История и методология математики

сторінка №2

...ены полухордами. При этом вводятся в рассмотрение по существу
тригонометрические функции: синусы, косинусы и синусы-версусы (sinversa =
= 1-cosa).
В истории Индии имеется достаточно фактов,, свидетельствую-, щих о наличии
экономических и политических связей с греческими, египетскими, арабскими
государствами и с Китаем. В математике .считается бесспорным индийское
происхождение десятичной системы счисления с нулем и правил счета. Можно
проследить заимствование индусами у греков некоторых геометрических сведений и
т. д. Но количество этих фактов невелико. Вопрос о связях и взаимных влияниях
математики Индии, Греции, Китая и арабских стран еще остается недостаточно
выясненным.
В заключение еще раз отметим, что относительно математики в Китае и в Индии мы
располагаем очень ограниченным запасом, сведений,, Либо исчезли, либо еще не
найдены многие материальные свидетельства • возникновения и накопления
математических знаний как части древних культур. Помимо разрушительного влияния
времени, в этом виноваты колонизаторы, которые уничтожили целые народы. Где
последнее оказалось невозможным, как это было в Китае и в Индии, были приложены
все усилия для фальсификации истории, для превознесения заслуг капиталистических
"цивилизаторов" и "просветителей",, несущих якобы свет "темным" народам. В более
завуалированной форме эти тенденции выражены в теориях о едином научном
источнике, о распространении по всему миру знаний одного избранного народа и т.
п.
История учит, что развитие всех форм деятельности человеческого общества
происходит под влиянием единых мотивов экономического развития. Это влияние
сказывается, в частности, в области математики во множественности источников ее
возникновения. Математика возникла и формировалась как наука во многих местах,
нередко весьма- удаленных друг от друга и между собой, казалось бы, не
связанных.
При этом всегда действовали и проявлялись общие закономерности: происхождение
математики из практической деятельности людей, выделение числовых и
геометрических абстракций в качестве отдельной области человеческих знаний,
образование логически последовательной системы этих абстракций, применение
последних к практическим задачам и т. п. Однако форма осуществления общих
закономерностей, характер математической науки, соотношение ее элементов имели
много различий и особенностей, которые необходимо принимать во внимание, чтобы
составить правильное представление о путях и перспективах развития
математических наук.

Глава 3.

ФОРМИРОВАНИЕ ПЕРВЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ТЕОРИй
3.1. ПЕРВЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ
Теоретическая часть математики имеет истоки в научных и философских школах
древней Греции, Вклад этих школ в развитие -науки настолько значителен, что даже
в наше время "теоретическое -естествознание" если оно хочет проследить историю
возникновения и развития своих теперешних общих положений, вынуждено
возвращаться к грекам"1.
В период VI-IV вв. до н. э., который мы здесь рассматриваем, Греция представляла
собой совокупность рабовладельческих государств-полисов (городов), ведущих
оживленную торговлю как между собой, так и с другими государствами
Средиземноморского * бассейна: Египтом, Финикией, Персией и т. д. В государствах
античной Греции техника, наука и культура достигли высокого уровня, о чем
свидетельствуют с большой убедительностью сохранившиеся прекрасные исторические
памятники. Дошедшие до нас естественнонаучные и философские труды античных
ученых и сведения о них показали, что в древней Греции сложились основные типы
мировоззрений, действовали различные естественнонаучные школы. Ведущее место
среди греческих натурфилософских школ последовательно занимали: ионийская (VIIVI
вв. до н. з.), пифагорейская (VI-V вв. до н. э.) и афинская (со второй
половины
1 Ф. Энгельс. Анти-Дюринг. М, Политиздат, 1970, стр. 340-341.

46

V Б. до н. э.). В этих школах с большой полнотой и обстоятельностью
разрабатывались и математические вопросы.
В математике этого времени практические задачи, связанные "с необходимостью
арифметических вычислений и геометрических измерений и построений, продолжали
играть большую роль. Однако новым было то, что эти задачи постепенно выделились
в отдельную область математики, получившую наименование логистики. К логистике
были отнесены: операции с целыми числами, численное извлечение корней, счет с
помощью, вспомогательных . устройств, вроде абака, вычисления с дробями,
численное-решение 'задач, сводящихся к уравнениям 1-й и 2-й степени,
практические вычислительные и конструктивные задачи архитектуры, землемерия и т.
д"
В то же время уже в школе Пифагора заметен процесс накопления абстрактных
математических фактов и соединения их. в теоретические системы. Так, например,
из арифметики была выделена в отдельную область теория чисел, т. е. совокупность
математических знаний,-относящихся к общим свойствам операций с натуральными
числами. В это время уже стали известными способы суммирования простейших
арифметических прогрессий и peri
зультатов вроде (2k- 1) = п2. Рассматривались вопросы деК--1

