Жанр: Учеба
Геометрия, динамика, вселенная
... величине b) не изменяет основного
свойства пространства: изотропию и однородность. Поскольку
наша система относительно тела отсчета была
сферически-симметричной, то, следовательно, все наблюдаемые
физические величины (энергия, сила, действующая на пробное
тело) также должны характеризоваться сферической симметрией.
Таким образом, величины grad FI или FI(x|) - FI(x|)
1 2
определяют наблюдаемые физические величины. Отсюда следует,
что работа, произведенная калибровочным полем, однозначно
определяется разностью FI(x|) - FI(x|) и не зависит от пути,
1 2
по которому двигалась пробная частица. Тогда можно показать,
что число силовых линий статического калибровочного поля
остается неизменным в пространстве (во времени оно неизменно
вследствие условия статичности). Действительно, существуют
две возможности изменения числа силовых линий: 1) их "обрыв"
на границе некоторой пространственной области и 2)
пересечение, "взаимодействие" силовых линий в некоторых
точках x|, x| ,... /= x|, x| . Обе возможности противоречат
3 4 1 2
следствию о независимости работы от пути, проходимого
частицей. Действительно, рассмотрим первое допущение.
Работа, производимая при переносе тела из точки x| до
1
границы области, зависит от точки границы x|, а работа,
k
производимая при переносе тела из точки x| в точку x|, равна
k 2
нулю. Следовательно, суммарная работа зависит от пути, что
противоречит основному постулату.
Если же силовые линии пересекаются, то силы,
действующие на пробную частицу, зависят от конкретной формы
пересечения силовых линий в некоторых точках x|, ... , x|.
1 k
Это должно также привести к зависимости работы от пути.
Следовательно, число силовых линий калибровочного поля
(FI' -" FI+b) точечного источника в статическом случае
взаимодействия в том смысле, который указан в разд.3 этой
главы. Для такого случая выполняется закон F~1/r**2.
Вывод о неизменности числа силовых линий можно получить
из калибровочной инвариантности и несколько иным путем.
Поместим в начало отсчета две заряженные частицы, обладающие
зарядами e| и e|, характеризующими их силовые поля.
1 2
Суммарное поле FI на расстоянии r можно представить в общем
виде:
FI[(e|+e|),r]=FI|(e|,r)+FI|(e|,r)+FI|(e|,e|,r) . (42)
1 2 1 1 2 2 3 1 2
Произведем калибровочное преобразование, соответствующее
каждому из зарядов:
FI'[(e|+e|),r] -" FI[(e|+e|),r] + b ,
1 2 1 2
FI'(e|,r) -" FI|(e|,r) + b , (43)
1 1 1
FI'(e|,r) -" FI|(e|,r) + b .
2 2 2
Уравнения (42) и (43) совместны, если
FI(e|,e|,r) = -b = const(r), что соответствует глобальному
1 2
калибровочному преобразованию. Иначе говоря, из него следует
принцип суперпозиции:
FI[(e|+e|),r]=FI|(e|,r)+FI|(e|,r) , (44)
1 2 1 1 2 2
который также отражает слабость взаимодействия.
Мы до сих пор рассматривали систему из двух частиц.
Однако вследствие принципа суперпозиции все выводы нетрудно
обобщить на статическую систему, состоящую из любого числа
частиц.
Таким образом, электростатика, базирующаяся на законе
Кулона, - следствие калибровочной инвариантности. Очевидно
(к этому мы привыкли из школьного курса физики) и обратное
утверждение: глобальное калибровочное преобразование -
следствие закона Кулона. Калибровочная инвариантность
взаимосвязана с электростатикой. Далее мы проиллюстрируем
общность взаимосвязи динамики и калибровочной
инвариантности.
Остановимся на другом важнейшем следствии калибровочной
инвариантности. Опираясь на факт существования функции
FI(x), которая определяет работу при перемещении пробного
тела из точки x| в точку x|, можно сделать вывод о
1 2
сохранении заряда (пока в рамках электростатики).
