Жанр: Наука
История и методология математики
...обходимые качества, боролся настойчиво" но умер-в 1856 г. нетто-1 пятым и
непризнанным.
Рис, 60
Проблема интерпретации геометрии Лобачевского и геометри" ческих систем вообще.
Задача, которую не смог решить Лобачевский"- это задача обоснования новой
геометрии. Можно сколь угодно далеко идти по пути накопления ее фактов, но не
получить уверенности в строгости ее логической основы, в ее'значимости для
практических приложений и относительно ее места в науке,. Лобачевский "заметил,
что для бесконечно малых размеров его геометрия превращается в евклидову. Кроме
того, сходство тригонометрических соотношений в обеих геометриях позволяло
надеяться на скорое открытие связей между ними.
Путь Лобачевского в решении проблемы обоснования -поиски материальных объектов,
для которых осуществлялась бы его геометрия. Вспомогательный путь приложения
фактов геометрии к математическому анализу, в особенности к вычислению трудных
интегралов, был также использован Лобачевским.
Но вернемся к основным попыткам. Требуется, скажем, измеряя углы треугольников,
обнаружить, Отличается ли их сумма а от 2rf, т. е. обнаружить дефект d = 2d-а.
Лобачевский доказал, что этот дефект должен быть прямо пропорционален площади
треугольника S и обратно пропорционален квадрату радиуса кривизны пространства,
т. е.
Чтобы дефект был заметен, надо выбирать треугольники самых больших размеров.
Поэтому Лобачевский занялся непосредственным измерением космических
треугольников.
С положения 3! Земли на орбите (рис. 60) фиксируется некоторая звезда Л, которая
выбрана так, чтобы
400
ЕСЛИ фиксировать ту же звезду А из противоположной точки 32 орбиты, то "С32Л =
2й - 2р. Величина (J есть параллакс звезды, измеряемый обычно с большой
точностью. Если космическое пространство
имеет геометрию Лобачевского, то можно определить угол параллельности
-со. Однако все. измеренные отклонения неизменно оказывались в пределах точности
наблюдения, и эксперимент Лобачевского не удался.
Это теперь не, представляется удивительным:,. Известно, что в 1931 г. Шиллинг
доказал, что современные средства астрономической техники не могут ни доказать,
ни опровергнуть предположения Лобачевского о геометрии космического
пространства,, если допустить, что радиус кривизны пространства превышает 60
световых лет,, Неутешительные данные наблюдательной астрономии дополняет общая
теория относительности, которая для изотропного мира дает значение радиуса,
кривизны '1,8-1 09 световых лет. Если же учесть, что геометрия космического
пространства тесно связана с распределением и движением масс, заполняющих его и
обладающих свойствами притяжения, то эта геометрия примет весьма сложную форму.
Тем не менее, несмотря на неудачи с экспериментом, Лобачевский находился на
верном пути,, Его идея - это идея интерпретации: данные всякой теории должны
проверяться опытом,, Геометрия Евклида возникла как обобщение многовекового
опыта людей и подтверждена практикой,, Возможная конструкция, созданная
Лобачевским, должна опереться на систему реально существующих объектов, чтобы
быть признанной непротиворечивой,,
Как это часто бывает в истории математики, разгадка находилась рядом; математики
уже имели все необходимое, чтобы решить проблему интерпретации геометрии
Лобачевского. Необходимо было лишь привлечь данные теории поверхностей.
Мы уже упоминали, что дифференциальная геометрия в начале XIX в. получила новую
область распространения в теории поверхностей. В трудах Гаусса, особенно в его
"Рассуждении о кривых поверхностях", была построена внутренняя геометрия
поверхностей. Для этого Гаусс использовал криволинейные координаты и и v на
поверхности. Линейный элемент (дифференциал дуги)
ds2 = Edu2 + 2F dudv + G dv*
и гауссова кривизна /С = - дали возможность найти все элеRI
RI
менты поверхности. Факты внутренней геометрии оказались инвариантными
относительно изгибания поверхностей, т. е. таких деформаций последней, при
которых линейный элемент остается инвариантным. С тех пор более столетия
проблемы изгибаний и
внутренней геометрии поверхностей являются .важнейшими проб" лемами
дифференциальной геометрии.
