Жанр: Наука
Наука и метод
... теорией сравнений с двумя переменными. А когда проблемы
относительно сравнений с многими переменными будут разрешены, это будет первым
шагом на пути к решению многих вопросов неопределенного анализа.
Область арифметики, совершенно лишенную всякого единства, представляет собой
теория простых (первоначальных) чисел. Здесь найдены только асимптотические законы,
да других и нельзя ожидать; но эти законы оказываются изолированными; к ним можно
прийти лишь по различным путям, между которыми, по-видимому, невозможно никакое
сообщение. Мне кажется, что я предвижу, откуда придет желанное единство, но, конечно,
не вполне ясно; несомненно, что все сведется к изучению семейства трансцендентных
функций, которые дадут возможность путем изучения их особенных точек и с помощью
метода Дарбу (4) вычислить асимптотически известные функции очень больших чисел.
Алгебра
Теория алгебраических уравнений еще долго будет привлекать к себе внимание
математиков; к ней можно подойти со многих различных между собой сторон, самой
важной является, несомненно, теория групп. Но остается еще вопрос о численном
определении корней и об исследовании числа действительных корней. Лагерр (5) показал,
что Штурм (6) не сказал последнего слова по этому вопросу.
Лет сорок назад казалось, что изучение инвариантов алгебраических форм поглотит всю
алгебру; теперь оно почти заброшено, хотя предмет далеко еще не исчерпан; надо только
его расширить, не ограничиваясь, например, инвариантами, относящимися к линейным
преобразованиям, но захватывая все те, которые относятся к какой-либо группе. Таким
образом, прежде добытые теоремы наведут нас на мысль о других, более общих, которые
будут группироваться вокруг них, подобно тому, как кристалл растет в растворе.
Не следует думать, что алгебра закончена, раз она дала нам правила образования всех
возможных комбинаций; остается еще разыскание интересных комбинаций,
удовлетворяющих тому или другому условию. Таким путем может образоваться своего
рода неопределенный анализ, в котором неизвестными будут не целые числа, а
многочлены.Но здесь уже алгебра будет брать пример с арифметики, руководствуясь
аналогией целого числа либо с целым многочленом с произвольными коэффициентами,
либо с целым многочленом с целыми же коэффициентами.
Геометрия
По-видимому, геометрия не может содержать ничего такого, чего не было бы уже в
алгебре или в анализе: ведь геометрические факты - это те же факты алгебры или
анализа, но только выраженные на другом языке. Казалось бы, поэтому, что после того
обзора, который мы сделали, не остается больше ничего сказать, специально
относящегося к геометрии. Но думать так - значило бы проглядеть важность самого
языка, когда он удачно создан, значило бы не понимать того, что прибавляет к вещам
способ обозначения этих .вещей и, следовательно, способ ;их группирования.
И прежде всепо геометриические рассуждения приводят наск постановке новых проблем;
конечно, это, если угодно, аналитические проблемы, но анализ никогда не привел бы нас
к их постановке. Однако анализ извлекает для себя из этого выгоду, как и из того, что он
вынужден разрешать проблемы для удовлетворения потребностей физики.
Большое преимущество геометрии состоит именно в том, что в ней чувства могут црийти
,на помощь рассудку и помогают отгадать нужный путь, так что многие предпочитают
приводить проблемы анализа к их геометрической форме. К несчастью, наши чувства не
могут вести вас особенно далеко, они покидают нас, лишь только мы обнаруживаем
желание унестись за три классические измерения. Значит ли это, что, выйдя из той
области, в которой они нас, по-видимому, хотят удержать, мы не вправе более
.рассчитывать на что-либо, кроме чистого анализа, и что всякая геометрия более чем трех
измерений тщетна и бесцельна? Величайшие умы предшествующего нам поколения
ответили бы: "да"; мы же теперь так освоились с этим понятием, что можем говорить о
нем даже в университетском курсе, не вызывая особенного удивления.
