Жанр: Наука
История и методология математики
...го отображения на круг
произвольной односвязной области (граница которой содержит более одной точки).
В этих работах содержится ряд топологических по существу результатов, вроде
теоремы, что число разрезов поверхности, необходимых для превращения ее в
односвязную, не зависит от выбора системы разрезов. Через несколько десятков
лет, на рубеже XIX и XX вв., топологические идеи Римана, не получившие у своего
автора достаточно строгого оформления, влились в формирующуюся топологию.
Риману принадлежит другая замечательная идея. Речь идет о применении функции
комплексного переменного
387
(широко теперь известной как дзета-функция Римана) к определению количества
простых чисел на заданном отрезке натурального ряда. Вместе с исследованиями
Чебышева результаты" полученные здесь Риманом, положили начало аналитической
теории чисел. .Гипотезы Римана о свойствах дзета-функции, в особенности
гипотеза,
что все ее нетривиальные нули лежат на прямой х= + •-, несмотА
ря на огромные усилия, остались до сих пор недоказанными.
Наконец, мы не можем не обратить внимание читателей еще на один цикл работ
Римана, идейно близких к его геометрической теории функций комплексного
переменного, Речь идет об исследованиях различных классов функций,
удовлетворяющих линейным дифференциальным уравнениям с алгебраическими
коэффициентами. Рассматривается семейство функций
У =
Функции yi(i=l9 2, ..., п)-аналитические во всей комплексной
плоскости, за исключением конечного числа точек я?-'(/=1, 2, ....., k).
При обходе около этих точек заданные функции подвергаются линейному
преобразованию, тоже определенному для каждой точки. Затем рассматривается
совокупность всевозможных замкнутых путей, не проходящих через точки a,j. Ей
соответствует множество линейных' преобразований- заданного семейства функций --
его группа монодромии. Задача состоит в том, чтобы построить дифференциальное
уравнение, решениями которого были бы все. функции заданного семейства.
Эти исследования Римана, хотя также незавершенные (их сумел завершить лишь в XX
в. Д. Гильберт), дают основание считать его одним из основателей аналитической
теории дифференциальных уравнений. Других идей и работ Римана мы здесь не сможем
коснуться, чтобы не отойти слишком далеко от основного замысла настоящей главы.
Геометрическая теория функций комплексного переменного получила быстрое развитие
вскоре после безвременной смерти Римана. Уже к концу 60-х годов прошлого века
появилось большое количество работ, авторы которых разрабатывали отдельные
аспекты теории функций комплексного переменного, отправляясь от идей Римана. В
связи с этим возникла необходимость возможно более полного изучения научного
наследия Римана и издания его сочинений. Так, в 1876 г. Г. Вебер и Р. Дедекинд
издали собрание его сочинений. В 1902 г. появились важные добавления к этому
собранию сочинений, подготовленные В. Виртингером и М. Нете388
К. Вейерштрасс (1815--1897)
ром. На русском языке том сочинений Римана вышел в свет в 1948 г. Он был
подготовлен В. Л. Гончаровым. К его содержательному обзору научных работ Р.имана
и комментариям мы отсылаем читателя.
Аналитическое направление развития теории функций комплексного переменного.
Другое направление развития теории функций комплексного переменного в XIX в., за
которым закрепилось в истории название "аналитическое", сформировалось в работах
К. Вейерштрасса (1815-1897). В сферу научных интересов последнего входили
преимущественно проблемы математического анализа: его классических основ, теории
функций комплексного переменного, вариационного исчисления, дифференциальной
геометрии. Для этой широкой области К. Вейерштрасс всю жизнь разрабатывал
систему логического обоснования, опирающуюся на строгую теорию действительного
числа как среды, в которой функционируют все основные понятия и методы. Именно в
его лекциях был
построен в основном современный стандарт строгости в математи-, ческом анализе и
ставшая традиционной структура.
