Жанр: Социология и антропология
СИНЕРГИЯ, КОНКУРЕНЦИЯ, ХАОС
...(6) для случая I (c1 = 1, c2 =
= c3 = c4 = -1) при b1 = 5, b2 = 0,5 для различных величин времени запаздывания ?:
а – 0,4000; б – 0,7000; в – 0,8000; г – 0,9000
46
47
Вариант 1.3: b1 = 5, b2 = 0,5, x0 = 0,4285, y0 = 0,1528. Чтобы
оценить роль начальных условий, в рассмотренном варианте 1.2
начальное значение y уменьшено на 1,0.
То же самое устойчивое стационарное состояние имеет место
при ? " 0,805. Но уже при ? = 0,806 x достигает нуля, поэтому форма
предельного цикла подобна изображённой на рис. 3.2. Этот –
ускоренный по сравнению с предыдущим вариантом – переход к
динамическому режиму согласуется с эволюцией формы областей
на ИФО, представленных на рис. 3.3 и 3.4.
Как и в варианте 1.2, удвоение периода наступает в
интервале 1,1 ? ? ? 1,105, а бифуркация, восстанавливающая
прежний режим, происходит, когда 1,26 ? ? ? 1,27. Очередные
удвоения периода имеют место соответственно, если 1,31 ? ? ? 1,32
и 1,34 ? ? ? 1,35.
В отличие от варианта 1.2, предельный цикл
восстанавливается при ? = 1,37, а в интервале значений ? (1,35; 1,37)
наблюдается более сложная динамика. Но и здесь по мере
приближения ? к величине 1,57 минимальные значения
макропеременных сливаются в точку (0,0). Зато режим, когда y
остается равным нулю, а x колеблется, наступает единожды и
сохраняется в широком диапазоне величин ? [1,58; 2,3].
Вариант 1.4: b1 = 10, b2 = 0,5, x0 = 0,28, y0 = 1,5. Подобно
варианту 1.2 при малых запаздываниях (? ? 0,6) имеет место
устойчивое стационарное состояние, в котором y не обращается в
нуль: x = 0,25, y = 1,5, а с ростом запаздывания (? = 0,7) становятся
заметными синфазные колебания макропеременных. С увеличением
? растёт амплитуда этих колебаний, возникает и плавно нарастает
сдвиг фаз (заметный уже при ? = 0,8). Фазовые портреты имеют
форму
восьмёрки
в диапазоне 0,7 ? ? ? 0,86 (например, рис. 3.5, а
для ? = 0,8). Её нижняя петля сокращается с ростом ?.
При увеличении ? от 0,86 до 0,87 x достигает нуля (рис. 3.5, б),
нижняя петля
восьмерки
утрачивается и форма предельного цикла
становится существенно менее вытянутой.
При ? = 1,5 конфигурация цикла напоминает треугольник (рис.
3.5, в). А с переходом ? от 1,5 к 1,6 y достигает нуля. Одновременно
предельный цикл становится близким по виду к изображённому на
рис. 3.5, б.
Признаки удвоения периода, различимые на фазовом
портрете, появляются в интервале 1,76 ?? ? 1,77. По мере
увеличения ? на портретах наблюдается заметное расширение
фазовых траекторий (рис. 3.5, г), возможно обусловленное
последующими актами удвоения. В пользу такого предположения
говорит вид портретов для больших значений ?, типичный для
хаотической динамики (рис. 3.5, д). Характерно, что, начиная с того
момента, когда макропеременная y начинает достигать нуля (? = 1,6),
область значений x, где это имеет место, расширяется с
увеличением запаздывания (рис. 3.5, д).
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
и)
к)
л)
Рис. 3.5. Фазовые траектории системы (6) для варианта 1.4 при различных величинах
времени запаздывания: а – ? = 0,800; б – ? = 0,870; в – ? = 1,500; г – ? = 1,840; д – ? =
= 1,890; е – ? = 2,060; ж – ? = 2,310; з – ? = 1,930; и – ? = 2,000; к – ? = 2,210;
л – ? = 2,570
50
Общую картину динамики макропеременных при ? " 1,92
отличает явление
чередования сложности движения
, характерное
– в менее яркой форме – и для вариантов 1.2, 1.3. Поясняя
содержание этого понятия, введём четыре (условных) градации
сложности динамики: тривиальную (когда y = 0), простую,
относительно простую и относительно сложную. Упомянутое
чередование сложности движения по мере роста ? проявляется в
четырёх типах двусторонних переходов: относительно сложное -
относительно простое, относительно сложное - простое, простое -
относительно простое, простое - тривиальное.
