Жанр: Наука
Наука и метод
...ня задачи. Я не стал тогда
же вникать в этот вопрос; это я сделал лишь по окончании военной службы. В руках у
меня были все необходимые данные, оставалось только собрать их вместе и расположить
в надлежащем порядке. Теперь я уже в один присест без всякого усилия написал свой
окончательный мемуар.
Я ограничусь одним только этим примером; было бы бесполезно увеличивать их число, о
многих других исследованиях мне пришлось бы повторять почти то же самое;
наблюдения, сообщаемые другими математиками в ответе на анкету журнала
"Математическое образование", тоже лишь подтвердили бы сказанное.
Прежде всего, поражает этот характер внезапного прозрения, с несомненностью
свидетельствующий о долгой предварительной бессознательной работе; роль этой
бессознательной работы в процессе математического творчества кажется мне
неоспоримой; следы ее можно было бы. найти и в. других случаях, где она является менее
очевидной- Часто, когда думаешь над каким-нибудь трудным вопросом, за первый
присест не удается сделать ничего путного; затем, отдохнув более или менее
продолжительное время, садишься снова за стол. Проходит полчаса и все так же
безрезультатно, как вдруг в голове появляется решающая мысль. Можно думать, что
сознательная работа оказалась более плодотворной, благодаря тому, что она была
временно прервана, и отдых вернул уму его силу и свежесть. Но более вероятно, что это
время отдыха было заполнено бессознательной работой, результат которой потом
раскрывается перед математиком, подобно тому как это имело место в приведенных
примерах; но только здесь это откровение происходит не во время прогулки или
путешествия, а во время сознательной работы, хотя в действительности независимо от
этой работы, разве только разматывающей уже готовые изгибы; эта работа играет как бы
только роль стимула, который заставляет результаты, приобретенные за время покоя, но
оставшиеся за порогом сознания, облечься в форму, доступную сознанию.
Можно сделать еще одно замечание по поводу условий такой бессознательной работы; а
именно: эта работа возможна или по меньшей мере плодотворна лишь в том случае, если
ей предшествует и за нею следует период сознательной работы. Никогда (и приведенные
мною примеры достаточны для такого утверждения) эти внезапные внушения не
происходят иначе, как после нескольких дней волевых усилий, казавшихся совершенно
бесплодными, так что весь пройденный путь в конце концов представлялся ложным. Но
эти усилия оказываются в действительности не такими уж бесплодными, как это
казалось; это они пустили в ход машину бессознательного, которая без них не стала бы
двигаться и ничего бы не произвела.
Необходимость второго периода сознательной работы представляется еще более
понятной. Надо пустить в действие результаты этого вдохновения, сделать из них
непосредственные выводы, привести их в порядок, провести доказательства; а прежде
всего их надо проверить. Я говорил вам о чувстве абсолютной достоверности,
сопровождающем вдохновение; в приведенных примерах это чувство меня не обмануло, и
так оно бывает в большинстве случаев; но следует остерегаться мнения, что так бывает
всегда; подчас это чувство нас обманывает, хотя оно и в этих случаях ощущается не менее
живо; ошибка обнаруживается лишь тогда, когда хочешь провести строгое доказательство.
Это, по моим наблюдениям, особенно часто имеет место с мыслями, которые приходят в
голову утром или вечером, когда я лежу в постели в полусонном состоянии.
Таковы факты; они наводят нас на следующие размышления. Бессознательное или, как
еще говорят, подсознательное "я" играет в математическом творчестве роль
первостепенной важности; это явствует из всего предшествующего. Но это
подсознательное "я" обычно считают совершенно автоматическим; Между тем мы
видели, что математическая работа не есть простая механическая работа; ее нельзя
доверить никакой машине, как бы совершенна она ни была. Дело не только в том, чтобы
применять известные правила и сфабриковать как можно больше комбинаций по
некоторым установленным законам. Полученные таким путем комбинации были бы
невероятно многочисленны, но бесполезны и служили бы лишь помехой. Истинная
творческая работа состоит в том, чтобы делать выбор среди этих комбинаций, исключая
из рассмотрения те, которые являются бесполезными, или даже в том, чтобы освобождать
себя от труда создавать эти бесполезные комбинации.
