История и методология математики

сторінка №5

... научно-практических запросов. Они
выходили за рамки образуемых в то время замкнутых математических систем,
построенных на основе минимального числа основных положений. В ин79

финитезимальных методах получили первое выражение элементы новых математических
средств, которые привели к созданию анализа бесконечно малых. Отношения
противоречия между совокупностью подобных методов и замкнутыми логикоматематическими
системами в древней Греции представляют один из исторических
примеров противоречий,, являющихся движущей силой развития математических,
наук,, *
3.4, МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ И МЕТОДЫ ПОЗДНЕЙ АНТИЧНОСТИ
В сложном и многообразном научном наследии ученых древности мы выделяем в
качестве объекта изучения преимущественно те его стороны, которые ведут к
созданию математических теорий. Последнее является наиболее характерной чертой
математического творчества в эпоху греческой античности. В то же время
математические теории древних греков составляют классическую основу
многих • важных проблем, относящихся к основаниям современной математики,
делая их особенно ценными.
Со (времени Евклида и Архимеда античная математи-Рис- 21
ка сильно изменяется как по
форме, так .и .по содержанию. В силу причин, которые, мы
охарактеризуем ниже, -процесс формирования'математических теорий замедляется и
наконец прекращается. Однако этот процесс был длительным и обозначился не сразу.
Младшие современники Архимеда и ученые более поздней античности оставили в своих
сочинениях примеры теоретических исследований и даже развитых математических
теорий. Среди них первое место по уровню теоретического развития и полноте
рассматриваемых фактов занимает теория конических сечений.
Ранее мы указывали, что конические сечения вошли в античную математику как
средство решения задач, не поддающихся решению средствами геометрической
алгебры, т. е. построениям с помощью циркуля и линейки. Для их получения
пользовались геометрическими местами точек пересечения поверхности конуса
(соответственно остро-, тупо- или прямоугольного) плоскостью, перпендикулярной
одной из образующих конуса. При помощи этих кривых Менехм (IV в. до н. э.) дал
решение задачи об удвоении куба.
Не сохранилось сведений о том, как были'впервые найдены свойства конических
сечений, представляющие геометрический эквивалент их алгебраических уравнений.
Однако задача обнару80

жения этих свойств разрешима элементарными средствами, в чем убеждают имеющиеся
исторические реконструкции.
Пусть, например, дан прямоугольный конус с вершиной в Т (рис. 21). Сечение его
вдоль оси - /(ГС, след кругового сечения,
параллельного основанию - ОЯ, след сечения, перпендикулярного образующей -АР.
Перпендикуляр к сечению КТО в точке Р до пересечения с поверхностью конуса
обозначим у.
Тогда y2 = PG-PH = V2 AP-AB = 2AP-AL. Если обозначить ' АР = х, AL = p, то
получим уравнение параболы: у2 = 2рх.
В случае, если конус не прямоугольный, то в чертеже добавляется только точка А\
переселения со второй образующей или с ее продолжением. Обозначая, в этом случае
АР = х, А\Р = х\, отрезок до оси AL = p (полупараметр), АА\ = 2а\, получим
АА1
ИЛИ
Эта, реконструкция принадлежит Г. Цейтену. Она убедительно демонстрирует
возможность вывода, свойств конических сечений методами элементарной геометрии.
При' этом получается уравнение, отнесенное к осям, причем параметр 2р получает
удобную геометрическую интерпретацию (полупараметр р равен отрезку AL от
конической поверхности до оси) .
Интерес к коническим сечениям возрастал по мере того, как увеличивалось
количество решаемых с их помощью задач. Свойства конических сечений стали
предметом специального теоретического исследования. Коническим сечениям был
посвящен ряд сочинений. Однако, подобно тому 'как это имело место после
появления "Начал" Евклида, все эти сочинения были забыты, когда появился труд
Аполлония о конических сечениях. Он не имеет себе равных по полноте, общности и
систематичности изложения теории конических сечений.
Аполлоний (около 200 г. до н. э.) - младший современник и научный соперник
Архимеда. Продолжительное врем он жил и работал в Александрии. Затем возвратился
на родину в г. Пергам (в Малой Азии), где был главой математической школы. Из
многочисленных математических сочинений Аполлония до нас дошли в основном только
7 из 8 книг "Конических сечений". Первые четыре книги дошли до нас на греческом
языке - на языке оригинала, книги 5-7 сохранились только в переводе на арабский
язык; предполагаемое содержание восьмой книги восстановил английский астроном и
физик Э. Галлей (1656-1742) исходя из содержания первых семи книг и сведений,
сообщенных комментаторами Аполлония.
Теория конических сечений развивается Аполлонием на основе достаточно общих
исходных посылок., Он сразу вводит обе полости произвольного конуса с круговым
основанием и рассматривает произвольные плоские его сечения (рис. 22). Каждую из
получаю81

щихся при этом кривых он рассматривает по отношению к некоторому диаметру и
семейству сопряженных с ним хорд. Из образующегося класса кривых выделяет
канонические формы, в которых диаметры перпендикулярны к сопряженным с ними
хордам. Аполлоний указывает, что эти канонические формы есть сечения конусов
вращения.
При таком способе рассмотрения обеспечивается единообразие подхода ко всем видам
конических сечений. При этом в рассмотрение включаются сразу обе ветви
гиперболы. Отнесение к диаметрам и сопряженным с ними хордам содержит в себе
идею метода координат, хотя и в несовершенной форме.
Свойство кривых, являющееся геометрическим эквивалентом их уравнения,
формулируется с применением: средств геометричеРис.

