Жанр: Наука
История и методология математики
..., Гаусс назвал потенциалом. Он систематически исследовал свойства
потенциальной функции и ее применение- к физическим явлениям. Небезынтересно
отметить появление в этой работе теоремы
дХ , дУ , dZ
дх. • ду dz J
= Г Г (X dy dz + Y dz dx + Z dx dy).
Эту теорему M. В. Остроградский доказал еще в 1828 г. и истолковал ее как
формулу гидродинамического баланса, устанавливающую равносильность учета
протекающей жидкости в единицу времени: а) исходя-из учета источников внутри
объема; б) исходя из скоростей протекания через оболочку.
Через одиннадцать лет Гаусс использовал эту формулу для того, чтобы связать
величину потока напряженности сил заданного потенциального поля с общей массой
или зарядом, помещенным, внутри поверхности. В наше время эту формулу называют
формулой Гаусса - Остроградского (что, очевидным образом, несправедливо).
В истории физики 1 отмечается, что понятию потенциала физики долго не придавали
принципиального значения, рассматривая потенциал, или потенциальную функцию,
лишь как удобное математическое понятие. Его физический смысл был раскрыт позже,
после установления понятий работы, энергии и закона сохранения энергии.
Иным было положение этого важного понятия в математике, Его введение облегчило
расширение области приложений математического анализа. Помимо оптики и колебаний
теперь возникала математическая теория электромагнитных явлений. Постановка
задачи о потенциале побуждала к расширению понятия интеграла,, к распространению
интегрирования на сложные объекты. В анализе была начата разработка
гармонических функций как решений дифференциального уравнения Лапласа: Ли = 0.
Оказалось, что гармонические функции могут служить для описания многих
физических и механических проблем, отличительной особенностью которых является
исследование разнородных состояний, зависящих от положения элементов, а не от
времени. Так, например, гармоническими функциями оказались помимо потенциалов в
полях притяжения и в электрических полях потенциал скоростей установившегося
безвихревого движения несжимаемой жидкости, температура тел при установившемся
рас1
См. Б. И. Спасский. История физики, ч. I. Изд-во МГУ,
1956" стр. 352-353.
348
пределении тепла, величина прогиба мембраны, натянутой на произвольный неплоский
контур, и др. Математический аппарат исследования гармонических функций,
возникший при решении одной задачи или одного" класса задач, получал постепенно
новые приложения.
Гармонические функции получили применение в широком классе краевых задач. Такова
задача Дирихле об отыскании значений гармонической функции в области по ее
значениям на границе (например, определение температуры внутри тела по
температуре на. его поверхности, определение "формы мембраны по виду контура),,
К этого рода задачам относится также задача Неймана,, в которой гармоническая
функция должна быть разыскана по величине нормальной производной на границе
области (нахождение температуры внутри тела по заданному на поверхности
температурному градиенту,, определение потенциала движения обтекающей твердое
тело несжимаемой жидкости из условия, что нормальные составляющие скоростей
частиц, прилегающих к поверхности тела, совпадают с заданными нормальными
составляющими скоростей точек поверхности тела),,
Для решения краевых задач теории гармонических функций были разработаны методы,
имеющие как практическое, так и большое теоретическое значение. Например, для
решения задачи Дирихле Г. А. Шварц и К. Нейман изобрели около 1870 г.
альтернирующий метод, Пуанкаре - метод выметаний (около 1880 г.), Фредгольм -:
метод'фундаментальных решений, связанный с интегральными уравнениями, Перрон -
метод верхних и нижних функций. Следует еще упомянуть метод сеток как основной
метод при приближенном решении краевых задач. Эти методы давали возможность
освободиться от того или другого ограничения, которое-приходилось налагать на
границу области. Но при сколько-нибудь общей постановке краевой задачи возникали
проблемы условий, существования решений и их устойчивости.
Большое значение в истории теории потенциала имеют исследования русского
академика А. М. Ляпунова, выполненные в конце XIX - начале XX в.1. В них
изучены: зависимость свойств потенциалов от равномерно распределенных по
поверхности зарядов и диполей, потенциал двойного слоя в случае диполей,
поведение производных решения задачи Дирихле при приближении к поверхности, на
которой задано граничное условие. Решение задачи Дирихле Ляпунов выразил в виде
интеграла по поверхности от произведения функции, входящей в граничное условие,
на нормальную производную функции Грина.
