Жанр: Наука
История и методология математики
...дачи о
малых колебаниях материальных точек и их систем с конечным числом степеней
свободы. Примером подобных задач являются задачи, связанные с конструированием
маятниковых часов и применением маятниковых аппаратов для гравиметрических
исследований. К этому классу относятся и задачи о колебательных движениях
часовых пружин, появившиеся после того как была выяснена ограниченность
применения маятниковых часов. Переход от колебаний точки к колебаниям систем
точек повлек за собой расширение задачи на случай бесконечного числа степеней
свободы: колебаний столба воздуха, струны и т. п.
Проблемы аналитической динамики точки и системы точек выдвинули в качестве
другого главного направления теории дифференциальных уравнений развитие методов
решения нелинейных уравнений первого и второго порядка и их систем. Движение
твердого тела вокруг неподвижной точки выражается нелинейной системой трех
уравнений второго порядка относительно ср(0" Ф(0" - так называемых углов Эйлера,
выраженных в функциях от
239
времени. Движение центра тяжести планеты в солнечной системе выражается решением
квазилинейной системы
*2 ^77 = ° (' = 1,2,3; k = const).
dt*
\
Квазилинейными в общем случае оказываются и уравнения Эйлера, появляющиеся в
"вариационном исчислении при решении задачи об экстремуме функционала
Нелинейное уравнение второго порядка получается, в частности, в задаче о
нахождении геодезических на поверхностях. К уравнениям того ж;е вида приводились
решения уравнений движения точки в сопротивляющейся среде,
Сложность проблемы решения уравнений и невозможность интегрировать их в конечном
виде послужили основной причиной возникновения третьего большого направления.
Речь идет о разработке приближенных методов решения дифференциальных уравнений.
Классический метод ломаных, ныне широко применяющийся в теоремах о существовании
и единственности решения уравнения
с начальными условиями X=XQ, у=Уо, был найден и опубликован в 1768 г" Эйлером.
Задачи небесной механики, в постановке кото(tm), рых учтены возмущающие силы,
явились первым объектам, применения методов приближенного интегрирования. С
учетом;сравнительной малости эксцентриситетов орбит планет и возмущающих сил
решение остается в первом приближении в виде круговой орбиты, которая затем
исправляется.
Геометрические приложения теории обыкновенных дифференциальных уравнений,
выделившиеся в особую область математики- дифференциальную геометрию, оставили
след и в теории самих уравнений. Теория особых решений составила заметное
направление в общей теории дифференциальных уравнений. Изучение семейств
интегральных кривых и решение задач о нахождении огибающих и изогональных
траекторий, перенесение результатов на семейства поверхностей - таков путь
исследований в этом, четвертом, направлении. Его значение возросло, когда
первоочередными стали проблемы существования и единственности решения
дифференциальных уравнений.
Исследования в области создания теории дифференциальных уравнений в частных
производных, несмотря на свою многочисленность, не давали еще возможности четко
выделить основные
аправления. Задача была еще слишком сложной. И хотя к дифференциальным
уравнениям в частных производных было сведено большое число задач физики,,
механики и теории поверхностей, решение их продвигалось медленно.
Систематическая работа в этом направлении начала развертываться лишь в-60-х
годах. Эйлеру же принадлежит первая монография, 'где "хгделшга~;тГО1штка
построения теории дифференциальных уравнений с частными производными. Речь идет
о третьем томе "Интегрального, исчисления", вышедшем в 1770 г. Наряду с Эйлером
теорию уравнений с частными производными разрабатывали" Даламбер, Лащ^
многие другие ученые. ~--^~~~~
Одной из главных идей, сравнительно быстро утвердившихся в теории уравнений
первого порядка, была идея сведения их интегрирования к интегрированию
обыкновенных уравнений или их систем. Ее использовал Даламбер (1768) при решении
линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Аналогичные методы развивал Эйлер. Метод сведения общего линейного
дифференциального уравнения
Рр
к интегрированию системы
dz_ ' R
разработанный в 1776 г. Лапласом и Лагранжем, входит в современные учебники,
Когда несколько позднее (в 1781, 1787 гг.) Лаг-ранж распространил этот метод на
линейные уравнения с любым числом переменных, он открыто высказал, что решение
уравнений с частными производными зависит от искусства сведения их к
обыкновенным дифференциальным уравнениям.
