Жанр: Наука
История и методология математики
... по истории теории аналитических Гостехиздат, 1951,
стр. 33.
13 К- А, Рыбников 373
Г (z) - аналитическая функция при г действительном, откуда
с действительными значениями!
*=Г(1п/- it) + Г (Ins + it),
Таким образом; еще Эйлер сумел практически решить общую зада- 1 чуо конформном
отображении областей сферы на плоскость. '
Математическая литература XVIII в. в интересующем' нас
здесь плане представляет пестрое переплетение важных результатов,
проливающих свет на природу комплексных величин, не менее
важных приложений последних к гидродинамике, картографии и
I другим наукам, и обильных ошибок и неясностей в пользовании
I мнимыми объектами. Различные интерпретации комплексных чисел
\ еще не сформировались в единую концепцию, тем более это отно\Й1тея
к комплексным переменным. Однако все необходимые элементы
общей теории, охватывающей свойства функций комплексного
переменного, в основном сложились, наступила пора создания
этой теории. Эта пора совпала с наступлением XIX в.
Введение основных понятий теории функций комплексного переменного.
Очередной этап -истории теории. 'функций комплексного
v переменного был характерен введением уточненных определений
. / основных понятий. Прежде всего речь идет о появлении геометри\/
ческих интерпретаций понятия комплексного числа. Эти интерпретации
были первыми выделены в явном виде из массы накопленных
Фактов в качестве предмета специального систематического
изучения. В 1799 г, и в последующие годы появилась серия работ,
в которых 'были даны более или менее удобные интерпретации
комплексного числа и определены правила действий. Общим во
всех работах было введение плоскости, на которой комплексные
числа изображены либо в виде, точки, либо в виде направленного
отрезка.
Геометрическим представлением мнимых чисел и операций над ними владели К.
Вессель (в 1799 г.), Бюе и Арган (в 1806 г.), Гаусс, а вскоре и многие другие
ученые. Однако они сочетали этот вопрос с конкретными задачами в других областях
математики. Достаточно же общая теоретическая трактовка вопроса появилась
вначале у Гаусса, а затем в работах Коши.
Землемер по специальности, К. Вессел^ в работе "Об аналитическом представлении
направления" (1799) поставил задачу отыскать аналитическое выражение
длинн'Т^аправления отрезка на плоскости. Для этого он использовал комплексные
числа
г = х + У - 1 у = г (cos ф + V - 1 sin ф),
попутно выяснив их сущность и отношение к действительным чис374
для изображения которых достаточно одной прямой. На осях координат он ввел
единичные отрезки
+ 1, -1, +в(-1/=Л), -8,
обобщив затем этот прием добавлением третьей пространственной единичной
координаты ±TI. Числа изображены были векторами из начала координат, над ними
определены операции и решен ряд задач, вплоть до аналитического выражения
вращения,,
Написанная на датском языке, работа Весселя оставалась долгое время
незамеченной. Более широкую известность, впрочем тоже'не сразу, получили
вышедшие в 1806 г. работы Аргана и Бюе. В них была реализована та же идея
изображения мнимого
числа путем откладывания отрезка, перпендикулярного действи.....
тельной оси. Идеей изображения комплексного числа как элемента двухразмерного
пространства полностью владел Гаусс, в течение длительного времени не посвящая
ее изложению специальной работы, так как,, по его мнению, необходимо было
считаться
с убеждениями современников......Лишь в 1831 г.,.."он опубликовал
работу по теории б'иквадратичных вычетов, где, изложил теоретическое обоснование
и геометрическую "интерпретацию комп.....•
лексных чисел, дав им впервые это сохранившееся до наших дней название. Чтобы
лучше понять, сколь глубоко Гаусс проник в теорию комплексных чисел, достаточно
привести отрывок из письма Гаусса астроному и математику Бесселю (1811 г.;
опубликовано лишь в 1880 г.). В этом письме по поводу вводимого им интегральf
'die
ного логарифма li(x) = I -.......:~~ Гаусс писал: "Что нужно понимать
под.....fyx-dx для х=а + Ы? Очевидно, если хотят исходить из ясных
понятий, нужно принять, что к, отправляясь от значения, для которого интеграл
должен равняться нулю, посредством бесконечно малых приращений (каждое вида а +
Ы) переходит к x=a + bi, и тогда сложить все qx-dx.