Но правила, руководящие этим выбором, - крайне тонкого, деликатного характера;
почти невозможно точно выразить их словами; они явственно чувствуются, но плохо
поддаются формулировке; возможно ли при таких обстоятельствах представить себе
решето, способное просеивать их механически?
А в таком случае представляется правдоподобной такая гипотеза: "я" подсознательное
нисколько не "ниже", чем "я" сознательное; оно отнюдь не имеет исключительно
механического характера, но способно к распознаванию, обладает тактом, чувством
изящного; оно умеет выбирать и отгадывать. Да что там! Оно лучше умеет отгадывать, чем
"я" сознательное, ибо ему удается то, перед чем другое "я" оказывается бессильным.
Одним словом, не является ли подсознательное "я" чем-то высшим, чем "я"
сознательное? Вам понятна вся важность этого вопроса. Бутру в лекции, прочитанной
месяца два тому назад, показал, каким образом к тому же вопросу приводят совершенно
другие обстоятельства и к каким следствиям привел бы положительный ответ на него.
Приводят ли нас к этому положительному ответу те факты, которые я только что
изложил? Что касается меня, то я, признаюсь, отнесся бы к такому ответу далеко не
сочувственно. Пересмотрим же вновь факты и поищем, не допускают ли они другого
объяснения.
Несомненно, что те комбинации, которые представляются уму в момент какого-то
внезапного просветления, наступающего после более или менее продолжительного
периода бессознательной работы, в общем случае оказываются полезными и
плодотворными, являясь, по-видимому, результатом первого отбора. Но следует ли
отсюда, что подсознательное "я", отгадавшее с помощью тонкой интуиции, что эти
комбинации могут быть полезны, только эти именно комбинации и построило, или,
может быть, оно построило еще множество других, оказавшихся лишенными всякого
интереса и потому не переступивших порога сознания?
С этой второй точки зрения все комбинации создаются благодаря автоматизму
подсознательного "я", но только те из них, которые могут оказаться интересными,
проникают в поле сознания. И это представляется еще более таинственным. В чем
причина того, что среди тысяч продуктов нашей бессознательной деятельности одним
удается переступить порог сознания, тогда как другие остаются за его порогом? Случайно
ли даруется такая привилегия? Очевидно, нет; например, среди всех раздражений наших
чувств только самые интенсивные остановят на себе наше внимание, если только оно не
привлекается еще и другими причинами. Вообще, среди несознаваемых явлений
привилегированными, т. е. способными стать сознаваемыми, оказываются те, которые
прямо или косвенно оказывают наибольшее воздействие на нашу способность к
восприятию.
Может показаться странным, что по поводу математических доказательств, имеющих, повидимому,
дело лишь с мышлением, я заговорил о восприятии. Но считать это странным
значило бы забыть о чувстве прекрасного в математике, о гармонии чисел и форм, о
геометрическом изяществе. Всем истинным математикам знакомо настоящее
эстетическое чувство. Но ведь здесь мы уже в области чувственного восприятия.
Но какие же именно математические предметы мы называем прекрасными и изящными,
какие именно предметы способны вызвать в нас своего рода эстетические эмоции? Это
те, элементы которых расположены так гармонично, что ум без труда может охватить
целое, проникая в то же время и в детали. Эта гармония одновременно удовлетворяет
нашим эстетическим потребностям и служит подспорьем для ума, который она
поддерживает и которым руководит. И в то же время, давая нам зрелище правильно
расположенного целого, она вызывает в нас предчувствие математического закона. А ведь
мы видели, что единственными математическими фактами, достойными нашего
внимания и могущими оказаться полезными, являются как раз те, которые могут привести
нас к открытию нового математического закона. Таким образом, мы приходим к
следующему заключению: полезными комбинациями являются как раз наиболее изящные
комбинации, т. е. те, которые в наибольшей степени способны удовлетворять тому
специальному эстетическому чувству, которое знакомо всем математикам, но которое до
того непонятно профанам, что упоминание о нем вызывает улыбку на их лицах.