Относительно сложная динамика наблюдается в следующих
интервалах величины запаздывания ? и при её значениях: 1,92, [1,94;
1,99], [2,01; 2,15], [2,25; 2,31], 2,35, 2,49. Типичными фазовыми
портретами могут служить рис. 3.5, д, е, ж, когда соответственно ? =
1,89, 2,06, 2,31. Заметим, что в структуре рис. 3.5, е
просматриваются элементы нескольких простых аттракторов.
Относительно простая динамика вызывается значениями ? в
нескольких интервалах и точках: 1,93, 2,0, [2,2; 2,24] 2,4. Примерами
фазовых портретов здесь служат рис. 3.5, з, и, к, когда
соответственно ? = 1,93, 2,00, 2,21.
Главные черты простой динамики передаёт фазовый портрет
на рис. 3.5, л (? = 2,57). Подобные ему имеют место при величинах ?,
принадлежащих следующим интервалам и точкам: [2,32; 2,34], [2,36;
2,39], [2,41; 2,48], 2,52, 2,53, 2,57, 2,59, 2,7.
Тривиальная динамика (y = 0) наблюдается при наличии таких
величин ?: [2,54; 2,56], 2,58, [2,6; 2,69], [2,71; 2,85].Для варианта 1.1,
когда b1=b2=0,5, из структуры фазового портрета (рис. 1,а в статье
В.В. Качака и Е.С. Мчедловой [84]) вытекает, что при ? = 0
инициально-финальное отображение должно иметь вид квадрата,
сплошь покрытого заполненными кружками (критерий № 1 или 6 из
табл. 3.1 – продуктивность направления X со временем
устанавливается, а Y обращается или обратится позднее в нуль).
Однако по данным вычислительного эксперимента плоскость ИФО
остаётся пустой, т.е. финалы эволюции не отвечают ни одному из
критериев, перечисленных в табл. 3.1.
Чтобы объяснить это противоречие, примем во внимание, что
научное направление Y угасает, приближаясь к нулю асимптотически
(y " 0 при t " +?). Следовательно, ни один из критериев (табл. 3.1)
исчезновения направления Y не может выполниться за конечное
время расчёта. Поэтому пустую плоскость отображения следует
трактовать как соответствующую необратимому разрушению
научного направления Y.
С увеличением запаздывания (? = 0,1) асимптотический
характер изменения y(t) " 0 нарушается и в верхнем правом углу
ИФО возникает область, соответствующая развитию направления X
и угасанию Y (область изображена заполненными кружками – рис.
3.3).
Таким образом, судя по временным реализациям и структуре
ИФО при ??[0; 0,9], направление Y деградирует, а направление X
сохраняется.
Для варианта 1.2 и 1.3, когда b1 = 5, b2 = 0,5, построение и
анализ ИФО показывают следующее: пока запаздывание ? " 0,3, оба
направления сосуществуют в статическом режиме. Когда ? ? (0,3;
0,4), возникает область начальных условий (вблизи оси Oy, но вдали
от оси Ox), попадание в которую влечёт фактическое или вероятное
исчезновение направления Y, но сохранение X (рис. 3.4, а). При
росте запаздывания (? " 0,4) размер этой области растёт.
Затем, когда ? ? (0,6; 0,7), возникает пустая область начальных
условий (тоже вблизи оси Oy, вдали от оси Ox), попадание в
которую, судя по всему, приводит к режиму незатухающих колебаний
продуктивности направлений Y и X (рис. 3.4, б). Эта область
увеличивается при ? " 0,7. При ? ? (0,7; 0,8) возникает вторая пустая
область (вблизи оси Oy, вдали от оси Ox) – рис. 3.4, в. При ? ? (0,8;
0,9] они сливаются, заполняя всю плоскость ИФО, за исключением
медленно расширяющейся области, попадание в которую влечёт
фактическое или вероятное исчезновение направления Y при
сохранении X.
