Жанр: Учеба
Программирование в теоремах и задачах
...0. Проделать описанный анализ для грамматики
E -" E + T
E -" T
T -" T * F
T -" F
F -" x
F -" ( E )
Решение.
Слово S Сост(S)
_________________________________________________
пустое E-"_E+T;E-"_T;T-"_T*F;T-"_F;F-"_x;F-"_(E)
E E-"E_+T
T E-"T_; T-"T_*F;
F T-"F_
x F-"x_
( F-"(_E);E-"_E+T;E-"_T;T-"_T*F;T-"_F;F-"_x;F-"_(E)
E+ E-"E+_T;T-"_T*F;T-"_F;F-"_x;F-"_(E)
T* T-"T*_F;F-"_x;F-"_(E)
(E F-"(E_);E-"E_+T;
(T = T
(F = F
(x = x
(( = (
E+T E-"E+T_;T-"T_*F
E+F = F
E+x = x
E+( = (
T*F T-"T*F_;
T*x = x
T*( = (
(E) F-"(E)_
(E+ = E+
E+T* = T*
Знак равенства означает, что множества ситуаций, являющиеся значениями
функции Сост(S) на словах, стоящих слева и справа от
знака равенства, одинаковы.
Правило определения Сост(SJ), если известны Сост(S) и J (S
- слово из терминалов и нетерминалов, J - терминал или нетерминал),
таково:
надо найти Сост(S) в правой колонке, взять соответствующее
ему слово T в левой колонке, приписать к нему J и взять множество,
стоящее напротив слова ТJ (если слово ТJ в таблице отсутствует,
то Сост(SJ) пусто).
14.2. LR(0)-грамматики.
Напомним, что наша основная цель - это поиск вывода заданного
слова, или, другими словами, поиск успешного LR-процесса
над ним. Во всех рассматриваемых нами грамматиках успешный
LR-процесс (над данным словом) единствен. Искать этот единственный
успешный процесс мы будем постепенно: в каждый момент мы
смотрим, какой шаг возможен следующим. Для этого на грамматику
надо наложить дополнительные требования, и сейчас мы рассмотрим
простейший случай так называемых LR(0)-грамматик.
Мы уже знаем:
(1) В успешном LR-процессе возможна свертка по правилу K-"U
при содержимом стека S тогда и только тогда, когда S принадлежит
ЛевКонт(K-"U) или, другими словами, когда слово S согласовано с
ситуацией K-"U_.
Аналогичное утверждение про сдвиг гласит:
(2) В успешном LR-процессе при содержимом стека S
возможен сдвиг с очередным символом a тогда и только тогда, когда
S согласовано с некоторой ситуацией K-"U_aV.
14.2.1. Докажите это.
Указание. Пусть произошел сдвиг и к стеку S добавилась буква
a. Рассмотрите первую свертку, затрагивающую эту букву.
Теперь мы можем дать
Определение. Рассмотрим некоторую грамматику и произвольное
слово S из терминалов и нетерминалов. Если множество Сост(S) содержит
ситуацию, в которой справа от подчеркивания стоит терминал,
то говорят, что для слова S возможен сдвиг. Если в Сост(S)
есть ситуация, в которой справа от подчеркивания ничего нет, то
говорят, что для слова S возможна свертка (по соответствующему
правилу). Говорят, что для слова S возникает конфликт типа
сдвиг/свертка, если возможен и сдвиг, и свертка. Говорят, что
для слова S возникает конфликт типа свертка/свертка, если есть
несколько правил, по которым возможна свертка.
Грамматика называется LR(0)-грамматикой, если в ней нет
конфликтов типа сдвиг/свертка и свертка/свертка ни для одного
слова S.
14.2.2. Является ли приведенная выше грамматика LR(0)-грамматикой?
Решение. Нет, не является. Для слов T и E+T имеются
конфликты типа сдвиг/свертка.
