Жанр: Учеба
Программирование в теоремах и задачах
...ки принадлежности слова произвольному контекстно-свободному
языку (см. главу 13).
Следующая задача (задача о рюкзаке) уже упоминалась в главе
3 (Обход дерева).
8.1.7. Имеется n положительных целых чисел x[1]..x[n] и
число N. Выяснить, можно ли получить N, складывая некоторые из
чисел x[1]..x[n]. Число действий должно быть порядка N*n.
Указание. После i шагов хранится множество тех чисел на отреке
0..N, которые предствимы в виде суммы некоторых из
x[1]..x[i].
8.2. Стек отложенных заданий.
Другой прием устранения рекурсии продемонстрируем на примере
задачи о ханойских башнях.
8.2.1. Написать нерекурсивную программу для нахождения последовательности
перемещений дисков в задаче о ханойских башнях.
Решение. Вспомним рекурсивную программу:
procedure move(i,m,n: integer);
| var s: integer;
begin
| if i = 1 then begin
| | writeln ('сделать ход', m, '-"', n);
| end else begin
| | s:=6-m-n; {s - третий стержень: сумма номеров равна 6}
| | move (i-1, m, s);
| | writeln ('сделать ход', m, '-"', n);
| | move (i-1, s, n);
| end;
end;
Видно, что задача "переложить i верхних дисков с m-го стержня на
n-ый" сводится к трем задачам того же типа: двум задачам с i-1
дисками и к одной задаче с единственным диском. Выполняя эти задачи,
важно не позабыть, что еще осталось сделать.
Для этой цели заведем стек отложенных заданий, элементами
которого будут тройки "i,m,n". Каждая такая тройка интерпретируется
как заказ "переложить i верхних дисков с m-го стержня на
n-ый". Заказы упорядочены в соответствии с требуемым порядком их
выполнения: самый срочный - вершина стека. Получам такую программу:
procedure move(i,m,n: integer);
begin
| сделать стек заказов пустым
| положить в стек тройку "i,m,n"
| {инвариант: осталось выполнить заказы в стеке}
| while стек непуст do begin
| | удалить верхний элемент, переложив его в "j,p,q"
| | if j = 1 then begin
| | | writeln ('сделать ход', p, '-"', q);
| | end else begin
| | | s:=6-p-q;
| | | {s - третий стержень: сумма номеров равна 6}
| | | положить в стек тройки "j-1,s,q", "1,p,q", "j-1,p,s"
| | end;
| end;
end;
(Заметим, что сначала в стек кладется тройка, которую надо выполнять
последней.) Стек троек может быть реализован как стри
отдельных стека. (Кроме того, в паскале есть специальный тип,
называемый "запись", который может быть применен.)
8.2.2. (Сообщил А.К.Звонкин со ссылкой на Анджея Лисовского.)
Для задачи о ханойских башнях есть и другие нерекусивные
алгоритмы. Вот один из них: простаивающим стержнем (не тем, с
которого переносят, и не тем, на который переносят) должны быть
все стержни по очереди. Другое правило: поочередно перемещать
наименьшее кольцо и не наименьшее кольцо, причем наименьшее - по
кругу.
8.2.3. Использовать замену рекурсии стеком отложенных заданий
в рекурсивной программе печати десятичной записи целого числа.
Решение. Цифры добываются с конца и закладываются в стек, а
затем печатаются в обратном порядке.
8.2.4. Написать нерекурсивную программу, печатающую все
вершины двоичного дерева.
Решение. В этом случае стек отложенных заданий будет содержать
заказы двух сортов: заказ напечатать (в свое время) данную
вершину и заказ напечатать все вершины поддерева с данным корнем
(при этом nil считается корнем пустого дерева). Таким образом,
элемент стека есть пара: "тип заказа, номер вершины".
Вынимая элемент из стека, мы либо сразу исполняем его (если
это заказ первого типа) либо помещаем в стек три порожденных им
заказа - в одном из шести возможных порядков.
8.2.5. Что изменится, если требуется не печатать вершины
двоичного дерева, а подсчитать их количество?
Решение. Печатание вершины следует заменить прибавлением
единицы к счетчику. Другими словами, инвариант таков: (общее
число вершин) = (счетчик) + (сумма чисел вершин в поддеревьях,
корни которых лежат в стеке).
8.2.6. Для некоторых из шести возможных порядков возможны
упрощения, делающие ненужным хранение в стеке элементов двух видов.
Указать некоторые из них.
