История и методология математики

сторінка №30

...енных высших учебных
заведений.
Научные интересы Остроградского развивались в тесной связи с актуальными для
парижских математиков проблемами. Даже большинство работ он написал и
опубликовал на французском языке.
Собрание сочинений М. В" Остроградского на русском языке было издано только в
1.959-1961 гг. Академией наук УССР.
Так же, как и его современники (Фурье, Лаплас, Коши, Пуассон и др.),
Остроградский основные усилия направлял на решение прикладных проблем:.
Большинство его работ относилось к области механики, математической физики и
связанных с ними проблем математического анализа. Кроме того, он оставил после
себя первоклассные работы по алгебре, теории чисел и теории вероятностей,.
Центральное место в научной деятельности Остроградекого занимают его работы по
математической физике. Построение математической теории разных явлений природы
было в центре внимания крупнейших парижских математиков в то время, когда Б •
Париже учился Остроградский. В 1822 г.- появилась "Аналитическая теория тепла"
Фурье, в 1825 г. завершен выход в свет пятитомной "Небесной механики" Лапласа, в
1826 г. была- издана "Теория электромагнитных явлений" Ампера. В 1826 г,, была
написана и первая работа Остроградского (опубликована в 1832 т.). • Она- была
посвящена задаче о распространении воли на поверхности жидкости в цилиндрическом
бассейне. Несколько позже (1829) Остроградский решил ту же задачу для бассейна,
имеющего форму кругового сектора.
Вернувшись в Петербург, Остроградский опубликовал "Заметку об интеграле,
встречающемся в теории притяжения", где он дал оригинальный вывод уравнения
Пуассона, который он нашел и сообщил Коши еще в 1826 г. Вслед за тем он посвятил
несколько мемуаров математической теории тепла. Здесь он развил метод Фурье для
твердых тел в общей форме, а также впервые дал строгое решение задачи о
распространении тепла в жидкости. Его заметка "О теории теплоты" .(1828 г.,
опубликована в 1831 г.) содержит обобщение метода Фурье. Это обобщение состоит в
основном: а) в определении характеристических чисел краевой задачи и
соответствующих им фундаментальных функций (вообще говоря, не
тригонометрических); б) в исследовании разложимости функций в ряд ,по
фундаментальным функциям. При этом Остроградский открыл свойство попарной
ортогональности фундаментальных функций, а также нашел формулу разложения по
фундаментальным функциям
/(*,#, г) =?Jlll^
аи ш

413

Здесь у Остроградского интегралы, разумеется, тройные по области, содифференциал
объема, и - фундаментальная функция, соответствующая данному
слагаемому суммы, а отношения интегралов - обобщенные коэффициенты Фурье.
Особенностью этой работы Остроградского является также то, что он опирается на
упоминавшийся нами принцип локализации. Доказательство общего разложения по
фундаментальным функциям не проведено строго. Впрочем:, последующие обобщения
метода Фурье,- достигнутые в работах Ламе и Дюгамеля, обладали еще меньшей
общностью и доказательностью, чем у Остроградского.,
Многие сочинения Остроградского 'посвящены решению других задач математической
физики: о намагничивании разобщенных брусков, о притяжении сфер и сфероидов, об
интегрировании уравнений малых колебаний упругих сред и т. п.
С исследованиями по математической физике связана также •большая группа работ
Остроградского в различных областях механики. Н. Е. Жуковский, знаменитый
русский математик и механик, делит эти исследования Остроградского на три части;
относящиеся к анализу "принципа виртуальных перемещений и вариационных принципов
механики, к решению дифференциальных уравнений механики и посвященные частным
задачам механики. В частности., среди обобщений принципа Лаграюка. находятся:
распространение этого метода на системы с освобождающимися связями, общий метод
нахождения скоростей упругих точек при ударе о жесткую связь и др. Имеются и
работы чисто прикладного характера по баллистике и артиллерийской технике,
В области математического анализа Остроградскому принадлежат большие открытия.
По большей части эти открытия связаны с его прикладными, работами и возникли как
усовершенствования,-необходимые для достаточно общей постановки задачи. Так,
например, знаменитая формула Остроградского
ЯК-?-
ду
•+J*L}"iv= Г Г Pdydz + Qdzdx + Rdydx
dz I JJ
была выведена впервые в 1828 г. Ее обобщение на случай я-крат-ного интеграла
было в 1834 г. найдено Остроградским для определения вариации кратного
интеграла. В статьях по вариационному исчислению находится также важная формула
дифференцирования кратного интеграла по параметру
- Udxdydz ... = ;* J
да
ds
dxdydz ... -
da
/CtHv)