Около 1840 г. Ф. Миндинг, профессор университета в Дерпте (Тарту) Г йзута?^^^
гауссовой кривизны. Среди
поверхностей постоянной отрицательной кривизны он, в частности, выделил
поверхность вращения трактрисы
т. е. кривой, у которой длина отрезка а касательной от точки касания до базы OF
постоянна. Кривизна этой поверхности
поэтому такая поверхность названа псевдосферой.
Миндинг показал, что для любого треугольника,, сторонами которого являются,
геодезические, линии на поверхности постоянной. кривизны /С, имеет место
соотношение
ctg А • sin С + cos С • cos |/"/Г • b = ctg Yk' a • sin ]/Т b"
Е случае /С"0 это одна из формул сферической тригонометрии.
Если же /С"0, то .после подстановки УК =: - вследствие
ri
sin ix = i sh л:, cos ix = ch x
"формула получает вид
ctg A • sin С ~f- cos С • ch - = cth - • sh - .
r r r
Из этой формулы можно вывести остальные формулы гиперболической тригонометрии.
Тригонометрия геодезических треугольников на поверхности постоянной
отрицательной кривизны оказалась гиперболической тригонометрией.
За пять лет до выхода этой работы Миндинга, в 1835 г., Лобачевский в
"Воображаемой геометрии" показал, что требование аксиомы параллельности можно
свести к вопросу о справедливости соотношений гиперболической тригонометрии.
Результат Миндинга означал по существу, что внутренняя геометрия псевдосферы
изоморфна планиметрии Лобачевского. Однако ни Миндинг, ни Лобачевский этого не
заметили.
Обнаружил этот факт впервые итальянский геометр Е. Бельт-рами. Он внимательно
изучал сочинения Лобачевского по французским и итальянским переводам. При этом
он увидел, что результаты одного его дифференциально-геометрического
исследования содержат искомую интерпретацию геометрии Лобачевского.
Бельтрами исследевал задачу картографии: отобразить поверхность на плоскость
таким образом, чтобы все геодезические линии
на поверхности изображались прямыми на плоскости. Он обнаружил, что такое
отображение можно установить для сфер и для поверхностей постоянной
отрицательной кривизны, а также нашел среди последних псевдосферу (см. рис. 61).
Линейные элементы
У\
х
Рис. 61
(основные метрические формы) плоскости Лобачевского и псевдосферической
поверхности оказались выраженными одной и той же. формулой. Это означало, что
внутренняя геометрия псевдосферы изоморфна внутренней геометрии гиперболической
плоскости Лоба-. чевского. Образом прямых Лобачевского явились геодезические на
поверхности, а движения интерпретировались изгибаниями поверхности на себя.
Бельтрами опубликовал свои результаты в 1868 г. в^статье "Опыт истолкования'
неевклидовой геометрии". Это была первая
интерпретация геометрии Лобачевского. Она произвела большое впечатление. После
нее положение этой части геометрии изменилось. Сомнения в ее непротиворечивости
отпали, так как плоскость Лобачевского интерпретировалась на поверхности
евклидова пространства. Однако интерпретация была неполной, так как поверхность
псевдосферы отображает лишь часть плоскости Лобачевского, что легко заметить на
рис. 62. Очевидно также, что никакие комбинации бельтрам'иевых поверхностей не
устраняют неполноту.
Бельтрамл смог таким образом доказать непротиворечивость геометрии Лобачевского
лишь для некоторой ограниченной части плоскости. Остался открытым вопрос об
интерпретации всей плоРис.
скости Лобачевского. Только в 1901 г. Д. Гильберт доказал, что в трехмерном
пространстве не существует аналитической поверхности постоянной отрицательной
кривизны, не имеющей нигде особенностей и повсюду регулярной. Поэтому
осуществить интерпретацию типа Бельтрами всей плоскости Лобачевского невозможно.
Следующая по времени интерпретация" проведенная. в_ 1.8.71 г. Ф, Клейном в
работе "О'так называемой неевклидовой геометрии", основывается на введенном Кэли
проективном мероопределении на плоскости., Кэли ввел это понятие в 1859 г. в
"Шестом мемуаре о-формах" следующим образом: Формы - это однородные многочлены.