Итак, смысл (интеграла) вполне установлен. Но переход можно осуществить
бесконечно многими способами: так же как совокупность всех действительных
величин можно мыслить в виде бесконечной прямой линии, так и совокупность всех
величин, действительных и мнимых, можно осмыслить посредством бесконечной
плоскости, каждая точка которой с абсциссой а и ординатой b будет представлять
величину а + Ы. Непрерывный переход от одного значения х к другому а + Ы
представляется тогда посредством линии и возможен бесконечным множеством
способов. Я утверждаю теперь, что интеграл fyx-dx при двух различных переходах
всегда сохраняет одно и то же значение, если внутри части плоскости, заключенной
между двумя линиями, представляющими переход, ср* нигде не обращается в
бесконечность. Это прекраснейшая теорема, нетрудное доказательство ко1Q*
13 375
торой я дам при удобном случае. Она связана с другими прекрасными истинами,
относящимися к разложению в ряды".
В этом отрывке содержится многое: отчетливая интерпретация мнимых чисел,
определение интеграла в комплексной плоскости,
интегральная теорема (известная теперь как теорема Коши), разложимость
аналитический функции в степенной ряд. Е" этом же
письме Гаусс рассмотрел \ — и его значение в точке х = 0. При
обходах вокруг этой точки к первообразной. y=logx будут добавляться постоянные
слагаемые ±2ш.
Выяснение смысла интегрирования на комплексной плоскости имело особенно большое
значение потому, что использование комплексных переменных при вычислениитрудных
определенных интегралов оказывало, по-видимому, наибольшее в то время
влияние на развитие теории функций комплексного переменного. Лаплас (1.749-1827)
в серии работ 1782-1812 гг. неоднократно прибегал к помощи мнимых при
интегрировании функций, Он развивал метод решения линейных уравнений, разностных
и дифференциаль-.ных,' известный под названием преобразования Лапласа:
неизвестная функция y(s) заменяется интегралом вида fq".(x)xsdx, или
f"p(x)er*xdx, где ф(я)-новая неизвестная функция. Это преобразование
переводит, как мы теперь говорим, функцию-оригинал f (0 " 0 " * " °° в
функцию
F(p)== tf(t)er*dt о
"комплексного переменного p = a+it. Необходимые преобразования (замена
переменной при интегрировании,- интегрирование по направлениям:, отличным от
действительной, оси) Лаплас еще рассматривает как "орудия открытия", удобный
метод, подобный своеобразной индукции. Его действительное значение, конечно,
больше: с помощью преобразования Лапласа и аналогичных методов эффективно
решаются многие задачи электротехники, гидродинамики, механики,
теплопроводности, так как при этом в соответствующих линейных дифференциальных
уравнениях с частными производными число переменных сокращается. Особенно широко
оно применяется в операционном исчислении.
Результаты Лапласа и других ученых, занимавшихся аналогичными проблемами,
получаются, таким образом, при изучении свойств стеленных рядов с помощью
перехода от вещественных членов ряда к комплексным. Интегрирования в комплексной
области, пожалуй, еще нет; интегрируются мнимые функции по вещественному
аргументу. Новая идея в этом направлении была высказана Пуассоном (около 1820
г.): выбирать пути изменения переменной между вещественными пределами по
последовательности комплексных значений. Целью этого являлось преодоление
затруд376
о ^вязанных с несобственностью интегралов из-за обращения НоНьштегральной
функции в бесконечность. По выражению Пуассона,
"не является суммой дифференциалов", так как
: 00.
Но если ввести подстановку
х = - eiz = - (cos 2 + i sin z)
и интегрировать no z от 0 до (2я+1)я, то интеграл окажется равным - \2п+ 1 )ni.
Таким же способом
Г А,
J *т
[ cos (ш - 1 ) (2п + i ) я - 1 1 .
"
Под давлением практических задач затруднения,, связанные с применением
комплексных, переменных, были в основном преодолены рядом ученых. Назрела,
необходимость в систематической разработке теории функций комплексного
переменного и ее связей с остальными частями анализа бесконечно малых,
Выполнение этой задачи выпало в значительной части на долю Коши.
В "Алгебраическом анализе" и "Резюме лекций по дифференциальному и интегральному
исчислению" Коши, как известно, стремился построить цельную и строгую систему
анализа бесконечна малых. В этой его системе нашли отражение усилия по
систематизации фактов, относящихся к использованию в анализе комплексных чисел и
переменных количеств. Принципиально нового по сравнению с предшественниками и
современниками лекции Коши в этой области не содержат. Комплексное переменное
здесь в основном еще только вспомогательное средство для решения трудных задач
интегрального исчисления; при введении операций велик элемент аналогии.
