Жанр: Наука
Наука и метод
...что
те ощущения, которые мы можем испытывать благодаря действию тел, помещенных в
этих точках, не были бы ассоциированы ни с какой-либо идеей движения, необходимого
для достижения этих тел, ни с каким-либо соответствующим ответным ударом. Нам
казалось бы, что эти ощущения не имеют пространственного характера, и мы не старались
бы их локализовать.
Но, в отличие от низших животных, мы не прикреплены к почве. Если враг находится
далеко от нас, то мы можем до него дойти и, приблизившись, протянуть руку. Это тоже
ответный удар, но дальнего действия. Кроме того, это сложный ответный удар и в
представление, которое мы о нем себе составляем, входит представление о мускульных
ощущениях, вызванных движением ног, представление о мускульных ощущениях,
вызванных конечным движением руки, представление об ощущениях полукружных
каналов и т. д. Мы должны, кроме того, представить себе не комплекс одновременных
ощущений, а комплекс ощущений последовательных, сменяющих друг друга в
определенном порядке, и вот почему я указал выше на необходимость вмешательства
памяти.
Заметим еще, что для того, чтобы прийти к одной и той же точке, я могу очень близко
подойти к цели, которую мне нужно достигнуть, и лишь немного вытянуть руку. Что же
еще мне известно? Не один, а тысячу ответных ударов могу я противопоставить одной и
той же опасности. Все эти удары образованы из ощущений, которые могут не иметь
между собой ничего общего, но мы их рассматриваем как определяющие одну и ту же
точку пространства, потому что они могут отвечать одной и той же опасности и все
ассоциированы с понятием об этой опасности. Возможность парировать один и тот же
удар и сообщет этим различным ответным ударам единство, подобно тому как
возможность быть парированным одним и тем же способом сообщает единство
различного рода ударам, которые могут угрожать нам из одной и той же точки
пространства. Именно это двоякое единство и создает индивидуальность каждой точки
пространства, а понятие о точке ничего, кроме этого, в себе не заключает.
Пространство, которое я рассматривал в предыдущем разделе, и которое я мог бы назвать
ограниченным пространством, было отнесено к осям координат, связанным с моим
телом; эти оси были постоянны, так как мое тело не двигалось, а перемещались лишь мои
члены. Каковы же оси, к которым может быть отнесено расширенное пространство, т. е.
то пространство, которое я только что определил? Мы определяем точку при помощи ряда
движении, которые необходимо совершить для ее достижения, исходя при этом из
определенного начального положения тела. Оси, следовательно, связаны с этим
начальным положением.
Но положение, которое я называю начальным, может быть произвольно избрано среди
всех тех положений, которые мое тело последовательно занимало; если более или менее
бессознательное воспоминание об этих последовательных положениях необходимо для
генезиса понятия пространства, то это воспоминание может простираться более или
менее далеко в прошлое. Отсюда получается известная неопределенность в самом
определении пространства и этой именно неопределенностью обусловливается его
относительность.
Итак, нет абсолютного пространства, а есть только пространство, отнесенное к
известному начальному положению тела. Для сознательного существа, которое, как
низшие животные, было бы прикреплено к почве и которому, следовательно, было бы
знакомо лишь ограниченное пространство, это пространство также было бы
относительным, так как оно было бы отнесено к его телу; но такое существо не сознавало
бы этой относительности, потому что оси, к которым оно относило ограниченное
пространство, не изменялись бы! Конечно, скала к которой это существо было бы
приковано, не оставалась бы неподвижной, так как она увлекалась бы движением нашей
планеты; для нас, следовательно, эти оси изменялись бы в каждое мгновение; но для него
они оставались бы неизменными. Мы обладаем способностью относить наше
расширенное пространство то к положению А нашего тела, рассматриваемому как
начальное, то к положению В, которое наше тело приобрело несколькими мгновениями
позже и которое совершенно свободно можем также рассматривать как начальное; мы,
следовательно, каждое мгновение производим бессознательное изменение координат.