Для геометрического истолкования теории форм: Кэли привлек аналитическую
геометрию проективного пространства" построенную Плюккером. С бинарной формой он
связал систему точек прямой, однородные координаты которых обращают эту форму в
нуль,. Аналогично тернарная форма представляется кривой проективной плоскости;
если эта форма квадратична, соответствующая кривая есть коническое сечение.
Затем Кэли фиксирует одну из бинарных квадратичных форм и пару точек,
соответствующую ей на прямой. Его определение абсолюта по существу вводит его
как образ, относительно которого рассматриваются автоморфизмы. Для определения
расстояния между двумя точками Кэли строит ангармоническое отношение этих двух
точек и точек абсолюта,. Логарифм ангармонического отношения и есть, по Кэли,
расстояние. На плоскости абсолютом является кривая второго порядка; ее
пересечение с любой прямой плоскости определит на ней абсолют проективной
метрики,,
Клейн в упомянутой выше работе доказал, что проективная метрика Кэли,
определяемая действительной кривой второго порядка, совпадает с метрикой
пространства постоянной отрицательной кривизны. Теперь Клейн может (и он именно
это делает) отобразить плоскость Лобачевского на внутренность абсолюта, например
внутрь круга. Точки плоскости отображаются во внутренние точки абсолюта, прямые
перех'одят в хорды без конечных точек, параллельные прямые - в хорды с общим
концом. Движение- проективное преобразование, переводящее круг сам в себя и
хорды - в хорды. Расстояние, как и у Кэли,
ITO 1 эхAM
BN
В пространстве используется проективное отображение на внутренность сферы.
Геометрия Лобачевского интерпретируется посредством абсолюта Клейна (рис. 63).
Например, из точки О оказывается возможным провести две прямые ОМ и ON, не
пересекающиеся с данной прямой MN ,и тем самым параллельные ей в смысле
Лобачевского. Геометрия Лобачевского оказывается с этих позиций геометрией
подгруппы всех проективных преобразований, при которой абсолют отображается сам
в себя. Модель Клейна
явилась долгожданным полным доказательством непротиворечивости геометрии
Лобачевского и наличия у нее реального смысла. После этой работы Клейна
появились и продолжают появляться новые интерпретации, обнаруживая новые
связи геометрии Лобачевского с другими областями математики. Приведем
для примера модель А. Пуанкаре, предложенную им в 1882 г. в связи , с задачами
геометрической теории функций комплексного переменРис.
кого. Плоскость Лобачевского изображается тож;е внутренностью круга (рис, 64),
прямые - дугами окружностей" перпендикулярными данной окружности, и диаметрами.
Движения интерпретируются комбинациями инверсий, Мы здесь имеем в виду
гиперболическую инверсию, т. е. такие преобразования точек плоскости
относительно окружности с центром О и радиусом г, когда каждой точке М на луче
ОМ ставится в соответствие точка ЛГ, такая, что OAf-OAiW2.
Разработка принципов классификации геометрических теорий. Наличие интерпретаций
означало доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевского. Точнее
говоря, этим была доказана возможность сведения указанной проблемы к вопросу о
непротиворечивости геометрии Евклида, а через нее к данным опыта. В свою очередь
определившаяся равноправность по крайней мере двух геометрий - евклидовой и
Лобачевского - повела к появлению других различных геометрических систем, к
необходимости выработать единые принципы классификации этих систем, к разработке
аксиоматического метода и укреплению его положения как важнейшего метода всей
геометрии и вообще математики современности.
. Ф. Клейн внес в классификациюлжтем геометрии идеи ...теории групп. Коротко
говоря, он отметил, что все движения, рассматриваемые в геометрии, образуют
группу: произведение двух движений есть движение, каждое движение можно
сопоставить с обрат405
ным ему. Геометрия Евклида и геометрия Лобачевского имеют разные группы
движений. Если поставить вопрос более общо, то оказывается, что геометрия
пространства характеризуется свойствами группы движений этого пространства.
