Жанр: Наука
История и методология математики
...н. Непрерывные группы.
М.,
325
местился в теорию групп, подгрупп, колец, структур. В алгебре вступил в
свои права период современной математики.
Некоторые другие пути формирования современной алгебр*
Из богатой и разнообразной истории алгебры XIX в. мы выделил] сравнительно
небольшую область формирования некоторых ОСНОЕ ных понятий. Это сделано потому,
что в выделении немногих алгебраических, объектов -т-' группы, поля, а позже
кольца и структуры - и в создании соответствующих теорий отражаются главные
изменения, происшедшие в алгебре в течение XIX - начала XX в. Эти изменения
предопределили основные направления развития алгебры в первой половине XX в.
j
Более обстоятельное исследование истории создания, совре- | менной алгебры
связано с решением нескольких . историко-мате-^ матических задач.
Во-первых, необходимо проследить обогащение теории групп, а также теории других
основных алгебраических понятий фактическим материалом, позволяющим полнее
раскрывать их свойства,, Так, наряду с историей конечных и непрерывных,
бесконечных групп большой интерес в силу их важности для приложений вызывают
бесконечные дискретные группы.
Во-вторых,- перед исследователями встает задача раскрытия связей теории групп (а
также теории полей, колец и структур) с другими математическими дисциплинами.
Например" наметившееся внедрение теоретико-групповых рассмотрений в область
топологических свойств привело к тому, что теперь каждый топологический образ
характеризуется в известной мере своей фундаментальной группой, -в общем случае
бесконечной. Особенно велика, по-видимому, роль теории групп в теории узлов,,
частным: случаем которых являются косы,, Среди многих задач, которые здесь
предстоит решить, можно назвать, например, за/дачу подробного выяснения того
обстоятельства, что в топологических образах фундаментальные группы несут, повидимому,
функции, сходные с функциями групп Галуа в алгебраических полях.
История алгебры XIX в. будет неполной, если исследователь не обратит внимания,
в-третьих, на формирование линейной алгебры, выраставшей из теории систем
линейных уравнений и связанной с ней теории определителей и матриц. Во второй
половине XIX в. велись весьма активные исследования теории инвариантов
уравнений, т. е. выявления функций их коэффициентов, сохраняющих свои значения
при том или ином заданном классе преобразований. На этом пути развития выросла
более общая теория форм, нашедшая применение не только в алгебре, но и в других
областях математики: теории чисел, дифференциальной геометрии, алгебраической
геометрии, механике и др., а также в их приложениях.
Мы не смогли, наконец, выделить место для освещения истории гиперкомплексных
числовых систем Гамильтона и Грассмана, созданных в 1830-1840 гг., и для богатой
совокупности средств
учения векторных пространств, играющих ныне столь важную Иоль в исследовании
различных, казалось бы, математических теорий с единых, весьма общих позиций.
7.3. ПЕРЕСТРОЙКА ОСНОВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Усиление роли теории пределов. Математический анализ к XIX в. стал разветвленной
системой дисциплин и продолжал занимать центральное место в математике.
Неиссякающий поток новых теоретических результатов и непрерывно расширяющаяся
область приложений обусловили то, что в общей структуре математики особое место
заняли именно аналитические дисциплины.
Математическое естествознание обогащало свое содержание главным образом за. счет
анализа, в первую очередь дифференциальных уравнений. Методы анализа глубже
проникали в физику, не только в механику и оптику, но и в теорию электрических"
.магнитных и тепловых явлений. В механике были подвергнуты разработке кроме
точек и их систем непрерывные среды. Разнообразные области техники: паровые,
машины, артиллерия, техника строительства, и др. - получали новые методы
аналитического исследования важнейших задач. В связи с этим структура и338
В(х) в отрезке [0, а] не имеет конечной производной 1. И Кривая Больцано
была найдена во всяком случае до 1830 г. Однако долгое время считалось, что
первые примеры непрерывной; недифференцируемой функции дали в 1875 г.
