СИНЕРГИЯ, КОНКУРЕНЦИЯ, ХАОС

страница №3

...ь вектором z(t) = {z1(t); z2(t); ...; zm(t)}.
В пренебрежении пространственным аспектом взаимодействия
X, Y естественно записать математическую модель изменения
вектора продукции (продуктивности) научного сообщества как
функции продуктов всех его элементов в виде
dz(t) / dt = f(Z), (7)

28

( ) l i, ? ? ? ?

L

l
m
i
l i z
1 1
= =
где f(Z) = {f1(Z); f2(Z); ...; fm(Z)}, Z ? ? –
множество состояний продуктивности (количеств продукции),
созданных деятельностью участников продукционного процесса в
различные моменты времени t-?i,j, ? – символ объединения
множеств.
? ?

L

l
m
i
i t z
1 1 = =
Ориентируясь на структуру уравнений (6) и (1) в [98], разложим
правую часть уравнения (7) по степеням количеств продукции,
созданных элементарными участниками научного сообщества,
ограничившись вторым порядком:
dzi(t) / dt = fi(Z) ? fi(Z0) + ( ) ?? +
= =
?
?
? m
j

L

l
l j
l j
i z
z
Z f
1 1
0 ?? . ??
= = =
m j

L

l
m
k n 1 1 1 =
? ?
? ?
? L
n k l j
n k l j
i z z
z z
Z f

1

0

2

2
( )
Выбрав случай разложения в окрестности нуля (?zi,j = zi,j) и
полагая fi(Z0) = 0, получим более компактное выражение для модели

29

????
= = = =

L

l
m
k

L

n
n k l j n k l j i z z b
1 1 1 1
l z ? ?

? = x

L

n l
n k l j n k l j i z z b
, 1 ,
? ? k
?
= y x j M

L

n l
n k l j n k l j i z z b
1 ,
? = y n l
n k l j n k l j i z b
, 1 ,
?
? x M j
dzi(t) / dt = ??
m L + . (8)
= = j l
l j l j i z a
1 1
m j
Ограничиваясь случаем бинарных систем, сконструируем два
множества Mx?{1; 2;...; m}, My?{1; 2;...; m}: Mx?My = ?,
Mx?My = {1; 2;...; m}. Причём Mx содержит mx элементов, а My – my
(mx + my = m). Будем говорить, что i-й элементарный участник,
характеризуемый количеством продукции zi(t), является
представителем научного направления X (Y) тогда и только тогда,
когда i?Mx (i?My). Учитывая введённые обозначения, модель (8)
можно развернуть следующим образом:
dzi(t)/dt = + + + ? ?
? = x M j

L

l
j i a

1

, , l j, ? ?
? = y M j

L

l
l j l j i z a

1

M k j
+ + + ? ? ?
= x y j M

L

n l
n k l j n k l j i z z b
1 ,
, , , , , , ? ?
? ? M k M
+ ? ?

L

z . (9)
M k j
Здесь символ типа означает суммирование, в котором
индекс j пробегает все элементы множества Mx.
Обратим внимание на то, что если i?Mx, то первая сумма
описывает темп прироста продукции zi(t) i-го элементарного
участника научного направления X, обусловленный его обращением
к продукции коллег своего научного направления X, в том числе к
своей собственной продукции. Вторая сумма описывает темп
прироста продукции zi(t) того же i-го участника направления X,
обусловленный его обращением к продукции участников чужого
направления Y. Третья сумма есть квадратичный аналог первой, а
последняя – второй. Четвёртая и пятая суммы описывают темп
прироста продукции i-го участника научного направления X,
обусловленный его обращением к продукции участников как
своего X, так и чужого Y направления. Далее будем
рассматривать уравнения лишь для случая i?Mx, так как уравнения
для i?My аналогичны.
Поскольку в структуре уравнений (6) и (1) в [98] отсутствуют
линейные и квадратичные члены, ответственные за обращение к
продукции участников только чужого направления, то во второй и
последней суммах в (9) положим ai,j,l = 0 и bi,j,l,k,n = 0. Кроме того,
естественно полагая, что смешанные производные равны, из (9)
получим
dzi(t) / dt =

30

x l
? ? ?
? ? = x y j M k

L

n l
n k l j n k l j i z z b
1 ,
?
? x M j
??
x M k j, k
?
? x M j
= + + 2 . (10) ? ?
? = x M j