Как и его предшественники, Ляпунов был вынужден использовать ряд ограничительных
требований. Среди этих требований основным является выполнимость принципа
Неймана. Ограничение выделяет также класс поверхностей, относительно которых
рас1
См. А. М. Ляпунов. Работы по теории потенциала. М., ГТТИ, 1949.
Ж. Б. Фурье (1768-1830)
смотрены указанные выше вопросы; за этими поверхностями сохранилось название
поверхностей Ляпунова.
Проблемы математической физики, выросшие из первых работ по теории потенциала,
приобрели, как мы видим, к концу XIX в. большую общность. Решение 'столь общих
теоретических проблем, а затем бурное развитие методов численного решения
краевых задач (ставшее возможным в связи с появлением вычис350
лительных электронных устройств) целиком относятся к следующему, XX в. Равным
образом к этому более позднему времени относится эффективная разработка важной и
трудной обратной задачи теории потенциала: по распределению значений потенциала
-в силовом поле определить форму и плотность притягивающих масс - задача,
актуальность которой (например, для электротехники- и геофизики) очевидна.
Математическая теория теплопроводности. Наряду с приложениями математического
анализа к электромагнитным явлениям получала развитие другая область приложений
этой науки. Речь идет о создании математической теории теплопроводности, позднее
развившейся в термодинамику - общую науку о закономерностях теплового движения.
Побудительной причиной этого процесса было изобретение паровых машин,
сделавшихся вскоре энергетической основой машинного производства., Теоретически
исследовать работу паровых машин, найти способы повышения коэффициента их.
полезного действия - такова была одна из главных задач науки.
Требования, предъявляемые в связи с этим к математике,, нашли свое выражение в
условиях, конкурса, объявленного в 1811 г., Парижской академией наук: дать
математическую теорию законов распределения тепла и сравнить результаты этой
теории с данными опытов. Победителем конкурса оказался, паряжский академик (с
1817 г..) Ж.-Б. Фурье (1768-1830). Подобно многим ученым - его современникам,
Фурье был выходцем из небогатой семьи портного, окончил военную школу,
преподавал в ней. Вскоре после организации Политехнической школы он стал одним
из ее профессоров (1796-1798). Однако в 1798 г, он был включен в число
участников экспедиции Наполеона в Египет, а затем занялся организационноадминистративной
деятельностью в качестве префекта департамента Изеры (главный
город Гренобль). Лишь в 1817 г, Фурье смог переехать в Париж и целиком посвятить
себя научной""Деятельности.
Оснювные научные заслуги Фурье свя-ГсГЛЭТ^'рйспределения теп--тгпслгттр'еэттавил
Академии
. Рис. 54
мемуар, посвященный теории распространения тепла в твердом теле. В 1811 г.
последовал второй мемуар на эту тему. Через П лет, в 1822 г., Фурье опубликовал
"Аналитическую теорию тепла", оказавшую огромное влияние на развитие математики.
Фурье разделял убеждение о всеобщей значимости и всемогуществе анализа
бесконечно малых. В'его представлении анализ столь же обширен, как сама природа;
он отражает ее главные законы, выделяясь ясностью и определенностью, а главное -
возможностью доведения до численных приложений. Анализ физиче351
ского явления по существу заканчивался, как только удавалось выразить его
основные черты дифференциальным уравнением. Что же касается принципов построения
математической теории, то, по указанию Фурье, они, подобно принципам механики,
выводятся из небольшого числа фактов, о причине которых математика не
спрашивает, рассматривая их как результаты наблюдений, подтверждаемых, данными
опута.
Распространение тепла, как и света, Фурье представлял в виде потока элементарных
частиц, свободно проникающих через среду. Элементарное количество тепла dQ,
протекающее через пластинку Sdx за время dt с температурным перепадом dv,
удовлетворяет эмпирически подобранному соотношению
dx
(k - коэффициент теплопроводности, зависящий от материала пластинки) (рис.,
54).
