История и методология математики

сторінка №26

...словий
начального состояния, т. е. для задач, известных ныне как задачи Коши.
В лекциях по анализу, которые Коши читал в Политехнической школе, он дал решение
этой задачи в простейшей постановке. Дано обыкновенное дифференциальное
уравнение первого порядка: У -/(*, У). Доказать существование и единственность
его решения при заданных начальных условиях: х=х""; y = yQ. Коши доказал это в
области, где f(x, у) и -jj-f(x, у) непрерывны. При этом он отправлялся от
эйлеровского способа приближенного интегрирования: на отрезке оси абсцисс (х0,
X) наметил точки с абциссами о, 1,..., Xn-i, хп-Х. Из этих точек восстановил
ординаты:

359

Уп = У о ЧВершины
ординат определяют многоугольник, аппроксимирующий искомую интегральную
кривую. Остается доказать существование
предельной функции у=Птуп9 удовлетворяющей условиям задаП-"оо

чи Коши.
Это доказательство Коши усовершенствовал в- 1844 г. его ученик Ф. Муаньо.
Употребляемое ныне условие Липшица было введено последним в 1876 г., Вскоре Дж.
Пеано доказал теорему существования
хотя бы одного решения упомянутой задачи Коши в области, где f(x, у)
непрерывна,
Коши смог распространить свой метод доказательства теорем существования на
случай уравнения . . ,
y(n* = f(x, у, у',..., Г"'1)
при заданных X-XQ, у=-уо и соответственно yQ'(i=l9 2,.-.., п-1) путем сведения
его к системе, уравнений первого порядка. К 1842 г. Коши доказал теорему
существования для линейной системы уравнений с частными производными, указав
способ приведения к этому виду нелинейной системы. Окончательную, по выражению
Пуанкаре, форму теоремам существования придала С. В. Ковалевская (1874), которая
доказала теорему существования и единственности решений системы дифференциальных
уравнений
~тг~ = ot
х9 u
l9
ит)
(/=1, 2, .... m),
и, = щ (t, xlt xz, ... , xn)
(i = l, 2,..., m), при заданных начальных значениях
- t = t0, и, ="р,(*1, xt,...,xa) (i = l, 2, ... , т)
в случае голоморфности функций Д и фг-. При этих условиях Ковалевская доказала,
что система имеет для достаточно малых t - /о
360 ,
голоморфное решение, однозначно определенное начальными услоВИЯ
Наконец, Пикар в 1890 г. развил идею Коши и создал другой метод
доказательства теорем существования и единственности, основанный на
доказательстве сходимости последовательных приближений
У" ' . '
л
У! = Уо + J / (х, г/о) dx'
f (x* Z/fe-0 dx.
Теоремы существования имели в истории дифференциальных уравнений принципиальное
значение. Они решали вопрос о строгости, законности их применения. В то же время
методы последовательных приближений, применяемые при доказательстве
соответствую-'щих теорем, создавали основу для разработки методов численного
интегрирования дифференциальных уравнений.
К XX в. доказательства теорем существования сделались неотъемлемой частью многих
теоретических, исследований, вошли в норму математической строгости" В теории
дифференциальных уравнений много работ было посвящено различным обобщениям
теоремы Ковалевской: для случаев неаналитических функций, неаналитических
решений, проблемы единственности во всей области существования решения, а не
только локальной, и т. п.
Проникновение в теорию дифференциальных уравнений методов других математических
дисциплин. Начиная с 70-х -годов прошлого века теория дифференциальных,
уравнений пополнилась двумя направлениями, не потерявшими своей актуальности и в
наше время. Мы имеем в виду внедрение в эту область математики теоретикогрупповых
представлений и создание качественных методов.
Мы уже упоминали, что Ф. Клейн и С. Ли после обучения в Париже у Жордана
задались целью распространить данные теории групп на возможно большее число
областей математики. Клейн рассматривал непрерывные группы геометрических
преобразований и, исследуя свойства этих групп, в особенности их инварианты,
создал классификацию геометрических наук.
Ли в свою очередь связал (начиная с 1873 г.) теорию групп с исследованием
дифференциальных уравнений.
Каждому дифференциальному уравнению Ли считал возможным соотнести непрерывную
группу преобразований, относительно которой уравнение является инвариантом.

