Жанр: Наука
История и методология математики
...с кривизны будет
Минимум g радиуса кривизны достигается в этом случае при Ф = - -9 Выразив L и
М через f и g, Эйлер, наконец, получил
cos2"p(/ - g) ' - •
Употребляемая в настоящее время формула кривизны нормаль-. ' ного сечения была
получена из данного выражения Дюпеном через пятьдесят лет.
Из приведенного примера видно, что в "ходе создания, общей теории поверхностей
аппарат чрезвычайно усложнился. -Преодолевать возрастающие в связи с этим
трудности удавалось лишь немногим, а возможности приложений уменьшались. Но
работа продолжалась под непосредственным давлением практики, прежде \ всего
картографии и геодезии.
В 70-х годах одной из главных проблем в этой области стало развертывание
поверхностей. Понятие развертывающейся поверхности ввел Эйлер. В статье 1771 г.
о телах, поверхности которых можно наложить на плоскость, он исходит из
соответствия между координатами (л:, у, г) - точки развертывающейся поверхности
и (/, и) - точки плоскости, с которой совпадает указанная точка поверхности,
после развертывания. На плоскости берется элементарный прямоугольный треугольник
с вершинами
V, и), (t + dt, и), (/, u + du).
Ему соответствует элементарный треугольник на поверхности t- вершинами
271
(*, у, г), (x + ldt, y + mdt, z+ndT),
(x+.Kdu, y + \idu, z + vdu), конгруэнтный с ними (7, m, л, v\, |i, v -
соответствующие частные
производные: - =: /, "-- • = h и т. д. V Конгруэнтность и раdt
ди J
венство соответствующих отрезков привели Эйлера к следующим условиям
развертывания:
+ dy* + dsf == dt2 + du\
= 0.
Решение Эйлера содержало общую идею изгибания поверхностей и повлекло за собой
ряд значительных результатов. Так, Эйлер доказал, что касательные произвольной
пространственной кривой образуют развертывающуюся поверхность. Тенсо (1.780)
ввел точки перегиба и классифицировал их. Точки плоского перегиба у него
соответствовали случаю, когда кручение было равно нулю. Их можно было обнаружить
по точкам перегиба плоской кривой, по которой развертывающаяся поверхность,
соответствующая пространственной кривой, пересекала координатную плоскость хОу.
Другой тип - точки линейного перегиба, соответствующие случаю, когда кривизна
равна нулю, Эти точки являются. точками перегиба для всех проекций
пространственной кривой. В них соприкасающаяся плоскость перпендикулярна
плоскости проекций. Аналогичную классификацию точек перегиба ввел Монж (1771 г.,
опубликовано в 1.775 г.). Он же исследовал развертывание поверхностей.
\ Попытки построения общей теории поверхностей и простран-Уртвенных кривых
методами" заимствованными из аналитической Геометрии и дифференциального
исчисления, продолжались и в 80-х годах XVIII в. Новые идеи ввел Эйлер (17821786
гг.). Он рассматривал пространственные координаты х9 у, z кривой как
функции длины дуги s и направляющих коэффициентов осей подвижного триедра, с
помощью сферического отображения.
Ряд ученых - Монж, Лагранж, Ламберт, Менье и в особенности Эйлер - получили в
дифференциальной геометрии значительное количество конкретных результатов.
Последние находили применение в геодезии и картографии. Однако* число лиц,
занимавшихся этой проблемой, быстро уменьшалось. Утяжеление аппарата, не
соответствующее раскрываемым возможностям, тревожило выдающихся математиков и
заставляло их пессимистически оценивать перспективы развития общей теории
поверхностей и пространственных кривых.
А тем временем пути .дальнейшего развития дифференциальной геометрии уже
намечались: а) большее привлечение геометрических соображений, временно
отодвинутых на второй план усилиями по созданию аналитического аппарата; б)
расширение
Г. Монж (1746-1818)
последнего за счет привлечения теории дифференциальных уравнений; в) перевод
геометрических фактов на язык дифференциальных уравнений и геометрическая
интерпретация этих уравнений. Наибольшие успехи в этих областях были достигнуты
в революционной Франции конца XVIII в. исследованиями Монжа и его учеников.
