Жанр: Энциклопедия
Сто великих научных открытий
...шет Никифоровский, - и указывал, что обычно считают их такими, которые попарно
в сумме и произведении дают действительные числа Следовательно, если
воображаемых корней будет 2 т, то это даст т действительных квадратичных
множителей в представлении многочлена. Эйлер пишет. "Поэтому говорят, что каждое
уравнение, которое нельзя разложить на действительные простые множители, имеет
всегда действительные множители второй степени. Однако никто, насколько я знаю,
еще не доказал достаточно строго истинность этого мнения; я постараюсь поэтому
дать ему доказательство, которое охватывает все без исключения случаи".
Такой же концепции придерживались Лагранж, Лаплас и некоторые другие
последователи Эйлера. Не согласен с ней был Гаусс.
Эйлер сформулировал три теоремы, вытекающие из свойств непрерывных функций.
/. Уравнение нечетной степени имеет по меньшей мере один действительный корень.
Если таких корней больше одного, то число их нечетно.
2. Уравнение четной степени либо имеет четное число действительных корней, либо
не имеет их совсем.
3. Уравнение четной степени, у которого свободный член отрицательный, имеет по
меньшей мере два действительных корня разных знаков.
Вслед за этим Эйлер доказал теоремы о разложимости на линейные и квадратичные
действительные множители многочленов с действительными коэффициентами...
При доказательстве основной теоремы Эйлер установил два свойства алгебраических
уравнений: 1) рациональная функция корней уравнения, принимающая при всех
возможных перестановках корней А различных значений, удовлетворяет уравнению
степени А, коэффициенты которого выражаются рационально через коэффициенты
данного уравнения; 2) если рациональная функция корней уравнения инвариантна (не
меняется) относительно перестановок корней, то она рационально выражается через
коэффициенты исходного уравнения".
238
100 ВЕЛИКИХ НАУЧНЫХ ОТКРЫТИЙ
П.С. Лаплас в лекциях по математике 1795 года, вслед за Эйлером и Лагранжем,
допускает разложение многочлена на множители. При этом Лаплас доказывает, что
они будут действительными.
Таким образом, и Эйлер, и Лагранж, и Лаплас строили доказательство основной
теоремы алгебры на предположении существования поля разложения многочлена на
множители.
Особая роль в доказательствах основной теоремы принадлежит "королю математиков"
Гауссу.
Карл Фридрих Гаусс родился (1777-1855) в Брауншвейге. Он унаследовал от родных
отца крепкое здоровье, а от родных матери яркий интеллект. В семь лет Карл
Фридрих поступил в Екатерининскую народную школу. В 1788 году Гаусс переходит в
гимназию. Впрочем, в ней не учат математике. Здесь изучают классические языки.
Гаусс с удовольствием занимается языками и делает такие успехи, что даже не
знает, кем он хочет стать - математиком или филологом.
О Гауссе узнают при дворе. В 1791 году его представляют Карлу Вильгельму
Фердинанду - герцогу Брауншвейгскому. Мальчик бывает во дворце и развлекает
придворных искусством счета. Благодаря покровительству герцога Гаусс смог в
октябре 1795 года поступить в Геттин-генский университет. Первое время он
слушает лекции по филологии и почти не посещает лекций по математике. Но это не
означает, что он не занимается математикой.
В 1795 году Гаусса охватывает страстный интерес к целым числам. Осенью того же
года Гаусс переезжает в Геттинген и прямо-таки проглатывает впервые попавшуюся в
его руки литературу: работы Эйлера и Лагранжа.
"30 марта 1796 года наступает для него день творческого крещения.., - пишет Ф.
Клейн, - Гаусс уже занимался с некоторого времени группировкой корней из единицы
на основании своей теории "первообразных" корней. И вот однажды утром,
проснувшись, он внезапно ясно и отчетливо осознал, что из его теории вытекает
построение семнадцатиугольника... Это событие явилось поворотным пунктом жизни
Гаусса. Он принимает решение посвятить себя не филологии, а исключительно
математике".
Работа Гаусса надолго становится недосягаемым образцом математического открытия.