Вейерштрасс:
со
ak cos (bknx)
3 V
(0".а"1, Ь - целое нечетное .число, а6"1 + - п\- и Дарбу
/г=0
В "Учении о функциях" Больцано построены и исследованы, и. другие сложные
функции. Он изучил непрерывные функции, имеющие , бесконечное множество
экстремумов. Таковы, например: ломаная
с угловыми точками '
| o)f ,А-Ч Г А,
' ;' !V 2 ' 2 / V 4 '
о
непрерывная в [О, 1] и имеющая в х=1 разрыв; функция
f (х) = sin log (I - х)
- на [О, 1] и др.
Исследованию у Больцано подверглись и разрывные функции,-Он построил функцию
Ф(х)9 которая на [-1; +1] принимает все
значения от -1 до +1 и имеет разрыв в каждой точке этого сегмента, определив ее
следующим образом:
Ф(х) = х для х вида 2т + 1
2п
Ф(0) = -1,
Ф (х) = - х для всех остальных х.
Другим примером может служить монотонная функция, имеющая бесконечное множество
разрывов. Она задана последовательностью отрезков, попарно соединяющих точки:
(О 0) f - - -L 1 V ( - М 1 ' Jf\2f 2/ V2 '
V' U 'Т/
О функции Больцано. "Усп. матем.
Y_Z_ 13 V (2-.
V 8 * 8 J' \ 8 '
f 15 19
\ 16 ' 16
В сочинениях Больцано и в особенности в его "Учении о функциях" содержится
большое число результатов, позднее вошедших
в состав теории функций действительного переменного,, Более того, в сочинении
"Парадоксы бесконечного", написанном Больцано в последние годы жизни и*
увидевшем свет в 1851 г., мы встречаем существенные суждения позднейшей теории
множеств. Так, дано обычно приписываемое Дедекинду определение бесконечного
множества как такого, которое равномощно своей правильной части. .Высказан
принцип, что всякое, бесконечное, множество точек на 'Сегменте имеет по меньшей
мере одну предельную точку. В позднейшее время возобновилась публикация
материалов из научного наследия Больцано, что дает возможность полнее
охарактеризовать его научные достижения,.
Построение теории действительного числа и теории множеств. Ж, половине XIX в.
была разработана теория пределов, построены элементы -современной теории функций
и теории множеств. Однако теория пределов получила признание не сразу.
Крупнейшие "математики Европы не использовали этот метод в своих работах
{например, Пуассон), предпочитая лейбницевское исчисление бесконечно малых.
Большинство английских математиков долго не воспринимали идей Коши, равно как и
общепринятой теперь символики анализа .бесконечно малых, введенной Лейбницем,
видя в этом чуть ли не оскорбление памяти великого Ньютона. Не было недостатка и
в критиках теории пределов.
При .ближайшем рассмотрении этого кажущегося странным обстоятельства
.оказывается, что большинство критиков теории пределов принадлежало к
математикам, чьи работы были посвящены, в основном или в большинстве,
приложениям. Содержание критики с течением времени определилось в двух
Направлениях. Во-первых, было обращено внимание на то, что с понятием предела
нельзя связать никакого алгоритма его нахождения. Многие понятия не могли быть
признаны из-за их описательности, отсутствия количественных оценок. Таковы,
например: "приближаться неограниченно", "сколь угодно малое", "последнее
отношение бесконечно малых приращений" и т. д. Основное для теории пределов
понятие устремления означает апелляцию к интуиции движения. В силу этих
недостатков применение теории пределов, особенно в задачах практического
характера, было в глазах многих современников Коши необычайно и неоправданно
затруднительно.
Во-вторых, в теории пределов были обнаружены логические пробелы, устранить
которые ее защитникам не удавалось. Примером такого пробела может служить
определение вещественного числа. Последнее определялось как предел
последовательности рациональных чисел. Например, У 2 рассматривался как предел
последовательности его неполных извлечений: 1; 1,4; 1,41; 1,414 ____ Но
я того чтобы так определять это число, надо предполагать су-Чествование его, т.
е. совершать логически порочный круг в суж-ниях. Неясным оставалось также
понятие бесконечной совокуп-^ости элементов, к которому приходилось прибегать.
