Жанр: Наука
История и методология математики
...еренциального
исчисления, освобожденные от всякого рассмотрения бесконечно малых или
исчезающих пределов и флюксий, сведенные к алгебраическому анализу бесконечных
количеств" (1797). Ее исходным и центральным пунктом было стремление доказать
теорему, что всякая функция y=f(x+h) почти всюду (быть может, за исключением
отдельных значений аргумента) разложима в степенной ряд
/ (Х + А) = / (Х) + ph + q№ + rh* + ...
Доказательство Лагранж строил таким образом, что исключал все особенные случаи
(возможность появления членов разложения с отрицательными или дробными степенями
Лит. п.). Тем самым он выделил для исследования класс аналитических функций,
отнеся остальные функции к разряду исключений. Это было отмечено позднее
Вейерштрассом, по инициативе которого за функциями, представимыми степенными
рядами, было сохранено название аналитические. Степенные ряды Лагранж
использовал для приближения функций полиномами, опираясь на то, что для всех
достаточно малых h каждый член разложения будет больше суммы следующих за ним
членов. При этом для конкретных функций он вывел формулу остаточного члена и
ввел в употребление теорему о среднем.
Последовательные производные определены Лагранжем как коэффициенты при
последовательных степенях h с точностью до соответствующих числовых
коэффициентов. Последующее изложение дифференциального исчисления было проведено
Лагранжем в этом же сочинении.
Таким образом, дифференциальное исчисление, по мысли Лагранжа, должно было
представлять часть алгебры, отличающуюся лишь специфическими алгоритмами.
"Алгебра есть не что иное, как теория функций. В алгебре искомые количества
должны
214
Ж. Л. Лагранж (1736-1813)
быть функциями данных количеств, т. е. выражениями, представляющими различные
операции, которые нужно произвести над этими количествами, чтобы получить
значения искомых. В алгебре, в собственном смысле слова, рассматривают только
первоначальные функции, происходящие из обычных алгебраических операций; это
первая ветвь теории функций. Во второй ветви рассматривают производные функции,
и это та ветвь, которую мы называем просто "Теорией аналитических функций" и
которая содержит все, относящееся к новым исчислениям"1-так пояснил эту свою
мысль Лагранж.
1 J. L. L a g r a n g e. Theorie des fonctions analytiques... Oeuvres de
Lag-range, t. IX Paris, 1881, p. 16.
Однако .вскоре выяснилось (и Коши сыграл в этом главную* роль), что теория
Лагранжа некорректна. Основная теорема о разложении функций в ряд по существу
опиралась на неявное предположение, что всякая функция разложима в ряд Тейлора.
Этот порочный круг оказался неустранимым. Кроме того, Лаг-ранж не смог избежать
неявных апелляций к бесконечно малым и к предельным переходам. Операции с рядами
тоже-оказались необоснованными, так как: они производились без исследованиясходимости
ряда.
В" обстановке острой борьбы обнаруживалась несостоятельность одного за другим
почти всех способов обоснования математического анализа. Только по отношению к
понятию предела-критика вела не к отказу от концепций, основывающихся на нем,, а
к их уточнению. Но это понятие трудно и долго входило в анализ, так как всякий
раз возникали трудности, связанные с вопросом о существовании предела и о
способах эффективного его на-" хождения,. Подобные трудности существовали долго,
до конца XIX в., когда был создан "е, б-аппарат" теории пределов.
Идеи К. Маркса о путях развития математического анализа" В изложении проблемы
обоснования анализа бесконечно малых в XVIII в. мы неоднократно ссылались на ряд
идей К. Маркса,, содержащихся в его математических рукописях,. В предыдущем
параграфе мы целиком исходили из этих идей; исследования Маркса имеют для нашей
науки основополагающий характер. Дадим здесь их краткий обзор, отнюдь не
претендуя на полноту анализа содержания всех математических, рукописей Маркса.