Однако сама попытка построения системы анализа, естествен-но, вынудила Коши к
разъяснению смысла основных понятий и операций с мнимыми. Первые существенные
результаты Коши опубликовал в 1825 г. в двух работах: "Мемуар о теории
определенных интегралов" и "Мемуар об определенных интегралах, взятых между
мнимыми пределами". Первый из них был написан еще в 1814 г. В нем и цель еще
осталась прежняя: применить мнимые величины. к вычислению определенных
интегралов. Исходный пункт 1\оши - соотношение
377
X У
У X
J
t, y)dxdyy
XQ Уо
известное еще от Эйлера (1769). Затем Коши выбирает две Функции S и V,
удовлетворяющие уравнениям Даламбера - Эйлера?
Этому требованию удовлетворяет, как известно, действительная и
мнимая часть аналитического выражения
Подставив в правую и левую части исходного соотношения вместо f(x" У)
соответственно правые и левые части уравнения: Даламбера - Эйлера, Коши получил:
X У
У X
У о XQ
0 XQ
откуда
х
х
, Y)-V(x,
, Y)-S(x,
, y)-S(x0, y)dy;
, y)-V(x0, y)]dy.
XQ
I/O
Лишь незадолго до опубликования Коши догадался свести эти две формулы в одну,
чтобы получить соотношение относительно функции комплексного переменного. Первое
из соотношений он умножил на / и сложил со вторым соотношением. Получилось:
х
\F(x + iY)dx -
XQ
Уо
или
iy)idy
iy0) dx = + iy) idy,
-iY)dx =
XQ
= J F (x + iy0
iy) idy,
является интегральной теоремой Коши для интегрирования по прямоугольному
контуру:
ADC
F(z)dz = J F(z)dz.
ABC
При этом Коши, независимо от Гаусса, указал на необходимость требования, чтобы
f(x, #)=?*= "*" на сторонах прямоугольника и внутри
его.
Во втором из упомянутых выше мемуаров .Коши выясняет
j f(z)dz (рис. 55). Чтобы соблюсти
смысл интеграла
аналогию с интегралами от функции действительного переменного и иметь
возможность трактовать заданный интеграл как л редел интегральной суммы, Коши
указал, что следует установить для z=x+iy • соотношения:
х == х (t), у = y(t).
Эти функции должны быть монотонны и непрерывны в области tQ^t
и удовлетворять
условиям:
Иначе говоря, исследуемый интеграл Коши заменил интегралом вдоль некоторой
кривой, соединяющей на комплексной плоскости точки (*"", у0) и (Xt Y). С учетом
уравнений кривой -x=x(t), y - y(t) придем к интегралу
Рис. 55
следует Формулировка интегральной теоремы: если ЧНа И непРеРывна в
прямоугольнике х^х^Х и Т° значение интеграла не зависит от пути интегрирова-ее
доказательства Коши привлек методы вариационного
исчисления. Именно он заменил x(t) и y(t) на близкие значения x(t)+su(t),
y(t)+&v(t) вычислил вариацию интеграла и установил, что она равна нулю.
Современный вид доказательство интегральной теоремы получило в 1883 г. у Фалька
и в 1884 г. у Гурса. Совершенно естественный переход к анализу случаев, когда
f(z) обращается в бесконечность внутри или на. границе прямоугольника, привел
Коши к необходимости ввести понятие вычета. Еще в мемуаре 1814 г? он пришел к
нему, ' отыскивая разность между двумя интегралами с общими пределами, но
взятыми по разным путям, между которыми оказываются полюсы функции. В 18,263 г.