Этой способности не было бы у нашего воображаемого существа; лишенное возможности
путешествовать, оно почитало бы пространство абсолютным. В каждое мгновение его
система в действительности изменялась бы, но для него она оставалась бы одной и той
же, так как она была бы единственной его системой. Не то для нас, обладающих в каждое
мгновение несколькими системами, между которыми мы можем произвольно выбирать, и
сохраняющих воспоминания, которые могут нас переносить в более или менее далекое
прошлое.
Но это не все. Ограниченное пространство не было бы однородным; различные точки
этого пространства не могли бы рассматриваться как эквивалентные, потому что для
достижения одних потребовались бы величайшие усилия, для достижения других -
незначительные. Напротив, наше беспредельное пространство кажется нам однородным,
и мы говорим, что все его точки эквивалентны. Что же это, собственно, значит?
Если мы исходим из известного положения А, то мы можем совершить известные
движения М, характеризуемые известным комплексом мускульных ощущений. Но, исходя
из другого положения В, мы сможем совершить движения М', характеризуемые теми же
мускульными ощущениями. Обозначим через a положение определенной точки тела,
например конца указательного пальца правой руки при начальном положении А, и
обозначим через b положение того же пальца после того, как, исходя из этого положения
А, мы совершили движения М. Пусть а' будет положение того же пальца в В, а b' -
положение того же пальца после совершения движений М'.
Так вот, при таких условиях я обыкновенно говорю, что точки пространства а и b
относятся друг к другу как точки а' и b', a это обозначает только, что два ряда движений
М и М' сопровождаются одними и теми же мускульными ощущениями. И так как я
сознаю, что при переходе из положения А в В мое тело сохранило способность к одним и
тем же движениям, то я знаю, что есть точка пространства, которая по отношению к
точке а' составляет то же, что произвольно выбранная точка В относительно точки а, и
что, таким образом, обе точки а и а' эквивалентны. И вот поэтому пространство в то же
время относительно, ибо его свойства остаются одними и теми же, когда оно отнесено к
осям А или к осям В. Таким образом, относительность пространства и его однородность
- это одно и то же.
Теперь, если я захочу перейти к огромному пространству, которое служит уже не только
для меня, но в котором я могу себе представить всю Вселенную, я прибегну к акту
воображения. Я представлю себе, что испытал бы великан, который несколькими шагами
достиг бы планет или, если это угодно, что испытал бы я сам перед лицом миниатюрного
мира, в котором планеты были бы заменены маленькими шариками, и на одном из них
суетился бы лилипут, и этим лилипутом был бы я. Но вот акт воображения был бы для
меня невозможен, если бы я не построил предварительно и притом для собственного
обихода своего ограниченного и своего обширного пространства.
Теперь возникает вопрос; почему все эти пространства имеют три измерения? Обратимся
к "распределительному щиту", о котором мы говорили выше. Мы имеем, с одной
стороны, список возможных опасностей: обозначим их через А1, A2 и т. д.; с другой
стороны - список разных средств защиты, которые мы обозначим через В1, В2 и т. д. Мы
имеем, таким образом, связи между элементами первого и второго списков, так что,
когда, например, сработает сигнализатор опасности A3, он приведет или может привести
в действие реле, соответствующее ответному удару B3.
Так как я говорил выше о центростремительных и центробежных проволоках, то я
опасаюсь, как бы во всем этом не усмотрели не простое сравнение, а описание нервной
системы. Но моя мысль не такова. Прежде всего я не позволил бы себе высказать мнение
относительно структуры нервной системы, которой я не знаю, между тем как лица,
изучавшие ее, высказываются о ней с большой осторожностью. Затем, несмотря на мою
некомпетентность, я чувствую, что эта схема была бы слишком упрощенной, и, наконец, в
моем списке ответных ударов имеются некоторые очень сложные; как мы выше видели,
когда речь шла об обширном пространстве, некоторые ответные удары могут включать в
себя ряд движений ног, сопровождающихся движением руки. Дело, следовательно, идет
не о физической связи между двумя реальными проводниками, но о психологической
связи между двумя рядами ощущений.
Если сигнализаторы А2 и A2, например, связаны один и другой с ответным ударом B1, и
если А1 связан также с ответным ударом B2, то обыкновенно случается, что A2 и B2 также
связаны. Если бы этот основной закон не был вообще справедлив, то произошло бы
неимоверное смешение, и ничего схожего с понятием о пространстве или с геометрией не
могло бы составиться. В самом деле, вспомним, как мы определяли точку пространства.