14.2.3. Являются ли LR(0)-грамматиками такие:
(а) T-"0
T-"T1
T-"TT2
T-"TTT3
(б) T-"0
T-"1T
T-"2TT
T-"3TTT
Решение. (а)
Слово S Сост(S)
_________________________________________
пустое Т-"_0;T-"_T1;T-"_TT2;T-"_TTT3
0 Т-"0_
Т Т-"Т_1;T-"T_T2;T-"T_TT3;Т-"_0;T-"_T1;T-"_TT2;T-"_TTT3
T1 T-"T1_
TT T-"TT_2;T-"TT_T3;T-"T_1;T-"T_T2;T-"T_TT3;
T-"_0;T-"_T1;T-"_TT2;T-"_TTT3
TT2 T-"TT2_
TTT T-"TTT_3;T-"TT_2;T-"TT_T3;T-"T_1;T-"T_T2;T-"T_TT3
Т-"_0;T-"_T1;T-"_TT2;T-"_TTT3
TT0 = 0
TTT3 T-"TTT3_
TTT2 = TT2
TTTT = TT
TTT0 = 0
Конфликтов нет, это LR(0)-грамматика.
(б)
Слово S Сост(S)
_______________________________________________
пустое T-"_0;T-"_1Т;T-"_2ТТ;T-"_3ТТТ
0 Т-"0_
1 Т-"1_T;T-"_0;T-"_1Т;T-"_2ТТ;T-"_3ТТТ
2 T-"2_TT;T-"_0;T-"_1Т;T-"_2ТТ;T-"_3ТТТ
3 T-"3_TTT;T-"_0;T-"_1Т;T-"_2ТТ;T-"_3ТТТ
1T T-"1T_
10 = 0
11 = 1
12 = 2
13 = 3
2T T-"2T_T;T-"_0;T-"_1Т;T-"_2ТТ;T-"_3ТТТ
20 = 0
21 = 1
22 = 2
23 = 3
3T T-"3T_TT;T-"_0;T-"_1Т;T-"_2ТТ;T-"_3ТТТ
30 = 0
31 = 1
32 = 2
33 = 3
2TT T-"2TT_
2T0 = 0
2T1 = 1
2T2 = 2
2T3 = 3
3TT T-"3TT_T;T-"_0;T-"_1Т;T-"_2ТТ;T-"_3ТТТ
3T0 = 0
3T1 = 1
3T2 = 2
3T3 = 3
3TTT T-"3TTT_
3TT0 = 0
3TT1 = 1
3TT2 = 2
3TT3 = 3
Конфликтов нет, это LR(0)-грамматика.
Эта задача показывает, что LR(0)-грамматики могут быть как
леворекурсивными, так и праворекурсивными.
14.2.4. Пусть дана LR(0)-грамматика. Доказать, что у любого
слова существует не более одного правого вывода. Построить алгоритм
проверки выводимости в LR(0)-грамматике.
Решение. Пусть дано произвольное слово A. Будем строить
LR-процесс над A по шагам. Пусть текущее состояние стека LR-процесса
равно S. Нам надо решить, делать сдвиг или свертку (и если
сертку, то по какому правилу). Согласно определнию LR(0)-грамматики
в нашем состоянии S возможен либо только сдвиг, либо только
свертка (причем лишь по одному правилу). Таким образом, поиск
возможных продолжений LR-процесса происходит детерминированно
(на каждом шаге можно определить, какое действие только и возможно).
14.2.5. Что произойдет, если анализируемое слово не имеет
вывода в данной грамматике?
Ответ. Либо на некотором шаге не будет возможен ни сдвиг,
ни свертка, либо все возможные сдвиги будет иметь неподходящий
очередной символ.
Замечания. 1. При реализации этого алгоритма нет необходимости
каждый раз заново вычислять множество Сост(S) для текущего
значения S. Эти множества можно также хранить в стеке (в каждый
момент хранятся множества Сост(T) для всех начал текущего слова
S).
2. На самом деле само слово S можно не хранить - достаточно
хранить множества ситуаций Сост(T) для всех его начал T.