414

где параметр входит как в подынтегральную функцию U, так к в уравнения,
определяющие границу S области интегрирования L.
В статье "О преобразовании переменных в кратных интегралах" (1836, опубликована
в 1838 г.) дан метод, употребляющийся и в наше время.
Ряд статей Остроградского посвящен теории интегрирования' алгебраических
функций. Например, в них доказано, что алгебраический интеграл от рациональной
функции может быть только ра-г циональной функцией. Это вытекает (при я=1) из
более общего-1 результата, доказанного Остроградским: пусть дана рациональная
функция R(x, у), где
Если при этом /Я(х, y)dx есть алгебраическая функция, то он является целой
рациональной функцией от у степени я- 1, коэффициенты которой - рациональные
функции от х. Доказано также, что интеграл от алгебраической функции не может
содержать ни показательных, ни тригонометрических функций. Найден способ
отделения алгебраической части интеграла от рациональной дроби* без оснований
называемый теперь в учебниках "(Правилом Эрмита"..
Эти и многие другие результаты Остроградского в области; теории интегрирования
помимо их связи с прикладными задачами отразили новый этап развития
интегрального исчисления. Мы уже указывали, что выделение класса функций,
интегрируемых в элементарных функциях," в основном было завершено во времена
Эйлера и в значительной части благодаря его усилиям. Новая •проблематика
состояла из более общих проблем относительно природы классов функций,
получающихся при интегрировании того или иного класса функций: рациональных,
алгебраических, элементарных, трансцендентных и т. д. Помимо Остроградского в
этой области работали Абель, Лиувилль и др. Их результаты временами были близки,
а иногда даже перекрывались. В последующем общая теория интегрирования была
успешно продвинута П. Л. Чебы-шевым.
В плане обзора работ Остроградского по математическому анализу укажем еще на
некоторые его результаты в области теории дифференциальных уравнений. В 1838 г.
он опубликовал "Заметку о линейных дифференциальных уравнениях", где для
уравнения вида
вывел определитель, называемый теперь детерминантом Вронского (Г. Вронский
(1775-1853) ввел этот детерминант в 1812 г.),

415

W(x) =
У 1
У 2
У 2
Уп У'п
{y\j У29 ..., Уп - частные интегралы уравнения).
Ранее (1835) Остроградский внес улучшения в метод Ньютона •приближенного решения
системы дифференциальных уравнений.
В связи с задачей интегрирования рациональных дробей Остроградский нашел новый
способ выделения кратных корней многочленов. Его "Лекции по алгебраическому и
трансцендентному анализу" (1837) сыграли большую роль в развитии математического
образования в России.
В сфере научных интересов Остроградского находилась и теория вероятностей,
которой он посвятил шесть статей в разное время (от 1834 до 1859 г.). В них он
исследовал вопросы теории страхования, азартных игр, статистического контроля
качества продукции, производящие функции и другие актуальные для его •времени
вопросы теории вероятностей, подходя к ним с позиций практических приложений. Не
избежал он в одной из своих работ и характерных для математиков того времени (в
первую очередь для Лапласа) заблуждений, состоящих в необоснованном приложении
соображений теории вероятностей к решению вопросов судебной практики и других
специальных проблем,, Другой определенной его ошибкой было пренебрежительное
отношение к работам Лобачевского,, Эта ошибка замечательного математика учит,
как недопустимы в науке проявления теоретической ограниченности,
невнимательности или самомнения, как вредят они развитию науки. Их: нельзя
оправдать никакими, даже самыми большими; .заслугами, ни теоретическими, ни
практическими.
Виктор Яковлевич Буняковский (1804-1889) также получил высшее математическое
образование в Париже, где в 1825 г. ему была присуждена ученая степень доктора
математики. Возвратился он в Россию в 1827 г. Долгие годы был профессором
университета и других высших учебных заведений Петербурга. Вскоре после приезда
Буняковский был избран (1828) адъюнктом, а затем (1830) академиком. С 1864 г. и
почти до самой смерти он являлся вице-президентом Академии наук.
В большом и разнородном научном наследии Буняковского (ему принадлежит около 130
работ) имеются важные научные результаты. В работах по теории чисел (их более
40) мы встречаем доказательства квадратичного закона взаимности, решение ряда
задач диофантова анализа, учения о простых числах и т. д. Более 20 работ
Буняковский посвятил теории вероятностей и ее приложениям. Он решил многие
важные задачи, возникавшие при организации страхового дела, ссудных касс,
анализа народонаселения России (таблицы и эмпирическая формула смертности,
подсчеты