Один из создателей неевклидовой геометрии Янош Бойяи называл его "самым
блестящим открытием нашего времени или даже всех времен". Только трудно было это
открытие постигнуть! Благодаря письмам на родину великого норвежского математика
Абеля, доказавшего неразрешимость в радикалах уравнения пятой степени, мы знаем
о трудном пути, который он прошел, изучая теорию Гаусса. В 1825 году Абель пишет
из Германии: "Если даже Гаусс - величайший гений, он, очевидно, не стремился,
чтобы все это сразу поняли..." Работа Гаусса вдохновляет Абеля на построение
теории, в которой "столько замечательных теорем, что просто не верится".
Несомненно влияние Гаусса и на Галуа.
МОГУЩЕСТВЕННАЯ МАТЕМАТИКА
Сам Гаусс сохранил трогательную любовь к своему первому открытию на всю жизнь.
30 марта 1796 года, в день, когда был построен правильный семнад-цатиугольник,
начинается дневник Гаусса - летопись его замечательных открытий. Следующая
запись в дневнике появилась уже 8 апреля. В ней сообщалось о доказательстве
теоремы квадратичного закона взаимности, которую он назвал "золотой". Частные
случаи этого утверждения доказали Ферма, Эйлер, Лагранж. Эйлер сформулировал
общую гипотезу, неполное доказательство которой дал Лежандр. 8 апреля Гаусс
нашел полное доказательство гипотезы Эйлера. Впрочем, Гаусс еще не знал о
работах своих великих предшественников. Весь нелегкий путь к "золотой теореме"
он прошел самостоятельно!
Два великих открытия Гаусс сделал на протяжении всего 10 дней, за месяц до того,
как ему исполнилось 19 лет! Одна из самых удивительных сторон "феномена Гаусса"
заключается в том, что он в своих первых работах практически не опирался на
достижения предшественников, переоткрыв за короткий срок то, что было сделано в
теории чисел за полтора века трудами крупнейших математиков.
В 1801 году вышли знаменитые "Арифметические исследования" Гаусса. Эта огромная
книга (более 500 страниц крупного формата) содержит основные результаты Гаусса.
"Арифметические исследования" оказали огромное влияние на дальнейшее развитие
теории чисел и алгебры. Законы взаимности до сих пор занимают одно из
центральных мест в алгебраической теории чисел.
В Брауншвейге Гаусс не имел возможности знакомиться с литературой, необходимой
для работы над "Арифметическими исследованиями". Поэтому он часто ездил в
соседний Гельмштадт, где была хорошая библиотека. Здесь в 1798 году Гаусс
подготовил диссертацию, посвященную доказательству основной теоремы алгебры.
Гаусс оставил после себя сразу четыре доказательства основной теоремы алгебры.
Первому доказательству он посвятил выпущенную в 1799 году докторскую диссертацию
под названием "Новое доказательство теоремы о том, что всякая целая рациональная
алгебраическая функция одного непременного может быть разложена на
действительные множители первой и второй степени".
Гаусс не преминул обратить внимания на пробелы у Эйлера, а главное, подверг
критике саму постановку вопроса, когда заранее предполагалось существование
корней уравнений.
Первое доказательство Гаусса, как и Д'Аламбера, было аналитическим. Во втором
доказательстве, выполненном им в 1815 году, знаменитый математик опять вернулся
к критике доказательства основной теоремы алгебры при помощи рассуждения, когда
заранее предполагается существование корней уравнения.
Гаусс так пояснил во вводном параграфе необходимость нового доказательства:
"Хотя доказательство о разложении целой рациональ240
100 ВЕЛИКИХ НАУЧНЫХ ОТКРЫТИЙ
ной функции на множители, которое я дал в мемуаре, опубликованном 16 лет тому
назад, не оставляет желать лучшего в отношении строгости и простоты, надо
надеяться, что математики не будут считать нежелательным, что я вновь
возвращаюсь к этому чрезвычайно важному вопросу и предпринимаю построение
второго не менее строгого доказательства, исходя из совершенно иных принципов. А
именно, это первое доказательство зависело частично от геометрических
рассмотрений, тогда как то, которое я здесь начинаю объяснять, покоится на чисто
аналитических принципах". Надо заметить, то, что Гаусс называет аналитическим
методом, сегодня именуется алгебраическим.
Для доказательства Гаусс использовал построения поля разложения многочлена.
Прошло более шестьдесяти лет, когда и Л Кронекер усовершенствовал и развил метод
Гаусса для построения поля разложения любого многочлена. Впоследствии Гаусс дал
еще два доказательства основной теоремы алгебры. Четвертое и последнее относится
к 1848 году.
