Жанр: Мемуары
Паскаль
...нально вероятности выигрыша при различных
вариантах продолжения игры и фактически пользуется теоремами сложения и
умножения вероятностей, а также понятием математического ожидания. Его метод,
пишет Эмиль Пикар, удивительно прост: "Составляя уравнение с конечными
остатками, он изобретает один из двух аналитических методов подсчета
вероятностей. Другой метод, основанный на комбинаторной теории, был дан
одновременно Ферма. Такая любопытная переписка между двумя великими умами делает
нас свидетелями зарождения первых принципов исчисления вероятностей".
Комбинаторный метод Ферма, который в письме к Каркави от 9 августа 1654 года
выражал бесконечное восхищение талантом молодого Паскаля и считал его способным
довести до успешного конца любые начинания, известен из послания Блеза
знаменитому тулузцу, датированного 24 августа 1654 года. В нем, в частности,
приводится пример решения Ферма третьего варианта Паскалева разделения ставки,
когда первый игрок выиграл одну партию, а второй не выиграл ни одной. Тулузец
исходит из вероятности выигрыша всей игры: для ее окончания максимально
потребовалось бы еще четыре партии, и он рассматривает возможные комбинации (их
всего шестнадцать) результатов этих четырех партий, которые можно записать
следующим образом (выигранные первым игроком партии обозначаются знаком +,
выигранные вторым - знаком -):
Только в пяти последних исходах победителем оказывается второй игрок,
одиннадцать же первых благоприятны для выигрыша его соперника. Следовательно,
первый игрок должен получить 11/16 ставки, а второй - 5/16.
Полученный разными методами одинаковый результат заставляет Блеза в письме к
Ферма высказать свое удовольствие
по поводу того, что "истина одна и та же и в Париже и в Тулузе". Хотя
в процессе переписки выявились некоторые расхождения, они быстро устранились, и
27 октября 1654 года Паскаль отвечает своему корреспонденту: "Ваше последнее
письмо меня полностью удовлетворило. Я восхищаюсь вашим методом раздела ставки,
тем более что вполне его понимаю; оп целиком ваш, не имеет ничего общего с моим
и легко приводит к той же цели. Итак, наше взаимопонимание восстановлено".
Известный историк математики Цейтен пишет, что задача де Мере позволила Паскалю
и Ферма нащупать общие принципы подобного рода исследований. "Найденные дроби
11/16 и 5/16, - отмечает Цейтен, - величины, которые мы теперь называем
вероятностями выигрыша А или Б; это частное от деления числа случаев,
благоприятных для А или Б, на число всех возможных случаев. Таким образом, этим
понятием вероятности пользовались, по существу, уже в то время, хотя ему не дано
еще было четкого определения".
Более четкое и общее определение дал Гюйгенс, занявшийся вероятностными
проблемами под влиянием сообщений об исследованиях Ферма и Паскаля, который в
изданном в 1657 году сочинении "О расчетах в азартных играх" своеобразно (под
влиянием коммерческой терминологии) сформулировал и систематически использовал
понятие математического ожидания: "Если число случаев, в которых получается
сумма а, равно р и число случаев, в которых получается сумма b, равно q и все
случаи могут получиться одинаково легко, то стоимость моего ожидания равна
(pa+qb)/(p+q)".
Дальнейшее развитие новой отрасли математики связано с успехами естествознания и
статистики и с именами таких известных ученых, как Я. Бернулли, Лаплас, Пуассон,
Чебышев и другие. Следует, однако, заметить, что возможности этого развития и
философского углубления теории вероятностей содержались и в собственных, видимо,
не осуществленных планах Паскаля. Когда в конце 1654 года Блез направил
"знаменитейшей Парижской математической академии наук" послание с перечислением
своих работ, он указал среди них "совершенно новый трактат о случайных
комбинациях, которым подчинены азартные игры", где "колебания счастья и удачи
подчиняются рассуждениям, опирающимся на справедливость и ставящим себе целью,
чтобы каждый игрок неизменно получал то, что ему по праву точно причитается. Это
тем в большей мере должно определяться усилиями разума, чем в меньшей мере может
быть найдено из опыта. Ведь неопределенный исход явления теснее связан со
случайностью, чем с законами природы. Поэтому подобные вопросы оставались
нерешенными; теперь же то, что не поддавалось опыту, не может избегнуть власти
разума, и мы с тем большей уверенностью подчинили их искусству математики,
чтобы, овладев ими отчасти, смелее продвигаться вперед. Так математическая
строгость доказательств сочетается с неопределенностью случайного и тем
соединяет кажущиеся противоположности. От этой двойственности метод заимствует
свое наименование, дерзко присваивая себе по праву нелепое название "математика
случайного".
