СИНЕРГИЯ, КОНКУРЕНЦИЯ, ХАОС

страница №5

...лений (табл. 3.1) не может выполниться за
конечное время расчёта. Поэтому вторую область отображения
следует трактовать как соответствующую необратимому разрушению
научных направлений.
С увеличением запаздывания в верхнем левом и нижнем
правом углах ИФО образуются и расширяются области,
соответствующие угасанию обоих научных направлений (рис. 3.16,
б). А область, соответствующая неограниченному росту
продуктивности обоих направлений, локализуется вблизи асимптоты
x = y (частный случай прямой (14), покрытой принадлежащими ей
фазовыми траекториями), где x " xs, y " ys, xs, ys – координаты седла,
показанного на рис. 5, б в статье [84] (рис. 3.16, в). Это
обстоятельство согласуется с первым тезисом, выдвинутым в конце
подраздела 2.2.
Сопоставляя характер эволюции макропеременных
применительно к случаю III, можно сделать ряд выводов.
1) Наличие запаздывания ? делает возможным
колебательное изменение продуктивности научных направлений
(отсутствующее, если ? = 0 [84]), причём размах колебаний
возрастает с увеличением ?.

67

2) Рост запаздывания вызывает сокращение размеров
областей начальных условий x0, y0 на плоскости макропеременных
x, y, при которых возможно развитие научных направлений.
3) Наличие запаздывания ? способно повлечь как обратимое
(во времени t), так и необратимое снижение до нуля
макропеременных x, y.
4) Наличие запаздывания делает возможным пересечение
проекций фазовых траекторий на плоскость (x, y) (при x(t) = x(t'), y(t) =
y(t'), где t' – некоторый момент времени, не равный t), но не приводит
к образованию предельных циклов.
5) Анализ предложенных инициально-финальных
отображений показывает, что рост запаздывания ведёт к
доминированию области, соответствующей угасанию обоих научных
направлений, а область, соответствующая неограниченному росту их
продуктивности, примыкает к асимптоте x = y и в пределе
вырождается в луч, лежащий на ней.
3.4. Случай синергии c1 = c2 = c3 = 1, c4 = -1
Когда научные направления противоположных типов X и Y
действуют в режиме синергии, т.е. взаимодействуют по принципу
положительной обратной связи (c1 = c2 = c3 = 1, c4 = –1), то условие
существования прямой (14), покрытой принадлежащими ей
фазовыми траекториями, не выполняется, а для прямой (15) это
условие сводится к равенству b1 = b2. Нелинейная динамика
направлений отличается следующим.
Вариант 4.1: b1 = b2 = 0,8, x0 = y0 = 0,1. При наличии
относительно малого запаздывания (? = 0,08050) характер эволюции
направлений X, Y подобен случаю, когда ? = 0 (рис. 8, а в [84]), и
продуктивность направлений X, Y неограниченно нарастает со
временем.
Но с ростом запаздывания минимум продуктивности
затухающего научного направления X снижается, достигая нуля
при ? = 0,4782497 (используя метод Эйлера, мы брали шаг расчёта
по времени равным 1 / 2000). Однако падение x до нуля является
временным. По мере увеличения запаздывания продолжительность
времени, в течение которого x = 0, возрастает (рис. 3.17, а). При
переходе от запаздывания ? = 0,4782497 к ? = 0,4782498 падение x
до нуля становится необратимым. Гибель направления X влечёт
ограничение роста продуктивности направления Y (рис. 3.17, б).
Приблизительно при этом же запаздывании ? эволюция
макропеременной y в направлении её предельного значения
приобретает колебательный характер. Размах колебаний возрастает
с увеличением запаздывания (рис. 3.17, в).

68

Вариант 4.2: b1 = b2 = 0,8, x0 = 2,5, y0 = 0,05. Общие
закономерности в характере эволюции продуктивности научных
направлений X, Y проявляются при больших значениях
запаздывания, чем в варианте 4.1. Макропеременная x достигает
нуля при ? = 0,2030, причём необратимо, вызывая ограничение роста
y. Начиная с ? = 0,4905, на графике становятся заметными колебания
продуктивности, и их размах возрастает с увеличением
запаздывания.
Вариант 4.3: b1 = 1,5, b2 = 0,8, x0 = y0 = 0,1. В отличие от
вариантов 4.1 и 4.2, уже при ? = 0,458 минимум продуктивности x
достигает нуля, а динамика y становится колебательной.