лимости чисел, введены арифметическая, геометрическая и гармоническая
пропорции1 и различные средние:
арифметическое
ническое-,
геометрическое -
ап и гармрНаряду
с геометрическим доказательством
теоремы Пифагора был найден способ отыскания неограниченного ряда троек
"пифагоровых" чисел, т. е. троек чисел, удовлетворяющих соотношению а2 + Ь2 = с2
и имеющих вид
П' Т^1* ~ *)' Т ^ "*" ^' где п ~нечетное- Другое правило: ~] ~1" (~) +1" где п -
четное, находим у Платона, т. е. в более позднее время. Было открыто много
математических закоПоследняя
имела вид

1

1

1 I
-----------Т, а название получила от
a b с
того факта математической теории музыки, что интервалы между полными тонами
обратно пропорциональны высоте тона.

47

номерностей теории музыки. Особенностью школы Пифагора является то, что
отдельным числам и числовым соотношениям приписывались таинственные, магические
свойства, а само занятие теорией чисел рассматривалось как удел "избранных" и
"посвященных". Числовой мистицизм пифагорейцев, разумеется^ имел не
естественнонаучное, а социально-политическое происхождение.
В тот же период происходили абстрагирование и систематизация геометрических
сведений. Были написаны специальные книги, в которБгхп^гзл^ал^сь'вложившаяся к
тому времени система геометрии. Таковы, например, "Начала." Гиппократа
Хиосского.. В геометрических работах вводились и совершенствовались приемы
геометрического доказательства. Рассматривались, в частности, теорема Пифагора,
задачи о квадратуре круга, трисекции угла, удвоение куба, квадрирование" ряда
площадей, в том числе ограниченных кривыми линиями.
Одной из причин создания математических теорий явилось открытие
иррациональности, вначале в виде установления геометрического факта
несоизмеримости двух отрезков. Значение этого шага в развитии математики трудно
переоценить. В математику вошло такое понятие, которое представляет собой по
существу сложную-математическую абстракцию, не имеющую достаточно прочной опоры
в донаучном общечеловеческом опыте.
Едва ли не^.первой открытой иррациональностью'явился V 2. Можно предполагать,
что исходным пунктом этого открытия были попытки найти общую меру с помощью
алгоритма последовательного вычитания, известного сейчас как алгоритм Евклида.
Возможно, что некоторую роль сыграла задача математической теории музыки:
деление октавы, приводящей к решению пропорции 1:я = я:2. Не последнюю роль,.
по-видимому, сыграл и характерный для пифагорейской школы общий' интерес к
проблемам теории чисел.
Древним грекам стало известно _очень рано логически строгое доказательство
иррациональности 1^2 путем сведения к противоречию. Пусть J/2 - -^-, где т и п -
взаимно-простые числа,
п
Тогда т2=2п2, откуда следует, что т2 - четное, следовательно, т - четное. Тогда
п является нечетным. Однако если т - четное,, то т2 делится на 4 и,
следовательно, п2 - четное. Четно, следовательно, и п. Получающееся формальное
противоречие (п не может быть одновременно и четным и нечетным) указывает на
неверность посылки о рациональности ]/2.
Для исследования вновь открываемых квадратичных иррацио-нальностей сразу же
оказалось необходимым разработать теорию
делимости. В самом деле, пусть j/я = -, где р и q - взаимноЯ
просты, а п есть произведение только первых степеней сомножи48

телей. Отсюда p2=nq2. Если t - простой делитель п, то р2 (а, значит и р) делится
на t. Следовательно, р2 делится на I2. Но в п. содержится только первая степень
t. Значит, q2 (равно как и ty) делится на t. Но этот результат формально
противоречит предположению, что р и q взаимно-просты.,
Вслед за иррациональностью 1/2 были открыты многие другие иррациональности.,
Так, Архит .(конец -V" в. до н.-э.) доказал' иррациональность чисел вида 1/я~(п
+ Г). Теодор из Кирены установил иррациональность квадратного корня из чисел 8,
5, 6, ....., Г7"
Теэтет '(начало IV в. до н. э.) дал одну из первых классификаций
иррациональностей.
С появлением иррациональностей в неокрепшей греческой математике возникли
серьезные -трудности как в теоретико-числовом, так и в геометрическом плане.
Была фактически поставлена под удар вся теория метрической геометрии и теория
подобия, Необходимость научного осмысления сущности открытого явления* и его
сочетания со сложившимися представлениями вызвала дальнейшее развитие
математических теорий,.