L

l
l j l j i z a

1

M k j
? ?
? =
L n
n k l j n k l j i z z b
, 1 ,
M
Примем во внимание возможное отличие в степени
инерционности восприятия i-м участником своих собственных
результатов и продукции остальных членов научного сообщества
(как коллег по направлению X, так и участников Y). Для простоты
дальнейшего анализа ограничимся двумя наборами из 9 времён
запаздывания в каждом: {?1; ?2; ?3; ?7; ?8; ?1’; ?3’ ?7’; ?8’} – для уравнения
i?Mx, {?4; ?5; ?6; ?9; ?10; ?4’; ?6’; ?9’; ?10’} – для уравнения i?My. Символы ?
без штриха соответствуют инерционности восприятия i-м участником
продукции остальных членов научного сообщества (как коллег по
направлению X, так и участников Y). Символы со штрихом, напротив,
относятся к инерционности восприятия своих собственных
результатов. Она объясняется, например в психологии творчества,
неуверенностью в себе, повышенной требовательностью,
приверженностью господствующей точке зрения etc. [150, 151].
Естественно думать, что времена со штрихом гораздо меньше, чем
без штриха.
Соответствующим выбором коэффициентов в (10) можно
получить более простое уравнение:
dzi(t) / dt = ax{ zj(t-?3) + zi(t-?3’) – zi(t-?3)} +
+ bx{ zj(t-?7)zk(t-?8) + zi(t-?7’) zk(t-?8) + zi(t-?8’) zj(t-?7) – ?
? x M

31

?
? x M k
? x M j
? ?
? ? x y Mj M k
?
? y M k
?
? x M i y ? i
?
? y M i
?
? x M i
? x M i
zi(t-?7’)zi(t-?8) – zi(t-?8’)zi(t-?7) – zi(t-?7) zk(t-?8) –
- zi(t-?8) ? zj(t-?7) + zi(t-?8)zi(t-?7) + zi(t-?8’)zi(t-?7’)} +
+ 2bxy{ zj(t-?1)zk(t-?2) + zi(t-?1’) zk(t-?2) – zi(t-?1) zk(t-?2)}. ?
? y M k
Ориентируясь на вид уравнений (6) и (1) в [98], обозначим:
x(t) ? zi(t), y(t) ? zi(t), dx(t)/dt ? dzi(t)/dt, dy(t)/dt ? dzi(t)/dt.
Тогда последнее уравнение примет вид
?
?M i
?
x M
dzi(t) / dt = ax{x(t-?3)+zi(t-?3’)-zi(t-?3)} +
+ bx{x(t-?7)x(t-?8) + zi(t-?7’)x(t-?8) + zi(t-?8’)x(t-?7) – zi(t-?7’)zi(t-?8) -
- zi(t-?8’)zi(t-?7) – zi(t-?7)x(t-?8) – zi(t-?8)x(t-?7) + zi(t-?8)zi(t-?7) +
+ zi(t-?8’)zi(t-?7’)} + 2bxyy(t-?2){x(t-?1) + zi(t-?1’) – zi(t-?1)}.

Суммируя mx таких уравнений по i, получим уравнение
относительно x:
dzi(t) / dt ? dx(t) / dt = 2bxyy(t-?2){(mx-1)x(t-?1) + x(t-?1’)} +
+ ax{(mx-1)x(t-?3) + x(t-?3’)} +
+ bx{(mx-2)x(t-?7)x(t-?8) + x(t-?7’)x(t-?8) + x(t-?8’)x(t-?7) +
+ ? [zi(t-?8)zi(t-?7) – zi(t-?7’)zi(t-?8) –
- zi(t-?8’)zi(t-?7) + zi(t-?8’)zi(t-?7’)]}. (11)
Рассмотрим два частных случая. Пусть в рамках научного
направления X количество элементарных участников
продукционного процесса mx = 1. Тогда уравнение (11) после
приведения подобных членов примет вид