Гаспар Монж (1746-1818), выходец из крестьянско-буржуаз-нои семьи, был, как и
многие другие математики, .активным деятелем Великой французской буржуазной
революции. Неоднократно он занимал большие государственные посты (морской
министр, организатор военной промышленности Франции и т. п.), с честью выполняя
свои обязанности. Начав свою научно-педагогическую деятельность в качестве
профессора военно-инженерной школы,
Монж добился крупных успехов в математике, физике, химии и технике и в 1780 г.
был избран членом Парижской академии наук. Он был также одним из основателей
Политехнической школы в Париже (1794) и ее профессором.
В математике основные работы Монжа относятся-к области геометрии. Охарактеризуем
здесь его достижения в дифференциальной геометрии. В течение 70-х годов Монж.
опубликовал два сочинения: "Мемуар о развертках, радиусах кривизн и различных
видах перегибов кривых двоякой кривизны" (1771 г., опубликовано в 1785 г.) и "О
свойствах многих видов кривых поверхностей" (1775 г., опубликовано в 1780 г.). В
них дано широкое и полное исследование свойств пространственных кривых и
поверхностей,, введено развертывание поверхностей, исследованы эволюты,
огибающие и т. п.
В частности, в первой из упомянутых работ, где Монж изучал пространственные
кривые, показано, что эти кривые, могут иметь неограниченно много эволют, что
они все. лежат на развертывающейся поверхности, (имеется в виду развертка
нормалей) и что они являются геодезическими линиями этой поверхности. Монж ввел
также спрямляющую развертывающуюся поверхность и показал, что исходная кривая
является ее геодезической. В этой же работе введены упомянутые выше два типа
точек перегиба и многие термины, сохранившиеся до нашего времени:-ребро
возврата, развертывающаяся поверхность, геометрическое место центров кривизны и
др.
Вторая работа в основном посвящена развитию теории развертывающихся
поверхностей. В ней, в частности, выяснено отличие линейных и развертывающихся
поверхностей, найдено известное дифференциальное соотношение:
ff__52-= О
Установлено, кроме того, что развертывающиеся поверхности могут трактоваться как
геометрические места касательных к пространственным кривым, а также то, что они
суть огибающие некоего двупараметрического семейства плоскостей и т. д.
Однако классификация кривых и поверхностей по виду и по степеням их
алгебраических уравнений и связанный с этим громоздкий аппарат не удовлетворяли
Монжа. Новая классификация поверхностей была дана Монжем в лекциях для
Политехнической школы, выходивших отдельными выпусками, а в 1801 г. -*•
отдельной книгой. В ней Монж исходит из потребностей практических приложений и
соответствующих нужд технического образо*
вания. Свойства; и структура поверхностей проявляются яснее, ^ если
кроме уравнений задан способ их конструирования, форми}
рования путем перемещения в пространстве заданной линии. При этом в качестве
объекта изучения выступают не алгебраические уравнения, а дифференциальные
уравнения в частных произ\;
ВОДНЫХ.
~ 274
Оказалось, что дифференциальным уравнениям с частными производными первого
порядка соответствует большое семейство поверхностей. В него в,ходят
цилиндрические и конические поверхности, поверхности вращения и каналов.
Последние образуются. движением окружности постоянного диаметра, плоскость круга
которой перпендикулярна заданной кривой, а центр передвигается по ней. Кроме
того, к этому классу относятся поверхности склонов насыпей, т. е. такие, у
которых линиями наибольшего спуска являются прямые постоянного наклона, а также
винтовые поверхности.
Рассматривая поверхности с различных точек зрения, Монж получал одновременно и
дифференциальное уравнение поверхности и конечное уравнение,, как его интеграл.
Например, рассматривая цилиндрические поверхности как такие,_ касательная
плоскость которых параллельна образующей
х = аг, у = Ьг%
он получил их уравнения.
дх .
ду
Но в то же время из условия, что образующая цилиндрической поверхности
параллельна прямой, получается конечное уравнение этой
поверхности
у -
02),
где ф - произвольная функция. Последнее уравнение, дает решение
дифференциального уравнения цилиндрической поверхности. Соответствующие
результаты для конических поверхностей
(х - а)-
ду
= ="- С И
а для поверхностей склона насыпей
= а и 2 = а * -
- Ф
В этой части работы введена геометрическая интерпретация характеристик как линий
пересечения двух бесконечно близких поверхностей и выведено их дифференциальное
уравнение. Дифференциальные уравнения второго порядка определяют семейства
развертывающихся поверхностей, а также те линейчатые поверхности, которые
описаны прямой, перемещающейся по двум пространственным кривым параллельно
заданной плоскости, и классы поверхностей, кривизны которых удовлетворяют
некото-рым условиям (резные, трубчатые, минимальные). Общие линейчатые
поверхности определяются дифференциальными уравнениями третьего порядка, равно
как и более сложные поверхности,
вроде поверхности, огибающей сферу переменного радиуса, центр которой движется
по заданной кривой.
