Жанр: Учеба
Программирование в теоремах и задачах
...о можно для данного n выполнить циклический
сдвиг на n дважды, подсунув разные элементы, и посмотреть,
появятся ли разные элементы через n шагов.
Применение очередей.
6.2.5. Напечатать в порядке возрастания первые n натуральных
чисел, в разложение которых на простые множители входят
только числа 2, 3, 5.
Решение. Введем три очереди x2, x3, x5, в которых будем
хранить элементы, которые в 2 (3, 5) раз больше напечатанных, но
еще не напечатанные. Определим процедуру
procedure напечатать_и_добавить (t: integer);
begin
| writeln (t);
| добавить (2*t, x2);
| добавить (3*t, x3);
| добавить (5*t, x5);
end;
Вот схема программы:
напечатать_и_добавить (1);
k := 1; { k - число напечатанных }
{инвариант: напечатано в порядке возрастания k минимальных
членов нужного множества; в очередях элементы, вдвое, втрое и
впятеро большие напечатанных, но не напечатанные, расположен-
ные в возрастающем порядке}
while k "" n do begin
| x := min (очередной (x2), очередной (x3), очередной (x5));
| напечатать_и_добавить (x);
| k := k+1;
| ...взять x из тех очередей, где он был очередным;
end;
Пусть инвариант выполняется. Рассмотрим наименьший из ненапечатанных
элементов множества. Тогда он делится нацело на одно
из чисел 2, 3, 5, и частное также принадлежит множеству. Значит,
оно напечатано. Значит, x находится в одной из очередей и, следовательно,
является в ней первым (меньшие напечатаны, а элементы
очередей не напечатаны). Напечатав x, мы должны его изъять и
добавить его кратные.
Длины очередей не превосходят числа напечатанных элементов.
Следующая задача связана с графами (к которым мы вернёмся в
главе 9).
Пусть задано конечное множество, элементы которого называют
вершинами, а также некоторое множество упорядоченных пар вершин,
называемых ребрами. В этом случае говорят, что задан ориентированный
граф. Пару "p, q" называют ребром с началом p и концом q;
говорят также, что оно выходит из вершины p и входит в вершину
q. Обычно вершины графа изображают точками, а ребра - стрелками,
ведущими из начала в конец. (В соответствии с определением из
данной вершины в данную ведет не более одного ребра; возможны
ребра, у которых начало совпадает с концом.)
6.2.6. Известно, что ориентированный граф связен, т. е. из
любой вершины можно пройти в любую по ребрам. Кроме того, из
каждой вершины выходит столько же ребер, сколько входит. Доказать,
что существует замкнутый цикл, проходящий по каждому ребру
ровно один раз. Составить алгоритм отыскания такого цикла.
Решение. Змеей будем называть непустую очередь из вершин, в
которой любые две вершины соединены ребром графа (началом является
та вершина, которая ближе к началу очереди). Стоящая в начале
очереди вершина будет хвостом змеи, последняя - головой. На
рисунке змея изобразится в виде цепи ребер графа, стрелки ведут
от хвоста к голове. Добавление вершины в очередь соответствует
росту змеи с головы, взятие вершины - отрезанию кончика хвоста.
Вначале змея состоит из единственной вершины. Далее мы следуем
такому правилу:
while змея включает не все ребра do begin
| if из головы выходит неиспользованное в змее ребро then begin
| | удлинить змею этим ребром
| end else begin
| | {хвост змеи в той же вершине, что и голова}
| | отрезать конец хвоста и добавить его к голове
| | {"змея откусывает конец хвоста"}
| end;
end;
Докажем, что мы достигнем цели.
1) Идя по змее от хвоста к голове, мы входим в каждую вершину
столько же раз, сколько выходим. Так как в любую вершину
входит столько же ребер, сколько выходит, то невозможность выйти
означает, что мы начали движение в этой же точке.
2) Змея не укорачивается, поэтому либо она охватывает все
ребра, либо, начиная с некоторого момента, будет иметь постоянную
длину. Во втором случае змея будет бесконечно "скользить по
себе". Это возможно, только если из всех вершин змеи не выходит
неиспользованных ребер. Из связности следует, что использованы
все ребра.