Решение. Если требуемый порядок таков:
корень, левое поддерево, правое поддерево,
то заказ на печатание корня можно не закладывать в стек, а выполнять
сразу.
Несколько более сложная конструкция применима для порядка
левое поддерево, корень, правое поддерево.
В этом случае все заказы в стеке, кроме самого первого (напечатать
поддерево) делятся на пары:
напечатать вершину x, напечатать правое поддерево x
(т.е. поддерево с корнем в правом сыне x). Объединив эти пары в
заказы специального вида и введя переменную для отдельного хранения
первого заказа, мы обойдемся стеком однотипных заказов.
То же самое, разумеется, верно, если поменять местами левое
и правое - получается еще два порядка.
Замечание. Другую программу печати всех вершин дерева можно
построить на основе программы обхода дерева, разобранной в соответствующей
главе. Там используется команда "вниз". Поскольку
теперешнее представление дерева с помощью массивов l и r не позволяет
найти предка заданной вершины, придется хранить список
всех вершин на пути от корня к текущей вершине. Смотри также
главу об алгоритмах на графах.
8.2.7. Написать нерекурсивный вариант программы быстрой
сортировки. Как обойтись стеком, глубина которого ограничена
C*log n, где n - число сортируемых элементов?
Решение. В стек кладутся пары "i,j", интерпретируемые как
отложенные задания на сортировку соответствующих участков массива.
Все эти заказы не пересекаются, поэтому размер стека не может
превысить n. Чтобы ограничиться стеком логарифмической глубины,
будем придерживаться такого правила: глубже в стек помещать
больший из возникающих двух заказов. Пусть f(n) - максимальная
глубина стека, которая может встретиться при сортировке
массива из не более чем n элементов таким способом. Оценим f(n)
сверху таким способом: после разбиения массива на два участка мы
сначала сортируем более короткий (храня в стеке про запас) более
длинный, при этом глубина стека не больше f(n/2)+1, затем сортируем
более длинный, так что
f(n) "= max (f(n/2)+1, f(n-1)),
откуда очевидной индукцией получаем f(n) = O(log n).
8.3. Более сложные случаи рекурсии.
Пусть функция f с натуральными аргументами и значениями определена
рекурсивно условиями
f(0) = a,
f(x) = h(x, f(l(x))),
где a - некоторое число, а h и l - известные функции. Другими
словами, значение функции f в точке x выражается через значение
f в точке l(x). При этом предполагается, что для любого x в последовательности
x, l(x), l(l(x)),...
рано или поздно встретится 0.
Если дополнительно известно, что l(x) " x для всех x, то
вычисление f не представляет труда: вычисляем последовательно
f(0), f(1), f(2),...
8.3.1. Написать нерекурсивную программу вычисления f для
общего случая.
Решение. Для вычисления f(x) вычисляем последовательность
l(x), l(l(x)), l(l(l(x))),...
до появления нуля и запоминаем ее, а затем вычисляем значения f
в точках этой последовательности, идя справа налево.
Еще более сложный случай из следующей задачи вряд ли встретится
на практике (а если и встретися, то проще рекурсию не
устранять, а оставить). Но тем не менее: пусть функция f с натуральными
аргументами и значениями определяется соотношениями
f(0) = a,
f(x) = h(x, f(l(x)), f(r(x))),
где a - некоторое число, а l, r и h - известные функции. Предполагается,
что если взять произвольное число и начать применять к
нему функции l и r в произвольном порядке, то рано или поздно
получится 0.
8.3.2. Написать нерекурсивную программу вычисления f.
Решение. Можно было бы сначала построить дерево, у которого
в корне находится x, а в сыновьях вершины i стоят l(i) и r(i) -
если только i не равно нулю, а затем вычислять значения функции,
идя от листьев к корню. Однако есть и другой способ.
