Жанр: Наука
Наука и метод
...ачает отсутствия противоречия, а
обозначает объективное существование.
Вот уже первое основание для различия, которое я делаю между вышеприведенными
тремя случаями. Есть еще другое основание. Эти три понятия находят последующие
применения; имеют ли эти понятия в применениях то значение, которое установлено
этими тремя постулатами?
Возможные применения принципа индукции бесчисленны. Возьмем для примера одно из
указанных нами выше применений, где мы стремились установить, что некоторая
совокупность аксиом не может вести к противоречию. Для этого следует рассмотреть
один из рядов силлогизмов, которые можно построить, исходя из этих аксиом как
посылок.
Когда мы закончили n-й силлогизм, мы видим, что можно еще составить (n + 1)-й
силлогизм. Таким образом, число n служит для счета ряда последовательных операций,
это - число, которое может быть получено путем последовательных прибавлений.
Другими словами, это есть число, исходя из которого, можно прийти к единице путем
последовательных вычитаний. Этого, очевидно, нельзя было бы достигнуть, если бы мы
имели равенство n = n - 1, потому что в таком случае мы при вычитании всегда получали
бы то же самое число. Таким образом, способ, при помощи которого мы пришли к
рассмотрению этого числа n, заключает в себе определение конечного целого числа, и это
определение гласит: конечное целое число есть такое число, которое может быть
получено путем последовательных сложений, это есть число n которое не равняется n - 1.
Приняв это, что делаем мы дальше? Мы показываем, что если нет противоречия с n-м
силлогизмом, то не будет противоречия с (n + 1) -м и не будет такого противоречия
никогда. Вы скажете: я вправе сделать такое заключение, потому что целые числа по
определению представляют собой такие именно числа, для которых подобное
рассуждение законно. Но это приводит к другому опре делению целого числа, а именно к
следующему: целое число есть такое число, о котором можно рассуждать в рекуррентном
порядке В данном случае это - число, о котором можно сказать следующее: если
отсутствие противоречия в момент силлогизма, имеющего целый номер, влечет за собой
отсутствие противоречия для силлогизма, имеющего следующий целый номер, то нет
оснований опасаться противоречия для любого из силлогизмов, имеющего целый номер.
Оба определения не тождественны; они эквивалентны, без сомнения, но они таковы в
силу априорного синтетического суждения: нельзя прийти от одного к другому путем
чисто логических операций. Мы не вправе, следовательно, принять второе определение,
раз мы ввели целое число, следуя такому пути, который предполагает первое
определение.
Посмотрим, напротив, как обстоит дело с прямой линией. Я так часто уже говорил об
этом, что не решаюсь снова повторять то же самое.
Мы не имеем здесь, как это было в предыдущем случае, двух эквивалентных определений,
логически друг к другу несводимых. Мы имеем только одно определение, выраженное
словами. Могут сказать, что мы имеем еще другое определение, которое мы чувствуем, но
не можем выразить, потому что мы имеем интуицию прямой линии, или потому, что мы
представляем себе прямую линию. Но, прежде всего, мы не можем представить себе этой
линии в геометрическом пространстве, а можем представить лишь в пространстве,
имеющемся в нашем представлении; и затем мы легко можем представить себе объекты,
которые обладают всеми другими свойствами прямой линии, кроме того свойства,
которое удовлетворяет постулату Евклида. Эти объекты суть "неевклидовы прямые",
которые с известной точки зрения отнюдь не являются чем-то, лишенным смысла, но
представляют собой окружности (настоящие окружности в настоящем пространстве),
ортогональные к определенной сфере. Если из этих объектов, которые мы также можем
себе представить, мы считаем прямыми первые, т. е. евклидовы прямые, а не последние,
т. е. неевклидовы прямые, то это обусловливается определением.
Если мы, наконец, обратимся к третьему примеру, к определению фосфора, то мы
увидим, что истинное определение будет таково: фосфор - это кусок вещества, который
я вижу вот в этом флаконе.