Перевод фактов теории поверхностей на язык дифференциальных уравнений в частных
производных сопровождался у Монжа разработкой геометрической теории этих
уравнений. В частности, он дал геометрическую трактовку общей теории
дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка, Полный
интеграл таких уравнений f(x, у, z; a, b)= О геометрически интерпретируется
двупараметрическим семейством поверхностей, Если заменить Ь = "р(а), где ср -
символ произвольной функции, то уравнению
/ (*, у, г, а, ф (а)) = О
соответствует однопараметрическое семейство поверхностей (Монж назвал их
огибаемыми). Уравнение огибающей их 'поверхности получается исключением
параметра а из уравнений
' . ' ' f-o и -^--0
- ' ' да
Отсюда при фиксированных значениях а. получаются уравнения: характеристик
(образующих огибающих поверхностей, являющихся геометрическими образами общегоинтеграла).
Все характеристики огибаются кривой, которую Монж назвал ребром
возврата. Подобные соображения, высказанные относительно уравнения
и его полного дифференциала.
dq
привели Монжа к системе уравнений
^х _ dy ___ dz__ ___ _' __ dp __
__ ,"_ _ _ ____ .,_. _ ____.
Y + qZ
Интегрируя их, он получил уравнения характеристик.
Геометрические методы внесли также ясность в трактовку уравнения,
названного впоследствии уравнением Пфаффа:
Если условие интегрируемости выполняется, то его решение геометрически
представляется семейством поверхностей
f(x, у, 2) = С,
на которых любые кривые ортогональны к кривым
dx _ dy __ dz ~ ~~Q~ ~~"~^'
ЕСЛИ же это условие не выполнено, то, как показал Монж, при задании
дополнительной зависимости ф(л:, у, z)~0 уравнение Пфаффа определяет на
поверхности "p(#, у, г)=0 однопараметри-ческое семейство кривых, ортогональных к
тем же кривым
dz
Рис. 51
Теория характеристик Монжа, сведение задачи решения дифференциальных
уравнений с частными производными к системе обыкновенных
дифференциальных уравнений,, геометрическая интерпретация решений, тесная
взаимосвязь и взаимодействие геометриче* ских и механических методов
- ВСЯ СОВОКУПНОСТЬ 7777777^
достижений Монжа привела
дифференциальную
геометрию к новому этапу.
Он характеризуется
введением в .геометрию
аппарата дифференциальных уравнений и дальнейшим; расширением
ее теоретических и практических возможностей.
В конце XVIII в. исследование одной инженерной проблемы дало дифференциальной
геометрии основы теории линейных конгруэнции," стоявшей некоторое время
особняком. Рель идет о задаче, рассмотренной Монжем' в 1871 г. в "Мемуаре по
теории выемок и насыпей", опубликованном в 1784 г. (см. рис. 51).
Постановка задачи такова: даны два равных объема земли, ограниченных неравными
замкнутыми поверхностями. . Элементы одного объема необходимо перенести в другой
с соблюдением принципа наименьшей работы и, следовательно, стоимости. Траектории
переносимых частиц образуют двупараметрическое семейство прямых, удовлетворяющее
условиям: а) через каждую точку D проходит одна и только одна прямая семейства;
б) на каждой прямой семейства есть элементы объема R (точка, отрезок) ; в)
линейчатая поверхность, образованная прямыми семейства, высекает в D и R равные
объемы; г) Г f f r dV = min (dV - элемент
(D)
объема D, r - расстояние между соответствующими точками объемов D и R).
В плоском случае семейство прямых у = ах+Ь - однопара-метрическое. Монж
составлял дифференциальное уравнение, приравнивая элементарные площадки в
фигурах D и R. Наличие общей касательной к D и R позволяет определить значение
аддитивной постоянной уравнения.