При ? = 0,9 на ИФО от первоначально доминировавшей
области, соответствующей сосуществованию научных направлений в
статическом режиме, остаётся лишь пять символов (незаполненных
квадратиков). Согласно зрительному впечатлению символы
располагаются на прямой (14) y = x(c3 + b1) / (c1 + b2) = 2,6(6)x
(сплошь покрытой принадлежащими ей фазовыми траекториями).
Очевидно, попадание в такую бесконечно узкую область начальных
условий имеет бесконечно малую вероятность. Заметим, что
условие существования другой прямой (15), покрытой
принадлежащими ей фазовыми траекториями, не выполняется (рис.
3.4, г).
Для варианта 1.4, когда b1=10, b2=0,5, преобразование
структуры ИФО аналогично вариантам 1.2 и 1.3: пока ? ? 0,63,
направления сосуществуют в статическом режиме. При переходе от
?=0,63 к ?=0,64 он
сдаёт позиции
режиму незатухающих колебаний
продуктивности направлений X и Y, возникающему, если начальные
условия лежат вблизи оси Oy. При ? = 0,65 на ИФО область,
соответствующая статическому режиму, коллапсирует, приобретая
вид прямой, совпадающей с прямой (14) y = x ? (c3 + b1) / (c1 + b2) = 6x
(покрытой принадлежащими ей фазовыми траекториями). Эта
конфигурация при росте запаздывания, по крайней мере до ?=0,9, не
претерпевает изменений. Условие существования прямой (15) попрежнему
не выполняется.
Сопоставляя серии фазовых портретов и инициальнофинальных
отображений, относящихся к вариантам 1.1, 1.2, 1.3
случая I, можно сделать ряд выводов.
1) Наличие запаздывания вызывает утрату устойчивости
стационарного состояния, что позволяет возникнуть колебательному
процессу (например, с периодом Т), не имеющему места, если ? = 0
[84], а также влечёт и каскады удвоения периода колебаний (Т " 2Т),
и переход 2Т " Т.
2) Наличие запаздывания способно повлечь как обратимое
(во времени t) падение до нуля обеих макропеременных x, y, так и
необратимое падение y.
3) Взаимодействие макропеременных x, y при варьировании
запаздывания демонстрирует большее разнообразие типов
динамики, чем в случае, когда y = 0.
4) Варианты 1.2-1.4 при изменении запаздывания в
некоторых пределах допускают явление
чередования сложности
движения
, при этом возможна хаотическая динамика или
напоминающая её.
5) Увеличение параметра b1, т.е. усиление ограничивающего
фактора для макропеременной x, отрицательно влияющей на y,
повышает устойчивость y по отношению к росту запаздывания,
обеспечивая большее разнообразие типов движения.
6) Варьирование начального условия для макропеременной y
отражается как на бифуркационных значениях времени
запаздывания, так и на структуре фазовых портретов для отдельных
(но не всех) интервалов величин ?.
7) При b1 " 1 (варианты 1.2-1.4) увеличение запаздывания ?
ведёт к трансформации строения инициально-финальных
отображений: для достаточно больших величин ? область начальных
условий, соответствующая сосуществованию научных направлений
X и Y в статическом режиме, вырождается в прямую, совпадающую с
прямой (14), покрытой принадлежащими ей фазовыми траекториями.
Тем самым место этой области на ИФО занимают режим
незатухающих колебаний и – в меньшей степени – режим угасания Y.
При b1 " 1 (вариант 1.1) запаздывание не влияет на вид ИФО.
Выводы о колебаниях показателей продуктивности x, y
научных направлений согласуются с результатами других авторов,
изучавших динамику в моделях, которые не учитывают ограничение
роста достижений и инерционность (см. модель творческого
процесса, предложенную Г.Р. Иваницким, 1988, модель циклических
процессов в обществе, предложенную Дж.У. Форрестером, 1995, и
другие модели в книге Ю.М. Плотинского [133, с. 246-249]).
3.2. Случай конкурентных отношений ci = -1
Когда развивающиеся направления X и Y конкурируют (c1 = c2
= c3 = c4 = –1), имеют место следующие особенности:
Вариант 2.1: b1 = b2 = 0,5, x0 = 1,9, y0 = 2,1. При наличии
запаздывания (? ? 0), как и в случае его отсутствия (? = 0),
необратимо превращается в нуль макропеременная с меньшими
начальными условиями. Поскольку при x = 0 уравнение для y в (6)
идентично уравнению для x варианта 1.1 при y = 0, то при
варьировании запаздывания динамика установившегося движения
макропеременной y полностью повторяет поведение x для варианта
1.1.