Наконец, неразработанность теории функций, которую преодолевал неизвестный в то
время Больцанр, приводила математиков к ошибкам, аналогичных упоминаемым: выше
убеждениям, что непрерывности функции достаточно для ее геометрической
представимости и существования производной почти всюду или что сходящийся ряд
непрерывных функций представляет сам непрерывную функцию. Таким образом,
проблемы обоснования анализа выражались теперь в острой необходимости: а)
построения строгой теории /действительного числа, б) разъяснения и включения в
математику .понятия бесконечного множества, в) выявления полного объема класса
непрерывных функций и включения в общую классификацию возможно более широкого
класса разрывных функций. От преодоления этих трудностей зависели дальнейшие
успехи математического анализа.
И вот в 1872 г., в один и тот же год, появился ряд примечательных работ. В
журнале "Mathematische Armalen" была опубликована первая из работ Г. Кантора об
основаниях, арифметики. Вышло в свет сочинение Р. Дедекинда "Непрерывность и
иррациональные числа". Появились работы на эту тему Е. Гейне и Ш. Мерэ 1. Все
эти сочинения преследовали единую цель: дать -строгую- теорию действительного
числа. Тот же вопрос в течение •ряда лет разрабатывал Вейерштрасс в знаменитых
лекциях об .аналитических функциях.,
В указанных многочисленных исследованиях появились разновидности теории
вещественного числа, удовлетворяющие высоким требов аниям строгости. Дедекинд
определял действительные числа как сечения во множестве рациональных чисел" дав
совокупности всех действительных чисел (линейному континууму) геометрическую
интерпретацию в виде прямой •линии. Свойство непрерывности прямой, по Дедекинду,
состоит в том, что при сечениях будет находиться либо самая правая точка одного
класса, либо самая левая точка другого. Совокупность всех рациональных чисел
свойством непрерывности не обладает. Тогда вводится иррациональное число
(точка), как такое сечение множества рациональных чисел, в классах которого нет
ни самого правого, ни самого левого числа (точки). Так, У Дедекинда была введена
^совокупность всех действительных чисел, уже обладающая свойством непрерывности.
Канторово определение действительного числа идентифицирует последнее со
сходящейся последовательностью рациональных чиs
Я(tm)Н' С" ^' МегаУ- Cn- Nouveau precis d'analyse infinitesimal. Paris, ed. 179'
loo 7 E' Heine- Die Elemente der .Fimctionlehre, Brorchardt 1, LXXIV, •1/^-188
("Journal fur die reine und angewandte Math.", 1872).
сел 1. Это определение, как и предыдущее, опирается на абстракцию актуальной
бесконечности и основывается на анализе понятия непрерывности. Подход к
определению непрерывности был различен. Дедекиндово определение базируется на
упорядоченности множества рациональных чисел. Определение же Кантора включает
рассмотрение разностей, расстояний между элементами, что соответствует природе
приятия сходимости. Однако оба подхода к определению непрерывности эквивалентны,
поскольку вещественные числа строятся на основе системы рациональных чисел.
Воззрения берлинского профессора К. Вейерштрасса на природу действительного
числа составляли часть его общего плана построения математического анализа,
понимаемого в широком смысле, на возможно более строгих основах. Вейерштрасс
ввел в математический анализ много важнейших результатов: систематическое
использование понятий верхней и нижней грани числовых множеств, учение о
предельных точках, обоснование свойства функции, непрерывной на отрезке,
достигать своей верхней и нижней грани, построение функции, не имеющей
производной ни в одной точке, доказательство возможности разложения непрерывной
на отрезке функции в равномерно сходящийся ряд многочленов и др. В этой стройной
и строгой системе математического анализа примерно к 1880 г. был выработан
современный вид определений и аппарат доказательств, опирающийся на.условно--
дедуктивные суждения ("пусть задано е"0, тогда можно выбрать такое б"0, что
...") и соответствующий символизм. Теория действительного числа служит
Вейерштрассу (как и другим ученым) основой для всего здания математического
анализа.