"Обратной польской записью" (или "постфиксной записью") выражения
называют запись, где знак функции стоит после всех ее
аргументов, а скобки не используются. Вот несколько примеров:
f(2) 2 f
f(g(2)) 2 g f
s(2,t(7)) 2 7 t s
s(2, u(2, s(5,3)) 2 2 5 3 s u s
Постфиксная запись выражения позволяет удобно вычислять его с
помощью "стекового калькулятора". Этот калькулятор имеет стек,
который мы будем представлять себе расположенным горизонтально
(числа вынимаются и кладутся справа). При нажатии на клавишу с
числом это число кладется в стек. При нажатии на функциональную
клавишу соответствующая функция применяется к нескольким аргументам
у вершины стека. Например, если в стеке были числа
2 3 4 5 6
и нажата функциональная клавиша s, соотвтетствующая функции от
двух аргументов, то в стеке окажутся числа
2 3 4 s(5,6)
Перейдем теперь к нашей задаче. В процессе вычисления значения
функции f мы будем работать со стеком чисел, а также с последовательностью
чисел и символов "f", "l", "r", "h", которую мы будем
интерпретировать как последовательность нажатий кнопок на
стековом калькуляторе. Инвариант такой:
если стек чисел представляет собой текущее состояние
стекового калькулятора, то после нажатия всех клавиш
последовательности в стеке останется единственное
число, и оно будет искомым ответом.
Пусть нам требуется вычислить значение, к примеру, f(100). Тогда
вначале мы помещаем в стек число 100, а последовательность содержит
единственный символ "f". (При этом инвариант соблюдается.)
Далее с последовательностью и стеком выполняются такие преобразования:
старый старая новый новая
стек последовательность стек последовательность
X x P X x P
X x l P X l(x) P
X x r P X r(x) P
X x y z h P X h(x,y,z) P
X 0 f P X a P
X x f P X x x l f x r f h P
Обозначения: x, y, z,.. - числа, X - последовательность чисел, P
- последовательность чисел и символов "f", "l", "r", "h". В последней
строке предполагается, что m не равно 0. Эта строка соответствует
равенству
f(x) = h(x, f(l(x)), f(r(x))),
Эти преобразования выполняются, пока последовательность не станет
пуста. В этот момент в стеке окажется единственное число,
которое и будет ответом.
Замечание. Последовательность по существу представляет собой
стек отложенных заданий (вершина которого находится слева).
Глава 9. Разные алгоритмы на графах
9.1. Кратчайшие пути
В этом разделе рассматриваются различные варианты одной задач.
Пусть имеется n городов, пронумерованных числами от 1 до n.
Для каждой пары городов с номерами i, j в таблице a[i][j] хранится
целое число - цена прямого авиабилета из города i в город
j. Считается, что рейсы существуют между любыми городами, a[i,i]
= 0 при всех i, a[i][j] может отличаться от a[j,i]. Наименьшей
стоимостью проезда из i в j считается минимально возможная сумма
цен билетов для маршрутов (в том числе с пересадками), ведущих
из i в j. (Она не превосходит a[i][j], но может быть меньше.)
В предлагаемых ниже задачах требуется найти наименьшую стоимость
проезда для некоторых пар городов при тех или иных ограничениях
на массив a и на время работы алгоритма.
9.1.1. Предположим, что не существует замкнутых маршрутов,
для которых сумма цен отрицательна. Доказать, что в этом случае
маршрут с наименьшей стоимостью существует.
Решение. Маршрут длиной больше n всегда содержит цикл, поэтому
минимум можно искать среди маршрутов длиной не более n, а
их конечное число.
Во всех следующих задачах предполагается, что это условие
(отсутствие циклов с отрицательной суммой) выполнено.
9.1.2. Найти наименьшую стоимость проезда из 1-го города во
все остальные за время O(n в степени 3).
Решение. Обозначим через МинСт(1,s,к) наименьшую стоимость
проезда из 1 в s менее чем с k пересадками. Тогда выполняется
такое соотношение:
МинСт (1,s,k+1) = наименьшему из чисел МинСт(1,s,k) и
МинСт(1,i,k) + a[i][s] (i=1..n)
Как отмечалось выше, искомым ответом является МинСт(1,i,n) для
всех i=1..n.
k:= 1;
for i := 1 to n do begin x[i] := a[1][i]; end;
{инвариант: x[i] := МинСт(1,i,k)}
while k "" n do begin
| for s := 1 to n do begin
| | y[s] := x[s];
| | for i := 1 to n do begin
| | | if y[s] " x[i]+a[i][s] then begin
| | | | y[s] := x[i]+a[i][s];
| | | end;
| | end
| | {y[s] = МинСт(1,s,k+1)}
| | for i := 1 to n do begin x[s] := y[s]; end;
| end;
| k := k + 1;
end;
Приведенный алгоритм называют алгоритмом динамического программирования,
или алгоритмом Форда - Беллмана.
9.1.3. Доказать, что программа останется правильной, если
не заводить массива y, а производить изменения в самом массиве x
(заменив в программе все вхождения буквы y на x и затем удалить
ставшие лишними строки).