Этот следующий этап ознаменован попыткой создать для-" нужд научного
исследования общую математическую теорию" пригодную как для рациональных чисел,
так и для иррациональных. величин. Коль скоро после открытия иррациональности
оказалось,. что совокупность геометрических величин (например, отрезков) более
полна, чем множество рациональных чисел, то представилось целесообразным это
более общее исчисление строить в геометрической форме. Это исчисление было
создано. Оно получила название геометрической алгебры.
Первичными элементами геометрической алгебры являлись-отрезки прямой, "С ними
были определены все операции исчисления. Сложение интерпретировалось
приставлением отрезков" вычитание - отбрасыванием от отрезка части, равной
вычитаемому отрезку. Умножение отрезков приводило к построению двумерногообраза;
произведением отрезков а и b считался прямоугольник со сторонами а и Ъ.
Произведение трех отрезков давало параллелепипед, а произведение большего числа
сошюжителей в геомет-" рической алгебре ?ё""!м6Тло^1[сш^рйватьсяГ
Дёление^оказывалбсЬ* возможным лишь при условии, что размерность делимого больше
размерности делителя. Оно интерпретировалось эквивалентной задачей приложения
площадей:
Приложить к отрезку с прямоугольник, равновеликий данному (ab). Решение задачи,
как видно из рис. 3, состоит в прикладывании друг к другу прямоугольников аЪ и
be и в построении нового прямоугольника, диагональю которого является диагональ
прямоугольника be, продолженная до пересечения с продолжением стороны Ь. Тогда
прямоугольники ab - cx оказываются равновеликими, и задача решена.
Метод приложения площадей, описанный здесь, позволял решать задачи, сводящиеся к
линейным уравнениям, и носил назва49

ние параболического (яарсфоЯг/ и означает по-гречески приложение площадей).
В геометрическую алгебру входила и совокупность геометрических- предложений,
интерпретирующих алгебраические тождестab

Рис. 3
ab
Рис. 4
ва. Например, рис. 4 дает геометрическую интерпретацию тождества
(a+b)^=a2+2ab + b2.
Метод приложения площадей был распространен и- на случаи решения задач,
сводящихся к квадратным уравнениям" Примерами
С Б
Рис. 5
Рис. 6
-таких задач являются: определение сторон правильных вписанных многоугольников;
так называемое "золотое сечение" отрезка, т. е. деление отрезка а на две части:
х и а-х, удовлетворяющие
соотношению - =-------; выражение ребер правильных многох
а — х
гранников через диаметр описанного шара и т. д. Решение этого класса задач
проводилось с помощью единообразного канонического метода, имеющего следующие
разновидности в зависимости от вида квадратного уравнения.
а) Построить квадрат, равновеликий заданному прямоугольнику ab. Существо метода
заключается в замене прямоугольника
, ,./а + 6\2/а - Ь\2
ab разностью квадратов ab = I-!-J -(---J и в последующем применении теоремы
Пифагора (рис. 5):

50

AD-DG = гномону CLGD^B^B = Cfi2 -LG2,
или
= (a+b\2 _ /д-ь у
V 2 J V 2 / '
Построение искомого отрезка л; ясно из рис. 6. Это построение также было
положено в основу построения среднего геометрического: а :х = х :Ь.
В -D
Д
в
\К
Рис. 7
б) Приложить к данному отрезку (АВ = а) прямоугольник: (Л (7), равный заданной
площади (S = &2), так, чтобы часть площади, недостающей до полного
прямоугольника (А /С), была квадратом (1"/С=*2) (рис. 7).
•По условию задачи 62= (а - х) -я, но
= f - Y - (4- -
(а - *) jc = гномону
С помощью теоремы Пифагора отыскивается отрезок - — х, а
затем х. Этот случай приложения площадей называется эллиптическим (от греческого
еААекрц; - недостаток).
в) Приложить к данному отрезку (АВ = а) (рис. 8) прямоугольник (А /С), равный
заданной площади (S = b2), так, чтобы избыток над прямоугольником (AG) был
квадратом (ВК=х2). Ь2 =
= (а + х)-х',ЕО (а + х)-х= гномону CWB^DJ) = (- + х\* - (- J2 ; следовательно,
62 = Г- + д:] - ( } /откуда с помощью теоремы
Пифагора находится построением отрезок - + х, а затем и х.