416

призывныхконтингентов и др.), промышленности. В качестве государственного
эксперта по статистике и страхованию (с 1858 г.) Буняковский оказал большое
содействие проникновению математических методов в практику хозяйственного
строительства. Написанные им "Основания теории вероятностей" (1846) охватили все
отделы теории вероятностей и ее -приложений и явились первым большим
руководством по этой науке в России.

В работах Буняковского по "анализу решено большое число конкретных задач в части
теории интегрирования, сходимости рядов и т, д. Ему, в частности, 'Принадлежит
(1859) честь открытия известного неравенства:
- ъ
ъ
ь
{11 (х) • Ф (х) d*]a " j Г (х) dx • J "р* (х) dx,
'а
а
а
которое иногда называют неравенством К. Шварца, хотя последний нашел и
опубликовал его лишь через 16 лет после Буняковского, Геометрические
исследования. Буняковского в основном посвящены проблемам оснований геометрии.
Он тщательно исследовал историю доказательств постулата о параллельных, тонко
обнаружил несовершенства всех этих доказательств. Однако к работам 'Лобачевского
Буняковский отнесся отрицательно, разделив ошибку Остроградского, и продолжал
искать логически строгое доказательство постулата. Неевклидова, геометрия
представлялась ему логически немыслимой.
Работы Буняковского, как и подавляющего большинства математиков XIX в.,
оказались забытыми, влившись и трансформировавшись в некоторый обобщенный опыт
науки. Освоение и обобщение этого опыта для математиков нашего века является еще
далека не полностью решенной задачей. Но в то.время (к середине XIX в.)
деятельность Остроградского и Буняковского, их учеников; многие из которых стали
крупными, специалистами в различных областях математики и техники, определила
новый подъем математики в России, особенно в Петербурге. Начал складываться
коллектив творчески работающих математиков, ведущее место в котором к концу
жизни Остроградского занял .приехавший из Москвы П. Л. Чебышев.
Чебышев (по его собственному указанию надо произносить Чебышов) Пафнутий Львович
(1821-1894) окончил в 1841 г. Московский университет. На конкурсе студенческих
работ за сочинение на тему "Вычисление корней уравнений" он был награжден
серебряной медалью. Будучи оставлен при университете, защитил в 1846 г.
магистерскую диссертацию:-"Опыт элементарного анализа теории вероятностей". В
следующем году Чебышев переехал в Петербург и начал работать в университете. При
этом университете он защитил в 1849 г. докторскую диссертацию "Теория сравнений"
и работал в течение многих лет (1850-1882) профессором. Деятельность Чебышева в
Академии наук началась в 1853 г., когда

417

П. Л. Чебышев (1821-1894)
его избрали адъюнктом. Рост научного авторитета Чебышева был в дальнейшем
отмечен избранием в число академиков (в 1856 г.- экстраординарным, в 1859 г. -
ординарным).
В научном наследии Чебышева насчитывается более 80 работ. Оно оказало огромное
влияние на развитие математики, и в особенности на формирование Петербургской
математической школы. Для работ Чебышева характерна тесная связь с практикой,
широкий охват научных проблем, строгость изложения, экономность математических
средств в достижении крупных результатов.
Более конкретное изучение творчества Чебышева в настоящее время облегчается тем,
что Академия наук издала полное собрание его сочинений. Помимо этого, в 1945 г.
был выпущен в свет