Чтобы выявить особенности динамики взаимодействия
научных направлений, построим фазовые портреты.
Когда b1 = b2 = 0,8 (варианты 4.1, 4.2), фазовый портрет имеет
тот же вид, что и структура разбиений фазовой плоскости на
траектории на рис. 7, а в статье [84], пока величина ? мала. С ростом
запаздывания ? фазовые траектории становятся способны пересечь
прямую (15), покрытую принадлежащими ей фазовыми
траекториями, и тогда возникают их колебания около неё (рис. 3.18,
а). Дальнейшее увеличение запаздывания приводит к тому, что
некоторые фазовые траектории практически сразу достигают одну из
осей, а другие сначала описывают замысловатые фигуры, после
чего растут в колебательном режиме (подобно случаю III). Затем они
касаются какой-либо из осей координат (рис. 3.18, б).
Когда b1 = b2 = 1,5, при малых значениях ? фазовый портрет
имеет тот же вид, что и структура разбиений фазовой плоскости на
траектории на рис. 7, б [84]. С увеличением ? фазовые траектории,
как и в предыдущем варианте, начинают колебаться, пересекая
прямую (15), но теперь они стремятся в область малых значений x, y
(рис. 3.19). В отличие от предыдущего варианта, с ростом
запаздывания траектории, напоминающие ломаные линии, быстро
достигают той или иной оси, не успевая приобрести сложную
конфигурацию.
Когда b1 = 1,5, b2 = 0,8 (вариант 4.3), фазовый портрет при ? =
0 изображён на рис. 3.20, а. Видимо, из-за технической ошибки рис.
7, в из статьи [84] повторяет рис. 7, б там же, что противоречит
смыслу рис. 8, в [84]. Поскольку b1 ? b2, то условие существования
прямой (15), покрытой принадлежащими ей фазовыми траекториями,
не выполняется. Но с ростом величины ? (например, до значения
0,100) фазовые траектории пересекают бывшую (при ?=0) слабо
искривлённую фазовую траекторию, близкую к прямой (15). В итоге
возникают (затухающие) колебания фазовых траекторий, как и в
прежних вариантах. При больших ? некоторые из траекторий быстро
достигают одной из осей (рис. 3.20, б).
а)
б)
в)
Рис. 3.17. Решение системы уравнений (6) для варианта 4.1 при различных
величинах времени запаздывания ?: а – 0,4205; б – 0,4805; в – 1,421

69

а)
б)
Рис. 3.18. Структура фазового пространства системы уравнений (6) для случая IV (c1 =
= c2 = c3 = 1, c4 = –1) при b1 = b2 = 0,8 для различных величин времени запаздывания ?:
а – 0,1500; б – 0,3000
Рис. 3.19. Структура фазового пространства системы уравнений (6) для случая IV
(c1 = c2 = c3 = 1, c4 = –1) при b1 = b2 = 1,5 и ? = 0,1000

70

а)
б)
Рис. 3.20. Структура фазового пространства системы уравнений (6) для случая IV
(c1 = c2 = c3 = 1, c4 = –1) при b1 = 1,5 и b2 = 0,8 для различных величин времени
запаздывания ?: а – 0,0005 (нулевое запаздывание); б – 0,3000

71

а)
б)
в)
г)
д)
е)
Рис. 3.21. Фазовая траектория системы (6) для случая IV (c1 = c2 = c3 = 1, c4 = –1) при
b1 = 1,5, b2 = 0,8, x0 = 1,0 и y0 = 2,0 для различных величин времени запаздывания ?:
а – 0,596; б – 0,5985; в – 0,5995; г – 0,6045; д – 0,6065; е – 0,6110. Интервал
модельного времени при построении рисунков в и г был много меньше 7000 c1