Те же цели строгого и систематического построения преследовал К. • Вейерштрасс,
создавая последовательно и настойчиво теорию функций. Уже в 1841 г. он сумел
обобщить теорему Коши •о разложении в степенной ряд функции комплексного
переменного, непрерывной и дифференцируемой в кольце, образованном двумя
концентрическими окружностями. Искомый ряд содержал члены с положительными и
отрицательными степенями и ;был по существу рядом Лорана. Последний, как было
отмечено.выше, отыскал этот. ряд в 1843 г., и историческая традиция сохранила за
этим рядом его имя. Результаты же К, Вейерштрасса, долго, не попадавшие в
печать, были известны меньше. Они распространялись преимущественно слушателями
его лекций,, Около 1842 г. К. Вейерштрасс овладел идеей аналитического
продолжения.
Однако в эти годы главные интересы К. Вейерштрасса cocpjs-" •доточивались на
изучении конкретных классов функций: эллиптических, гиперэллиптических и
абёлевых и сопредельных с ними вопросов. Общие концепции в теории функции
комплексного переменного начали вырабатываться в лекциях, которые К. Вейерштрасс
в течение долгих лет читал.в Берлинском университете. Помимо лекций об
эллиптических функциях, их -приложениях к геометрическим и механическим задачам
об абёлевых функциях и вариационном исчислении начинают появляться его курсы по
теории аналитических функций. С 1856 г. К. Вейерштрасс читал лекции о
представлении функций сходящимися .рядами, а с 1861 г.- об общей теории функций.
Наконец, появились специальные сочинения К. Вейерштрасса: "К теории однозначных,
аналитических функций" (1876) и "К учению о функциях" (1880), в которых его
теория аналитических, функций приобрела известную завершенность,
В основе теории К, Вейерштрасса лежит понятие степенного ряда. Для него
определяется круг сходимости и вводится определение равномерной сходимости.
Далее рассматриваются лишь равномерно сходящиеся ряды. Относительно них
последовательно доказан ряд теорем; в частности, доказывается, что если ряд
сходится равномерно в окрестности каждой точки, лежащей внутри или на границе
данной области, то он сходится равномерно во всей области.
Вейерштрасс вводит понятие элемента функции
= fk(x).
Для этого в области сходимости ряда он выбирает точку а0. В ее окрестности как
функции fk(x), так и F(x), выражаются степенным рядом
который и получил у Вейерштрасса название элемента функции F(x).
Пусть затем точка а\ лежит в окрестности а0 и Р\(х-а\) -----соответствующий
элемент функции F(x). Для тех х, которые лежат как в окрестности a0l" так и в
окрестности аь имеет место
Pi (X - fli) =
где
.Если-а -произвольная точка в области сходимости, то между а0
и а можно вставить последовательность точек: at из окрестности а0, а2 - из
окрестности а\ и т. д. вплоть до ап, попадающей уже в-окрестность а.
Для'Соответствующих элементов функции F(x) имеют место: •
р,=0
Таков же алгоритм образования по произвольному элементу в области сходимости
всякого другого элемента F(x) в той же области. Может случиться, что область
сходимости ряда Р(х-а) будет выходить из первоначальной. Тогда из PQ(X-a0),
применяя указанный алгоритм, можно образовать множество рядов, область
сходимости которых выходит за пределы первоначальной. Так строится полная
аналитическая функция F(x), как совокупность всех продолжений какого-либо
элемента. Затем проводятся исследования: особых точек на границах круга
сходимости, однозначности и многозначности функций, поведения целой функции в
беско-.нечности, разложения функции в произведение и других конкретных вопросов
теории. Аппарат отличается единообразием; это - степенные ряды, операции с ними,
оценки, зачастую весьма тонкие.
Вслед за работами К. Вейерштрасса, в течение последней четверти XIX в.,
появилось большое количество работ по аналитической теории функций комплексного
переменного. Среди них видно" место занимают работы учеников Вейерштрасса - С.
В. Ковале: ской и Миттаг-Леффлера, а также Ш. Эрмита, Э. Пикара, Э" Ла' герра,
А. Пуанкаре и др. Лекции Вейерштрасса послужили на много лет прообразом
учебников по теории функций комплексного переменного, которые начали появляться
с тех лор довольно часто.
Превращение теории функций комплексного переменного в комплекс аналитических,
дисциплин. В конце XIX в. теория функций комплексного переменного чрезвычайно
разветвилась, превратившись в обширный комплекс дисциплин. В нее теперь входит
геометрическая теория функций, основанная на теории конформных отображений и
римановых поверхностей. Получили цельную форму теории различных видов функций;
целых и мероморфных, эллиптических и модулярных, автоморфных, гармонических,
алгебраических. В тесной связи с последним классом функций развилась теория
абелевых интегралов. К этому комплексу примыкала создающаяся аналитическая
теория дифференциальных уравнений и аналитическая теория чисел. Теория
аналитических функций установила и укрепила связи с другими математическими
дисциплинами.