Замечание по реализации на паскале. Вершинами графа будем
считать числа 1..n. Для каждой вершины i будем хранить число
Out[i] выходящих из нее ребер, а также номера Num[i][1],...,
Num[i][Out[i]] тех вершин, куда эти ребра ведут. В процессе
построения змеи будет выбирать первое свободное ребро. Тогда
достаточно будет хранить для каждой вершины число выходящих из
нее использованных ребер - это будут ребра, идущие в начале
списка.
6.2.7. Доказать, что для всякого n существует последовательность
нулей и единиц длины (2 в степени n) со следующим
свойством: если "свернуть ее в кольцо" и рассмотреть все фрагменты
длины n (их число равно (2 в степени n)), то мы получим
все возможные последовательности нулей и единиц длины n. Построить
алгоритм отыскания такой последовательности, требующий не
более (C в степени n) действий для некоторой константы C.
Указание. Рассмотрим граф, вершинами которого являются последовательности
нулей и единиц длины (n-1). Будем считать, что
из вершины x ведет ребро в вершину y, если x может быть началом,
а y - концом некоторой последовательности длины n. Тогда из каждой
вершины входит и выходит два ребра. Цикл, проходящий по всем
ребрам, и даст требуемую последовательность.
6.2.8. Реализовать k очередей с ограниченной суммарной длиной
n, используя память порядка n+k, причем каждая операция
(кроме начальной, делающей все очереди пустыми) должна требовать
ограниченного константой числа действий.
Решение. Действуем аналогично ссылочной реализации стеков:
мы помним (для каждой очереди) первого, каждый член очереди помнит
следующего за ним (для последнего считается, что за ним стоит
фиктивный элемент с номером 0). Кроме того, мы должны для
каждой очереди знать последнего (если он есть) - иначе не
удастся добавлять. Как и для стеков, отдельно есть цепь свободных
ячеек. Заметим, что для пустой очереди информация о последнем
элементе теряет смысл - но она и не используется при добавлении.
procedure Сделать_пустым;
| var i: integer;
begin
| for i := 1 to n-1 do begin
| | Следующий [i] := i + 1;
| end;
| Свободная := 1;
| for i := 1 to k do begin
| | Первый [i]:=0;
| end;
end;
function Есть_место : boolean;
begin
| Есть_место := Свободная "" 0;
end;
function Пуста (номер_очереди: integer): boolean;
begin
| Пуста := Первый [номер_очереди] = 0;
end;
procedure Взять (var t: T; номер_очереди: integer);
| var перв: integer;
begin
| {not Пуста (номер_очереди)}
| перв := Первый [номер_очереди];
| t := Содержание [перв]
| Первый [номер_очереди] := Следующий [перв];
| Следующий [перв] := Свободная;
| Свободная := Перв;
end;
procedure Добавить (t: T; номер_очереди: integer);
| var нов, посл: 1..n;
begin
| {Есть_свободное_место }
| нов := Свободная; Свободная := Следующий [Свободная];
| {из списка свободного места изъят номер нов}
| if Пуста (номер_очереди) then begin
| | Первый [номер_очереди] := нов;
| | Последний [номер_очереди] := нов;
| | Следующий [нов] := 0;
| | Содержание [нов] := t;
| end else begin
| | посл := Последний [номер_очереди];
| | {Следующий [посл] = 0 }
| | Следующий [посл] := нов;
| | Следующий [нов] := 0;
| | Содержание [нов] := t
| | Последний [номер_очереди] := нов;
| end;
end;
function Очередной (номер_очереди: integer): T;
begin
| Очередной := Содержание [Первый [номер_очереди]];
end;
6.2.9. Та же задача для деков вместо очередей.
Указание. Дек - структура симметричная, поэтому надо хранить
ссылки в обе стороны (вперед и назад). При этом удобно к
каждому деку добавить фиктивный элемент, замкнув его в кольцо, и
точно такое же кольцо образовать из свободных позиций.
В следующей задаче дек используется для хранения вершин выпуклого
многоугольника.
6.2.10. На плоскости задано n точек, пронумерованных слева
направо (а при равных абсциссах - снизу вверх). Составить программу,
которая строит многоугольник, являющийся их выпуклой оболочкой,
за не более чем C*n действий.
Решение. Будем присоединять точки к выпуклой оболочке одна
за другой. Легко показать, что последняя присоединенная точка
будет одной из вершин выпуклой оболочки. Эту вершину мы будем
называть выделенной. Очередная присоединяемая точка видна из выделенной
(почему?). Дополним наш многоугольник, выпустив из выделенной
вершины "иглу", ведущую в присоединяемую точку. Получится
вырожденный многоугольник, и остается ликвидировать в нем
"впуклости".