Однако "нелепость" и "дерзость" "математики случайного" в значительной мере
устранялись тем, что в теории вероятностей, зарождавшейся из азартных игр,
случай лишался своего абсолютного значения и подлинности (внезапности,
неожиданности, таинственности) и превращался в реальную возможность,
функционально зависимую от ожидания исполнения заранее принятых условий. Деньги,
поставленные игроками на кон, писал сам Паскаль, уже не принадлежат им; но,
теряя денежную собственность, игроки "приобретают право ожидания того, что
случай может им дать согласно заранее оговоренным условиям".
Предварительные "правила игры" поддаются абстрактному комбинаторному исчислению
и позволяют решать частные вероятностные задачи более общими методами. Так, у
Паскаля имеется общее решение о разделении ставки между двумя игроками на основе
изучения арифметического треугольника, названного впоследствии его именем.
"Трактат об арифметическом треугольнике" создан в период переписки с Ферма
(издан в 1665 году) и тесно связан с обобщением возникших в ней комбинаторных
проблем. Арифметический треугольник представляет собой числовую таблицу, верхняя
строчка и первый столбец которой образованы единицами, а каждая клетка следующей
строчки заполнена цифрой, получаемой от сложения чисел над данной клеткой и
слева от нее. Так же образуются числа нижеследующих строк (этот процесс можно
продолжать сколько угодно). Числа третьей строки назывались треугольными,
четвертой - пирамидальными и т. д. Числаарифметического треугольника являются
числами сочетаний, подсчитываемыми по формуле
В довольно похожей форме такая таблица еще раньше была известна в странах Азии.
В Европе она встречается в XVI веке у немецкого математика Штифеля и у
итальянского математика Тартальи (у последнего в виде четырехугольника, стороны
которого образуют последовательности фигурных чисел). Но это никак не повлияло
на самостоятельность Паскаля и на значительность его вклада в комбинаторику.
В своем трактате он излагает свойства и соотношения членов разностных рядов и
биноминальных коэффициентов (они расположены по диагоналям таблицы), описывает
двадцать основных следствий, вытекающих из непосредственного рассмотрения
арифметического треугольника, а в небольших приложениях к трактату разбирает
возможности использования этого треугольника для изучения числовых порядков и
сочетаний, для определения раздела ставок между игроками и степеней биномов.
Антиалгебраизм Паскаля, неприязнь к отвлеченным формулам, сказавшиеся уже в его
первых математических работах, обнаруживаются и в "Трактате...", где свойства
чисел хотя и выводятся в общем виде, но описательно, с конкретными
доказательными примерами, без алгебраических символов. Так, например, при
определении коэффициентов степеней бинома Блез не искал априорных формул для их
исчисления, а записывал их друг за дружкой, переходя от низших степеней к
высшим, что не позволило ему, по словам одного французского исследователя
научного творчества Паскаля, сделать открытие Ньютона: "Паскалю не хватило
одного росчерка пера для написания формулы, дающей коэффициент n-го порядка,
получаемого при возведении бинома в степень m: он не сделал его, позволив
Ньютону прославить свое имя этим вычислением".
В числе приложений к "Трактату об арифметическом треугольнике" имеется небольшая
работа под названием "О суммировании числовых степеней", написанная также в 1654
году и очень важная для дальнейшего течения мысли Блеза не только в
математическом отношении. В ней Паскаль дает метод подсчета степеней чисел
натурального ряда, а затем заключает: "Те, кто хотя бы в малой степени
разбирается в учении о неделимых, не преминут усмотреть, что можно извлечь из
предыдущих результатов для определения криволинейных площадей. Эти результаты
позволяют немедленно квадрировать параболы всех видов и бесконечно много других
кривых.
Если мы распространим на непрерывные величины те результаты, которые найдены для
чисел по методу, изложенному выше, мы сможем высказать следующие правила.
