Жанр: Учеба
Программирование в теоремах и задачах
...одный массив можно
стереть и заполнить заново в порядке возрастания, используя сведения
о кратности каждого числа.
Отметим также, что этот алгоритм не переставляет числа в массиве,
как большинство других, а "записывает их туда заново".
Есть также метод сортировки, в котором последовательно проводится
ряд "частичных сортировок" по отдельным битам. Начнём с такой
задачи:
4.4.3. В массиве a[1]..a[n] целых чисел переставить элементы
так, чтобы чётные шли перед нечётными (не меняя взаимный порядок
в каждой из групп).
Решение. Сначала спишем (во вспомогательный массив) все
чётные, а потом - все нечётные.
4.4.4. Имеется массив из n чисел от 0 до (2 в степени k) -
1, каждое из которых мы будем рассматривать как k-битовое слово.
Используя проверки "i-ый бит равен 0" и "i-ый бит равен 1" вместо
сравнений, отсортировать все числа за время порядка n*k.
Решение. Отсортируем числа по последнему биту (см. предыдущую
задачу), затем по предпоследнему и так далее. В результате
они будут отсортированы. В самом деле, индукцией по i легко доказать,
что после i шагов любые два числа, отличающиеся только в
i последних битах, идут в правильном порядке. (Вариант: после i
шагов i-битовые концы чисел идут в правильном порядке.)
Аналогичный алгоритм может быть применен для m-ичной системы
счисления вместо двоичной. При этом полезна такая вспомогательная
задача:
4.4.5. Даны n чисел и функция f, принимающая (на них) значения
1..m. Требуется переставить числа в таком порядке, чтобы
значения функции f не убывали (сохраняя притом порядок внутри
каждой из групп). Число действий порядка m+n.
Указание. Завести m списков суммарной длины n (как это сделать,
смотри в главе 6 о типах данных) и помещать в i-ый список
числа, для которых значение функции f равно i. Вариант: посчитать
для всех i, сколько имеется чисел x c f(x)=i, после чего
легко определить, с какого места нужно начинать размещать числа
с f(x)=i.
4.5. Родственные сортировке задачи.
4.5.1. Какова минимально возможная сложность (число сравнений
в наихудшем случае) алгоритма отыскания самого легкого из n
камней?
Решение. Очевидный алгоритм с инвариантом "найден самый
легкий камень среди первых i" требует n-1 сравнений. Алгоритма
меньшей сложности нет. Это вытекает из следующего более сильного
утверждения.
4.5.2. Эксперт хочет докать суду, что данный камень - самый
легкий среди n камней, сделав менее n-1 взвешиваний. Доказать,
что это невозможно. (Веса камней неизвестны суду, но известны
эксперту.)
Решение. Изобразим камни точками, а взвешивания - линиями
между ними. Получим граф с n вершинами и менее чем n-1 ребрами.
Такой граф несвязен (добавление каждого следующего ребра
уменьшает число компонент не более чем на 1). Поэтому суд ничего
не знает относительно соотношения весов камней в двух связных
компонентах и может допустить, что самый легкий камень - в любой
из них.
Разница между этой задачей и предыдущей в том, что n-1
взвешиваний не достаточно не только для нахождения самого легкого,
но даже для того, чтобы убедиться, что данный камень является
самым легким - если предположительный ответ известен. (В случае
сортировки, зная предположительный ответ, мы можем убедиться
в его правильности, сделав всего n-1 сравнений: каждый сравниваем
со слеследующим по весу.)
4.5.3. Дано n различных по весу камней и число k (от 1 до
n). Требуется найти k-ый по весу камень, сделав не более C*n
взвешиваний, где C - некоторая константа, не зависящая от k.
Замечание. Сортировка позволяет сделать это за C*n*log n
взвешиваний. Указание к этой (трудной) задаче приведено в главе
про рекурсию.
Следующая задача имеет неожиданно простое решение.
4.5.4. Имеется n одинаковых на вид камней, некоторые из которых
на самом деле различны по весу. Имеется прибор, позволяющий
по двум камням определить, одинаковы они или различны (но
не говорящий, какой тяжелее). Известно, что среди этих камней
большинство (более n/2) одинаковых. Сделав не более n взвешиваний,
найти хотя бы один камень из этого большинства.
Предостережение. Если два камня одинаковые, это не гарантирует
их принадлежности к большинству.