Группы, рассматриваемые при этом, содержат преобразования, определяемые
числовыми параметрами
x-*f(x, "!,..., ал). 361
Такого рода взаимно-однозначное соотнесение преобразований и систем параметров
справедливо лишь для малых преобразований. В зависимости от соответствующих
бесконечно малых преобразований Ли получил возможность составить классификацию
дифференциальных уравнений. При этом он выделил группу преобразований,
составляющих класс дифференциальных уравнений, интегрируемых в квадратурах. ,
Теоретико-групповая точка зрения, введенная Ли, доказала узость класса
дифференциальных уравнений, решаемых в квадратурах, и бесперспективность попыток
построения общей теории диф-• ференциальных уравнений в этом направлении.
Поэтому впредь до обнаружения возможностей приложений исследования непрерывных
групп в дальнейшем проводились в плане построения их общей теории. Из последней
выделилась теория групп Ли как таких групп, в которых произведение двух
преобразований имеет своими параметрами непрерывные функции параметров
преобразований-сомножителей
Точнее говоря, теория непрерывных, групп преобразований появилась именно как
теория групп Ли и приобрела, близкий к современному уровень общности лишь позже.
Прикладное значение теоретико-групповых концепций для .дифференциальных
уравнений проявилось в математической физике. Уравнения классической механики,
как известно, инвариантны относительно преобразований Галилея. Противоречия,
обнаружившиеся в электродинамике движущихся тел с результатами классической
механики, разъяснились после введения лоренцевых преобразований. Эти
преобразования
tк'

нашел в 1887 г. В. Фохт. Он же доказал инвариантность относительно этих
преобразований волнового уравнения
(Аи - оператор Лапласа).
Лоренц (19041_ открыл, что если преобразования Галилея, т. е. повороты,
переносы начала и преобразования вида
xf = к.- vt\ у' •= у\ г* = z\ t' = t, 362
А. М. Ляпунов (1857-1918)
где использована идея мгновенной передачи взаимодействия тел заменить
преобразованиями Лоренца, то указанные противоречия могут быть устранены.
.Пуанкаре в свою очередь показал, что преобразования Лоренца образуял-группу.
Идея рассмотрения классов дифференциальных уравнений с различными группами
преобразований получила тем самым практическое воплощение.
Под давлением прикладных задач, в частности задач небесной механики, возникла и
развивалась качественная теория дифференциальных уравнений. Как ни велики были
успехи в решении различных классов дифференциальных уравнений, ни один из
методов не мог помочь в решении старых задач о движении трех тел,, подчи363

ненных законам ньютонианской механики. Работы Ли подтвердили невозможность
решения соответствующих дифференциальных уравнений в квадратурах. Методы
приближенного решения давали лишь частное решение заданной задачи,
соответствующее заданным начальным условиям на конечном интервале. Поведение
интегральных кривых во всей области существования, как того требовали проблемы
небесной механики, не помогал выяснить ни один из методов.
Пуанкаре в серии мемуаров, начатых в 1878 г. и известных под общим названием "О
кривых, определяемых дифференциальными уравнениями", исследовал проблему, можно
ли и как охарактеризовать поведение семейства интегральных кривых уравнений
y'=f(x" У} или системы
dx , , dy t "
'
---- fr\ i у 111* ---- fЛ / V 111
.._ ----уу v " i/ 7 " ---- т 2 v "
7/
на всей плоскости, исходя из свойств функций i/, или cpi и ф2.
Вообще многие из работ А. Пуанкаре посвящены дифференциальным уравнениям. Помимо
проблем небесной механики он исследовал задачу о колебании трехмерных
континуумов, изучил ряд задач теплопроводности, теории потенциала,
электромагнетизма и т. д. В ходе этих, исследований Пуанкаре существенно
обогатил совокупность оперативных средств теории дифференциальных уравнений. Он
изучал разложения: решений дифференциальных уравнений по малому параметру,
доказал асимптотичность некоторых рядов, выражающих решения дифференциальных
уравнений с частными производными, исследовал особые точки. По-видимому,
практические задачи послужили для него толчком и к разработке качественных
методов.
В математике качественными называют методы, дающие возможность выявить
особенности искомого решения задачи, существование и количество решений и их
особенности, не проводя ее численного решения.
Методы Пуанкаре были в основном геометрическими, точнее, топологическими.
Рассматривая семейство интегральных кривых, Пуанкаре выделил особые точки и дал
их классификацию. Он исследовал специально характер поведения интегральных
кривых в окрестности особых точек. Для особого вида интегральной кривой -
замкнутой, к которой приближаются по спиралям близкие кривые семейства, Пуанкаре
ввел название предельного цикла. В качестве одной из задач, решаемых
качественными методами, он изучил интегральные кривые, заданные на торе.