В решении нелинейных уравнений первого порядка Эйлер (1770) показал, что
дифференциальное уравнение с тремя переменными всегда можно привести к линейному
уравнению с четырьмя переменными. Этот результат был развит в работах Лаг-ранжа
(1774), Монжа (1787), Шарпи (1784). Последний довел до конца решение нелинейного
уравнения первого порядка с двумя независимыми переменными. Идея метода состояла
в том, что к уравнению
подбирают другое уравнение,
ы(*, У, 2, р, q) = a,
так, чтобы эта система из двух уравнений была вполне интегрируема. Определяемые
из системы уравнений функции
р = р(х, уу 2, a), q = q(x, у, г, а) приводят, как мы теперь знаем, к
уравнению Пфаффа
dz = p(x,y,z,a)dx + q(x,y,zya)dy. Интеграл этого уравнения
Ф(х, у, г, а, Ь) = 0,
где а и Ь.- произвольные постоянные, будет полным интегралом уравнения
Р(х,у,г, р, ?) = 0.
Об этом методе стало известно, однако, лишь в 1814 г. О нем сообщил французский
академик Лакруа, так как Шарли вскоре после представления своего мемуара в
Парижскую академию скончался, Шарли не мог распространить свой метод на
уравнения с большим числом переменных. Эта трудность была преодолена в XIX в. в
трудах К. Якоби и Пфаффа,
В ходе разработки методов решения дифференциальных уравнений первого порядка
выяснились виды их решений, взаимоотношения между ними и введена терминология,
сохранившаяся до настоящего времени. Итоги этого процесса подвел Лагранж в
работах 1774 и 1776 гг. Так, решение, зависящее от двух*произвольных постоянных,
получило название полного. Если в полном решении
z =
(я, у, а, Ь)
положить
где ty(a) -произвольная функция, а из уравнений
2 = ф (х, у, а, Ц (а)) и -^- = О
да
исключить а, то получится решение, названное общим. Наконец, исключение а и Ъ из
уравнений
да дЪ
давало решение, получившее название специального, а затем особого. Так как
решение дифференциальных уравнений не всегда сводится к квадратурам, Лагранж
ввел разные термины: решение уравнения и его интеграл.
Наряду с аналитически-вычислительными методами решения ^уравнений развивалась и
геометрическая теория их решений. Во-\рбще, теория дифференциальных уравнений с
частными производивши оказалась тесно связанной с задачами и понятиями геомет242
рии (теории поверхностей и пространственных кривых).-Это-, направление было
развито в серии великолепных работ Г. Монжа. Эту группу вопросов мы рассмотрим
позднее в разделе, посвященном развитию геометрии в XVIII в.
Дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка возникали
преимущественно в ходе решения физических задач. Из них прежде всего следует
указать на задачу о колебании струны, приведенную к уравнению
dt2 дх2 '
о чем говорилось в предыдущей главе. Около 1760 г. Эйлер, раз-, рабатывая
проблемы гидродинамики, вывел уравнение объемного расширения жидкости
д*и д% , д*ы , д2и
дх2
ду2
dz2
Для этого уравнения Эйлер нашел частное решение, а в одном случае (когда
движение совершается по направлению к неподвижному центру, а скорости на
поверхностях соответствующих сфер одинаковы) - общий интеграл. Задачу о
колебании мембран Эйлер в 60-х годах XVIII в. свел к уравнению
"мГ - "7Т ~*.....
di2 дх2
д2г
ду2
Его решение он нашел в виде ряда для трансцендентной функции, которую мы теперь
называем цилиндрической, или (что совсем не обосновано) бесселевой, по фамилии
немецкого астронома Ф. В. Бесселя.
Задачи о колебании газа в трубах различных профилей, тео.....
рии потенциала и другие приводили также к уравнениям второго порядка.
Дифференциальные уравнения с частными производными составили особый
многочисленный класс уравнений XVIII в.
Что касается уравнений более высокого порядка, то они ис-следовалиСь лишь
эпизодически.
Исследования уравнений второго порядка были многочисленными, но создание общей
теории сталкивалось с непреодолимыми в то время трудностями. Первые успехи
наметились к 1770г., когда Эйлер применил преобразования линейных
дифференциальных уравнений второго порядка к каноническим формам. Например,
уравнение
д2г
•= а*
д2г дх2
подстановками
/, и = к - ау 243
приводится к виду
дЧ dudt
= 0.