Именно движение есть такое преобразование, которое позволяет сравнивать фигуры с
одинако-\ выми свойствами. Таким образом, выделяется совокупность свойств \
пространственных объектов, инвариантных относительно движения. \ Наука об этих
'свойствах р является геометрией. \ Эти воззрения были изложены и развиты
Ф. Клейном в речи". прочитанной им в 1872 г. при вступлении на кафедру в
немецком городе Эрлангене, "Сравнительное обозрение новейших геометрических
исследований". В дальнейшем она сделалась гораздо более известной математикам
как "Эрлангенская программа Ф.'Клейна". По Ф. Клейну, для построения геометрии
необходимо задать: а) некоторое многообразие элементов; б) группу
преобразований, дающую возможность отображать элементы заданного многообразия
друг на друга. Геометрия должна изучать те отношения элементов, которые
инвариантны при всех преобразованиях данной группы.
С этих позиций возможны, например, следующие геометрии: а) геометрия Евклида,
изучающая инварианты 'перемещений; б)' аффинная геометрия, объектом изучения
которой являются инварианты так называемых аффинных преобразований
n
l/f = ?T J? -Jdet
=
при условии:
-(в частном случае, когда рассматриваются ортогональные преобразования, мы
всегда будем иметь: det=±l); в) проективная геометрия, т. е. наука об
инвариантах дробно-линейных преобразований
х, = aix + b1y + c1 ,
У' =
detЬ2у
Ь3 с3
Пр,и такой постановке вопроса геометрия Лобачевского трактуется как часть
проективной геометрии, где изучаются инварианты подгруппы проективных
преобразований, переводящей в себя т@чки некоторой окружности.
В классификацию Клейна помимо указанных входят многие другие геометрические
системы. Например, конформная геометрия, охватывающая группу таких
преобразований, которые переводят круги в круги, а также сохраняют углы. Другим
примером может служить топология - геометрия групп непрерывных преобразований,
т. е, таких, при которых сохраняется бесконечная близость точек.
Уже более ста лет идея Клейна о том, что геометрию можно строить на любом
многообразии, .в котором установлена группа преобразований, является руководящей
не только для классифика-• ции геометрических теорий, но и для построения новых
систем; геометрии, Однако -она не является единственной. В середине XIX в.
появился еще один общий принцип рассмотрения геометрических теорий. Это был
принцип, который мы -условимся впредь называть метрическим, Впервые он изложен в
общем виде в 1854 г. Риманом в- ставшей впоследствии знаменитой лекции "О
гипотезах, лежащих в основании геометрии" (опубликовано в 1867 г.).
Исходные идеи геометрических исследований Римана в первом: приближении таковы.
Для построения геометрической' теории необходимо задать: а) многообразие
элементов; б) координаты этих элементов (в общем случае я); в) закон
измерения расстояний' между бесконечно близкими элементами многообразий.
Последний задается: исходя из предпосылки, что геометрическое пространство' в
бесконечно малых частях евклидово. Это означает, что в самом общем виде задан
линейный элемент дуги, определяемый дифференциальной. квадратичной формой
Здесь
8tk = 8ik (*ь - - - . *"); 8ik = 8kt ds*"0.
Указанная форма, очевидно, является обобщением гауссовой квадратичной формы во
внутренней геометрии поверхностей:
ds2 = Eduz + 2F dudv + G dv*.
Движения определены как преобразования, относительно которых линейный элемент ds
инвариантен. Отсюда
Вслед за ds остаются в этом случае инвариантными длина кривой и другие
соотношения, относящиеся к так называемой метрике пространства. Само понятие
пространства, вслед за столь широким обобщением понятия расстояния между двумя
точками,
приобрело весьма общую трактовку (например, пространство цветов, фазовое
пространство и т. д.). Это понятие быстро эволюционировало вплоть до
современного (представления о римановых пространствах как общих дифференциальногеометрических
многообразиях с необходимыми уточнениями. Теория римановых
пространств носит в настоящее время название римановой геометрии.
Риман не создал аналитического аппарата, адекватного столь широко задуманной на.
основе метрического принципа геометрии. Лишь к началу XX в., когда в трудах
итальянских математиков Р. Риччи-Курбастро и Т. Леви-Чивита оформилось тензорное
исчисление как синтез теории алгебраических форм и.теории квадратичных
дифференциально-геометрических форм, оказалось, что оно является наиболее
удобным аппаратом для разработки проблем римановой геометрии. Широкие обобщения
понятия расстояния между двумя элементами и соответственно всех метрических
суждений привели к введению понятия метрического пространства. Более узкая
постановка вопроса в плане выяснения возможных разновидностей неевклидовой
геометрии - геометрии пространств постоянной положительной кривизны - получила
название геометрии Римана.
