Жанр: Учеба
Геометрия, динамика, вселенная
...ть к поверхности в точке M|, тогда получим вектор a|,
1
лежащий в касательной плоскости к поверхности в точке M| и
являющийся вектором поверхности. По определению, вектор a|
является параллельно перенесенным в точку M| вектором a.
Если точки M и N отстоят на бесконечном расстоянии, то их
следует соединить кривой, лежащей на поверхности, разбить ее
на бесконечно малые участки и к каждому применить процедуру
параллельного переноса. Получающийся в результате вектор
зависит от вида соединяющей исходную и конечную точки
кривой. Если кривая замкнута, то при возвращении в исходную
точку параллельно перенесенный вектор не будет совпадать с
исходным, а составит с ним некий угол BETA. Этот угол равен
нулю, если параллельный перенос производится вдоль
геодезической линии. Это связано с тем, что при параллельном
переносе угол между переносимым вектором и геодезической
линией не меняется.
===РИС.3
На рис.3 изображена сферическая поверхность, на которой
демонстрируется описанная процедура параллельного переноса.
В результате параллельного переноса "прямой" вдоль
окружности на сфере между первичным и конечным векторами
возникает угол BETA /= 0 .
Можно предложить простую "экспериментальную"
иллюстрацию параллельного переноса. Проведем краской на
плоскости несколько параллельных прямых. Прокатим далее по
этой плоскости конус, постулируя отсутствие трения между
конусом и плоскостью, в том смысле, что трение не меняет
первоначальное направление движения конуса, но достаточно
велико, чтобы нанесенные на плоскость прямые отпечатались бы
на конусе. Эти отпечатки и будут параллельными на конусе.
Относительное положение двух близких отпечатков отражает
параллельный перенос на конусе.
Уже упоминалось, что связность отлична от нуля для
кривого пространства. Поэтому связность - одна из нескольких
характеристик искривления (отклонения от евклидовости)
геометрической фигуры.
До сих пор мы придерживаемся сравнительно привычных
представлений. Пространства с обычными понятиями "точка"
всегда можно хотя бы упрощенно иллюстрировать в виде
двумерной поверхности. Сейчас наступило время перейти к
расслоенным пространствам. Такой переход связан с некоторой
психологической перестройкой. Хотя простейшие расслоенные
пространства также можно мысленно представить в виде
геометрических фигур, но всегда, когда оперируют с
расслоенными пространствами, следует помнить, что они -
множество пространств, находящихся в неравноправном
положении. Одно из них - база - занимает особое место.
Если среди характеристик простых пространств связность
занимает рядовое место ( одна из нескольких характеристик),
то в теории расслоенных пространств обобщенное понятие
связности, пожалуй, основная характеристика. Связность в
расслоенных пространствах играет ключевую роль: она
характеризует отношения между базой и слоями и между
соседними слоями.
В общем случае определение связности имеет довольно
сложный вид.' Мы здесь ограничимся простым и наглядным
примером определения связности и некоторыми важными для
физики приложениями.
------------------------------------------------------------
' См. кн.: Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т.
Современная геометрия. М.; Наука, 1979, Т.1.
------------------------------------------------------------
Вернемся снова к рис.3. Круг и цилиндр на нем -
расслоение полусферы, изображенной в верхней его части.
Построим на полусфере треугольник, образованный
геодезическими линиями - отрезками больших кругов.
Разумеется (поскольку сфера - неевклидова поверхность),
сумма углов треугольника не равна PI. Спроецируем точки
треугольника на круг (базу), параллельный основанию
полусферы. Прямые, осуществляющие проецирование, будем
полагать слоями расслоенного пространства.
Произведем далее операцию параллельного переноса на
полусфере вдоль контура треугольника. Поскольку полусфера -
неевклидова поверхность, то при полном обходе треугольника
(возвращение вектора в точку, совпадающую с началом вектора
a) между направлениями первичного и конечного векторов
(стрелки на рисунке) образуется некоторый угол - связность.
Обобщим это понятие на расслоенное пространство. С этой
целью спроецируем треугольник на круг (базу). Прямые,
осуществляющие проекцию, - слои пространства. Проекции
начального и конечного векторов на полусфере образуют на
круге некоторый угол v /= 0, который является компонентой
связности в базе.