418

сборник "Научное наследие П. Л. Чебышева". Два тома этого сборника составлены из
обзорных статей, в которых характеризуются труды Чебышева по математике (1-й
том) и кинематике механизмов (2-й том).
Математические результаты Чебышева в основном распространяются на четыре
области: теорию чисел, теорию вероятностей, , теорию наилучшего приближения
функций и общую теорию полиномов, теорию интегрирования,,
Деятельность Чебышева в области теории чисел началась в 40-х, годах, прошлого
века. Академик Буняковский привлек молодого ученого к комментированию и изданию
сочинений Эйлера по теории чисел" Одновременно Чебышев готовил монографию по
теории сравнений и ее приложениям в качестве докторской диссертации. К 1849 г.
обе эти задачи были выполнены и соответствующие книги опубликованы.
В качестве приложения к,"Теории сравнений" Чебышев опубликовал, в частности,
мемуар "Об определении числа простых чисел, не превосходящих данной величины".
Вскоре появилось еще несколько статей Чебышева на. эту тему.
Проблема распределения простых чисел, в ряду натуральных чисел -одна из самых,
старых в теории чисел. Она известна со времен древнегреческой науки,, Первый шаг
к ее решению сделал Евклид, доказав теорему, что в натуральном ряду имеется
бесконечно много простых чисел,, До тех пор, пока Эйлер не привлек средства
математического анализа, ее решение практически не продвигалось. Эйлер сумел
дать новое доказательство этой теоремы, "сходя из определения, дзета-функции:
р=2 1 -

00

(п - натуральные, р - простые) и соображений, что сумма У] -
п=1
при 5"1 и s-"l неограниченно возрастает. Следовательно, произведение
имеет неограниченно большое число сомножителей. Лишь в 1837 г. Дирихле обобщил
теорему Евклида, доказав, что в любой арифметической прогрессии {a + nb}y где а
и Ь взаимно просты, содержится бесконечно много простых чисел. В 1798 - 1808 гг.

Лежандр, изучив таблицы простых чисел до 106, вывел эмпирически, что число
простых чисел в отрезке [2, х] выражается формулой

419

7 Jn*-l-, 08366
Чебышев доказал, что формула Лежандра неверна, глубоко исследовал свойства
функции п(х) и показал, что истинный порядок
х роста этой функции тот же, что и функции -----. Более того, им
были даны точные оценки
0,92129" -*1*L" 1,10555.
\пх
Это открытие Чебышева произвело огромное впечатление.
.Многие математики работали над усовершенствованием его методов и улучшением
результатов. Сильвестр в статьях 1881 и 1892 гг.
сузил вышеупомянутое неравенство:
0,95695 " -2J(*L " 1,04423..
In х
Дальнейшие приближения получили Шур (1929) и Брейш (1932). Чебышев нашел также
интегральные оценки п(х). Ему удалось доказать, что с ростом х значение функции
л(х) колеблется
около
J In г

2

-, удовлетворяя бесконечно много раз неравенствам
In z
\пп х
Только в 1896 г. Адамар и Валле-Пуссен доказали, предельную теорему:
Л (X)
lim
= 1.
л

I

dz \nz
Уже в наши дни А. Сельберг нашел (1949) элементарное доказательство этого
асимптотического закона. В 1955 г. А. Г. Постников и Н. П. Романов упростили
громоздкий вывод Сельберга.

420

Исследование расположения простых чисел в натуральном ряде привело к появлению
работ Чебышева о теории квадратичных форм. В 1866 г. появилась его статья "Об
одном арифметическом вопросе", посвященная диофантовым приближениям, т. е.
приближенному целочисленному решению диофантовых уравнений, что он проделал с
помощью аппарата непрерывных дробей.
Идеи Чебышева в области теории чисел разрабатывали его ученики: А. Н. Коркин, Е.
И. Золотарев, А. А. Марков, Г. Ф. Вороной и др.1. Советскую школу теории чисел,
'весьма авторитетную и многочисленную, ныне-возглавляет академик И. М.
Виноградов. Кроме того, на посту директора Математического института АН СССР (с
1932 г.) И. М. Виноградов' руководит самым крупным и значительным коллективом
советских, ученых-математиков.
К теории вероятностей Чебышев обратился еще. в молодые годы, посвятив ей
магистерскую диссертацию. В те времена теория вероятностей переживала
своеобразный кризис. Ее основные закономерности: закон больших чисел и
предельная теорема Муавра - Лапласа
О" ,__ .±1
f я J
/2
(предельный закон вероятностей для уклонения числа х появлений случайного
события от математического ожидания а этого числа х при п опытах с постоянной
вероятностью р; дисперсия а2 = пр (1-р)) были в основном, найдены еще в XVIII в.
Осознание общезначимости этих законов привело к .широкому их применению вплоть
до попыток приложения их. в области социальной практики людей. Это вызвало столь
большое число необоснованных и ошибочных суждений, что сказалось на научной
репутации самой теории вероятностей. Без солидного обоснования понятий и
результатов дальнейшее развитие этой науки было невозможно.
Чебышев написал по теории вероятностей всего четыре работы (в 1845, 1846, 1867 и
1887 гг.), но, по всеобщему признанию, эти работы вывели теорию вероятностей
снова в ранг математических наук, послужили основой для создания целой
математической школы.
Исходные позиции автора проявились уже в его магистерской диссертации, где он
ставил перед собой цель дать такое построение теории вероятностей, которое в
наименьшей степени привлекало бы аппарат математического анализа. Этого он
достигал, отказываясь от перехода к пределу и заменяя этот переход системой
неравенств, в которые заключены все соотношения. Числовые оценки .погреш1
См. Б. Н. Делоне. Петербургская школа теории чисел. М., Изд-во АН СССР,
1947.