Математикой Маркс -начал заниматься в конце 50-х годов-прошлого века в связи с
работой над "Капиталом" и не прекращал этих занятий до последних дней своей
жизни. .Работая самостоятельно, он помимо применений математики к исследованию
экономических проблем перешел к систематическим занятиям математическим
анализом. Здесь он поставил перед собой задачу - сорвать покров тайны,
окружавшей основные понятия: и методы дифференциального исчисления со времен
Ньютона и Лейбница. Труднейшая задача обоснования анализа бесконечно малых
сделалась для Маркса пробным камнем применения метода материа: листической
диалектики к математике. При решении этой задачи Маркс проделал большую
предварительную работу. Он изучил и критически сравнил многочисленные учебники
математического анализа для высших школ Англии и Франции и познакомился с
некоторыми классическими произведениями Ньютона, Эйлера, Маклорена и др.
В ходе этой работы К. Маркс убедился в неудовлетворительности почти всех попыток
обоснования анализа, кроме теории пределов, важнейшим представителем которой
являлся Коши. В конце 70-х годов Маркс приступил к изучению теории пределов и к
обработке и систематическому изложению складывающейся у него собственной точки
зрения. Смерть (14 марта 1883 г.) прерва'216
ла занятия. Исследования остались неоконченными. Математические рукописи К.
Маркса в той части, которая относится к математическому анализу, отражают эту
большую работу.
Для К. Маркса анализ бесконечно малых не является изолированной, обособленной
областью математики. Он представляет собой закономерно возникший новый этап
исторического развития -математики, Поэтому задача выявления логической
структуры анализа в подавляющей части сводится к анализу его истории. Эта
история начинается с накопления неразвитых форм,, прообразов, понятий и операций
анализа, ведущих, к переходу от алгебры конечного к алгебре бесконечного,
включающей в себя бесконечные ряды, интеграционные и дифференциальные методы.
Появление собственно дифференциального и интегрального исчисления связано уже с
изобретением специфических алгоритмов.,
Работая над выяснением диалектического перехода от алгебры к анализу бесконечно
малых, К. Маркс обращал внимание на то, что основатели дифференциального и
интегрального исчисления, равно как и ученые более позднего времени, с самого
начала. действовали на почве самого исчисления и не искали его алгебраических
истоков.
Ньютон "был еще слишком поглощен разработкой самих- дифференциальных операций,
которые у Тейлора и Маклорена предполагаются уже имеющимися и известными,. К
тому же, как свидетельствуют его первые элементарные формулы исчисления, Ньютон
явно пришел к. ним первоначально, отправляясь от механических, а не
принадлежащих чистому анализу исходных пунктов. С другой стороны, что касается
Тейлора и Маклорена, то они с самого начала в своей работе оперируют на почве
самого дифференциального исчисления, и ничто их не побуждало поэтому
доискиваться наивозможно более простых алгебраических, исходных пунктов этого
исчисления, тем более что спор между последователями Ньютона и.Лейбница вращался
вокруг определенных, уже готовых форм исчисления, как только что открытой,
совершенно особой математической дисциплины, до которой обычной алгебре, как до
звезды небесной, далеко... Подлинные и в силу этого простейшие взаимосвязи
нового со старым открываются всегда лишь после того, как это новое само
приобретет уже завершенную форму..." 1.
В истории обоснования дифференциального исчисления в XVIII в. К. Маркс различал
следующие периоды:
1. Мистическое дифференциальное исчисление. В силу того, что основоположники
анализа бесконечно малых, в первую очередь Ньютон и Лейбниц, с самого начала
отождествляли приращение с дифференциалом, они могли получать правильные
результаты, лишь отбрасывая бесконечно малые более высоких порядков. Это с
неизбежностью приводило к тому, что дифференциалу
1 К. М а р к с. Математические рукописи, стр. 199.
приписывались какие-то особые, таинственные свойства, что бесконечно малые
рассматривались как некие мистические величины: и нули и не нули одновременно.
К. Маркс не видел в этом решительно никакой диалектики и считал такую трактовку
неправиль-.ной. В то же время он высоко оценивал открытие дифференциального и
интегрального исчисления и подчеркивал то обстоятельство, что борьба мнений,
развернувшаяся вокруг этого открытия, была необходимой, чтобы проложить путь
новому.
2. Рациональное дифференциальное исчисление исправляет методы Ньютона и
Лейбница. Его виднейшими представителями были 'Эйлер и Даламбер. Как мы
разъясняли выше, определение производной, по Даламберу, проведено более строго,
но реальный (эффективный) способ нахождения производной при этом не выявляется.