Мы это сделали двояко: с одной стороны, мы имели совокупность сигнализаторов A,
которые связаны с одним и тем же ответным ударом В, с другой - совокупность
ответных ударов В, связанных с одним и тем же сигнализатором А. Если бы наш закон не
был справедлив, следовало бы сказать, что А1 и A2 отвечают одной и той же точке, потому
что оба они связаны с ответным ударом B1, но, равным образом, следовало бы также
сказать, что они не отвечают одной и той же точке, потому что А1 связан с В2, а A2 не
связан с В2. Это было бы противоречием.
Но, с другой стороны, если бы закон был строго и всегда правилен, пространство было бы
отлично от того, каким оно является. Мы имели бы резко очерченные категории, между
которыми распределились бы, с одной стороны, сигнализаторы A и с другой - ответные
удары В эти категории были бы чрезвычайно многочисленны, но они были бы друг от
друга совершенно отделены. Пространство было бы составлено из очень многочисленных,
но раздельных точек, оно было бы прерывным. Не было бы оснований предпочесть один
порядок расположения точек другому, не было бы, следовательно, оснований
приписывать пространству три измерения.
Но дело обстоит не так. Да будет мне позволено воспользоваться на мгновение языком
людей, уже знающих геометрию. Это даже необходимо, потому что именно такой язык
наиболее понятен читателям, которых я имею в виду, поясняя свою мысль. Когда я хочу
отразить удар, я стараюсь достигнуть той точки, откуда удар исходит, но для этого
достаточно, чтобы я приблизился к точке на надлежащее расстояние. В таком случае
ответный удар В1 может отвечать ударам A1 и A2, если только точка, отвечающая В1,
одновременно достаточно близка к точкам, отвечающим А1 и A2. Но может случиться, что
точка, отвечающая другому ответному удару B2, окажется достаточно близкой к точке,
отвечающей А1, но недостаточно близкой к точке, отвечающей A2. Таким обра-зом,
ответный удар B2 будет соответствовать А1 и не соответствовать А2.
Для того, кто не знает еще геометрии, все это покажется просто нарушением
формулированного выше закона. Для него дело будет просходить таким образом: два
ответных удара В1 и В2 будут связаны с одним и тем же сигнализатором А1 и с еще
большим числом сигнализаторов, которые мы включили в ту же кате- горию, в какой
находится A1, и которые мы отнесем к одной и той же точке пространства. Но мы сможем
найти сигнализаторы А2, которые будут связаны с В2, не,будучи связанными с B1 и
которые зато связаны с B3, причем В3 не связан с А1, и.т. д. Итак, мы можем писать ряд
В1, A1, B2, А2, В3, A3, B4, A4 в котором каждый член связан со следующим и с
предыдущим, но не связан с членами, отстоящими от него дальше.
Излишне прибавлять, что каждый из членов этих рядов не является изолированным, а
составляет часть очень многочисленной категории других сигнализаторов или других
ответных ударов. Эта категория имеет такие же связи, как и первый член, и ее можно
рассматривать как относящуюся к одной и той же точке пространства. Основной закон,
несмотря на исключения, остается, следовательно, почти всегда верным. Но благодаря
этим исключениям упомянутые категории вместо того, чтобы оставаться совершенно
обособленными, захватывают друг друга некоторыми частями, проникают одни в другие,
и пространство, таким образом, становится непрерывным.
С другой стороны, порядок, в котором категории должны быть размещены, не оказывается
уже произвольным. Обращаясь к предыдущему ряду, легко заметить, что В2 должен быть
помещен между А1 и А2 и, следовательно, между В1 и В3, но не может быть помещен,
например, между В3 и B4.
Итак, существует порядок, в котором естественно располагаются категории, отвечающие
точкам пространства. И опыт нас учит, что этот порядок представляется в виде таблицы с
тремя входами, вот почему пространство имеет три измерения.