Исходя из этого выражения плотности теплового потока, подсчитывается баланс
тепла на"участке за элемент времени (в основном, это делается так же, как и в
наше время) ! и приводится к "уравнению
dv - -
dt
где. А - оператор Лапласа.
Это уравнение Фурье интегрирует при заданных различных краевых условиях.
Задается либо распределение температуры v
:на границе, либо тепловой поток -~, либо их отношение:
dv
dn
Для решения уравнения теплопроводности при этих
v dn
граничных условиях Фурье разработал метод разделения переменных, известный
теперь как метод Фурье. Ему удалось решить задачи распространения тепла для
частных случаев шара, кольца, куба, цилиндра. Характерной чертой метода Фурье
является, как известно, разложение функций по найденным собственным функ-ция^Г
Фурье систематически применял разложение функций в тригонометрические ряды вида
/ (х) - V (ап cos пх + bn sin nx).
1 См. А. Н. Тихонов и А. А. Самарский. Уравнение математической физики.
М., ГТТИ, 1951, стр. 172 и далее.
Хотя ряды такого вида были известны и ранее, но после появления "Аналитической
теории тепла" они получили название рядов Фурье, сохранив его до сих пор. Фурье
применяет тригонометрические ряды не только при п целом, но и в более сложных
случаях, когда п определяется трансцендентным соотношением tg пл = ап (fl =
const"0). В работах Фурье встречаются даже разложения по бесселевым функциям.
Аппарат тригонометрических рядов дал возможность Фурье выразить с его помощью
функции весьма общей природы. Фурье практически мог разложить в ряд любую из
функций, которые ему могли в то время предложить. Поэтому он счел себя вправе
утверждать, что с помощью указанного аппарата можно дать выражение "абсолютно
произвольных" функций, понимая под этим функции, состоящие из произвольных
частей известных анализу функций,. Строгого доказательства он дать не смог,
разумеется, равно как и устранить ряд нестрогостей. Метод Фурье был
усовершенствован Пуассоном, Дирихле и особенно Остроградским. Последний-в ряде
мемуаров 1828-1836 гг. сформулировал этот метод в общем виде, - достаточно
общем:, чтобы решать задачу для любого твердого тела, ограниченного поверхностью
без особенностей. В этих мемуарах им была впервые выведена (1.828) упомянутая
выше формула. Остроградского - Гаусса, дано ее истолкование и обобщение (1834)
на я-мерную областьОн
же решил задачу о распространении тепла в жидкости и высказал в 1831 .г.,
задолго до Римана, принцип локализации: сходимость ряда Фурье абсолютно
интегрируемой функции в точке зависит лишь от значений ее в сколь угодно малой
окрестности этой точки. Впрочем, внимательное исследование показывает, что
принцип локализации рядов Фурье в не сформулированном явно виде употребляется в
ряде работ современников М. В. Остроградского. Этот принцип можно обнаружить в
сочинениях самого Фурье, а также у Дирихле (1829) и Лобачевского (1834).
Отнесение в историко-математических работах формулировки и доказательства
принципа Фурье к числу заслуг Римана основано на работе последнего "О
возможности представления функции посредствомтригонометрического ряда". Она была
представлена Рим аном в 1853 г. Гет^ингенскому Университету, но стала известной
в 1867 г., после ее опубликования. Работа содержит инте12
К. А. Рыбников 353
ресный очерк истории вопроса, и мы поэтому отсылаем к ней читателя *.
Математические исследования теплопроводности предварили создание более общей
науки о теплоте - термодинамике. В дальнейшем для ее формирования потребовалось
соединение математических методов, ведущих свое начало от Фурье, с соображениями
С. Карно об идеальном цикле (1824) и с законом сохранения энергии, открытым в
40-х годах XIX в,. Р. Майером, Г. Гельмгольцем и Дж. Джоулем. Это соединение
произошло в середине столетия, когда.-Р. Клаузиус (1850) и У. Тсшсон-Кельвин
(1851) дали формулировку второго начала термодинамики и ввели понятие энтропии.