22

Рис. 23
ской алгебры. Пусть даны конические сечения: эллипс и гипербола (рис. 23 и 24).
Диаметр у обоих обозначим АВ. Если из конца А оси опустить перпендикуляры АЕ =
2р и CF, то квадрат, построенный на CD, будет равен прямоугольнику AF:
- = - и поэтому
2р 2а J
Но CF = ?-
а
Положив АС=х, СВ = 2а-х, получим соответственно уравнения:
а а

82

В первом случае прямоугольник CF используется е недостатком, во втором - с
избытком. Если нет ни недостатка" ни избытка, то имеет место парабола - простое
равенство квадрата прямоугольнику со стороной 2р.
Геометрическая алгебра, в терминах которой выражен геометрический эквивалент
уравнений конических сечений,, играет здесь примерно такую же роль, какую играет
алгебра в аналитиРис.

24

ческой геометрии. Разумеется, при таких заключениях об использовании алгебры и
координатного метода в теории конических сечений Аполлония не следует забывать,
что, во-первых, системы координат Аполлония неотделимы от своих индивидуальных
кривых; во-вторых, не введены еще координаты для всех точек плоскости, как
принадлежащих, так и не принадлежащих данной кривой; в-третьих, здесь нет еще и
речи о сведении задачи соотнесения точек осям координат к вычислениям, так как
нет вообще стремления сводить геометрические задачи к алгебраическим.
В качестве примера стиля рассуждений Аполлония приведем его определение
параболы у2 = 2рх: "Если конус пересечен

83

плоскостью по оси и пересечен также другой плоскостью, которая пересекает
основание конуса по прямой, перпендикулярной к основанию треугольника по оси, и
если, кроме того, диаметр сечения параллелен той или другой из двух сторон
треугольника по оси, то всякая прямая, которая проводится от сечения конуса
параллельно общему сечению текущей плоскости и основанию конуса до диаметра,
взятая в квадрате, будет равна прямоугольнику, заключенному прямо из диаметра,
отрезанного от нее до вершины сечения и некоторой другой прямой, которая имеет к
прямой, взятой между углом конуса и вершиной сечения, такое отношение, какое
квадрат основания треугольника по оси к прямоугольнику, заключенному остальными
двумя сторонами треугольника. Такое сечение называется "параболой" 1.
Первая книга "Конических сечений", помимо указанных выше основ теории, включает
в себя теоремы о проведении касательных, Речь идет о проведении опорной прямой,
т, е. прямой через; точку (яо#о), конического сечения у2 = 2рх±х2 таким
образом,, чтобы для всех других точек (ху) прямой удовлетворялось неравенство
2рх =F - х2
2pxQ =F
Во второй книге содержится теория главных осей, асимптот и сопряженных
диаметров,, Доказывается, в частности, что у эллипса, гиперболы или параболы
имеется только одна пара взаимно перпендикулярных осей, что если соединить
прямой точку пересечения двух касательных с серединой хорды, соединяющей точки
касания, то эта прямая будет диаметром и т. п. Наконец,. сообщаются способы
построения центров и осей данного конического сечения и др.
Третья книга начинается группой теорем о площадях фигур, образуемых секущими,
асимптотами и касательными. Среди них такая, например, широко известная теорема:
Если из точки проведем две касательные к коническому сечению и проведем
параллельно им две секущие до их пересечения, то отношение квадратов,
построенных на касательных, будет равно отношению прямоугольников, построенных
на секущих и их внешних отрезках. В этой же книге находятся теоремы о полюсах и
полярах и о получении конических сечений с помощью двух проективных или
томографических пучков. Наконец, через свойства соответствующих площадей
рассматриваются простейшие случаи проведения касательных, без использования
точек касания, а также теория фокусов эллипса и гиперболы.
1 "Конические сечения", кн. 1, предл. 11; см. "Изв, Сев,-Кавк. гос. ун-та",
1928, т, 3 (15), стр. 141.