421

ностей и отклонений остались характерной чертой и для последующих работ Чебышева
по теории вероятностей.

В дальнейшем Чебышев расширил аппарат теории вероятностей. Для этого он привлек
алгебраические непрерывные дроби, свойства которых он вначале изучил в связи с
задачами об интегрировании алгебраических функций. На базе алгоритма непрерывных
дробей он построил общую теорию разложения произвольной функции в ряд по
ортогональным -полиномам. Дополнив аппарат-строгим определением свойств
математических ожиданий и других определений и рассуждений, Чебышев в 1866 г.
нашел доказательство закона больших чисел в самой в то время общей классической
формулировке; если математические ожидания величин к, у, г, ..., х2, У2, z2, ...
будут соответственно а, Ь, с, ..., аь Ьь сь ..., то вероятность, что среднее
арифметическое N величин х, у, г, ... от среднего арифметического математических
ожиданий этих величин разнится не более как на
bl -
N N
при всяком /, будет превосходить 1 - -.
Достаточно общее и строгое доказательство центральной предельной теоремы
Чебышеву удалось найти лишь к 1887 г. Для того чтобы доказать, что "если
математические ожидания величин tii, u2t из, ... равны нулю, а математические
ожидания всех их степеней имеют числовую величину ниже какого-либо конечного
предела, вероятность того, что сумма п величин ы\ + и2+ ... +иП9 деленная на
квадратный корень из удвоенной суммы математических ожиданий их квадратов,
заключается между двумя какими-нибудь-величинами t и f, с возрастанием числа п
до оо имеет пределом величину интеграла.
Чебышеву пришлось найти метод, известный в современной литературе как метод
моментов.
В доказательстве последней теоремы Чебышев допустил логический пробел.
Оказалось, что помимо условия независимости случайных величин нужно
предположить, что среднее арифметическое дисперсий при /г-^оо стремится к
некоторому положительному пределу. Этот недостаток был исправлен его учеником А.
А. Марковым.
Ученики Чебышева - Марков и Ляпунов - развили своими работами его направление в
теории вероятностей до такой степени, что, по словам А. Н. Колмогорова, теперь
эти работы всюду воспринимаются как исходный пункт всего дальнейшего
современного

422

А. А. Марков (1856-1922)
развития теории вероятностей. В их трудах получили развитие метод моментов
(Марков) ,и метод характеристических функций (Ляпунов). Среди достижений
Петербургской школы теории вероятностей особенно заслуживает быть отмеченной
теория цепей Маркова. Работы Чебышева, Маркова и Ляпунова составляют, по
классификации А. Н. Колмогорова, целый этап в истории теории вероятностей. Этот
этап охватывает вторую половину XIX в. В те423