Правила, относящиеся к прогрессии натуральных чисел, начинающейся с единицы
Сумма некоторого числа линий относится к квадрату наибольшей линии, как 1 к 2.
Сумма квадратов тех же линий относится к кубу наибольшей, как 1 к 3.
Сумма их кубов относится к четвертой степени наибольшей, как 1 к 4.
Общее правило, относящееся к прогрессии натуральных чисел, начинающейся с
единицы
Сумма одинаковых степеней некоторого числа линий относится к непосредственно
следующей степени наибольшей из них, как единица к показателю этой степени. Я не
буду останавливаться на других случаях, так как здесь не место их изучать.
Достаточно того, что мною популярна сформулированы указанные выше правила.
Нетрудно найти и другие, опираясь на тот принцип, что непрерывная величина не
увеличивается от прибавления к ней любого числа величин низшего порядка.
Так, точки ничего не добавляют линиям, линии - поверхностям, поверхности -
телам. Или (чтобы перейти к числам, как и надлежит в арифметическом трактате)
первые степени ничего не дают по сравнению с квадратами, квадраты - по сравнению
с кубами и кубы - по сравнению с квадратами квадратов. Так что должно
пренебрегать, как нулями, количествами низшего порядка.
Я хотел прибавить эти несколько замечаний, знакомых тем, кто пользуется
неделимыми, чтобы выявить всегда вызывающую восхищение связь, которую
проникнутая единством природа устанавливает между предметами, по внешности
весьма далекими друг от друга. Такая связь явна в этом примере, в котором мы
видим, что вычисление размеров непрерывных величин связано с суммированием
степеней чисел".
Это заключение представляет собой одну из самых мастерских страниц
математической литературы XVII века, по ясности и выразительности изложения его
можно сравнить с физическими трактатами Паскаля. Блез практически использует
слово "сумма" в том значении, в каком в современной математике употребляется
понятие интеграла; кроме того, сформулированное Блезом правило об отбрасывании
любого числа величин низшего порядка по сравнению с величинами более высокого
порядка чрезвычайно плодотворно при анализе бесконечно малых, что позволяет
считать Паскаля одним из предшественников теории пределов и анализа бесконечно
малых, лежащих в основе дифференциального и интегрального исчисления. Наконец,
чисто математическое различение рядов непрерывных величин, будучи перенесенным в
область философии, оказывается существенно важным для понимания описываемой в
"Мыслях" иерархии порядков, образующих структуру бытия: порядка материи, порядка
духа, порядка любви и милосердия...
1654 год чрезвычайно плодотворен для тридцатилетнего Паскаля в научном
отношении. В "Послании Парижской академии" он приводит обширный аналитический
перечень своих напечатанных и неопубликованных математических сочинений: "Эти
работы, весьма знаменитые ученые, я преподношу вам или вам их возвращаю; в самом
деле, я считаю как бы вашими те из них, которые не были бы моими, если бы я не
сформировался среди вас". Паскаль, едва сам подозревая о том, "возвращал" свои
труды не только в почтенно-метафорическом смысле. 1654 год стал для него и годом
решающих перемен, отхода от научных проблем сформировавшей его среды (он
отказывается от намерения редактировать перечисленные в "Послании..." работы и
публиковать уже готовые к печати), критического переосмысления собственного
образа жизни и образа жизни его светского окружения.
Результаты этого переосмысления четко видны в "Мыслях".
11
В "Мыслях" имеется ряд размышлений о нищете человека, в которых есть внутренняя
система тесно связанных друг с другом звеньев. Эти звенья образуют неразмыкаемый
круг иллюзорного существования светской жизни, сокрывающей истинное бытие:
поверхность - видимость - счастье - развлечение - самолюбие. Если человек
самолюбив, то в его жизни, несомненно, присутствуют и все остальные атрибуты
этой системы. Если он стремится к счастью, то неизбежно самолюбив, ориентируется
на видимость, поверхность и т. д. И с какого бы звена ни начать, тотчас же
выстраивается вся остальная цепочка. Однако счастье в этой цепочке играет
ведущую роль.
Жажда счастья - это изначально присущий несовершенной человеческой воле импульс.