Изменился за это время и характер научных исследований в области теории функций
комплексного (переменного. Вначале, как было показано выше, большинство этих
исследований проводилось в плане развития одного из трех направлений: теории
моногенных или дифференцируемых функций Коши, геометрических и физических идей
Римана, аналитического направления Вейерштрасса. Лишь постепенно различия и
связанные с ними споры преодолеваются,, На рубеже XX в. появляется и быстро
растет число работ, в которых осуществляется синтез, казалось бы разнородных,
идей и методов. Создается единая, общая концепция теории функций комплексного
переменного, находящая свое выражение в структуре монографий, учебников и в
характере методов исследования. Одним из основных понятий, на котором явно
обнаружились связь и соответствие геометрических представлений и аппарата
степенных рядов, было понятие аналитического продолжения. Из многочисленных
примеров, которые можно было бы привести в подтверждение этого тезиса, наиболее
ярким является работа Адамара - "Ряд Тейлора и его аналитическое продолжение"
(1901). В ряде работ Пуанкаре, Клейна и Кебе была показана связь геометрии
Лобачевского с римановыми поверхностями и значение неевклидовой геометрии в
изучении этих поверхностей и свойств связанных с ними аналитических функций.
Ф. Клейн развил физические интерпретации функций комплексного переменного в
работе "О римановой теории алгебраиче-* ских функций и их интегралах" (1881).
Огромную роль в истории аналитических функций сыграли труды Н. Е.
Жуковского и
С. А. Чаплыгина, открывшие необозримую область ее приложений в аэро- и
гидромеханике. Аналитическая теория дифференциальных уравнений явилась
своеобразным поставщиком различных специальных функций, разрабатываемых
средствами теории аналитических функций: модулярные функции Эрмита, автоморфныеКлейна
и Пуанкаре, функции Шварца и т. д. При построении аналитической теории
дифференциальных уравнений широко использовались материалы из разных областей
теории аналитических функций. Так [поступал, например, Фукс -ученик
Вейерштрасса.
В теорию аналитических функций в качестве элементов-единой основы был внесен ряд
понятий из теории множеств Кантора, из теории функций действительного
переменного (К. Жордан, Э. Бо-рель, А" Лебег, Т. Стильтьес, Р. Бэр), теории
групп и топологии., Совокупность основных понятий, таких, как область, ее
граница, предел,- связность, сходимость, аналитичность, непрерывность и др.,'
подверглась глубокому логическому анализу и уточнению,, что укрепляло единство
воззрений на все вопросы теории,,
Общая теория функций комплексного переменного проникла и в педагогическую
практику, породив два типа учебников: а) книги, специально посвященные этому
вопросу; б) общие курсы математического анализа, куда эта теория входит как
составная часть. Учебники второго типа к началу XX в., по-видимому,
преобладали,. Примером могут служить курсы Бертрана, Пикара и, наконец, Гурса,
который в "Курс математического анализа" (1902) включил теорию аналитических,
функций (второй том, первая часть).
Позднее, с расширением учебных программ в части, относящейся к рассматриваемой
теории, оба типа учебной литературы получили равные права и применяются в
зависимости от общих задач данного учебного заведения.
7.6. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ
Геометрические науки к началу XIX в. Геометрия к началу XIX в. представляла уже
большой комплекс дисциплин, выросших из анализа и обобщения данных о
пространственных формах тел, использующих методы других областей математики и в
силу этого тесно переплетенных с ними. Помимо элементарных частей в геометрию
входили почти все те части, которые и ныне составляют структуру ее высших
областей, развитие которых является актуальной задачей современной математики.
