Жанр: Философия
Квантовая теория и раскол в физике.
...х),
в то время как те случаи, которые ведут к заметным отклонениям
(от упомянутых средних величин) реализуются в исчезающе
малых количествах, ибо они имеют место, только если
обеспечиваются некоторые очень специальные условия - условия,
связывающие координаты и импульсы молекул очень специальным
образом"^. Иными словами, эти очень специальные
начальные условия, дающие отклонения от нормального поведения,
имеют исчезающе малую вероятность.
Метод, согласно которому можно показать, что мера множества
начальных состояний, из которых возникает нормальное
состояние, равна единице, а мера множества начальных состояний,
из которых возникает ненормальное состояние, равна нулю,
тождественен в своей основе методу, предложенному Бернулли.
Мы можем дедуцировать из допускаемой равновероятности выпадения
"орлов" (0) и "решек" (1) в соединении с допускаемой
независимостью испытаний стабильность средних значений исходов
почти всех достаточно длинных последовательностей испытаний
(эти средние будут очень близки к 1/2). Аналогично
мы можем дедуцировать из простых допущений о равновероятности
исходных состояний то, что, как Планк формулирует,
почти все состояния будут "полностью согласованы в своих средних
значениях", т.е. они будут иметь стабильные средние для
распределений молекул по координатам и скоростям.
Можно назвать нормальным или приблизительно равновесным
любое состояние, в котором координаты и импульсы молекул
так распределены, что отсутствуют макроскопические флуктуации,
или, более точно, что средние значения этих величин по
любому весьма малому, но макроскопическому объему не отличаются
заметно от их средних значений по всему объему. При
" Planck М. Theorie der Warmestrahiung. 5th ed. 1923. P. 144f [Рус. пер.:
Планк М. Теория теплового излучения: Пер. с нем. М.Г.Черниховского и
С.В.Вонсовского. М.; Л.: ОНТИ, 1935].
этом можно показать, что мера множества нормальных состояний
приближается к 1 и, наоборот, мера множества ненормальных
состояний приближается к 0. Поскольку, кроме того, эта
мера не изменяется, если из-за движения частиц некоторые состояния,
принадлежащие соответствующему множеству, переходят
в другие состояния, то все состояния должны быть таковы,
что в результате этих движений они снова перейдут в нормальные
состояния (так что временные средние для почти всех
состояний снова нормальные)". Флуктуации, конечно же, будут,
но окажутся слишком редкими и слишком кратковременными,
чтобы повлиять на временные средние (разве только по
множеству с нулевой мерой).
Таким образом, мы обнаруживаем, что вероятность того, что
воздух в откупоренном флаконе, помещенном в большой сосуд с
вакуумом, не улетучится, будет не отличима от нуля, и vice versa
вероятность того, что молекулы спонтанно соберутся в этом маленьком
флаконе, также будет не отличима от нуля.
Весь этот анализ, разумеется, строится на строго объективистской
(частотной или пропенситивной) теории вероятностей:
он настолько объективен, насколько объективен объясняемый необратимый
процесс, и он не имеет прямого отношения к состоянию
нашего знания или незнания деталей начальных условий
движения молекул, вовлеченных в этот процесс. Выражаясь фигурально,
наш анализ независим от того, находимся ли мы в ситуации
обычного незнания начальных условий всех молекул или
же у нас есть демон, полностью информированный об этих начальных
условиях и, таким образом, о точном состоянии газа.
5. СУБЪЕКТИВИСТСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Приведенная точка зрения не является, однако, общепризнанной.
Как было отмечено в разд. 3, многие физики, причем
весьма знаменитые, стремятся объяснять эти проблемы в терминах
субъективистской теории вероятностей. Они утверждают,
что необратимость - результат нашего незнания деталей состояния
газа.
Они интерпретируют тенденцию или предрасположенность
системы увеличивать свой беспорядок или энтропию (тенден"
Hopf Е. Ergodentheorie//Ergebnisse der Mathematik. Springer, 1936.
63
цию, которую статистика стремится объяснять в стиле Бернулли)
как тенденцию к возрастанию нашего незнания. Вместо
того чтобы интерпретировать энтропию системы как меру ее
объективной неупорядоченности, они интерпретируют ее как
меру нашего субъективного незнания этой системы. Такая интерпретация
ведет к абсурдному выводу о том, что молекулы
покидают наш флакон, потому что мы о них не знаем всего и
потому что степень нашего незнания должна обязательно возрастать,
если только в начале у нас не было совершенного
(perfect) знания.