32

dx(t)/dt = 2bxyy(t-?2)x(t-?1’) + axx(t-?3’) + bxx(t-?7’)x(t-?8’). (12)
Уравнение (12) для x(t) принимает вид первого уравнения (1) в
статье [98], если обозначить 2bxy = c1, ax = -c2, bx = -b1, ?2 = ?yc, ?8’ = ?x и
положить: ?1’ = 0, ?3’ = 0, ?7’ = 0. В аналогичном уравнению (12)
уравнении для y(t) достаточно положить: 2byx = c3, ay = -c4, by = -b2, ?5
= ?xc, ?4’ = 0, ?6’ = 0, ?9’ = 0, ?10’ = ?y, чтобы получить второе уравнение
(1) в [98]. Отсюда можно предположить, что в модели Е.С.
Мчедловой, во-первых, неявно заложено представление о
неделимости каждого из научных направлений на субъекты
продукционного процесса. Во-вторых, при учёте квадратичного
ограничения роста научной продукции утверждается
неэквивалентность времён запаздывания ?7’ = 0 и ?8’ (?9’ = 0 и ?10’):
участник научного направления обращается к своей собственной
продукции, созданной им как к моменту t-?8’ в прошлом, так и к
текущему моменту t.
Пусть теперь, наоборот, в рамках научного направления X
количество элементарных участников продукционного процесса
велико: mx "" 1, а значения zi примерно равновелики. Тогда
уравнение (11) после приведения подобных членов и пренебрежения
слагаемыми, не содержащими множителей (mx-1), (mx-2), примет вид
dx(t)/dt = 2bxy(mx-1)y(t-?2)x(t-?1) +
+ ax(mx-1)x(t-?3) + bx(mx-2)x(t-?7)x(t-?8). (13)
Уравнение (13) для x(t) принимает вид первого уравнения (6),
если обозначить 2bxy(mx-1) = c1, ax(mx-1) = -c2, bx(mx-2) = -b1. В
аналогичном уравнению (13) уравнении для y(t) достаточно
положить: 2byx(mx-1) = c3, ay(mx-1) = -c4, by(mx-2) = -b2, чтобы получить
второе уравнение (6).
Как видим, уравнения (6) опираются на предположение о том,
что каждое из научных направлений включает в себя большое число
субъектов продукционного процесса, между которыми происходит
коммуникация по принципу каждый с каждым. Принципиально, что
времена запаздывания ?1; ?3; ?7; ?8 (?4; ?6; ?9; ?10) ограничены снизу
величиной ?3 (?6) – степенью инерционности восприятия отдельным
участником направления X (Y) продукции его коллег по направлению
X (Y). Причём в данном подходе инерционность восприятия ?1’; ?3’ ?7’;
?8’ (?4’; ?6’; ?9’; ?10’) субъектом продукционного процесса своих
собственных результатов не влияет на динамику бинарной системы.
Действительно, доля его собственной продукции оказывается
малозначимой, так как число его коллег велико. Здесь неявно
реализован коллективистский принцип исследовательской
деятельности один в поле – не воин.
Формально полагая в уравнениях (6) ?2 = ?yc, ?1 = 0, ?3 = 0, ?7 = 0,
?8 = ?x, ?5 = ?xc, ?4 = 0, ?6 = 0, ?9 = 0, ?10 = ?y, можно получить модель (1)
Е.С. Мчедловой [98]. На языке нашего подхода, это – сюжет
малоинерционной коммуникации между участниками внутри одного
направления X (Y). Интуитивно ясно, что в таком случае каждое
научное направление выступает как единое и неделимое.
Поэтому-то и возможно свести модель (6) к упомянутой модели [98].
Таким образом, использованное при моделировании в наших
работах упрощающее предположение: ?i = const – не причиняет
ущерба смыслу уравнений (6), т.е. вполне правомерно.
Теперь, представляя место модели (6) в иерархии моделей,
вернёмся к её рассмотрению. В качестве начальных условий
возьмём x(t) = x0, y(t) = y0, –? " t " 0. Тогда можно аналитически найти
функции x, y на любом из отрезков n * ? " t " (n + 1) * ?; (n ? 0, целое).
Причём x(t), y(t) порогово усложняются с ростом n и являются
полиномами. На отрезках n * ? " t " (n + 1) * ? для максимального
порядка этих полиномов справедливо следующее рекуррентное
соотношение: mn = 2mn–1 + 1, где m–1 = 0. Если устремить ? к 0, то уже
при t " 0 порядок полиномов m " ?.
Для системы уравнений (6) можно показать: на плоскости xOy
существуют прямые такие, что они сплошь покрыты
принадлежащими им фазовыми траекториями (здесь полагается, что
особые точки являются отдельными фазовыми траекториями, не
принадлежащими никакой другой траектории). Упомянутые прямые
задаются уравнениями:
2 1
1 3 *
b c
b c
x y
+
+
= при c2 = c4 и c1 ? – b2,

2

4

2

1
b
с
b
b ?