Характерная особенность пространства, выражающаяся в том, что оно обладает тремя
измерениями, есть, таким образом, особенность нашего распределительного щита, есть,
так сказать, внутреннее свойство человеческого ума. Достаточно было бы разрушить
некоторые из соединений, т. е. некоторые ассоциации идей, чтобы получить другой
распределительный щит, а этого было бы достаточно, чтобы пространство приобрело
четвертое измерение. Такой результат может удивить некоторых. Ведь внешний мир,
скажут они, должен же играть здесь какую-то роль. Если число измерений зависит от
того, как мы созданы, то можно предположить, что мыслящие существа, живущие в нашем
мире, но созданные иначе, чем мы, полагали бы, что пространство имеет больше или
меньше трех измерений. И не утверждал ли Цион, что японские мыши, имеющие только
две пары полукружных каналов, думают, что пространство имеет два измерения? А
подобное мыслящее существо, если бы оно было способно создать физику, разве не
построило бы физики двух или четырех измерений, физики, которая, в известном смысле,
была бы такою же, как и наша, ибо она описывала бы другим языком тот же самый мир?
В самом деле, не представляет, по-видимому, никаких затруднений перевести нашу
физику на язык геометрии четырех измерений. Осуществить действительно такую задачу
значило бы потратить много усилий с ничтожной пользой, и я ограничусь лишь
указанием на механику Герца, в которой мы имеем нечто, напоминающее такой перевод.
Но такой перевод, по-видимому, всегда был бы сложнее текста и всегда обнаруживал бы
свою заимствованную природу, тогда как язык трех измерений кажется наиболее
приспособленным к описанию нашего мира, хотя это описание может быть точно
выполнено и на другом языке.
Однако наш распределительный щит возник не случайно. Имеется связь между сигналом
А1 и ответным ударом В1, это - внутреннее свойство нашего ума. Но чем объясняется эта
связь? Тем, что ответный удар В1 позволяет действительно защититься против опасности
А1, а это - факт, внешний для нас, это - свойство, внешнего мира. Таким образом, наш
распределительный щит есть лишь выражение совокупности внешних фактов; если он
имеет три измерения, то это потому, что он приспособлен к миру, имеющему
определенные свойства, и главное из этих свойств заключается в том, что в этом мире
существуют твердые тела, перемещающиеся по таким законам, которые мы называем
законами движения неизменяющихся твердых тел. Если, следовательно, язык трех
измерений лучше всего позволяет нам описать наш мир, то мы не должны этому
удивляться. Этот язык скопирован с нашего распределительного щита, а этот щит
установлен для того, чтобы можно было жить в этом мире.
Я сказал, что мы могли бы представить себе мыслящие существа, живущие в нашем мире
и обладающие распределительным щитом четырех измерений; такие существа мыслили
бы сверхпространство. Но не может быть уверенности в том, что такие существа, если бы
и рождались, могли бы выжить и защититься против тысяч опасностей, которыми они
были бы окружены в этом мире.
В заключение несколько замечаний. Существует разительный контраст между грубостью
той примитивной геометрии, которая сводится к распределительному щиту, и
безграничной точностью геометрии геометров. И, однако, последняя - плод первой. Но
не ее одной; она должна была быть оплодотворена присущей нам способностью к
построению математических понятий, как, например, понятия о группах; нужно было
среди этих чистых понятий найти наиболее приспособленное к этому грубому
пространству, генезис которого я пытался объяснить на предшествующих страницах и
которое является общим у нас и у высших животных.
Очевидность некоторых геометрических постулатов, сказали мы, есть не что иное, как
наша косная неспособность отказаться от очень старых привычек. Но эти постулаты
чрезвычайно точны, тогда как привычки заключают в себе нечто по существу зыбкое. И,
как только мы хотим мыслить, мы испытываем нужду в этих чрезвычайно точных
постулатах, так как лишь с их помощью мы можем избежать противоречия. Но среди всех
возможных систем постулатов имеются такие, которые мы отказываемся принять, потому
что они не согласуются с нашими привычками; как ни зыбки, как ни эластичны эти
привычки, все же они имеют предел этой эластичности.