Я полагаю, что это до очевидности абсурдно и что воздух
будет покидать наш флакон даже в том случае, если никто вокруг
не гарантирует необходимого незнания.
Эти абсурдности тем не менее явно присутствуют в концепциях
некоторых знаменитых физиков, внесших многое в квантовую
теорию. Я сначала процитирую пассаж из критического
анализа статуса вероятности, предпринятого в статье "Вероятность
и физика" В.Паули". "Первое применение теории вероятностей
в физике, - пишет Паули, - имеющее фундаментальное
значение для нашего понимания законов природы, мы находим
в основанной Больцманом и Гиббсом теории теплоты. Как
известно, энтропия естественно истолковывается этой теорией
как переменная состояния, которая в отличие от энергии зависит
от наших знаний о системе".
Не подвергнув сомнению этот субъективизм, Паули продолжает:
"Если эти знания самые полные, какие только вообще
допускаются законами природы..., то энтропия всегда равна
нулю. Термодинамические понятия, напротив, применимы только
тогда, когда начальное состояние известно неточно...".
Ясно, что Паули не осознает, что эта субъективистская интерпретация
выросла на почве детерминизма. Наоборот, приступив
к применению этой субъективистской интерпретации в
области квантовой механики, которая недетерминистична, он
считает необходимым упомянуть, что этот субъективизм не противоречит
детерминизму:
"Это применение понятия вероятности в физике, каким бы
фундаментальным оно ни выглядело, логически было вполне
совместимо с детерминистической формой законов природы".
Замечание о совместимости вполне справедливо, однако слова
"каким бы фундаментальным оно ни выглядело" обнаружива"
Paull W. Wahracheinlichkeit und Physik // Dialectica. 1954. Vol. 8. P.
112-124 [Рус. пер.: Паули В. Физические очерки. М.: Наука, 1975. С. 43-50].
ют недопонимание того факта, что субъективная интерпретация
была принята (в особенности Лапласом) ввиду ее логической
совместимости с детерминизмом и потому, что лишь она
была с ним совместима. Из этих слов также следует, что субъективная
интерпретация была чем-то вроде предвосхищения более
фундаментального способа мышления, которым мы обязаны
квантовой теории и дополнительности. (Так оно и есть, но в
ином смысле.) В следующем предложении Паули упоминает
тенденцию истолковывать субъективную концепцию вероятности
как первичную и нередуцируемую концепцию физики и
заканчивает этот параграф ссылкой на то, что "индуктивные
заключения естественных наук всегда носят вероятностный характер"
Но эта интерпретация нуждается, разумеется, в мосте, чтобы
с ее помощью можно было бы сказать что-то объективное.
Этот мост появляется в виде усиленного закона больших чисел
Кантелли. Было бы занимательно перевести этот закон на субъективистский
язык. Он звучал бы тогда следующим образом: "Допустим,
что степень нашей неосведомленности о результатах
эксперимента остается постоянной на всем протяжении длинной
последовательности повторений этого эксперимента, допустим
также, что эта степень неосведомленности равна р. При этом
допущении незнания мы всегда в состоянии найти большое число
N, обладающее следующим свойством: для любой желаемой
степени достоверности недостатка абсолютной достоверности мы
можем достоверно знать, что относительные частоты результатов
экспериментов будут начиная с N-го эксперимента отклоняться
столь мало, сколь мы хотим, от нашей первоначальной
степени неосведомленности p^.
Эта формулировка показывает, как я надеюсь, убедительно,
сколь абсурдно полагать, что мы можем извлечь высокую степень
достоверности из незнания, и странно предполагать, что
частота может быть равна степени незнания (см.: ЛНО, разд. 62).
Разумеется, моя формулировка отличается от обычной, которая
избегает использовать явно субъективистский язык; отсюда берут
начало все колебания между объективистской и субъективистской
интерпретациями.