Вариант 2.2: b1 = 1,5, b2 = 1,9, x0 = 0,1, y0 = 2,0. Пока
запаздывание относительно мало, имеет место стационарное
устойчивое состояние: x = 0,486, y = 0,27. Как и в варианте 1.2,
начиная с некоторого значения запаздывания (? = 1,56), становятся
различимы синфазные колебания макропеременных x, y, амплитуда
которых растёт с увеличением ?.
С повышением величины ? от 1,93 до 1,94 происходит
бифуркация удвоения периода. Дальнейший рост запаздывания
разводит совпадавшие ранее максимумы макропеременных, т.е.
нарушает синфазность колебаний. Форма фазового портрета при ? =
2,06 напоминает контур бабочки (рис. 3.7, а). Когда ? = 2,07, снова
наступает бифуркация удвоения периода (рис. 3.7, б). Как и в
вариантах 1.2, 1.3, наблюдается бифуркация, восстанавливающая
прежний режим (при 2,15 " ? " 2,16). Трансформации фазового
портрета по мере роста ? состоят также и в том, что при ? = 2,15
возникают промежутки эволюции макропеременных, в которых y = 0,
а при ? = 2,85 x = 0 (рис. 3.7, в). Очередная бифуркация удвоения
периода наступает в интервале 2,85 " ? " 2,90, а парная ей
бифуркация, возвращающая к прежнему режиму, – при 3,6 " ? " 3,7.
Заметим, что с увеличением ? промежутки эволюции, где x либо y
равны нулю, расширяются, что видно из сравнения рис. 3.7, в с рис.
3.7, г и рис. 3.7, д, соответствующими ? = 3,7 и 3,9.
Вариант 2.3: b1 = b2 = 1,5, x0 = 0,1, y0 = 2,0. Чтобы оценить
роль отличия в параметрах ограничивающей нелинейности, в
рассмотренном варианте 2.2 эти параметры взяты одинаковыми, а
начальные условия – теми же.
а)
б)
в)
Рис. 3.6. Инициально-финальные отображения системы (6) для случая II (c1 = c2 = c3 =
= c4 = -1) при b1 = b2 = 0,5 для различных величин времени запаздывания ?:
а – 0,0005 (нулевое запаздывание); б – 0,2000; в – 0,9000
а)
б)
в)
г)
д)
Рис. 3.7. Фазовые траектории системы (6) для варианта 2.2 при различных величинах
времени запаздывания: а – ? = 2,060; б – ? = 2,070; в – ? = 2,850; г – ? = 3,700;
д – ? = 3,900
а)
б)
в)
Рис. 3.8. Фазовые траектории системы (6) для варианта 2.3 при различных величинах
времени запаздывания: а – ? = 2,190; б – ? = 3,250; в – ? = 3,297
а)
б)
в)
Рис. 3.9. Решение системы уравнений (6) для варианта 3.1 при различных величинах
времени запаздывания ?: а – 0,1550; б – 0,5350; в – 1,435
а)
б)
Рис. 3.10. Решение системы уравнений (6) для варианта 3.2 при различных
величинах времени запаздывания ?: а – 0,2205; б – 0,3405
Рис. 3.11. Инициально-финальное отображение системы (6) для случая II (c1 = c2 = c3 =
= c4 = -1) при b1 = 1,5, b2 = 1,9 для величины времени запаздывания
? = 0,0005 (нулевое запаздывание)
58
Стационарные значения макропеременных составляют x = y =
0,4. Режим синфазных колебаний надежно идентифицируется при ? =
1,57. Первая бифуркация удвоения периода имеет место, когда 2,00
" ? " 2,01, т.е. при большем – по сравнению с вариантом 2.2 –
запаздывании. Из-за того, что b1 = b2, участки фазовой траектории,
где x = 0 или y = 0, формируются почти одновременно (рис. 3.8, а)
при ? = 2,19 (в отличие от варианта 2.2 при ? = 2,15). Рост
запаздывания вызывает появление петель (при 2,55 " ? " 2,65) и
увеличение их размера (рис. 3.8, б для ? = 3,25) вблизи
удлиняющихся участков, где x = 0 или y = 0. Эти петли смыкаются,
когда ? = 3,297 (рис. 3.8, в), и этот фазовый портрет типичен вплоть
до ? = 6,6.