Прямолинейные конгруэнции возникают в трехмерном случае. Монж доказал, что среди
всех линейчатых поверхностей, образо277
ванных при этом, существует только два семейства развёртывающихся поверхностей.
Если поверхности нормальны друг к другу, то конгруэнция ортогональна к
поверхности. На последней образуется ортогональная сеть линий кривизны. Нормали
к поверхности образуют вдоль этих линий развертывающуюся поверхность. Длина
отрезка нормали от поверхности до пересечения с одной из двух бесконечно близких
нормалей совпадает с длиной радиуса кривизны плоского сечения поверхности по
линии кривизны.
Наконец" Монж утверждал, что условию минимальности работы в таких, задачах
удовлетворяют именно, нормальные конгруэнции. Доказательство этого факта,
однако, появилось лишь через сто лет (1886; Сен-Жермен и Аппель).
В первой половине следующего, XIX, века происходило пополнение классического
состава, дифференциальной геометрии. Ученики' и французские коллеги Монжа
(Карно, Фурье, Ампер, Пуассон и др.) по существу привели эту науку в ее
классической части к современному состоянию.. Отметим: индикатрису и цикли-ду
Дюпена (в работах: 1813 и 1822 гг.), введение бинормали Сен-Венаном (1845),
направляющие косинусы Френе (1847) и Серре (1851).
Новый этап дифференциальной геометрии ознаменован исследованиями Гаусса (1828) о
внутренней геометрии поверхностей, т. е. о таких их свойствах, которые
инвариантны относительно изгибания. Идеи Гаусса, а также работы о свойствах
поверхностей постоянной гауссовой кривизны (Миндинг в 1839 г., Лиувилль в 1850
г.) создали область соприкосновения дифференциальной геометрии с неевклидовой 1.
Об этом речь будет идти ниже.
Начертательная и проективная геометрии" Методы начертательной геометрии
формировались в области технических приложений математики. Факты учения о
перспективе были известны с давних времен; особенно они были развиты художниками
и архитекторами эпохи Возрождения. Эти факты составили необходимую основу для
создания того раздела теоретической геометрии, в котором пространственные образы
изучаются посредством комплекса отображений на плоскости. Метод координат для
построения перспективы и соответствующие начала аксонометрического
проектирования впервые применил Дезарг в 1636 г.
Формирование начертательной геометрии в особую математическую науку завершилось
в работах Монжа. С 1795 г. Монж читал в Политехнической школе лекции об
ортогональном проектировании на плоскости. В 1798-1799 гг. он опубликовал уже
полностью разработанный ^р^^з^^^телънои геометрии ("Geometric descriptive"), в
котором систематически провел отображе1
О дифференциально-геометрических исследованиях Гаусса см. А. П. Н о р-ден.
'Геометрические работы Гаусса. В сб.: "Карл Ф/ридрих Гаусс". М.. Изд-во АН СССР,
1956, стр. 113-144.
ние пространственных фигур с помощью двух ортогональных проекций на две взаимно
перпендикулярные координатные плоскости. Этот прием он дополнил развертыванием
проекционных плоскостей около оси проекций в одну плоскость и сведением
пространственных построений и перемещений к соответствующим преобразованиям
проекций.
Учебник начертательной геометрии Монжа состоит из пяти глав. В первой главе
разъяснены цель и метод начертательной геометрии, а также элементарные задачи
относительно прямых и плоскостей. Затем следуют построения касательных
плоскостей и нормалей к кривым поверхностям. Пересечения кривых поверхностей
рассмотрены в третьей плаве, а соответствующие задачи вынесены в четвертую
главу. Пятая глава посвящена исследованию методами начертательной геометрии
кривизды линий и поверхностей.
Изложение Монжа. не является элементарным. Он рассматривал ряд новых и трудных
задач. Так,, он исследовал поверхности с ребром возврата, геодезические
поверхности и линии наибольшего, ската на них, поверхности одинакового ската и
т. п., навеянные его дифференциально-геометрическими исследованиями.
Влияние работ Монжа и близких к ним по содержанию учеб.
ников Л акру а было длительным:. Их сочинения в течение первой
половины XIX в. переиздавались много раз. Усовершенствования:
частного характера и разработка различных способов проектиро.....