Среди Процитированных здесь утверждений Паули для нас в
высшей степени интересно следующее: "Если эти знания самые
полные, какие только вообще допускаются законами природы...,
то энтропия всегда равна нулю". Это утверждение переходит от
одного автора к другому. Оно содержится, например, в знаменитых
"Математических основах квантовой механики" фон Неймана.
"Для классического наблюдателя, знающего все импульсы
и координаты, энтропия постоянна, а именно равна нулю,
так как больцманова "термодинамическая вероятность" равна
тогда 1"^.
Я не буду здесь критически рассматривать аргументы в пользу
этого тезиса, ибо они представляются мне без необходимости
сложными, очень туманными, весьма произвольными и в чемто
апологетическими. Вместо этого я противопоставлю ему то,
что я называю правильной точкой зрения (думаю, что это точка
зрения Больцмана), а затем опровергну указанный тезис, показывая
нелепость его следствий.
Правильная точка зрения на нулевую и максимальную энтропию
состоит, по-моему, в следующем. Система будет в состоянии
максимальной энтропии тогда и только тогда, когда расстояния
между молекулами (и, следовательно, координаты молекул) обнаруживают
случайное (chancelike) или "нормальное" распределение,
следовательно, их среднее значение равно расстоянию между
молекулами, равномерно размещенными по всему доступному объему,
а также когда скорости (и их направления) распределены в
соответствии со случайным распределением, описанным максвелловским
законом распределения скоростей. Иными словами, энтропия
системы максимальна тогда и только тогда, когда координаты
и скорости молекул распределены беспорядочным (random)
образом. Если система состоит из очень большого числа молекул,
то во всех ее подобъемах координаты и скорости будут также распределены
беспорядочным образом.
И наоборот, система будет находиться в состоянии нулевой
энтропии тогда и только тогда, когда она насколько возможно
удалена от беспорядочного (random) состояния. Такого рода состоянием
будет то, при котором все или почти все молекулы
помещены в малые подобъемы и в каждом из этих подобъемов
все или почти все они имеют одинаковые скорости (и направления
скоростей).
Таким способом объективно описываются два крайних энтропийных
состояния. Это описание в точности аналогично описанию
беспорядочной последовательности равномерно распределенных
единиц ("орлов") и нулей ("решек"). Пусть N - размер
очень длинной последовательности S и пусть n - наибольшее
^Нейман И. фон. Математические основы квантовой механики. М.: Наука,
1964. С. 294-295. Фон Нейман ссылается здесь на Лео Сциларда: Zeitschrift
fuer Physik. Bd. 53, 1929.
целое число такое, что 2`(n+1) меньше, чем N. Будем называть тогда
последовательность S совершенно беспорядочной (perfectly
random), если и только если относительное число появлений в
ней любых пар, триплетов,..., n-плетов нулей и единиц отличается
не более, чем на d = n/N, от относительного числа появлений
любых других пар, триплетов,..., n-плетов (см.: ЛНО,
разд. 55).
Определив таким образом максимальную неупорядоченность
для последовательности, соответствующую ее максимальной
энтропии, мы можем легко сконструировать последовательность,
в которой разность d между частотами некоторых пар, триплетов,...,
га-плетов достигает максимума, например тогда, когда
все единицы равномерно распределенной последовательности S
собраны в один блок, предшествующий блоку нулей или следующий
за ним.
Аналогия с состоянием газа очевидна. Итак, я показал, что
мы можем охарактеризовать беспорядочность или энтропию в
объективных терминах.
До сих пор я не упоминал о вероятности. Вероятность, однако,
скажет нам, что в своем подавляющем большинстве все
возможные последовательности - или все возможные состояния
газа - будут высоко неупорядоченными и высоко энтропийными.
Другими словами: если мы проводим соответствующий
эксперимент по производству нулей и единиц (или состояния
газа), то он, как правило, характеризуется весьма высокой
предрасположенностью к неупорядоченным последовательностям
или состояниям с энтропией, приближающейся к максимальной.
Эта тенденция или предрасположенность не будет,
однако, реализовываться, если наше экспериментальное устройство
действует упорядочивающе, производя, скажем, в результате
"010101..."
Тенденцию или предрасположенность производить неупорядоченные
состояния будет обнаруживать подавляющее большинство
всех других экспериментов, и соответственно подавляющее
большинство всех состояний, будь то состояния неупорядоченности
или нет, будет также обладать тенденцией предшествовать
состояниям неупорядоченности.