Больше того, составление отношения — и последующие
А*
операции с ним основываются на предложении, что разложение f(x+&x) в ряд по
степеням ДА; уже найдено, что эквивалентно нахождению искомой производной,
которую остается только "вы" свободить из ее окружения",.
3. Алгебраическое дифференциальное исчисление. Лагранж, главный
представитель этого течения, уже явно исходит из разложимости функции /(АГ+Й) в
ряд по степеням h и определяет производную как коэффициент того члена ряда,
который содержит приращение h в первой степени. Вопрос об алгоритмах нахождения
производной для тех или иных классов функций остается, таким образом, открытым.
Больше того, Лагранж так и не доходит до собственного дифференциального
исчисления. Дифференциальные символы у него представляют собой просто "дело
номенклатуры, которая одна только и остается от собственно дифференциального
исчисления"1. К. Маркс также отметил, что в приложениях своей аналитической
теории функций Лагранж сам постоянно использует то или другое из отвергаемых им
"метафизических" представлений: ньютоновы флюксии, лейбницевы бесконечно малые,
даламберовские предельные значения отношений исчезающих величин, а также
специфическую для дифференциального исчисления символику.
Остановимся еще на некоторых других идеях К. Маркса в области основ
математического анализа. Задача, которую он ставил перед собой, состояла для
начала в выяснении сущности дифференциального исчисления как такового, т. е. как
особого математического исчисления, оперирующего с характерными для него
символами. В соответствии с этим К. Маркс прежде всего выявлял реальную сущность
процесса дифференцирования.
По К. Марксу, производная f (х) от функции y=f(x) получается следующим образом:
образуется (если это возможно) "предварительная" производная, т. е. функция
1 К. Маркс. Математические рукописи, стр. 177.
•ф(х, Xl) =
Значение этой функции для х\=х (если оно существует) и есть производная от
данной функции. К. Маркс искал алгоритмы, позволявшие (в простейших случаях)
непосредственно находить по выражению функции ее производную. Так, в случае
степенной функции у=Хп
Ф (х, хг] =
- х*
Хл - X
что при х\=х дает
Такого рода способы непосредственного нахождения производной К. Маркс называл
алгебраическим дифференцированием. Термин "алгебраическое" употреблялся им в том
же смысле, как и у многих математиков XIX в.: как не требующее использования
понятия бесконечно малой величины.
Алгебраическое дифференцирование К. Маркса допускает символическое отображение в
общепринятом в его время* виде" Обозначая
% - х = А*, уг - у = Д#,
причем Дя=йО, К. Маркс получал для предварительной производной символическое
выражение --. Соответственно обозначение
Ал;
производной f(х) будет
dx
Этот символ, который К, Маркс (в
соответствии с употреблявшейся в его время терминологией) называл "символическим
дифференциальным коэффициентом", непосредственно имеет смысл только в целом.
Однако в силу способа образования производной можно рассматривать выражения
/' (х) dx = dy.
Эта формула верна и для дифференцирования сложной функции. В этом случае она
используется как оперативная формула, позволяющая (в довольно широких
предположениях) свести нахождение производной от функции
к отысканию производных f '(х) и ср^я). Для этого достаточно в формулу для
дифференциала подставить
Но таким образом происходит оборачивание метода. Мы следуем не от реального
математического процесса образования производной к ее символическому выражению,
а, наоборот, опираясь на символическую формулу, находим выражение для
производной. Первым нетривиальным примером такого оборачивания метода , является
дифференцирование произведения у = иг. Обращаясь к выводу формулы *
d(uz) _ dz , ^ du
dx
dx
dx
К. Маркс указывал, что "символический дифференциальный коэффициент становится,
таким образом, самостоятельным исходным пунктом^ реальный эквивалент которого
лишь должен быть найден... Но тем самым и дифференциальное исчисление выступает
как некое специфическое исчисление, которое оперирует уже самостоятельно, на
собственной почве, ибо исходные пункты егоdu
dz -, ---- суть лишь ему принадлежащие и его характеризуюdx
• их
шие математические величины. И это оборачивание метода получилось здесь как
результат алгебраического дифференцирования uz. Алгебраический метод, таким
образом, сам собой превращается в противоположный ему дифференциальный метод...