Мы видим, что если геометрия не есть экспериментальная наука, то это все же наука,
рожденная в связи с опытом; мы создали пространство, которое она изучает, но мы
приспособили его к миру, в котором мы живем. Мы сделали выбор наиболее удобного
пространства, но этим выбором руководил опыт. И так как выбор был бессознателен, то
нам кажется, что он для нас необходим; одни говорят, что он сделался для нас
необходимым путем опыта, другие говорят, что мы рождаемся с вполне сложившимся
представлением о пространстве. Из предыдущих рассуждений явствует, какая доля
истины и ошибки заключается в этих двух суждениях.
Очень трудно определить участие индивида и участие расы (1) в том эволюционном
процессе воспитания, который закончился построением пространства. В какой мере ктонибудь
из нас, будучи перенесен с момента рождения в другой совершенно мир, где,
например, преобладали бы тела, перемещающиеся по законам движения, свойственным
неевклидовским твердым телам, в какой мере, повторяю, мог бы он отказаться от
пространства предков, чтобы построить совершенно новое пространство?
Участие расы кажется преобладающим. Однако если мы и обязаны ему грубым
пространством, зыбким пространством высших животных, о котором я говорил выше, то
не обязаны ли мы бессознательному опыту индивида тем безгранично точным
пространством, которое имеет геометр? Этот вопрос нелегко разрешается. Укажем,
однако, на факт, который показывает, что пространство, завещанное нам предками,
сохраняет известную пластичность. Некоторые охотники научиваются ловить рыбу под
водой, хотя изображение этих рыб вследствие преломления несколько приподнято. Они
учатся этому инстинктивно: они сумели, следовательно, изменить свой прежний
инстинкт направления. Или, если хотите, они сумели на место связи А1, В1 поставить
другую связь А1, В2 , потому что опыт показал им, что с первой связью нельзя достигнуть
цели.
(1) Под расой Пуанкаре имеет в виду человеческий род. - Прим. ред.
Глава II. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРЕПОДАВАНИЕ
1. Я должен говорить здесь об общих определениях в математических науках; по крайней
мере к этому меня обязывает название настоящей главы. Но мне невозможно будет
оставаться в рамках предмета в такой мере, в какой это требовалось бы правилом
единства действия; я не смогу трактовать вопроса, не затрагивая отчасти других
ближайших вопросов, и потому прошу простить мне уклонения вправо и влево, которые
встретятся в дальнейшем.
Что разумеют под хорошим определением? Для философа или для ученого это есть
определение, которое приложимо ко всем определяемым предметам и только к ним;
такое определение удовлетворяет правилам логики. Но при преподавании дело обстоит
иначе. Здесь хорошим определением будет то, которое понято учениками.
Чем объяснить, что многие умы отказываются понимать математику? Не парадоксально
ли это? В самом деле, вот наука, которая апеллирует только к основным принципам
логики, например к принципу противоречия, апеллирует к тому, что составляет, так
сказать, скелет нашего разумения, к тому, от чего нельзя отказаться, не отказываясь
вместе с тем от самого мышления, и все же встречаются люди, которые находят эту науку
темной! И этих людей большинство! Пусть бы они оказались неспособными изобретать -
это еще допустимо. Но они не понимают доказательств, которые им предлагают, они
остаются слепыми, когда им подносят свет, который для нас горит чистым и ярким
пламенем, - вот что чрезвычайно странно.
А между тем достаточно и небольшого опыта, доставляемого экзаменами, чтобы
убедиться в том, что эти слепые отнюдь не являются исключениями. Здесь имеется
проблема, которая не легко решается, но которая должна занимать всех, желающих
посвятить себя делу преподавания.
Что значит понимать? Имеет ли это слово для всех одно и то же значение? Понять
доказательство теоремы - значит ли это рассмотреть последовательно каждый из
силлогизмов, из коих составляется доказательство, и констатировать, что он правилен и
согласуется с ходом задачи? Точно так же понять определение - значит ли это только
признать, что смысл всех употребленных в нем терминов уже известен, и констатировать,
что определение не заключает в себе никакого противоречия?
"Да",- скажут одни, которые, констатировав отсутствие противоречия в определении,
говорят: "мы его поняли". "Нет",- скажет большинство. Почти все люди оказываются
более требовательными; они хотят не только знать, правильны ли все силлогизмы
доказательства, но еще и знать, почему силлогизмы связываются в данном, а не в другом
порядке. Пока им кажется, что эта связь рождена капризом, а не разумом в постоянном
сознании преследуемой цели, они думают, что не поняли доказательства.