Общий интеграл этого уравнения имеет вид
2 = / (t) + ф (и) = / (х + ау) + ф (х - ау) .
Таким путем было начато выделение канонических типов дифференциальных уравнений
с частными производными второго порядка.
Общее линейное дифференциальное уравнение с частными производными
= .
дх* дхду Р ду* * дх ду
где коэффициенты и свободный член являются некоторыми функциями от х и у9
рассматривал Лаплас (1777), создавший для его решения единый метод,, получивший
название метода каскадов,
'Сущность этого метода, как и для общего линейного дифференциального уравнения с
частными производными первого порядка
дх ду
которое решал Лаплас, состоит в замене переменных. Введя две новые переменные s
и si, Лаплас приходит к уравнению, носящему ныне его имя
32' , ди . ди . 1 . _, А
+ m-------1- п-------(- Ш + 7 = О,
as ds-i
или, кратко, D(u) = 0.
Если ф (5) и -ф (si) -две произвольные функции и если составить
(s) =
= J^(Si)ds!, ^a(si) = J то решение можно записать в виде ряда
si) +
+
+ . . .
Подстановка этого выражения в уравнение D(u)=Q даст для определения
коэффициентов Л0, Ль ..., ?0, Вь ... дифференциальные уравнения
= 0;
) - 0;
) = 0;
Если ряд для и обрывается, т. е. для некоторого k будет иметь место Ль==0т 5л =
0, то общий интеграл выражается в конечном виде. Когда же это не имеет места,
Лаплас представляет решение не рядом, а с помощью определенных интегралов. Он
показал, что в этом случае
.0
где р и pi -. частные интегралы, Д (и) =0,
р = f Г (s -2) Ф (г) dz, Р! = П (s - 2) я|) (z) dz,
"J
"J
а в этих интегралах
(ft- 1)1
Лаплас показал, что его метод является более общим, чем все другие. В случае,
например, когда /, m, n - постоянные, в уравнении D(u)=0.
получается частный случай интегрирования обыкновенного дифференциального
уравнения второго порядка. Дальнейшие усовершенствования, внесенные в метод
каскадов Лагранжем и Лапласом, привели этот метод к современному виду.
Подведем итоги. Аппарат математического анализа в течение XVIII в. развился
необычайно быстро, приняв формы и объем, близкие к современному.
Дифференцирование, а также интегри245
i
f
05щие покатая и си м Золы
\'
\
Методы определенного интегрирования
Несобственные интегралы
рование в элементарных функциях по существу были в основном завершены. Важнейшей
частью математического анализа в его оперативно-алгоритмической трактовке
постепенно сделались дифференциальные уравнения, как обыкновенные, так и с
частными производными. Вместе с разработкой методов решения отдельных классов
уравнений формировались элементы общей теории,
В области обыкновенных, дифференциальных уравнений были выявлены основные их
типы, поддающиеся решению в квадратурах, найдены приемы приближенного их
решения. Сформулированы и сделались общепринятыми понятия общего и- особого
решения. В части дифференциальных уравнений с частными производными проведены
частичная классификация и выделение канонических типов, а также накоплено
множество частных приемов решения.
Однако теория, дифференциальных уравнений не могла долго\ развиваться как
совокупность частных приемов, пригодных для решения немногочисленных классов
уравнений. Накопление этих приемов необходимо, но не достаточно для построения
общей теории. Перед математиками все более остро вставала проблема существования
решения и установления его характера. Решения образовывали класс функций,
неизмеримо более широкий, чем класс первообразных от элементарных, функций.
Практические успехи теории дифференциальных уравнений и ее многообразные связи с
теорией функций . комплексного переменного, специальными функциями, вариационным
исчислением, и особенно с задачами математической физики, делали проблему
создания общей теории особенно настоятельной,.
В заключение приведем схему интегрального исчисления XVIII в. (рис, 46) для
облегчения понимания его сложной структуры и процесса, отпочкования от него
различных дисциплин., Классификация дифференциальных уравнений с частными
производными приведена в соответствии со структурой третьего тома "Интегрального
исчисления" Эйлера. В схему включено как часть интегрального исчисления и
вариационное исчисление; истории этого исчисления посвящен следующий раздел
настоящей главы.