Но тем самым символические дифференциальные коэффициенты -,-----
dx dx
тотчас же. превращаются в оперативные символы, в символы процессов, которые
должны быть выполнены,.. Первоначально возникший как символическое выражение
"производной", т. е. уже выполненных операций дифференцирования, символический
дифференциальный коэффициент теперь играет роль символа.тех операций
дифференцирования, которые только предстоит еще произвести" 1.
К. Маркс не ограничивался понятием дифференциала как оперативного символа. В
применении к вопросу о приближенном выражении приращения функции он использовал
понятие дифференциала* как главной линейной части приращения. Понятие
дифференциала как оперативного символа, впервые открытое К. Марксом, и различие
обоих понятий дифференциала приобретают, как это было показано советским
математиком В. И. Гливенко, особенна важное значение в современных обобщениях
понятия дифференциала на функциональный анализ.
В ходе работы над математикой К. Маркс интересовался широким кругом вопросов.
Среди них: о применении математики в экономических" исследованиях, о
математических способах отображения движения и многие другие. Несмотря на
незавершенность математические рукописи К. Маркса имеют большое научное
значение.
1 К. М а р к с. Математические рукописи, стр. 55-57.
6.3. РАЗВИТИЕ АППАРАТА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Перестройка основ математического анализа происходила в обстановке, когда
последний быстро и успешно развивался. Многие исследователи последующих времен,
говоря о математиках XVIII в., упрекали их за то, что они в погоне за
практическими
результатами оставались якобы безучастными к его основам,, Мы показали в
предыдущей главе, что это было, конечно, не. так.
В оперативной части анализ также был преобразован самым: радикальным образом:,,
Был выработан удобный, действенный, развитый аппарат исчислений, В н_ачдд.е..^УВД---в".....анализ
подразде-.....
лялся еще. только jja две ча'стаГ дифференциальное ж-интегральное исчисление.
Первое включало в себя, в частности, всю теорию ря-"ТЮ'ВГБо""втором же были
сосредоточены методы решения всех так называемых, обратных, задач анализа,
бесконечно малых. Таким: образом, в интегральное исчисление помимо методов
интегрирования функций включалась вся теория дифференциальных уравнений, как
обыкновенных, так и: с частными производными, а также вариационное исчисление.
Ярким примером такой нерасчлененности структуры математического анализа является
рассмотренная выше серия монографий Эйлера.
Фактическое богатство анализа, накопленное, в течение XVIII в., огромно. Оно
слишком велико, чтобы дать в рамках настоящего учебника его систематический
обзор,, Да в этом здесь и нет необходимости. Мы укажем лишь на некоторые
наиболее характерные особенности развития дифференциального и интегрального
исчисления и теории дифференциальных уравнений,
Дифференциальное исчисление. Вскоре после появления первых работ Г. В. Лейбница
выяснилось, что его исчисление дифференциалов и символика имеют большие
преимущества перед, исчислением флюксий и. соответствующей системой символов.
Они лучше отображали сущность операций анализа, и последний, естественно, принял
форму, в основном предсказанную Лейбницем.. Однако в качестве основного понятия
математики XVIII в., в отличие от Лейбница, приняли не дифференциал, а
производную, как менее уязвимую логически. Постановка задач дифференциального
исчисления изменилась. Вслед за Эйлером оно стало трактоваться большинством
математиков как метод определения отношения исчезающих приращений, получаемых
функциями, когда переменному количеству, функциями которого они являются, дается
исчезающее приращение.
В течение длительного времени дифференциальное исчисление сохраняло тесные связи
с исчислением конечных разностей. Эта связь была в рассматриваемое нами время
настолько тесной,, что оба эти исчисления фактически объединялись в единое
исчисление для функций как непрерывного, так и дискретного аргумента. Помимо
обычных соображений, в которых учитывается "моло221
дость" и нерасчлененность анализа, такое положение объяснялось, по-видимому,
большим прикладным значением исчисления конечных разностей для методов
интерполяции, численного дифференцирования и интегрирования, приближенного
решения дифференциальных уравнений. Не последнюю роль играли при этом
соображения, связанные с доказательствами по аналогии. Совместное "рассмотрение
обоих исчислений создавало большие возможности для подобных аналогий. *
Математики XVII и XVIII вв. много внимания, уделяли развитию исчисления конечных
разностей. В работах XL Ферма, I! Барроу, Г. Лейбница, Дж. Валлиса, И. Ньютона и
др. сформировалась эта область математики. Изобретатели анализа беско-.нечно
малых ввели многочисленные аналогии между конечными разностями и
дифференциалами, используя их для дальнейшего развития дифференциального
исчисления. Вот один из примеров.