Но что же тогда оказывается? Среди тех крайне многочисленных комбинаций, которые
слепо создает мое подсознательное "я", почти все оказываются лишенными интереса и
пользы, но именно поэтому они не оказывают никакого воздействия на эстетическое
чувство, и сознание никогда о них не узнает; лишь некоторые среди них оказываются
гармоничными, а следовательно, полезными и прекрасными в то же время; они сумеют
разбудить ту специальную восприимчивость математика, о которой я только что говорил;
последняя же, однажды возбужденная, со своей стороны, привлечет наше внимание к
этим комбинациям и этим даст им возможность переступить через порог сознания.
Это не более как гипотеза; но вот наблюдение, решительно говорящее в ее пользу: когда
ум математика испытывает внезапное просветление, то большей частью оно его не
обманывает; но иногда все же случается, как я уже говорил, что пришедшие таким
образом в голову идеи не выдерживают проверочных операций; и вот замечено, что почти
всегда такая ложная идея, будь она верна, была бы приятна нашему естественному
инстинкту математического изящества.
Таким образом, именно это специальное эстетическое чувство играет роль того тонкого
критерия, о котором я говорил выше; благодаря этому становится понятным и то, почему
человек, лишенный этого чувства, никогда не окажется истинным творцом.
Однако такое объяснение не устраняет всех затруднений; сознательное "я" в крайней
степени ограничено; что же касается подсознательного "я", то нам неизвестны его
границы, и потому нет ничего неестественного в предположении, что оно может за
небольшой промежуток времени создать больше различных комбинаций, чем может
охватить сознательное существо за целую жизнь. Но тем не менее эти пределы
существуют; в таком случае правдоподобно ли, чтобы это подсознательное "я" могло
образовать, все возможные комбинации, число которых ужаснуло бы всякое
воображение? И, однако, это представляется необходимым, ибо если оно создает лишь
небольшую часть этих комбинаций, да и то делает на авось, то будет очень уж мало
шансов на то, что среди них окажется удачная комбинация, т. е.та, которую надо найти.
Но, быть может, объяснения следует искать в том периоде сознательной работы, который
всегда предшествует плодотворной бессознательной работе? Позвольте мне прибегнуть к
грубому сравнению. Представим себе будущие элементы наших комбинаций чем-то вроде
крючкообразных атомов Эпикура. Во время полного бездействия ума эти атомы
неподвижны, как если бы они были повешены на стену; таким образом, этот полный
покой ума может продолжаться неопределенно долго, и за все это время атомы не
сблизятся ни разу и, следовательно, не осуществится ни одна комбинация.
В противоположность этому, в течение периода кажущегося покоя и бессознательной
работы некоторые из атомов отделяются от стены и приходят в движение. Они бороздят
по всем направлениям то пространство, в котором они заключены, подобно рою мошек
или, если вы предпочитаете более ученое сравнение, подобно молекулам газа в
кинетической теории газов. Тогда их взаимные столкновения могут привести к
образованию новых комбинаций.
Какова же тогда роль предварительной сознательной работы? Очевидно, она заключается
в том, чтобы привести некоторые атомы в движение, сорвав их со стены. Когда мы,
пытаясь собрать воедино эти элементы, на тысячу ладов ворочаем их во все стороны, но
не находим в конце концов удовлетворительного сопоставления, тогда мы бываем
склонны отрицать всякое значение такой работы. А между тем атомы после того
возбуждения, в которое их привела наша воля, отнюдь не возвращаются в свое
первоначальное состояние покоя. Они продолжают, теперь уже свободно, свою пляску.
Но ведь наша воля взяла их не наугад, она при этом преследовала вполне определенную
цель, так что пришли в движение не какие-нибудь атомы вообще, но такие, от которых
можно с некоторым основанием ожидать искомого решения. Раз придя в движение,
атомы начинают испытывать столкновения, которые приводят к образованию
комбинаций этих атомов либо между собой, либо с другими, неподвижными атомами, с
которыми они сталкиваются на своем пути. Я еще раз прошу у вас извинения; мое
сравнение довольно грубо, но я не знаю иного способа сделать понятной мою мысль.