Чтобы выяснить детали совместного влияния начальных
условий и запаздывания на финал эволюции направлений X и Y,
обратимся к инициально-финальным отображениям при различных
значениях ?.
Для варианта 2.1, когда b1 = b2 = 0,5, из структуры фазового
портрета (рис. 3, а [84]) вытекает, что при ? = 0 инициальнофинальное
отображение должно содержать три области. Одна из
них есть прямая, соответствующая статическому режиму – седловой
точке (на рис. 3.6, а прямая изображена пустыми квадратиками). Она
совпадает с прямой (14) y = x, покрытой принадлежащими ей
фазовыми траекториями. Вторая и третья области лежат выше и
ниже этой прямой. Они соответствуют деградации направления X
либо Y. Однако, по данным вычислительного эксперимента (рис.
3.6, а), эти области остаются пустыми, т.е. финалы в них не
отвечают ни одному из критериев, описанных в табл. 3.1.
Как и прежде, это противоречие можно объяснить
асимптотическим характером стремления одного из научных
направлений к нулю при t " +?. С увеличением запаздывания (? =
0,2) этот асимптотический характер нарушается: в верхнем правом
углу плоскости ИФО появляются соответствующие области (рис.
3.6, б). Их размер становится всё значительнее, и при ? = 0,4 они
заполняют нижнюю и верхнюю части плоскости ИФО (рис. 3.6, г).
Свойства решений на прямой (14) не изменяются, по крайней мере,
до ? = 0,9. Условия существования прямой (15) не выполняются.
Для варианта 2.2, когда b1 = 1,5, b2 = 1,9, при малых
запаздываниях (по крайней мере, до ? = 1,3) ИФО, как и следует из
рис. 3, а [84], содержит лишь одну область, соответствующую
статическому режиму сосуществования обоих направлений (см. рис.
3.11). Более сложные динамические режимы (и трансформация
строения ИФО) возникают при больших величинах ?, причём на ИФО
возникает асимметричная (поскольку b1 ? b2) пустая область
начальных условий (см. рис. 3.13, а). По мере дальнейшего
увеличения запаздывания (? = 1,345) область, соответствующая
статическому режиму сосуществования обоих направлений,
прижимается
к слабо искривлённым участкам пары фазовых
траекторий, проходящих вблизи точек (0,65; 0), (0; 0,55) и
устойчивого узла (рис. 3.13, б). Узел хорошо различим на рис. 3, б
[84].
Заметим, что условие существования прямой (14) y = 0,5(5) ? x,
покрытой принадлежащими ей фазовыми траекториями,
выполняется, а условие существования прямой (15), проходящей
через точки (0; 0,53) и (0,66; 0), – нет. Заинтересованный взгляд
способен увидеть близость этих точек к найденным из рис. 3.13, б
точкам (0; 0,55), (0,65; 0), около которых проходят слабо
искривлённые участки пары фазовых траекторий. Такое совпадение
естественно трактовать как верификационный факт.
Для варианта 2.3, когда b1 = b2 = 1,5, подобно варианту 2.2
при малых запаздываниях (по крайней мере, до ? = 0,9) ИФО
содержит лишь одну область, соответствующую установлению
статического режима сосуществования обоих направлений (рис.
3.12). Вполне объяснимое отличие (связанное с тем, что b1 = b2)
состоит в том, что при больших величинах ? на ИФО возникает
симметричная пустая область начальных условий (рис. 3.14, а). С
увеличением запаздывания (? = 1,345) область, соответствующая
статическому режиму сосуществования X и Y,
прижимается
к
слабо искривлённым участкам пары фазовых траекторий,
проходящих теперь вблизи точек (0,6; 0), (0; 0,6) и устойчивого узла
(рис. 3.14, б).
Как и в варианте 2.2, условие существования прямой (14) y = x
выполняется, а прямой (15), проходящей через точки (0; 0,67) и
(0,67; 0), – нет. Эти точки близки к точкам (0,6; 0), (0; 0,6), найденным
из рис. 3.14, б.