72

а)
б)
в)
г)
д)
е)
Рис. 3.22. Инициально-финальные отображения системы (6) для случая IV (c1 = c2 =
= c3 = 1, c4 = –1) при b1 = b2 = 0,8 для различных величин времени запаздывания ?:
а – 0,1000; б – 0,3000; в – 0,3000; г – 0,3000; д – 0,5000; е – 0,9000. При построении
рисунков в и г использовались модифицированные критерии прекращения
вычислений: в – x"10700 или y"10700; г – x"10100 или y"10100

73

74
Примечательно, что для запаздывания, превышающего
некоторое пороговое значение, существует особая область
начальных условий: если траектория начинается в ней, то имеет
место незатухающий колебательный режим. Рассмотрим условия его
реализации более подробно.
Проследим за трансформацией проекции фазовой траектории,
начинающейся в точке x0 = 1, y0 = 2. Вычисления велись в течение
модельного времени, равного 15000 c1, в предположении, что за это
время все переходные процессы завершаются. Затем в течение
модельного времени 7000 c1 расчётные значения отображались на
графике – фазовом портрете. Величина запаздывания
варьировалась с шагом 0,0005 c1.
Оказалось, что в диапазоне значений ? от 0,45 до 0,59
возникают незатухающие колебания (с периодом 2,00 при ? = 0,50 и
периодом 2,39 при ? = 0,5960), предельный цикл для которых имеет
характерный вид восьмёрки (рис. 3.21, а). С увеличением
запаздывания до ? = 0,5985 восьмёрка испытывает равномерное
утолщение, что свидетельствует о появлении модуляции среднего
значения макропеременных. С ростом запаздывания очертания
восьмёрки расплываются (рис. 3.21, б), что служит симптомом
хаотизации. Структуру хаотического движения иллюстрирует рис.
3.21, в, при построении которого интервал модельного времени был
существенно меньше 7000 c1. Форма последнего позволяет
диагностировать динамику взаимодействия научных направлений
как движение на эргодическом торе [64]. Увеличение запаздывания ?
вызывает модуляцию формы поперечного сечения эргодического
тора (рис. 3.21, г) (при построении этого рисунка время накопления
было также существенно меньше 7000 c1).
Рост ? влечёт как увеличение, так и снижение степени
сложности динамики: она минимальна в узких (с шириной не более
0,001 c1) окнах периодичности, где имеет место резонанс на торе.
Они наблюдались, например, при запаздывании ? = 0,6065 и 0,6110
(с периодом 26,77 и 29,46 соответственно). На рис. 3.21, д и рис.
3.21, е отчётливо видно наличие модуляции поперечных размеров
тора. Рост запаздывания (? = 0,6070, ? = 0,6115) вновь возвращает
динамику к ситуации эргодического тора.
Когда b1 = 0,2, b2 = 1,5, при малых значениях ? фазовый
портрет тот же, что и на рис. 7, г в статье [84], причём в области,
прилежащей к осям, его вид близок к портрету на рис. 7, б в [84], а в
остальной части – к портрету на рис. 7, а в [84]. Такое сходство
сохраняется в целом и при увеличении ?.
Как и прежде, обратимся к инициально-финальным
отображениям.

75

Для вариантов 4.1, 4.2, когда b1 = b2 = 0,8, из структуры
фазового портрета (рис. 7, а в [84]) вытекает, что при ? = 0
инициально-финальное отображение должно иметь вид квадрата,
равномерно покрытого треугольниками (продуктивность обоих
научных направлений неограниченно растет со временем). Такой
вид отображения и был получен в расчётах. С увеличением
запаздывания в верхнем правом углу квадрата образуется и
расширяется область, соответствующая угасанию обоих научных
направлений (рис. 3.22, а). Но далее в пределах этой области
возникают и увеличиваются районы, где продуктивность научных
направлений безгранично растёт, и районы, где сохраняется только
направление Y. Последний формируется также вдоль оси Ox в
правой её части (рис. 3.22, б). Напомним, что выявление областей,
где продуктивность научных направлений безгранично растёт,
связано с выполнением критерия прекращения вычислений (табл.
3.2): x " 10500 или y " 10500.
Заметим, что если выбрать иной критерий: x " 10100 или y "
"10100 (x " 10700 или y " 10700), то строение инициально-финального
отображения изменяется. Так, при увеличении параметра критерия
размер области безграничного роста продуктивности уменьшается
за счет расширения области исчезновения обоих направлений либо
области исчезновения направления X (рис. 3.22, г, в).
Следовательно, не все точки, принадлежащие области, которая
обозначена треугольниками, соответствуют случаю неограниченного
роста продуктивности.
Дальнейший рост запаздывания изменяет структуру
отображения в пользу области, где сохраняется лишь направление Y
(рис. 3.22, д, е). А область угасания обоих направлений
ориентируется вдоль фазовой траектории, принадлежащей прямой
(15), чьё уравнение в случае IV сводится к виду: y = x + (1/b2). Эта
фазовая траектория изображена на рис. 7, а в статье [84].

