Жанр: Наука
Наука и метод
...ьного
констатирования этого факта, возведенного в аксиому, легко было бы вывести как
понятие о параллельной прямой,так и сам евклидов постулат.
Механика
Мне нет надобности останавливаться на определении скорости или ускорения, а также и
других кинематических понятий; они с большим удобством могут быть отнесены к
определению производной. Я остановлюсь, напротив, на динамических понятиях о си- ле
и массе.
Одна вещь меня поражает, а именно: сколь многие молодые люди, получившие среднее
образование, далеки от того, чтобы применять к реальному миру те механические законы,
которые им были преподаны. И это не только потому, что они к этому неспо- собны, но и
потому, что об этом даже и не думают. Для них мир науки и мир реальности отделены
друг от друга непроницаемой перегородкой. Нередко можно видеть господина, прилично
одетого, вероятно, бакалавра, сидящего в карете и воображающего, что он помогает ей
двигаться, толкая ее вперед, вопреки принципу действия и противодействия.
Если мы попытаемся проанализировать душевное состояние наших учеников, то это нас
менее удивит. Каково в их глазах настоящее определение силы? Не то определение,
которое они произносят наизусть, но то скрытое в далеком углу их разума, которое из
него всем управляет? Вот это определение: силы суть стрелы, при помощи которых
составляются параллелограммы. Эти стрелы суть воображаемые существа, которые
ничего общего не имеют с тем, что существует в природе. Но этого не случилось бы, если
бы раньше, чем изображать силы при помощи стрелок, ученикам показали бы их в
действительности.
Как же определить силу? Логическое определение, как я это показал в другом месте, вряд
ли уместно. Есть определение антропоморфное: ощущение мускульного усилия, но оно
поистине слишком грубо и ничего полезного из него извлечь нельзя.
Вот тот путь, по которому нужно следовать. Для того чтобы познакомить с понятием
силы, нужно показать в последовательном порядке все виды этого понятия. Эти виды
очень многочисленны и разнообразны, както: давление жидкостей на стенки сосудов, в
которых они заключаются; напряжение проволок; упругость пружины; тяжесть, которая
действует на все молекулы тела; трение; взаимное нормальное действие и
противодействие двух твердых тел, касающихся друг друга.
Это определение, конечно, только качественное. Нужно научиться измерять силу. Здесь
надобно сначала показать, что можно одну силу заменить другой, не нарушая равновесия.
Первый пример такой замены мы найдем в рычажных весах и в двойном взвешивании
Борда (5). Мы покажем затем, что данный вес может быть заменен не только другим
весом, но и силами, отличающимися по своей природе; например, нажим Прони (6)
позволяет нам заменить вес трением.
Из всего этого вытекает понятие об эквивалентности двух сил. Необходимо теперь
определить направление силы. Если сила F эквивалентна другой силе F', приложенной к
данному телу через посредство натянутой проволоки, так что сила F может быть заменена
силой F' без всякого нарушения равновесия, то точка приложения проволоки будет,
согласно определению, точкою приложения силы F' и, следовательно, эквивалентной
силы F. Направление проволоки будет направлением силы F' и направлением
эквивалентной силы F.
Отсюда мы переходим к сравнению величины сил. Если одна сила может заместить две
другие одного и того же направления, значит, она равна их сумме; показать это можно на
примере с гирей в 20 граммов, замещавшей две гири по 10 граммов.
Достаточно ли этого? Нет еще. Мы умеем сравнивать интенсивность двух сил, имеющих
одно н то же направление и одну и ту же точку приложения. Нужно уметь производить
сравнения и в том случае, когда направления различны. Для этого вообразим проволоку,
перекинутую через блок и натянутую при помощи гири; мы скажем тогда, что натяжение
обеих частей проволоки одинаково и равно весу натягивающего груза.
Вот наше определение. Оно позволяет нам сравнить натяжение двух частей проволоки
или нити и, пользуясь предыдущими определениями, сравнить любые две силы, имеющие
то же направление, что и обе нити. Нужно оправдать его, показав, что натяжение второй
части нити остается тем же при том же натягивающем весе, каковы бы ни были число и
расположение направляющих блоков. Нужно дополнить еще это определение, указав, что
оно верно лишь в тех случаях, когда блоки не производят трения.