В алгоритме проверки выводимости в LR(0)-грамматике мы используем
не всю информацию, которую могли бы. В этом алгоритме
для каждого состояния известно заранее, что в нем возможен
только сдвиг или только свертка (причем в последнем случае известно,
по какому правилу). Более изощренный алгоритм мог бы
принимать решение о выборе между сдвигом и сверткой, посмотрев
на очередной символ (Next). Глядя на состояние, можно сказать,
при каких значениях Next возможен сдвиг (это те терминалы, которые
в ситуациях этого состояния стоят непосреджственно за подчеркиванием).
Сложнее воспользоваться информацией о символе Next
для решения вопроса о том, возможна ли свертка. Для этого есть
упрощенный метод (грамматики, к которым он применим, называют
SLR(1)-грамматиками [сокращение от Simple LR(1)]) и полный метод
(более сложный, но использующий всю возможную информацию; грамматики,
к которым он применим, называют LR(1)-грамматиками).
Есть и промежуточный класс грамматик, называемый LALR(1).
14.3. SLR(1)-грамматики
Напомним, что для любого нетерминала K мы определяли множество
Послед(K) тех терминалов, которые могут стоять непосредственно
за K в выводимом (из начального нетерминала) слове; в
это множество добавляют также специальный символ EOI, если нетерминал
K может стоять в конце выводимого слова.
14.3.1. Доказать, что если в данный момент LR-процесса последний
символ стека S равен K, причем процесс этот может в
дальнейшем успешно завершиться, то Next принадлежит Послед(K).
Решение. Этот факт является непосредственным следствием определения
(вспомним соответствие между правыми выводами и
LR-процессами).
Определение. Рассмотрим некоторую грамматику, произвольное
слово S из терминалов и нетерминалов и терминал x. Если множество
Сост(S) содержит ситуацию, в которой справа от подчеркивания
стоит терминал x, то говорят, что для пары (S,x) возможен
сдвиг. Если в Сост(S) есть ситуация K-"U_, причем x принадлежит
Послед(K), то говорят, что для пары (S,x) SLR(1)-возможна
свертка (по правилу K-"U). Говорят, что для пары (S,x) возникает
конфликт типа сдвиг/свертка, если возможен и сдвиг, и свертка.
Говорят, что для пары (S,x) возникает конфликт типа
свертка/свертка, если есть несколько правил, по которым возможна
свертка.
Грамматика называется SLR(1)-грамматикой, если в ней нет
конфликтов типа сдвиг/свертка и свертка/свертка ни для одной пары
(S,x).
14.3.2. Пусть дана SLR(1)-грамматика. Доказать, что у любого
слова существует не более одного правого вывода. Построить
алгоритм проверки выводимости в SLR(1)-грамматике.
Решение. Аналогично случаю LR(0)-грамматик, только при выборе
между сдвигом и сверткой учитывается очередной символ Next.
14.3.3. Проверить, является ли приведенная выше грамматика
(с E, T и F) SLR(1)-грамматикой.
Решение. Да, является, так как оба конфликта, мешающие ей
быть LR(0)-грамматикой, разрешаются с учетом очередного символа:
и для слова T, и для слова E+T сдвиг возможен только при Nеxt =
*, а символ * не принадлежит Послед(E) = {EOI,+,)}, и поэтому
при Next = * свертка невозможна.
14.4. LR(1)-грамматики, LALR(1)-грамматики
Описанный выше SLR(1)-подход используют не всю возможную
информацию при выяснении того, возможна ли свертка. Именно, он
отдельно проверяет, возможна ли свертка при данном состоянии
стека S и отдельно - возможна ли свертка по данному правилу при
данном символе Next. Между тем эти проверки не являются независимыми:
обе могут дать положительный ответ, но тем не менее
свертка при стеке S и очередном символе Next невозможна. В
LR(1)-подходе этот недостаток устраняется.
LR(1)-подход состоит вот в чем: все наши определения и утверждения
модифицируются так, чтобы учесть, какой символ стоит
справа от разворачивамого нетерминала (другими словами, чему равен
Next при свертке).