Но в силу второго тезиса (сформулированного в конце
подраздела 2.2) траектории, принадлежащие этой прямой, должны
стремиться к бесконечности. Другими словами, на инициальнофинальных
отображениях должна присутствовать прямая (15),
обозначаемая треугольниками. Но поскольку начальные значения
макропеременных x, y не попадают точно на прямую (15), то такая
линия на представленных ранее отображениях не наблюдается.
Если же соответствующим образом изменить алгоритм выбора
начальных условий, то вне зависимости от величины запаздывания в
структуре отображения появляется прямая (15), обозначаемая
треугольниками.

76

Для варианта, когда b1 = b2 = 1,5, из структуры фазового
портрета (рис. 7, б в [84]) вытекает, что при ? = 0 инициальнофинальное
отображение должно иметь вид квадрата, покрытого
пустыми квадратиками (продуктивность обоих научных направлений
стремится к стационарному значению), и/или покрытого
заполненными квадратиками (научное направление X угасает –
сюжет, противоположный одному из рассмотренных в варианте 1.1).
Однако в вычислительном эксперименте мы наблюдаем инициальнофинальное
отображение в виде ничем не заполненного квадрата
(т.е. выполняется критерий № 6 прекращения счёта (табл. 3.1): t "
tmax – ничего нельзя сказать о финале эволюции научных
направлений).
Такое несовпадение вида полученного отображения с
ожидаемым происходит по двум причинам:
1) Научное направление X угасает, приближаясь к нулю
асимптотически (x " 0 при t " +?). Следовательно, критерий № 2
(табл. 3.1) полного угасания X не может выполниться за конечное
время расчёта.
2) В критерии № 5 (табл. 3.1) стремления продуктивностей
научных направлений к стационарному значению фигурируют
неравенства: |(dy/dt) / y| " 2 * 10–6, |(dx/dt) / x| " 2 * 10–6. Однако, когда
x " 0 (t " +?),то отношение (dx/dt) / x " c1 * yst – c2 ? 0, где
стационарное значение макропеременной yst = 1 / b2 согласно [84].
Следовательно, (dx/dt) / x " –1 / 3 и последнее неравенство
критерия № 5 не выполняется.
С учётом сказанного инициально-финальное отображение,
действительно, должно иметь вид квадрата, покрытого
заполненными квадратиками.
При наличии запаздывания для некоторых точек плоскости
инициально-финального отображения (иначе говоря, плоскости xOy)
начинает выполняться критерий № 2 (табл. 3.1), т.е. угасание X.
Причём с ростом ? число таких точек растёт (рис. 3.23, а, б).
а)
б)
Рис. 3.23. Инициально-финальные отображения системы (6) для случая IV (c1 = c2 =
= c3 = 1, c4 = –1) при b1 = b2 = 1,5 для различных величин времени запаздывания ?:
а – 0,2000; б – 0,7000
а)
б)
в)
г)
д)
Рис. 3.24. Инициально-финальные отображения системы (6) для случая IV (c1 = c2 =
= c3 = 1, c4 = –1) при b1 = 1,5 и b2 = 0,8 для различных величин времени запаздывания
?: а – 0,0005 (нулевое запаздывание); б – 0,2000; в – 0,4000; г – 0,5000; д – 0,9000