Дав эти определения, нужно показать, что точка приложения, направление и
интенсивность достаточны для определения силы; что две силы, у коих эти три элемента
одинаковы, всегда эквивалентны и всегда могут друг друга заменить как в состоянии
равновесия, так и в состоянии движения, и притом независимо от других сил,
привходящих в систему.
Нужно показать, что две сходящиеся силы всегда могут быть заменены одной
равнодействующей и что эта равнодействующая остается одной и той же как в том случае,
когда тело остается в покое, так и в случае его движения, и притом независимо от других
приложенных к нему сил.
Нужно показать, наконец, что силы, определенные таким образом, как мы показали,
удовлетворяют принципу равенства действия и противодействия.
Все это есть опыт, но только опыт и может нас этому научить.
Достаточно привести несколько примеров из тех обычных действий, которые ученики без
всяких колебаний производят ежедневно, и сделать на их глазах несколько простых и
хорошо подобранных опытов.
Когда ученики прошли по всем этим обходным путям, можно перейти к изображению сил
при помощи стрелок, но я считал бы желательным, чтобы воспитатели, развивая в
учениках способность рассуждать, возвращались время от времени от символа к
реальности. Не представит труда, например, иллюстрировать параллелограмм сил при
помощи прибора, составленного из трех нитей, проходящих через блоки и натянутых
посредством грузов, которые уравновешивают друг друга в одной и той же точке.
Зная силу, легко определить массу. На этот раз определение должно быть заимствовано из
динамики. Иначе этого сделать нельзя, так как цель, которой здесь хотят достигнуть,
заключается в уяснении различия между массой и весом. Здесь определение также
должно быть подготовлено рядом опытов. У нас есть машина, которая, как будто, нарочно
создана для того, чтобы показать, что такое масса, это - машина Атвуда. Затем следует
напомнить о законах падения тел, о том, что ускорение тяжести остается одним и тем же
для тяжелых и легких тел, что оно изменяется вместе с географической широтой и т. д.
Если вы мне теперь скажете, что методы, которые я пропагандирую, давно уже
применяются в лицеях, я буду более обрадован, чем удивлен. Я знаю, что в общем у нас
обучение математике поставлено удовлетворительно. Я не хочу, чтобы оно было
нарушено, это меня опечалило бы, я желаю лишь медленных прогрессивных улучшений.
Это обучение не должно подвергаться крутым колебаниям и капризу преходящей моды.
Его высокая воспитательная ценность померкла бы в такой буре. Здравая и прочная
логика должна по-прежнему лежать в его основании. Определение, внушаемое при
помощи примеров, всегда необходимо, но оно должно подготовлять определение, а не
заменять его; оно должно по крайней мере выяснить желательность такого логического
определения в тех случаях, когда это последнее с пользой для дела может быть дано лишь
на ступени высшего обучения.
Вы, конечно, понимаете, что изложенными соображениями я отнюдь не отказываюсь от
того, что писал раньше. Я часто имел случай критиковать некоторые определения,
которые я теперь сам же предлагаю. Эта критика сохраняет всю свою силу. Определения,
о которых идет речь, могут быть только предварительными. Но пройти через эти
определения необходимо.
(1) Кружало - деревянное сооружение, устанавливаемое под сводом перед его кладкой.
Служит для придания своду надлежащей кривизны и предохраняет его от падения до
отвердения цемента. - Прим. ред.
(2) Тахеометрия - раздел геодезии, посвященный изучению методов измерения на
земной поверхности с помощью специального прибора - тахеометра. - Прим. ред.
(3) Аподиктическим (греч.) называется такое доказательство, которое исключает
возможность противного. - Прим. ред.
(4) Франциск Сарсеи (1828-1899) - известный в то время французский театральный
критик и журналист. - Прим. ред.
(5) Борда (1733-1799) - французский ученый. Усовершенствовал способы точного
взвешивания тел. - Прим. ред.
(6) Прони (1755-1839) - французский ученый и инженер, которому принадлежит целый
ряд работ по прикладной механике. Предложил нажим с рычагом для измерения работ
машин. - Прим. ред.