Действительно, по определению, заряд - мера воздействия тела
(в нашем примере тела отсчета) на силовое поле или мера
реакции пробного тела на величину силового поля. Пусть по
пути из точки x| в точку x| заряд пробного тела изменится, а
1 2
заряд тела отсчета останется неизменным. Тогда работа не
будет определяться исключительно разностью FI(x|)-FI(x|).
Аналогичное рассуждение можно провести, полагая, что заряд
тела отсчета изменится.
Однако в силу принципа суперпозиции (см.(44)), если оба
тела соприкоснутся, заряд с одного тела может перейти на
другое тело. Принцип суперпозиции вполне консистентен
переходу заряда от одного тела к другому при условии
сохранения суммы зарядов.
Таким образом, мы продемонстрировали закон сохранения
заряда для системы, состоящей из двух тел. Далее мы поясним
этот закон в общем случае и в случае нестатических систем.
До сих пор мы анализировали простейшую физическую ситуацию -
электростатику. Однако вид калибровочной инвариантности
однозначно определяет и самые общие уравнения движения и
форму квантовой теории полей. Здесь же мы лишь наметим
аргументацию этого утверждения. Дело в том, что его
доказательство в полном объеме требует хорошего знакомства
с квантовой теорией поля. Но даже и на таком уровне весь
комплекс вопросов, основанный на принципе калибровочной
инвариантности, на наш взгляд, изложен в литературе
(особенно учебной) неполно. И этот факт прискорбен. Хотя, по
нашему мнению, аксиоматическое изложение физики невозможно,
однако выявление основных принципов и дедуктивное ее
изложение кажется весьма целесообразным как с
дидактических позиций, так и с точки зрения выявления общих
граней разнородных физических объектов и теорий. Сейчас же в
учебной литературе (в том числе в курсах теоретической
физики) калибровочный принцип излагается походя, как бы
между прочим. В специальной же литературе, посвященной
калибровочной теории, обычно затрагиваются не все аспекты
этого принципа. Мы попытаемся дать лаконичное и поэтому не
слишком строгое изложение основных сторон этого принципа.
Калибровочный принцип обуславливается типом частицы -
переносчика взаимодействия. Достаточным условием
калибровочной инвариантности является равенство нулю массы
частиц-переносчиков.
Рассмотрим классическое движение, которое, как
известно, определяется уравнениями Лагранжа. Уравнения
Лагранжа определяются вариацией лагранжиана, который должен
быть функцией от скаляров, которые естественно являются
релятивистскими инвариантами.
Рассмотрим простейшее калибровочное поле -
электромагнитное. Допустим, что электромагнитное поле
представляется релятивистским 4-вектором A|. Тогда из
i
векторов можно образовать только два типа скаляров
i i
(скалярных произведений): eA|dx| и aA|A| (здесь индекс i
i i
пробегает значения i=1,2,3,4; e,a - постоянны). Пусть все
реальные физические величины инвариантны относительно
калибровочного преобразования:
A|' -" A| + DLf/DLx| , (45)
i i i
где f - некоторая произвольная функция при калибровочных
преобразованиях от 4-координат. Тогда можно написать
следующее равенство:
i DL(ef) i
eA| dx| + -------- dx| = eA|dx| + d(ef) , (46)
i DLx| i i
i
где d(ef) - полный дифференциал от функции ef.
Однако прибавление полного дифференциала к лагранжиану не
изменяет уравнения движения. Замена же (45) в квадрате
i
вектора A|A| приводит к изменению лагранжиана, и,
i i
следовательно, член A|A| нарушает калибровочную
i
инвариантность уравнений движения. Следовательно, лагранжиан
i
не может содержать скаляры типа A|A|. В теории поля
i
демонстрируется, что эти члены могут появиться в том случае,
когда частицы - переносчики взаимодействия - характеризуются
ненулевой массой. Следовательно, чтобы удовлетворить условию
(46), достаточно, чтобы масса частицы-переносчика была бы
строго равна нулю. В электродинамике такой частицей является
фотон. Экспериментально установлено, что масса фотона
m||||| " 4.5*10**-16 эВ/с**2, это в 10**21 раз меньше массы
GAMMA
самой легкой частицы - электрона. Естественно полагать, что
в соответствии с принципом калибровочной инвариантности
m|||||=0 .