Дальнейшее усовершенствование математического аппарата термодинамики связано с
выходом за пределы математического анализа. и введением теоретико-вероятностных
суждений в кинетическую теорию газов Дж. Максвелла (I860) и статистических
представлений в теорию тепловых процессов Л. Больцмана (1871),,
В результате исследований ряда ученых швейцарский физик Фик к 1885 г. смог
развить количественную теорию диффузии. При этом выяснилось, что его первый
закон о количестве диффундирующего вещества аналогичен закономерности,
обнаруженной Фурь.е для теплоты. Именно, масса вещества dm, диффундирующего за
время dt через площадку S (см. рис. 54), перпендикулярную оси Ох, выражается
формулой
dc
dt,
dc где----- градиент концентрации, a D - коэффициент диффузии,
(ЛХзависящий
от природы частиц и состояния растворителя и диффундирующего вещества.
Если коэффициент диффузии постоянен, получается второй закон Фика
dc __ ъ d*c ~dT ~~ ~d^'
т. е. уравнение, эквивалентное уравнению теплопроводности.
В плане математического анализа "Аналитическая теория тепла" послужила, после
работ Эйлера и его современников, началом новой разработки теории
тригонометрических рядов. Попытка Фурье доказать, что любую функцию можно
разложить в тригонометрический ряд, привела к появлению исследования проблемы
представимости функций тригонометрическими рядами в работах Дирихле,
Лобачевского, Римана и др. В этих исследованиях сложилась одна из предпосылок
создания к концу XIX в. канторовой теории множеств, более широко, теории функций
действительного переменного.
1 См. Б. Риман. Соч. М., ГТТИ, 1948, стр. 225-261.
О математическом аппарате механики. Мы привели примеры именений математического
анализа в области электрических и мягнитных явлений, а также теории теплоты.
Этими примерами ппоблема разумеется, не исчерпывается. Аналитические методы
проникали во многие области естествознания, приобретая в них значение решающих -
оперативных средств. Едва ли не в первую оче-оедь'они проникли в механику,
определяя ее содержание. Аналитическая механика npHo6peTa^a^B^H^^ajMHmcKHH облик
именно как учение о дифференциальньК^^вненияХг-, выражающих свойства траекторий
любых мех айичестщх систем. Исследование свойств этих уравнений и их
интерпретации для частных случаев приобрели значение главной задачи
аналитической механики. Решающую же роль в построении системы этой науки стали
играть общие поло" жения, или, как их принято называть, принципы, или законы,
механики.
Пусть задана система, положение которой для каждого заданного момента времени t
определено значениями п независимых параметров "7i, "?2, ,..., "7п, т. е.
система с п степенями свободы. Для описания ее 'движения вводится два понятия:
живая сила, или кинетическая энергия, Т и силовая функция, или потенциальная
энергия, U. Понятия кинетической и потенциальной энергии противопоставляются
друг другу, поэтому чаще всего рассматривается функция Лагранжа (ранее известная
под именем кинетического потенциала, имевшего не, столь общий смысл) :
L = T(qt,q't)*-U(qt) (i = 1, 2, . . . , л).
Уравнения движения, механической системы суть дифференциальные уравнения
Лагранжа (введенные им в конце XVIII в.):
J.*±--*L- (i-l 9 П)
dt дц "~ "% U "' A ..... ' Я}'
В качестве интеграла уравнения получается закон сохранения энергии,
сформулированный в середине XIX в.
В случае возмущенных движений вследствие применения внешних сил Р справа
добавляется соответствующий интеграл:
Т+ U=const+.( Pdt.
Решение и исследование дифференциальных уравнений Ла- \ гранжа было одним из
основных направлений аналитической меха- i ники XIX в.
Другой подход к формулированию основных принципов механики состоял в том, что
исходили не из дифференциальных уравнении, но из некоторых интегралов,
относительно которых решалась вариационная задача отыскания минимума. На этом
пути получа-ся вариационные принципы механики; основным аппаратом при
12* 355
этом является аппарат вариационного исчисления. Первым ционным принципом
был^принцип наименьшего действия. Его высказал впервые в 1744 г Мопертюи.