Пусть K-"U - одно из правил грамматики, а t - некоторый
терминал или спецсимвол EOI (который мы домысливаем в конце
входного слова). Определим множество ЛевКонт(K-"U,t) как множество
всех слов, которые являются содержимым стека непосредственно
перед сверткой U в K в ходе успешного LR-процесса,
при условии Next = t (в момент свертки).
Если отбросить у всех слов из ЛевКонт(K-"U) их конец U, то
получится множество всех слов, которые могут появиться в правых
выводах перед нетерминалом K, за которым стоит символ t. Это
множество (не зависящее от того, какое из правил для нетерминала
K выбрано) мы будем обозначать Лев(K,t).
14.4.1. Написать грамматику для порождения множеств
Лев(K,t).
Решение. Ее нетерминалами будут символы "ЛевКt" для каждого
нетерминала K и для каждого терминала t (и для t=EOI). Ее правила
таковы. Пусть P - начальный нетерминал исхолной проамматики.
Тогда в новой грамматике будет правило
"ЛевP EOI" -" (пустое слово)
Для каждого правила исходной грамматики, например, для правила
K-" L u M N (L, M, N - нетерминалы, u - терминал)
в новую грамматику мы добавим правила
"ЛевL u" -" "ЛевК x" (для всех терминалов x)
"ЛевМ s" -" "ЛевК y" L u
(для всех s, которые могут начинать слова, выводимые из N, и для
всех y, а также для всех s = y, если из N выводимо пустое слово)
"ЛевN s" -" "ЛевК s" L u M (для всех теминалов s).
14.4.2. Как меняется определение ситуации?
Решение. Ситуацией называется пара
[ситуация в старом смысле, терминал или EOI]
14.4.3. Как изменится определение согласованности?
Решение. Слово S из терминалов и нетерминалов согласовано с
ситуацией [K-"U_V, t] (здесь t - терминал или EOI), если S кончается
на U, то есть S=TU, и, кроме того, T принадлежит
Лев(K,t).
14.4.4. Каковы правила для индуктивного вычисления множества
Сост(S) ситуаций, согласованных с данным словом S?
Ответ. (1) Если слово S было согласовано с ситуацией
[K-"U_V, t], причем слово V начиналось на букву J, то есть V=JW,
то теперь слово SJ будет согласовано с ситуацией [K-"UJ_W,t].
Это правило полностью определяет все ситуации с непустой
левой половиной (то есть не начинающиеся с подчеркивания), согласованные
с SJ. Осталось определить, для каких нетерминалов K и
терминалов t слово SJ принадлежит Лев(K,t). Это делается по двум
правилам:
(2) Если уже выяснено, что ситуация [L-"U_V,t] согласована
с SJ (по правилу (1)), а V начинается на нетерминал К, то SJ
принадлежит Лев(K,s) для всех терминалов s, которые могут начинать
слова, выводимые из слова V\K (слово V без первой буквы K),
а также для s=t, если из V\K выводится пустое слово.
(3) Если уже выяснено, что SJ входит в Лев(L,t) для некоторых
L и t, причем L-"V - правило грамматики и V начинается на
нетерминал K, то SJ принадлежит Лев(K,s) для всех терминалов s,
которые могут начинать слова, выводимые из V\K, а также для s=t,
если из V\K выводится пустое слово.
14.4.5. Дать определения конфликтов сдвиг/свертка и
свертка/свертка по аналогии с данными выше..
Решение. Пусть дана некоторая грамматика. Пусть S - произвольное
слово из терминалов и нетерминалов. Если множество
Сост(S) содержит ситуацию, в которой справа от подчеркивания
стоит терминал t , то говорят, что для пары (S,t) возможен
сдвиг. (Это определение не изменилось по сравнению с SLR(1)-случаем
- вторые компоненты пар из Сост(S) не учитываются.)
Если в Сост(S) есть ситуация, в которой справа от подчеркивания
ничего нет, а вторым членом пары является терминал t, то
говорят, что для пары (S,t) LR(1)-возможна свертка (по соответствующему
правилу). Говорят, что для пары (S,t) возникает
конфликт типа сдвиг/свертка, если возможен и сдвиг, и свертка.