Аналитическая геометрия, возникшая еще в XVII в., завершила большой путь
развития и определила свое место как часть геометрии, изучающая фигуры и
преобразования, задаваемые алгебраическими уравнениями с помощью координатного
метода и использующая методы алгебры. Помимо ее учебной и прикладной роли в ней
самой наметились тенденции развития, состоящие в усовершенствовании и обобщении
координатного метода, а также в усилении аналитичности при исследовании
геометрических образов,
14 К. А. Рыбников 393
что особенно важно для приложений. Первая из этих тенденций нашла, как известно,
воплощение во введении различных избыточных координат. Мы имеем в виду
однородные координаты, представляющие отношения двух переменных к третьей,
проективные, т. е. линейные, комбинации однородных координат, введенные Г. Дарбу
тетрациклические и пентасферические координаты и др. Вторая из тенденций привела
к включению в аналитическую геометрию векторных методов.
Дифференциальная геометрия заняла, как было показано, видное место в геометрии к
концу XVIII в. Характерное для этой части геометрии использование понятий и
методов дифференциального исчисления обусловило прочные и далеко идущие связи ее
с математическим анализом и с многочисленными прикладными задачами. В начале XIX
в. для дифференциальной геометрии раскрылись новые возможности развития,
благодаря введению Гауссом (1824) внутренней геометрии поверхностей. В процессе
создания общей теории поверхностей дифференциальная геометрия приобрела новые
связи, преимущественно с неевклидовыми, геометриями.
Казалось бы, приостановившиеся в своем развитии со времен Дезарга и Паскаля
методы изучения свойств фигур, инвариантных относительно проектирования, в 20-х
годах XIX в. сформировались в работах Ж. Понселе и др. в новую область геометрии
- проективную геометрию" Выделение, проективных свойств фигур в отдельный класс
и установление соответствий между метрическими и проективными свойствами явились
предметом многих исследований, осуществлявшихся как синтетическими методами
(Штейнер, Шаль, Штаудт и др.), так и аналитическими (Мёбиус, Штуди, Картан и
др.). В систему современной геометрии проективная геометрия вошла как часть,,
обладающая высокой общностью, могущая включить в единую систему многие
геометрические теории. Такому положению проективная геометрия,обязана влиянию
геометрии Лобачевского и последующих исследований А. Кэли и Ф. Клейна.
Изменения, внесенные в геометрию со стороны указанных ее областей, весьма
значительны. Однако коренная перестройка всего содержания геометрии и ее
структуры определялась не этими изменениями. Принципиально новое содержание было
внесено в нее геометрией Лобачевского. Поэтому мы в основном и посвятим
дальнейшее изложение истории открытия геометрии Лобачевского *и вообще
неевклидовых геометрий, а также их влиянию на формирование современной
геометрии.
Открытие геометрии Лобачевского и ее некоторые характерные особенности.
Создатель неевклидовой геометрии Николай Иванович Лобачевский (1792-1856)
родился в Нижнем Новгороде (ныне г. Горький) в семье бедного чиновника. Он
окончил Казанский университет (1811) и работал в нем много лет. Вскоре (с 1816
г.) он был уже профессором, а еще через несколько лет--ректором (с 1827 до 1846
г.) этого университета. Благодаря его
H. И. Лобачевский (1792-1856)
усилиям Казанский университет превратился в первоклассное учебное заведение.
Много сил Н. И. Лобачевский потратил на улучшение деятельности школ.
Мировоззрение Лобачевского было материалистическим. Во взглядах на основные
понятия математики, в частности геометрии, он твердо подчеркивал их материальное
происхождение, рассматривая их как отражения реально существующих отношений
вещей Действительного мира. Математические абстракции не могут рождаться по
произволу, они появляются как результат взаимоотношений человека с материальным
миром. Научное познание имеет
14*
единственную цель: изучение реального мира. Критерием истинности научного
познания является, по Лобачевскому, практика, опыт.
Лобачевский не был специалистом в узкой области математики. Его научное наследие
включает в себя серьезные работы по алгебре ("Алгебра или вычисление конечных",
1834 и др.) и математическому анализу ("Об исчезновении тригонометрических
строк", 1834; "О сходимости бесконечных рядов", 1841; "О значении некоторых
определенных интегралов", 1852 и др.). Он первый ввел различие между
непрерывностью и дифференцируемостью функций, нашел метод численного решения
алгебраических уравнений, известный под его именем, и др. Однако наивысшую,
можно сказать бессмертную, славу Лобачевский заслужил своими работами по
геометрии.