появляется и самый термин: вычет, который Коши вводит следующим образом: "Если,
после того как найдены значения х, обращающие/(я) в бесконечность, прибавить к
одному из этих значений, обозначаемому через х\, бесконечно малое количество е и
далее разложить \f(xi + &) по возрастающим степеням того же количества, то
первые члены разложения будут содержать отрицательные степени е и один из них
будет произведением - на конечный
коэффициент, который мы назовем вычетом функции относящимся к частному
значению х\ переменной х". Сумма таких вычетов называлась у Коши интегральным
вычетом.В большом числе (16) работ Коши создал теорию вычетов. В основном эта
теория'оформилась, в 1826-1829 -гг., но Коши продолжал ее
развиватек1ГБ"гШследующие годы, отыскивая новые и новые приложения этой теории к
решению различных задач интегрального исчисления (преимущественно к вычислению
определенных интегралов), алгебраических, трансцендентных и дифференциальных
(речь идет о системах линейных уравнений с постоянными коэффициентами)
уравнений, теории разложения функций в ряды и математической физики. Интересно,
что при этом Коши настойчиво подчеркивал наличие идеи о вычетах у Эйлера, и не
отстаивал свой приоритет.
В работах Коши впервые появилась интегральная формула - весьма важная для
последующего развития теории функций комплексного переменного и ее приложений.
Она была введена в серии-работ Коши, посвященных разложению аналитических
функций в ряды. В наиболее явной форме она впервые появилась в мемуаре. "О
небесной механике и о новом исчислении, называемом исчислением пределов" (1831).
Вначале интегральная формула Коши была получена как условие разложения функции в
ряд. Отметив, что
4-я +я
J" en&dp= Г ern#dp,
а при л =
2я,
Коши рассмотрел сначала полином f(x) = а0 + 0i* + а
= *0р/, и получил
Ч-я
где
Эта формула верна и для любой (по словам Коши) функции.
конечной и непрерывной" при удовлетворении условия
Если /(0) = 0, то очевидно
dp
Подставив в эту формулу вместо /(х) выражение
х - х
где \х\" х\, Коши получил
-+-Я
'
Следовательно ,
-я • --я
х dp =:
Если использовать имеющееся у Коши соотношение
, __ dx
то можно получить интегральную формулу в современной форме
W~ "bJj х-х
с
Но упомянутое выражение для dp имеет место лишь если модуль х постоянен. Таким
образом, контур интеграции здесь - окружность. Результат получился у Коши еще
недостаточно общий. В на381
Б. Риман (1826-1866)
стоящее время известно, что теорема справедлива для любой взятой в качестве
контура замкнутой спрямляемой жордановой кривой.
В других мемуарах Коши рассматривал применения этой теоремы к теории сходимости
рядов, для вывода остаточного члена
Тейлора и оперирования с рядами. Вслед за Коши многие матики XIX и XX вв.
посвящали свои работы его интегральной теоеме. Последняя
2ju
IK известно, дает выражение f(z) для г любого, находящегося в области
аналитичности функции, через ее значение на контуре С. Широкая применимость
интеграла Коши в теории специальных функций, аналитической теории
дифференциальных уравнений, аналитической теории чисел, теоретической физике,
различных областях механики, определила в последующем его актуальность,
сохранившуюся до наших дней,
Наряду с мемуарами Коши и вслед за ними появилось много работ по теории функций
комплексного переменного. Их трудно перечислить, тем более охарактеризовать.
Здесь мы упомянем прежде всего замечательную работу Абеля "Исследования ряда
1 I т I т (т- 1) 2 !
1 + - Х+ -2 *-+...,
где т и х - любые комплексные числа", содержащую вывод двух замечательных
теорем" Первая теорема: если ряд f(a)=VQ + v\a +
+ U2a2 + ......сходится для некоторого а=ао, то он сходится для а,
меньшего ао по модулю (понятие модуля у Абеля еще отсутствует, что утяжеляет
язык изложения). Вторая теорема: f(a-ijJ)-"/(a), если -р-й), a^.ao, т. е. сумма
сходящегося степенного ряда есть непрерывная функция аргумента. Здесь же Абель
отметил ошибку Коши, утверждавшего, что сумма сходящегося ряда непрерывных
функций непрерывна. Общий же вклад Абеля в теорию функций, в которой он заложил
основы теории алгебраических функций и (одновременно с Якоби) теории
эллиптических функций, настолько значителен, что заслуживает специального
исследования.
40-е годы XIX в. отмечены в истории теории функций комплексного переменного"
крупнейшими открытиями, по существу завершившими период ее формирования. В 1843
г. Лоран нашел РЯД
+оо
2 **"*-•
носящий ныне его имя. В эти ще годы Л иувилль применил теорию Коши к теории
эллиптических функций. Среди доказанных им теорем имеется, например, такая: если
аналитическая функция f(x) Ff ч ^fe^ комплексной плоскости ограничена по модулю,
то / W=const. Пюизё разработал теорию алгебраических функций и осуществил
разложение многозначных алгебраических функций по дробным степеням. Характер
новых открытий и их уровень делались уже весьма близкими к современным.