Пуанкаре дал первые приложения качественных методов к задаче трех тел. Позднее
его исследования о предельных циклах получили применение в радиотехнике (работы
А. А. Андронова).
Успех топологических методов Пуанкаре был облегчен наличием предпосылок в виде
развитых геометрических идей в теории функций комплексного переменного и в
дифференциальной геометрии,

364

также идей теории множеств Г. Кантора. Своеобразие примененных Пуанкаре методов
состояло в том, что они соединили теорию дифференциальных уравнений с
топологией. Это вело в свою оче-оедь к формированию топологии как особой отрасли
математики,
в первую очередь в упомянутых нами выше работах Пуанкаре. Внутри же теории
дифференциальных- уравнений за качественными методами укоренилось название
топологических.
Почти одновременно с Пуанкаре качественные методы были введены в работах А. М,
Ляпунова (1857-1918). Воспитанник Петербургского университета и ученик П. Л.
Чебышева, он приступил в 1882 г. по совету своего учителя к решению конкретной,
но трудной астрономической задачи: исследовать возможность существования фигур
равновесия вращающейся жидкой массы, отличных от эллипсоидальной. Вскоре круг
его исследований расширился, охватив проблему устойчивости равновесия и движения
механических систем, определяемых конечным числом параметров, теоршо\ч/
потенциала и др.
Общую проблему устойчивости, о которой мы только что упомянули, Ляпунов свел к
исследованию качественными методами поведения решений системы обыкновенных
дифференциальных. уравнений
___ :-- /" (•&]_, Xj" . . . , Xfl, I) • (I
-~- 1, ^*, . . . , /X),
at
где'/7! - при малых Xi разложимы в сходящиеся ряды по целым степеням хь. и
F,(0, О,..., 0) = 0.
Ляпунов отказался от введения линеаризации уравнений путем отбрасывания всех
нелинейных членов для выяснения вопроса об устойчивости движения. Устойчивость,
по Ляпунову, связывалась с поведением по отношению к возмущениям начальных
данных. В докторской диссертации 1892 г. "Общая задача об устойчивости движения"
Ляпунов строго определил основные понятия теории "Устойчивости, выделил случаи,
когда линеаризация дает решение вопроса об устойчивости, исследовал ряд случаев,
где линеаризация была недостаточной. В связи с этим Ляпунов решил многие вопросы
теории обыкновенных дифференциальных уравнений: о существовании и эффективном
построении периодических решений одного класса нелинейных дифференциальных
уравнений, поведение интегральных кривых уравнений в окрестности положения
равновесия и др.
воряде работ (1903-1918) Ляпунов дал решение задачи, ука-аннои ему Чебышевым, о
форме фигур равновесия равномерно устяЦаЮЩеЙСЯ жидкости в УСЛОВИЯХ
ньютонианского тяготения. Он весия°ВИЛ существование близких к эллипсовидным
фигур равно-однородной и слабонеоднородной жидкости. Оказалось, что

365

невозможно отделить неэллипсоидальные фигуры равновесия от эллипсоидальных.
Ляпунов доказал неустойчивость принятых в астрономической теории грушевидных
фигур равновесия. Не перечисляя всех результатов, укажем лишь, что работы
Ляпунова по
устойчивости до сих пор содержат большую часть полученных в этой области фактов.
Они продолжают быть основоположными в развитии теории дифференциальных уравнений
и приложений ее к исследованию колебаний физических, и механических систем.
В современной математике, любая физическая: система, поведение которой вблизи
каждого состояния описывается системой диф" ференциальных уравнений вида
dt
!, *2, ... , *л) (i = 1, 2, ... , я, /- - время),
носит "название динамической системы. Общая теория динамических систем изучает
совокупность всех их движений, соответствующих всевозможным начальным
состояниям. Теория дифференциальных уравнений ко времени работ Ляпунова и
Биркгофа (последний начал разрабатывать общую теорию динамических систем в 1912
г.) оказывалась не в состоянии изучать ни решения задачи о движении динамических
систем во всей области определения, ни поведение решений вблизи особых точек.
Поэтому в общей теории динамических систем большое значение приобретают
качественные методы,
Применение качественных методов при этом облегчается геометрическими
представлениями динамических систем. Совокупность возможных состояний последних
трактуется как я-мерное многообразие, называемое фазовым пространством системы.
Точками этого пространства служат отдельные состояния Р динамической системы.
Совокупность всех движений динамической системы представляется как непрерывная
группа преобразований фазового пространства. Отдельное движение характеризуется
движением точки Р по ее траектории. Роль теории групп для теории динамических
систем настолько велика, что в настоящее время динамическую систему часто задают
именно как группу преобразований.
Общая теория динамических систем - актуальная область математики, выросшая из
практических, приложений теории дифференциальных уравнений.