84

Первая группа предложений четвертой книги относится к гармоническому делению
прямых. Затем подробно разбирается вопрос о наибольшем числе точек пересечения и
соприкосновения двух конических сечений.
Книги 1-4 часто характеризуют как содержащие изложение основных свойств
конических сечений. Следующие же книги считают относящимися к специальным
вопросам теории конических сечений.
В пятой книге впервые решаются экстремальные задачи вроде задачи о кратчайшем
расстоянии от данной точки до конического сечения. Здесь появляются элементы
теории разверток в виде определения геометрического места центров кривизны,
Шестая книга содержит разбор проблемы подобия конических сечений и обобщения
задачи о построении семейства, конусов, проходящих через данное коническое
сечение. В последней из известных, седьмой, книге исследуются вопросы, связанные
с функциями длин сопряженных диаметров, параметров и т. п. Например,
доказывается, что для эллипса (соответственно гиперболы) сум'ма (соответственно
разность) квадратов сопряженных диаметров; равна сумме (соответственно разности)
квадратов осей. Или другой пример: площадь треугольника, образованного двумя
сопряженными диаметрами и хордой, соединяющей их концы, - постоянна. Разработка
диоризмов (ограничений, налагаемых на-условия задач) в конце седьмой книги
указывает, что восьмая книга, возможно, содержит задачи, примыкающие к
теоретическому материалу седьмой книги. Так и трактовал восьмую книгу Э. Г
аллей, работая над воссозданием ее утерянного текста,
Мы уделили сравнительно много места этой аннотации отдельных книг "Конических
сечений" Аполлония, чтобы показать,, какого высокого уровня достигла, теория
конических сечений античной древности., Результатами этой теории позднее
воспользовались математики при создании аналитической геометрии.
Из изложенного здесь и ранее видно, что большинство математических теорий имело
своим предметом геометрические объекты. Геометричность формы математической
теории стала с течением времени ее непременным атрибутом. При этом
геометричность идентифицировалась с общезначимостью математической теории, ибо
представлялось, что геометрические величины имеют преимущество наибольшей
общности в классе математических величин.
Нет, разумеется, оснований утверждать, что геометрические формы исчерпывали всю
совокупность форм математической деятельности. Древние греки в практической
области применяли большой комплекс арифметико-вычислительных методов. Эти методы
проникали и в теоретические работы, дополняя теорию арифметико-алгебраическими и
теоретико-числовыми элементами. Неудобства алфавитной системы счисления и
неразработанность символов являлись серьезным препятствием для вычислительных
операций. В течение некоторого времени и требования

85

практики в этом отношении не были достаточными, чтобы стимулировать операции с
большими числами. Вслед за сравнительно ограниченным набором чисел, имеющих
названия, наступал порог, после которого число элементов представлялось
неисчислимым.
Чтобы устранить подобное несовершенство и показать неограниченную продолжаемость
натурального ряда чисел, Архимед написал специальное сочинение под названием
"Псаммит" (исчисление песка). В нем: строится систем:а чисел" показывается, что
она может быть продолжена сколь угодно далеко и служить для пересчета любого
конечного множества предметов.
Система чисел Архимеда построена по. десятичному принципу: единицы (монады),
десятки (декады), сотни (гекады), тысячи (хилиа-ды), десятки тысяч (мириады) и
т., д. Мириада затем рассматривается как основа счета, до числа мириады мириад
{ЛО8). Числа от 1 до 108 образуют первую октаду (от слова окто-восемь), а числа,
в нее входящие, называются первыми. Далее следуют: вторая октада (108 - Ю8'2),
третья (108"2-108"3) и т. д. до октады чисел октад-ных (Ю8'108), замыкающей
первый период. Она является исходной единицей второго периода. Октада единиц
этого периода (108'10'+8) будет единицей вторых чисел второго периода и т. д.
Далее следуют единицы чисел третьего периода (102-8"1°8), четвертого (К)3'8-*0')
и т. д. до октады чисел октадных октадного периода (101?)2"8"10).
Получающиеся огромные числа воспринимались .как своеобразные трансфиниты
древности, шкала роста которых могла быть неограниченно продолжаема. Их с
избытком хватало даже для такой задачи, как определение порядка числа песчинок,
которые могут заполнить полностью всю вселенную.
Чтобы сделать задачу возможно более определенной, Архимед, исходя из
гелиоцентрических воззрений Аристарха Самосского, представляет вселенную как
шар, в центре которого находится Солнце. Радиус шара считается от Солнца до
неподвижных звезд, Для дальнейшего уточнения задачи принимается, что диаметр
вселенной во столько же раз больше диаметра солнечной системы, во сколько раз
этот последний больше диаметра Земли. Архимед использует экспериментальные
данные астрономов, округляя их в сторону увеличения.
Единица измерения вселенной - песчинка принята за 0,0001 зернышка мака, которых
требуется 40 штук, чтобы сравняться с шириной человеческого пальца. Подсчеты
Архимеда показали, что искомое число песчинок будет не больше чем Ю63, или
тысячи (Ю3) мириад (Ю4) чисел восьмых (Ю78) первого периода.
Архимеду приписывают "и другую задачу, в которой требуется юперировать с
чрезвычайно большими числами, - так называемую задачу о быках Гелиоса (бога
Солнца). Для сокращения обозначим буквами б, ч, р, п - число быков
соответственно белой, черной, рыжей и пестрой масти, а буквами б', чг, //, п' -
число коров тех же соответственно мастей. В стихотворной форме ставится за86