77

Рис. 3.25. Инициально-финальное отображение системы (6) для случая IV
(c1 = c2 = c3 = 1, c4 = –1) при b1 = 0,5, b2 = 1,5 и величине времени запаздывания
? = 0,9000

78

79
Для варианта, когда b1 = 1,5, b2 = 0,8, из структуры фазового
портрета (рис. 3.24, а) вытекает, что при ? = 0 инициальнофинальное
отображение должно иметь вид квадрата, покрытого
пустыми квадратиками (продуктивность обоих научных направлений
стремится к стационарному значению), что и наблюдалось в
компьютерном эксперименте.
Рост запаздывания ? приводит к появлению области
отображения, где сохраняется лишь направление Y, причем с ростом
? размер области растёт (рис. 3.24, б, в). Причиной этого служит
возникновение (при больших ?) траекторий, быстро достигающих
одной из осей (ср. с рис. 3.20, б).
В то же время на плоскости отображения формируются
области, для которых выполняется критерий № 6 из табл. 3.1 (рис.

3.24, г). Выполнение его в центральной части отображения вызвано
наличием незатухающих колебаний макропеременных (рис. 3.21, а).
Следовательно, при выборе начальных условий, соответствующих
этой части отображения, направления X и Y сохраняются и
испытывают незатухающие колебания продуктивности. Ещё больший
рост ? влечёт доминирование области отображения,
соответствующей необратимой деградации направления X (рис.
3.24, д).
Для варианта, когда b1 = 0,2, b2 = 1,5, из структуры фазового
портрета (рис. 7, г в статье [84]) следует, что при ? = 0 инициальнофинальное
отображение должно содержать две области. Первая –
покрыта треугольниками (продуктивность обоих научных
направлений растёт без видимого предела), вторая – прилежащая к
осям координат, как и для варианта, когда b1 = b2 = 1,5, – покрыта
квадратиками: пустыми (продуктивность обоих научных направлений
стремится к стационарному значению) и/или заполненными (научное
направление X угасает). Однако по данным вычислительного
эксперимента вторая область остается пустой. Здесь справедливы
замечания, сделанные для варианта, когда b1 = b2 = 1,5.
При увеличении запаздывания ? трансформация первой
(второй) области сходна с трансформацией всего инициальнофинального
отображения для варианта, когда b1 = b2 = 0,8 (b1 = b2 =
1,5). Заметим, что в первой области (в отличие от варианта, когда b1
= b2 = 0,8) отчётливо виден район безграничного роста
макропеременных, прилежащий к асимптоте (идущей вдоль
диагонали x = y). Это наблюдается для всех построенных
отображений при варьировании ? (рис. 3.25). Данное обстоятельство
выглядит парадоксальным, поскольку при b1 = 0,2, b2 = 1,5 не
выполняются условия существования ни для прямой (14), ни для
прямой (15). Можно объяснить парадокс тем, что эта асимптота

