Жанр: Наука
Наука и метод
...х
строк, переживших такую операцию, на белой странице ничего не останется.
Как бы то ни было, мы видим, каковы колебания Рассела, видим изменения, которым он
подвергает принятые им же основные принципы. Необходимы были критерии, чтобы
решить, является ли определение слишком сложным или слишком обширным, а эти
критерии не могут быть оправданы иначе, как обращением к интуиции.
Рассел в конце концов склоняется к теории неклассов.
Как бы там ни было, логистика должна быть переделана, и неизвестно, что в ней может
быть спасено. Бесполезно прибавлять, что на карту поставлены только канторизм и
логистика. Истинные математические науки, т. е. те, которые чему-нибудь служат могут
продолжать свое развитие согласно свойственным им принципам, не заботясь о тех бурях,
которые бушуют вне их; они будут шаг за шагом делать свои завоевания, которые
являются окончательными и от которых им никогда не будет нужды отказываться.
Правильное решение
Какой же выбор должны мы сделать между этими различными теориями? Мне кажется,
что решение заключается в письме Ришара, о котором я уже говорил и которое помещено
в "Revue Generale des Sciences" от 30 июня 1905 г. Изложив антиномию, которую я назвал
антиномией Ришара, последний дает ей и объяснение.
Вернемся к тому, что мы сказали об этой антиномии в разделе V. Пусть Е будет
совокупностью всех чисел, которые можно определить при помощи конечного числа слов,
не вводя при этом понятия о самой совокупности Е. В противном случае определение Е
заключало бы ложный круг: нельзя определять Е при помощи самой же совокупности Е.
Далее мы определили число N, правда, при помощи конечного числа слов, но мы
опирались на понятие о совокупности Е. Вот почему N и не составляет части Е.
В примере, избранном Ришаром, вывод представляется с полной очевидностью, и
очевидность эта станет еще более ясной, если обратиться к самому тексту письма. Но это
же объяснение годится, как в том легко убедиться, и для других антиномий.
Итак, те определения, которые должны быть рассматриваемы как непредикативные,
заключают ложный круг. Предшествовавшие примеры достаточно показали, что я под
этим разумею. Не это ли Рассел обозначает названием "zigzag-giness"?
Я ставлю вопрос, не разрешая его.
Доказательства принципа индукции
Рассмотрим теперь мнимые доказательства принципа индукции и в особенности
доказательства Уайтхеда и Бурали-Форти. Поговорим сначала о доказательстве Уайтхеда
и воспользуемся некоторыми новыми и удачными обозначениями, которые Рассел ввел в
своем последнем мемуаре.
Назовем рекуррентным классом всякий класс чисел, который содержит 0 и который
содержит n+l, если он содержит n.
Назовем индуктивным числом всякое число, которое составляет часть всех рекуррентных
классов.
При каком условии это последнее определение, играющее существенную роль в
доказательстве Уайтхеда, будет "предикативным" и, следовательно, приемлемым?
Согласно предшествующему изложению под всеми рекуррентными классами надо
понимать все классы, в определение которых не входит понятие об индуктивном числе.
Без этого можно впасть в ложный круг, который и породил антиномии.
Но Уайтхед не принял этой предосторожности.
Его рассуждение ложно; именно оно и повело к антиномиям; оно было незаконным, когда
давало ложные результаты, и остается незаконным, когда приводит случайно к
правильному результату.
Определение, которое содержит заколдованный круг, ничего не определяет. Не к чему
говорить: мы уверены, что, какой бы смысл ни был дан нашему определению, все же
существует по крайней мере нуль, который принадлежит классу индуктивных чисел. Дело
не в том, чтобы узнать, пуст ли этот класс, а в том, чтобы его строго отграничить.
"Непредикативный" класс - это не пустой класс, а класс, в котором граница оказывается
неопределенной.
Излишне прибавлять, что это частное возражение оставляет в силе те общие возражения,
которые приложимы ко всем доказательствам.
Бурали-Форти представил другое доказательство в своей статье "Конечные классы" {Atti
di Torino, t. XXXII), но он вынужден допустить два постулата.