[Рисунок]
Будем хранить вершины многоугольника в деке в порядке обхода
его периметра по часовой стрелке. При этом выделенная вершина
является началом и концом (головой и хвостом) дека. Присоединение
"иглы" теперь состоит в добавлении присоединяемой вершины в
голову и в хвост дека. Устранение впуклостей несколько более
сложно. Назовем подхвостом и подподхвостом элементы дека, стоящие
за его хвостом. Устранение впуклости у хвоста делается так:
while по дороге из хвоста в подподхвост мы поворачиваем
| у подхвоста влево ("впуклость") do begin
| выкинуть подхвост из дека
end
Таким же способом устраняется впуклость у головы дека.
Замечание. Действия с подхвостом и подподхвостом не входят в
определение дека, однако сводятся к небольшому числу манипуляций
с деком (надо забрать три элемента с хвоста, сделать что надо и
вернуть).
Ещё одно замечание. Есть два вырожденных случая: если мы вообще
не поворачиваем у похвоста (т.е. три соседние вершины лежат
на одной прямой) и если мы поворачиваем на 180 градусов (так бывает,
если наш многоугольник есть двуугольник). В первом случае
подхвост стоит удалить (чтобы в выпуклой оболочке не было лишних
вершин), а во втором случае - обязательно оставить.
6.3. Множества.
Пусть Т - некоторый тип. Существует много способов хранить
(конечные) множества элементов типа Т; выбор между ними определяется
типом T и набором требуемых операций.
Подмножества множества {1..n}.
6.3.1. Используя память, пропорциональную n, хранить
подмножества множества {1..n}.
Операции Число действий
Сделать пустым C*n
Проверить принадлежность C
Добавить C
Удалить С
Минимальный элемент C*n
Проверка пустоты C*n
Решение. Храним множество как array [1..n] of boolean.
6.3.2. То же, но проверка пустоты должна выполняться за
время C.
Решение. Храним дополнительно количество элементов.
6.3.3. То же при следующих ограничениях на число действий:
Операции Число действий
Сделать пустым C*n
Проверить принадлежность C
Добавить C
Удалить C*n
Минимальный элемент C
Проверка пустоты C
Решение. Дополнительно храним минимальный элемент множества.
6.3.4 То же при следующих ограничениях на число действий:
Операции Число действий
Сделать пустым С*n
Проверить принадлежность С
Добавить С*n
Удалить С
Минимальный элемент С
Проверка пустоты C
Решение. Храним минимальный, а для каждого - следующий и
предыдущий по величине.
Множества целых чисел.
В следующих задачах величина элементов множества не ограничена,
но их количество не превосходит n.
6.3.5. Память C*n.
Операции Число действий
Сделать пустым C
Число элементов C
Проверить принадлежность C*n
Добавить новый
(заведомо отсутствующий) C
Удалить C*n
Минимальный элемент C*n
Взять какой-то элемент C
Решение. Множество представляем с помощью переменных
a:array [1..n] of integer, k: 0..n; множество содержит k элементов
a[1],...,a[k]; все они различны. По существу мы храним элементы
множества в стеке (без повторений).
6.3.6. Память C*n.
Операции Число действий
Сделать пустым C
Проверить пустоту C
Проверить принадлежность C*(log n)
Добавить С*n
Удалить C*n
Минимальный элемент С
Решение. См. решение предыдущей задачи с дополнительным условием
a[1] " ... " a[k]. При проверке принадлежности используем
двоичный поиск.
В следующей задаче полезно комбинировать разные способы.
6.3.7. Используя описанное в предыдущей задаче представление
множеств, найти все вершины ориентированного графа, доступные
из данной по ребрам. (Вершины считаем числами 1..n.) Время
не больше C * (общее число ребер, выходящих из доступных вершин).