Остановившись уже на этом примере, скажу еще несколько слов. Относительно истины,
касающейся фосфора, я выше сказал: "это предложение есть настоящий физический
закон, доступный проверке, так как оно обозначает: все тела, которые обладают всеми
прочими свойствами фосфора, помимо точки его плавления, плавятся, как и фосфор, при
44 ". На это мне ответили: "нет, этот закон не может быть проверен, потому что, если бы
после проверки оказалось, что два тела, похожие на фосфор, плавятся одно при 44 , а
другое при 50 , то всегда можно было бы сказать, что, кроме точки плавления, наверное,
имеется еще и другое неизвестное свойство, благодаря которому эти тела друг от друга
отличаются".
Это было не совсем то, что я хотел сказать. Я должен был бы написать: все тела, которые
обладают такими-то и такими-то свойствами в конечном числе (а именно теми
свойствами фосфора, которые перечислены в руководствах по химии, за исключением
точки плавления), плавятся при 44 .
Чтобы сделать более очевидной разницу между примером с прямой линией и примером с
фосфором, сделаем еще одно замечание. Прямая линия имеет в природе несколько более
или менее несовершенных образов, между которыми главные суть световой луч и ось
вращении твердого тела. Я допускаю, что каким-нибудь образом было бы установлено,
что световой луч не удовле творяет постулату Евклида (т. е. было бы, например, доказано,
что звезда имеет отрицательный параллакс), что сделаем мы дальше? Заключим ли мы
отсюда, что прямая, будучи по определению траекторией света, не удовлетворяет
постулату или, наоборот, что раз прямая по определению удовлетворяет постулату, то
световой луч не представляет собой прямой линии?
Конечно, мы свободны в выборе того или другого определения и, следовательно, того или
иного заключения. Но принять первое заключение было бы нелепо, потому что световой
луч удовлетворяет лишь несовершенным образом, вероятно, не только постулату Евклида,
но и другим свойствам прямой линии; если он отклоняется от евклидовой прямой, то он
также отклоняется и от оси вращения твердых тел, которая является другим
несовершенным образом прямой линии; и, наконец, он, без сомнения, подвержен
изменениям: будучи прямым вчера, он перестает быть таковым завтра, если какое-нибудь
физическое условие изменилось.
Предположим, что было бы найдено, что фосфор плавится не при 44 , а при 43,9 .
Заключим ли мы отсюда, что это новое тело, которое мы назвали фосфором, не есть
настоящий фосфор, ибо последний, согласно определению, есть тело, которое плавится
при 44 или, напротив, мы заключим, что фосфор плавится при 43,9 ?
В этом случае мы также свободны в выборе того или другого определения, а
следовательно, того или другого заключения. Но было бы нелепо принять первое
заключение, так как нельзя же менять наименование тела каждый раз, когда удается
определить лишний десятичный знак в его температуре плавления.
В итоге Рассел и Гильберт сделали большие усилия. Тот и другой написали книги,
изобилующие оригинальными, глубокими и часто очень правильными взглядами. Эти две
книги дают нам большой материал для размышления; из них мы можем многому
научиться. Некоторые и даже многие из выводов, к которым приходят авторы, прочны и
будут жить.
Но, очевидно, было бы неправильно сказать, что они окончательно разрешили спор между
Кантом и Лейбницем (1) и разрушили кантову теорию математики. Я не знаю, стоят ли
они сами на этой точке зрения, но если они это думают, то они ошибаются.
(1) Имеется в виду не действительный спор между ними, который был бы невозможен,
поскольку они жили в разное время, а противопоставление взглядов Лейбница и Канта на
математику. Лейбниц считал, что все математические науки можно воплотить в
некотором универсальном логическом исчислении, Кант же утверждал, что
математические положения могут доказываться только путем обращения к наглядному
представлению, которое дается априорными формами чувственности. - Прим. ред.
Глава V. ПОСЛЕДНИЕ УСИЛИЯ ЛОГИСТИКОВ
Логистики пытались ответить на все приведенные выше соображения. Для такого ответа
им надобно было преобразовать логистику (1), и Рассел в особенности видоизменил в
некоторых отношениях первоначальные ее точки зрения. Не входя в детали дела, я хочу
остановиться только на двух вопросах, на мой взгляд, наиболее важных.
Дали ли правила логистики действительно доказательства своей плодотворности и
непогрешимости? Верно ли, что они имеют возможность доказать принцип полной
индукции, совершенно не обращаясь к интуиции?
Непогрешимость логистики
Что касается плодотворности, то Кутюра, по-видимому, строит наивные иллюзии.
