из них, или, наконец, зависимость может существовать и
оставаться неизвестной... Обширный взгляд теории допускает существование
зависимости только в том смысле, чтобы числа' одни с другими в связи понимать
как бы данными вместе"3. Аналогичную трактовку понятия функции дали в 1837 г.
Дирихле и другие ученые, и она стала общепринятой,
Однако вскоре, обнаружилось, что и ряды Фурье не являются универсальным
аппаратом представления функций. Во всех случаях сходимости рядов Фурье,
относящихся: к непрерывным функциям', кроме непрерывности требовалось выполнение
дополнительных условий: конечность производной, ограниченность изменения
функции, кусочная монотонность, существование некоторого интеграла, выполнение
неравенства и т., п. П. Дюбуа-Реймон в 1876 г. показал, что нельзя освободиться
от дополнительных условий и ограничиться только свойством непрерывности функции.
Он построил пример непрерывной функции, ряд Фурье которой расходится в некоторых
точках4.
При построении этого примера Дюбуа-Реймон использовал прием накопления
особенностей при построении функции - прием, идущий от Больцано. Регулярное
применение этого приема показало, что удается построить непрерывную функцию
Ф(х), периодическую на сегменте [0, 2я], с накоплением особенностей в любой
точке. Соответственно ряд Фурье будет расходиться в любой точке указанного
сегмента. Вновь образовался разрыв между арсеналом средств аналитической
выразимости функций и общей трактовкой понятия функции5. Грубо говоря, кривых
снова оказалось больше, чем формул.
1 S. F. Lacroix. Traite du calcul differentielle et du calcul integral, t. L
Paris, 1810, p. 1.
2 J. B. Fourier. Theorie analytique de chaleur. Paris, 1835, p. 5.
3H. И. Лобачевский. Об исчезновении тригонометрических строк. Собр.
соч., М.-Л., Гостехиздат, 1951, стр. 43.
4 См., например, Г. М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального
исчисления, т. 3. М., Гостехиздат, 1949, стр. 598-605.
5 Теория рядов Фурье и вообще тригонометрических рядов в свою очередь
получила мощные стимулы развития, которые привели ее к современному
Еще более осложнилось дело к концу XIX в., когда понятие кривой приобрело
большую абстрактность и общность, чем ранее. В 70-х годах XIX в. Г. Кантор
построил общее понятие кривой средствами теории множеств 1. Плоская кривая была
определена у Кантора как множество тйчек на плоскости, связное, т. е. без
изолированных точек, совершенное, т. е. замкнутое (содержащее все свои
предельные точки), и всюду плотное, на себе (любая его точка -предельная).
Однако это было такое множество, которое нигде не плотно на плоскости (не имеет
внутренних, точек). Построение Кантора, естественно, было воспринято некоторыми
математиками критически, "как уводящее в сторону от возможности использовать
сложившийся аналитический аппарат.
Этот недостаток будто бы устранялся в определении кривой К. Жор дана, данном им
в 1882 г.: плоская кривая есть совокупность, точек плоскости, координаты которых
заданы уравнениями x=x(t), y = y(i), правые части которых - непрерывные функции
от параметра t на некотором отрезке [/о, Т], Кривые. Жордана оказались весьма
разнородными и зачастую весьма сложными,, Применение вычислительных алгоритмов к
кривым этого класса еще более затруднилось, когда, в 1890 г. Пеано открыл, что
существуют кривые Жордана, которые могут заполнять целиком все внутренние точки
некоторого квадрата. Только частные классы этих кривых имеют сравнительно
простую структуру. Например,, -когда существуют непрерывные производные x'(t) и
y'(t)9 то кривая есть линия, имеющая длину
y'2(t)dt.
Тем не менее возможности для алгоритмического оперирования с функциями даже -
столь общей природы, как оказалось, сохранились. Только теперь они опирались на
общую идею аппроксимирования функций, приближенного их воспроизведения. Способы
аппроксимации, как известно, различны. Решающую роль в осуществлении этой идеи
сыграли результаты Вейерштрасса. Он доказал в 1885 г., что любая функция f(x)\
непрерывная в [а, &]" аналитически выразима на нем как сумма равномерно сходяще00
гося ряда целых алгебраических полиномов: ^У Pn(x).