Главный итог доказательств основной теоремы алгебры Эйлером, Лагранжем и
Гауссом, считает И.Г. Башмакова, было то, что "алгебраические доказательства
основной теоремы алгебры ценны именно тем, что для их проведения были развиты
новые глубокие методы самой алгебры и были испробованы силы уже созданных
методов и приемов".
ТЕОРИЯ ГРУПП
Эварист Галуа
Группами перестановок корней занимались ранее других Лагранж и Гаусс. Но
бесспорна заслуга того, кто сформулировал существенные свойства понятий,
применил их к решению новых и трудных задач. Это сделал французский математик
Галуа для понятия группы. Только после его работ оно стало предметом изучения
математиков.
Эварист Галуа (1811-1832) родился в городе Бур-ля-Рен. В 1823 году родители
отправили Эвариста учиться в Королевский коллеж в Париже. Здесь он увлекся
математикой и стал самостоятельно изучать сочинения Лежандра, Эйлера, Лаг-ранжа,
Гаусса
Идеи Лагранжа целиком овладевают Галуа. Ему, как когда-то Абелю, кажется, что он
нашел решение уравнения пятой степени. Он предпринимает безуспешную попытку
поступить в Политехническую школу, но знаний работ Лежандра и Лагранжа оказалось
недостаточно, и Галуа возвращается в коллеж.
Здесь ему впервые улыбается счастье - он встречает учителя, который смог оценить
его гениальность. Ришар умел подниматься выше официальных программ, он был в
курсе успехов наук и стремился расширить кругозор своих учеников. Отзывы Ришара
о Эваристе просты: "Он работает лишь в высших областях математики".
И действительно, уже в семнадцать лет Галуа получает первые научные результаты.
В 1829 году была опубликована его заметка "Доказательство одной теоремы о
периодических непрерывных дробях". Тогда же Галуа представил в Парижскую
академию наук другую работу. Она затерялась у Коши.
Галуа пытается вторично поступить в Политехническую школу, и вновь неудача. К
этому вскоре добавилось событие, потрясшее юношу: затравленный политическими
противниками, его отец покончил с собой. Обрушившиеся на Эвариста несчастья
неизбежно повлияли на него: он стал нервным и вспыльчивым.
В 1829 году Галуа поступил в Нормальную школу. В ней готовились кандидаты на
звание преподавателя. Здесь Эварист выполнил исследование по теории
алгебраических уравнений и в 1830 году представил работу на "конкурс Парижской
академии наук Его судьба была в руках бессменного секретаря Академии - Фурье.
Фурье начинает читать рукопись, но вскоре умирает. Вторая рукопись, как и
первая, исчезает.
100 ВЕЛИКИХ НАУЧНЫХ ОТКРЫТИЙ
В жизни Галуа наступило время, заполненное важными событиями. Он примкнул к
республиканцам, вступил в "Общество друзей народа" и записался в артиллерию
Национальной гвардии. За выступление против руководства его исключили из
Нормальной школы.
14 июля 1831 года, в ознаменование очередной годовщины взятия Бастилии,
состоялась манифестация республиканцев. Полиция арестовала многих манифестантов,
среди них был и Галуа. Суд над Галуа состоялся 23 октября 1831 года. Его осудили
на 9 месяцев заключения. Галуа продолжал свои исследования и в тюрьме.
Утром 30 мая 1832 года на дуэли в местечке Жантийи Галуа был смертельно ранен
пулей в живот. Через день он скончался.
Математические работы Галуа, по крайней мере, те, что сохранились, составляют
шестьдесят небольших страниц. Никогда еще труды столь малого объема не
доставляли автору такой широкой известности.
В 1832 году Галуа, сидя в тюрьме, составляет программу, которую опубликовали
лишь спустя семьдесят лет после его смерти. Но и в начале двадцатого века она не
вызвала серьезного интереса и скоро была забыта. Только математики нового
времени, продолжившие работу многих поколений ученых, осуществили, наконец,
мечту Галуа.
"Я умоляю моих судей по крайней мере прочесть эти несколько страниц", - так
начал Галуа свой знаменитый мемуар. Однако идеи Галуа были настолько глубоки и
всеобъемлющи, что в то время их действительно трудно было оценить какому бы то
ни было ученому.