Чтобы определить связность в слоях, введем расстояние
от начала слоя (отрезка), которое является, вообще говоря,
произвольной точкой отсчета. Важно лишь, чтобы во всех слоях
были бы одинаковые точки отсчета. Иначе говоря, любой круг,
пересекающий слои и параллельный основанию полусферы, мог бы
определить точки отсчета. Естественно (но не необходимо)
отождествить точки отсчета с точками круга - базы. Будем
далее измерять угол между векторами во время параллельного
переноса в произвольных единицах (например, радианах) и
откладывать этот угол на прямых - слоях пространства. В
результате операции полный обход периметра треугольника на
сфере будет соответствовать некоторому подъему величины
проекции в слое. Этот подъем определяется смещением векторов
в полусфере при возвращении в точку, совпадающую с началом
вектора a после полного обхода контура. В пространстве слоев
начало обхода на полусфере соответствует точке a|, конец -
1 1 1
d| (см. рис.3). Таким образом, расстояние a|d| характеризует
связность в слое.
Расслоение полусферы на круг и линейное пространство -
одно из простейших расслоений, позволяющих дать наглядную
интерпретацию связности расслоенного пространства. В общем
случае подобная наглядность утрачивается. Идея введения
общего определения связности близка к основной идее
дифференциальной геометрии: в малом объеме метрика
пространства евклидова или псевдоевклидова. В расслоенных
пространствах также постулируется простота пространства в
малом. Полагается, что в малом расслоенное пространство
можно представить простым произведением, частным случае
которого и было расслоение полусферы.
В результате обхода микроконтура в полном пространстве
или базе определяется компонента связности в базе. Далее в
соответствии с приведенным выше примером операция обхода
микроконтура количественно отображается в пространстве
слоев, определяя таким образом связность в этом
пространстве.
В заключение сделаем одно замечание, имеющее, как мы
увидим далее, прямое отношение к физике (динамике). Хотя
значение связности определяется однозначно, однако операция
ее вычисления неоднозначна. Это утверждение - следствие
неоднозначности в выборе начальной точки отсчета a|.
Сделанный нами выбор: начало обхода контура соответствует
пересечению слоя (прямой) и базы (круга) - обусловлен
простотой. Точку a| можно было бы сместить вдоль
соответствующей прямой (слоя) на произвольную величину.
Связность определяется не положением точки a|, а разностью -
1 1
отрезком a|d|.
1. ВРЕМЯ
Классическая геометрия (Евклида, Лобачевского, Римана)
по своему существу статична. И хотя в ее пределах правомочна
операция переноса фигур, но она имеет лишь одно
предназначение: установление их равновеликости. Поэтому этот
перенос (как правило, мысленный) может осуществляться
бесконечно быстро или сколь угодно медленно. Скорость
переноса, а следовательно, и его время геометров не
интересовали. Геометрия была вне времени. Видимо, время было
тем фактором, который более всего способствовал тому, что до
конца прошлого столетия геометрия и физика существовали
раздельно.
Можно точно указать годы, когда зарождалось
представление об общности геометрии и времени и когда это
представление приобрело ясную и недвусмысленную
формулировку. Идея единства пространства-времени была
сформулирована Г.Минковским в 1907 г., ей предшествовало
создание специальной теории относительности А.Эйнштейном,
А.Пуанкаре и Х.Лоренцом в 1904-1905 гг.
Разумеется, нельзя абсолютизировать (даже в
историческом плане) утверждение о независимости геометрии и
времени. Геометрические образы - неизменное сопровождение
механики, а время - ее основополагающее понятие. Как только
возникало слово "время", так от классической,
дорелятивистской геометрии следовал переход к динамике.
Время - неизбежный спутник динамики.
После создания теории относительности статус времени
существенно изменился: оно стало равноправным партнером
пространства. Возникла новая геометрия - геометрия
пространства-времени. После создания общей теории
относительности (ОТО, 1915-1916 гг.) геометрия и динамика в
рамках ОТО слились воедино.
После краткого вступления уместно задать вопрос: что
такое время? Казалось бы, что ответ на этот вопрос ясен;
достаточно использовать какое-либо признанное определение,
заимствованное из бесчисленного количества книг, посвященных
пространству-времени или исключительно времени. Имея в виду
такое решение, автор обратился к двум современным,
специально посвященным времени изданиям: книгам
Ф.С.Заславского "Время и его измерение" (М.: Наука, 1977) и
Дж.Уитроу "Структура и природа времени" (М.: Знание, 1984).
В этих книгах можно найти множество интересных сведений.
Например, о представлении времени у обезьян и небольших
индейских племен, о методах измерения времени в древности и
в эпоху средневековья, есть здесь и мысли древних философов
о времени, и многое другое. Однако предмет поиска -
определение физического времени - в этих книгах
отсутствовал.
Разумеется, можно было бы продолжить поиски
единственного и правильного определения, однако после
зрелого размышления сделалась очевидной их бессмысленность.
Представилось очевидным, что определение времени - задача
совсем не простая. Вероятно, не худшим выходом было решение
упомянутых выше авторов книг о времени сделать вид, что
вопроса не существует.