Решение. (Другое решение смотри в главе о рекурсии.) Пусть
num[i] - число ребер, выходящих из i, out[i][1], ...,
out[i][num[i]] - вершины, куда ведут ребра.
procedure Доступные (i: integer);
| {напечатать все вершины, доступные из i, включая i}
| var X: подмножество 1..n;
| P: подмножество 1..n;
| q, v, w: 1..n;
| k: integer;
begin
| ...сделать X, P пустыми;
| writeln (i);
| ...добавить i к X, P;
| {(1) P = множество напечатанных вершин; P содержит i;
| (2) напечатаны только доступные из i вершины;
| (3) X - подмножество P;
| (4) все напечатанные вершины, из которых выходит
| ребро в ненапечатанную вершину, принадлежат X}
| while X непусто do begin
| | ...взять какой-нибудь элемент X в v;
| | for k := 1 to num [v] do begin
| | | w := out [v][k];
| | | if w не принадлежит P then begin
| | | | writeln (w);
| | | | добавить w в P;
| | | | добавить w в X
| | | end;
| | end;
| end;
end;
Свойство (1) не нарушается, так как печать происходит одновременно
с добавлением в P. Свойства (2): раз v было в X, то v
доступно, поэтому w доступно. Свойство (3) очевидно. Свойство
(4): мы удалили из X элемент v, но все вершины, куда из v идут
ребра, перед этим напечатаны.
Оценка времени работы. Заметим, что изъятые из X элементы
больше туда не добавляются, так как они в момент изъятия (и,
следовательно, всегда позже) принадлежат P, а добавляются только
элементы не из P. Поэтому цикл while выполняется не более, чем
по разу, для всех доступных вершин, а цикл for выполняется
столько раз, сколько из вершины выходит ребер.
Для X надо использовать представление со стеком или очередью
(см. выше), для P - булевский массив.
6.3.8. Решить предыдущую задачу, если требуется, чтобы доступные
вершины печатались в таком порядке: сначала заданная вершина,
потом ее соседи, потом соседи соседей (еще не напечатанные)
и т.д.
Указание. Так получится, если использовать очередь в приведенном
выше решении: докажите индукцией по k, что существует момент,
в который напечатаны все вершины на расстоянии не больше
k, а в очереди находятся все вершины, удаленные ровно на k.
Более сложные способы представления множеств будут разобраны в
главах 11 (Хеширование) и 12 (Деревья).
6.4. Разные задачи.
6.4.1. Реализовать структуру данных, которая имеет все те
же операции, что массив длины n, а именно
начать работу
положить в i-ю ячейку число n
узнать, что лежит в i-ой ячейке
а также операцию "указать номер минимального элемента" (или одного
из минимальных элементов). Количество действий для всех
операций должно быть не более C*log n, не считая операции "начать
работу" (которая требует не более C*n действий).
Решение. Используется прием, изложенный в разделе о сортировке
деревом. Именно, надстроим над элементами массива как над
листьями двоичное дерево, в каждой вершине которого храним минимум
элементов соответствующего поддерева. Корректировка этой информации,
а также прослеживание пути из корня к минимальному
элементу требуют логарифмического числа действий.
6.4.2. Приоритетная очередь - это очередь, в которой важно
не то, кто встал последним (порядок помещения в нее не играет
роли), а кто главнее. Более точно, при помещении в очередь указывается
приоритет помещаемого объекта (будем считать приоритеты
целыми числами), а при взятии из очереди выбирается элемент с
наибольшим приоритетом (или один из таких элементов). Реализовать
приоритетную очередь так, чтобы помещение и взятие элемента
требовали логарифмического числа действий (от размера очереди).
Решение. Следуя алгоритму сортировки деревом (в его окончательном
варианте), будем размещать элементы очереди в массиве
x[1]..x[k], поддерживая такое свойство: x[i] старше (имеет
больший приоритет) своих сыновей x[2i] и x[2i+1], если таковые
существуют - и, следовательно, всякий элемент старше своих потомков.
(Сведения о приоритета также хранятся в массиве, так что
мы имеем дело с массивом пар (элемент, приоритет).) Удаление
элемента с сохранением этого свойства описано в алгоритме сортировки.
Надо еще уметь восстанавливать свойство после добавления
элемента в конец. Это делается так:
t:= номер добавленного элемента
{инвариант: в дереве любой предок приоритетнее потомка,
если этот потомок - не t}
while t - не корень и t старше своего отца do begin
| поменять t с его отцом
end;
Если очередь образуют граждане, стоящие в вершинах дерева, т.е.