л=1
состоянию. В нее вошли общие признаки сходимости (начиная с работ Дирихле,,
1837), понятия теоретико-множественного характера (Г. Кантор с" 1872 г.), меры и
интеграла (Риман и в особенности Лебег, 1902-1906). В первой четверти XX в. в
нее вошли крупные результаты Данжуа, Лузина, Меньшова, Бари и др.. % История
этой математической дисциплины весьма богата фактами, но содержит еще много
нерешенных проблем.
1 К построению теории множеств Кантор пришел исходя именно из исследований
относительно изображения функций тригонометрическими рядами.
Математический анализ XVIII в., в особенности та его часть, которую мы назвали
анализом функций, послужил источником многих идей современной теории функций. В
нем были созданы начала теории функций комплексного переменного. Как мы увидим
далее, класс вариационных задач привел к созданию вариационного исчисления и
возникновению ряда элементов современного функционального анализа. Выяснение
широкого смысла-понятия функции как причинного соответствия общей природы
развилось впоследствии в теоретико-множественную концепцию этого понятия. Анализ
всех возможных классов функций' и их свойств оказался необходимым условием для
появления современной конструктивной теории функций.
Изложенная выше история развития понятия' функции в XVIII в. и позднее была бы
неполна, если бы мы не отметили, что в этот период вместе с обогащением анализа,
функций изменилась его служебная роль. Из введения в анализ он превратился-в
одну из его высших областей - теорию функций. Свойства же элементарных функций
вошли составной частью вв оперативные исчисления--дифференциальное и
интегральное. Место введения в анализ заняли теория действительного числа и
теория пределов.
Проблема обоснования анализа бесконечно малых. Работы по вопросам обоснования
анализа, появлявшиеся в течение XVIII в., настолько многочисленны, что
составляют большую самостоятельную отрасль математической литературы вообще.
Одной из самых характерных черт анализа бесконечно малых в XVIII в. была
невыясненность его исходных понятий, невозможность объяснить рационально
правомерность введенных операций. Взгляды создателей анализа на этот предмет не
отличались ни постоянством, ни определенностью. Как Ньютон, так и Лейбниц
предприняли множество попыток объяснения своих исчислений, не достигнув успеха.
Их ближайшие последователи только усугубили путаницу. Практические успехи
анализа бесконечно малых' приходили во все увеличивающееся противоречие с его
неясными, зыбкими основами. Анализ бесконечно малых переживал мистический, по
определению К. Маркса, период своего развития.
Уязвимость такого положения вскоре дала себя знать. У анализа бесконечно малых
появились противники, ставящие под сомнение или отвергающие его методы,
результаты и в особенности трактовку основных понятий. Приверженцы же могли
противопоставить этим возражениям лишь накопление практически важных
результатов. К. Маркс по этому поводу писал: "Итак, сами верили в таинственный
характер новооткрытого исчисления, которое давало правильные (и притом в
геометрическом применении прямо поразительные) результаты математически
положительно неправильным путем. Таким образом, сами себя мистифицировали и тем
более ценили новое открытие, тем более бесили толпу старых ортодоксальных
математиков и вызывали с их сто210
роны враждебные вопли, будившие отклик даже в мире неспециалистов и необходимые
для прокладывания пути новому"1.
Видная роль во враждебных выступлениях против анализа бесконечно малых
принадлежала ирландскому епископу, видному философу-идеалисту Дж. Беркли,
который был озабочен укреплением позиций религии, расшатываемых под влиянием
грандиозных успехов естественных наук. Наряду с другими сочинениями философского
характера, где он отстаивал позиции субъективного идеализма, Беркли издал в
1234^х-л:рл1С1^х^Аналистх или рассуж-/ дение, обращенное к одному неверующему
математику", в котором он стремился доказать, что анализ (как и все области
науки) имеет отнюдь не большую обоснованность, чем догматы богословия;.