Следует заметить, что этот анализ беспорядочных состояний
и беспорядочных последовательностей обусловлен применимостью
закона больших чисел и, следовательно, применим к состояниям
газов, состоящих из большого числа молекул, и к очень
длинным последовательностям. Вопрос же о том, является ли
последовательность, состоящая из одного или двух элементов,
упорядоченной или беспорядочной, бессмыслен^.
Исходя из проведенного анализа нетрудно показать, насколько
ошибочно представление о том, что полное знание состояния
газа дало бы энтропию, равную нулю. Эта ошибка связана с тем
фактом, что в качестве начального допущения может быть принято,
что каждое отдельное возможное состояние газа (или каждая
отдельная последовательность) равновероятно (равновероятна)
и что каждое отдельное состояние (последовательность)
должно (должна), следовательно, иметь вероятность, равную
или приблизительно равную нулю. Это верно. Верно и то, что
высокие вероятности некоторым образом тесно связаны с высокой
энтропией, а нулевые вероятности - с нулевой энтропией.
Из этих двух правильных посылок выводят затем, что каждое
отдельное состояние, если оно полностью задано (каждая отдельная
последовательность, если она полностью задана), имеет нулевую
энтропию.
Этот вывод, однако, неправомерен, поскольку связь между
вероятностью и энтропией не столь тесная. Фактом является то,
что каждое полностью заданное состояние равновероятно или
каждая полностью заданная последовательность равновероятна
и, стало быть, крайне невероятно (невероятна). Но нас здесь интересует
не просто этот факт. Нас интересует метод различения
различных состояний или последовательностей по их внутренней
структуре, а не метод, в соответствии с которым они рассматриваются
как неразличимые в отношении своих вероятностей.
Ошибка в рассуждении может быть описана также и следующим
образом. Нас интересуют структурные свойства последовательностей
- интересует вопрос, обладает ли последовательность
структурным свойством беспорядка или порядка.
Хотя сама по себе каждая последовательность равно невероятна,
весьма вероятно, что она беспорядочна, а не упорядоченна.
Ведь беспорядочных последовательностей значительно
больше.
(Аналогичный пример: очевидно любое частное явление, скажем,
что монета была подброшена теперь и здесь, бесконечно
невероятно. Но отсюда не следует, что выпадение "орла" при
подбрасывании монеты бесконечно невероятно.)
^Задача фон Неймана о применении больцмановских идей к состоянию
газа, состоящего из одной молекулы, кажется мне неправильно поставленной.
Его субъективистское решение, что энтропия отдельной молекулы зависит от
состояния нашего знания, - плод его субъективистской теории.
Представление о том, что любое конкретное данное состояние
и любая конкретная данная последовательность обладают
нулевой энтропией, настолько очевидно ошибочно, что даже
трудно помыслить таким образом. Однако, как мы видели, в
субъективистской версии оно используется. Здесь оно более правдоподобно,
так как неполное знание можно связать с целым
множеством возможных состояний (чья мера вероятно ненулевая).
Тогда полное знание соответствовало бы одному возможному
состоянию, вероятность которого равна нулю.
Вернемся, однако, к нашему наполненному воздухом флакону
и допустим на этот раз, что наше знание его микросостояния
максимальное, "знание самое полное, какое только вообще допускается
законами природы...". Тогда, как говорят Паули и
фон Пойман, энтропия системы должна быть равна нулю. Однако
с объективистской точки зрения система с наибольшей вероятностью
находится в состоянии неупорядоченности и беспорядка:
ее энтропия будет максимальной.
Кто же прав? С объективистской точки зрения это легко выяснить.
Ибо если мы обладаем совершенным знанием (perfect
knowledge), нам только остается подсчитать распределения координат
и скоростей, чтобы убедиться, что они беспорядочны
(random) или приблизительно беспорядочны. Мы можем быть
по-настоящему уверены, причем apriori: мы не обнаружим, что
наша система находится в совершенно упорядоченном состоянии.