Логистика, по его мнению, дает изобретательности в ее распоряжение "леса и крылья". А
на следующей, странице он говорит: "десять лет тому назад Пеано опубликовал первое
издание своего "Formulaire" (2).
Как, уже десять лет, как вы имеете крылья, и вы еще не полетели!
Я питаю величайшее уважение к Пеано, который сделал превосходные работы (например,
его кривая, которая заполняет целую площадь), но в конце концов он не ушел ни дальше,
ни выше, ни быстрее, чем большая часть бескрылых математиков, и этот путь он мог бы
ведь проделать так же хорошо на своих ногах.
Я, напротив, вижу в логистике только помеху для изобретателя; с ее помощью мы отнюдь
не выигрываем в сжатости; если нужны 27 уравнений, для того чтобы установить, что 1
есть число, то сколько нужно будет уравнений, чтобы доказать настоящую теорему? Если
мы различаем вместе с Уайтхедом индивид х, класс, единственный член коего есть х и
который называется ?x, затем - класс, единственный член которого есть класс с
единственным членом x и который называется ??x, то можно ли думать, что эти различия,
как бы ни были они полезны, облегчат нам движение вперед?
Логистика заставляет нас сказать все то, что обыкновенно подразумевается; она
заставляет нас двигаться шаг за шагом; это, быть может, делает движение более верным,
но не более быстрым.
Вы даете нам не крылья, а детские помочи. Но тогда мы имеем право требовать, чтобы
эти помочи не давали нам падать В такой помощи - единственное их оправдание. Если
ценное имущество не приносит крупных доходов, то нужно по крайней мере, чтобы оно
было в надежных руках.
Нужно ли следовать вашим правилам слепо? Конечно, да, иначе нам могла бы помочь
разобраться в них одна только интуиция. Но в таком случае необходимо, чтобы эти
правила были непогрешимы; слепое доверие можно питать только к непогрешимому
авторитету. Для вас это необходимость. Вы должны быть непогрешимы, или вас не будет.
Вы не вправе сказать нам: "мы ошибаемся - это правда, но вы также ошибаетесь". Но
наша ошибка для нас - несчастье, большое несчастье, для вас - это смерть.
Еще менее вправе вы сказать: "Разве непогрешимость арифметики препятствует ошибкам
сложения? Правила счета непогрешимы, и все же мы видим, как ошибаются те, которые
их применяют". Однако, просматривая их переделки, легко заметить, в какой момент они
уклонились от правил. Здесь же совсем не то; логистики применили свои правила и впали
в противоречие. Это настолько верно, что они готовы изменить правила и "пожертвовать
понятием класса". Зачем же изменять правила, если они были непогрешимы?
"Мы не обязаны, - говорите вы, - разрешать hic et nunc (3) все возможные проблемы".
О, мы от вас не требуем столь многого; если бы вы, разрешая проблему, не давали
никакого решения, мы ничего не сказали бы; но вы, напротив, даете нам два решения,
которые друг другу противоречат и из которых, следовательно, по крайней мере одно
ложно. А это банкротство.
Рассел старается примирить эти противоречия и признает, что для такого примирения
необходимо "ограничить понятие класса или даже пожертвовать им". Кутюра же,
учитывая успех этой попытки, прибавляет: "если логистики достигнут того, что не
удавалось другим, Пуанкаре не откажется вспомнить эту фразу и воздать должное
решению логистики".
Но это не так: логистика существует, она имеет свое уложение, вышедшее уже в четырех
изданиях; или, правильнее, это уложение и есть сама логистика. Готов ли Рассел
показать, что по крайней мере одно из двух противоречивых суждений вышло за пределы
уложения? Отнюдь нет; он готов изменить эти законы, а некоторые из них и уничтожить.
Если он успешно выполнит свою попытку, то я воздам должное интуиции Рассела, но не
логистике Пеано, которую он таким образом разрушит.
Отсутствие противоречия
Я привел выше два главных возражения против того определения целого числа, которое
принято в логистике. Какой ответ дает Кутюра на первое возражение?