2

4
*
* *
c
c x y ? = при и c1 ? –b2,
2 1
1 3
2 2
1 4
*
*
b c
b c
b c
b c
+
+
? =
y = 0 (ось Ox),
x = 0 (ось Oy),
y = –c4 / b2 (линия параллельная оси Ox) при c3 = 0,
x = –c2 / b1 (линия параллельная оси Oy) при c1 = 0.
Поскольку представляет интерес выяснить особенности
поведения данной динамической системы в области
макропеременных x " 0, y " 0 при c1 ? 0, c3 ? 0, то следует исключить

33

тривиальные прямые x = 0, y = 0, y= –c4 / b2, x= –c2 / b1 и обратиться к
прямым:
2 1
1 3 *
b c
b c
x y
+
+
= при c2 = c4 и c1?–b2, (14)

2

4

2

1
b
с
b
b ?

2

4
*
* *
c
c x y ? = при и c1 ? –b2. (15)
2 1
1 3
2 2
1 4
*
*
b c
b c
b c
b c
+
+
? =
По нашему мнению, особенности прямолинейных фазовых
траекторий (принадлежащих некоторым прямым) выражаются
следующими тезисами:
? фазовая траектория остается прямой при любых значениях
запаздывания ?;
? если движение динамической системы происходит по
прямолинейной траектории в направлении предельной точки
фазового пространства системы с ? = 0, то наличие запаздывания (?

" 0) не влияет на монотонный характер изменения динамических
переменных;
? если движение динамической системы происходит в
направлении устойчивой особой точки, не являющейся предельной
точкой множества точек, составляющего фазовое пространство
системы с ? = 0, то существует значение ? " 0, при котором имеют
место затухающие колебания (вдоль прямой) вокруг этой особой
точки.
Как и в исследованиях В.В. Качака, Е.С. Мчедловой, значения
констант ci брались равными 1 и -1. Это даёт 16 возможных
комбинаций констант, однако лишь 6 из них являются качественно
различными. Кратко опишем эти комбинации.
I. Случай асимметричных отношений c1 = 1, c2 = c3 = c4 = -1:
оба научных направления, будучи автономными, развиваются. Но
при взаимодействии направление Y положительно (продуктивно)
влияет на X, а X, напротив, отрицательно влияет на Y.
II. Случай конкурентных отношений ci = -1: оба направления,
будучи автономными, развиваются. Однако при взаимодействии они
конкурируют друг с другом, т.е. имеет место отрицательная
обратная связь в бинарной системе.
III. Случай дополняющих отношений ci = 1: оба научных
направления, будучи автономными, угасают. При взаимодействии
оба научных направления развиваются в режиме синергии
(взаимного сотрудничества), т.е. имеет место положительная
обратная связь.

34

35
IV. Случай синергии c1 = c2 = c3 = 1, c4 = -1: будучи
автономными, направления эволюционируют так, что X угасает, а Y,
напротив, развивается. При взаимодействии оба научных
направления развиваются, поддерживая друг друга, т.е. имеет место
положительная обратная связь.
V. Случай асимметричных отношений c1 = c2 = 1, c3 = c4 = -1:
будучи автономными, направления эволюционируют так, что X
угасает, а Y развивается. Влияние направления Y на X
положительно, а X на Y – отрицательно.
VI. Случай c1 = c3 = 1, c2 = c4 = -1: будучи автономными, оба
направления развиваются. В силу синергии направлений возможен
бесконечный рост их продуктивности. В дальнейшем этот случай
рассматриваться не будет. При иных, чем у нас, комбинациях времён
запаздывания он изучен в статье Е.С. Мчедловой [98].
Значения параметров ограничения bi и начальные условия x0,
y0 в основном брались из работ В.В. Качака и Е.С. Мчедловой с тем,
чтобы можно было сопоставлять наши результаты с учётом
задержки и их – без её учёта, а также для упрощения тестирования
программ.
Ввиду конечной точности вычислений возможно возникновение
значений x " 0 (y " 0). В этом случае в расчётах полагалось: x = 0
(y = 0). Величина запаздывания ? изменялась с различным
значением шага варьирования, и выбранный нами максимум в
различных экспериментах был не менее 2,3 или 1,4. В качестве
системы тестовых задач использовались результаты статей [83, 84].
2.3. Особенности моделирующих программ
Моделирующие программы были построены на базе
библиотеки Inferno, кратко описанной в подразделе 1.3. Организация
библиотеки обеспечивала компактность исходного текста, широту
функциональных возможностей и выполнение требований,
изложенных в подразделе 1.3.
Помимо библиотеки Inferno, используются только пять
подобных друг другу модулей, именованных как S_X, где X – целое
число в диапазоне 1...5, соответствующее номеру случая I-V, из
числа описанных в подразделе 2.2. В этих модулях содержатся
комбинации значений констант ci. Каждый из пяти случаев делится
на несколько вариантов. Они различаются значениями констант bi и
начальных условий x0, y0, а также некоторыми другими значениями
констант, например максимальным модельным временем анализа
конкретной ситуации. Программные модули также содержат
значения этих констант для каждой ситуации. Выбор варианта
выполняется с использованием средств условной компиляции.