Этот тип приложения площадей называется гиперболическим (от греческого
бяерро^т] - превышение, избыток).

51

Очевидно, что подобный метод давал только один положительный корень квадратного
уравнения. Древние математики понимали необходимость так формулировать условия
задач геометрической алгебры, чтобы они заведомо имели положительное решение.
Поэтому на условия задачи они в необходимых случаях накладывали ограничения
(диоризады, 6topia(x6g).
Это обстоятельство выявляло ограниченность области применения методов
геометрической алгебры. Еще больше возможности геометрической алгебры
ограничивались из-за того, что ее объектами были образы размерности не выше
второй. Средствами построения были только циркуль и линейка. Можно было
представить себе в рамках геометрической алгебры операции с трехмерными
образами. Этого, однако, не делалось, потому что даже такая простая, казалось
бы, задача, как построение куба, имеющего •объем вдвое больше данного, не
поддавалась решению с помощью щиркуля и линейки. Задачи же, приводящиеся к
уравнениям сте-"пени выше третьей, как было указана, были в геометрической.
.алгебре древних просто невозможными.
Недостаточность геометрической алгебры как общей математической теории была
особенно подчеркнута выделением класса :задач" не поддающихся решению с помощью
циркуля и линейки. Среди этих задач наиболее известны: проблема удвоения куба,
трисекции угла и квадратуры крута.
Задача об_удвоении куба, т. е. о построении куба с неизвестным ребром х, но
имеющеТо объем вдвое больше заданного, сводится к решению кубического уравнения:
л3 = 2а3. Равносильной
задачей является задача построения отрезка у 2. Задача была чрезвычайно
популярной, о чем говорит дошедшая до нас легенда. о требовании оракула, на
острове Делос увеличит!/ вдвое объем стоящего перед ним кубического жертвенника.
Многочисленные попытки решить эту задачу с помощью вычислений в поле
рациональных чисел или средствами геометрической алгебры оказались, разумеется,
неудачными.
Первого успеха в решении этой задачи добился Гиппократ Хиосский (середина V в.
до н. э.). Он свел ее (точнее говоря, несколько более общую задачу
преобразования параллелепипеда в куб) к задаче о нахождении двух средних
пропорциональных. В самом деле, пусть параллелепипед V=a\biCi преобразован в
другой с квадратным основанием V=a2b, что осуществимо средствами геометрической
алгебры. Его нужно преобразовать в куб: X3 = a2b. Ребро искомого куба
определяется, по Гиппократу, из пропорций: а:х=х:у = у:Ь. Возможно, что проблема
удвоения куба воспринималась как пространственный аналог задачи квадри-рования
плоских фигур. В таком случае постановка задачи Гиппократом является обобщением
соответствующей плоской задачи о вставке одной средней пропорциональной: а : х=х
: Ь.
Для решения задачи Гиппократа о вставке двух средних про-лорциональных были
разработаны новые методы. В большинстве