Первый утверждает, что существует по крайней мере один бесконечный класс. Второй
гласит
u?K(K - ???????u"v'u.
Первый постулат не более очевиден, чем принцип, подлежащий доказательству. Второй
не только не очевиден, но и ложен, как это показал Уайтхед и как это, впрочем, заметил
бы любой лицеист математического класса, если бы аксиома была выражена на понятном
языке. Ибо эта аксиома означает: число комбинаций, которые можно образовать из
нескольких предметов, менее числа этих предметов.
Аксиома Цермело
В известном доказательстве Цермело опирается на следующую аксиому:
В какой-либо совокупности (или даже в каждой из совокупностей некоторой
совокупности совокупностей) мы можем всегда выбрать наудачу один элемент (даже
тогда, когда эта совокупность совокупностей обнимает бесконечно много совокупностей).
Тысячу раз применяли эту аксиому, не высказывая ее. Но лишь только она была
высказана, как появились сомнения. Одни математики, как Борель, ее отвергают, другие
восхищаются ею. Посмотрим, что об этом думает Рассел в своей последней статье.
Он не высказывается, но те размышления, которым он предается, очень знаменательны.
Однако сначала один наглядный пример. Допустим, что мы имеем столько пар сапог,
сколько есть целых чисел, так что мы можем нумеровать пары от 1 до бесконечности.
Сколько мы будем иметь сапог? Будет ли число сапог равно числу пар? Да, если в каждой
паре правый сапог отличается от левого, ибо в таком случае достаточно будет обозначить
номером 2n - 1 правый сапог n-й пары, а номером 2n - левый сапог n-й пары. Нет, если
правый сапог подобен левому, так как в этом случае такая операция будет невозможна.
Иначе придется допустить аксиому Цермело, потому что тогда можно в каждой паре
выбрать наудачу сапог, который будет рассматриваться как правый.
Заключение
Доказательство, действительно основанное на принципах аналитической логики, будет
составляться из ряда предложений. Одни из них, которые служат посылками, будут
тождествами или определениями; другие будут последовательно выведены из первых. Но,
хотя связь между каждым предложением н последующим замечается непосредственно,
трудно будет с первого взгляда увидеть, как мог совершиться переход от первого
предложения к последнему, и явится соблазн рассматривать это последнее как новую
истину. Но если последовательно заменить фигурирующие в нем различные выражения их
определениями, если провести эту операцию насколько можно далеко, то в итоге
останутся только тождества, так что все сведется к бесконечной тавтологии. Логика,
следовательно, окажется бесплодной, если не будет оплодотворена интуицией.
Вот что я уже писал давно. Логистики исповедуют противоположную точку зрения и
думают, что доказали ее, показав действительно новые истины. Но каким образом?
Почему, применяя к их рассуждениям описанный только что прием, т. е. заменяя
определенные термины их определениями, мы не видим, чтобы они сливались в
тождества, как это бывает с обыкновенными рассуждениями? Значит, этот прием к ним
неприменим. А почему? Потому что их определения непредикативные и дают тот
заколдованный круг, который я отметил выше; непредикативные определения не могут
стать на место определяемого термина. В этих условиях логистика является уже не
бесплодной, она родит антиномию.
Вера в существование актуальной бесконечности дала начало этим непредикативным
определениям. Я объяснюсь. В этих определениях фигурирует слово "все", как это видно
из приведенных выше примеров. Слово "все" имеет достаточно точный смысл, когда речь
идет о бесконечном (7) числе предметов; для того чтобы оно имело также смысл, когда
предметов имеется бесчисленное множество, необходимо, чтобы существовало актуально
бесконечное. В противном случае на все эти предметы нельзя было бы смотреть как на
данные до их определения; вместе с тем определение понятия N, если оно зависит от всех
предметов А, может страдать пороком заколдованного круга, раз между предметами А
имеются такие, которые нельзя определить без помощи самого понятия N.
Правила формальной логики выражают просто свойства всех возможных классификаций.