36

Модули S_X используются тремя следующими программами:
? CR_NN_1: программа моделирует один или серию сюжетов с
различными временами запаздывания ?. Результаты выводятся в
виде BMP-файлов для качественного анализа или файлов данных –
для численного анализа. Каждый файл соответствует
определённому значению запаздывания ?. Возможно наблюдение
как временной реализации процесса (x(t), y(t)), так и строения
фазового пространства бинарной системы (y(x)).

? CR_NN_2: программа моделирует серию сюжетов с
различными начальными условиями x0, y0. Список условий задаётся
во внешнем файле, для генерации которого может использоваться
текстовый редактор и/или внешняя программа. Результаты
выводятся в виде BMP-файла для качественного анализа или файла
данных – для численного анализа и представляют собой фазовое
пространство системы (y(x)) с множеством траекторий для
различных начальных условий.
а)
б)
Рис. 2.1. Внешний вид экранов (screenshorts) моделирующих программ. Режим
вычисления программой CR_NN_2 структуры фазового пространства системы
уравнений (6) для случая V (c1 = c2 = 1, c3 = c4 = -1) при b1 = b2 = 0,2 для величины
времени запаздывания ? = 0,3600 (а). Режим вычисления программой CR_NN_4

37

38
инициально-финаль-ного отображения системы (6) для случая II (c1 = c2 = c3 = c4 = -1)
при b1 = b2 = 1,5 (б)

39

? CR_NN_4: программа моделирует серию сюжетов с
различными начальными условиями x0, y0 и различными временами
запаздывания ?. Их значения варьируются в заданных пределах с
заданным шагом. Результаты выводятся в виде BMP-файлов,
каждый из которых представляет собой инициально-финальное
отображение (см. подраздел 3.1) для определённого значения ?.
Каждая из трёх программ может использовать один из пяти
описанных выше модулей, привлекая средства условной
компиляции. У программы CR_NN_4 – в зависимости от
исследуемого варианта – также несколько изменяется внутренняя
структура. Это связано с отличием алгоритмов анализа финалов
эволюций научных направлений для различных случаев, указанных в
табл. 3.1.
На рис. 2.1 представлены внешние виды экранов программ во
время работы. На рисунке изображены графики, выводимые
программой во время расчёта. Как правило, программы сохраняют
результаты в виде BMP-файлов, которые в дальнейшем
анализируются (обобщаются) без участия ЭВМ. Результаты их
визуального анализа приводятся ниже и обобщаются в выводах.
Для решения системы (6) использовался метод Эйлера [152].
Центральная часть алгоритма представляет собой цикл, внутри
которого выполняется пошаговое интегрирование (6). Цикл
завершается по команде пользователя, или при достижении
заданного значения модельного времени, или при выполнении
других условий из табл. 3.1.
Структура взаимодействия программ и библиотеки Infenro
обеспечивает уровень эффективности, соответствующий
требованиям, описанным в подразделе 1.3. Кроме того, в программе
CR_NN_4 введён специальный режим агрессивной монополии
(термин В.О. Раводина). В нём на выполнение сервисных функций
процессорное время отдаётся библиотеке только при переходе
между различными начальными условиями x0, y0. Программа
переходит в режим агрессивной монополии в зависимости от
состояния программного переключателя клавиши Insert.
Все приводимые в работе графики построены одной из трёх
вышеописанных программ.