Указание. Если найдены два различных камня, то их оба можно
выбросить - хотя бы один из них плохой и большинство останется
большинством.
Решение. Программа просматривает камни по очереди, храня в
переменной i число просмотренных камней. (Считаем камни пронумерованными
от 1 до n.) Помимо этого программа хранит номер "текущего
кандидата" c и его "кратность" k. Смысл этих названий
объясняется инвариантом:
если к непросмотренным камням (с номерами i+1..n) до-
бавили бы k копий c-го камня, то наиболее частым среди (И)
них был бы такой же камень, что и для исходного массива
Получаем такую программу:
k:=0; i:=0
{(И)}
while i""n do begin
| if k=0 then begin
| | k:=1; c:=i+1; i:=i+1;
| end else if i+1-ый камень одинаков с c-ым then begin
| | i:=i+1; k:=k+1;
| | {заменяем материальный камень идеальным}
| end else begin
| | i:=i+1; k:=k-1;
| | {выкидываем один материальный и один идеальный камень}
| end;
end;
искомым является c-ый камень
Замечание. Поскольку во всех трех вариантах выбора стоит
команда i:=i+1, ее можно вынести наружу.
Следующая задача не имеет на первый взгляд никакого отношения
к сортировке.
4.5.5. Имеется квадратная таблица a[1..n, 1..n]. Известно,
что для некоторого i строка с номером i заполнена одними нулями,
а столбец с номером i - одними единицами (за исключением их пересечения
на диагонали, где стоит неизвестно что). Найти такое i
(оно, очевидно, единственно). Число действий не превосходит C*n.
(Заметим, что это существенно меньше числа элементов в таблице).
Указание. Рассмотрите a[i][j] как результат "сравнения" i с
j и вспомните, что самый тяжелый из n камней может быть найден
за n сравнений. (Не забудьте, впрочем, что таблица может не быть
"транзитивной".)
Глава 5. Конечные автоматы в задачах обработки текстов
5.1. Составные символы, комментарии и т.п.
5.1.1. В тексте возведение в степень обозначалось двумя
идущими подряд звездочками. Решено заменить это обозначение на
'^' (так что, к примеру, 'x**y' заменится на 'x^y'). Как это
проще всего сделать? Исходный текст разрешается читать символ за
символом, получающийся текст требуется печатать символ за символом.
Решение. В каждый момент программа находится в одном из
двух состояний: "основное" и "после звездочки"
Состояние Очередной Новое Действие
входной символ состояние
основное * после нет
основное x "" '*' основное печатать x
после * основное печатать '^'
после x "" '*' основное печатать *, x
Замечание. При этом '***' заменится на '^*' (но не на '*^'). В
условии задачи мы не оговаривали деталей, как это часто делается
- предполагается, что программа "должна действовать разумно". В
данном случае, пожалуй, самый простой способ объяснить, как
программа действует - это описать ее состояния и действия в них.
5.1.2. Написать программу, удалающую из текста подслова вида
'abc'.
5.1.3. В паскале комментарии заключаются в фигурные скобки:
begin {начало цикла}
i:=i+1; {увеличиваем i на 1}
Написать программу, которая удаляла бы комментарии и вставляла
бы вместо исключенного комментария пробел (чтобы '1{один}2'
превратилось бы не в '12', а в '1 2').
Решение. Программа имеет два состояния: "основное" и "внутри
комментария".
Состояние Очередной Новое Действие
входной символ состояние
основное { внутри нет
основное x "" '{' основное печатать x
внутри } основное печатать пробел
внутри x "" '}' внутри нет
Замечание. Эта программа не воспринимает вложенные комментарии:
строка вроде
'{{комментарий внутри} комментария}'
превратится в
' комментария}'
(в начале стоят два пробела). Обработка вложенных комментариев
конечным автоматом невозможна (нужно "помнить число скобок" - а
произвольное натуральное число не помещается в конечную память).
5.1.4. В паскалевских программах бывают также строки, заключенные
в кавычки. Если фигурная скобка стречается внутри строки,
то она не означает начала или конца комментария. В свою очередь,
кавычка в комментарии не означает начала или конца строки.
Как изменить программу, чтобы это учесть?
Указание. Состояний будет три: основное, внутри комментария,
внутри строки.