Что обозначает в математике слово существовать? Оно обозначает, сказал я, отсутствие
противоречия. Кутюра возражает против этого. Он говорит: "Логическое существование
есть нечто отличное от отсутствия противоречия. Оно заключается в том факте, что
некоторый класс не пуст; сказать: "элементы а существуют" - значит, согласно
определению, утверждать, что класс не есть нулевой". И, само собой разумеется,
утверждать, что класс а не есть нулевой, значит, согласно определению, утверждать, что
элементы а существуют. Но одно из этих утверждений так же лишено смысла, как и
другое, если только они оба не обозначают либо то, что можно это а видеть или осязать,
либо то, что можно постигнуть а, не впадая в противоречие. Но в первом случае мы имеем
дело с утверждением, которое принимают физики и натуралисты; во втором случае - с
утверждением, которое выставляют логики и математики.
Для Кутюра не отсутствие противоречия доказывает бытие, а бытие доказывает
отсутствие противоречия. Чтобы установить существование класса, нужно установить при
помощи примера, что есть какой-нибудь индивид, принадлежащий к этому классу. "Но,
- скажут, - как доказать существование такого индивида? Не надобно ли, чтобы это
существование было установлено для того, чтобы мы из него могли вывести
существование класса, к которому принадлежит индивид? Совсем нет. Как ни покажется
парадоксальным такое утверждение, нужно сказать, что никогда не доказывают
существования индивида. Индивиды уже по одному тому, что они индивиды, всегда
рассматриваются как существующие. Абсолютно говоря, нет нужды высказывать, что
индивид существует, а нужно лишь сказать, что он существует в классе". Кутюра находит
свое собственное утверждение парадоксальным, и, конечно, не он один найдет его
таковым. Это утверждение, однако, должно иметь свой смысл. Кутюра, без сомнения,
хочет сказать, что существование индивида, который является единственным в мире и о
котором ничего не утверждается, не может повлечь противоречия; пока он остается
единственным, он, очевидно, никого не стесняет. Пусть так; допустим, "абсолютно
говоря", существование индивида; но с этим существованием нам нечего делать; нам
нужно будет доказать существование индивида "в классе", а для этого надобно будет
доказать, что утверждение "такой-то индивид принадлежит к такому-то классу" не стоит
в противоречии ни с самим собой, ни с другими принятыми постулатами.
"Утверждать, что определение лишь тогда имеет действительное значение, когда раньше
доказано, что оно непротиворечиво, это значит, - продолжает Кутюра, - предъявлять
произвольное и неправильное требование". Капитуляция в вопросе об отсутствии
противоречия выражена здесь в словах как нельзя более энергичных и самонадеянных.
"Во всяком случае onus probandi (4) падает на тех, кто полагает, что эти принципы
противоречивы". Постулаты предполагаются совместимыми друг с другом до тех пор,
пока не доказано противоположное, подобно тому, как обвиняемый по презумпции
предполагается невиновным.
Излишне говорить, что я не подписываюсь под этой капитуляцией. Но, говорите вы,
доказательство, которого вы от нас требуете, невозможно, вы не должны от нас требовать,
чтобы мы "схватили Луну зубами" (5). Простите, оно невозможно для вас, но не для нас,
допускающих принцип индукции в качестве априорного синтетического суждения. И оно
так же необходимо вам, как и нам.
Чтобы доказать, что система постулатов не заключает противоречия, необходимо
применить принцип полной индукции; этот способ суждения не только не "странный",
но единственно правильный. Отнюдь нельзя считать "неправдоподобными" случаи его
применения; и нетрудно найти соответствующие "примеры и прецеденты". Я цитировал в
моей статье два таких примера, заимствованных из брошюры Гильберта. Но он не один
применял такой способ; те же, которые его избегали, были неправы. Я упрекал Гильберта
не в том, что он к нему прибегал (как настоящий математик, Гильберт не мог не увидеть,
что здесь необходимо было доказательство и что данное им доказательство было
единственно возможное), но в том, что, прибегая к нему, он не признавал в нем суждения
по рекуррентному методу.
Второе возражение
Я отметил вторую ошибку логистиков в статье Гильберта. Теперь Гильберт отлучен, и
Кутюра более не считает его логистиком. Он меня спросит, нашел ли я ту же самую
ошибку у логистиков-ортодоксов. Нет, я не встречал ее на тех страницах, которые
прочитал; но я не знаю, не встречу ли я ее на трехстах страницах, которые написаны
ортодоксами и которые у меня нет желания читать.