Критические аргументы Беркли были характерны для субъективного идеалиста. Они
состояли из утверждений о чувственно-интуитивной несообразности,
невоспринимаемости понятия флюксий и способа их последовательного образования,
а. также о логических противоречиях в высказываниях Ньютона относительна
оснований анализа.
Возникла оживленная полемика, способствующая в конечном счете выяснению спорных
вопросов. Она не входила, в расчеты; Беркли, и он вскоре отошел от этой
специальной темы, отнюдь не изменив своих общих воззрений. Однако критический
пересмотр проблемы обоснования анализа бесконечно малых продолжался в среде
математиков с большой интенсивностью. Он был остро необходим.
Самой первой реакцией английских математиков (Джарин, Робине, Пимбертон,
Маклорен и др.) была защита теории флюксий и авторитета Ньютона. Они
комментировали его труды и внесли в них частичные усовершенствования. При этом
было высказано немало полезных мыслей. Так, например, привлечено внимание к
правильному толкованию понятия предела переменной величины. Однако этот путь
оказался, как и следовало ожидать,, исторически бесплодным.
Виднейшие математики, занимавшиеся в середине XVIII в, проблемой обоснования
анализа бесконечно малых, видели свою задачу пока еще только в рационализации
его основ, в устранении пробелов, неясностей, мистического оттенка. Среди многих
попыток этого периода, который К. Маркс называл рациональным,, особенно
выделяются теории Эйлера и Даламбера.
Для Эйлера и его последователей (Торелли и др.) дифференциальное исчисление
Лейбница не должно было трактоваться как исчисление дифференциалов,
сопровождающееся отбрасыванием бесконечно малых. По Эйлеру, дифференциальное
исчисление есть метод определения отношения исчезающих приращений, получаемых
функциями, когда их аргументам даются исчезающие приращения. Основным понятием
здесь является не дифференциал,,
1 К. Маркс. Математические рукописи. М., "Наука", 1968, стр. 169.
а производная. Что же касается бесконечно малых, или дифференциалов, то они есть
просто точные нули. Производные, следовательно,
имеют вид - ; требуется лишь выбирать то значение, к которому
стремится (приближается) отношение конечных разностей Ау = у\ - у и
AX=XI - х, уменьшившихся каждое до нуля,,
Теория нулей Эйлеру не могла, быть признана удовлетворительной. Она 'лишь
маскировала реальные предельные переходы, которые практически совершались при
дифференцировании •функций. К тому же дифференциалы, объявленные нулями, вскоре
появляются у самого Эйлера в виде главных линейных частей приращения функций.
Без них оказалось невозможно обойтись.
Теория Даламбера также возникла на почве критического пересмотра наследия
Ньютона и Лейбница для выявления их рациональной сущности. Этот пересмотр
заставил Даламбера отдать предпочтение методу первых и последних отношений
Ньютона. Этот метод .Даламбер развил, придав ему форму метода пределов. Он
считал, что одна, величина является пределом: другой величины, если вторая может
стать к. первой ближе, чем на любую .данную' величину, 'как бы ни была мала эта
последняя, причем приближающаяся величина никогда не сможет превзойти вели"чину,
к которой она приближается.
Отсюда видно, что переменные, по Даламберу, - монотонны, предел - односторонний.
Кроме того, чтобы избежать оперирования с нулями, Даламбер ввел требование,
чтобы предел не1 совпадал ни с каким значением переменной.
- . Вычисление производных, по Даламберу, состоит из следующих операций:
переменному аргументу х дается конечное приращение Ад:; функция y=f(x) получает
вследствие этого конечное
же приращение Д#; составляется отношение - - и упрощается;
1\Х
наконец, полагается Дя=0. Подобный метод фактически основывается на
предположении, что разложение y-\-Ay=f(x+&x) в ряд по степеням Дя уже известно,
что по существу эквивалентно утверждению, что найдена и сама производная и ее
остается только высвободить из ее окружения, по выражению К. Маркса.