6.4. СОЗДАНИЕ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Вариационное исчисление - один из важнейших отделов современного
математического анализа. Являясь составной частью функционального анализа,
оно тесно связано со многими математическими науками. Вариационные методы
проникают в различные области математики, механики, физики, техники,
создавая всякий раз возможности непосредственных приложений. 'Вариационное
исчисление возникло в XVIII в. В трудах ! Дилера и Лагранжа оно
получил о ""БЩ^етройной математической lдеории. Последняя тотчас доказала свою
полезность, так как
методами этой теории оказалось возможным решить большое число задач
практического характера. Возникновение вариационного исчисления и его выделение
в самостоятельную математическую дисциплину, разрабатывающую общие методы
определения
экстремумов функционалов, были обусловлены необходимостью решения особого класса
геометрических, механических и физических экстремальных задач практического
характера, называемых вариационными задачами.
Вариационные задачи. В истории математики задачи этого типа были поставлены и
подвергались исследованию очень давно. Примерами могут служить античная, теория
• изопериметров и многочисленные экстремальные-задачи в физике (механике и
оптике). Однако мы их. не будем здесь рассматривать,, так как способы, .решения,
этих экстремальных задач были еще индивидуальными и по существу специального
исчисления составить не могли. К концу XVIII в. накопились и были выделены в
отдельный класс экстремальные задачи особого рода, не поддающиеся
решению'средствами только что возникшего анализа бесконечно малых. Это была, вопервых,
задача. Ньютона,, поставленная и решенная им в "Математических началах
натуральной философии" (1687), В ней требовалось найти кривую, проходящую через
две данные точки и такую, чтобы она при вращении вокруг данной оси образовывала
тело вращения, испытывающее . наименьшее сопротивление при движении вдоль оси.
Другими вариационными задачами оказались задача о брахистохроне (1696);
изоперимет-рйческая задача (1697); задача о геодезических, линиях, на
поверхностях (1697),, По существу уже. в то раннее время были разработаны все
основные типы вариационных задач.'
Решения указанных задач были найдены в конце XVII -'начале XVIII в. Ньютон дал
для своей- задачи эквивалент дифференциального уравнения в форме геометрической
пропорции. Задача о брахистохроне была решена И. Бернулли, а затем Ньютоном,
Лейбницем и Я. Бернулли. Изопериметрическая задача и задача о геодезических были
решены также одновременно несколькими учеными. Методы решения были недостаточно
общими, специальными, но в них все более ясно проявлялись общие черты.
Создавались возможности для выработки общего метода.
Первый общий метод решения вариационных задач был выработан в серии работ Эйлера
в 1726-1744 гг. Вначале Эйлер, рассмотрев методы решения задачи о брахистохроне,
поставил (1726) эту же задачу в условиях сопротивления, оказываемого средой.
Затем (1728) он вывел дифференциальное уравнение геодезической линии на
поверхности. Малая общность и недостаточность приемов, применяемых при решении
задач уже осознанного в своем своеобразии класса, не удовлетворяли Эйлера. Он
стал искать общий метод и к 1732 г. нашел его. В статье Эйлера "Общее решение
изопериметрической задачи, поставленной в
самом широком смысле", мы находим первую общую постановку одномерной
вариационной задачи.
Эта работа Эйлера интересна в особенности тем, что она знаменует начало
характерного для развития математических исчислений диалектического переворота,
когда решения отдельных задач начинают рассматриваться как приложения общего
метода. Последний же, метод, делается предметом исчисления,
Эйлер классифицирует задачи, где отыскиваются, по его выражению, кривые,
обладающие экстремальным, свойством" При этом в качестве экстремального выбрано
свойство интегралов1" частных, видов, взятых вдоль кривой, принимать
максимальные или минимальные значения. Классификация Эйлера такова: а) из всех
вообще кривых определить ту, которая обладает экстремальным свойством Л; б) из
семейства кривых, обладающих, общим свойством А, выбрать экстремаль относительно
свойства В; в) из совокупности кривых, обладающих двумя свойствами А и В,
выделить экстремаль относительно свойства С и т. д.