Становление аксиоматического метода в геометрии. Идея Лобачевского о том, что
логически мыслима не одна геометрия. Евклида, получила во второй половине XIX в,
подтверждение; возникли многочисленные геометрические системы. Воплотилась в
жизнь в виде разнообразных интерпретаций, а затем и приложений и другая его идея
- что истинность геометрии проверяется лишь опытом и что расширяющийся опыт
потребует введения не только евклидовой геометрии. Истинная, природа,
пространства может оказаться и неевклидовой.
Третья идея Лобачевского, как. было указано, состояла в том, что новые геометрии
могут быть построены путем видоизменения и обобщения системы аксиом'и вообще
исходных положений евклидовой геометрии. Эта идея повлекла целую серию
исследований по основаниям геометрии. Еще в 1866 г. Г. Гельмгольц ввел движение
в качестве .основного понятия геометрии. Г. Кантор (1871) и Р. Дедекинд (1872)
исследовали аксиому непрерывности. Паш (1882), добиваясь решения проблемы
включения метрической геометрии в проективную, глубоко исследовал две группы
аксиом: порядка и принадлежности (по позднейшей классификации аксиом,
осуществленной Д. Гильбертом). Вслед за Пашем эти группы аксиом исследовали Д.
Пеано (1889) и Пиери (1899). Наконец, в 1899 г. появилось первое издание
"Оснований геометрии" Д. Гильберта, в котором впервые была изложена полная и
достаточно строгая система аксиом геометрии.
Таким образом, к концу XIX в. в геометрии укоренился аксиоматический метод. С
того, же времени аксиоматический метод распространился и на другие области,
сделавшись одним из основных методов современной математики. Геометрические
теории оказались
едва ли не самой удобной частью математики для станов, аксиоматического метода.
Вместо громоздкой системы опредь. ний, аксиом и постулатов, принятой в "Началах"
Евклида, тепер*. сделалось возможным ввести лишь совокупность аксиом, которая и
служит описанием основных понятий и их свойств. В геометрии же сложились первые
требования логической строгости, которым должны удовлетворять аксиомы;
требования их совместности и полноты. Совместность включила в себя требования
независимости и непротиворечивости. Последняя доказывается построением
интерпретаций и по существу эквивалентна этому построению. Независимость какойлибо
аксиомы устанавливается заменой ее отрицанием с последующим построением
интерпретаций с целью доказать непротиворечивость новой системы. Полноту системы
аксиом стали понимать как свойство определять систему объектов с точностью до
изоморфизма. В отличие от геометрии аксиоматика теории групп, например, не.
может быть полной, так как -существуют группы с неизоморфной структурой.
Аксиомы геометрии, как и вообще математические аксиомы, не являются вечными
априорными истинами. Критерий их истинности лежит в практике; на каждом этапе
исторического развития математики выявляется их относительность. Большая роль
аксиоматического метода не может затенить реальное происхождение аксиом, не
может служить основанием, для их идеалистических оценок. По справедливому
выражению Ф. Энгельса, ""..выведение математических величин друг из Друга,,
кажущееся априорным, доказывает не их априорное происхождение, а только их.
рациональную взаимную связь" 1"
Развитие геометрии в XX в. из-за громадного фактического объема и сложности
связей не оказалось возможным включить в состав настоящей главы. Первоначальное
представление об этом предмете читатель может получить, например, из статьи
А.Д.Александрова "Геометрия"2, к которой приложена хорошо подобранная
библиография.
А
1 К. Маркс и Ф. Энгельс. Собр. соч., т. 20, стр. 37.
2 А. Д. Александров. Геометрия. БСЭ, изд. 2, т. 10, стр. 533-550.
МАТЕМАТИКА В РОССИИ
Состояние научных исследований по математике к -началу XIX в, В предшествующих
внесенных выдающимися математиками России. Эти материалы свидетельствуют о
возрастании объема и удельного веса научных исследований наших отечественных
ученых и могут дать некоторое (представление об уровне и характере развития
математики в России в XVIII и XIX вв.