Говорят, что для пары (S,t) возникает конфликт типа
свертка/свертка, если есть несколько правил, по которым возможна
свертка.
Грамматика называется LR(1)-грамматикой, если в ней нет
конфликтов типа сдвиг/свертка и свертка/свертка ни для одной
пары (S,t).
14.4.6. Построить алгоритм проверки выводимости слова в
LR(1)-грамматике.
Решение. Как и раньше, на каждом шаге LR-процесса можно однозначно
определить, какой шаг только и может быть следующим.
Полезно (в частности, для LALR(1)-разбора, смотри ниже) понять,
как связаны понятия LR(0) и LR(1)-согласованности.
14.4.7. Сформулировать и доказать соответствующее утверждение.
Ответ. Пусть фиксирована некоторая грамматика. Слово S из
терминалов и нетерминалов является LR(0)-согласованным с ситуацией
K-"U_V тогда и только тогда, когда оно LR(1)-согласовано с
парой [K-"U_V,t] для некоторого терминала t (или для t=EOI). То
же самое другими словами: Лев(K) есть объединение Лев(K,t) по
всем t. В последней форме это совсем ясно.
Замечание. Таким образом, функция Сост(S) в LR(1)-смысле
является расширением функции Сост(S) в LR(0)-смысле: Сост1(S)
получается из Сост0(S), если во всех парах выбросить вторые члены.
Теперь мы можем дать определение LALR(1)-грамматики. Пусть
фиксирована некоторая грамматика, S - слово из нетерминалов и
терминалов, t - некоторый терминал (или EOI). Будем говорить,
что для пары (S,t) LALR(1)-возможна свертка по некоторому правилу,
если существует другое слово S1 с Сост0(S)=Сост0(S1), причем
для пары (S1,t) LR(1)-возможна свертка по рассматриваемому правилу.
Далее определяются конфликты (естественным образом), и
грамматика называется LALR(1)-грамматикой, если конфликтов нет.
14.4.8. Доказать, что всякая SLR(1)-грамматика является
LALR(1)-грамматикой, а всякая LALR(1)-грамматика является
LR(1)-грамматикой.
Указание. Это - простое следствие определений.
14.4.9. Построить алгоритм проверки выводимости в
LALR(1)-грамматике, который хранит в стеке меньше информации,
чем соответствующий LR(1)-алгоритм.
Указание. Достаточно хранить в стеке множества Сост0(S),
поскольку согласно определению LALR(1)-возможность свертки ими
определяется. (Так что сам алгоритм ничем не отличается от
SLR(1)-случая, кроме таблицы возможных сверток.)
14.4.10. Привести пример LALR(1)-грамматики, не являющейся
SLR(1)-грамматикой.
14.4.11. Привести пример LR(1)-грамматики, не являющейся
LALR(1)-грамматикой.
14.5. Общие замечания о разных методах разбора.
Применение этих методов на практике имеет свои хитрости и
тонкости, которых мы не касались. (Например, таблицы следует
хранить по возможности экономно.) Часто оказывается также, что
для некоторого входного языка наиболее естественная грамматика
не является LL(1)-грамматикой, но является LR(1)-грамматикой, а
также может быть заменена на LL(1)-грамматику без изменения языка.
Какой из этих вариантов выбрать, не всегда ясно. Дилетантский
совет: если Вы сами проектируете входной язык, то не
следует выпендриваться и употреблять одни и те же символы для
разных целей - и тогда обычно несложно написать LL(1)-грамматику
или рекурсивный анализатор. Если же входной язык задан заранее с
помощью LR(1)-грамматики, не являющейся LL(1)-грамматикой, то
лучше ее не трогать, а разбирать как есть. При этом могут оказаться
полезные средства автоматического порождения анализаторов,
наиболее известными из которых являются yacc (UNIX) и bison
(GNU).
Большое количество полезной и хорошо изложенной информации
о теории и практике синтаксического разбора имеется в книге:
Alfred V. Aho, Ravi Sethi, Jeffrey D. Ullman. Compilers:
principles, techniques and tools. Addison Wesley (1985).
Закладка в соц.сетях