Сопоставляя серии фазовых портретов, относящихся к
вариантам 2.1, 2.2, 2.3, можно сделать ряд выводов:
1) Вывод
1
для случая I справедлив и для случая II.
2) Наличие запаздывания способно повлечь обратимое (во
времени t) падение до нуля обеих макропеременных x, y.
3) Взаимодействие макропеременных x, y при варьировании
запаздывания демонстрирует большее разнообразие типов
динамики, чем в случае, когда x = 0.
4) Вариант 2.2 при изменении запаздывания в некоторых
пределах допускает явление
чередования сложности движения
.
5) Увеличение параметра b2 и создание неравенства b1 ? b2
обеспечивают большее разнообразие бифуркационного поведения.
Рис. 3.12. Инициально-финальное отображение системы (6) для случая II (c1 = c2 = c3 =
= c4 = -1) при b1 = b2 = 1,5 для величины времени запаздывания
? = 0,0005
(нулевое запаздывание)
-
а)
б)
Рис. 3.13. Инициально-финальное отображение системы (6) для случая II (c1 = c2 = c3 =
= c4 = -1) при b1 = 1,5, b2 = 1,9 для различных величин времени запаздывания ?:
а – 1,3050; б – 1,3450
а)
б)
Рис. 3.14. Инициально-финальное отображение системы (6) для случая II (c1 = c2 = c3 =
= c4 = -1) при b1 = b2 = 1,5 для различных величин времени запаздывания ?: а – 1,3000;
б – 1,3450
62
6) При b2 " 1 (варианты 2.2, 2.3) увеличение запаздывания
ведёт к трансформации строения инициально-финальных
отображений: для достаточно больших величин ? область начальных
условий, соответствующая сосуществованию научных направлений
X и Y в статическом режиме,
прижимается
к участкам пары
фазовых траекторий, близким к устойчивому узлу и обладающим
малой кривизной. Её место на ИФО занимает режим незатухающих
колебаний продуктивности. При b2 " 1 (вариант 2.1) запаздывание
не влияет на вид инициально-финального отображения.
Как подсказывает наша интуиция, эти участки фазовых
траекторий соответствуют условному локальному минимуму
некоторой потенциальной функции, рассматриваемой на
подмножестве точек плоскости xOy, задаваемом уравнением прямой
y = k ? x + const, пересекающей один из участков.
3.3. Случай дополняющих отношений ci = 1
Когда оба направления
затухающие
, а их взаимное влияние
положительно (c1 = c2 = c3 = c4 = 1), то условие существования
прямой (14), покрытой принадлежащими ей фазовыми траекториями,
выполняется, а прямой (15) – нет, поскольку предполагается, что
параметры ограничения развития bi " 0. Здесь имеют место
следующие особенности.
Вариант 3.1: b1 = b2 = 0,5, x0 = 1,5, y0 = 2,6. Как и в случае ? = 0
[84], сохраняется склонность научных направлений к падению
продуктивности (см. рис. 6, а в [84]). Но наличие запаздывания ?
(формально нормированное к 1/|с2|) приводит к возникновению
противофазных затухающих колебаний макропеременных x и y. Их
амплитуды возрастают с увеличением запаздывания, становясь
различимыми на графике при ? = 0,155 (рис. 3.9, a). Благодаря
колебательной динамике характеристики продуктивности x, y
достигают нулевых значений не одновременно. Из-за роста
амплитуд колебаний при увеличении ? (например, при ? = 0,535 на
рис. 3.9, б) момент достижения нуля, т.е. касания графиком оси
абсцисс в точке минимума продуктивности, наступает всё раньше и
раньше (рис. 3.9, в). А так как колебания противофазны, то первым
достичь нуля продуктивности может любое из направлений вне
зависимости от соотношения их стартовых условий развития. После
достижения нулевого значения макропеременная способна вновь
возрасти, однако в ходе дальнейшей эволюции величины x, y
необратимо становятся равными нулю (рис. 3.9, в).