Но к чему оно нам? Ответ очевиден: оно дает нам прежде всего весьма удобный способ
выражения, язык, который в очень немногих словах выражает то, что при обыкновенном
аналитическом языке потребовало бы пространных фраз. Мало того: этот язык побуждает
нас называть одним и тем же именем сходные между собой вещи и закрепляет аналогии,
делая невозможным забвение их. Он дает нам возможность ориентироваться в этом
пространстве, слишком громадном для нас, которого мы не можем обнять иначе, как
вызывая перед собой постоянно образ видимого пространства, хотя последнее
представляет собой лишь весьма несовершенное его изображение. И тут, как и в
предыдущих примерах, аналогия с тем, что просто, помогает нам понять то, что сложно.
Эта геометрия пространств, имеющих более трех измерений, не является простой
аналитической геометрией; она имеет характер не исключительно количественный, но
также и качественный, и этим-то она особенно интересна. Есть дисциплина, которую
называют "Analysis situs" и предметом изучения которой являются соотношения
расположений различных элементов фигуры независимо от их величины. Эта геометрия
- чисто качественная: ее теоремы остались бы справедливыми, если бы точные фигуры
были заменены грубыми изображениями, созданными ребенком, Можно построить также
Analysis situs более чем трех измерений. Важность Analysis situs огромна, и я не думаю,
чтобы его значение могло быть преувеличено; это достаточно подтверждается той
пользой, которую из него извлек Риман (7), один из главных творцов этой дисциплины.
Нужно дойти до ее полного построения в пространствах высшего порядка; тогда у нас
будет в руках такое орудие, которое позволит действительно видеть в гиперпространстве
и расширить область наших чувственных восприятий.
Быть может, проблемы Analysis situs не были бы даже поставлены, если бы пользовались
только языком анализа; впрочем, нет, я ошибаюсь: они были бы, несомненно, поставлены,
ибо их разрешение необходимо для множества вопросов анализа, но наверное
изолированно, так что нельзя было бы вовсе усмотреть их общей связи. Особенно
содействовало недавнему успеху геометрии введение понятия о преобразованиях и
группах. Благодаря этому понятию геометрия перестала быть агрегатом теорем, более или
менее интересных, но следующих одна за другой без всякого сходства между ними, она
приобрела единство. А с другой стороны, история не должна забывать того, что именно
по поводу геометрии начали систематически исследовать непрерывные преобразования,
так что чистые геометры со своей стороны также содействовали развитию идеи группы,
идеи, столь полезной в других отраслях математики.
Канторизм
Выше я говорил о представляющейся нам необходимости постоянно восходить к
основным принципам нашей науки и о той пользе, которую отсюда может извлечь наука о
человеческом духе. Эта потребность породила два стремления, занявшие весьма обширное
место на самых последних страницах истории математики. Первое из них - канторизм,
заслуги которого перед наукой известны. Одна из характерных черт канторизма состоит в
том, что вместо того, чтобы подниматься к общему, строя все более и более сложные
конструкции, и вводить определения через построения, он исходит из genus supremum (8) и
дает определения только per genus proximum et differentiam specificam (9), как сказали бы
схоластики. Этим объясняется тот ужас, который он некоторое время тому назад вызвал в
иных умах, например у Эрмита, излюбленной идеей которого является сравнение
математических наук с естественными. У большинства из нас эти предубеждения уже
рассеялись, но случилось так, что натолкнулись на некоторые парадоксы, которые
привели бы в восторг Зенона Элейского(10) и мегарскую школу (11). И тогда все
пустились в поиски за противоядием. Я держусь того мнения - и не я один,- что важно
вводить в рассмотрение исключительно такие вещи, которые можно вполне определить
при помощи конечного количества слов. Но какое бы противоядие ни было признано
действительным, мы можем предвкушать наслаждение врача, имеющего возможность
наблюдать интересный патологический случай.
Поиски постулатов
С другой стороны, мы видим попытки перечислить те более или менее скрытые аксиомы
и постулаты, которые служат основанием для различных математических теорий. Самые
блестящие результаты получил Гильберт. На первый взгляд эта область кажется довольно
ограниченной; кажется, что когда перечень будет закончен - а это не замедлит
произойти,- нечего будет больше делать. Но когда все будет перечислено, тогда найдется
множество приемов для классификации всего материала; хороший библиотекарь всегда
находит себе занятие, а каждая новая классификация будет поучительна для философа.