Но логистикам придется впасть в эту ошибку, как только они захотят сделать из
математической науки какое-нибудь приложение. Эта наука не имеет единственной
целью вечное созерцание своего собственного пупа; она приближается к природе, и
раньше или позже она придет с ней в соприкосновение; в этот момент не обходимо будет
отбросить чисто словесные определения, которыми нельзя будет более довольствоваться.
Вернемся к примеру Гильберта. Дело идет все о том же рекуррентном суждении и о том,
заключает ли система постулатов противоречие. Кутюра скажет, без сомнения, что это
его не касается; но это заинтересует, быть может, тех, кто не отказывается, как он, от
доказательства отсутствия противоречия.
Мы хотим установить, как мы говорили выше, что не встретим противоречия после сколь
угодно большого числа суждений, раз это число будет конечным. Для этого необходимо
применить принцип индукции. Должны ли мы под конечным числом понимать здесь
всякое число, к которому по определению применим принцип индукции? Очевидно, нет,
так как в противном случае мы пришли бы к следствиям, которые нас чрезвычайно
затруднили бы.
Для того чтобы мы имели право установить систему постулатов, мы должны быть
уверены, что постулаты непротиворечивы. Это - истина, принятая большинством
ученых, я бы сказал "всеми учеными" до того, как прочел последнюю статью Кутюра. Но
что обозначает эта истина? Имеется ли в виду: необходимо, чтобы мы были уверены в
том, что не встретим противоречия после конечного числа предложений, причем
конечным по определению будет такое число, которое обладает всеми свойствами
рекуррентного характера, так что, если одно из этих свойств отсутствует, если мы,
например, натолкнемся на противоречие, то мы условимся говорить, что данное число не
есть конечное?
Другими словами, хотим ли мы сказать: необходимо, чтобы мы были уверены в том, что
мы не встретим противоречия при условии, что мы согласимся остановиться в тот
момент, когда такое противоречие начнет обрисовываться? Достаточно сформулировать
такое предложение, чтобы тут же его осудить.
Таким образом, рассуждение Гильберта не только предполагает принцип индукции, но
оно предполагает, что этот принцип нам дан не как простое определение, а как
априорное синтетическое суждение.
Резюмируем:
доказательство необходимо;
единственно возможное доказательство есть рекуррентное доказательство;
оно законно только тогда, когда допускают принцип индукции и когда его рассматривают
не как определение, а как синтетическое суждение.
Канторовские антиномии
Я обращаюсь теперь к рассмотрению нового мемуара Рассела. Этот мемуар был написан с
целью преодолеть трудности, поднятые теми канторовскими антиномиями нa которые я
неоднократно намекал выше. Кантор думал, что можно построить науку бесконечного;
другие пошли по пути, открытому Кантором, но скоро натолкнулись на странные
противоречия. Возникшие антиномии уже многочисленны, но наиболее известны
следующие:
1 Антиномия Бурали-Форти.
2 Антиномия Цермело-Кённга.
3 Антиномия Ришара.
Кантор доказал, что порядковые числа (речь идет о порядковых трансфинитных числах, т.
е. о новом понятии введенном Кантором) могут быть размещены в один линейный ряд, т.
е. доказал, что из двух неравных порядковых чисел одно число всегда меньше другого.
Бурали-Форти доказывает противоположное. В самом деле, говорит он, если бы все
порядковые числа можно было разместить в один ряд, то этот ряд определял бы
порядковое число, которое было бы больше, чем все другие; но к нему можно было бы
прибавить единицу, и тогда получилось бы порядковое число, которое было бы еще
больше, а это приводит к противоречию. Мы вернемся позднее к антиномии Церкело -
Кёнига, которая имеет несколько отличную природу.
Но вот антиномия Ришара (Revue Generale des Sciences, 30 juin, 1905). Рассмотрим все
десятичные числа, которые можно определить при помощи конечного числа слов. Эти
десятичные числа образуют совокупность E, и легко видеть, что это есть исчислимая
совокупность, т, е. можно перенумеровать различные десятичные числа этой
совокупности от 1 до бесконечности. Допустим, что это уже произведено, и определим
число N следующим образом. Если n-я цифра n-го числа совокупности Е есть
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
то n-я цифра числа N будет соответственно
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 1, 1.