История теории дифференциальных уравнений в XIX в. и ее .приложений еще слабо
разработана. Известно много фактов этой истории, правда весьма разнородных.
Общетеоретические закономерности прослеживаются еще с трудом. Настоящая глава
представляет одну из немногих попыток выяснения исходных пунктов и главных
закономерностей развития этой области математики. В ней: а) показано
возрастающее воздействие быстро усложняющихся задач практики на математический
анализ в его классиче366

ой постановке; б) указаны пути преобразования аппарата ана-°иза в особенности
теории дифференциальных уравнений и расши-ения области его приложений; в)
выяснены некоторые черты процесса появления и развития элементов общей теории
дифференциальных уравнений (теоремы существования, качественные методы'идеи
теории групп); г) отмечено налаживание связей теории дифференциальных уравнений
с другими областями математики (топологией, теорией групп, геометрией, теорией
функций), появление общих элементов и взаимопроникновение методов.
7,5. СОЗДАНИЕ ТЕОРИИ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
О предпосылках создания общей теории функций комплексного переменного.
Современная теория функций комплексного -переменного охватывает чрезвычайно
обширную область математики. 'Этим именем называют большую и разветвленную
совокупность математических дисциплин - теоретических и прикладных. Перечислить
все. эти дисциплины, тем более охарактеризовать их, - дело трудное и громоздкое,
даже если ограничиться одними аналитическими функциями, Привлечение к
исследованию функций неаналитических, но обладающих некоторыми свойствами
аналитических функций (мы имеем в виду теории функций квазианалитических и
моногенных, отображений внутренних и квазиконформных и т. п.) весьма расширяет
область рассматриваемой нами здесь теории и усиливает трудности анализа путей ее
формирования,
Для рассмотрения в настоящей .главе мы выберем вопросы, связанные с вхождением
в-математику мнимых и комплексных объектов,, обращая меньше внимания на свойство
аналитичности функции, т. е. представимости ее степенным рядом
Мы считаем себя вправе поступить так потому, что об истории класса аналитических
функций и связанного с этим классом аппарата степенных рядов мы уже приводили
некоторый материал.
Рассмотрим вначале вопрос о предпосылках создания теории Функций комплексного
переменного, накопившихся к XIX в.
Понятие мнимого, а затем комплексного числа известно в математике и используется
с давних времен. История его появления отражает ту общую черту развития
математических исчислений,
то введение и использование обратных операций ведет, как прави-вь
необходимости расширения числовой области. Так, введение
ычитания вынудило в конце концов дополнить натуральный ряд
ленногТеЛЬНЫМИ числами" Деление привело к расширению целочисоперани
РЯАа Д° множества рациональных чисел. В свою очередь
ния ©бшй извлечения корня явилась оперативной причиной введещего
п°нятия действительного числа. Частный случай, когда

367

речь шла об извлечении корня четной степени из отрицательного " числа, требовал
введения мнимых чисел.
Только в XVI в. в связи с алгебраическим решением кубиче4 ских
1/гр[ВТ1|енмй'|'^^кта:белли (1572) отошел от трактовки мнимых чисел как
таиш!тв^1Ш1И^Жй:вТ115Ж1Шх и выработал правила .арифметических, операций с
мнимыми числами.' Однако еще в течение очень долгого времени, несмотря на
некоторые удачные мысли (например, Валлиса) относительно интерпретации, мнимых и
комплексных чисел, их природа не была разгадана и к ним относились как к
некоторому сверхъестественному явлению в математике. Еще в 1.702 г. Г. В,
Лейбниц, писал, что мнимые числа - это прекрасное и чудесное убежище
божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием. Не было в истории
недостатка в подобных утверждениях о мистических свойствах мнимых и со стороны
других ученых.
• Неразъясненность понятия комплексного числа не могла заслонить их полезности в
решении конкретных задач. Большое количество накопленных фактов дало повод
математикам XVIII в, перенеси^ понятие мнимости и в область переменных величин,
Поскольку этбтТшр?^
то в зави......
симости от характера задачи мнимые величины представали перед исследователями в
разном "обличье": .физическом, геометрическом или же в аналитическом. Задачанаучной'интерпретации
комплексных чисел решалась сразу в разных планах, вместе с
обидим развитием математического анализа.
По-видимому, наиболее ранними в этом столетии были'попытки Лейбница и И.
Бернулли ввести операции с комплексными числами с целью достичь возможно более
общих результатов в интегрировании. Используя в этих целях разложение
подынтегральных функций на элементарные дроби, они широко "пользовались
аналогиями. Например, в 1704 г. И. Бернулли утверждал, что, поскольку применение
к дифференциалу
'adz
Ьа -2я
.подстановки
'+1 - ; •
преобразует его в так называемый логарифмический дифференциал
adt 2bt '
то применение к
• adz