Этим я кончаю мой обзор, которого я не мог и рассчитывать сделать полным по
множеству причин, и прежде всего потому, что я и без того уже слишком злоупотребил
вашим вниманием. Думаю, что приведенных примеров будет достаточно, для того чтобы
показать вам, в чем состоял механизм прогресса математических наук в прошлом и в
каком направлении они должны будут двигаться в будущем.
(1) См. сноску (1) главы I.
(2) Подробный анализ гносеологического значения принципов простоты и красоты, их
эвристических возможностей и ограниченности их применения дан в работах советских
исследователей: Крутов В, Ф. К вопросу об обосновании принципа простоты.- В кн.:
Философские исследования. Уч. зап. Ленинградск., пед. ин-та, 1968, 365, с. 304- 317;
Кузнецов Б. Г. Об эстетических критериях в современном физическом мышлении. - В
кн.: Художественное и научное творчество. Л., 1972, с. 84-90; Мамчур Е. А. Ленинское
понимание познания и проблема эвристической простоты.- Вопросы философии, 1969,
№ 10, с. 16-27; Мамчур Е. А., Илларионов С. В. Регулятивные принципы построения
теории.- В кн.: Синтез современного научного знания. М.: Наука, 1973, с. 355-389;
Панкевич Г. И. К вопросу о взаимном проникновении естественнонаучных и эстетических
принципов в современном познании.- В кн.: Философские проблемы естествознания,
М., 1971, с. 147-157; Позднеева С. П. К вопросу об эстетических критериях оценки
научных теорий.- В кн.: Вопросы эстетики. Саратов, 1969, вып. 3, с. 75-87, Сухотин А.
К. Соотношение критериев простоты и истинности знания.- В кн.: Актуальные
проблемы дналектической логики. Алма-Ата: Наука, 1971, с. 263-267.- Прим. ред.
(3) См. сноску (2) главы I.
(4) Известный французский математик, современник Пуанкаре.- Прим. ред.
(5) Французский математик, преподававший в Политехнической школе в то время, когда
там учился Пуанкаре.- Прим. ред.
(6) Французский математик, работавший в области математической физики, оптики и
механики.- Прим. ред.
(7) Б. Риман (1826-1866) -выдающийся немецкий математик, выдвинувший ряд
основных идеи топологии. Имеет многочисленные труды по разнообразным разделам
математики.- Прим. ред.
(8) Высший род (лат.).- Прим. ред.
(9) Через родовое сходство и видовое отличие (лат.).- Прим. ред.
(10) Зенои из Злей (ок. 490-430 гг. до н. э.) - древнегреческий философ, известен
своими знаменитыми парадоксами: "Ахиллес", "Стрела" и другие.- Прим. ред.
(11) Одна из школ древнегреческой философии, представителям которой приписывают
рождение многих известных софизмов.- Прим. ред.
Глава III. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ТВОРЧЕСТВО
Вопрос о процессе математического творчества должен возбуждать в психологе самый
живой интерес. В этом акте человеческий ум, по-видимому, заимствует из внешнего мира
меньше всего; как орудием, так и объектом воздействия здесь является только он сам, так
по крайней мере кажется; поэтому, изучая процесс математической мысли, мы вправе
рассчитывать на проникновение в самую сущность человеческого ума.
Это было понято давно; и вот несколько месяцев тому назад журнал "Математическое
образование", редактируемый профессорами Лезаном и Фером, предпринял анкету по
вопросу о привычках ума н приемах работы различных математиков. Но мое сообщение в
главных чертах было уже готово, когда были опубликованы результаты этой анкеты, так
что я совершенно не мог ими воспользоваться! Скажу только, что большинство
свидетельств подтверждали мои заключения, я не говорю - все, так как нельзя
рассчитывать на единогласие ответов, когда вопрос ставится на всеобщее голосование.
Начнем с одного факта, который должен нас изумлять или, вернее, должен был бы
изумлять, если бы мы к нему не привыкли. Чем объяснить то обстоятельство, что
некоторые люди не понимают математических рассуждений? Если эти рассуждения
основаны на одних лишь правилах логики, правилах, признаваемых всеми нормальными
умами, если их очевидность основывается на принципах, которые общи всем людям и
которых никто в здравом уме не станет отрицать, то как возможно существование столь
многих людей, совершенно к ним неспособных? Что не всякий способен на творчество, в
этом нет ничего удивительного. Что не всякий может запомнить .доказательство,
однажды им узнанное, с этим также можно примириться. Но что не всякий может
понимать математическое рассуждение в тот момент, когда ему его излагают, вот что
кажется в высшей степени поразительным, когда начинаешь в это вдумываться. А между
тем тех, которые лишь с трудом могут следить за таким рассуждением, большинство; это
неоспоримый факт, и опыт учителей средней школы наверное ему не противоречит.