чение этого периода теория вероятностей в Западной Европе столь активной
разработке не подвергалась.
Значительная группа работ Чебышева посвящена теории приближения функций. Эта
группа работ примечательна огромным теоретическим последействием, которое
привело к возникновению современной конструктивной теории функций. Последняя
изучает, как известно, зависимости между свойствами различных классов функций и
характером их приближения другими, более простыми функциями в конечной или
бесконечной области.
Во время заграничной, научной командировки 1852 г. Чебышев заинтересовался
различными видами шарнирных механизмов, с помощью которых осуществляется преобр
а-зование прямолинейного поступательного движения поршня паровой машины в
круговое движение маховика. Одной, из рис. 65 "
разновидностей подобных механизмов
является широко извести ы и п а р а л л ел огр а м м
Уатта. Чебышев вообще построил большое количество механизмов и посвятил им:
много исследований. Возьмем, например, механизм, где вокруг О и 0\ могут
вращатся О А и 0\А\ (рис. 65). Движение точки М, передающей толчки поршня на
вращающиеся части, не прямолинейное. Оно носит характер биений. Задача
рассчитать механизм так, чтобы отклонения точки М от вертикали были минимальными
(чтобы избежать вредного влияния на работу машины), приводит к математической
задаче: определить движение точки М функцией, наименее, отклоняющейся от нуля на
данном промежутке. Наиболее удобной для оперирования функцией является полином.
Отсюда вытекают задачи определения полиномов, наименее уклоняющихся от нуля, а
также аппроксимирования функций полиномами, Последняя задача, по Чебышеву,
ставится так: на отрезке [а, Ь] задана непрерывная функция. Рассматривается для
этого же отрезка множество всех полиномов Рп(х) степени не выше N.
Рассматриваются
для всех данных полиномов, и из них выбирается тот, который дает наименьшее
значение данного выражения.
Чебышев исследовал свойства и нашел вид целого класса специальных полиномов,
носящих его имя и в наши дни. Полиномы Чебышева, Чебышева - Лагерра, Чебышева -
Эрмита и их разновидности играют большую роль в математике, имея многообразные
приложения. Не говоря о кинематике механизмов, послужившей исходным пунктом
чебышевской теории наилучшего приближения,

424

последняя прилагается к решению алгебраических уравнений, интерполяции,
приближенным квадратурам, геодезическим и картографическим задачам и т. д.
В теории Чебышева наилучшего приближения функций содержатся идеи общей теории
ортогональных многочленов, теории моментов и методов квадратур. Ортогональные
многочлены с весом получаются у него при разложении интеграла
dx (p (x) " 0)
j z - л a
в ряд вида
а затем в соответствующую этому ряду непрерывную дробь
_*""_
z аг -_.__|_ _______^2____
Если составить последовательность подходящих дробей
'то знаменатели образуют систему многочленов, ортогональных на' (а, Ь) с весом
р(х) ^6.
Ортогональные многочлены Чебышев связал со способом наименьших квадратов. Он
нашел, что многочлен Рп(х), обращающий
в минимум
$p(x)[f(x)-Pn(x)]*dx,
а
может быть представлен в виде суммы
где РЬ(Х] - указанные выше ортогональные многочлены, а коэффициенты

ъ
r\f(x)Pk(x)p(x)dx
15 К. А. Рыбников 425
Ряд статей Чебышева посвящен теории интегрирования. В них речь идет об
интегрировании алгебраических иррациональностей и методах приближенного
вычисления определенных интегралов. Здесь ему принадлежит окончательное решение
вопроса об условиях интегрируемости дифференциального бинома
я"1 (а + bxny dx
(т, л, р - рациональные числа) в элементарных функциях. Именно он установил, что
найденные еще в XVIII в. случаи интегрирyarn + 1 т + 1 ,
мости! р - целое число;-----~- или — -}- п -. целые числа, явп
п
ляются единственно возможными. Настоящий цикл работ Чебы" шева связан с работами
И. И. Сомова. И в этой области, как и во всех предыдущих, идеи Чебышева
разрабатывали его ученики и другие ученые: Е. И. Золотарев, И. П. Долбня, И. Л.
Пташицкий, Д. А. Граве и др.
Научной деятельности Чебышева мы уделили сравнительно много места потому, что
она является основой, началом быстрого развития математики во второй половине
XIX в. в Петербурге, Чебышев и его ученики А. А. Марков, А. М. Ляпунов, Е. И.
Золотарев, А. Н. Коркин, Г. Ф. Вороной и другие образовали ядро научного
коллектива математиков, за которым: в литературе упрочилось название
Петербургской математической школы. Коллектив этот в 1890 г. организовал
Петербургское математическое общество, которое функционировало до 1.905 г.
Петербургские математики оказали решающее влияние на формирование- научных школ
в других городах. Так,, А. М." Ляпунов, проработавший ряд лет (1885-1902) в
Харькове, во многом способствовал развертыванию научной деятель...

Список сторінок

• #
• 1
• 2
• 3
• ...
• 23
• 24
• 25
• 26
• 27
• 28
• 29
• 30
• 31
• 32
• 33

Поділитися у соцмережах