Решение. Инвариант будет таков:
МинСт(1,i,n) "= x[i] "= МинСт(1,i,k)
Этот алгоритм может быть улучшен в двух отношениях: можно
за то же время O(n в степени 3) найти наименьшую стоимость проезда
i-"j для ВСЕХ пар i,j (а не только с i=1), а можно сократить
время работы до O(n в степени 2). Правда, в последнем случае
нам потребуется, чтобы все цены a[i][j] были неотрицательны.
9.1.4. Найти наименьшую стоимость проезда i-"j для всех i,j
за время O(n в степени 3).
Решение. Для k = 0..n через А(i,j,k) обозначим наименьшую
стоимость маршрута из i в j, если в качестве пересадочных разрешено
использовать только пункты с номерами не больше k. Тогда
A(i,j,0) = a[i][j],
а
A(i,j,k+1) = min (A(i,j,k), A(i,k+1,k)+A(k+1,j,k))
(два варианта соответствуют неиспользованию и использованию
пункта k+1 в качестве пересадочного; отметим, что в нем незачем
бывать более одного раза).
Этот алгоритм называют алгоритмом Флойда.
9.1.5. Известны, что все цены неотрицательны. Найти наименьшую
стоимость проезда 1-"i для всех i=1..n за время O(n в
степени 2).
Решение. В процессе работы алгоритма некоторые города будут
выделенными (в начале - только город 1, в конце - все). При
этом:
для каждого выделенного города i хранится наименьшая стоимость
пути 1-"i; при этом известно, что минимум достигается на
пути, проходящем только через выделенные города;
для каждого невыделенного города i хранится наименьшая стоимость
пути 1-"i, в котором в качестве промежуточных используются
только выделенные города.
Множество выделенных городов расширяется на основании следующего
замечания: если среди всех невыделенных городов взять
тот, для которого хранимое число минимально, то это число является
истинной наименьшей стоимостью. В самом деле, пусть есть
более короткий путь. Рассмотрим первый невыделенный город на
этом пути - уже до него путь длиннее! (Здесь существенна неотрицательность
цен.)
Добавив выбранный город к выделенным, мы должны скорректировать
информацию, хранимую для невыделенных городов. При этом
достаточно учесть лишь пути, в которых новый город является последним
пунктом пересадки, а это легко сделать, так как минимальную
стоимость проезда в новый город мы уже знаем.
При самом бесхитростном способе хранения множества выделенных
городов (в булевском векторе) добавление одного города к
числу выделенных требует времени O(n).
Этот алгоритм называют алгоритмом Дейкстры.
Отыскании кратчайшего пути имеет естественную интерпретацию
в терминах матриц. Пусть A - матрица цен одной аваиакомпании, а
B - матрица цен другой. (Мы считаем, что диагональные элементы
матриц равны 0.) Пусть мы хотим лететь с одной пересадкой, причем
сначала самолетом компании A, а затем - компании B. Сколько
нам придется заплатить, чтобы попасть из города i в город j?
9.1.6. Доказать, что эта матрица вычисляется по обычной
формуле для произведения матриц, только вместо суммы надо брать
минимум, а вместо умножения - сумму.
9.1.7. Доказать, что таким образом определенное произведение
матриц ассоциативно.
9.1.8. Доказать, что задача о кратчайших путях эквивалентна
вычислению "бесконечной степени" матрицы цен A: в последовательности
A, A*A, A*A*A,... все элементы, начиная с некоторого,
равны искомой матрице стоимостей кратчайших путей. (Если нет отрицательных
циклов!)
9.1.9. Начиная с какого элемента можно гарантировать равенство
в предыдущей задаче?
Обычное (не модифицированное) умножение матриц тоже может
оказаться полезным, только матрицы должны быть другие. Пусть
есть не все рейсы (как в следующем разделе), а только некоторые,
a[i,j] равно 1, если рейс есть, и 0, если рейса нет. Возведем
матрицу a (обычным образом) в степень k и посмотрим на ее i-j-ый
элемент.
9.1.10. Чему он равен?
Ответ. Числу различных способов попасть из i в j за k
рейсов.
Случай, когда есть не все рейсы, можно свести к исходному,
введя фиктивные рейсы с бесконечно большой (или достаточно
большой) стоимостью. Тем не менее возникает такой вопрос. Число
реальных рейсов может быть существенно меньше n*n, поэтому интересны
алгоритмы, которые работают эффективно в такой ситуации.