Но мало того: как возможна ошибка в математическом рассуждении? Здравый ум не
должен допускать логических ошибок, а между тем иные острые умы, безошибочные в тех
кратких рассуждениях, которые приходится делать при обычных повседневных
обстоятельствах, оказываются неспособными следить или повторить без ошибок
математические доказательства, которые, хотя и более длинны, но, в сущности,
представляют собой лишь нагромождение маленьких рассуждений, совершенно подобных
тем, что даются им так легко. Нужно ли добавлять, что и хорошие математики далеко не
непогрешимы?
Ответ представляется мне очевидным. Представим себе длинную цепь силлогизмов, в
которой заключения предыдущих силлогизмов служат посылками для последующих; мы
способны понять каждый силлогизм в отдельности, и при переходе от посылок к
заключению мы не рискуем впасть в ошибку. Но между моментом, когда мы в первый раз
встретили какое-нибудь предложение в виде заключения некоторого силлогизма, и тем
моментом, когда мы вновь с ним встречаемся как посылкой другого силлогизма, иногда
проходит много времени, в течение которого были развернуты многочисленные звенья
цепи; и вот может случиться, что за это время мы либо вовсе забыли это предложение,
либо, что еще хуже, забыли его смысл. Таким образом, возможно, что мы его заменим
другим, несколько отличным от него предложением или, сохраняя его словесное
выражение, припишем ему несколько иной смысл; в том и в другом случае мы рискуем
ошибиться.
Часто математику приходится пользоваться много раз одним и тем же правилом: в
первый раз он, конечно, доказывает себе его справедливость; пока это доказательство
остается в его памяти вполне ясным и свежим, пока он совершенно точно представляет
себе смысл и широту охвата этого правила, до тех пор нет никакого риска в его
употреблении. Но когда в дальнейшем наш математик, полагаясь на свою память,
продолжает применять правило уже совершенно механически, тогда какой-нибудь изъян в
памяти может привести к ложному применению правила. Так, если взять простой, почти
избитый пример, мы иногда делаем ошибки в счете по той причине, что забыли нашу
таблицу умножения.
С этой точки зрения специальная способность в математике должна обусловливаться
очень верной памятью или скорее необычайной напряженностью внимания. Это качество
можно было бы сравнить со способностью игрока в вист запоминать вышедшие карты,
или, чтобы взять более сильную степень, со способностью шахматиста обозревать и
предвидеть очень большое число комбинаций и удерживать их в памяти. С этой точки
зрения всякий хороший математик должен был бы быть в то же время хорошим
шахматистом, и наоборот; равным образом, он должен быть силен в числовых выкладках.
Конечно, иногда так и бывает; так, Гаусс одновременно был гениальным геометром и
очень искусным и уверенным вычислителем.
Но бывают исключения; впрочем, я ошибаюсь, говоря "исключения", ибо тогда
исключения окажутся многочисленнее случаев, подходящих под правило. Напротив,
именно Гаусс и представляет собой исключение. Что же касается, например, меня лично,
то я должен сознаться, что неспособен сделать без ошибки сложение. Равным образом, из
меня вышел бы плохой шахматист; я, быть может, хорошо рассчитал бы, что, играя такимто
образом, я подвергаюсь такой-то опасности; я бы разобрал много других ходов,
которые отверг бы по тем или другим причинам; но в конце концов я, наверное, сделал бы
ход, уже рассмотренный, забыв тем временем о той опасности, которую я раньше
предусмотрел.
Одним словом, память у меня неплохая, но она была бы недостаточна для того, чтобы я
мог стать хорошим игроком в шахматы.