Как бы там ни было, но единственными комбинациями, образование которых
представляется вероятным, являются те, хоть один элемент которых оказывается в числе
атомов, свободно выбранных нашей волей. Но ведь очевидно, что именно среди них
находится та комбинация, которую я только что назвал удачной. Быть может, здесь мы
имеем средство смягчить то, что представлялось парадоксальным в первоначальной
гипотезе.
Другое замечание. Никогда не случается, чтобы бессознательная работа доставила вполне
готовым результат сколько-нибудь продолжительного вычисления, состоящего в одном
только применении определенных правил. Казалось бы, что абсолютное "я" подсознания
в особенности должно быть способно к такого рода работе, являющейся в некотором роде
исключительно механической. Казалось бы, что, думая вечером о множителях какогонибудь
произведения, можно надеяться найти при пробуждении готовым самое
произведение или, еще иначе, что алгебраическое вычисление, например проверка, может
быть выполнено помимо сознания. Но в действительности ничего подобного не
происходит, как то доказывают наблюдения.
От таких внушений, являющихся продуктами бессознательной работы, можно ожидать
только исходных точек для подобных вычислений; самые же вычисления приходится
выполнять во время второго периода сознательной работы, который следует за внушением
и в течение которого проверяются результаты этого внушения и делаются из них выводы.
Правила этих вычислений отличаются строгостью и сложностью; они требуют
дисциплины, внимания, участия воли и, следовательно, сознания. В подсознательном же
"я" господствует, в противоположность этому, то, что я назвал бы свободой, если бы
только можно было дать это имя простому отсутствию дисциплины и беспорядку,
обязанному своим происхождением случаю. Только этот самый беспорядок делает
возможным возникновение неожиданных сближений.
Сделаю последнее замечание. Излагая выше некоторые мои личные наблюдения, я
рассказал, между прочим, об одной бессонной ночи, когда я работал как будто помимо
своей воли; подобные случаи бывают нередко, и для этого нет необходимости в том,
чтобы нормальная мозговая деятельность была вызвана каким-нибудь физическим
возбудителем, как то имело место в описанном мною случае. И вот в таких случаях
кажется, будто сам присутствуешь при своей собственной бессознательной работе,
которая, таким образом, оказалась отчасти доступной перевозбужденному сознанию, но
нисколько вследствие этого не изменила своей природе. Тогда отдаешь себе в общих
чертах отчет в том, что различает оба механизма или, если вам угодно, методы работы
обоих "я". Психологические наблюдения, которые я, таким образом, имел возможность
сделать, подтверждают те взгляды, которые я только что изложил.
А в подтверждении они конечно нуждаются, так как, вопреки всему, они остаются весьма
гипотетическими; однако вопрос столь интересен, что я не раскаиваюсь в том, что
изложил вам эти взгляды.
Глава IV. СЛУЧАЙНОСТЬ
"Как можно говорить о законах случайности? Разве случайность не представляет собой
противоположности всякой законо-мерности?" Этим вопросом Бертран начинает свое
"Исчисление вероятностей". Вероятность противоположна достоверности; вероятность
- это то, чего мы не знаем и чего поэтому мы, казалось бы, не можем вычислять. В этом
содержится противоречие, по крайней мере кажущееся, о котором уже много писали.
Прежде всего, что такое случайность? Древние различали явления, которые, как им
казалось, повинуются гармоничным законам, установленным раз навсегда, и другие
явления, которые приписывались случаю. К последним относили все то, чего нельзя было
предвидеть, что было противно всякому закону. В каждой области точные законы
регулировали отнюдь не все. Они намечали лишь границы, в пределах которых возможна
игра случая. С этой точки зрения слово "случайность" приобрело объективный смысл. То,
что было случайностью для одного, должно было быть случайностью и для других, даже
для богов.
Однако в настоящее время мы уже не придерживаемся этого взгляда. Мы сделались
абсолютными детерминистами, и даже те, которые склонны сохранить за человеком
свободу воли, признают неограниченное господство детерминизма в области
неорганического мира. Всякое явление, сколь бы оно, ни было незначительно, имеет свою
причину, и бесконечно мощный дух, беспредельно осведомленный в законах природы,
мог бы его предвидеть с начала веков. С такого рода духом, если бы он существовал,
нельзя было бы играть ни в какую азартную игру, не теряя всего состояния.