GAMMA
С другой стороны, из принципа неопределенности следует,
что радиус действия сил, обусловленных частицей-переносчиком
~HP/mc . Для электродинамики это означает, что
электромагнитные силы - дальнодействующие. Их радиус
r|~~HP/m|||||c при m||||| = 0 равен бесконечности. Этот факт
GAMMA GAMMA
для электростатики следовал из простых физических
соображений (см. выше).
Ввиду исключительной важности калибровочного принципа
мы здесь наметим другой вывод уравнения электродинамики в
рамках квантовой теории.
В квантовой механике состояние представляется волновой
функцией PSIG. Вообще говоря, функция PSIG - комплексное
число; среднее значение какой-либо динамической величины A
равно интегралу
---\
\ *
= \ PSIG| (x) A PSIG (x) dx , (47)
\
\
\---
x - точка в пространстве Минковского. Ясно, что значение
величины инвариантно относительно преобразования
i ALPHA
PSIG'(x) -" e||||||| PSIG (x) . (48)
Инвариантность величины - следствие тождества
i ALPHA -i ALPHA
e||||||| * e|||||||| = 1 и того, что комплексно-сопряженная
* *
функция PSIG| (x) преобразуется по закону PSIG| (x) -"
-i ALPHA *
e|||||||| PSIG| (x) . Следовательно, состояние системы,
*
которое определяется произведениями PSIG| A PSIG ,
инвариантны относительно преобразований (48), которые
характеризуются изменениями фазы ALPHA. Существенно, что в
приведенном примере ALPHA = const (x) . Поэтому
преобразование (48) называется глобальным фазовым
(калибровочным) преобразованием.
В известном смысле глобальное фазовое преобразование не
согласуется с основным принципом теории относительности -
конечностью скорости передачи информации. Действительно, в
нашем распоряжении нет возможности согласовать этот принцип
с синхронизацией какой-либо величины (в том числе и фазы
ALPHA) во всем бесконечном пространстве. Здесь не случайно
сделана оговорка "в известном смысле", так как на практике
обычно рассматриваются конечные области пространства. Однако
принципиальный вопрос остается. Поэтому целесообразно
обобщить инвариантность (48), требуя, чтобы фаза ALPHA
зависела от положения системы ALPHA = ALPHA (x) /= const (x)
, а функция PSIG преобразовывалась по закону
i ALPHA(x)
PSIG'(x) -" e|||||||||| PSIG (x) . (49)
Инвариантность такого типа называется локальной
калибровочной инвариантностью. Оказывается, что требование
уравнений динамики относительно локальной калибровочной
инвариантности однозначно определяет уравнения поля.
Остановимся сначала на уравнениях электродинамики. Как
известно, ее уравнения (уравнения Максвелла или Дирака)
определяются значением функций (полей) и их первыми
производными. Выше отмечалось, что физические величины не
зависят от значения фазы ALPHA. Однако эта независимость
сохраняется для производных лишь при условии ALPHA=const(x),
т.е. при глобальных преобразованиях. В общем случае
(ALPHA=ALPHA(x)) производная
DL PSIG i ALPHA(x) DL PSIG(x)
--------- -" e|||||||||| [ ------------ +
DL x DL x
DL ALPHA (x)
+ PSIG (x) -------------- ] (50)
DL x
и, следовательно, неинвариантна относительно локальных
калибровочных преобразований.