Исходные данные естественно представлять тогда в такой форме:
для каждого города известно число выходящих из него рейсов, их
пункты назначения и цены.
9.1.11. Доказать, что алгоритм Дейкстры можно модифицировать
так, чтобы для n городов и k маршрутов он требовал не более
C*(n+k log n) операций.
Указание. Что надо сделать на каждом шаге? Выбрать невыделенный
город с минимальной стоимостью и скорректировать цены для
всех городов, в которые из него есть маршруты. Если бы кто-то
сообщал нам, для какого города стоимость минимальна, то хватило
бы C*(n+k) действий. А поддержание сведений о том, какой элемент
в массиве минимален (см. задачу 6.4.1 в главе о типах данных)
обходится еще в множитель log n.
9.2. Связные компоненты, поиск в глубину и ширину
Наиболее простой случай задачи о кратчайших путях - если
все цены равны 0 или бесконечны. Другими словами, мы интересуемся
возможностью попасть из i в j, но за ценой не постоим (и она
нас не интересует). В других терминах: мы имеем ориентированный
граф (картинку из точек, некоторые из которых соединены стрелками)
и нас интересуют вершины, доступные из данной.
Для этого случая задачи о кратчайших путях приведенные в
предыдущем разделе алгоритмы - не наилучшие. В самом деле, более
быстрая рекурсивная программа решения этой задачи приведена в
главе 7 (Рекурсия), а нерекурсивная - в главе 6 (Типы данных).
Сейчас нас интересует такая задача: не просто перечислить все
вершины, доступные из данной, но перечислить их в определенном
порядке. Два популярных случая - поиск в ширину и в глубину.
Поиск в ширину: надо перечислить все вершины ориентированного
графа, доступные из данной, в порядке увеличения длины пути
от нее. (Тем самым мы решим задачу о кратчайших путях, кода цены
ребер равны 1 или бесконечны.)
9.2.1. Придумать алгоритм решения этой задачи с числом
действий не более C*(число ребер, выходящих из интересующих нас
вершин).
Решение. Эта задача рассматривалась в главе 6 (Типы данных),
6.3.7 - 6.3.8. Здесь мы приведём подробное решение. Пусть
num[i] - количество ребер, выходящих из i, out[i][1],...,
out[i][num[i]] - вершины, куда ведут ребра. Вот программа, приведённая
ранее:
procedure Доступные (i: integer);
| {напечатать все вершины, доступные из i, включая i}
| var X: подмножество 1..n;
| P: подмножество 1..n;
| q, v, w: 1..n;
| k: integer;
begin
| ...сделать X, P пустыми;
| writeln (i);
| ...добавить i к X, P;
| {(1) P = множество напечатанных вершин; P содержит i;
| (2) напечатаны только доступные из i вершины;
| (3) X - подмножество P;
| (4) все напечатанные вершины, из которых выходит
| ребро в ненапечатанную вершину, принадлежат X}
| while X непусто do begin
| | ...взять какой-нибудь элемент X в v;
| | for k := 1 to num [v] do begin
| | | w := out [v][k];
| | | if w не принадлежит P then begin
| | | | writeln (w);
| | | | добавить w в P;
| | | | добавить w в X
| | | end;
| | end;
| end;
end;
Тогда нам было безразлично, какой именно элемент множества X выбирается.
Если мы будем считать X очередью (первым пришел - пермым
ушел), то эта программа напечатает все вершины, доступные из
i, в порядке возрастания их расстояния от i (числа ребер на
кратчайшем пути из i). Докажем это.
Обозначим через V(k) множество всех вершин, расстояние которых
от i (в описанном смысле) равно k. Имеет место такое соотношение:
V(k+1) = (концы ребер с началами в V(k))-V(0)-V(1)-...-V(k)
(знак "-" обозначает вычитание множеств). Докажем, что для любого
k=0,1,2... в ходе работы программы будет такой момент (после
очередной итерации цикла while), когда
в очереди стоят все элементы V(k) и только они
напечатаны все элементы V(1),...,V(k)
(Для k=0 - это состояние перед циклом.) Рассуждая по индукции,
предположим, что в очереди скопились все элементы V(k). Они будут
просматривать в цикле, пока не кончатся (поскольку новые
элементы добавляются в конец, они не перемешаются со старыми).
Концы ведущих из них ребер, если они уже не напечатаны, печатаются
и ставятся в очередь - то есть всё как в записанном выше
соотношении для V(k+1). Так что когда все старые элементы кончатся,
в очереди будут стоять все элементы V(k+1).