"...Итак, я полагаю, что упрощения, получаемые за счет усовершенствования
вычислений (при этом, конечно, имеются в виду упрощения принципиальные, а не
технические), вовсе не безграничны. Настанет момент, когда математики смогут
настолько четко предвидеть алгебраические преобразования, что трата времени и
бумаги на их аккуратное проведение перестанет окупаться. Я не утверждаю, что
анализ не сможет достигнуть чего-нибудь нового и помимо такого предвидения, но
думаю, что без него в один прекрасный день все средства окажутся тщетными.
Подчинить вычисления своей воле, сгруппировать математические операции,
научиться их классифицировать по степени трудности, а не по внешним признакам, -
вот задачи математиков будущего так, как я их понимаю, вот путь, по которому я
хочу пойти.
Пусть только никто не смешивает проявленную мной горячность со стремлением
некоторых математиков вообще избегнуть каких бы то ни было вычислений. Вместо
алгебраических формул они используют длинные рассуждения и к громоздкости
математических преобразований добавляют громоздкость словесного описания этих
преобразований, пользуясь языком, не приспособленным для выполнения таких задач.
Эти математики отстали на сто лет.
Здесь не происходит ничего подобного. Здесь я занимаюсь анализом анализа. При
этом самые сложные из известных сейчас преобразований
МОГУЩЕСТВЕННАЯ МАТЕМАТИКА
(эллиптические функции) рассматриваются всего лишь как частные случаи, весьма
полезные и даже необходимые, но все же не общие, так что отказ от дальнейших
более широких исследований был бы роковой ошибкой. Придет время, и
преобразования, о которых идет речь в намеченном здесь высшем анализе, будут
действительно производиться и будут классифицироваться по степени трудности, а
не по виду возникающих здесь функций".
Здесь надо обязательно обратить внимание на слова "сгруппировать математические
операции". Галуа, несомненно, подразумевает под этим теорию групп.
В первую очередь Галуа интересовали не отдельные математические задачи, а общие
идеи, определяющие всю цепь соображений и направляющие логический ход мыслей.
Его доказательства основываются на глубокой теории, позволяющей объединить все
достигнутые к тому времени результаты и определить развитие науки надолго
вперед. Через несколько десятков лет после смерти Галуа немецкий математик Давид
Гильберт назвал эту теорию "установлением определенного остова понятий". Но
какое бы название за ней не укрепилось, очевидно, что она охватывает очень
большую область знаний.
"В математике, как в любой другой науке, - писал Галуа, - есть вопросы,
требующие решения именно в данный момент. Это те насущные проблемы, которые
захватывают умы передовых мыслителей независимо от их собственной воли и
сознания".
Одна из проблем, над которой работал Эварист Галуа, - решение алгебраических
уравнений. Что будет, если рассматривать лишь уравнения с числовыми
коэффициентами? Ведь может же случиться, что хотя общей формулы для решения
таких уравнений нет, корни каждого отдельного уравнения можно выразить в
радикалах. А если это не так? Тогда должен быть какой-то признак, позволяющий
определить, решается данное уравнение в радикалах или нет? Что же это за
признак?
Первое из открытий Галуа состояло в том, что он уменьшил степень
неопределенности их значений, т. е. установил некоторые из "свойств" этих
корней. Второе открытие связано с методом, использованным Галуа для получения
этого результата. Вместо того чтобы изучать само уравнение, Галуа изучал его
"группу", или, образно говоря, его "семью".
"Группа, - пишет А. Дальма, - это совокупность предметов, имеющих определенные
общие свойства. Пусть, например, в качестве таких предметов взяты действительные
числа. Общее свойство группы действительных чисел состоит в том, что при
умножении любых двух элементов этой группы мы получаем также действительное
число. Вместо действительных чисел в качестве "предметов" могут фигурировать
изучаемые в геометрии движения на плоскости; в таком случае свойство группы
заключается в том, что сумма любых двух движений дает снова движение. Переходя
от простых примеров к более сложным, можно в качестве "предметов" выбрать
некоторые операции над предметами. В таком
100 ВЕЛИКИХ НАУЧНЫХ ОТКРЫТИЙ
случае основным свойством группы будет то, что композиция любых двух операций
также является операцией. Именно этот случай и изучал Галуа. Рассматривая
уравнение, которое требовалось решить, он связывал с ним некоторую группу
операций (к сожалению, мы не имеем возможности уточнить здесь, как это делается)
и доказывал, что свойства уравнения отражаются на особенностях данной группы.