Однако можно показать, что эта инвариантность
восстанавливается, если наряду с преобразованием (48) при
ALHPA = ALHPA (x) ввести одновременно калибровочное
преобразование потенциалов
A|'(x) -" A|(x) + DL ALPHA (x) / DL x , (51)
ю ю
с которыми мы уже сталкивались (см. (45)). Иначе говоря,
уравнения электродинамики (или их квантовый эквивалент -
уравнения Дирака) инвариантны относительно совокупности
обоих калибровочных преобразований (49), (51).
С другой стороны, из этих преобразований однозначно
следуют уравнения электродинамики: классические и квантовые.
Калибровочные преобразования (49), (51) - необходимые и
достаточные условия уравнений электродинамики.
Сделаем в заключение три важных замечания.
1. Вывод о калибровочной инвариантности (соотношение
46)) базируется на допущении о неизменности фактора e при
калибровочных преобразованиях. Ясно из определения этого
фактора, что он играет роль электрического заряда. Таким
образом, неизменность величины e отражает неизменность
электрического заряда, т.е. его сохранение. Закон сохранения
заряда никак не связан с видимым 4-мерным пространством. Он
определяется калибровочной инвариантностью. Далее, в разд.9
этой главы мы продемонстрируем связь геометрии с
калибровочной инвариантностью и, следовательно, законом
сохранения заряда. Однако эта геометрия весьма отличается от
геометрии Евклида или Минковского.
2. В соотношении (45) вектор A и функция f или ALPHA
зависят от четырех координат (t,x,y,z). Этим калибровочное
условие (45) или (51) существенно отличается от
калибровочного соотношения (41), в котором величина b не
зависит от координат.
3. Таким образом, можно установить эквивалентность
следующих утверждений:
уравнения движения (поля) - калибровочно инвариантны,
заряд в замкнутой системе сохраняется,
силы в статическом случае дальнодействующие,
масса частицы переносчика взаимодействия m|||||=0 .
GAMMA
Последнее свойство является важной особенностью
калибровочной инвариантности, а также и всех остальных ее
следствий. Дело в том, что частицы с нулевой массой обладают
особым свойством: у таких частиц существует всего два
направления поляризации в отличие от частиц с массой m /= 0
, у которых имеются три три направления поляризации. Это
особое свойство безмассовых частиц и есть первопричина
калибровочной инвариантности.`
------------------------------------------------------------
` Наиболее просто взаимосвязь условия m||||| = 0 и
GAMMA
калибровочной инвариантности показана в ст.: Вайнберг С.
Свет как фундаментальная частица//УФН. 1976. Т.120. С.677.
Подробнее о калибровочной инвариантности см. в кн.:
Коноплева Н.П. Попов В.Н. Калибровочные поля. М.:
Атомиздат. 1980; Окунь Л.Б. Физика элементарных частиц.
М.: Наука, 1984.
------------------------------------------------------------
8. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
СОСТОЯНИЙ
Рассмотрим пример: систему невзаимодействующих частиц,
движущихся по классическим траекториям. Каждой частице в
момент времени t соответствуют свои координаты и проекции
импульса. Таким образом, каждой точке видимого пространства
соответствует значение вектора импульса. Можно рассматривать
движение системы частиц в этом пространстве, не придавая
совокупности импульсов никакого геометрического смысла.
Кроме того, можно полагать, что вся совокупность координат
играет роль базы, а векторы импульсов - слоев. При
отсутствии взаимодействия подобное расслоенное пространство
тривиально, а использование в данном случае образа
расслоенного пространства и его несколько непривычных для
физиков понятий - ненужное усложнение. Разумнее
рассматривать изолированно два пространства:
конфигурационное (координаты) и импульсное.
Однако ситуация меняется, если пытаться
интерпретировать внутренние квантовые числа элементарных
частиц. Здесь мы остановимся на геометрической интерпретации
спина, изотопического спина и цвета (об этих квантовых
числах см. Дополнение).
Введем вектор, характеризующий состояние системы,
которую для определенности мы будем отождествлять с
частицей. В первом приближении под состоянием следует
понимать значения ее координат и вектора импульса.