40

3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
ДВУХ НАУЧНЫХ НАПРАВЛЕНИЙ
С УЧЁТОМ ЗАПАЗДЫВАНИЯ
И ОГРАНИЧЕНИЯ РОСТА ДОСТИЖЕНИЙ
Интерпретируя универсальное явление
через более для нас доступное
частное отношение,
мы не должны забывать, что оперируем
всего лишь научной метафорой.
Х. Ортега-и-Гасет
3.1. Случай асимметричных отношений c1 = 1, c2 = c3 = c4 = -1
Когда оба направления развиваются, причём X отрицательно
влияет на Y, а Y положительно влияет на X (c1 = 1, c2 = c3 = c4 = –1),
имеют место следующие особенности:
Вариант 1.1: b1 = b2 = 0,5, x0 = 0,1, y0 = 1. Пока время
запаздывания (формально нормированное к 1/¦с2¦) не превышает
значения 1,56, имеет место стационарное устойчивое состояние: x =
2, y = 0. Начиная с ? = 1,6, становятся заметными колебания x (в
пределах 1,7046 – 2,2502), но по-прежнему y = 0. С ростом ?

амплитуда растёт и усугубляется ангармонизм колебаний. При ? =
2,4 минимальное значение x становится равным нулю, период
следования максимумов близок к 12,8 ? 5,3 * ?. Близость x к нулю в
момент t влечёт медленность изменения x в момент t + ?, которая
проявляется на графике x(t) как горизонтальный участок.
Проследим зависимость результата эволюции научных
направлений (совместное кооперативное развитие или угасание) от
начальных условий при различных значениях запаздывания ?. Для
выяснения особенностей этих зависимостей построим табл. 3.1 и 3.2,
представив в них возможные финалы эволюции макропеременных (и
соответствующие им критерии прекращения вычислений), а также
способы изображения финалов на плоскости x, y (табл. 3.3). Тем
самым задаётся графически отображение (функция) множества
начальных условий x0, y0 во множество финалов эволюции.
Чтобы подчеркнуть методологическую значимость и
физический смысл этого конструкта, назовем его инициальнофинальным
отображением (или инициально-финальной функцией).
Отметим, что философский словарь определяет конструкт как
понятие, вводимое теоретически или создаваемое по поводу

41

наблюдаемых событий по правилам логики с жёстко
установленными границами и правильно выраженное в
определённом языке. Чаще всего конструкты оформляются в зоне
перехода от эмпирического знания к концептуальному и обратно
[153]. По аналогии с содержанием рис. 3 в статье [154] инициальнофинальное
отображение можно назвать и картой режимов на
плоскости начальных условий.
Построение на плоскости (x, y) областей начальных значений
x0, y0, обусловливающих один из возможных финалов эволюции x, y,
осуществлялось при варьировании x0, y0 с шагом 0,1 в пределах
[0,1; 4]. Области в этих пределах, не заполненные какой-либо из
четырёх перечисленных выше фигур, соответствуют финалу, не
отвечающему ни одному из условий табл. 3.1.
Вариант 1.2: b1 = 5, b2 = 0,5, x0 = 0,4285, y0 = 1,1528. При
малых запаздываниях (? " 0,91) имеет место стационарное
устойчивое состояние, в котором y не обращается в нуль: x = 0,4285,
y = 1,1428. Начиная с ? " 0,91, становятся заметными колебания.
Поскольку на фазовом портрете локальные максимумы (как и
минимумы) макропеременных x, y совпадают, эти колебания можно
интерпретировать как синфазные. С увеличением ? растет их
амплитуда, а также возникший сдвиг фаз между ними (надёжно
опознаваемый при ? = 1,07), причём фазовые портреты напоминают
по форме восьмёрку до тех пор, пока ? ? 1,07. Её нижняя петля
сокращается с ростом ?.
При увеличении ? от 1,07 до 1,08 x достигает нуля (рис. 3.1, а),
нижняя петля восьмёрки утрачивается и форма предельного цикла
становится существенно менее вытянутой.
Удвоение периода наступает в интервале 1,1 ? ? ? 1,105, а
бифуркация, восстанавливающая прежний режим, происходит, когда
1,26 ? ? ? 1,27. Очередные удвоения периода имеют место
соответственно, если 1,31 ? ? ? 1,32 и 1,34 ? ? ? 1,35, а при ? = 1,36
восстанавливается предельный цикл. По мере приближения ? к
величине 1,57 минимальные значения макропеременных сливаются
в точку (0,0).
Многократное наступление режима, когда y остаётся равным
нулю, а x колеблется, вызывается значениями ? в следующих
интервалах и точках: [1,58; 1,6], 1,62, 1,63, 1,67, 1,68, [1,69; 2,5]. В
промежутках между этими интервалами и точками (при ? = 1,61, ? =
1,64) на фазовых портретах наблюдается возникновение пары
вложенных петель предельного цикла с тенденцией к расширению
фазовых траекторий (рис. 3.1, б). Значительно сильнее эта
тенденция проявляется, когда ? = 1,66, а при ? = 1,68001 она
приводит к хаотическому движению (рис. 3.1, в). Причём оно