Поиск в глубину.
Рассматривая поиск в глубину, удобно представлять себе ориетированный
граф как образ дерева. Более точно, пусть есть ориентированный
граф, одна из вершин которого выделена. Будем полагать,
что все вершины доступны из выделенной по ориентированным
путям. Построим дерево, которое можно было бы назвать "универсальным
накрытием" нашего графа. Его корнем будет выделенная
вершина графа. Из корня выходят те же стрелки, что и в графе -
их концы будут сыновьями корня. Из них в дереве выходят те же
стрелки, что и в графе и так далее. Разница между графом и деревом
в том, что пути в графе, ведущие в одну и ту же вершину, в
дереве "расклеены". В других терминах: вершина дерева - это путь
в графе, выходящий из корня. Ее сыновья - это пути, продолженные
на одно ребро. Заметим, что дерево бесконечно, если в графе есть
ориентированные циклы.
Имеется естетвенное отображение дерева в граф (вершин в
вершины). При этом каждая вершина графа имеет столько прообразов,
сколько путей в нее ведет. Поэтому обход дерева (посещение
его вершин в том или ином порядке) одновременно является и обходом
графа - только каждая вершина посещается многократно.
Будем предполагать, что для каждой вершины графа выходящие
из нее ребра упорядочены (напрмиер, пронумерованы). Тем самым
для каждой вершины дерева выходящие из нее ребра также упорядочены.
Будем обходить дерево так: сначала корень, а потом поддеревья
(в порядке ведущих в них ребер). Такой обход дерева
рассматривался нами в главе о рекурсии. Ему соответствует обход
графа. Если выкинуть из этого обхода повторные посещения уже посещенных
вершин, то получится то, что называется "поиск в глубину".
Другими словами: на путях, выходящих из выделенной вершины,
введем порядок: путь предшествует своему продолжению; если два
пути расходятся в некоторой вершине, то меньшим считается тот,
который выходит из нее по меньшему ребру. Вершины теперь упорядочиваются
в соответствии с минимальными путями, в них ведущими.
Обход вершин графа ы указанном порядке называется поиском в глубину.
9.2.2. Написать программу поиска в глубину.
Указание. Возьмем программу обхода дерева (корень - левое
поддерево - правое поддерево) из главы о рекурсии или из гравы
об устранении рекурсии и используем ее применительно к обстоятельствам.
Главное изменение: не надо посещать вершины повторно.
Так что если мы попали в уже посещенную вершину, то можно с
ней ничего не делать. (Если путь не минимален среди ведущих в
данную вершину, то и все его продолжения не минимальны - их
просматривать не надо).
Замечание. Существуют две возможности устранения рекурсии в
программе обхода дерева. Можно хранить в стеке корни подлежащих
посещению поддеревьев (как это делалось в главе об устранении
рекурсии). А можно применять метод из главы об обходе дерева, то
есть реализовать операции "вверх_налево", "вправо" и "вниз".
Чтобы их реализовать, необходимо хранить в стеке путь из корня к
текущей вершине. Оба способа - примерно одинаковой сложности, и
в конкретной ситуации любой из них может оказаться более удобным.
Поиск в глубину лежит в основе многих алгоритмов на графах,
порой в несколько модифицированном виде.
9.2.3. Неориентированный граф называется двудольным, если
его можно раскрасить в два цвета так, что концы любого ребра -
разного цвета. Составить алгоритм проверки, является ли заданный
граф двудольным (число действий не провосходит C*(число ребер +
число вершин).
Указание. (а) Каждую связную компоненту можно раскрашивать
отдельно. (б) Выбрав цвет одной вершины и обходя ее связную компоненту,
мы определяем единственно возможный цвет остальных.
Замечание. В этой задаче безразлично, производить поиск в
ширину или в глубину.
9.2.4. Составить нерекурсивный алгоритм топологической сортировки
ориентированного графа без циклов. (См. задачу 7.4.2 в
главе о рекурсии.)
Решение. Предположим, что граф имеет вершины с номерами
1..n, для каждой вершины i известно число num[i] выходящих из
нее ребер и номера вершин dest[i][1],..., dest[i][num[i]], в которые
эти ребра ведут. Будем условно считать, что ребра перечислены
"слева направо": левее то ребро, у которого номер меньше.
Нам надо напечатать все вершины в таком порядке, чтобы конец любого
ребра был напечатан пере
...Закладка в соц.сетях