"Все люди, без исключения, ищут счастья; какие бы различные способы они ни
употребляли, все стремятся к этой цели. А что один идет на войну, другой не
идет, - это зависит от одного и того же стремления, которое присуще им обоим, но
сопровождается различными взглядами на счастье. Воля никогда не делает ни
малейшего шага иначе, как по направлению к этому предмету".
А что такое само счастье? С-часть-е - это привязанность к части,доставляющей
наибольшее удовольствие и заполняющей все способности человека (французский язык
выражает временной оттенок части - счастье буквально означает хороший час), это
стремление к покою в обладании определенной частью. Даже для философов,
отвергавших внешнее благосостояние, замечает Паскаль, существовало 288 различных
мнений о высшем благе. Путь к обладанию той или иной частью проходил в
наблюдаемом Блезом светском обществе через ориентацию на видимость и кажимость,
через стремление заполнить и украсить поверхность человеческого существования,
пригнать ее к различным, сферам общения и выставить напоказ:
"Мы желаем жить воображаемой жизнью в мысли других и из-за этого силимся
выставлять себя напоказ. Мы непрерывно стараемся украсить и сохранить это
воображаемое существо и пренебрегаем подлинным существом..."
"Жизнь человеческая есть не что иное, как постоянная иллюзия; люди только и
делают, что обманывают друг друга и льстят друг другу..."
"Люди склонны маскировать и переряжать природу. Нет больше короля, папы,
епископов: вместо них является "августейший монарх" и т. д.; нет Парижа, а есть
"столица королевства"..."
"Мы не что иное, как ложь, двоедушие, противоречие, мы прячемся от самих себя,
переряжаемся сами для себя..."
Паскаль обнаруживает главенство поверхности, внешности, видимости в поступках
людей. Глубокой и содержательной жизни человек предпочитает репутацию, мираж, не
имеющий никакой реальности. И "порядочный человек" умело пользуется этим
свойством человеческого поведения, искусно играя полыми шарами мнений и приятных
ощущений. Подмеченные особенности салонно-светской жизни Паскаль проецирует на
более широкий круг социальных явлений своего времени. Основываясь на наблюдениях
за служебным окружением отца и лечившими Блеза врачами, Паскаль отмечает, что
французские судьи хорошо поняли тайну величественной обстановки - красных мантий
и горностаевых мехов, в которые они закутываются, как пушистые коты,
внушительных палат, где они судят; врачам же совершенно необходимы сутаны, а
докторам наук - четырехугольные шапочки и просторные мантии, без чего "они
никогда не обманули бы публики, которая не может устоять против этого столь
подлинного доказательства... Одни только военные люди не переряжены подобным
образом, потому что их действительное назначение основано на силе, а не на
притворстве".
Итак, в украшенной поверхности, в иллюзии есть своя мощь, основывающаяся на тех
особенностях воображения, которые пустяк превращают в гору; трудно увидеть
просто человека в короле и "в султане, окруженном в своем серале сорока тысячами
янычар", нелегко разглядеть под элегантным нарядом потрепанное тело, а под
блестящим корсетом разговора - пустые мысли и дряблую душу: "наш разум вечно
бывает обманут непостоянством внешних признаков". Имеется и своя подспудная
цель, акцентированная в рассуждениях кавалера де Мере, - стремление к счастью,
которое неизбежно возникает, когда человеческое внимание целиком
сосредоточивается на поверхности своего существования, к покою в обладании тем
или иным фрагментом бытия.
Но поверхностный покой, основанный на обладании частью, которая в наблюдаемой
Паскалем жизни светского общества- заступала место целого, закрывала и
противилась его проявлению, является таковым лишь по видимости, ибо часть
непостоянна, тленна и преходяща, а фрагментарное бытие вне целого есть вечно
распаляемая и в конце концов рассеивающаяся иллюзия: покой беспрестанно
омрачается волнениями, страданиями и, главным образом, неизбежной смертью. Так
счастье, центральным символом которого является покой, оказывается изнутри
наиболее беспокойным состоянием.
Смерть, не видимая на поверхности, но таящаяся в глубине каждого явления, -
самая веская причина невозможности подлинного счастья. Ведь "последний акт -
кровавый, как бы ни была прекрасна комедия во всем остальном. В конце концов
бросают землю на голову, и это навсегда". И как бы мы ни храбрились, говорит
Паскаль, - это конец, ожидающий и самую прекрасную жизнь в мире. В таком случае
было бы естественнее задуматься о своем истинном положении, об истоках и цели
своего существования, нежели беспокоиться по поводу пустых и случайных вопросов.