52

J7
Рис. 9
они сводились к исследованию геометрических мест: х2=ау, ху = =^.ab, y2 = bx.
Две средние пропорциональные между а и Ъ определялись как координаты точки
пересечения двух из этих геометрических мест. Последние в свою очередь получили
стереометрическую интерпретацию как сечения конусов вращения.
История задачи об удвоении куба является одним из примеров .того, как происходит
обогащение математических методов. Воздействие этой задачи было одной из причин
того, что конические сечения вошли в математику, что они стали в античной
математике средством решения таких задач, которые невозможно решить с помощью
циркуля и линейки. Впрочем, для решения задачи удвоения куба применялись и
другие способы. Эратосфен, например, построил прибор (мезолабий), удобный для
приближенного удвоения куба. Однако ни один из методов не влиял так сильно на
развитие античной математики, как метод конических сечений,,
Дальнейшая судьба рассматриваемой задачи связана с проблемой: возможно ли
принципиально решить ее построениями с помощью циркуля и линейки. Вместе с
развитием алгебры постановка задачи приобрела алгебраическую форму: может ли
операция извлечения кубического корня из рационального числа быть сведена к
конечному- числу извлечений квадратного корня? Сомнение в возможности такого
решения задачи высказал впервые в 1637 г. Декарт. Но только еще через 200 лет
задача удвоения куба, получила окончательное разрешение. В 1837 г. Ванцель
доказал, что кубические иррациональности не принадлежат ни полю рациональных
чисел, ни его расширению посредством присоединения квадратичных
иррациональностей.
Второй знаменитой задачей античной дрешюсти^не шшшщш^ шейся решению средствами
геометрическойГ^алгебры, была задача о трисекции угла, т. е. о разделении
произвольного угла на три равные части. Эта задача, как и предыдущая, сводится к
решению кубического уравнения, что очевидно из следующего тригонометрического
соотношения:cosш == 4cos3- - 3 cos - или а=4х3-Зх.
3 3 '
Мы понимаем, что многочисленные попытки произвести трисекцию угла с помощью
только циркуля и линейки не могли быть успешными и приводили в лучшем случае к
сознанию • необходимости введения новых методов.

Уже в V в. до н. э. Гиппий из Элиды применил для решения задачи о трисекции угла
трансцендентную кривую -квадратрису, определенную следующим образом. Пусть в
прямоугольнике ABCD (см. рис. 9) сторона ВС равномерно смещается параллель53

но самой себе до совпадения с AD. За это же время сторона АВ вращается вокруг А
по часовой стрелке до совпадения с AD. Геометрическое место пересечений этих
двух сторон образует кривую - квадратрису, наличие которой позволяет
свести задачу, деления угла на любое число равных частей к задаче
деления
" . / 2r \
отрезка АВ (или CD) на равные части. Точка Gf 40 = — J переселения квадратрисы
со стороной AD доопределялась по непрерывности умозаключениями" которые могут
быть примером одной
В
Рис. 10
'Рис. 1.1
из первоначальных форм метода пределов. Другим методом решения задачи о
трисекции угла был метод вставок. Под вставкой понимается построение отрезка
прямой, концы которого находятся
на заданных линиях и который (или его продолжение) проходит через данную точку.
Примеры вставок, применявшихся для три* секции угла (Z.AJ5C) (рис. 10, 11):
Вставка: DE = 2AB Вставка: FE = АВ

(DF = FE = АВ]
= -L^ABCY
з ;
Вставки осуществлялись механически с помощью скользящей линейки, на которой
заранее намечен размер вставки. Линейку вращали вокруг неподвижной точки,
заботясь, чтобы одна метка двигалась по одной из заданных линий до тех пор, пока
другая метка попадала на другую линию.
Трисекция угла имеет столь же долгую историю, как и удвоение куба. Сведение ее к
кубическому уравнению было осознано только к IX-X вв. н. э. Строгое же
доказательство невозможности точной трисекции угла циркулем и линейкой есть
простое следствие из упомянутого выше результата Ванцеля.