Вейерштрасс исходит при этом из множества положительных рациональных чисел {av|,
которое он называет агрегатом. Агрегат обладает тем свойством, что сколько бы и
какие бы элементы агрегата ни суммировались (речь всегда идет о конечном, хотя и
сколь угодно-большом, числе элементов), их сумма не превышает заданных
границ/Примером агрегата может служить любая десятичная дробь. Пусть заданы два
агрегата {av} и {#v}, индентифицируемые
с числами b и Ь'. Берем аликвотные части единицы -
п
(п=\, 2, 3, 4,... или п=19 10, 100, ... все равно!). Может осуществиться один из
трех случаев: а) перебирая элементы агрегатов, мы
найдем, что - повторяется одинаково часто; б) и в) для некото-п
рого п величина — чаще повторяется в первом (соответственно п
втором) агрегате. Эти три случая соответственно означают b = b\ /, b"b'.
Объединение агрегатов дает сумму соответствующих
1 См. И. В. Арнольд. Теоретическая арифметика. М., Учпедгиз, 1938,
стр. 286.
чисел. Составление агрегата {av-a^}9 элементами которого являются все возможные
произведения элементов вида {ava^}, служит для определения умножения.
Все виды теории действительного числа опирались на рассмотрение множеств
рациональных чисел., Этим самым трудности, связанные с обоснованием анализа,
переместились в область логического,анализа .ряда натуральных чисел и вообще
множеств с бесконечным числом элементов. В самом же анализе к концу XIX в.
установился, в основном современный стандарт логической строгости в определениях
и доказательствах.
Создание теории бесконечных множеств и трансфинитных чисел принадлежит Г.
Кантору, профессору университета в Галле. Серия его работ на эту тему
последовала вслед за работами по теории действительного числа. Он доказал (1874)
неэквивалентность множеств рациональных и действительных чисел. Через несколько
лет (1878) в его трудах было введено общее понятие мощности множества,
разработаны основы отображения и сравнения множеств и.доказана равномощность
множества точек линейного континуума, и точек /х-мерного многообразия.
Систематическая разработка теории множеств""бвгяв--завершена Кантором в
последующие пять лет (1879-1884). При этом он ввел понятие предельной точки;
производного множества, пример совершенного множества, получившего его имя
(1883), высказал континуум-гипотезу и т. IL
Развитие теории функций 'Вейерштрасса, •• теории множеств Кантора протекало в
последние годы XIX столетия в обстановке острой критики и борьбы. Особенно
острыми были выступления берлинского профессора Л. Кронекера, ученика Куммера. В
вопросах оснований математики Кронекер, основные работы которого относились к
алгебре и теории групп, был приверженцем арифме-тизации математики. Это
означало'стремление свести все трудности, связанные с обоснованием любой области
математики, к натуральному ряду. Эта позиция Кронекера нашла яркое выражение в
утверждении, которое он неоднократно повторял, что целые числа создал господь
бог, а все остальное есть дело рук человеческих.
Разумеется, апелляция к верховному существу не означает ничего иного, как
проявление идеализма, метафизической ограниченности и других несовершенств в
философских воззрениях Кронекера. Кстати заметим, что эта узость и
ограниченность воззрений (а Кронекер с большой страстностью отстаивал их)
наносила большой ущерб научному творчеству самого Кронекера. Пуанкаре правильно
указывал на это обстоятельство, шутливо добавляя, что Кронекер добился
выдающихся результатов в математике только потому, что он нередко забывал о
своих философских убеждениях.
Построенная Кантором общая теория мощностей множеств, отображений, операций над
множествами, свойств упорядоченных
множеств составила впоследствии основное содержание абстрактной теории множеств.
Понятие предельной точки и связанное с ниш понятие замкнутости множества после
введения в 1902 г. А. Лебегом понятия меры множеств и исследований Э. Бореля
привели к созданию метрической теории множеств. Последняя послужила основой
общей теории интегрирования и тригонометрических рядов. Позднее она привела к
построению в работах А. 'Лебега, К. Каратеодори, Ф. Хаусдорфа и др. общей теории
меры.
М. Фреше (1906) и Ф. Хаусдорф (1914), исследуя введенное Кантором понятие
связности и другие примыкающие к нему,, развили топологическую теорию множеств
как теорию множеств,. расположенных в общих метрических и топологических
пространствах. Наконец, дескриптивная теория точечных множеств и связанная с ней
весьма общая классификация разрывных функций (классификация Бэра) ведут свое
начало примерно с 1900 г., от работ Р. Бэра и А. Лебега. •
Теория множеств оказала огромное'воздействие на развитие математики. Она
явилась основой современной теории функций действительного переменного,
топологии, алгебры и теории групп, функционального анализа и др. Методы теории
множеств широка используются в большинстве математических наук современности,
ГЭто, однако, не означает сводимости всей математики к теории \ множеств. В
самой этой теории еще при жизни Кантора обнаружились парадоксы, как, например,
парадокс относительно сущест-'вования множества всех множеств и др.