Для него слово "случайность" не имело бы смысла или, вернее, для него вовсе не
существовало бы случайности. Лишь вследствие нашей слабости, вследствие нашего
невежества случайность для нас существует. Можно даже оставить в стороне слабость
человеческой природы; то, что представляется случайным для невежды, отнюдь не будет
таковым для ученого. Случайность является, таким образом, как бы мерой нашего
невежества. Случайными явлениями, согласно этому определению, будут те, законы
которых нам неизвестны.
Но достаточно ли это определение? Когда первые халдейские пастухи следили за
движением светил, они не знали еще законов астрономии; но приходило ли им в голову
сказать, что движение светил предоставлено случаю?
Когда современный физик изучает новое явление, закон которого он открыл во вторник,
то говорил ли он в понедельник, что это явление случайное? Но мало того. Не прибегают
ли часто для предсказания явления к тому, что Бертран называет законом случайностей?
Так, например, в кинетической теории газов мы приходим к известным законам Мариотта
и Гей-Люссака именно благодаря той гипотезе, что скорости молекул газа меняются
совершенно случайно. Наблюдаемые законы, скажут физики, были бы, менее просты,
если бы скорости регулировались простым элементарным законом, если бы молекулы
были, как говорят, организованы, если бы они подчинялись какому-нибудь распорядку.
Именно благодаря господству случая, т. е. именно благодаря нашему невежеству, мы
имеем возможность делать заключения. И далее, если слово "случай" является простым
синонимом нашего невежества, то что же это значит? Надо ли это толковать, примерно,
следующим образом.
"Вы желаете, чтобы я предсказал вам явления, которые должны произойти? Если бы я
имел несчастье знать законы этих явлений, то я мог бы этого достигнуть разве только
путем непроходимого леса вычислений, и я должен был бы отказаться от ответа. Но так
как, к счастью, я этих законов не знаю, то я вам сейчас отвечу, и, что наиболее странно,
мой ответ будет верен".
Ясно, что случайность должна быть чем-то иным, не одним лишь названием, которое мы
даем собственному невежеству. Ясно, что между явлениями, истинные причины которых
нам неизвестны, мы должны были бы различать случайные явления, относительно
которых вероятностные расчеты дадут нам некоторые предварительные сведения, и
явления, которые не являются случайными и относительно которых мы не можем сказать
ничего, пока не узнаем законов, которые ими управляют.
Что касается явлений случайных, то ясно, что сведения, которые нам дает о них теория
вероятностей, не перестанут быть справедливыми в тот день, когда мы получим об этих
явлениях больше сведений.
Директор общества страхования жизни не знает, когда умрет каждое из застрахованных у
него лиц, но он вычисляет на основании теории вероятностей и по закону больших чисел
и при этом не ошибается, поскольку он делит дивиденды между акционерами. Эти
дивиденды не исчезли бы даже и в том случае, если бы какой-либо врач, столь же
прозорливый, сколь и нескромный, после подписания полисов осведомлял бы директора о
шансах на жизнь застрахованных лиц. Такой врач рассеял бы неосведомленность
директора, но он не оказал бы влияния на дивиденды, которые, очевидно, вовсе не
являются продуктами этой неосведомленности.
Чтобы найти лучшие определения случайности, нам необходимо исследовать некоторые
из тех фактов, которые обыкновенно принято считать случайными и к которым, повидимому,
применяется теория вероятностей.
Первым примером, на котором мы остановимся, будет вопрос о неустойчивом
равновесии. Если конус стоит на вершине, то мы знаем, что он опрокинется, но мы не
знаем, в какую сторону. Нам представляется, что это полностью зависит от случая. Если
бы конус был совершенно симметричен, если бы ось его была совершенно вертикальна,
если бы он не был подвержен действию никакой силы, кроме тяжести, то он не упал бы
вовсе. Но малейший изъян в симметрии заставил бы его слегка наклониться в ту или иную
сторону; наклонившись же, хотя бы и весьма незначительно, он упадет в сторону наклона
окончательно. Если бы даже симметрия была совершенна, то самого легкого дрожания,
легчайшего дуновения ветерка было бы достаточно, чтобы наклонить его на несколько
секунд дуги; и этим не только было бы решено его падение, было бы предопределено и
направление этого падения, которое совпало бы с направлением первоначального
наклона. Таким образом, совершенно ничтожная причина, ускользающая от нас по своей
малости, вызывает значительное действие, которого мы не можем предусмотреть, и тогда
мы говорим, что это явление представляет собой результат случая.