Без сомнения, они сами не отдают себе отчета в том, чего они собственно требуют, и не
могут формулировать своего желания; но если они не находят удовлетворения, то они
смутно чувствуют, что чего-то им недостает. Что же тогда происходит? Вначале они еще
схватывают те очевидные вещи, которые представляются их взору; но, так как последние
связаны чрезвычайно тонкой нитью с предшествующими и последующими, то они не
оставляют никакого следа в их мозгу; они тотчас забываются. Освещенные на одно
мгновение, они сейчас же исчезают в сумраке вечной ночи. А когда эти люди следят за
дальнейшим развитием доказательства, для них исчезает и прежняя эфемерная ясность,
так как теоремы опираются одна на другую, а теоремы, которые им нужны, уже забыты.
Таким образом, эти люди становятся неспособными понимать математику.
Не всегда здесь виной преподаватель; зачастую ум людей, нуждающийся в руководящей
нити, слишком ленив для поисков ее. Но, чтобы помочь непонимающим, мы должны
сначала хорошо узнать то, что их останавливает.
Другие же спросят, для чего все это служит; они не поймут силлогизмов, если они не
нашли вокруг себя на практике или в природе основания для того или иного
математического понятия. Под всяким словом они хотят разглядеть чувственный образ;
необходимо, чтобы определение вызывало этот образ, чтобы на каждой стадии
доказательства они видели его превращения и эволюцию. Лишь при таком условии они
поймут и удержат в памяти доказательство. Такие люди часто заблуждаются
относительно самих себя; они не слушают рассуждений, а рассматривают фигуры, они
воображают, что поняли, тогда как они только видели.
2. Сколько различных тенденций! Нужно ли с ними бороться? Или нужно ими
воспользоваться? А если мы хотим с ними бороться, то какой из них должны мы
благоприятствовать? Нужно ли доказывать тем, которые довольствуются чистой логикой,
что они видят только одну сторону вещей? Или, напротив, нужно доказывать тем, которые
не удовлетворяются так легко, что то, чего они требуют, не является необходимостью?
Другими словами, должны ли мы принуждать молодых людей к тому, чтобы они
изменяли природу своего ума? Такая попытка была бы бесплодна. Мы не обладаем
философским камнем, который дал бы нам возможность превращать один в другой
вверенные нам металлы; все, что мы можем сделать, - это работать, приспосабливаясь к
их свойствам.
Многие дети неспособны стать математиками, тем не менее им необходимо преподавать
математику. Да и сами математики не все отлиты по одной и той же модели. Достаточно
прочитать их труды, чтобы заметить существование умов двух типов: логиков, как
Вейерштрасс, и интуитивистов, как Риман. Такая же разница наблюдается и среди
студентов. Одни любят разрабатывать задачи, как они выражаются, "путем анализа",
другие - "путем геометрии".
Было бы бесполезно пытаться изменить что-либо в этом отношении, да и, помимо того,
было ли бы это желательно?
Хорошо, что существуют логики и интуитивисты; кто рискнет утверждать, что он
предпочел бы, чтобы Вейерштрасс никогда не писал или чтобы Римана не было? Таким
образом, мы должны примириться с разнообразием умов или, еще лучше, мы должны ему
радоваться.
3. Так как слово "понимать" имеет несколько значений, то определения, наиболее
понятные для одних людей, не будут совпадать с определениями, которые подходят для
других. Мы имеем такие определения, которые стараются вызвать в нас образ, и такие,
которые лишь комбинируют пустые формы, доступные интеллекту, но только ему одному,
определения, которые по своей абстрактности лишены всякого материального
содержания.
Я не знаю, нужно ли приводить примеры. Однако мы приведем некоторые, и прежде
всего мы остановимся на определении дробей, которое даст нам крайний пример. В
начальных школах, чтобы определить дробь, разрезают яблоко или пирог; конечно,
разрезание происходит в уме, а не в действительности, ибо я не думаю, чтобы бюджет
начальной школы позволял такую расточительность. В высшей нормальной школе ил
...Поділитися у соцмережах