Вопросы обоснования теории множеств,, исследования пределов ее применимости
влились в XX в. в специальную науку - математическую логику, составляющую
важную часть оснований /"современной математики. Эта часть математики
(основания),,
) J№QK22&K^
и
Алогических J30j33?ejmft относительно "соде"ржа1щя"7 формы и связей (в том
числе^ внутренних взаимосвязей) математики, развивается в XX в. весьма бурно. Ее
выводы получают практические приложения, отражая рост научной и технической
практики человечества.
7.4. РАЗВИТИЕ АППАРАТА И ПРИЛОЖЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Дифференциальные уравнения - основное оперативное средство анализа. Аппарат
математического анализа в XIX в. представлял собой быстро разрастающуюся
совокупность приемов и методов решения весьма уже многочисленных задач. Все эти
методы можно еще было разделить на три большие группы, объединяемые в
дифференциальном исчислении, интегральном исчислении и в быстро обособляющейся
от последнего теории дифференциальных уравнений. Контуры формирующейся теории
функций комплексного переменного, теории специальных функций и т. п.
вырисовывались еще слабо.
Из многообразных, приложений математического анализа мы выделим те, которые
связаны с решением дифференциальных уравнений. Тем самым мы оставим в стороне
сравнительно элементарные приложения, сводящиеся к дифференцированию или
интегрированию функций, требуемому условиями задачи. Эти операции уже вошли в
широкую, сравнительно доступную область практики. Однако возросшая сложность
приложений нуждалась в более общих и мощных средствах. Таким средством явилась
совокупность методов решения дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так и
с частными производными., Решение дифференциальных уравнений являлось главным
оперативным средством анализа, а проблемы, связанные с этим решением,, -
основными научно-практическими проблемами.
В выделенной нами области математического анализа ярко проявляется определяющее
влияние задач математического естествознания, в первую очередь механики и
математической физики, и тесное взаимодействие теоретических и практических
исследований. Вокруг решения проблем математической физики группируются
сравнительно большие коллективы ученых, образуя научные школы. Крупнейшее из
таких объединений сформировалось в Париже в Политехнической школе. Задачами
математической физики здесь успешно занимались Пу^ассон, Фурье,^|?оши_идр.
В Париже получили научную подготовку русские математики В. ЯЛ^ШМ^^
Возвратившись в Россию,
они основали Петербургскую математическую школу, одним из главных направлений
которой была разработка, методов решения задач математической физики.
Несколько значительных центров научного исследования: в области прикладных
методов анализа сформировалось в государствах Германского союза. В Берлине таким
центром сделалась Берлинская политехническая школа, ведущая роль в которой
принадлежа л а_Л^Дирихле. С 20-х годов заметное место начал занимаТьГКенигсбергский
уь^вецситет^ связи с работами Ф. Неймана и его учеников по
математической 1$ШШШг1^то^ над созданием математического аппарата
электромагнитных явлений много трудился К. Ф. Гауссу сот|руд1шчестве^ с Веберрм.
Большая группа 1?сслед^вателей математических методов физики и механики имелась
в Англии: Грин, Стокс^Хожссш, Гамильтон, Максвелл... и др. Усилиями столь
большого количества ученых бьппгдостигнуто быстрое и значительное расширение
области приложений математического анализа. Рассмотрим некоторые стороны этого
процесса.
Создание аналитического аппарата для исследования электромагнитных явлений.
Одной из первых успешно разрешенных задач была задача построения математической
теории электромагнитных явлений. К XIX в. учение об электричестве и магнетизме
выделилось-в физике в самостоятельную область. В 1820 г.