Глава III. МАТЕМАТИКА И ЛОГИКА
Введение
Можно ли математику свести к логике, не обращаясь предварительно к тем принципам,
которые ей, математике, свойственны? Существует школа математиков, которая со всей
страстью и верой в дело стремится доказать это. Она выработала специальный язык, в
котором нет больше слов, а имеются одни только знаки. Этот язык понятен только
немногим посвященным, так что профаны склонны преклоняться перед категорическими
утверждениями горячих адептов. Небесполезно, однако, ближе исследовать эти
утверждения, чтобы убедиться, насколько оправдывается тот категорический тон, с
которым они высказываются.
Но чтобы понять сущность вопроса, необходимо познакомиться с историческими
деталями дела и в особенности вспомнить характер работ Кантора.
Понятие бесконечности уже давно было введено в математику. Но эта бесконечность
была такой, какую философы называют потенциальной. В математике бесконечность
обозначала количество, способное расти выше или ниже какого бы то ни было предела;
это было изменяющееся количество, о котором можно было сказать, что оно перейдет все
пределы, но нельзя было сказать, что оно их перешло. Кантор решил ввести в математику
актуальную бесконечность, т. е. количество, не только способное перейти все пределы, но
уже перешедшее через них. Он поставил себе вопросы вроде следующих: существует ли
больше точек в пространстве, чем целых чисел? Существует ли больше точек в
пространстве, чем точек на плоскости? И так далее.
Число целых чисел, число точек в пространстве и т. д. составляет то, что Кантор назвал
кардинальным трансфинитным числом, т. е. таким количественным числом, которое
больше всех обыкновенных количественных чисел. Кантор затем занялся сравнением этих
кардинальных трансфинитных чисел. Размещая в соответствующем порядке элементы в
совокупности, составленной из бесконечного числа таких элементов, он изобрел так
называемые порядковые трансфинитные числа, на которых я не буду здесь
останавливаться.
Многие математики последовали за Кантором и поставили ряд аналогичных вопросов.
Они в такой степени освоились с трансфинитными числами, что готовы поставить
теорию конечных чисел в зависимость от теории кардинальных чисел Кантора. По их
мнению, чтобы вести преподавание арифметики по действительно логическому методу,
необходимо начать с установления общих свойств кардинальных трансфинитных целых
чисел, а затем выделить из них очень небольшой класс обыкновенных целых чисел. Этим
способом можно было бы достигнуть цели, т. е. доказать все предложения, относящиеся к
этому небольшому классу (т. е. всю нашу арифметику и нашу алгебру), не прибегая ни к
какому началу, лежащему вне логики.
Этот метод, очевидно, противоречит всякой здоровой психологии. Конечно, не этим
путем шел человеческий ум, создавая математику; и адепты нового метода, я полагаю, не
думают ввести его на ступени среднего образования. Но по крайней мере логичен ли этот
метод или, лучше сказать, безошибочен ли он? В этом можно усомниться.
Однако геометры, пользовавшиеся этим методом, очень многочисленны. Они собрали
массу формул. Написав мемуары, в которых формулы не чередовались со словесными
объяснениями, как это делается в обыкновенных математических книгах, а в которых,
следовательно, такие объяснения совершенно отсутствуют, они вообразили, что
освободились от всего того, что не представляет собой чистой логики. К несчастью, они
пришли к противоречивым результатам. Это так называемые антиномии Кантора, к
которым мы еще вернемся. Эти противоречия, однако, их не обескуражили, и они
попытались внести такие изменения в свои правила, при которых обнаружившиеся уже
противоречия исчезли; но мы при этом не приобрели уверенности в том, что не
обнаружатся новые противоречия.
Настало время для справедливой оценки этих преувеличений. Я не надеюсь убедить
упомянутых математиков: слишком долго дышали они своей атмосферой. Да и, кроме
того, если вы опровергли одно из их доказательств, вы можете быть уверены, что оно
возродится лишь в слегка измененном виде. Некоторые из доказательств уже несколько
раз возрождались из пепла, наподобие той лернейской гидры (1),y которой вырастали
новые головы. Геркулес выпутался из затруднения, потому что его гидра имела девять
голов, если не одиннадцать; но здесь слишком много голов: они имеются в Англии, в
Германии, в Италии, во Франции, и Геркулес должен был бы отказаться от состязания. Я
обращаюсь поэтому только к непредубежденным людям, обладающим здравым смыслом.