80

имеет исключительно малую кривизну, представляя собой
квазипрямую. Поэтому тенденция неограниченного роста,
возможно, исчезает лишь при очень высоких значениях ?.
Сопоставляя характер эволюции макропеременных x, y для
случая IV, можно сделать ряд выводов.
1) Сохраняет силу вывод 1 для случая III.
2) Рост запаздывания вызывает сокращение размеров
областей начальных условий x0, y0 на плоскости макропеременных
x, y, при которых возможно развитие научного направления X.
3) Наличие запаздывания способно повлечь как обратимое
(во времени t), так и необратимое падение до нуля макропеременной
х.
4) Сохраняет силу вывод 4 для случая III.
5) Когда b1 = b2 = 0,8, при ? = 0 продуктивность обоих научных
направлений неограниченно растёт со временем. С увеличением
запаздывания на инициально-финальном отображении появляется
область угасания обоих научных направлений. В ней возникают и
увеличиваются районы, где продуктивность научных направлений
безгранично растёт, и районы, где сохраняется только направление
Y. Затем происходит расширение области исчезновения обоих
направлений либо при ещё больших ? доминирует область, где
сохраняется лишь направление Y, а область угасания обоих
направлений ориентируется вдоль прямой безграничного роста (15)
X,Y, чье уравнение сводится к виду y = x +(1/b2).
6) Когда b1 = b2 = 1,5, при ? = 0 инициально-финальное
отображение должно иметь вид, соответствующий существованию
лишь направления Y, но по данным вычислительного эксперимента
ничего нельзя сказать о финале эволюции научных направлений.
Несоответствие объясняется несовершенством системы критериев,
используемых при построении отображений, и исчезает с
увеличением ?.
7) Когда b1 = 1,5, b2 = 0,8, при ? = 0 продуктивность обоих
научных направлений стремится к стационарному значению. Рост
запаздывания приводит к появлению области отображения, где
сохраняется лишь направление Y, увеличивая её, а при этом в
центральной части отображения формируются области, в которых
продуктивность научных направлений испытывает незатухающие
колебания. При ещё больших ? доминирует область упадка
направления X.
8) Когда b1 = 0,2, b2 = 1,5, инициально-финальное
отображение содержит две области. В первой выполняются
закономерности, относящиеся к варианту, когда b1 = b2 = 0,8; во
второй области (прилежащей к осям координат) выполняются те же

81

закономерности, что и для варианта, когда b1 = b2 = 1,5. Обнаружено
парадоксальное обстоятельство: по крайней мере до ? = 5 в первой
области присутствует район безграничного роста макропеременных,
прилежащий к асимптоте (идущей вдоль диагонали x = y), хотя не
выполняются условия существования нетривиальных
прямолинейных фазовых траекторий. Парадокс предлагается
объяснить тем, что эта асимптота имеет исключительно малую
кривизну.
9) Когда b1 = 1,5, b2 = 0,8, для запаздывания, превышающего
некоторое пороговое значение, существует область начальных
условий, при которых имеют место незатухающие колебания
продуктивности научных направлений. Обнаружены предельные
циклы с периодами 2,00, 2,39, 26,77, 29,46 (в том числе резонанс на
торе), а также хаотический режим (эргодический тор). С ростом
запаздывания проявляются окна периодичности: эргодический тор
чередуется с резонансом на торе. Заметим, что в модели [96], где
лишь ?8 ? 0, ?10 ? 0, констатируется переход от периодических
колебаний к хаосу через каскад удвоения периода.
3.5. Случай асимметричных отношений c1 = c2 = 1, c3 = c4 = -1
Когда затухающее направление X отрицательно
воздействует на направление Y, развивающееся позитивно и
положительно влияющее на X (c1 = c2 = 1, c3 = c4 = –1), то условие
существования прямых (14) и (15), покрытых принадлежащими им
фазовыми траекториями, не выполняется. Выявлены следующие
особенности.
Вариант 5.1: b1 = b2 = 0,2, x0 = y0 = 0,2. При малых значениях
запаздывания изменение продуктивности обоих направлений носит
характер затухающих колебаний; при этом средние значения
продуктивностей x, y стремятся к своим стационарным значениям,
как и при ? = 0 (см. рис. 10, а [84]). С ростом ? полный размах
колебаний x, y увеличивается, а при ? = 0,2100 затухание колебаний
сменяется их нарастанием во времени (рис. 3.26, а). Авторы
предлагают интерпретировать такую смену тенденций как
бифуркацию, благодаря которой устойчивый фокус сменяется
неустойчивым.
Из-за упомянутого увеличения размаха колебаний траектория
на фазовом портрете рано или поздно достигает одной из осей. При
этом наблюдается необратимое исчезновение направления X, а Y, в
зависимости от начальных значений x0 и y0 может как угаснуть
совсем, так и прийти к стационарному значению (рис. 3.27).
При ? = 0,2605 макропеременная x во втором минимуме
принимает нулевое значение, и это падение x оказывается