5.1.5. Еще одна возможность многих реализаций паскаля - это
комментарии вида
i:=i+1; (* here i is increased by 1 *)
при этом закрывающая скобка должна соответствовать открываюшей
(то есть { ... *) не разрешается). Как удалять такие комментарии?
5.2. Ввод чисел
Пусть десятичная запись числа подается на вход программы
символ за символом. Мы хотим "прочесть" это число (поместить в
переменную типа real его значение). Кроме того, надо сообщить об
ошибке, если число записано неверно.
Более конкретно, представим себе такую ситуацию. Последовательность
символов на входе делится на прочитанную и оставшуюся
части. Мы можем пользоваться функцией Next:char, которая возвращает
первый символ оставшей части, а также функцией Move, которая
перводит забирает первый символ из оставшейся части, переводя
его в категорию прочитанных.
---------------------|--------------------------
прочитанная часть | Next | ? | ? | ? |
---------------------|--------------------------
Будем называть десятичной записью такую последовательность символов:
"0 или более пробелов" "1 или более цифр"
а также такую:
"0 или более пробелов" "1 или более цифр"."1 или более цифр"
Заметим, что согласно этому определению '1.', '.1', '1. 1',
'-1.1' не являются десятичными записями. Сформулируем теперь задачу
точно:
5.2.1. Прочесть из входной строки максимальную часть, которая
может быть началом десятичной записи. Определить, является
ли эта часть десятичной записью или нет.
Решение. Запишем программу на паскале (используя "перечислимый
тип" для наглядности записи: переменная state может принимать
одно из значений, указанных в скобках).
var state:
(Accept, Error, Initial, IntPart, DecPoint, FracPart);
state := Initial;
while (state "" Accept) or (state "" Error) do begin
| if state = Initial then begin
| | if Next = ' ' then begin
| | | state := Initial; Move;
| | end else if Digit(Next) then begin
| | | state := IntPart; {после начала целой части}
| | | Move;
| | end else begin
| | | state := Error;
| | end;
| end else if state = IntPart then begin
| | if Digit (Next) then begin
| | | state := IntPart; Move;
| | end else if Next = '.' then begin
| | | state := DecPoint; {после десятичной точки}
| | | Move;
| | end else begin
| | | state := Accept;
| | end;
| end else if state = DecPoint then begin
| | if Digit (Next) then begin
| | | state := FracPart; Move;
| | end else begin
| | | state := Error; {должна быть хоть одна цифра}
| | end;
| end else if state = FracPart then begin
| | if Digit (Next) then begin
| | | state := FracPart; Move;
| | end else begin
| | | state := Accept;
| | end;
| end else if
| | {такого быть не может}
| end;
end;
Заметьте, что присваивания state:=Accept и state:=Error не сопровождаются
сдвигом (символ, который не может быть частью числа,
не забирается).
Приведенная программа не запоминает значение прочитанного
числа.
5.2.2. Решить предыдущую задачу с дополнительным требованием:
если прочитанный кусок является десятичной записью, то в переменную
val:real следует поместить ее значение.
Решение. При чтении дробной части используется переменная
step - множитель при следующей десятичной цифре.
state := Initial; val:= 0;
while (state "" Accept) or (state "" Error) do begin
| if state = Initial then begin
| | if Next = ' ' then begin
| | | state := Initial; Move;
| | end else if Digit(Next) then begin
| | | state := IntPart; {после начала целой части}
| | | val := DigitValue (Next);
| | | Move;
| | end else begin
| | | state := Error;
| | end;
| end else if state = IntPart then begin
| | if Digit (Next) then begin
| | | state := IntPart; val := 10*val + DigitVal(Next);
| | | Move;
| | end else if Next = '.' then begin
| | | state := DecPoint; {после десятичной точки}
| | | step := 0.1;
| | | Move;
| | end else begin
| | | state := Accept;
| | end;
| end else if state = DecPoint then begin
| | if Digit (Next) then begin
| | | state := FracPart;
| | | val := val + DigitVal(Next)*step; step := step/10;
| | | Move;
| | end else begin
| | | state := Error; {должна быть хоть одна цифра}
| | end;
| end else if state = FracPart then begin
| | if Digit (Next) then begin
| | | state := FracPart;
| | | val := val + DigitVal(Next)*step; step := step/10;
| | | Move;
| | end else begin
| | | state := Accept;
| | end;
| end else if
| | {такого быть не может}
| end;
end;
5.2.3. Та же задача, если перед число может стоять знак
"минус" или знак "плюс" (а может ничего не стоять).