Теория пределов имела многих последователей. В 1786 г. швейцарец Люилье победил
на конкурсе, объявленном Берлинской академией наук (президентом которой был
Лагранж) на тему о ясной и точной теории математических бесконечно больших и
бесконечно малых величин. Его сочинение "Элементарное изложение начал высших
исчислений" было построено на базе теоршКпределов.
В нем производная - была введена как символ выра)кеdx
" \
ния
".
Urn
А/ (л:)
- - - -
^
Страстными приверженцами и пропагандистами \
метода пределов были петербургский академик С. Е. Гурьев и его последователи П.
А. Рахманов и академик В. И. Висковатов.
Однако теория пределов XVIII в. не получила признания у большинства
современников. Главной причиной этого была органически присущая понятию предела
неалгоритмичность. "Методу пределов,- писал в 1797 г. Л. Карно,- свойственно
одно серьезное затруднение, не имеющее места в анализе бесконечно малых: именно,
в нем нельзя, как в этом последнем, отделять бесконечно малые количества друг от
друга, и так как количества в нем всегда связаны, друг с другом, то невозможно
ни использовать при вычислениях свойства, принадлежащие каждому из них в
отдельности, ни подвергать уравнения, в которых они встречаются, преоб- ,
разованиям, способствующим их исключению" *. Определение у предела как
одностороннего недостижимого предела монотонной | последовательности было
недостаточным, неразвитым. Оно еще должно было развиться в понятие предела
функции, освободившись от подобных ограничений. Наконец, теория пределов еще не
включала в себя, понятие * сходимости последовательностей и, что еще более
важно; критерия этой сходимости, введенного лишь в первой половине XIX в. Коши и
Больцано. Словом, эта теория; чтобы, стать общепризнанной и общеупотребительной,
должна была, помимо строгости в выяснении смысла, основных понятий анализа,
приобрести алгоритмический аппарат.
Поэтому не удивительно, что ко второй половине XVIII в. вы- v явилась еще одна
концепция обоснования анализа, названная \ К. Марксом алгебраической"
Ее сущность состояла в том, чтобы положить в основу анализа понятие
производной, определение которой включало бы эффективный способ ее отыскания,
не опирающийся на туманные понятия бесконечно малой, предела и т. п. Операцию
дифференцирования, согласно этой концепции, следовало бы заменить алгебраическим
приемом или каким-либо другим специальным алгоритмом.
По-видимому, первые работы в области алгебраического дифференциального
исчисления появились в Англии. В 1748 г. .вышло "Учение об ультиматорах" Джона
Киркби, неудачнО'в"^ТйТчас^''же^" забытое. Через несколько лет в двух работах
(1758-1764) Джон \ Ланден развил "анализ вычетов". В последнем рассматривались
\
f(xi) - f(x) 0 выражения вида '-^-^-L^-L. Значение такого выражения
при
х\=х Ланден называл "специальным значением", или "отношением вычетов", и ввел
для него символ [xJ-'y\. Разыскание "специального значения" для элементарных
алгебраических функций в "анализе вычетов" опиралось на теорему
X- V пг ът
iii
п
1 Л. Карно. Размышления о физике бесконечно-малых. М, ГТТИ, 1933, стр. 199.
При v = x получается значение производной для у = хп:
т
У'= -х
п
Рассуждения Ландена, как и других приверженцев алгебраического обоснования
аналиЗа, по существу опирались на самоочевидность разложения функций в ряд. Их
алгебраические приемы были пригодны фактически лишь для полиномиальных функций.
Распространение этих.приемов даже на класс аналитических-функций связано с
трудностями, с которыми их авторы не умели справиться (распространение на
бесконечные ряды свойств конечных сумм, представимость функций степенным рядом и
т. п.).
Самой серьезной работой, выяснившей полностью возможности алгебраического
дифференциального исчисления и определившей его судьбу, была большая работа
Лагранжа "Теория аналитических функций, содержащая принципы дифф
...Поділитися у соцмережах