Однако если пытаться включить в понятие состояния
значения внутренних квантовых чисел, то элементарная
(привычная) наглядность состояния частицы утрачивается. Если
понятие спина частицы можно отождествить с вращением вектора
состояния в обычном конфигуральном пространстве (например,
пространстве Минковского), то уже при попытке наглядно
геометрически интерпретировать изотопический спин возникают
определенные трудности. Формализмы обычного и изотопического
спинов тождественны. Они соответствуют вращениям вектора
состояния в трехмерном пространстве`. В интерпретации спина
проблем нет. Это наше привычное евклидово пространство.
Однако в каком пространстве вращается вектор изотопического
спина? Со времен введения понятия изотопического спина
(Гейзенберг, 1932) произносили слова, похожие на заклинание:
вектор изотопического спина вращается в воображаемом
"зарядовом" пространстве.
------------------------------------------------------------
` На теоретико-групповом языке изотопический и обычный спины
соответствуют неприводимым представлениям группы SU(2) (SU
- аббревиатура слов: специальная, унитарная. Символ 2
обозначает, что группа соответствует двумерному
комплексному пространству).
------------------------------------------------------------
Однако, используя язык расслоенных пространств, этому
заклинанию можно придать некоторый физико-геометрический
смысл. Допустим, что изотопическое пространство является
слоем над базой - пространством Евклида (Минковского). Иначе
говоря, мы представляем реальное физическое пространство как
расслоенное пространство с базой - видимым пространством и
слоем - изотопическим (зарядовым) пространством. Нам нужно,
чтобы свойства этого слоя удовлетворяли двум условиям: 1)
слой должен быть трехмерной сферой (аналог пространства, в
котором вращается вектор обычного спина), 2) размеры этой
сферы должны быть очень малы, во всяком случае, много
меньше расстояний 10**-16 см, хорошо изученных на опыте.
Если бы радиус слоя превышал 10**-16 см, то слой -
изотопическое пространство - проявлялся бы на экспериментах,
в основе которых лежат представления о реальном физическом
пространстве. Этот эффект, например, проявлялся бы в
отклонении наблюдаемого сечения рассеяния позитронов на
электронах от вычисленного значения сечения. Поскольку такое
отклонение отсутствует, то следует сделать вывод, что если
изотопическое пространство и реально, то его размеры
(размеры слоя) весьма малы. В дальнейшем, в гл.3, мы оценим
эти размеры.
Исключительная малость размеров изотопического
пространство делает в известном смысле иллюзорной попытку
провести грань между словами "реальное" и "воображаемое"
пространство. На опыте это пространство ненаблюдаемо, а
слова: "изотопическое пространство есть слой над базой -
видимое пространство" - имеют в значительной степени
филологические смысл.
===РИС.5
Подобная квалификация кажется тем более оправданной,
поскольку простая геометризация изотопического спина никак
не увязывается с взаимодействием частиц. Чтобы реализовать
связи в треугольнике геометрия - изотопический спин -
взаимодействие, нужна руководящая идея. Пока мы ограничимся
постулированием такой идеи, а в гл.3 подробно изложим
аргументы в ее пользу.
В настоящее время представляется, что основой
сформулированного выше "треугольника" является калибровочная
инвариантность. В качестве предварительного оправдания
подобного постулата можно привести довод: калибровочная
симметрия (правда, в различных модификациях) лежит в основе
четырех известных взаимодействий.
Можно наглядно (но упрощенно) представить
геометрическую интерпретацию изотопического спина (рис.5). К
каждой точке прямой "прикреплена" сфера произвольного
(единичного) радиуса, в которой вращается вектор состояния,
зависящий от координаты. Разумеется, реально точка базового
пространства имеет три, а не одно измерение, однако
представить наглядную 4-мерную конструкцию невозможно.
9. МНОГОМЕРНАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ
Для понимания дальнейшей процедуры геометризации
взаимодействия нужно четко представить следующие положения:
1. Взаимодействие обуславливается свойствами частиц -
переносчиков взаимодействия, и в частности их изотопическим
спином (см. Дополнения).