стало известным открытие Эрстедтом действия тока на магнитную стрелку,
установившее общность разнородных, казалось бы, явлений. К тому же времени Био,
Савар, Лаплас, Араго, Ампер, Кулон и др. ввели необходимые основные понятия:
заряда, количества электричества, плотности электричества, законы взаимодействия
неподвижных зарядов и т. д. Задачи электромагнетизма повлекли в математическом
плане множество работ по исследованию притяжений точек по закону Ньютона и
электростатических полей. .
Методы решения задач небесной механики, в частности задач о притяжении небесных
тел по закону Ньютона, получили новую область применения. Переход в
исследованиях от точечных центров притяжения к непрерывному распределению
материи привел от рассмотрения потенциалов дискретного точечного поля к силовым
полям, образованным телами или непрерывно распределенной материей, Было введено
понятие потенциала поля и определено его выражение для простейшего поля,
образованного заряженной точкой А (а, 6, с) массы т:
(где г= V (х-а)2 ,+ (у-b)2+(z-с)2, Y - постоянная-притяжения, р(х, ///г) -
притягиваемая точка). Вскоре же были найдены выражения потенциала для системы
притягивающих точек, а затем для поля с непрерывным распределением притягивающих
масс в объеме со: '
Vp(x, у, *) =
р (а , Ъ, с) do
(СО)
(р(а, Ь, с) - плотность распределения).
Еще в 1787 г. Лаплас показал,, что в пространстве вне тела потенциальная функция
удовлетворяет уравнению
дх2
[
ду2
,\
dz2
Впрочем, это уравнение встречалось еще у Эйлера, а понятие о силовой функции,
дифференцирование которой по направлению давало бы ньютоновские силы притяжения,
ввел в 1773г. Лагранж, оформив тем самым идею силовой функции, которую
высказывали еще Д. Бернулли, Эйлер и Клеро.
Математическая теория электрического потенциала сформировалась сравнительно
быстро. Ряд задач о распределении электричества на поверхности проводников решил
Пуассон, вообще основательно разработавший многие отделы современной ему
математической физики: капиллярность, изгибание пластинок, электростатическую
магнетостатику, теплопроводность. Около 1813 г, он распространил уравнение
Лапласа на пространство, заключен346
ное внутри притягивающего тела, и вывел широко известное теперь уравнение
дх2 ду2
Пуассон решил много задач магнетостатики. При этом он факта" ческ^~;• опирался
на понятие потенциала, однако ввел это важное понятие_не он. Общая постановка
теории потенциала появилась в
трудах ~
'ТршГизложил свою теорию в сочинении "Иобдедогаше по математической теории
электричества и магнетизма^ (1828).\3десь он исследовал центральную проблему
электростатики тогд/времени: задачу о. распределении электричества на
поверхностиТпроводника, которое индуцируется воздействием внешних электрических
сил.. В основе рассуждений Грина лежало соображение, что электрические и
магнитные силы могут быть определены через функцию координат, такую, что
составляющие этих сил по осям суть ее частные- соответствующие производные,
взятые с обратным знаком. Потенциальная (как ее здесь впервые назвал Грин)
функция определяется распределением зарядов. Грин вывел далее'интегральную
теорему, известную ныне как формула Грина, показал, что значение потенциала
внутри "или вне любой поверхности выражается через значение потенциальной
функции и ее нормальной производной на этой поверхности.
Выражение поверхностной плотности р, по Грину,
dv 1
1 Г dv , dv I
-------------------------- -........."_ ^^ t
4Л \ ды (5(0. J
где в скобках помещены нормальные производные потенциала на
противоположных сторонах поверхности. Если речь идет о провод.....
нике, поле внутри которого, а следовательно и нормальная .производная,
отсутствует, то
Р -; -
dv
4jt
(теперь пишут: ? = 4яр, где Е - напряженность поля). Наконец, Грин ввел так
называемую функцию Грина, интерпретирующуюся как потенциал внутри замкнутой
заземленной проводящей поверхности, если туда помещен единичный заряд.
В несколько более общей форме и, по-видимому, независим^) от Грина построил
общую теорию потенциала Гаусс. Он сдела) это в работе "Общие теоремы
относительно сил притяжения и\ отталкивания ... действующих обратно
пропорционально квадрату расстояния" (1840). Функцию
v =
1 т
где т могут представлять как обычные массы, так и электрические или магнитные
заряды
...Поділитися у соцмережах