Но, продолжает свою мысль Паскаль, людей с детства обременяют заботами о чести и
счастье, и, если у них остается время для отдыха, им советуют употребить его на
развлечения, на игру, советуют постоянно и всецело занимать самих себя. Стоит у
них отнять все это, и они увидят самих себя, задумаются над тем, что они такое,
откуда пришли, куда идут. Но отдавать свои занятия и видеть истинное положение
человек не желает. Паскаль, конечно же, имеет в виду светских друзей, когда
говорит, что некоторые люди пребывают в сверхъестественном ослеплении и живут,
не затрудняя себя поисками ответа на такие вопросы, как что такое человек или
бессмертие души, играют вместо этого в пикет и даже хвастаются подобным
поведением. Но "они совершенно иначе относятся ко всем другим вещам, они боятся
сущих пустяков, они их стараются предвидеть, они их чувствуют; и вот тот самый
человек, который проводит дни и ночи в бешенстве и отчаянии из-за потери какойнибудь
должности или воображаемого оскорбления чести, зная, что он все потеряет
со смертью, не чувствует по этому поводу никакого беспокойства, никакого
волнения. Чудовищное явление - видеть одновременно в одном сердце
чувствительность к ничтожнейшим вещам и странную нечувствительность к самым
важным. Это непостижимое усыпление, которое указывает на всемогущую силу,
производящую его".
Основной порок нравственного эпикуреизма и гедонической устремленности человека
к обладанию какой-либо частью окружающей его жизни Паскаль видит в безразличии к
гибели своего бытия и забвении самых главных вопросов своего существования. И
счастье играет здесь вполне определенную роль: хотя оно и несоразмерно с
основными проблемами бытия, тем не менее имеет запас силы, отвлекающей и
удаляющей от них. Погоня за счастьем есть стремительный бег от смерти,
превращающийся в конечном счете в топтание на месте. "Порядочный человек"
стремится забыть о смерти, построить свою жизнь так, будто бы смерти вовсе не
существует, либо она где-то очень далеко или слишком близко (бой, дуэль), так
что сознание не успеет отяготиться болью и страданием. Ведь "легче смерть
перенести, не думая о ней, чем мысль о смерти, даже не угрожающей нам". Я хочу,
говорит Паскаль, воспроизводя мысль светского вольнодумца, неожиданно и без
страха испытать на себе такое важное событие, как смерть, и подойти к ней
потихоньку, находясь в неизвестности относительно состояния, которое ожидает
меня в вечности... "Люди, не имея возможности избавиться от смерти, нищеты и
неведения, решились, чтобы сделаться счастливыми, вовсе об этом не думать".
По мнению Паскаля, основной движущей силой иллюзорно счастливой поверхностной
жизни является развлечение, которое своеобразно усиливает видимость и тем
плотнее прикрывает глубину главных вопросов. Человек, размышляет Паскаль, не
может оставаться в покое у себя дома, ибо в покое ему пришлось бы задуматься над
неизбежными несчастиями, над своим жалким положением, над смертью, мысль о
которой невыносима. "Поэтому ищут не тихого и кроткого занятия, которое дает
возможность думать о нашем несчастном положении, а той сутолоки, которая
отвращает от мыслей о нем и развлекает нас". Сознание постоянных горестей питает
инстинкт, заставляющий человека искать развлечений и занятий вне себя. И важен
не результат этих развлечений и занятий, а самый процесс, отвлекающий от
размышлений о себе. Так охотник ищет охоты, а не добычи, карьерист - скорее не
должности, а волнений и тревог, которые избавили бы от вида окружающих
несчастий, игрок - не только выигрыша, но и забавы. Однако и должность, и
добыча, и выигрыш совершенно необходимы человеку. "Нужно, чтобы он разгорался,
чтобы обманывал самого себя, воображая, что он был бы счастлив, выиграв то, чего
не захотел бы взять, если бы ему давали с условием не играть..." Так возникает
непрекращающееся движение фиктивного самоудовлетворения, ибо к покою стремятся
через движение, через волнения, через борьбу с препятствиями. Но устраните
препятствия - и "подлинный покой становится невыносимым".