V V
Одним из признаков того, что теория уже сформировалась, является появление
монографий, содержащих ее систематическое изложение в стиле, близком к
аксиоматическому, и имеющих также учебные цели. В теории функций комплексного
переменного этс момент наступил в середине XIX в. Профессор Петербургского ун*
верситета И" И. Сомов в 1850 г" опубликовал "Основания теори! эллиптических
функций", Через шесть лет, в 1856 г., Врио и Бук| издали небольшой мемуар
"Исследование функций мнимого перс менного", являющийся по существу первым
учебным пособие" С 1861 г. в Берлинском университете начались курсы лекций
Вейерштрасса по теории аналитических функций.
Создание геометрической теории функций комплексного переменного. В 40-х годах
прошлого века, одновременно с завершением формирования основ теории
аналитических функций, в эту теорию были внесены новые идеи, существенно
изменяющие ее состав, характер и цели. Большая группа идей вошла с работами Б.
Римана (1826-1866).
Исследования Римана в области теории функций комплексного переменного характерны
наличием широких аналогий, связавших эту теорию со многими другими областями
математики. Тем самым была в значительной мере преодолена изолированность
представлений о функциях комплексных переменных. Одновременно в рамках самой
этой теории сформировались новые отделы, тесно связанные с другими
дисциплинами,. Основные результаты Римана содержатся в его диссертации "Основы
общей теории функций комплексного переменного" (1851) и в "Теории а бе левых
функций" (1857). .Известно, что аналитическая функция w = u + iv "от
комплексного аргумента z = x + iy удовлетворяет (помимо ставших само собой
разумеющимися требований дифференцируемости по совокупности действительных
переменных, и непрерывных) уравнениям Даламбера - Эйлера:
ди дх
OV
ду
ду дх
Отсюда, очевидно, следуют условия Аи = 0, Av=0
дх*
Во времена Римана появилось много интерпретаций этого замечательного факта.
Гельмгольц трактовал и как потенциал скорости движения несжимаемой жидкости в
плоскости (к, у); при этом v была функцией тока. В электротехнике, когда речь
шла о стационарном течении тока, Кирхгоф вводил функцию и и называл ее
электростатическим потенциалом. Ом определял ее как напряжение, а Фурье
интерпретировал и как температуру в решении задачи о стационарном движении
тепла. Наконец, у Гаусса отмеченный
сЬакт трактовался как условие, что значение
dw _ d(u-\-iv) dz
зависит лишь от точки х+гу9 а не от направления dx+idy, т. е. отображение
плоскости (х, у) на плоскость (и, v) есть конформное отображение.
Риман также исходил из того, что действительная, и мнимая части функции
удовлетворяют уравнениям Лапласа:
Да = 0, Аи = О,
т. е. являются гармоническими. Если известна функция и, то сопряженная функция v
определяется с точностью до аддитивного постоянного:
да
Г
= \ J
j ,
------- - dx
ду
dy
Риман решил, что создаются условия для переноса идей математической физики в
теорию" функций. К тому же методы решения уравнения Лапласа, были к тому времени
достаточно хорошо разработаны. Соответствующая краевая задача, называемая
проблемой Дирихле,, формулируется так: найти значения функции в точках области
по ее значениям и на границе области. Решения задачи Дирихле для ряда
специальных случаев были разработаны Гауссом (1813 и 1840 гг.), Грином. (1828),
Кирхгофом, Дирихле и др. В этих исследованиях, позднее выкристаллизовывалась
теорема существования: если на границе односвязной области G задана непрерывная,
функция и(х, у), то существует аналитическая внутри области G функция. f = u +
iv, действительная часть которой непрерывно приближается к заданным граничным
значениям.
Риман в этом круге задач исследовал проблему: в какой мере аналитические функции
определяются по краевым условиям. Быстро выяснилось в то время, что в случае
конечной области, ограниченной единственной замкнутой кривой, для определения
функции w = u + iv от z=x + iy достаточно задать граничное распределение
значений и и значение v в одной точке области. Можно, наоборот, задать граничное
распределение v и значение и в точке; можно, наконец, задать в каждой точке
контура соотношение ср(м, v) или для каждой пары граничных точек два
соотношения, связывающие значения и и v в этих точках.