Формат чисел в этой задаче обычно иллюстрируют такой картинкой:
----- ---------
---| + |----"-| цифра |--------"---------------------"
| ----- | | --------- | | |
| ----- | | | | ----- --------- |
|-| - |--| |----"------| |-| . |-"---| цифра |--|
| ----- | ----- | --------- |
| | |-----"-----|
|---"----|
5.2.4. Та же задача, если к тому же после числа может стоять
показатель степени десяти, как в 254E-4 (=0.0254) или в
0.123E+9 (=123000000). Нарисуйте соответствующую картинку.
5.2.5. Что надо изменить в программе задачи 5.2.2, чтобы
разрешить пустые целую и дробную части (как в '1.', '.1' или даже
'.' - последнее число считаем равным нулю)?
Мы вернемся к конечным автоматам в главе 10 (Сравнение с
образцом).
6.1. Стеки.
Пусть Т - некоторый тип. Рассмотрим (отсутствующий в паскале)
тип "стек элементов типа Т". Его значениями являются последовательности
значений типа Т.
Операции:
Сделать_пустым (var s: стек элементов типа Т).
Добавить (t: T; var s: стек элементов типа Т).
Взять (var t: T; var s: стек элементов типа Т).
Пуст (s: стек элементов типа Т): boolean
Вершина (s: стек элементов типа Т): T
(Мы пользуемся обозначениями, наполняющими паскаль, хотя в
паскале типа "стек" нет.) Процедура "Сделать_пустым" делает стек
s пустым. Процедура "Добавить" добавляет t в конец последовательности
s. Процедура "Взять" определена, если последовательность
s непуста; она забирает из неё последний элемент, который
становится значением переменной t. Выражение "Пуст(s)" истинно,
если последовательность s пуста. Выражение "Вершина(s)"
определено, если последовательность s непуста, и равно последнему
элементу последовательности s.
Мы покажем, как моделировать стек в паскале и для чего он
может быть нужен.
Моделирование ограниченного стека в массиве.
Будем считать, что количество элементов в стеке не превосходит
некоторого числа n. Тогда стек можно моделировать с помощью
двух переменных: Чтобы сделать стек пустым, достаточно положить
Длина := 0
Добавить элемент t:
{Длина " n}
Длина := Длина+1; Взять элемент в переменную t:
t := Содержание [Длина];
Длина := Длина - 1;
Стек пуст, если Длина = 0.
Вершина стека равна Содержание [Длина].
Таким образом, вместо переменной типа стек в программе на паскале
можно использовать две переменные Содержание и Длина. Можно
также определить тип стек, записав
const N = ...
type stack = record(Мы позволяем себе использовать имена переменных из русских
букв, хотя обычно паскаль этого не любит.) После этого могут
быть - в соответствии с правилами паскаля - описаны процедуры
работы со стеком. Например, можно написать
procedure Добавить (t: T; var s: stack);
begin
| {s.Длина , N}
| s.Длина := s.Длина + 1;
| s.Содержание [s.Длина] := t;
end;
Использование стека.
Будем рассматривать последовательности открывающихся и закрывающихся
круглых и квадратных скобок ( ) [ ]. Среди всех таких
последовательностей выделим правильные - те, которые могут быть
получены по таким правилам:
1) пустая последовательность правильна.
2) если А и В правильны, то и АВ правильна.
3) если А правильна, то [A] и (A) правильны.
Пример. Последовательности (), [[]], [()[]()][] правильны,
а последовательности ], )(, (], ([)] - нет.
6.1.1. Проверить правильность последовательности за время,
не превосходящее константы, умноженной на её длину. Предполагается,
что члены последовательности закодированы числами:
( 1
[ 2
) -1
] -2
Решение. Пусть a[1]..a[n] - проверяемая последовательность.
Рассмотрим стек, элементами которого являются открывающиеся
круглые и квадратные скобки (т. е. 1 и 2).
Вначале стек делаем пустым. Далее просматриваем члены последовательности
слева направо. Встретив открывающуюся скобку
(круглую или квадратную), помещаем её в стек. Встретив закрывающуюся,
проверяем, что вершина в стеке - парная ей скобка; если
это не так, то можно утверждать, что последовательность неправильна,
если скобка парная, то заберем её (вершину) из стека.