Если вдруг случилось в высшей степени невероятное, и
система все-таки находится в совершенно упорядоченном состоянии,
то объективист допустит, что он не прав в этом. Он, однако,
будет продолжать настаивать, что это - крайне невероятное
стечение обстоятельств, которое ничего не имеет общего с фактом
получения совершенного знания о системе. Более того, объективист
станет утверждать, что даже при том крайне невероятном
стечении обстоятельств, при котором мы случайно застали
систему в упорядоченном состоянии, мы можем быть по-настоящему
уверены, что за секунду до этого она была неупорядоченной
и что в следующее мгновение она вернется в состояние неупорядоченности
(disorder). Он может проверить это ретросказание
и предсказание, рассчитывая ближайшие состояния системы.
Ведь обладая совершенным знанием, он может провести
такой расчет.
Все это рассуждение, я думаю, согласуется с рассуждением
Больцмана, который приводил аргументы в пользу того, что система
будет снова и снова приходить в состояние упорядоченности
(низкой энтропии), но только крайне редко и лишь на очень
малые промежутки времени, пропорциональные невероятности
состояний упорядоченности и убывающие очень быстро с возрастанием
степени упорядоченности.
Послушаем теперь субъективиста. Для него это рассуждение
ничего не означает. Он замещает термин "порядок" термином
"знание" и термин "неупорядоченность" термином "неведение".
И он укажет, что имеется закон, согласно которому частичное
неведение будет быстро возрастать и вскоре из-за столкновения
между молекулами превратится в тотальное неведение. Как отметил
Макс Борн, достаточно того, что нам неизвестна координата
или неизвестен импульс одной единственной молекулы: при
этом допущении наше незнание вскоре распространится на всю
систему, причем даже если вначале были известны точные координаты
и импульсы всех других молекул. "Необратимость, -
пишет он, - является, таким образом, следствием явного введения
неведения в наши фундаментальные законы "^.
Возрастание незнания действительно обнаруживает общие
черты с больцмановским возрастанием беспорядка. Вместе с тем
это достаточно различные явления. Главная отличительная особенность
состоит в том, что неведение всегда возрастает (при
условии, что мы не начали с полного знания). Но неупорядоченность,
или энтропия временами снижается, согласно Больцману,
она флуктуирует. И у нас есть экспериментальные доказательства
этих флуктуаций (броуновское движение в эйнштейновской
интерпретации 1905 г.).
Итак, субъективистское отождествление неупорядоченности
(энтропии) и незнания пока не проходит. Кроме того, незнание
не возрастает, если в начале у нас - полное и совершенное знание
(как предполагают Ворн и фон Нейман), так как совершенное
знание позволяет нам рассчитывать все будущие состояния
с совершенной точностью. Это снова несовместимо с представлениями
Больцмана, ибо если бы система достигла совершенного
порядка за счет в высшей степени невероятной флуктуации, она
бы, согласно Больцману, с огромной вероятностью немедленно
снова перешла бы в состояние неупорядоченности.
Таким образом, надо отказаться от часто повторяемого утверждения,
что больцмановскую теорию можно перевести на
субъективистский язык.
" Вот М. Natural Philosophy of Cause and Chance. 1949. P. 72. Другие
субъективистские по своему характеру высказывания читатель может найти
на с. 48 и 59.
i^
"-"? *,
В попытке объяснить то, что я считаю правильной точкой
зрения, я теперь займусь, как и обещал, опровержением субъективистской
концепции энтропии или неупорядоченности. Я попытаюсь
очень кратко показать, что это - абсурд.
Давайте снова откроем флакон с воздухом в сосуде, в котором
создан вакуум. То, что мы хотим объяснить, - это то, почему
газ всегда улетучивается из флакона, причем необратимо.
Как субъективист, так и объективист объяснит это, ссылаясь на
закон о том, что энтропия или неупорядоченность имеет тенденцию
возрастать. Объективист при этом отметит, что если бы газ
оставался во флаконе, то с учетом объема всего сосуда координаты
молекул были бы весьма высоко упорядоченными, и что
газ с подавляющей вероятностью, в смысле подавляющей предрасположенности,
займет состояние, при котором координаты
молекул распределены случайным образом по всему доступному
пространству. Таково объективистское объяснение улетучивания
газа из флакона (здесь не ставится вопрос о том, полностью ли
справедливо данное объяснение).