В последние годы появилось много трудов, посвященных чистой математике и
философии математики, имевших своей задачей выделить и изолировать логические
элементы математического рассуждения. Эти труды были ясно изложены и исследованы в
работе Кутюра, озаглавленной: "Основания математических наук".
По мнению Кутюра, новейшие труды, в особенности работы Рассела и Пеано,
окончательно разрешили давний спор между Лейбницем и Кантом (2). Они показали, что
не существует синтетического априорного суждения (этим именем Кант называл
суждения, которые не могут быть ни доказаны аналитически, ни сведены к тождествам,
ни установлены экспериментально); они показали, что математические науки целиком
могут быть сведены к логике и что интуиция не играет в них никакой роли.
Все это Кутюра изложил в названном выше сочинении. Еще отчетливее высказал он это в
речи, произнесенной на юбилее Канта, высказал так убедительно, что мой сосед сказал в
полголоса: "мы видим ясно, что истекло столетие со дня смерти Канта".
Можем ли мы подписаться под этим решительным приговором? Я этого не думаю и
постараюсь ниже показать, почему я этого не думаю.
Что нам сразу бросается в глаза в новой математике, так это ее чисто формальный
характер, "Вообразим, - говорит Гильберт, - три рода вещей, которые мы назовем
точками, прямыми и плоскостями; условимся, что прямая будет определяться двумя
точками, и вместо того, чтобы сказать, что данная прямая определяется данными двумя
точками, мы будем говорить, что она проходит через эти две точки или что эти две точки
расположены на этой прямой". Что это за вещи, мы не только не знаем, но и не должны
стремиться узнать. Нам этого не нужно, и всякий, кто никогда не видел ни точки, ни
прямой, ни плоскости, так же легко мог бы построить геометрию, как и мы. Слова
"проходят через" или "расположены на" не должны вызывать у нас никакого образа, ибо
первые являются синонимом слова "определяться", вторые - синонимом слова
"определять".
Таким образом, для доказательства теоремы не нужно и даже бесполезно знать, что она
хочет сказать. Геометра можно было бы заменить "логической машиной", выдуманной
Стенли Джевонсом. Или, если угодно, можно было бы выдумать машину, в которую через
один конец были бы введены аксиомы, а в другом конце ее были бы собраны теоремы,
наподобие той легендарной машины в Чикаго, в которую вкладывают живых поросят и из
которой извлекают окорока и сосиски. Математик, как и эта машина, отнюдь не должен
понимать, что он делает.
Я не ставлю в вину Гильберту этот формальный характер его геометрии. Он должен был
прийти к ней, разрешая ту проблему, которую он себе ставил. Он хотел довести до
минимума число основных аксиом геометрии и перечислить их все без остатка. Но в тех
суждениях, в которых наш ум обнаруживает активность, в которых интуиция еще играет
роль, трудно отделаться от внесения постулата или аксиомы, которые незаметно входят в
суждение. Лишь в случае, если бы все геометрические суждения приняли чисто
механическую форму, Гильберт мог бы быть уверенным в том, что он исполнил свое
намерение и успешно закончил свою задачу.
То, что Гильберт сделал в геометрии, другие захотели сделать в арифметике и в анализе.
Однако если бы они в этом даже и успели, то разве кантианцы были бы осуждены на
полное молчание? Может быть, и нет, ибо когда мы сообщаем математической мысли
пустую форму, эта мысль, конечно, подвергается искажению. Допустим даже, что удалось
установить, что все теоремы могут быть выведены из конечного числа аксиом путем
чисто аналитических приемов, путем простых логических комбинаций, и что эти аксиомы
суть не что иное, как соглашения. Философ, однако, сохранил бы за собой право
исследовать происхождение этих условий и определить, почему эти условия оказались
предпочтительными перед противоположными им.
Кроме того, не одна только логическая правильность суждений, ведущих от аксиом к
теоремам, должна нас занимать. Разве вся математика исчерпывается правилами
совершенной логики? Это было бы все равно, как если бы мы сказали, что все искусство
шахматного игрока сводится к правилам хода пешек. Из всех построений, которые могут
быть скомбинированы из материалов, доставляемых логикой, нужно сделать выбор.