Отправным пунктом исследований Лобачевского по неевкли-; довой геометрии была
аксиома о параллельных. Как известно, дедуктивно построенная система евклидовой
геометрии опирается на некоторую совокупность аксиом. Как показал позднее Д.
Гильберт, эти аксиомы вводят различные аспекты понятий: соединения или
принадлежности, порядка, движения или конгруэнтности, непрерывности и
параллельности. Последняя из этих аксиом (фигурирующая в "Началах" Евклида в
качестве пятого постулата) стоит как бы особняком. За ней в силу сложности
формулировки не было призвано свойство очевидности, и в течение многих веков
предпринимались попытки дать ее доказательство, разумеется, безус......
пешные.
Геометрия, в зависимости от того, используется ли аксиома о параллельных или
нет, делится на две части. Та часть, куда входят предложения, не опирающиеся на
эту аксиому, носит название абсолютной геометрии. Лобачевский, который вначале
пытался дать доказательство упомянутой аксиомы, вскоре убедился в возможности
расчленения геометрии на абсолютную и неабсолютную и осуществил его. Вслед за
этим он попробовал заменить аксиому о параллельных ее отрицанием: он
предположил, что через точку, не лежащую на данной прямой, может проходить более
чем одна прямая, лежащая в одной плоскости с прямой и не пересекающаяся с ней
при продолжении. При этом он обнаружил, что формального противоречия не
получается, а система выводов складывается в новую геометрию, отличную от
евклидовой, но столь же логически строгую и последовательную, несмотря на
непривычность, странность ее утверждений.
Днем рождения неевклидовой геометрии можно считать 11(23) февраля 1826 г., когда
на заседании отделения физико-математических наук Казанского университета
Лобачевский доложил о своем сочинении "Сжатое изложение основ геометрии со
строгим доказательством теоремы о параллельных". Через три года, в 1829 г., он
издал это сочинение в расширенном виде под названием: "О началах геометрии". В
последующем Лобачевский раз396
вивал свою новую геометрию, опубликовав ряд работ: "Воображаемая геометрия"
(1835), "Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам" (1836),
"Новые начала геометрии с полной теорией параллельных" (1834-1838), небольшая
книжка "Геометрические исследования" на немецком языке (1840), "Пангео-метрия"
(1855).
Попытки доказать аксиому о параллельных приведением к противоречию имели место
до работ Лобачевского. И. Саккери (1733) даже получил ряд предложений, которые
затем ошибочно признал противоречивыми, а следовательно, аксиому о параллельныхдоказанной.
И. Ламберт около 1766 г. (опубликовано в 1786 г.), следуя по тому же
шути, не смог ни примириться с получающейся системой выводов, ни опровергнуть
ее. Аналогичные исследования предпринимали Ф Швейкарт (1818) и Ф. Тауринус
(1825). Однако только венгерский математик Я. Больяи (1802- 1860) ясно выразил
ту же мысль, что и Лобачевский, и к 1832 г., независимо от последнего, развил
систему неевклидовой геометрии, выпустив сочинение: "Аппендикс,- т е.
приложение, содержащее науку о пространстве, абсолютно истинную". После смерти
Гаусса (1855) выяснилось, что тот тоже открыл начальные факты геометрии
Лобачевского, но молчал о них. из боязни уронить свою научную репутацию. Он даже
не решился поддержать молодого Я. Больяи, когда тот прислал ему свою работу.
Подлинное мужество ученого, свойственное Лобачевскому, особенно ярко проявилось
в обстановке непризнания и нападок, созданной вокруг его работ, которая
продолжалась до самой его смерти.
Геометрия Лобачевского в абсолютной своей части не отличается по существу от
геометрии Евклида. В той же части, которая использует аксиому о параллельных,
дело обстоит иначе. К этой части относятся теоремы о: а) расположении
параллельных прямых; б) сумме углов в треугольниках и многоугольниках; в)
площадях; г) вписанных в окружность и описанных многоугольниках; д) подобии и
конгруэнтности фигур; е) тригонометрии; ж) теореме Пифагора; з) измерении круга
и его частей. В этих пунктах двумерная геометрия Лобачевского отличается от
евклидовой планиметрии. Рассмотрим конкретнее некоторые особенности геометрии
Лобачевского.