за каждым стоит двое, а перед каждым (кроме первого) - один, то
смысл этого алгоритма ясен: встав в конец, приоритетный гражданин
начинает пробираться к началу, вытесняя впереди стоящих -
пока не встретит более приоритетного.
Замечание. Приоритетную очередь естественно использовать
при моделировании протекающих во времени процессов. При этом
элементы очереди - это ожидаемые события, а их приоритет определяется
временем, когда они произойдут.
7.1. Примеры рекурсивных программ.
При анализе рекурсивной программы возникает, как обычно, два
вопроса:
(а) почему программа заканчивает работу?
(б) почему она работает правильно, если заканчивает
работу?
Для (б) достаточно проверить, что (содержащая рекурсивный
вызов) программа работает правильно, предположив, что вызываемая
ею одноименная программа работает правильно. В самом деле, в
этом случае в цепочке рекурсивно вызываемых программ все программы
работают правильно (убеждаемся в этом, идя от конца цепочки
к началу).
Чтобы доказать (а), обычно проверяют, что с каждым рекурсивным
вызовом значение какого-то параметра уменьшается, и это
не может продолжаться бесконечно.
7.1.1. Написать рекурсивную процедуру вычисления факториала
целого положительного числа n (т.е. произведения чисел 1..n,
обозначаемого n!).
Решение. Используем равенства 1!=1, n!= (n-1)!*n.
procedure factorial (n: integer; var fact: integer);
| {положить fact равным факториалу числа y}
begin
| if n=1 then begin
| | fact:=1;
| end else begin {n"1}
| | factorial (n-1, fact);
| | fact:= fact*n;
| end;
end;
С использованием процедур-функций можно написать так:
function factorial (n: integer): integer;
begin
| if n=1 then begin
| | factorial:=1;
| end else begin {n"1}
| | factorial:= factorial (n-1)*n;
| end;
end;
Обратите внимание на некоторую двойственность использования имени
factorial внутри описания функции: оно обозначает как переменную,
так и вызываемую рекурсивно функцию. К счастью, в нашем
случае они различаются по скобкам после имени, но если бы
функция была без параметров, то дело было бы плохо. (Стандартная,
но трудно находимая ошибка возникает, если автор полагает,
что он использует значение переменной, а компилятор в этом
месте видит рекурсивный вызов.)
7.1.2. Обычно факториал определяют и для нуля, считая, что
0!=1. Измените программы соответственно.
7.1.3. Напишите рекурсивную программу возведения в целую неотрицательную
степень.
7.1.4. То же, если требуется, чтобы глубина рекурсии не превосходила
C*log n, где n - степень.
Решение.
function power (a,n: integer): integer;
begin
| if n = 0 then begin
| | power:= 1;
| end else if n mod 2 = 0 then begin
| | power:= power(a*2, n div 2);
| end else begin
| | power:= power(a, n-1)*a;
| end;
end;
7.1.5. Что будет, если изменить программу, приведенную в
решении предыдущей задачи, заменив строку
power:= power(a*2, n div 2)
на
power:= power(a, n div 2)* power(a, n div 2)?
Решение. Программа останется правильной. Однако она станет
работать медленнее. Дело в том, что теперь вызов может породить
два вызова (хотя и одинаковых) вместо одного - и число вызовов
быстро растет с глубиной рекурсии. Программа по-прежнему имеет
логарифмическую глубину рекурсии, но число шагов работы становится
линейным вместо логарифмического.
Этот недостаток можно устранить, написав
t:= power(a, n div 2);
power:= t*t;
или воспользовавшись функцией возведения в квадрат (sqr).
7.1.6. Используя лишь команды write(x) при x=0..9, написать
рекурсивную программу печати десятичной записи целого положительного
числа n.
Решение. Здесь использование рекурсии облегчает жизнь
(проблема была в том, что цифры легче получать с конца, а печатать
надо с начала).
procedure print (n:integer); {n"0}
begin
| if n"10 then begin
| | write (n);
| end else begin
| | print (n div 10);
| | write (n mod 10);
| end;
end;
7.1.7. Игра "Ханойские башни" состоит в следующем. Есть три
стержня. На первый из них надета пирамидка из n колец (большие
кольца снизу, меньшие сверху). Требуется переместить кольца на
другой стержень. Разрешается перекладывать кольца со стержня на
стержень, но класть большее кольцо поверх меньшего нельзя. Составить
программу, указывающую требуемые действия.