Математически строгая формулировка принципа принадлежала Эйлеру, последующие
обобщения - Лагранжу, Якоби и Жуковскому. Позднее появились и другие
вариационные принципы, например принцип Гамильтона -• Остроградского, или,,
ин&че, принцип стационарного действия V,
Развитие, общих методов интегрирования дифференциальных уравнений динамики,
получившее начало в середине XIX в;, составляет отдельную область приложений
математического анализа. В этой области рассматривается сравнительно неширокий
класс дифференциальных уравнений, который однако, подвергается по возможности
глубокому исследованию. Математические результаты здесь особенно тесно сплетены
с прикладными интерпретациями их, образуя теоретическую основу всех
механических, дисциплин"
"В этой обширной области приложений-мы сможем упомянуть лишь о некоторых
достижениях прикладной математики2. Так,, например, задача приведения,
дифференциальных уравнений механики к канонической системе уравнений первого
порядка в случае стационарных связей была существенно продвинута уже в начале
века (1809) Пуассоном и вскоре (1834) решена Гамильтоном. Остроградский обобщил
эти уравнения на случай нестационарных связей. Он же свел интегрирование
канонической сТГСТемьГ'к интегрированию одного нелинейного уравнения с частными
производными. То же проделал и Гамильтон для частного.случая стационарных
связей, использовав оптико-механическую аналогию.
По установившейся традиции математический аппарат меха(tm) ники, связанный'С
рассмотрением основных, принципов этой науки, целиком включается в последнюю.
Присоединимся :к этому и мы, хотя в этой области разделить математику и механику
едва ли возможно" Отметим лишь, что методы математического анализа были и
остаются ведущими в решении крупнейших проблем механики: движения тяжелого
твердого тела, теории устойчивости равновесия и движения, колебания материальных
систем и т. п.
Усовершенствование оперативных средств теории дифференциальных уравнений.
Приложения методов математического анализа образовывали 'важные части смежных
научных дисциплин, раскрывая перед ними и перед всем математическим
естествознанием новые перспективы развития и изменяя их состав и структуру.
Особенно это было заметно в развитии математических методов механики и физики. В
свою очередь процесс широкого развертывания прикладных частей оказывал влияние
на структуру самого матема-тического анализа.
1 Богатый материал по историй вариационных принципов содержится в сб.:
"Вариационные принципы механики". М., Физматгиз, 1959.
2 В XIX в. было принято делить математику на чистую и прикладную.
:356
Что касается классической основы математического анализа, т е дифференциального
и интегрального исчисления и элементарной' теории функций, то, как было показано
в предыдущей главе, она подверглась коренной перестройке. В ней были строго
сформулированы
в терминах арифметики основные понятия: бесконечно
малой, непрерывности, предела, дифференциала и др. Понятие-функции. приобрело
современный, весьма общий, характер. Теоремы'- получили уточненные формулировки
с обязательным указанием ограничительных условий: уточнение области значений
аргумента, вида функций и т. п., при соблюдении которых они являются
справедливыми. Оперативные возможности этой части анализа в результате
перестройки значительно расширились, а выводы приобрели большую степень
достоверности.
В' 'теории дифференциальных уравнений усиление их приклад-ной роли оказалось
также связанным с постановкой более широких проблем и выработкой более общих
понятий. Так, уже в первой половине XIX в. в теории обыкновенных
дифференциальных уравнений практически прекратились попытки отыскания
.конкретных' приемов интегрирования в квадратурах.' 'Выяснилось, что отыскание
таких приемов - явление редкое, а возможности - незначительные. Были добавлены
лишь немногие факты, в частности относительно уравнения Якоби (1842):
(Ах + By + С) dx + (А,х + Вгу + Сг) dy + (А^х + В2у + С2) X
X (xdy - ydx) = 0.
Среди многочисленных исследований в этой - области -заметное
место занимают те, где изучаются- возможности получения решения уравнения, если
отправляться от известных в некотором числе его частных интегралов. Например, в
1878 г. Дарбу доказал, что уравнение
*~~- • ""'"
менее
где L, М, N - целые многочлены, высшая степень которых т, мо-Ж6Т Ь
еН° без пРименения квадратур, если известно не h 2 его частных
алгебраических интегралов. Значительный
вклад в разработку этого направления внесли, в частности, математики
России: Ф. Г. Миндинг, А. Н Коркин В П Ермаков и др.