вания составили основное содержание работ по начертательной геометрии в
дальнейшем. Эта область геометрии со времен Монжа прочно вошла в круг
математических дисциплин, входящих в систему технического образования,.
Теоретический аспект технической перспективы и более общее понимание последней
как одного из видов проективных преобразований были разработаны еще. Дезаргом.
Идея изучения проективных свойств геометрических объектов возникла как новый
подход к трудной античной теории конических сечений с целью упростить и обобщить
ее. Сочинение Дезарга "Черновой набросок подхода к явлениям, происходящим при
встрече конуса с плоскостью" (1639) и Б. Паскаля "Опыт о конических сечениях"
(1640) содержат превосходное решение этой проблемы и служат основой новой
геометрической науки - проективной геометрии.
Центральная проекция в ней обогатилась бесконечно удаленными элементами, связав
воедино пучки сходящихся и параллельных прямых, равно как и плоскостей. Весьма
плодотворным оказалось и понятие инволюции. Проективные и инволюторные свойства
конических сечений составили целую теорию, среди многочисленных теорем которой
выделяются теоремы, названные именами их авторов - Дезарга и Паскаля. Кроме
того, Дезарг открыл много теорем о полюсах и полярах конических сечений.
Вначале лишь немногие ученые восприняли идеи Дезарга и Паскаля. Их сочинения
оказались утерянными. Лишь в 1845. г.
Шаль нашел копию сочинения Дезарга. От работ Паскаля по проективной геометрии
сохранился лишь набросок. В течение более столетия можно отметить лишь
эпизодические применения проективных преобразований. Сама эта область еще не
выделилась в отдельную дисциплину. Поэтому строгое и систематическое 0т
построение начертательной геометрии, проделанное Монжем к концу XVIII в., сыграл
о .роль необходимой предпосылки для построения проективной геометрии.
Сочинения Л. Карно "О корреляции фигур в геометрии" (1801) и "Геометрия
положения" (ISO'S) вновь обратили внимание ученых на полузабытую со времен
Дезарга и Паскаля науку. Довершил (1822) теоретическое построение и оформление
новой области математики офицер наполеоновской армии Понселе, который имел для
этого достаточно свободного времени в русском плену в Саратове. Выделив класс
проективных преобразований фигур, Понселе уделил основное внимание соотношению
между проективными и метрическими свойствами фигур.
Дальнейшее развитие проективной геометрии проходило под знаком поисков решения
этой проблемы. В XIX в. соответственно наметились даже два направления.
Приверженцы одного из этих направлений (в особенности Штаудт) стремились
освободить проективную геометрию от всякой метрики. Другие (например,, Мебиус)
всячески развивали аналитические методы.
Противоречие это сгладилось в результате установившихся связей проективной
геометрии с неевклидовой, с теорией функций комплексного переменного, когда,
раскрылись возможноетй проективной геометрии и ее подлинное место в системе
математических наук. Общность проективных свойств была использована Кэли и
Клейном при рассмотрении различных геометрических, систем с единой точки зрения.
Синтетико-геометрические устремления Штаудта и др. послужили основой
аксиоматического построения проективной геометрии в начале XX в.
Основания геометрии. К этой области геометрии относят те исследования и
результаты, в которых изучается обоснованность выбора исходных понятий, дается
анализ систем аксиом, положенных в основу геометрических теорий, а также
содержатся конкретные преломления в последних ведущих математических идей. При
этом раскрываются как внутриматематические связи геометрии, так и более широкие
ее связи с другими науками.
Основания геометрии в XVIII в. - это по преимуществу основания евклидовой
геометрии. Главным содержанием научных .исследований был критический анализ
"Начал" Евклида. Тяжеловесная система "Начал" не удовлетворяла многих
математиков. Поэтому среди большого числа сочинений выделялась группа, в которой
критиковалась система аксиом Евклида, в особенности постулат о параллельных.
В плане научного пересмотра оснований евклидовой геометрии нет необходимости
упоминать о многочисленных дискуссиях,
занимающих большое место в сочинениях, посвященных этому вопросу. Дело в том,
что критика была пестрой, противоречивой, в большом числе случаев недостаточно
обоснованной. По справедливому замечанию Даламбера, нельзя указать такого автора
сочинения по основаниям геометрии, который не осуждал бы своих предшественников
и современников в
более или менее энергичных выражениях и #/_ ?/ А/
не превозносил свою систему.