Как мы видим, N не равно n-му числу совокупности Е, а так как n есть произвольное
число, то N не принадлежит совокупности E; между тем N должно ей принадлежать, так
как мы определили N при помощи конечного числа слов.
Мы увидим ниже, что Ришар сам дал объяснение своего парадокса, обнаружив при этом
большую проницательность, и что его объяснение может быть mutatis mutandis (6)
распространено на другие аналогичные парадоксы. Рассел цитирует еще другую довольно
любопытную антиномию.
К а к о в о то н а и м е н ь ш е е ц е л о е ч и с л о, к о т о р о е н е л ь з я о п р е д е л и т ь п
р и п о м о щ и ф р а з ы, и м е ю щ е й м е н е е с т а ф р а н ц у з с к и х с л о в?
Такое число существует. И в самом деле, числа, которые могут быть определены такой
фразой, имеются, очевидно, в конечном количестве, ибо слова французского языка
имеются также в конечном количестве. Следовательно, между этими числами будет одно
такое, которое меньше всех прочих.
Но, с другой стороны, это число не существует, так как определение его заключает
противоречие. Действительно, это число определяется самой фразой, напечатанной выше
в разрядку и состоящей менее, чем из ста слов, а по определению это число не может
быть определено подобной фразой.
Теория зигзагов и теория неклассов
Какую позицию занимает Рассел ввиду этих противоречий? Рассмотрев те, о которых мы
только что говорили, указав еще на другие и придав им форму, которая заставляет
вспомнить об Эпимениде, он без колебаний заключает:
"A prepositional function of one variable does not always deter mine a class".
Пропозициональная функция (т. е. определение) одной переменной не всегда определяет
класс. "Пропозициональная функция", или "норма", может быть "непредикативной". И
это не значит, что такие непредикативные предложения определяют пустой класс,
нулевой класс; это не значит, что нет такой величины х, которая удовлетворяла бы
определению и могла бы быть одним из элементов класса. Элементы существуют, но они
не могут соединяться для образования класса.
Но это только начало, нужно еще быть в состоянии узнать, является ли определение
предикативным или нет. Разрешая эту проблему, Рассел колеблется между тремя
теориями, которые он называет:
А. теория зигзага (the zigzag theory);
В. теория ограничения размера (the theory of limitation of size);
С. теория неклассов (the no classes theory).
Согласно теории зигзагов "определения (пропозициональные функции) определяют
класс, когда они очень просты, и перестают определять таковой, когда они становятся
сложными и неясными". Кто же решит вопрос: можно ли рассматривать данное определение
как достаточно простое, для того чтобы оно было приемлемо? На этот вопрос нет
ответа, если не считать таковым форменное признание в полном бессилии: "правила,
которые позволили бы распознавать, являются ли эти определения предикативными,
были бы чрезвычайно сложны и рекомендовать их не было бы целесообразным ни с какой
точки зрения. Это недостаток, который можно было бы исправить только при большой
изобретательности или при помощи таких отличий, которые еще не намечены. Но до
настоящего момента я в поисках этих правил не мог найти другого руководящего
принципа, кроме отсутствия противоречия".
Эта теория остается, таким образом, довольно темной. В этой ночи - единственный
проблеск, и этот проблеск есть слово "зигзаг". То, что Рассел называет "zigzag-giness",
является, без сомнения, тем особенным свойством, которым отличается аргумент
Эпименида.
Согласно теории of limitation of size класс теряет право на существование, если он
слишком обширен. Он может даже быть бесконечным, но не должен быть "чрезмерно"
бесконечным.
Мы и здесь встречаемся все с тем же затруднением: в какой же именно момент класс
начинает становиться слишком бесконечным? Само собой разумеется, это затруднение не
разрешено, и Рассел переходит к третьей теории.
В no classes theory запрещено произносить слово "класс", Оно должно замещаться
разнообразными перифразами. Какой это крупный переворот для логистиков, которые
только и говорят о классах и о классах классов! Необходимо переделать всю логистику.
Представляют ли себе эти авторы, какой вид примет страница логистики, если в ней
будут уничтожены все предложения, в которых идет речь о классах? Кроме нескольки
...Поділитися у соцмережах