Но для того, чтобы эти правила были приложимы, необходимо, чтобы классификации
оставались неизменными, чтобы их не приходилось изменять на протяжении
рассуждений. Если приходится распределять конечное число предметов, то легко
сохранить эти классификации без изменения. Если же предметы имеются в
неопределенном количестве, т. е. если имеется возможность постоянного и внезапного
появления новых предметов, то может случиться, что такое появление обяжет к
изменению классификации. Отсюда опасность антиномий.
Нет актуальной бесконечности. Канторианцы забыли это и впали в противоречие. Верно
то, что теория Кантора оказала услуги, но это было тогда, когда она применялась к
истинной проблеме, термины которой были отчетливо определены; тогда можно было
подвигаться вперед без опасений.
И логистики, подобно канторианцам, забыли об этом и встретились с теми же
затруднениями. Но нужно знать, попали ли они на этот путь случайно или по
необходимости.
Для меня вопрос не представляет сомнений. Вера в актуально бесконечное является
существенной в логике Рассела. Этим она отличается от логистики Гильберта. Гильберт
становится на точку зрения объема именно для того, чтобы избежать канторовских
антиномий; Рассел становится на точку зрения содержания. Для него, следовательно, род
предшествует виду и summum genus (8) предшествует всему. Это не представляло бы
неудобства, если бы summum genus был конечным; но если он бесконечен, то приходится
бесконечное ставить перед конечным, т. е. рассматривать бесконечное как актуальное.
Но мы имеем не только бесконечные классы. Когда мы переходим от рода к виду, суживая
понятие введением новых условий, то эти условия тоже появляются в бесконечном числе.
Ибо они вообще выражают, что рассматриваемый предмет находится в том или ином
отношении ко всем предметам бесконечного класса.
Однако все это уже устаревшая история. Рассел заметил опасность. Он ее обдумает. Он
все изменит. Он готов, запомним это, не только ввести новые принципы, которые
позволяют производить не разрешенные никогда операции, но готов запретить операции,
которые считал некогда законными. Он не довольствуется поклонением тому, что сжигал;
он готов сжечь то, чему поклонялся, что еще тяжелее. Он не прибавляет нового крыла к
зданию, он подрывает его основание.
Старая логистика умерла, a zigzag-theory и no classes theory оспаривают друг у друга
преемственность. Чтобы судить о новой логистике, мы подождем, когда она образуется.
(1) В начале XX века под логистикой понимали математическую логику. - Прим. ред.
(2) По-видимому, речь идет о первых томах "Математического формуляра" Дж. Пеано,
пять томов которого издавались с 1895 но 1903 годы. - Прим. ред.
(3) Здесь и сейчас (лат.) (означает категорическое требование) - Прим. ред.
(4) Бремя доказательств (лат.). - Прим. ред.
(5) Галлицизм, обозначающий: сделать невозможное. - Прим. ред.
(6) После необходимых изменении (лат.) - Прим. ред.
(7) В оригинале опечатка, следует читать "конечном". - Прим. ред.
(8) Первый, главный род (лат.). - Прим. ред.
ОБЩИЕ ВЫВОДЫ
На предыдущих страницах я старался объяснить, каким образом ученый должен
производить выбор между бесчисленными фактами, раскрывающимися перед ним; ведь
уже одна естественная немощность ума заставляет его делать такой выбор, хотя бы этот
выбор и всегда представлял собой жертву. Сначала я искал оснований для этого в общих
соображениях, указывая, с одной стороны, природу проблемы, подлежащей разрешению, с
другой, - выясняя причину человеческого ума, этого главного орудия для разрешения.
Затем я привел ряд пояснительных примеров. Я не умножал их до бесконечности; я сам
должен был произвести между ними выбор и, естественно, выбрал вопросы, мною
наиболее изученные. Другие на моем месте, без сомнения, сделали бы другой выбор; но
это не имеет значения, потому что они пришли бы, я думаю, к тем же выводам.
Существует иерархия фактов. Одни факты не имеют значения; все то, чему они нас учат,
касается их одних. Ученый, который констатировал их, не познал ничего более, как один
факт, и не сделался способным предвидеть новые. Эти факты как бы происходят
однажды, и повториться им не суждено.
С другой стороны, существуют факты большого значения. Каждый из них учит нас новому
закону. И так как ученому предстоит сделать выбор, то именно к такого рода фактам он
должен обратиться.