Свойствами, или, как мы теперь говорим, функционалами, у Эйлера являются
интегралы. Почти все они имеют вид
Метод опирается на: а) идею сохранения экстремального значения свойства, когда
элемент экстремала заменен элементом другой близкой, кривой, б) принцип Лейбница
- Я. Бернулли, что экстремаль сохраняет свои экстремальные свойства в любой
своей части. Метод состоит в варьировании одной, двух и т. д. (в зависимости от
вида задачи) ординат ив приравнивании значений свойств соответствующего элемента
экстремали до и после варьирования.
Через четыре года (в 1736 г." опубликовано в 1741 г.) Эйлер обобщил этот метод
на интегралы вида
, у, s,
где
Наконец, KjJ44_^M столь большую
общность, что перерос в специальное исчисление, систематически изложенное
Эйлером в книге "Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума
или минимума, или решение изопериметрической задачи, взятой в самом широком
смысле" - первой в истории книге по вариационному исчислению.
Вместо решения еще одной трудной вариационной задачи или целого их класса Эйлер
выдвинул общий метод, который можно
применять к решению различных видов таких задач. Цель этого метода, названного
Эйлером "методом максимумов и минимумов в применении к кривым линиям", самая
общая - отыскание кривых линий, для которых какая-либо наперед заданная величина
достигает своего наибольшего или наименьшего значения. Рассмотрим этот метод по
существу.
Сформулированная только что задача еще поставлена недостаточно определенно,.
Эйлер вводит следующие условия определенности: а) задача ставится и решается для
одного и того же отрезка оси абсцисс; б) вводится два вида экстремумов:
абсолютный и относительный; в) определяется вид функционала как. "неопределенной
интегральной величины"
w=
Идеи, положенные Эйлером в основу абсолютного метода. максимумов и минимумов,
сравнительно просты. Пусть необходимо среди всех возможных кривых на отрезке
[XQ, х] выбрать такую /(*, у) = 0, чтобы интеграл
х
w = Г Zdx
ie
принимал экстремальное значение. Всякую кривую у=у(х), определенную в некоторой
области значений XQ^X^.X\, Эйлер заменяет полигоном, абсциссы вершин которого
выбираются на оси Ох на равных расстояниях друг от друга" Это, по мысли Эйлера,
дает возможность с любой степенью точности аппроксимировать кривую.
Интегральную формулу максимума и минимума
I=$Z(x,y,y',y",...)dx
он заменяет суммой вида
п-\
где
-, xi = Xt-i + dx,
a yi - ординаты в фиксированных точках **. Кроме того, заменяя производные
отношениями конечных разностей
dx
dx
dx*
Эйлер добивается возможности рассматривать значение формулы максимума или
минимума для данной кривой как функции
ординат:
Затем он решает обычную экстремальную задачу: варьируется некоторая произвольная
ордината yv; разность значений /" соответствующих. неизменной . и варьированной
кривой, приравнивается нулю. Тем самым получается дифференциальное
уравнение
экстремали.
Таким образом, Эйлер сводил решение вариационной задачи к. решению другой - об
экстремуме функции многих переменных (ординат). Этот метод стал универсальным
для любого типа вариационных задач и является основным для вариационного
исчисления в созданной первоначально Эйлером форме.
Пусть для простоты z = z(x, у, у'). Тогда
Рис, 47
заменяется на
п-\
Ордината yv испытывает приращение на nv (рис. 47). Тогда в указанной сумме
изменятся только члены, содержащие yv. Это
dx
Чтобы вычислить их приращения, Эйлер дифференцировал Z по х, у, р и заменял
дифференциалы dxi, dyi, dpi приращениями соответствующих величин Xi, Уг, Рг.
Cv_l, t/v-1, Pv-l) =
= + nv,
Так как приращение получает лишь yv, то dxv-i = dxv = dyv-\ = 0, dyv
-i = +
nv
nv
-
dx
Следовательно, величина приращения
Z (*v-i , //v-i , Pv-i) dx + Z (xVj */v, pv) dx будет .
Pnv •-}•- N'nvdx - P'nv.
Ho Pf - P^=dPy а вместо N' можно писать N.
Тогда
Pnv -f Mivd* - P'nv = 0
или
т. e.
что в привычных нам символах означает
т. е. дифференциальное уравнение Эйлера.
Распространив этот метод на случаи, • в которых подынтегральное выражение
зависит от производных более высокого порядка, Эйлер приходит к уравнению вида
dP
dx
^L
dx*
dx9
••0.