а)
б)
в)
г)
д)
Рис. 3.15. Структура фазового пространства системы уравнений (6) для случая III (c1 =
= c2 = c3 = c4 = 1) при b1 = b2 = 0,5 для различных величин времени запаздывания ?:
а – 0,0005 (нулевое запаздывание); б – 0,1000; в – 0,3000; г – 0,4000; д – 0,5000
64
Вариант 3.2: b1 = b2 = 0,5, x0 = 1,525, y0 = 2,6. Если время
запаздывания не превышает 0,0085, то, как и в случае ? = 0 (см. рис.
6, б в [84]), сохраняется склонность научных направлений к
кооперативному увеличению продуктивности каждого из них. Но при
достижении запаздыванием послебифуркационного значения ? =
0,0105 эта склонность меняется на противоположную. В этом случае
эволюция макропеременных подобна изображенной на рис. 6, а в
[84]. Рост запаздывания приводит к тем же эффектам, что
характерны для варианта 3.1.
Вариант 3.3: b1 = b2 = 0,5, x0 = 1,5, y0 = 4,0. В
противоположность варианту 3.2 с ростом запаздывания сначала
возникают колебания макропеременных, когда ? = 0,2205 (рис. 3.10,
а), а потом (при ? = 0,3405) тенденция к развитию научных
направлений сменяется тенденцией к их затуханию (рис. 3.10, б).
Вариант 3.4: b1 = b2 = 0,5, x0 = 3,0, y0 = 3,5. В отличие от
варианта 3.3, колебания макропеременных обнаруживаются на
графике при ? = 0,1605. Но при дальнейшем росте ? смены
тенденций, присущей варианту 3.3, не наблюдается. Эволюция
научных направлений подобна изображённой на рис. 3.10, а.
Анализ хода временных зависимостей макропеременных x, y
целесообразно дополнить построением структуры разбиений
проекции фазового пространства на траектории при разных
запаздываниях. На фазовых портретах (рис. 3.15, а-д) траектории,
начинающиеся в точках, которые лежат над диагональю x = y,
соответствуют вариантам 3.1-3.4.
Пока величина ? мала (рис. 3.15, а), фазовый портрет имеет
тот же вид, что и структура разбиений фазовой плоскости на
траектории на рис. 5, б в статье [84]. При ? = 0,1 (рис. 3.15, б)
траектория, соответствующая варианту 3.2, становится нисходящей
(угасание научных направлений). При ? = 0,3 (рис. 3.15, в) все
траектории отражают колебательный характер эволюции X, Y. При ?
= 0,4 (рис. 3.15, г) траектория, соответствующая варианту 3.3,
становится нисходящей. Рост ?, вызывая увеличение амплитуд
колебаний x, y, приводит к образованию фазовых траекторий в
форме петель (рис. 3.15, д).
а)
б)
в)
Рис. 3.16. Инициально-финальные отображения системы (6) для случая III (c1 = c2 =
= c3 = c4 = 1) при b1 = b2 = 0,5 для различных величин времени запаздывания ?:
а – 0,0005 (нулевое запаздывание); б – 0,3000; в – 0,9000
66
Обобщая содержание упоминавшихся фазовых портретов,
можно утверждать: при наличии запаздывания, траектории,
начинающиеся достаточно далеко от диагонали, колеблются поперек
неё, быстро увеличивая размах, но вдоль диагонали они удаляются
от начала координат не столь быстро. В итоге траектория касается
одной из осей координат и научные направления X, Y угасают.
Чтобы в деталях выяснить совместное влияние начальных
условий и запаздывания на финал эволюции научных направлений,
обратимся к серии рисунков, на которых изображены инициальнофинальные
отображения при различных значениях ?.
Для варианта, когда b1 = b2 = 0,5, из структуры фазового
портрета (рис. 5, б [84]) вытекает, что при ? = 0 инициальнофинальное
отображение должно содержать две области. Первая –
покрыта треугольниками (продуктивность обоих научных
направлений растет без видимого предела). Вторая область,
прилежащая к осям координат, покрыта кружками (научные
направления деградируют). Однако по данным вычислительного
эксперимента вторая область остаётся пустой, т.е. не финалы в ней
не отвечают ни одному из четырёх, описанных ранее, условий (рис.
3.16, а).
Объясняя это противоречие, примем во внимание, что научные
направления X и Y угасают, приближаясь к нулю асимптотически
(x, y " 0 при t " +?). Следовательно, ни один из критериев № 1-3
исчезновения направ
...Закладка в соц.сетях