В 1711 г., Ньютон вывел известную интерполяционную фор" .мулу1
f (а + пЬх) - / (а) + яА/ (а) +
n(n2)
1-2-3 где п - целое положительное число,
А/(а), А*/(а), А"/(а),-.-последовательные конечные разности функции f(x)
при х=а.
А/(*) = /(*+А*)-/(*), А2/ (*)" А/ (х + АЛ-) - А/ (*), А3/ (*) =. А2/ (х + Аж) -
А2/ (х),
Эту формулу Ньютона Тейлор распространил на случай бес-жонечно большого числа
членов, где Ал; стремится к нулю, но, од-жако, так, чтобы n-kx=h было конечным.
Тогда
ДА: t - Ах) (ft - 2Дл:)
превратилось у него в
1-2-3
df(x) dx
1-2
А3/И Дл3
Дх2
dx2
3!
d*f(x) dx3
1 И. Ньютон. Конечные разности. В кн.: И. Ньютон. Математические работы. М.,
ОНТИ, 1937, стр. 210-217.
Подобное использование аналогий и параллельное развитие дифференциального
исчисления и исчисления конечных разностей было характерно для анализа XVIII в.
Особенное распространение эта черта получила к середине века, что ярко
продемонстрировал, например, Эйлер в своем "Дифференциальном исчислении" (1755).
Он посвятил, в частности, первые две главы систематическому изложению теории
конечных разностей в объеме, превышающем дальнейшее ее применение в настоящем
сочинении, к интерполированию рядов, преобразованию их для улучшения сходимости,
и подобным вопросам.
Основным аппаратом дифференциального исчисления явилось разложение функций в
степенные ряды. Сравнительно богатый" арсенал средств, накопленный
предшественниками, в самом начале века обогатился теоремой Тейлора. Последний
нашел ее, как мы показали выше, использовав аналогию с исчислением конечных:
разностей, экстраполируя на исчисление дифференциалов интерполяционную формулу
Ньютона. В 1712 г. Тейлор уже сообщил свою теорему в одном письме, Публикуя ее в
"Methodus incremen-torum. directa et inversa" (1715), Тейлор дополнил ее выводом
для:. частного случая, называемого рядом Маклорена. Последний дал новый вывод,
этой теоремы в 1742 г.
Регулярное применение рядов Тейлора и Маклорена стало | характерной особенностью
дифференциального исчисления. Их: значение оказалось настолько большим, что
когда в 1784 г. Кон-дорсе присвоил этим рядам имена их. открывателей, это было
воспринято как само собой разумеющийся факт. Задача разложить в ряд
элементарными путями все известные функции и тем самым-обеспечить эффективность
операций дифференциального исчисления сделалась не только актуальной, но и,
казалось, достижимой, В этом направлении были достигнуты крупные успехи. Все
известные математикам XVIII в. (и, по-видимому, все возможные)-функции
обнаруживали свойство разложимости в степенные ряды,, бесконечные произведения и
т. п., и с ними оказывалось возможным оперировать. Огромное увеличение фактов
дифференциального исчисления, кажущееся пренебрежение к необходимости более
глубокого изучения свойств рядов создали прецеденты для неправильных оценок
творчества математиков XVIII в. в области математического анализа. С разной
степенью определенности различные авторы писали о формализме и беспечности в
этих вопросах.
Однако это не соответствует действительности. Первые же трудности
выдвинули проблему сходимости рядов. Уже в 1715 г. П. Вариньон сформулировал
относительно биномиальных разложений ряд требований, сущность которых сводилась
к тому, чтобы члены разложения неограниченно уменьшались, равно как и остаток
ряда. Усилия, направленные на замену смутных метафизи-1 ческих рассуждений
точным определением сходимости, продолжа-1 лись в течение всего столетия. При
этом основные заслуги математиков XVIII в. можно сформулировать так: вывод и
исследование
различных форм остаточного члена ряда; преобразование рядов с целью получить
ряд, заведомо сходящийся; творческое осмысление оперирования с расходящимися
рядами.