Решение. Напишем рекурсивную процедуру перемещения i
верхних колец с m-го стержня на n-ый (предполагается, что остальные
кольца больше по размеру и лежат на стержнях без движения).
procedure move(i,m,n: integer);
| var s: integer;
begin
| if i = 1 then begin
| | writeln ('сделать ход', m, '-"', n);
| end else begin
| | s:=6-m-n; {s - третий стержень: сумма номеров равна 6}
| | move (i-1, m, s);
| | writeln ('сделать ход', m, '-"', n);
| | move (i-1, s, n);
| end;
end;
(Сначала переносится пирамидка из i-1 колец на третью палочку.
После этого i-ое кольцо освобождается, и его можно перенести куда
следует. Остается положить на него пирамидку.)
7.2. Рекурсивная обработка деревьев
Двоичным деревом называется картинка вроде
o
\
o o
\ /
o o
\ /
o
Нижняя вершина называется корнем. Из каждой вершины могут идти
две линии: влево вверх и вправо вверх. Вершины, куда они ведут,
называются левым и правым сыновьями исходной вершины. Вершина
может иметь двух сыновей, а может иметь только одного сына (левого
или правого). Она может и вовсе не иметь сыновей, и в этом
случае называется листом.
Пусть x - какая-то вершина двоичного дерева. Она сама вместе
с сыновьями, внуками, правнуками и т.д. образует поддерево с
корнем в x - "поддерево потомков x".
В следующих задачах мы предполагаем, что вершины дерева
пронумерованы целыми положительными числами, причем номера всех
вершин различны. Мы считаем, что номер корня хранится в переменной
root. Мы считаем, что имеются два массива
l,r: array [1..N] of integer
и левый и правый сын вершины с номером i имеют соответственно
номера l[i] и r[i]. Если вершина с номером i не имеет левого
(или правого) сына, то l[i] (соответственно r[i]) равно 0. (По
традиции при записи программ мы используем вместо нуля константу
nil, равную нулю.)
Здесь N - достаточно большое натуральное число (номера всех
вершин не превосходят N). Отметим, что номер вершины никак не
связан с ее положением в дереве и что не все числа от 1 до N
обязаны быть номерами вершин (и, следовательно, часть данных в
массивах l и r - это мусор).
7.2.1. Пусть N=7, root=3, массивы l и r таковы:
i | 1 2 3 4 5 6 7
l[i] | 0 0 1 0 6 0 7
r[i] | 0 0 5 3 2 0 7
Нарисовать соответствующее дерево.
Ответ: 6 2
\ /
1 5
\ /
7.2.2. Написать программу подсчета числа вершин в дереве.
Решение. Рассмотрим функцию n(x), равную числу вершин в
поддереве с корнем в вершине номер x. Считаем, что n(nil)=0 (полагая
соответствующее поддерево пустым), и не заботимся о значениях
nil(s) для чисел s, не являющихся номерами вершин. Рекурсивная
программа для s такова:
function n (x:integer):integer;
begin
| if x = nil then begin
| | n:= 0;
| end else begin
| | n:= n(l[x]) + n(r[x]) + 1;
| end;
end;
(Число вершин в поддереве над вершиной x равно сумме чисел вершин
над ее сыновьями плюс она сама.) Глубина рекурсии конечна,
так как с каждым шагом высота соответствующего поддерева
уменьшается.
7.2.3. Написать программу подсчета числа листьев в дереве.
Ответ.
function n (x:integer):integer;
begin
| if x = nil then begin
| | n:= 0;
| end else if (l[x]=nil) and (r[x]=nil) then begin {лист}
| | n:= 1;
| end;
| end else begin
| | n:= n(l[x]) + n(r[x]);
| end;
end;
7.2.4. Написать программу подсчета высоты дерева (корень
имеет высоту 0, его сыновья - высоту 1, внуки - 2 и т.п.; высота
дерева - это максимум высот его вершин).
Указание. Рекурсивно определяется функция f(x) = высота
поддерева с корнем в x.
7.2.5. Написать программу, которая по заданному n считает
число всех вершин высоты n (в заданном дереве).
Вместо подсчета количества вершин того или иного рода можно
просить напечатать список этих вершин (в том или ином порядке).
7.2.6. Написать программу, которая печатает (по одному разу)
все вершины дерева.
Решение. Пр
...Закладка в соц.сетях