368

I

мнимой подстановки
даст "дифференциал мнимого логарифм

Еще одна мнимая подстановка
1 -'-.
\г
"/--!/?"'
и помимо установленной только что
1зи между arctg - и о
Ln t = Ln
Ъ - 2 I//'.-Г
[ение:
И. Бернулли находит еще одно соотношу j
r_ , rf(arcsin6/r)= (- -
^К-дению фактов о мнимых ко-Подобные методы способствуют накопл.ы. Поэтому
понятно, что личествах, но не проясняют "их природьле- числа формально операкаждая
из попыток ввести комплексны?орой весьма- ожесточенным. тивным путем
приводила к спорам, пер о природе логарифмов от-В качестве примера упомянем
спорый начался, в 1712 г. между рицательных и мнимых величин, кото^ьицательных
чисел мнимыми, Лейбницем, считавшим логарифмы отричто они действительны. При и
И. Бернулли, настаивавшем на том, данный" им факт, что этом И. Бернулли опирался
на "доказал
даламбер и Эйлер.
В спор включились ряд ученых, в томпак в 1749 г. Эйлер открыл Однако он не утих
даже после того, к.кил убедительное для того многозначность логарифма и
предлож времени доказательство.
Эйлер исходил из уравнения
-'-о
т. е. в современной форме записи
fy.
JLY
/г ) '
13V,
2 К- А. Рыбников

369

Здесь, как мы уже упоминали, / - "бесконечно большое" число. Разрешая это
уравнение относительно у, Эйлер получил
т" е"
у = lux = i (xl - 1),
= In x = 1 im n (x n - 1).
Здесь х1 - корень с бесконечно большим показателем, Он беско-нечнозначен. Все
его значения различны; вообще говоря, они мнимые."Следовательно,-логарифм тоже
имеет бесконечное множество различных значений; которые отличаются на числа,
кратные 2я|/ -"i. В самом деле, •
Отсюда
•х ='а + Ь V- Г= р (cosф + V- fsin ф) =
= ес (cos ф + 'V- I sin ф).
+ (ф ± 2Ьс V- 1) ' (К = 0 , 1 , 2, 3, . . . ).
Одно из значений логарифма действительного положительного числа
будет /действительно, .остальные - мнимые. Значения логарифмов отрицательных
и мнимых чисел • - все мнимые.
Решающий толчок введению мнимых чисел в математический анализ- был дан тогда,
когда выяснилась их полезность в решении дифференциальных, уравнений
математической физики. .Это проявилось в сочинениях Даламбера (1752) и Эйлера
(1755) по гидродинамике. В этих работах были использованы результаты Эйлера
.(1734) и Клеро (1739), эквивалентные утверждению, что выражение -
'
Pdx + Qdy
является полным если
дифференциалом некоторой функции Ф (
дР
ду
дх
Даламбер решал задачу обтекания твердого тела жидкостью (однородной и без учета
веса). Обозначив pug - составляющие по осям скоростей частиц, протекающих через
точку М(х,. у), он нашел из сравнения их полных дифференциалов уравнения
дх
ду
dp___dq__ ^ Q
ду дх
которые интерпретируются как условия того, что pdx-\-qdy и pdy - q dx

370

полные дифференциалы. Эти уравнения были получены также
9 и л ером.