Последовательность правильна, если в конце стек оказывается
пуст.
Сделать_Пустым (s);
i := 0; Обнаружена_Ошибка := false;
{прочитано i символов последовательности}
while (i " n) and not Обнаружена_Ошибка do begin
| i := i + 1;
| if (a[i] = 1) or (a[i] = 2) then begin
| | Добавить (a[i], s);
| end else begin {a[i] равно -1 или -2}
| | if Пуст (s) then begin
| | | Обнаружена_Ошибка := true;
| | end else begin
| | | Взять (t, s);
| | | Обнаружена ошибка := (t "" - a[i]);
| | end;
| end;
end;
Правильно := (not Обнаружена_Ошибка) and Пуст (s);
Убедимся в правильности программы. (1) Если последовательность
построена по правилам, то программа даст ответ "да".
Это легко доказать индукцией по построению правильной последовательности.
Надо проверить для пустой, для последовательности AB
в предположении, что для A и B уже проверено - и для последовательностей
[A] и (A) - в предположении, что для A уже проверено.
Для пустой очевидно. Для AB действия программы происходят как
для A и кончаются с пустым стеком; затем все происходит как для
B. Для [A] сначала помещается в стек открывающая квадратная
скобка и затем все идет как для A - с той разницей, что в глубине
стека лежит лишняя скобка. По окончании A стек становится
пустым - если не считать этой скобки - а затем и совсем пустым.
Аналогично для (A).
(2) Покажем, что если программа завершает работу с ответом
"да", то последовательность правильная. Рассуждаем индукцией по
длине последовательности. Проследим за состоянием стека в процессе
работы программы. Если он в некоторый промежуточный момент
пуст, то последовательность разбивается на две части, для каждой
из которых программа дает ответ "да"; остается воспользоваться
предположением индукции и определением правильности. Пусть стек
все время непуст. Это значит, что положенная в него на первом
шаге скобка будет вынута на последнем шаге. Тем самым, первый и
последний символы последовательности - это парные скобки, и последовательность
имеет вид (A) или [A], а работа программы (кроме
первого и последнего шагов) отличается от ее работы на A лишь
наличием лишней скобки на дне стека (раз ее не вынимают, она никак
не влияет на работу программы). Снова ссылаемся на предположение
индукции и определение правильности.
6.1.2. Как упростится программа, если известно, что в последовательности
могут быть только круглые скобки?
Решение. В этом случае от стека остается лишь его длина, и
мы фактически приходим к такому утверждению: последовательность
круглых скобок правильна тогда и только тогда, когда в любом начальном
ее отрезке число закрывающихся скобок не превосходит
числа открывающихся, а для всей последовательности эти числа
равны.
6.1.3. Реализовать с помощью одного массива два стека, суммарное
количество элементов в которых ограничено длиной массива;
все действия со стеками должны выполняться за время, ограниченное
константой, не зависящей от длины стеков.
Решение. Стеки должны расти с концов массива навстречу друг
другу: первый должен занимать места 6.1.4. Реализовать k стеков с элементами типа T, общее количество
элементов в которых не превосходит n, с использованием
массивов суммарной длины C*(n+k), затрачивая на каждое действие
со стеками (кроме начальных действий, делающих все стеки пустыми)
время, ограниченное некоторой константой.
Решение. Применяемый метод называется "ссылочной реализацией".
Он использует три массива:
n=8 | a | p | q | d | s | t | v | w |
k=2 | | | Свободная procedure Начать_работу; {Делает все стеки пустыми}
| var i: integer;
begin
| for i := 1 to k do begin
| | Вершина [i]:=0;
| end;
| for i := 1 to n-1 do begin
| | Следующий [i] := i+1;
| end;
| Свободная:=1;
end;
function Есть_место: boolean;
begin
| Есть Место := (Свободная "" 0);
end;
procedure Добавить (t: T; s: integer);
| {Добавить t к s-му стеку}
| var i: 1..n;
begin
| {Есть_место}
| i := Свободная;
| Свободная := Следующий [i];
| Вершина [s] :=i;
| Содержание [i] := t;
| Следующий [i] := Вершина [s];
end;
function Пуст (s: integer): boolean; {s-ый стек пуст}
begin
| Пуст := (Вершина [s] = 0);
end;
procedure Взять (var t: T; s: integer);
| {взять из s-го стека в t}
| var i: 1..n;
| begin
| {not Пуст (s)}
| i := Вершина [s];
| t := Содержание [i];
| Вершина [s] := Следующий [i];
| Следующий [i] := Свободная;
| Свободная := i;
end;
6.2. Очереди.