Поскольку различные уравнения могут иметь одну и ту же группу, достаточно вместо
этих уравнений рассмотреть соответствующую им группу. Это открытие ознаменовало
начало современного этапа развития математики.
Из каких бы "предметов" ни состояла группа: из чисел, движений или операций, -
все они могут рассматриваться как абстрактные элементы, не обладающие никакими
специфическими признаками. Для того чтобы определить группу, надо только
сформулировать общие правила, которые должны выполняться для того, чтобы данную
совокупность "предметов" можно было назвать группой. В настоящее время
математики называют такие правила групповыми аксиомами, теория групп состоит в
перечислении всех логических следствий из этих аксиом. При этом последовательно
обнаруживаются все новые и новые свойства; доказывая их, математик все более и
более углубляет теорию. Существенно, что ни сами предметы, ни операции над ними
никак не конкретизируются. Если после этого при изучении какой-нибудь частной
задачи приходится рассмотреть некоторые специальные математические или
физические объекты, образующие группу, то, исходя из общей теории, можно
предвидеть их свойства. Теория групп, таким образом, дает ощутимую экономию в
средствах; кроме того, она открывает новые возможности применения математики в
исследовательской работе".
Введение понятия группы избавило математиков от обременительной обязанности
рассматривать множество различных теорий. Оказалось, что нужно лишь выделить
"основные черты" той или иной теории, и так как, по сути дела, все они
совершенно аналогичны, то достаточно обозначить их одним и тем же словом, и
сразу становится ясно, что бессмысленно изучать их по отдельности.
Галуа стремится внести в разросшийся математический аппарат новое единство.
Теория групп - это, прежде всего, наведение порядка в математическом языке.
Теория групп, начиная с конца XIX века, оказала огромное влияние на развитие
математического анализа, геометрии, механики и, наконец, физики. Оно
впоследствии проникло в другие области математики - появились группы Ли в теории
дифференциальных уравнений, группы Клейна в геометрии. Возникли также группы
Галилея в механике и группы Лоренца в теории относительности.
Н. И. Лобачевский
НЕЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ
По определению Евклида параллельные линии - прямые, лежащие в одной плоскости и
никогда не встречающиеся, как бы далеко мы их ни продолжали.
Но уже древнейшие комментаторы Евклида Посидоний (II век до нашей эры), Геминус
(I век до нашей эры), Птолемей (II век нашей эры) - не считали пятый постулатум
Евклида имеющим ту же очевидность, как другие по-стулатумы и аксиомы Евклида, и
пытались или вывести его, как следствие других положений, или заменить
определение параллельных, данное Евклидом, другим определением.
Во второй половине XVII столетия Лейбниц также критически относился к основным
положениям Евклида. Как известно, он хотел также построить чисто геометрической
анализ, который непосредственно выражал бы свойства положения, подобно тому как
алгебра выражает величину.
Но только в первой половине XVIII века приходит мысль применить к вопросу о
параллельных линиях и систематически провести в теории параллельных линий тот
метод доказательства от противного, которым так часто пользовались греческие
математики.
Эта гениальная идея принадлежала Саккери. В сочинении, появившемся в год его
смерти "Евклид, избавленный от всякого пятна", Саккери берет исходным пунктом
четырехугольник, которого две противоположные стороны, перпендикулярные к
основанию, равны между собой. В таком четырехугольнике углы, образуемые равными
сторонами с стороною, противоположною основанию, равны, и доказательство этого
свойства четырехугольника не зависит от постулатума Евклида. Если они прямые, то
постулатум Евклида доказан, так как в этом случае сумма углов треугольника равна
двум прямым. Но Саккери (и в этом состоит его оригинальная гениальная мысль)
делает и две другие гипотезы - гипотезу острого и гипотезу тупого угла, выводит
из этих гипотез вытекающие следствия и пытается доказать невозможность этих
следствий, т.е. допустимость только одной гипотезы прямого угла. Ему легко
удается доказать, что гипотеза тупого угла недопустима, так как приводит к
противоречиям. Для того чтобы найти такое же противоречие в гипотезе острого
угла, он выводит ряд замечательных теорем, которые потом были снова доказаны
Лежандром. Таковы, например, теоремы, по которым если та или другая или третья
гипотеза имеет место для одного четырехугольника, то она имеет место и для
всякого другого.