42

непосредственно соседствует с тривиальным движением, когда y = 0
при ? = 1,68.

43

Таблица 3.1
Критерии прекращения вычислений сюжета
для различных комбинаций ci
Критерий прекращения вычислений 1 2 3 4 5 6 7 8
x " 0 0 0 ? const
" 10-3
const
" 10-3 ? 10-3
y 0 " 0 0 ? const
" 10-3
const
? 10-3 " 10-3
t " tmax
Способ отображения на плоскости (x, y)
I ?1 ¦2 03 ?4 ?5 ?

II ? ¦ 0 ? ? ? ¦
Критерий прекращения вычислений 1 2 3 4 5 6
x Любое 0 0 ? const
y 0 сonst ? ? const
t " tmax
Способ отображения на плоскости (x, y)
III 0 0 0 ? ?
IV 0 ¦ ¦ ? ?
V 0 ¦ ¦ ? ?
Таблица 3.2
Пояснения к критериям прекращения вычислений
Символ Комментарий
" 10-3 На отрезке времени ? выполняется соотношение x " 10-3 (y " 10-3),
что, вероятно, приведёт к тому, что направление сохранится
? 10-3 На отрезке времени ? выполняется соотношение x ? 10-3 (y ? 10-3),
что, вероятно, приведёт к тому, что направление угаснет
" 0 На отрезке времени ? выполняется соотношение x " 0 (y " 0),
которое служит критерием существования научного направления
? Значение макропеременной превышает 10500
t " tmax =
= 125
Длительность эволюции макропеременных превосходит
установленное предельное значение tmax
const На отрезке времени ? выполняется соотношение |(dx/dt)/x|" 2 * 10–
6 (или |(dy/dt)/y| " 2 * 10–6), которое служит критерием
установления статического режима в бинарной системе
0 На отрезке времени ? выполняется соотношение x = 0 (y = 0),
которое служит критерием исчезновения научного направления

44

Таблица 3.3
Интерпретация условных обозначений,
используемых на плоскостях
инициально-финальных отображений
Номер
критерия в
табл. 3.1
Условное
обозначен
ие
Интерпретация
отображает на плоскости (x0, y0)
областей начальных условий, при
которых...
1 ?
(заполненный
кружок)
Этот символ используется только в случаях I и II
и обозначает вероятную или фактическую
ситуацию, в которой направление X сохраняется
при исчезновении направления Y
2 ¦
(заполненный
квадратик)
Направление X исчезает при жизни Y; в случае
II это может также означать не вполне
достоверное исчезновение X при не вполне
достоверном существовании Y
3 0 (пустой
кружок)
В финале эволюции оба научных направления
исчезают (случаи I, II, IV, V) или как минимум
исчезает направление X (случай III)
4 ? (пустой
треугольник)
Происходит рост одного или обоих направлений
без видимого предела
5 ? (пустой
квадратик)
В бинарной системе устанавливается
статический режим, в котором ни одно из
направлений, вероятно, не исчезает (случаи I-II)
или пока не исчезло (случаи III-V)
а)
б)
в)
Рис. 3.1. Фазовые траектории системы (6) для варианта 1.2 при различных величинах
времени запаздывания: а – ? = 1,080; б – ? = 1,64; в – ? = 1,68001
Рис. 3.2. Фазовая траектория системы
(6) для варианта 1.3 при ? = 1,080
Рис. 3.3. Инициально-финальное
отображение системы (6) для случая I (c1 =
1, c2 = c3 =
= c4 = -1) при b1 = b2 = 0,5 для величины
времени запаздывания ? = 0,1000

45

а)
б)
в)
г)
Рис. 3.4. Инициально-финальные отображения системы ...

Список страниц

• #
• 1
• 2
• 3
• 4
• 5
• 6
• 7

Закладка в соц.сетях