Во всех рассуждениях Риман опирался на так называемый принцип Дирихле: среди
всех возможных функций, имеющих одинаковые граничные распределения в области G,
та функция, которая доставляет
будет гармонической в заданной области. Это предложение Риман узнал, повидимому,
из лекций Дирихле. Однако оно было известно также Гауссу, Томсону,
Кирхгофу в связи с решением задач математической физики (теория потенциала). Ему
был придан вполне определенный физический смысл: интеграл / выражает
кинетическую энергию установившегося течения однородной несжимаемом жидкости,
г/се и "- потенциал скоростей.
Пусть, например, задан двумерный случай: интеграл
Мди V i / ди i^+
определен для площади круга, ' причем задано непрерывное граничное распределение
и. Этот интеграл неотрицателен. Тогда су-"
ществует, по мнению Римана, неотрицательная нижняя грань значений
.интеграла, которая достигается. Тем самым утверждается существование
функции и с заданным граничным распределением; сообщающей минимум данному
интегралу. Для этой функции:
откуда как необходимое условие вытекает
, д*и
Аи =
дх*
ду*
= 0.
Рис. 56
Однако Риман не смог дать доказательство существования функции и, обращающей
интеграл / в минимум. Более того, Вейерштрасс,
узнав о вышеуказанных рассуждениях Римана, привел пример множества
допустимых (непрерывных, дифференцируемых, принимающих на границе заданные
значения) функций, не включающего в себя функцию, соответствующую нижней
грани. Таково, например, множество всех кривых с непрерывной кривизной,
соединяющих точки Л, С, В. Кратчайшей линией является ломаная ABC, не входящая в
рассматриваемое множество, так как непрерывность кривизны нарушается в точке С.
(см. рис. 56).
Римановы теоремы существования, возникшие из физических аналогий, сделавшись
объектом споров, надолго повисли в воздухе. Они были доказаны Шварцем (1870) и
Нейманом (1884) иными путями, а обоснованность суждений Римана удалось доказать
лишь Д. Гильберту (1901-1909), применившему для этой цели прямые методы
вариационного исчисления. В более общей форме этот вопрос был исследован Р.
Курантом и Г. Вейлем.
Другая группа аналогий, введенных Риманом, имеет своим исходным пунктом
геометрическую интерпретацию комплексных
чисел и функций комплексного переменного. К тому времени уже было известно, что
аналитические функции комплексного переменного определяют конформное отображение
одной плоскости на другую, причем не обязательно взаимно однозначное. С этим
пересекается представление об аналитической функции, получающейся из начального
элемента непрерывными продолжениями, определяемыми уравнениями Даламбера-Эйлера"
Возможное разнообразие продолжений, а также стремление преодолеть
неоднозначность конфсфмных отображений, по-видимому, привели Римана к идее.
специальных поверхностей, в необходимых случаях многолистных; за этими
поверхностями укрепилось и до сих пор существует название римановых.
Факты теории функций комплексного переменного, будучи распространены на римановы
поверхности, приобретают большую общность. Кроме того, Риман установил связь
между обоими типами аналогий, использовав физическую интерпретацию для получения
теорем существования для функций на замкнутых многолистных римановых
поверхностях., Эти поверхности рассматриваются как однородные проводники. При
подключении к ним батареи возникает поле, потенциал которого и однозначен,
непрерывен и удовлетворяет уравнению Ди = 0 на всей поверхности. Точки
подсоединения 'батареи являются точками разрыва функции и, которая ведет себя в
этих точках как hifi и 1пг2 соответственно. Так получается теорема
существования: на всякой замкнутой римановой поверхности существует
потенциальная функция и, всюду непрерывная, кроме двух заранее выбранных точек,
где и делается логарифмически бесконечной. Мнимая, часть v на данной римановой
поверхности находится после 'соответствующих разрезов, обеспечивающих
однозначность ветвей функции u + iv, что приводит к необходимости подсчета
модулей, периодичности.
Тот цикл работ Римана, который мы здесь рассматриваем, по-, ложил начало большой
и важной области современной теории функций, известной ныне под объединяющим
названием - геометрической. В этих работах содержится глубоко разработанная
теория конформных отображений, в том числе основная теорема о существовании и
единственности (при подходящих условиях) конформно
...Поділитися у соцмережах