Почему же она не изменяет мне в трудном математическом рассуждении, в котором
растерялось бы большинство шахматистов? Очевидно, по той причине, что здесь моей
памятью руководит общий ход рассуждения. Математическое доказательство
представляет собой не просто какое-то нагромождение силлогизмов: это силлогизмы,
расположенные в известном порядке, причем этот порядок расположения элементов
оказывается гораздо более важным, чем сами элементы. Если я обладаю чувством, так
сказать, интуицией этого порядка, так что могу обозреть одним взглядом все рассуждения
в целом, то мне не приходится опасаться, что я забуду какой-нибудь один из элементов;
каждый из них сам по себе займет назначенное ему место без всякого усилия памяти с
моей стороны.
Далее, когда я повторяю усвоенное доказательство, мне часто кажется, что я мог бы и сам
придумать его; быть может, часто это только иллюзия; но если даже у меня недостаточно
сил, чтобы самостоятельно найти такое доказательство, то я по меньшей мере
самостоятельно создаю его всякий раз, когда мне приходится его повторять.
Понятно, что это чувство, этот род математической интуиции, благодаря которой мы
отгадываем скрытые гармонии н соотношения, не может быть принадлежностью всех
людей. Одни не обладают ни этим тонким, трудно оценимым чувством, ни силой памяти
и внимания выше среднего уровня, и тогда они оказываются совершенно неспособными
понять сколько-нибудь сложные математические теории. Другие, обладая этим чувством
лишь в слабой степени, одарены в то же время редкой памятью и большой способностью
внимания. Они запомнят наизусть частности, одну за другой; они смогут понять
математическую теорию и даже иной раз сумеют ее применить, но они не в состоянии
творить. Наконец, третьи, обладая в более или менее высокой степени той специальной
интуицией, о которой я только что говорил, не только смогут понять математику, не
обладая особенной памятью, но они смогут оказаться творцами, и их поиски новых
открытий будут более или менее успешны, смотря по степени развития у них этой
интуиции.
В чем, в самом деле, состоит математическое творчество? Оно заключается не в создании
новых комбинаций с помощью уже известных математических объектов. Это может
сделать мало ли кто; но число комбинаций, которые можно найти этим путем, было бы
бесконечно, и даже самое большое их число не пред-ставляло бы ровно никакого
интереса. Творчество состоит как раз в том, чтобы не создавать бесполезных комбинаций,
а строить такие, которые оказываются полезными; а их ничтожное меньшинство. Творить
- это отличать, выбирать.
Как следует производить этот выбор, я объяснил в другом месте; в математике фактами,
заслуживающими изучения, являются те, которые ввиду их сходства с другими фактами
способны привести нас к открытию какого-нибудь математического закона, совершенно
подобно тому, как экспериментальные факты приводят к открытию физического закона.
Это именно те факты, которые обнаруживают родство между другими фактами,
известными с давних пор, но ошибочно считавшимися чуждыми друг другу.
Среди комбинаций, на которые падает выбор, часто наиболее плодотворными
оказываются те, элементы которых взяты из наиболее удаленных друг от друга областей.
Я не хочу сказать, что для нового открытия достаточно сблизить возможно глубже
различающиеся предметы; большинство комбинаций, построенных таким образом,
оказались бы совершенно бесплодными; но некоторые, правда, очень немногие из них,
бывают наиболее плодотворными.
Творить, изобретать, сказал я, значит выбирать; но это слово, пожалуй, не вполне
подходит. Оно вызывает представление о покупателе, которому предлагают громадное
число образчиков и который их пересматривает один за другим, имея в виду сделать свой
выбор. Здесь число образчиков было бы так велико, что всей жизни не хватило бы для
пересмотра всех их. Но в действительности это обстоит иначе. Бесплодные комбинации
даже и не представляются уму изобретателя. В поле его сознания появляются лишь
действительно полезные комбинации, да еще некоторые другие, которые он, правда,
отбросит в сторону, но которые не лишены характера полезных комбинаций. Все
происходит подобно тому, как если бы изобретатель был экзаменатором второй ступени,
имеющим дело лишь с кандидатами, успешно прошедшими через первое испытание.
К тому, что мною сказано до сих пор, можно прийти посредством наблюдения или вывода
при чтении произведений математиков, если только вдумчиво это делать.
Теперь пора вникнуть глубже и посмотреть, что происходит в самой душе математика.