Если бы мы знали точно законы природы и состояние Вселенной в начальный момент, то
мы могли бы точно предсказать состояние Вселенной в любой последующий момент. Но
даже и в том случае, если бы законы природы не представляли собой никакой тайны, мы
могли бы знать первоначальное состояние только приближенно. Если это нам позволяет
предвидеть дальнейшее ее состояние с тем же приближением, то это все, что нам нужно.
Мы говорим, что явление было предвидено, что оно управляется законами. Но дело не
всегда обстоит так; иногда небольшая разница в первоначальном состоянии вызывает
большое различие в окончательном явлении. Небольшая погрешность в первом вызвала бы
огромную ошибку в последнем. Предсказание становится невозможным, мы имеем перед
собой явление случайное.
Второй пример, на котором мы остановимся, будет в большой мере аналогичен первому;
мы заимствуем его из метеорологии. Почему метеорологам так трудно предсказать погоду
сколько-нибудь достоверно? Почему выпадение дождя, наступление грозы всегда
представляется нам делом случая, так что многие люди находят естественным молиться о
ниспослании дождя или хорошей погоды, те самые люди, которые считали бы смешным
испрашивать молитвой затмение. Мы видим, что большие пертурбации бывают
обыкновенно в тех местах, где атмосфера находится в состоянии неустойчивого
равновесия. Метеорологи часто хорошо видят, что равновесие неустойчиво, что
образуется циклон, но где именно, они не в состоянии сказать. Лишняя десятая градуса в
какой-либо точке - и циклон разражается здесь, а не там; он бушует над странами,
которые были бы пощажены, если бы не эта десятая. Если бы мы могли знать эту десятую
градуса, то мы могли бы это предсказать; но сеть наблюдений недостаточно густа и сами
наблюдения недостаточно точны, а именно поэтому нам и кажется, что все обусловлено
случаем. Здесь мы вновь находим то же несоответствие между мельчайшей, неощутимой
наблюдателем причиной и значительным эффектом, вызывающим иногда страшные
последствия.
Перейдем к другому примеру - к распределению малых планет по зодиаку. Их начальные
долготы могли быть какие угодно, но их средние движения были различны, и они
двигались уже так долго, что в настоящее время можно спокойно сказать, что они
распределены вдоль зодиака совершенно случайно. Незначительные разности в их
начальных расстояниях от Солнца и, что сводится к тому же, в их среднем движении в
конце концов дали огромное различие в долготах, которые они теперь имеют. В самом
деле, разница в одну тысячную долю секунды их суточного пути дает уже секунду за три
года, градус - приблизительно за 10000 лет и целую окружность - за три-четыре
миллиона лет; но что это составляет по сравнению со временем, которое протекло с тех
пор, как малые планеты отделились от туманности Лапласа! Перед нами опять ничтожная
причина и большой эффект или, иначе, небольшие разности в причине и большие - в
действии.
Игра в рулетку отличается от этого примера меньше, чем это может казаться на первый
взгляд. Представим себе иглу, которая вращается на шпиле в центре циферблата,
разделенного на сто секторов, попеременно красных и черных. Если игла останавливается
на красном секторе, то игра выиграна, в противном случае - проиграна. Все, очевидно,
зависит от толчка, который мы первоначально сообщаем игле. Игла сделает, скажем, 10
или 20 оборотов, но остановится она раньше или позже, смотря по тому, толкнул ли я ее
сильнее или слабее. Однако достаточно, чтобы толчок изменился на тысячную или на две
тысячных доли, и игла остановится на черном или соответственно на следующем красном
секторе. Это- различия, которые не могут быть восприняты мускульным чувством,
которые ускользают даже и от более тонких инструментов. Я лишен, следовательно,
возможности предвидеть, чт
...Поділитися у соцмережах