Допущение, что через точку О вне прямой можно провести больше одной прямой, не
встречающейся с данной, приводит к вь воду, что таких прямых бесконечно много.
Они образуют ny4oJ В пу-чке этих прямых есть две крайние прямые: ОБ и OBi (рис.
57] Они и называются параллельными прямой ОцД. Теперь возникав необходимость
ввести направление параллельности. В направлении параллельности прямые
.сближаются, в противоположном - удаляются. Угол параллельности а зависит от
расстояния между параллельными, т., е. от длины соответствующего перпендикуляра
х, следующим образом:
tg
Л (X)
где А -постоянная, зависящая от выбора единицы длины,, Если
, то зт (л) •
-; в случае же х-*~"х" я(л;)-"0. Наконец, прямые,
имеющие общий перпендикуляр, расходятся в обе стороны.
\ \ 1 (
/ 1 \ \
Рис. 58
Вслед за тем оказывается, что сумма углов треугольника меньше 2d. При увеличении
сторон треугольника эта сумма уменьшает-! ся. Аналогичные суждения справедливы и
для многоугольников.! Вследствие этого стало необходимым выдвинуть еще один
признак) равенства треугольников, исходя .из равенства трех пар соответствующих
углов.
Площади всех треугольников образуют множество с верхней гранью с -я, где с -
постоянная, зависящая от выбора единицы измерения площадей, равная отношению
площади треугольника к его дефекту (разности суммы внешних углов треугольника и
4d). В геометрии Лобачевского не существует подобных треугольников и
многоугольников. Допущение подобия эквивалентно постулату Евклида о
параллельных. Длина окружности / растет быстрее радиуса г и равна
Рис. 59
Дальнейшее развитие геометрии Лобачевского связано с введением пучков прямых:
сходящихся, расходящихся и параллельных (рис. 58). Относительно пучков прямых
вводятся циклы (иначе называемые ^-линиями, или основными линиями). Это -
геометрические места точек, являющиеся ортогональными траекториями лучка прямых.
Их положение определяется начальной точкой, выбранной на одной из прямых пучка.
Эти циклы для трех видов пучков соответственно называются : окружность, экви
дистанта (или гиперцикл) и орицикл (образ предельной окружности при j?-"oo).
Соответствующие пространственные образы, образованные вращением циклов вокруг
избранной прямой, будут: сфера; гиперсфера, орисфера соответственно. Лобачевский
установил,
что на орисфере, если прямые заменить орициклами, осуществляется
планиметрия Евклида и тригонометрия.
Во все соотношения геометрии Лобачевского входит единица длины (масштаб), а углы
и длины зависят друг от друга. Единицей длины является OR - длина абсолютной
дуги орицикла (рис. 59). Это - дуга, отсчитываемая от избранной точки О на одной
из параллельных прямых пучка, до /? -пересечения орицикла с прямой пучка,
параллельной касательной к орициклу в точке О. В настоящее время отрезок, равный
по длине абсолютной дуге, называют также радиусом кривизны пространства
Лобачевского.
Аппарат вычислений в геометрии Лобачевского основывается на оперировании с
гиперболическими функциями. Например, теорема, аналогичная теореме синусов для
треугольника, в геометрии Лобачевского приобретает вид
sin a sin P
shka
shkb
sin у shkc
Вся тригонометрия оказалась в основном тригонометрией гиперболических функций.
Совокупность ее формул оказалась подобной совокупности формул сферической
тригонометрии в системе Евклида, но для сферы мнимого радиуса RL Вслед за
тригонометрией . Лобачевский разработал в своей системе аналитическую и
дифференциальную геометрии.
В сочинениях Лобачевского построена система, не содержащая логических
погрешностей и столь же богатая фактами, как и геометрия Евклида. Тем самым
показано, что мыслима не только одна система геометрии и что другие системы
можно получать путем видоизменений и обобщений основных положений геометрии Евида.
Однако прием, оказанный геометрии Лобачевского, был
более чем обескураживающим. На его сочинения академики (в том числе
Остроградский) давали отрицательные отзывы, в печати появились пасквили на
Лобачевского. Требовалось незаурядное мужество и вера в научную достоверность и
значимость своих исследований, чтобы противостоять этому. Лобачевский проявил
не
...Поділитися у соцмережах