Лучшее, что я могу сделать с этой целью, - это, я полагаю, обратиться к моим личным
воспоминаниям. Впрочем, я ограничусь тем, что расскажу вам, как я написал мой первый
мемуар о фуксовых функциях. Прошу у вас извинения, ибо мне придется употребить
несколько технических выражений; но они не должны вас пугать: вам, собственно,
незачем их понимать. Например, я скажу так: я нашел доказательство такой-то теоремы
при таких-то обстоятельствах; эта теорема будет носить варварское название, которое для
большинства из вас не будет понятно, но это совершенно неважно; все, что интересно
здесь для психолога, - это условия, обстоятельства.
В течение двух недель я старался доказать, что невозможна никакая функция, которая
была бы подобна тем, которым я впоследствии дал название фуксовых функции; в то
время я был еще весьма далек от того, что мне было нужно. Каждый день я усаживался за
свой рабочий стол, проводил за ним один-два часа, перебирал большое число комбинаций
и не приходил ни к какому результату. Но однажды вечером я выпил, вопреки своему
обыкновению, чашку черного кофе; я не мог заснуть; идеи возникали во множестве; мне
казалось, что я чувствую, как они сталкиваются между собой, пока, наконец, две из них,
как бы сцепившись друг с другом, не образовали устойчивого соединения. Наутро я
установил существование класса функций Фукса, а именно тех, которые получаются из
гипергеометрического ряда; мне оставалось лишь сформулировать результаты, что отняло
у меня всего несколько часов.
Я захотел затем представить эти функции в виде частного двух рядов; это была вполне
сознательная и обдуманная мысль; мною руководила аналогия с эллиптическими
функциями. Я задал себе вопрос; каковы должны быть свойства этих рядов, если они
существуют, и я пришел без труда к образованию рядов, названных мною тета- фуксовыми
функциями.
В эту пору я покинул Кан, где я тогда жил, чтобы принять участие в геологической
экскурсии, организованной Горным институтом. Среди дорожных перипетии я забыл о
своих математических работах; по прибытии в Кутанс мы взяли омнибус для прогулки; и
вот в тот момент, когда я заносил ногу на ступеньку омнибуса, мне пришла в голову идея
- хотя мои предыдущие мысли не имели с нею ничего общего,- что те преобразования,
которыми я воспользовался для определения фуксовых функций, тождественны с
преобразованиями неевклидовой геометрии. Я не проверил этой идеи; для этого я не имел
времени, так как, едва усевшись в омнибус, я возобновил начатый разговор, тем не менее
я сразу почувствовал полную уверенность в правильности идеи. Возвратись в Кан, я
сделал проверку; идея оказалась правильной, Вслед за тем я занялся некоторыми
вопросами арифметики, по-видимому, без особенного успеха; мне и в голову не
приходило, что эти вопросы могут иметь хотя бы самое отдаленное отношение к моим
предыдущим исследованиям. Раздосадованный неудачей, я решил провести несколько
дней на берегу моря и стал думать о совершенно других вещах. Однажды, когда я бродил
по прибрежным скалам, мне пришла в голову мысль, опять-таки с теми же характерными
признаками: краткостью, внезапностью и непосредственной уверенностью в ее
истинности, что арифметические преобразования неопределенных квадратичных
трехчленов тождественны с преобразованиями неевклидовой геометрии.
Возвратившись в Кан, я стал размышлять над этой мыслью и сделал из нее некоторые
выводы; пример квадратичных форм показал мне, что, помимо фуксовых групп, которые
соответствуют гипергеометрическому ряду, существуют еще и другие; я увидел, что к ним
можно приложить теорию тета-фуксовых рядов и что, следовательно, существуют еще
иные фуксовы функции, помимо тех, которые происходят из гнпергеометрического ряда и
которые только и были известны мне до тех пор. Понятно, я задался целью образовать все
такие функции; я повел правильную осаду и овладел одним за другим всеми наружными
фортами; но один все еще держался; его падение должно было повлечь за собой сдачу
крепости. Однако все мои усилия приводили лишь к большему убеждению в трудности
задачи; но и это уже имело некоторое значение. Вся эта работа происходила вполне
сознательно.
Тут мне пришлось уехать в Мон-Валерьен, где я должен был отбывать воинскую
повинность; конечно, я был поглощен разнообразнейшими делами. Однажды я шел по
бульвару, как вдруг мне представилось решение занимавшей ме
...Поділитися у соцмережах