" • • г
(tm)(tm)ВиДН°е МеСТ° заняли также проблемы вывода условий интеЛ | грируемости и
выделения классов уравнений, интегрируемых в М квадратурах. Укажем в
качестве примера вывод Лиувиллем усло-ным пНГГрИруем°сти спеЧиального уравнения
Риккати. Характерным в этом плане являются и выведенные Чебышевым (1853) условия
интегрируемости биномиального дифференциала.
Постановка и решение более общих проблем приводят, как правило, к расширению
круга понятий. Примером может служить теория линейных дифференциальных
уравнений. Частные виды этих уравнений с переменными коэффициентами: уравнение
Бесселя (известное, впрочем, еще Даламберу и Эйлеру), гипергеометрическое
уравнение
х (1 - х) у" +'[с - (а + b + 1)х] у' - abx^O
(служившее, в частности, предметом исследований Эйлера в 1778 г. и Гаусса в 1812
г.), уравнения Лежандра, Ламе и др. - приводили к возникновению теории
специальных функций: цилиндрических, шаровых и т. п" Работы Штурмана и Лиувилля
по решению уравнения
при заданных значениях некоторой линейной функции от у и у' в двух точках оси х
положили начало исследованию по теории краевой задачи, названной по имени ее
исследователей. Оказалось, что решение этой задачи приводит к необходимости
развить теорию интегральных уравнений и теорию разложения функции по
фундаментальным функциям.
Дифференциальные уравнения с частными производными в своем развитии всегда
сохраняли самый тесный контакт с задачами физики и техники. Как было показано
выше, наибольшее прикладное значение имели уравнения второго порядка. Поэтому и
в теоретическом плане они привлекали наибольшее внимание. Для них в первую
очередь были выделены канонические типы уравнений: гиперболические,
параболические и эллиптические. Накапливавшиеся методы, решения отдельных типов
уравнений подвергались систематизации и посильному обобщению. Эти методы в
огромной степени вбирали в себя факты вариационного исчисления, теории функций
комплексного переменного, тригонометрических рядов и других высших разделов
анализа. Именно в силу их практической значимости эти уравнения оказывались
центрами, где сосредоточивались результаты из различных областей математики. Тем
самым, в частности, создавались предпосылки для широких аналогий, характерных
для современного функционального анализа и общих теорий в области
дифференциальных уравнений.
Необходимо также упомянуть, что в то же время выявилось практическое значение
уравнений вида
Эти уравнения привлекали внимание Эйлера. Ими же занимался Монж. В начале XIX в.
их исследовал И. Ф. Пфафф. В 1814358
1815 гг. он сумел показать, что решение этого уравнения (получившего с тех пор
его имя) состоит из соотношений
Ф"(*1. ••• ,*/•) = 0 и d"S)t(xl9..., хп) = 0 (1=1, 2, ..., п).
Возникшая отсюда проблема Пфаффа интегрирования этого уравнения при минимально
возможном числе соотношений между аргументами Xi(i=l, 2,..,, п) вызвала и
вызывает широкое обсуждение. Помимо огромной роли проблемы в создании
геометрической теории дифференциальных уравнений и приложений последних к
геометрии она получила большое значение для. механики,, Оказалось, что
неголономные связи являются уравнениями Пфаффа между виртуальными перемещениями.
Уравнения Пфаффа нашли приложение и в термодинамике.
Якоби (он назвал, эти проблемы именем Пфаффа) получил многочисленные важные
результаты о характере интегральных многообразий этого уравнения. Коши (1819)
разработал метод характеристик, вслед за чем появился ряд сочинений по теории
характеристик для разных видов уравнений различных порядков.
В обстановке быстрого пополнения фактического состава и приложений теории
дифференциальных уравнений решающее значение, приобрела выработка общих, идей,
объединяющих и организующих по возможности большее число фактов. Формирование
подобных общих идей вообще составляло характерную черту математического анализа
XIX в. Особенно важное значение эта черта приобретала в теории дифференциальных
уравнений. Здесь уже нельзя было исходить из интуитивной убежденности в
существовании общих решений, которые остается только найти по возможности
наиболее удачным способом. Надо было доказывать существование решений, исходя из
известных элементов. Уже в начале века появились первые доказательства столь
характерных для современного анализа теорем существования. Они принадлежали
Коши. Эти теоремы были доказаны для дифференциальных ур&внений с учетом у
...Поділитися у соцмережах