Однако приведенные сведения оказались отрывочными, потому что выбор их был
подчинен целям общего характера, стоявшим перед автором при написании той или
иной главы, поэтому необходимо дополнить указанные сведения кратким, по
возможности связным очерком развития математики в России. При этом мы будем
стремиться избегать повторений ранее приведенных материалов.
В XVIII в. в России существовало только два учебно-научных центра: Петербургская
академия наук (основана в 1725 г.) и Московский университет (открыт в 1755 г.).
Научная деятельность в области математики и смежных дисциплин полностью
исчерпывается трудами Л. Эйлера и его немногочисленных учеников. Гигантские по
количеству и важности результаты Эйлера оставались все же изолированным
явлением, не находили широкого научного отклика в России, где образованных людей
было еще немного.
Также не нашли непосредственного развития многие замечательные мысли М. В.
Ломоносова о математике, ее значении и характере ее методов. Московский же
университет выполнял в XVIII в. по преимуществ^улебад
Положение начало изменяться в первой половине XIX в., когда под натиском нового,
капиталистического производства в России, несмотря на сопротивление, царизма,
были проведены некоторые реформы. Возросшая при этом роль науки и образования
для экономики России нашла свое выражение, в частности, в основании ряда
университетов, Начало XIX в. было ознаменовано появлением университетов:
Тартусского (1802),, Вильнюсского (1803), Казанского (1804), Харьковского
(1805), Петербургского (1819) и Киевского (1834). Во второй половине XIX в. было
открыто еще три университета: Одесский (1865), Варшавский (1869) и Томский
(1888). Ко времени Великой. Октябрьской социалистической революции в России
насчитывалось всего И университетов (в 1909 г. был открыт Саратовский
университет)т~"~~............................
В каждом из университетов с момента его организации учреждались физикоматематические
факультеты и кафедры математики (в Саратовском университете это
произошло лишь в 1918 г.).
Деятельность университетов, руководивших в то время также всеми средними и
низшими учебными заведениями" была важней-, шей частью создания основ
развертывания научных исследований по математике. Другими частями этого важного
процесса были: повышение уровня преподавания математики в средних учебных
заведениях, издание математической литературы, в том числе журналов, появление
научных математических обществ.
В университетах к середине XIX в. начала разворачиваться серьезная: научная
деятельность. Этому сопутствовало объединение в ряде городов ученых-математиков
на основе общей тематики, которое привело к образованию научных школ. Этот
термин мы будем применять к сравнительно многочисленным группам ученых,
поддерживающих научные связи и объединяемых общностью научного направления,
выделяющегося либо классом решаемых теоретических проблем или задач, либо
своеобразием применяемых методов.
Первым научным центром в области математических исследований оказался Петербург,
точнее Петербургская академия наук. Вслед за тем вокруг университетов стали
складываться другие математические центры и школы: в Казани, Москве, Киеве,
Харькове и других городах. В дальнейшем мы сможем уделить основное внимание
развитию лишь Петербургской и Московской математических школ.
Петербургская математическая школа. После смерти Л. Эйле-ра (1783) уровень
математических исследований в Петербурге снизился. Новый подъем обозначился лишь
в 20-е годы XIX в. Он был связан с деятельностью М. В. Остроградского и В. Я.
Буня-ковского. Оба они являлись уроженцами Украины, оба получили
М. В. Остроградский (1801-1861)
серьезную научную подготовку в Париже - самом значительном в то время центре
математической науки. Это обстоятельство определило идейное родство и связь
работ петербургских математиков с ведущими идеями лучших математиков того
времени.
Михаил Васильевич Остроградский (1801-1861) окончил Харьковский университет в
1820 г. Он был учеником прогрессивного ученого, ректора университета Т. Ф.
Осиповского. Борьба последнего с реакционным большинством профессоров,
окончившаяся изгнанием Осиповского из университета, отразилась и на судьбе
Остроградского, который не получил диплома. Остроградский продолжал свою
подготовку в Париже (1822-1828) и возвратился на
родину уже ученым с высокой научной репутацией. Он обосновался в Петербурге,
будучи вначале (1828) избран адъюнктом, а затем (с 1830 г.) академиком. Кроме
того, Остроградский вел преподавание в ряде технических и во
...Поділитися у соцмережах