Без сомнения, такая классификация относительна и зависит от слабости нашего ума.
Факты малого значения суть факты сложные, на которые могут оказывать очень
чувствительное влияние различные обстоятельства, слишком многочисленные и
многообразные, для того чтобы мы были способны уловить их. Но я должен прибавить,
что эти факты мы считаем сложными потому, что запутанная связь влияющих
обстоятельств превосходит пределы нашего ума. Без сомнения, ум более обширный и
тонкий, чем наш, судил бы об этом иначе. Но все это несущественно; пользоваться мы
можем не этим высшим умом, а нашим собственным.
Факты большого значения - это те, которые мы считаем простыми, потому ли, что они
таковы в действительности, что на них, следовательно, оказывает влияние небольшое
число вполне определенных обстоятельств, или же потому, что они кажутся простыми, и,
следовательно, те многочисленные обстоятельства, от которых они зависят, подчиняются
законам случая и таким образом друг друга компенсируют. Так, собственно, чаще всего и
бывает. Вот почему мы должны были несколько ближе исследовать вопрос о том, что
представляет собой случай. Факты, к которым приложимы законы случая, становятся
доступны ученому, отступающему в унынии перед чрезвычайной сложностью тех
проблем, к которым эти законы неприложимы.
Мы видели, что эти соображения приложимы не только к физическим, но и к
математическим наукам. Метод доказательства не один и тот же для физика и для
математика. Но методы открытия истины чрезвычайно сходны. В том и в другом случае
они заключаются в восхождении от факта к закону и к разысканию фактов, способных
вести к закону.
Чтобы сделать это пункт очевидным, я проследил за творческой деятельностью
математика и притом в трех ее формах: за деятельностью математика-изобретателя и
творца; за умственным процессом бессознательного геометра, который у наших далеких
предков или в смутные годы нашего детства строил наше инстинктивное понятие
пространства; за умом юноши, перед которым наставники средней школы раскрывают
первые основы науки и которому они стараются объяснить основные определения. Везде
мы видели роль интуиции и обобщающего ума, без которых эти, если мне позволено будет
так выразиться, три вида математиков были бы осуждены на одинаковое бессилие.
Но и в области доказательств логика еще не составляет всего. Настоящее математическое
рассуждение есть настоящая индукция, во многих отношениях отличная от индукции
физической, но, как и она, идущая от частного к общему. Все усилия, направленные на то,
чтобы опрокинуть этот порядок и свести математическую индукцию к правилам логики,
закончились без успеха, и эту неудачу трудно было скрыть под маской особого языка,
недоступного профанам.
Примеры, которые я заимствовал из физических наук, ознакомили нас с разнообразными
фактами большого значения. Опыт Кауфмана над лучами радия революционизирует сразу
механику, оптику и астрономию. Почему? Потому что по мере того, как эти науки
развивались, мы лучше познали соединяющие их связи; и тогда мы подметили нечто вроде
общей схемы, представляющей собой карту универсальной науки. Существуют факты,
общие и нескольким наукам, которые напоминают общие источники вод,
направляющихся во все стороны; их можно сравнить с тем Сен-Готардским узлом, откуда
выходят воды, питающие четыре различных бассейна.
Но мы можем произвести выбор между фактами с большим сознанием, чем наши
предшественники, которые смотрели на эти бассейны как на обособленные и отделенные
друг от друга непроходимыми преградами. Мы должны избирать всегда простые факты;
но из массы этих простых фактов мы должны отдавать предпочтение тем, которые
уподобляются, по месту своего положения, упомянутым выше узлам Сен-Готарда.
Если науки и не имеют непосредственной связи, то они взаимно освещают друг друга
путем аналогии. Когда изучили законы, которым подчиняются газы, стало очевидным, что
мы подошли к факту крупного значения; однако размер этого значения оценивался ниже
действительного; между тем с известной точки зрения в газах мы имели прообраз
Млечного пути, а факты, которые могли, как казалось, интересовать только физиков,
должны открыть новые горизонты в астрономии, сверх ее ожидания.
Поділитися у соцмережах