Теперь уже нетрудно определить пару сопряженных гармониях функций, являющихся
решениями системы уравнений Да46
тбера__Эйлера. Следовало лишь применить метод, предложеиЛа
Даламбером в случае уравнения колебания струны, Пусть
p dx + q dy - du,' p dy - q dx = dv.
Тогда
Отсюда
d (u + I7'-1 v) =-(p+ /-1(7) d (x + V- d (u - V- 1 v) = (p - 1/- 1 "7) d (x- V'yj.

y)
Сопряженные гармонические функции; как нетрудно теперь увидеть, представляют
действительную и мнимую части функции комплексного переменного.
Эйлер, получив аналогичный результат и не имея возможности дать ему подходящую
интерпретацию, выразил сопряженные гармонические функции в виде рядов по
однородным гармоническим полиномам/ представляя при этом комплексные .числа- как
в алгебраической, так и в тригонометрической форме,,
К середине XVIII в. в математическую практику вошли различные аспекты понимания
комплексного числа, как переменного, так и постоянного. Наибольшие заслуги в
этом принадлежат Эйлеру. Он же в серии монографий, посвященных общему построению
анализа ("Введение "в анализ бесконечно малых", тт. 1 - 2. "Дифференциальное
исчисление", "Интегральное исчисление", тт. 1 - 3), счел возможным включить в
общую систему и аналитические функции комплексного переменного. Во "Введении в
анализ бесконечно малых" (1748) Эйлер ввел комплексную переменную в качестве
наиболее общего понятия переменной величины, использовав комп-. лексные числа
при разложении функций на линейные сомножители. н ввел впервые формулы (приведем
их в привычной нам симво_

n - 1);
13V,

371

а также формулы связи между тригонометрическими и показательными функциями
cosy =
е+ь + i
slnv =
p+iv__e-iv

21

iv = cos v + i sin v.
Если-рассмотреть всю совокупность фактов, установленных Эйлером и его
современниками, то можно прийти к выводу, что основ-ные факты теории
элементарных функций комплексного переменного были в большей части уже выявлены,
Что касается дифференцирования и интегрирования, функций комплексного
переменного, то Эйлер, полагая
/ (х + iy) = и (х, у) + iv (х, у),
j
действовал, с ними, как с парами функций вещественного переменного. Кроме того,
в серии работ (1776-1783) он использовал комплексные числа при вычислении
интегралов. Не формулируя явно, он выделил класс аналитических функций
комплексного переменного, высказав относительно них принцип симметрии, состоящий
в том, что всякая функция-Z (г), где z=x+iy, имеет вид
а при г •==• х - iy
[Z(x-iy) = M-iN.
Если теперь рассмотреть интеграл
где
то
- iN)(dx - idy),
откуда
Как указывалось выше, условие, что подынтегральные выражения есть полные
дифференциалы, ведет к известным условиям Далам-бера - Эйлера
ду
_ дх ' -ду

372

дМ дх
В других случаях Эйлер использует
2 = u(cosq) + isinq").
Полагая здесь ф= const, он таким образом интегрирует вдоль луча, выходящего из
начала, координат.
Работа Эйлера "О лршхстявлшж*.^
плоскости" (.1777)- не только содержит идею, но и практически вво-ди^он^формное
отображение областей сферы на плоскость. Эйлер называл' эти отображения1^додв^^
Термин "конформный"
был впервые употреблен, по-видимому, петербургским академиком Ф.
Шубертом в 1789 г. Рассматривая долготу t и широту и сферической поверхности,
соответствующие декартовым координатам, х '.и у точек, плоскости, Эйлер вывел
общие условия конформного отображения в виде
dx_ = р du + г dt cos и ,
dy = г du - р dt cos и, откуда
dx + i dy = (р + if) № - i dt cos u)..

С помощью подстановки
это' преобразуется в
. dx + i dy = (р + ir} cos u dz.
Геометрически это соответствует: стереографической проекции сферы на плоскость
? = s(cost + t sin /),
преобразованию плоскости g посредством логарифма
е == ing = Ins + it,
зеркальному отражению в действительности оси z=e. Такое конформное отображение
сферы (без полюсов) на плоскость
называется проекцией Меркатора в картографии1. Поэтому
iy = 2Г (г) = 2Г (ins- ft), x-iy = 2Г (Ins + it),
^И- Маркушевич. Очерки...

Список сторінок

• #
• 1
• 2
• 3
• ...
• 19
• 20
• 21
• 22
• 23
• 24
• 25
• 26
• 27
• 28
• 29
• 30
• 31
• 32
• 33

Поділитися у соцмережах