Значениями типа "очередь элементов типа T", как и для стеков,
являются последовательности значений типа T. Разница состоит
в том, что берутся элементы не с конца, а с начала (а добавляются
по-прежнему в конец).
Операции с очередями.
Сделать_пустой (var x: очередь элементов типа T);
Добавить (t: T, var x: очередь элементов типа T);
Взять (var t: T, var x: очередь элементов типа T);
Пуста (x: очередь элементов типа T): boolean;
Очередной (x: очередь элементов типа T): T.
При выполнении команды "Добавить" указанный элемент добавляется
в конец очереди. Команда "Взять" выполнима, лишь если
очередь непуста, и забирает из нее первый (положенный туда
раньше всех) элемент, помещая его в t. Значением функции "Очередной"
(определенной для непустой очереди) является первый элемент
очереди.
Английские названия стеков - Last In First Out (последним
вошел - первым вышел), а очередей - First In First Out (первым
вошел - первым вышел).
Реализация очередей в массиве.
6.2.1. Реализовать операции с очередью ограниченной длины
так, чтобы количество действий для каждой операции было ограничено
константой, не зависящей от длины очереди.
Решение. Будем хранить элементы очереди в соседних элементах
массива. Тогда очередь будет прирастать справа и убывать
слева. Поскольку при этом она может дойти до края, свернем массив
в окружность.
Введем массив Содержание: array [0..n-1] of T и переменные
Первый: 0..n-1,
Длина : 0..n.
При этом элементами очереди будут Моделирование операций:
Сделать Пустой:
Длина := 0;
Первый := 0;
Добавить элемент:
{Длина " n} Взять элемент;
{Длина " 0}
элемент := Содержание [Первый];
Первый := (Первый + 1) mod n;
Длина := Длина - 1;
Пуста = (Длина = 0);
Очередной = Содержание [Первый];
6.2.2. (Сообщил А.Г.Кушниренко) Придумать способ моделирования
очереди с помощью двух стеков (и фиксированного числа переменных
типа T). При этом отработка n операций с очередью (начатых,
когда очередь была пуста) должна требовать порядка n
действий.
Решение. Инвариант: стеки, составленные концами, образуют
очередь. (Перечисляя элементы одного стека вглубь и затем элементы
второго наружу, мы перечисляем все элементы очереди от
первого до последнего.) Ясно, что добавление сводится к добавлению
к одному из стеков, а проверка пустоты - к проверке пустоты
обоих стеков. Если мы хотим взять элемент, есть два случая. Если
стек, где находится начало очереди, не пуст, то берем из него
элемент. Если он пуст, то предварительно переписываем в него все
элементы второго стека, меняя порядок (это происходит само при
перекладывании из стека в стек) и сводим дело к первому случаю.
Хотя число действий при этом и не ограничено константой, но требование
задачи выполнено, так как каждый элемент очереди может
участвовать в этом процессе не более одного раза.
6.2.3. Деком называют структуру, сочетающую очередь и стек:
класть и забирать элементы можно с обоих концов. Как реализовать
дек ограниченного размера на базе массива так, чтобы каждая операция
требовала ограниченного числа действий?
6.2.4. (Сообщил А.Г.Кушниренко.) Имеется дек элементов типа
T и конечное число переменных типа T и целого типа. В начальном
состоянии в деке некоторое число элементов. Составить программу,
после исполнения которой в деке остались бы те же самые элементы,
а их число было бы в одной из целых переменных.
Указание. (1) Элементы дека можно циклически переставлять,
забирая с одного конца и помещая в другой. После этого, сделав
столько же шагов в обратном направлении, можно вернуть все на
место. (2) Как понять, прошли мы полный круг или не прошли? Если
бы был какой-то элемент, заведомо отсутствующий в деке, то можно
было бы его подсунуть и ждать вторичного появления. Но таких
элементов нет. Вместо этог
...Закладка в соц.сетях