Ведь "что значит быть суперинтендантом, канцлером, первым президентом? Это
значит иметь в своем распоряжении большое число людей, которые собираются со
всех сторон, чтобы не оставить тебе из целого дня ни одного часа, в который ты
мог бы поразмыслить о самом себе. И когда эти важные лица впадают в немилость,
когда их отсылают в деревенские дома, они скоро делаются жалкими и беспомощными,
потому что им никто уже не мешает размышлять о себе". И даже его королевское
величество, стоящее на вершине социальной пирамиды, можно уподобить человеку,
который решил, стремясь избавиться от вида тягостных бед и забот, сосредоточить
все свое внимание на том, чтобы хорошо плясать. Оставьте короля, говорит
Паскаль, без чувственных наслаждений, без общества, без танцев и игры в мяч, без
охоты, и вы увидите, что "король без развлечений полон несчастий". И даже
созерцание собственного величия не утешит его в отсутствие этих забав. Потому-то
и толпятся вокруг короля люди, заботящиеся, чтобы у него за делами непременно
следовали развлечения.
"Единственная вещь, утешающая нас в несчастиях, - это развлечение, а между тем
оно является самым большим из наших несчастий. Ибо оно, главным образом, мешает
нам размышлять о себе и незаметно губит. Без него мы очутились бы среди тоски, а
эта тоска принуждала бы нас искать более действенного средства выйти из нее. Но
развлечение забавляет нас и заставляет совершенно незаметно приближаться к
смерти".
Развлечение понимается Паскалем не просто как свойство эпикурейски счастливого
стиля жизни, не просто как атрибут "эстетики поверхности", а как псевдоактивное
и мистифицирующее средство, мешающее человеку видеть свое подлинное положение,
уменьшающее напряженность между нищетой и величием его существования.
Развлечение было отличительным свойством гедонистического индивидуализма нового
времени. Замыкание только на себе, более того, на поверхности своего
существования неизбежно вызывает у человека беспокойство, томление, тоску,
которые в конечном счете представляют собой не что иное, как бесцельное и
безбудущное ожидание. Развлечение необходимо человеку тогда и только тогда,
когда он обнаруживает отсутствие твердой опоры в автономном и самозамкнутом
мире. "Нет ничего невыносимее для человека, как быть в полном покое, без
страсти, без дела, без развлечения, без употребления своих сил. Он почувствует
тогда свое ничтожество, свою беспомощность, свою зависимость, бессилие, пустоту.
И тотчас же он извлечет из глубины своей души скуку, мрачность, печаль, грусть,
досаду, отчаяние".
Пессимизму скучающего и развлекающегося человека, как известно, предстоит долгая
жизнь в последующей европейской, да и не только европейской истории. Паскаль
сумел, наблюдая своих светских знакомых (ярким типом в этом отношении был
Миттон), определить еще в зародыше существенные черты явления, обусловленного
самоизоляцией человека и его ориентацией на поверхностно-эпикурейское
существование, раскрыть все грани этого понятия: забава не только закрывает
истину и отвлекает человека от нее, но и расточает его подлинное существо,
вынуждая растрачивать силы на построение не жизни, а ее иллюзорных декораций,
чему в немалой степени способствуют некоторые особенности человеческого
сознания.
Во внутреннем мире каждого человека, считает Паскаль, существуют два Я:
центростремительное, любящее самого себя в бытии, и центробежное, видящее бытие
в себе, не являющееся Я в строгом смысле слова и прямо противоположное первому.
Второе Я заключает глубину души, на которой отложились следы общечеловеческой
судьбы и которая роднит людей друг с другом через эту судьбу. Самолюбивое же Я -
это своеобразная часть, поверхность человеческой психики. И самолюбие направлено
на видимость, на то, чем Я отличается от другого. Мы холим свои любимые мозоли
талантов и достижений, гордимся титулами и наградами, и Я-писатель, Я-ученый, Якороль
и т. д. заслоняют собой Я-человека. Люди стремятся, отмечает. Паскаль,
написать стихи, построить дом, сделаться королем, не размышляя о том, что значит
быть королем, что значит быть человеком. И опять-таки особное, поверхностное,
самолюбивое Я не только закрывает глубинное Я, связанное с корнями бытия и чер
...Закладка в соц.сетях