100 ВЕЛИКИХ НАУЧНЫХ ОТКРЫТИЙ
Через три года после ее появления, в 1766 году, Ламберт ставит ту же задачу, что
и Саккери. Вместо четырехугольника с двумя прямыми углами и двумя равными
сторонами Ламберт рассматривает четырехугольник с тремя прямыми углами и делает
три гипотезы относительно четвертого угла. Его изложение имеет некоторые
особенности сравнительно с изложением Саккери: он избегает прибегать к
соображениям, основанным на непрерывности. Из того, что в гипотезах тупого и
острого угла не существует подобия фигур, Ламберт выводит заключение о
существовании абсолютной меры.
В 1799 году гениальный математик Карл Гаусс пошел по тому пути, по которому до
него шли Саккери и Ламберт, - по пути планомерного вывода всех следствий
гипотезы острого угла. Но его размышления привели к сомнению в возможности
доказать аксиому Евклида, и к 1816 году у математика созрело убеждение в
невозможности такого доказательства.
Высказанное публично мнение Гаусса о недоказуемости аксиомы Евклида не имело
влияния и даже подверглось грубым нападкам. Это было одной из причин, почему он
решился не публиковать своих исследований и мыслей по вопросу об основаниях,
"боясь крика бео-тийцев" (письмо к Бесселю от 27 января 1829 года). Но он не
прервал своих исследований и с величайшим интересом и сочувствием приветствовал
те работы и мысли, которые совпадали с его исследованиями и взглядами.
Как далеко он пошел по этому пути, показывает его письмо к Вольфгангу Болиаи от
6 марта 1832 года, в котором Гаусс говорит, что между 1797 и 1802 годами он
нашел те результаты, к которым пришел Иоганн Болиаи. Например, чисто
геометрическое доказательство теоремы, что в неевклидовой геометрии разность
суммы углов треугольника от 180 градусов пропорциональна площади треугольника.
Вольфганг Болиаи, друг школьных лет Гаусса, проявлял большой интерес к теории
параллельных линий. Этот необычайный интерес, по свидетельству его письма к сыну
в 1820 году, отравил ему все радости жизни, сделал его мучеником стремления
освободить геометрию от пятна, "удалить облако, затемняющее красоту девыистины".
Но в то время как усилия почти всей жизни отца были направлены к
доказательству 5-го постулатума, и ему не удалось достигнуть цели, его
талантливый сын явился одним из творцов неевклидовой геометрии.
Иоганн Болиаи родился в 1802 году в Клаузенбурге. Уже в 1807 году отец с
восторгом и гордостью пишет Гауссу о необыкновенных математических способностях
мальчика, который к тринадцати годам уже изучил планиметрию, стереометрию,
тригонометрию, конические сечения, а в 14 лет уже решал с легкостью задачи
дифференциального и интегрального исчисления. Вольфгангу не удалось послать сына
учиться в Геттингене у "математического колосса", и в 1818 году Иоганн поступил
в Венскую инженерную академию, где уделялось большое
МОГУЩЕСТВЕННАЯ МАТЕМАТИКА
внимание высшей математике. В 1823 году он кончил курс в академии и, как военный
инженер, был послан в крепость Теметвар.
Вполне естественно, что обладавший необыкновенными математическими способностями
Иоганн еще почти мальчиком решил испытать свои силы на решении того вопроса, над
которым мучился отец, но про который отец же говорил ему, что решивший его
достоин алмаза величиною в земной шар. В 1820 году Иоганн сообщает отцу, что он
уже нашел путь к доказательству аксиомы, и тогда-то отец пишет ему горячее
письмо, предостерегающее его от занятия теориею параллельных линий.
В зимнюю ночь 1823 года он нашел то основное соотношение между длиною
перпендикуляра, опущенного из точки на прямую, и углом, который составляет с
этим перпендикуляром ассимптота (параллельная линия Лобачевского), которое
является ключом к неевклидовой тригонометрии. В восторге от своего открытия,
которое, казалось ему, открывало путь к доказательству XI аксиомы, он пишет 3
ноября из Теметвара отцу: "Я создал новый, другой мир из ничего. Все, что
посылал до сих пор, есть только карточный домик в сравнении с воздвигаемою
теперь башнею".
В 1829 году Вольфганг закончил большое математическое сочинение, над которым
трудился около двадцати лет. Как приложение к этой книге, было напечатано и
бессмертное сочинение Иоганна Болиаи. Конечно,
...Закладка в соц.сетях