2. Состояние представляется вектором, вращающимся в
слое расслоенного пространства.
3. Взаимодействие определяется характеристиками
расслоенного пространства, и в частности связностью.
4. В основе взаимодействия лежит калибровочная
инвариантность.
Эти положения носят программный характер. Дальнейшее
представляет их конкретную реализацию. Для простоты
ограничимся вначале электродинамикой. Как упоминалось ранее,
уравнения электродинамики однозначно определяются
характеристиками фотона - частицы, переносящей
электромагнитное взаимодействие. Масса и изотопический спин
фотона равны нулю. Это обстоятельство приводит к фазовой
инвариантности функции состояния
i ALPHA(x)
PSIG'(x) -" e|||||||||| PSIG(x) и калибровочной
инвариантности потенциалов A'(x) -" A(x) + DL f (x) / DL x .
Важно, что в формуле для преобразования функция ALPHA(x) -
простое (хотя, возможно, и комплексное) число, а не матрица.
Это свойство определяется нулевым значением изотопического
спина фотона. Если бы изотопический спин частицы-переносчика
был отличен от нуля, то коэффициент ALPHA представлялся бы
матрицей, что кардинально изменяло бы ситуацию. Этот случай
будет рассмотрен далее.
Вернемся теперь к соотношению инвариантности функции
PSIG в электродинамике и будем геометрически
i ALPHA(x)
интерпретировать фазовый множитель e|||||||||| . Рассмотрим,
как и ранее, простейший случай статического поля. В этом
случае ALPHA(x) = const. Однако (и это обстоятельство играет
важнейшую роль) ALPHA может иметь любое действительное
значение.
Напомним еще раз, что вследствие теоремы Эйлера функция
i ALPHA
e||||||| соответствует точке в плоскости комплексного
переменного:
i ALPHA
e||||||| = cos ALPHA + i sin ALPHA (52)
Таким образом, cos ALPHA есть значение действительной,
i ALPHA
а sin ALPHA - мнимой части комплексного числа e||||||| .
i ALPHA
Модуль комплексного числа ! e||||||| ! = 1 . С
геометрических позиций эта интерпретация эквивалентна
i ALPHA
утверждению, что функция e||||||| есть точка в двумерной
декартовой плоскости с абсциссой, равной cos ALPHA, и
ординатой sin ALPHA. Эта точка лежит на окружности с
радиусом, равным единице. Учтем далее, что ALPHA принимает
произвольное действительное значение. следовательно, число
i ALPHA
e||||||| при любом значении ALPHA образует окружность с
единичным радиусом. Инвариантность относительно
преобразования (49) означает, что вектор состояния PSIG
может находиться на такой окружности, которая обозначается
символом S| (сфера размерности единица). Поэтому естественно
допустить, что окружность (сфера S|) и является слоем над
базой - привычным пространством Минковского. Напомним, что в
данном случае рассматриваются только электромагнитные силы,
поэтому следует отождествлять базовое пространство с
пространством Минковского. При совместном действии
электромагнитных и гравитационных сил следовало бы базой
полагать пространство Римана.
Нетрудно определить и связность расслоенного
пространства, соответствующего данному статическому случаю.
Как обычно, начало координат отождествим с заряженным телом
отсчета. Пусть расстояние до данной точки в пространстве
Минковского (Евклида) равно R. Тогда следует слой (плоскость
окружности) расположить перпендикулярно вектору R,
проходящему через центр окружности. Характеристикой
расслоенного пространства, связывающего взаиморасположение
соседних слоев и физическую ситуацию, является плотность
центров окружностей (слоев) на окружности в базе с радиусом
R. Следует положить, что эта плотность равна потенциалу
!e!/R , где e - заряд тела отсчета.
Естественно, что, вводя слои-окружности, мы увеличиваем
на единицу размерность пространства. Нужно четко представить
(вообразить),
...Поділитися у соцмережах