Придирчивый анализ оснований евклидовых "Начал", и в особенности аксиомы о
параллельных и ее многочисленных "доказательств", привел математиков к убеждению
в неудовлетворительности всех известных "доказательств" этой аксиомы. Некоторые
из математиков, исходя из стрем- " ' ления доказать аксиому о параллельных
Рис. 52
путем приведения к противоречию, получили ряд теорем неевклидовой геометрии.
"Так,
итальянский математик монах И. Саккери рассматривал проблему параллельных таким
образом: из концов отрезка АВ восставим перпендикуляры АА\ и ВВ\ равной длины
(рис. 52). Точки А\ и В\9 а затем середины С и С\ оснований прямоугольника
соединим пряТЕ
мыми. Определим величину углов прямоугольника:^ А = ^В = •-'--• по построению.
Перегнем чертеж по ССг.
Х .1. АВ\ также ССг J_ A& и
Последующие предположения о величине этих равных углов получают у Саккери
название гипотез: острого, прямого и тупого углов. Гипотеза тупого угла быстро
привела его к противоречию. По замыслу Саккери, таков же должен быть исход и
гипотезы острого угла, что дало бы доказательство аксиомы о параллельных. Однако
случилось непредвиденное. Гипотеза острого угла при логическом ее развитии
давала странные результаты, но к противоречию не приводила. Выводы Саккери, как
выяснилось впоследствии, по существу совпадали с первыми теоремами геометрии
Лобачевского: сумма углов треугольника оказалась меньше 2d, площадь треугольника
не была в состоянии неограниченно увеличиваться при увеличении его сторон;
появилась необходимость в существовании некоторой абсолютной единицы длины и т.
п.
Примерно через тридцать лет Клюгель (1763) сделал обзор важнейших попыток
доказательства теоремы о параллельных линиях и пришел к выводу, что Евклид
правильно поместил это предложение среди аксиом.
Одной из последних работ по основаниям геометрии в XVIII в. является
статья Ламберта, швейцарца по происхожде-йию, берлинского академика. Около
1766 г. он написал "Теорию параллельных линий", навеянную работами Саккери и
Клюгеля. ДТамберт модифицировал четырехугольник Саккери; именно он по-/строил
перпендикуляры АА\±,АВ, ВВ\Л-АВ" A\B\JLAA\ и свел #задачу к определению
величины угла В\. Гипотеза прямого угла дала евклидову геометрию, гипотеза
тупого угла привела к противоречию., А вот гипотеза острого угла .снова дала
странные тео- | ремы, но ни к каким противоречиям не привела.
"\
Основания геометрии во'второй половине XVIII в. приобрели 1 помимо научного
большое общественное значение. Вопрос о пригодности "Начал" в качестве школьного
учебника геометрии был поставлен под сомнение и явился предметом широких
дискуссий. В Англии и частично в Германии эти дискуссии привели к преобладанию
изданий, сохраняющих дух и структуру евклидовых "Начал" и лишь более или менее"
упрощающих изложение. Во •Фр анции, наоборот, исходные установки создания
школьного курса и в конечном' счете всей системы элементарной геометрии
определялись общими воззрениями французских энциклопедистов, в особенности
Даламбера, В результате появился ряд учебников для начальной и средней школы
французских авторов: Дал-амбе-ра, Безу, Лежандра, Лакруа. С большей или меньшей
решительностью авторы этих учебников отрывали преподавание геометрии от
евклидовой схемы.
Влияние этих книг было велико. В них по существу был создан современный нам тип
школьного учебника геометрии. Для этого была проделана огромная работа. То, что
кажется теперь очевидным в построении основ школьного учебника геометрии, •было
достигнуто к концу XVIII в. усилиями французских математиков"
• Что же конкретно было сделано? Во-первых; в основы геометрии были введены
метрика и движение, которых столь тщательно избегал Евклид. Во-вторых, была
произведена широкая арифмети-зация, в том числе арифметизация теории отношений и
пропорций, в результате чего отпала необходимость в пятой книге "Начал".
Введение алгебраической символики и элементов алгебры сняло необходимость во
второй книге "Начал". Употребление радикалов упразднило в курсе геометрии
сложную классификацию иррациональностей, развитую в десятой книге "Начал". Так,
евклидовы "Начала" были переработ
...Поділитися у соцмережах