82

необратимым. Как видно из рис. 3.26, б, при таком запаздывании
сохраняется лишь первый максимум каждой из макропеременных.
Увеличение ? отодвигает момент наступления максимумов (рис. 3.26,
в).
При ? = 0,5965 макропеременная x длительное время
(сравнимое с 1) находится очень близко к нулю. Поэтому спустя
время, равное ?, макропеременная y достигает значения, близкого к
стационарному для случая, когда x = 0, а возрастание x приводит к
падению y. В итоге на графике y(t) появляется плато (рис. 3.26, г).
При ? = 0,5975 продуктивность научного направления X
монотонно убывает и достигает нуля раньше, чем Y. Поэтому
продуктивность направления Y, не обращаясь в нуль, стремится к
своему стационарному значению. Судя по рис. 3.26, д, это
стремление имеет колебательный характер. Размах колебаний
возрастает с увеличением запаздывания (рис. 3.26, е).
Вариант 5.2: b1 = b2 = 0,2, x0 = y0 = 0,5 демонстрирует те же
закономерности, что и вариант 5.1. При ? = 0,3605 происходит
необратимое падение макропеременной x (во втором минимуме) до
нуля; продуктивность x монотонно убывает до нуля, а y, не
обращаясь в нуль, стремится к своему стационарному значению (? =
1,1405).
Вариант 5.3: b1 = b2 = 0,2, x0 = y0 = 1, аналогичен вариантам
5.1 и 5.2. При ? = 0,3590 макропеременная x в третьем минимуме
необратимо падает до нуля (рис. 3.28, а), а затем (? = 0,3605) то же
происходит и с y. При ? = 0,4605 макропеременная x испытывает
необратимое падение во втором минимуме, а продуктивность
направления Y, не обращаясь в нуль, стремится к своему
стационарному значению (рис. 3.28, б). При запаздывании ? = 0,5205
повторяется ситуация, которой соответствует рис. 3.26, б. Но рис.
3.28, в (? = 1,3800) отличается от рис. 3.26, г тем, что стремление
макропеременной y к стационарному состоянию носит
колебательный характер, поэтому на графике для y плато
отсутствует. Ситуации при запаздывании ? = 1,3900 соответствует
рис. 3.26, д.

Вариант 5.4: b1 = b2 = 0,2, x0 = y0 = 2,5. При ? = 0,18980 ни одна
из макропеременных не достигает нуля. (Напомним, что вычисления
велись методом Эйлера с шагом, равным 0,0005 = 1 / 2000.)
Примечательно, что ещё до того, как наступает бифуркация,
благодаря которой устойчивый фокус сменяется неустойчивым,
макропеременная y достигает нуля в первом минимуме. Это
происходит обратимо при ? = 0,18988859, поэтому на графике y(t)
возникает плато, хорошо различимое на рис. 3.29. Обратимое
достижение нуля происходит, возможно, потому, что бифуркация

83

ещё не наступила и фазовая траектория стремится к устойчивому
фокусу, т.е. ? удалиться от осей. Поскольку макропеременная x
приближается к нулю асимптотически (оставаясь положительной), то
при возрождении направления Y значение x резко возрастает, т.е.
научное направление X сохраняется. Необратимое падение y до
нуля наблюдается при ? = 0,18988859. Если y = 0 необратимо, то x
асимптотически стремится к нулю.
а)
б)
в)
г)
д)
е)
Рис. 3.26. Решение системы уравнений (6) для варианта 5.1 при различных
величинах времени запаздывания ?; а – 0,2405; б – 0,2605; в – 0,5805; г – 0,5965; д –
0,6005;
е – 1,421

84

Рис. 3.27. Структура фазового пространства системы уравнений (6) для случая V
(c1 = c2 = 1, c3 = c4 = –1) при b1 = b2 = 0,1 и величине времени запаздывания ? = 0,3600

85

а)
б)
в)
Рис. 3.28. Решение системы уравнений (6) для варианта 5.3 при различных
величинах времени запаздывания ?; а – 0,3590; б – 0,4605; в – 1,380
Рис. 3.29. Решение системы уравнений (6) для варианта 5.4 при величине времени
запаздывания ? = 0,18988859

86

87
(Многократные...

Список страниц

• #
• 1
• 2
• 3
• 4
• 5
• 6
• 7

Закладка в соц.сетях