При этом он не останавливается перед возможностью неограниченного продолжения
этого ряда. Он лишь отмечает, что дифференциальное уравнение кривой всегда будет
иметь порядок в два раза больший, чем формула максимума или минимума. Из этого
замечания естественно вытекает условие, обеспечи-.
вающее определенность задачи: среди всех кривых, проходящих через 2п
заданных точек, определить ту, для которой fZdx, где
M N О Р Рис. 48
был бы максимумом или минимумом (рис. 48) . '
Изложение метода, данное Эйлером, очевидно, не удовлетворяет требованиям
современной научной строгости. В нем не обоснованы, в частности, вопросы
законности перехода к пределу и перестановки предельных переходов. Не доказано
также, дает
ли предел экстремумов аппроксимирующих функций экстремум функционала. Однако
необходимо помнить, что Эйлер не мог и поставить требования научной строгости в
смысле, принятом в XX в. Кроме того, исследование указанных вопросов повело бы
не только к отысканию дифференциального уравнения, экстремали, но и к
аппроксимации решения этого уравнения решением системы обыкновенных уравнений,
что выходило за пределы поставленной Эйлером задачи.
Метод Эйлера решения задач на относительный экстремум. имеет целью отыскание
экстремали не, среди всех кривых, определяемых на данном участке оси абсцисс, но
среди некоторого их семейства, каждая из кривых которого обладает одним или
несколькими свойствами. Если дополнительное условие состоит в сохранении
постоянного значения . другого (или нескольких) функционала - интеграла, то
получается обобщенная изопери-метрическая' задача. Эйлер приводит ее к задаче на
вычисление абсолютного интеграла следующим образом.
Чтобы удовлетворить сразу двум условиям (если речь идет о кривых, обладающих
одним общим свойством) - неизменности значения общего свойства В и формуле
максимума или минимума /1, - необходимо дать приращения не одной, а двум
соседним ординатам. "Дифференциальные значения" обоих свойств будут иметь в силу
изменения двух ординат yv и у^+\ (см. рис,, 47) на hv и осо соответственно
следующий вид:
dAv • nv dBv • nv
00;
Из заданных условий (экстремальности А и постоянства. В) следует, что оба эти
выражения должны быть приравнены нулю:
• nv • nv
* осо z": °"
• осо = 0.
После исключения из этой системы двух уравнений nv и осо Эйлер получал уравнение
искомой кривой
(а = const, p = const). To же уравнение получается, если искать кривую, для
которой выражение аЛ + рВ достигает абсолютного экстремума.
Указанный метод Эйлер распространил и на еще более сложные случаи: а)
подынтегральная функция Z в выражении функционала сама представляет собой
функционал; б) эта подынтегральная функция задана посредством дифференциального
уравнения, способ решения которого неизвестен. Такой, например, являлась у
Эйлера задача о брахистохроне в сопротивляющейся
г
dv = gdx - hvndx J/l + p2.
среде. Как заметил Эйлер, здесь идет речь о нахождении максимума выражения
при условвд
При этом он правильно решил вопрос о границах применимости так называемого
принципа Лейбница - Бернулли о наличии экстремального свойства в каждой точке
экстремали.
В книге Эйлера приведено большое число примеров (свыше 60), иллюстрирующихшироту
возможностей нового метода. В них была продемонстрирована практическая
ценность исчисления и установлены его тесные связи с механикой и физикой,.
Помимо тех недостатков, которые в XVIII в. заметить было еще невозможно, у
метода Эйлера существовал еще один; громоздкость. В течение нескольких
последующих лет Эйлер упорно работал над отысканием удобного алгоритма.
Переход от прямых методов "к исчислению вариаций. Положение -.начало изменяться
с 1755 г., когда • совсем еще юный преподаватель математики артиллерийской школы
в г. Турине Лагранж сообщил Эйлеру об изобретенном им общем аналитическом методе
вычисления вариации интеграла посредством интегрирования по частям. Этот метод
основывался на введении вариации функции и на распространении на вариации правил
дифференциального исчисления. Поясним эту мысль подробнее.
Чтобы сравнить значение интеграла /(С) вдоль кривой С с его значениями вдоль
соседних кривых, Лагранж изменял функции
у = у(х), г = г(х),
определяющие кривую С, прибавляя к ним величи
...Поділитися у соцмережах