Настоящий геометр и производит этот выбор здраво, руководствуясь верным инстинктом
или же некоторым смутным сознанием о - я не знаю какой именно - более глубокой и
более скрытой геометрии, которая одна и составляет ценность воздвигнутого здания.
Искать происхождение этого инстинкта, изучать законы этой глубокой геометрии,
которые чувствуются, но словесно не форму лируются - вот прекрасная задача для
философов, которые не допускают, что логикой исчерпывается все. Но не на эту точку
зрения хочу я стать, не так хочу я ставить вопрос. Инстинкт о котором мы только что
говорили, необходим изобретателю, но на первый взгляд кажется, будто при изучении уже
созданной науки можно обойтись и без него. И вот я хочу исследовать, можно ли, приняв
однажды принципы логики, я уж не говорю открыть, но даже доказать все
математические истины, не прибегая снова к интуиции.
На этот вопрос я однажды уже дал отрицательный ответ (см. "Наука и гипотеза", глава I).
Должен ли я этот ответ изменить ввиду появившихся новых трудов? Если я в то время
ответил отрицательно, то это потому, что "принцип совершенной индукции" казался мне,
с одной стороны, необходимым для математика, а с другой стороны, не сводимым к
логике. Известно, что этот принцип заключается в следующем.
"Если какое-либо свойство справедливо относительно числа 1 и если установлено, что
оно справедливо относительно числа n+1, коль скоро оно справедлво относительно числа
n, то оно будет верно для всех целых чисел".
В этом я по преимуществу видел математическое суждение. Я не хотел этим сказать, как
некоторые это думали, что все математические суждения могут быть сведены к
приложению этого принципа. Исследуя эти суждения ближе, можно заметить, что в них
применяются многие другие аналогичные принципы, обладающие теми же
существенными признаками. В их ряду принцип полной индукции является лишь
простейшим, и вот почему я остановился на нем как на типичном.
Название принципа совершенной индукции, упрочившееся за этой формой суждения, не
может быть признано правильным. Этот способ суждения представляет настоящую
математическую индукцию, которая отличается от обыкновенной индукции только
степенью своей достоверности.
Определения и аксиомы
Существование подобных принципов ставит непримиримых логиков в затруднительное
положение. Но как думают они выпутаться из него? Принцип полной индукции, говорят
они, не есть аксиома в собственном смысле слова или априорное синтетическое
суждение, он есть просто определение целого числа. Следовательно, этот принцип
является простым соглашением. Чтобы разобраться в этой точке зрения, нужно подробнее
исследовать отношения между определениями и аксиомами.
Обратимся сначала к статье Кутюра о математических определениях, появившейся в
выходящем в Женеве журнале "Математическое образование". Мы найдем здесь различие
между прямым определением и определением при помощи постулатов. "Определение при
помощи постулатов, - говорит Кутюра, - применяется не к одному понятию, а к
системе понятий; оно заключается в перечислении основных соотношений, их
связывающих и позволяющих доказать все прочие их свойства; эти соотношения и суть
постулаты"...
Если предварительно были определены все эти понятия, за исключением одного, то это
последнее и будет по определению тем объектом, который проверяет эти постулаты.
Итак, некоторые недоказуемые аксиомы математики суть лишь скрытые определения.
Такая точка зрения часто правомерна, и я сам ее принял, когда шел вопрос, например, о
постулате Евклида. Другие аксиомы геометрии недостаточны для полного определения
расстояния между двумя точками. Ввиду этого из всех величин, удовлетворяющих этим
остальным аксиомам, расстояние будет по определению той именно величиной, которая
удовлетворяет постулату Евклида.
Так вот логики в применении к принципу совершенной индукции допускают то же самое,
что я допускаю относительно постулата Евклида; они хотят видеть в этом принципе
только скрытое определение.