64

Третьей знаменитой задачей древности является квадратура круга, х^~жад
данному
~
кругу Эту задачу в античной Греции рассматривали пектах: точном и
приближенном. Последний подход к задаче привел к введению приближения площади
круга вписанными или
описанными многоугольниками и к приближенным вычислениям числа я. Огромное же
количество попыток точно квадрироваи" круг не могло привести к успеху вследствие
трансцендентной природы этой задачи.
В самом деле, пусть отрезок г0 - радиус данного крута; тогда сторона
равновеликого квадрата, х = г0 1/я. Задача сведена к графическому умножению
отрезка Го на число |/я. Это умножение можно выполнить лишь если это гчисло
будет корнем алгебраического уравнения с целыми коэффициентами, разрешимого в
квадратных радикалах. Следовательно" -строгую и полную трактовку задача
квадратуры круга может получить только в результате выяснения арифметической
природы числа я. Решение же этой проблемы растянулось на много веков.
Только в конце XVIII в, И. Ламберт и А, Лежандр сумели доказать, что я не
является рациональным числом. Трансцендентность же этого числа" т. е. тот факт,
что оно не может быть корнем никакого алгебраического уравнения с целыми
коэффициентами, была доказана в 1882 г. Линдеманом. Кстати, в геометрии
Лобачевского для некоторых значений радиуса кривизны пространства квадратура
круга разрешима в квадратичных иррациональностях.
Античные математики, стремившиеся теоретически точно решить задачу о квадратуре
круга, этого, разумеется, не знали. Но их. усилия, принесли развитию математики
большую пользу, обогатив ее новыми фактами и методами. Так, был разработан метод
исчерпывания, являющийся предшественником' метода пределов, Были введены
различные трансцендентные кривые, в первую очередь квадратриса. Наконец, впервые
в истории математики были найдены квадрируемые фигуры, ограниченные кривыми
линиями. Мы имеем здесь в виду луночки (мениски) Гиппократа Хиосского,
образованные дугами окружностей.
Исследования Гиппократа опираются на теорему, что в кругах площади подобных
сегментов пропорциональны квадратам диаметров.
Первая из квадрируемых луночек вырезана из полукруга - дугой радиуса г]/2,
опирающейся на диаметр. Луночка оказывается равной площади равнобедренного
прямоугольного треугольника ЛСВ, гипотенузой которого служит диаметр круга (рис.
12). Разновидностью этого результата является теорема о том, что если на
сторонах прямоугольного треугольника как на диаметрах построить окружности, то
сумма площадей луночек, опирающихся на катеты, будет равна площади треугольника,
т. е. квадрируема (рис. 13).

55

Другой вид луночек получается, когда вокруг трапеции со сторонами 1, 1, 1J/3
описывают окружность, а на хорде |/3 строят сегмент, подобный сегментам,
отсекаемым остальными хордами. Площадь полученной луночки равна площади исходной
трапеции. Наконец, внешняя дуга третьей луночки1 меньше полуокружности.
/7
В
Рис.-13
Появление квадрируемых луночек, вызвало естественные вопросы: как велик класс
квадрируемых луночек? Все ли их виды найдены? Существуют ли другие луночки,
площади которых тоже выражаются с помощью квадратичных иррациональностей через
входящие в их построение линейные элементы? Однако ответ на эти вопросы тоже был
получен спустя много веков. Только в. 1840 г. немецкий математик Клаузен нашел
еще две квадрируе-мые луночки. Вопрос о луночках был полностью исследован только
в XX в., когда советские математики Н. Г. Чеботарев и А. В. Дороднов, пользуясь
методами теории Галуа, показали, что если угловые меры внешней и внутренней дуг
луночек соизмеримы, то других квадрируемых луночек, кроме найденных, не
существует. К слову сказать, отношения угловых мер найденных упомянутых
23355 выше луночек: -, --, -, -, -. J 112 13
Открытие несоизмеримостей, как мы уже указывали, поставило в тяжелое положение
всю метрическую часть геометрии, теорию подобия и те разделы математики, где
приходилось пользоваться начальными формами понятий непрерывности, предельного
перехода и т. п. Теория рациональных чисел уже не могла служить основой этих
разделов математики. Так, появление иррациональностей обусловило необходимость
создания общей теории отношений, способной дать определения и ввести операции,
применимые как для рациональных, так и для иррациональных величин.
1 О ней см. Г. Г. Цейтен. История математики в древности и в средние века. М.-Л,
ГТТИ, 1938, стр. 60-61.

56

Первоначальной основой теории отношений античной древности являлся алгоритм
попеременного вычитания] известный под названием алгоритма Евклида. Пусть даны
два отношения: а:Ь и c:d. Поиски общей меры величин, участвующих в отношениях,
приводят к следующей цепочке соотношений:
а : b e:d
nQb = bi • с- mud = dl
a
b - пгЬг =
d -
В случае, если члены отношения соизмеримы, эта. цепочка обрывается;
несоизмеримость не дает конечного алгоритма.
Алгоритм попеременного вычитания эквивалентен представлениям с помощью
непрерывных дробей,. Например:
b Ь b
1 -
Сравнение последовательностей Яо" п\9 л-2" ... и Шо, т\, т^ ... позволяет
установить между, отношениями понятия равенства и неравенства, а также
сравнивать их по величине. Пусть k-l элементов обеих посл...

Список сторінок

• #
• 1
• 2
• 3
• 4
• 5
• 6
• 7
• 8
• 9
• ...
• 31
• 32
• 33

Поділитися у соцмережах