В 1754 г. Даламбер при выводе ряда Тейлора высказал соображения, сводящиеся к
представлению остаточного члена /г-крат-ным интегралом. Эйлер стремился отыскать
иные- критерии сходимости, рассматривая модули разностей сумм членов ряда,
взятых в конечном числе,. В 60-х годах идея различения сходящихся и расходящихся
рядов проникла в учебники, например в учебники Кестнера (1760 и 1761 гг.). В
1768 г. Ламберту удалось строго доказать ряд теорем относительно сходимости
разложения числа я в цепную (непрерывную) дробь. В конце века, в 1797 г.,
Лагранж .представил остаточный член ряда Тейлора сначала в интегральном виде, а
затем в виде, в котором: он известен сейчас под его именем. Усилия математиков
XVIII в. правильно понять проблемы сходимости (равно как и их. -ошибки) создали
к началу XIX в., условия для строгого подхода к ее решению. Новый этап^ теории
щаов^-характеризующийся регулярными строп?м^Ъ11ёиками остаточных членов и
характера сходимости, начинается в первые десятилетия XIX в. и связан в первую
очередь с работами Коши.
О большом внимании к проблеме- сходимости свидетельствуют работы по улучшению
сходимости рядов. Многие преобразования рядов для получения сходящихся рядов
принадлежат Эйлеру. Вот пример: дан ряд
S = ах - Ь& + схв - dx* + ______
Производится замена переменных.
= У +
S = а (у + ^ + ...) - (у + // +......)Ч~ с (у + if + ..
S = ay + (a - b) y* + (a - 2b + c) y* + ... = = ay + Аа-г/2
Затем новая замена переменных у -
приводит к
S'= а+
Да I
Если ряд 5 .сходится, то ряд S' сходится к этой же сумме. Но существуют такие
значения х, для которых 5 сходится, а 57 - расходится.
Оперирования с рядами вне области их сходимости приводили к парадоксальным
результатам. Однако Эйлер нашел способы получать важные результаты анализа
именно с помощью расходящихся рядов. Вообще Эйлер нередко оперировал с
расходящи224
мися рядами, видя для этого основания в индуктивном распространении на
бесконечные ряды операций, применимых к полиномиальным функциям. Оправданием
законности оперирования с расходящимися рядами для Эйлера было получение
правильных результатов. Чтобы избежать несообразностей, следует, говорит он
правильно определить понятие суммы расходящегося ряда., При этом надо отказаться
от обычных представлений, связанных со словом "сумма", и считать, что суммой
ряда является конечное, выражение, из разложения которого этот ряд возникает.
Например, суммой ряда
будет
II v | v2 [ t-3 I ••--]-- л -f- л -}-- л -j- . . .
-, потому что данный ряд получается из разложения
последнего выражения. Такое определение оказывается более общим и предвосхищает
многие важные идеи последующих времен, например идею аналитического продолжения,
не говоря уже о возможности использования важного аппарата расходящихся рядов.
Наряду со степенными рядами в математический анализ вошли новые^шш^разложегиш
функций. Д. И. Стирлинг (1730) и
"например, разложения в асимптотические
ряды,. В 1748 г. Эйлер ввел тригонометрические ряды для решения задач
математической физики. Это средство получило применение не только в работах.
Эйлера, но и в сочинениях других математиков: Д. Бернулли (1753) по -уравнениям
математической физики (например, решение уравнения колебания струны), Да-ламбера
(1754) и одновременно Клер о по небесной механике. К концу XVIII в. Лаплас (1782
г., опубликовано в 1785 г.) и Ле-жандр (1783, опубликовано в 1786 г.) "решили
задачу о притяжении эллипсоидального тела, введя разложения в ряды по
сферическим функциям.
Математический анализ в XVIII в.^обргатился_мощным и разнообразным аппаратом
разложения функций в ряды различных видов. Этот* аппарат был создан под
непосредственным влиянием задач математической физики. В ходе его разработки
постепенно были подняты проблемы изучения общих свойств рядов, главным образом -
их сходимости. Без этого систематическое использование ч созданного аппарата
было затруднительно. Построение достаточно общей и строгой теории рядов
сделалось к концу века первоо
...Поділитися у соцмережах