Субъективист, однако, не может предложить в качестве объяснения
что-либо подобное. Он даже не может сказать, что газ фактически
занял больший объем. Он может сказать только, что его
состояние незнания увеличилось (при условии, что в начале у
него не было совершенного знания). Это абсурд. Ведь мы хотим
объяснить не состояние незнания, а состояние газа, не то, что
знание теряется, а то, что газ улетучивается из флакона.
"Изменение энтропии со временем, - пишет фон Нейман, -
касается ... той ситуации, когда наблюдатель знает не все"^.
Таким образом если бы наблюдатель полностью знал содержимое
флакона, энтропия не возросла бы. Тогда были бы две возможности:
(1) газ оставался бы во флаконе; (2) газ улетучился
бы из флакона. (1) с очевидностью абсурдно (это бы означало
мистическое влияние нашего знания на состояние газа); если,
однако, (2) газ улетучивается, то это явление не связано с ростом
энтропии. В самом деле, наше совершенное знание позволило
бы нам предсказать исход газа из пузырька без использования
закона возрастания энтропии: мы могли бы предсказать этот
исход, рассчитывая траектории молекул. Но несмотря на то,
что нам не надо прибегать к закону возрастания энтропии, чтобы
предсказать улетучивание газа из флакона, было бы абсурдно
отрицать, что исход протекает в соответствии с этим зако"
Нейман И. фон. Математические основы квантовой механики. М.: Наука,
1964. С. 295.
ном. Газ уходит, если даже знание не улетучивается вместе с
ним. И именно этот исход газа описывает закон возрастания
энтропии.
С детерминистической точки зрения действительно трудно
понять, для чего нужна статистическая механика. Почему если
даже на все предсказательные вопросы, касающиеся улетучивания
газа из всех отдельных флаконов при данных начальных
условиях, получены ответы, главный вопрос все же остается -
я имею в виду вопрос о законоподобном характере и регулярности
улетучивания газа или процессов перемешивания и необратимости
этих процессов. Даже если мы можем в каждом конкретном
случае предсказать, что произойдет, эти регулярности
при детерминистической точке зрения остаются, вообще говоря,
невостребованными.
В то время как я вижу в статистической механике попытку
объяснить эти регулярности, фон Нейман считает статистическую
трактовку "лишь роскошью или приправой" ", существенной
только тогда, когда знание недостаточно. В этом источник
всех неприятностей: субъективистская концепция вновь проявляет
себя отголоском предрассудка детерминизма.
6. КОЛЕБАНИЯ МЕЖДУ ДВУМЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯМИ
Выше уже отмечалось, что Паули колеблется между указанными
двумя интерпретациями: он излагает усиленный закон
больших чисел Кантелли, подчеркивая его объективистский
смысл. Однако колеблются также интерпретации фон Неймана
и Борна. Так, в книге фон Неймана мы находим пассаж, в котором
"коллективы" фон Мизеса считаются "вообще необходимыми,
чтобы можно было обосновать теорию вероятностей как науку
о частотностях"^. Это значит, что он принимает эти "коллективы".
Однако, как всегда подчеркивал сам фон Мизес, его
позиция несовместима с какой-либо субъективистской теорией.
Фон Нейман не делает какой-либо попытки показать, каким
образом эти две точки зрения могли бы быть объединены.
То же самое Макс Борн. Я упоминал про его субъективизм,
но в его работе присутствуют и объективистские высказывания.
" Нейман И. фон. Математические основы квантовой механики. М.: Наука,
1964. С.155.
"' Там же. С. 223. Примечание в сноске.
"Обратимость может быть понята лишь на основе явного освобождения
части систем от причинности" - пример одного из
таких высказываний". (Я склонен согласиться с духом этого
высказывания, хотя его формулировка для меня не приемлема.)
Далее колебания Борна выражены не столь явно. "Надо отказаться
от условия, - пишет он, - что координаты и импульсы
молекул контролируются". Термин "контролируются", который
Борн не объясняет, кажется мне симптоматичным в плане колебаний
между "не известны" (это значение - самое распространенное
в этом тексте) и "не могут быть воспроизведены по нашему
желанию, коль скоро мы повторяем эксперимент", или, иными
словами, "не могут быть сделаны частью объективных условий
эксперимента", что указывает на склонность к объективистской
интерпретации.
Такое колебание - неизбежное следстви
...Закладка в соц.сетях