Но они вправе это сделать лишь при двух условиях. Стюарт Милль сказал, что всякое
определение заключает в себе одну аксиому, а именно ту, которая утверждает
существование определяемого объекта. В таком случае не аксиома будет скрытым
определением, а, напротив, определение будет скрытой аксиомой. Милль понимал слово
"существование" в эмпирическом и материальном смысле слова. Он хотел сказать, что,
определяя крут, утверждают тем самым, что в природе имеются круглые предметы. В
таком виде его мнение неприемлемо. Математика не зависит от существования
материальных объектов. В математике слово "существующее" имеет только один смысл и
обозначает: "свободное от противоречия". При такой поправке мысль Стюарта Милля
становится точной; определяя какой-нибудь объект, мы утверждаем, что определение не
заключает противоречия.
Если, следовательно, мы имеем систему постулатов и если мы можем доказать, что эти
постулаты не заключают противоречия, то мы вправе рассматривать их как определения
одного из тех понятий, которые фигурируют в этой системе предложений. Если мы этого
доказать не можем, то мы допускаем понятие без доказательства. Тогда мы имеем
аксиюму; и если мы искали определение в постулатах, то мы обратно находим аксиому в
определении.
Чаще всего, для того чтобы доказать, что определение не заключает противоречия,
прибегают к методу примеров: пытаются создать пример предмета, удовлетворяющий
определению. Возьмем определение, выражаемое при помощи постулатов. Мы хотим
определить понятие А и говорим, что, согласно определению, А есть всякий предмет, для
которого известные постулаты истинны. Если мы можем прямо доказать, что все эти
постулаты истинны дли известного предмета В, то определение будет оправдано, и
предмет В будет примером понятия А. Мы будем уверены, что постулаты
непротиворечивы, так как имеются случаи, в которых все они оказываются истинными.
Но такое прямое доказательство при помощи примера не всегда возможно.
Чтобы установить, что постулаты не содержат в себе противоречия, нужно рассмотреть
все предложения, которые могут быть выведены из данных постулатов как посылок, и
показать, что среди этих предложений нет двух, противоречащих друг другу. Если число
этих предложений конечное, то прямая проверка возможна. Но такой случай и
встречается редко, и интереса не представляет.
Если же число этих предложений оказывается неограниченным, то прямая проверка уже
невозможна. Тогда необходимо обратиться к таким способам доказательства, в которых
вообще нельзя обойтись без принципа полной индукции, т. е. того принципа, кото-рый
именно и надлежит проверить.
Мы указали на одно условие, которому логики должны были удовлетворить, и мы увидим
ниже, что они ему не удовлетворили.
Есть еще другое условие. Если мы даем определение, то мы делаем это для того, чтобы им
пользоваться.
В пределах некоторого рассуждения, например, мы неоднократно встречаемся с
определяемым словом. Возникает вопрос: вправе ли мы в отношении к предмету, который
мы в этом рассуждении называем нашим термином, утверждать тот постулат, который
послужил для его определения? Очевидно, вправе, если термин сохранил свой смысл,
если мы неявно (implicite) не приписали ему другого значения. Но иногда такое
изменение смысла имеет место и при этом чаще всего остается незамеченным.
Необходимо убедиться, каким путем это слово проникло в наше рассуждение, не вошло ли
оно в другом определении, отличающемся от того, которое было формулировано
первоначально.
Это затруднение встречается во всех приложениях математического знания.
Математическое понятие получило вполне чистое и строгое определение, которое не
возбуждает никаких колебаний в чистой математике. Но, когда мы его применяем,
например, к физическим наукам, тут мы уже имеем дело не с этим чистым понятием, но с
конкретным предметом, который зачастую является лишь грубым образом этого понятия.
Сказать, что этот предмет удовлетворяет, хотя бы приблизительно, определению, это
значит высказать новую истину, которая может быть подтверждена только опытом и
которая уже не имеет характера условного постулата.
Но то же затруднение встречается и в пределах чистой математики.
Вы даете тонкое определение числа. Но, однажды дав его, вы о нем больше не думаете,
ибо в действительности не из этого определения вы узнали, что такое число, а вам это уже
давно было известно; и когда в дальнейшем вы употребляете слово "число", вы
приписываете ему такое же значение, какое ему дает первый встречный. Чтобы узнать,
каково это значение и остается ли оно одним и тем же в той или друго
...Поділитися у соцмережах