Тем не менее кажется необходимым дать если не
определение, то по крайней мере описание понятия физического
времени. Известно, что определить понятие означает подвести
под него другое более широкое понятие. Но время - настолько
широкая категория, что, быть может, лишь Вселенная и материя
являются более объемными понятиями. Не претендуя,
разумеется, на единственность и абсолютную правоту
приведенного далее определения, можно все же сделать попытку
в этом направлении.
Итак, физическое время - это количественная мера
упорядоченной эволюции материального объекта как целого от
его возникновения до гибели.
Это определение нуждается в пояснениях, из которых
естественно следует, что лаконичность - не синоним простоты.
В определениях неявно фигурируют следующие допущения.
1. Объект характеризуется целостностью в том смысле,
что у него есть единое время.
2. У каждого объекта собственное время, которое, вообще
говоря, не совпадает с временем других объектов.
3. Все объекты рождаются и умирают.
Требует пояснения также и понятие "упорядоченной
эволюции".
Начнем комментарии по порядку.
1. Макроскопический объект, т.е. тело, состоящее из
нескольких ("=2) частей, априорно не должно
характеризоваться единым временем. Наш повседневный опыт как
будто подтверждает существование единого времени,
характеризующего эволюцию объекта как целого. Однако такое
заключение несколько иллюзорно и связано с тем, что в рамках
повседневного опыта относительная скорость v отдельных
частей макроскопического тела удовлетворяет условию v/c "" 1
(c - скорость света). Если v/c ~ 1, то в соответствии с
теорией относительности каждая часть тела обладает своим
собственным временем. Однако при обычных скоростях условие
v/c "" 1 выполняется, и постулат о целостности достаточно
оправдан.
2. В соответствии со сказанным ранее два тела можно
рассматривать как составные части одного, и, следовательно,
они характеризуются своим собственным временем. Однако наша
Метагалактика во всех ее частях характеризуется единым
временем в том смысле, что в любой момент все свойства
(характеристики) Метагалактики одинаковы.
3. Постулат о рождении и смерти всех всех объектов
является следствием опытных данных. Рождается и погибает
все, начиная от элементарных частиц и кончая галактиками и
их скоплениями. Исключение составляет Метагалактика в целом,
в том смысле, что никто не наблюдал ни ее начала, ни конца.
Но никто из специалистов не сомневается в том, что когда-то
(примерно (15-20)*10**9 лет назад) было рождение
Метагалактики и когда-то ее не станет.
Таким образом, все сформулированные постулаты
выполняются с достаточной точностью. Более того, из
комментария ко второму допущению следует, что "(существует
единое метагалактическое время, которое можно принять за
эталон времени всех находящихся в ней объектов)". Если бы
дело обстояло иначе, Метагалактика не обладала бы
однородностью во всех ее точках и время протекало бы
по-разному в разных ее частях, что, вероятно, привело бы к
различию в физических закономерностях, а это, в свою
очередь, к нарушению мировой гармонии и путанице -
невообразимому усложнению физических законов.
Особого анализа требует понятие упорядоченной эволюции.
Ясно, что рождение предшествует смерти, причина - следствию.
Причинно-следственные связи реализуются в том, что время
имеет определенное направление от прошлого к будущему. Время
является одномерным вектором, направленным от прошлого к
будущему. Бытовая реализация этой основной характеристики
сводится к делению времени на три относительные эпохи:
прошлое, настоящее и будущее. Для единого тела,
характеризуемого единым временем, это деление абсолютно, и
его можно провести всегда. Для тела, состоящего из частей,
это деление усложняется: вследствие конечности скорости
света существует отрезок времени, когда четкое разделение
провести нельзя (см. разд.4 гл.2).
Любопытно, как проблема деления времени на прошлое,
настоящее и будущее нашла отражение в афоризме Аристотеля:
"Времени почти нет, ибо прошлого уже нет, будущего еще нет,
а настоящее длится мгновение". Прошлого действительно нет,
оно - было, так же как и будущее - будет. Об этом
свидетельствуют многочисленные эмпирические факты,
относящиеся к компетенции физики. Строго говоря, Аристотель
ошибся, утверждая о существовании настоящего (хотя бы и
мимолетного), понимаемого в эйнштейновском смысле. Как уже
говорилось, для сложных тел нет абсолютного времени, а
следовательно, о настоящем можно говорить лишь условно, в
пределах неопределенности, определяемой разностью времен для
частиц, составляющих сложное тело.
Подведем некоторые итоги. Можно дать краткое
определение физического времени. Однако оно содержит
понятия, сами нуждающиеся в доопределениях, которые, в свою
очередь, требуют разъяснений, и так ad infinitum. Вероятно,
такая ситуация - отражение фундаментальности времени. Тем не
менее дать пусть даже неполное определение времени было
необходимо. Иначе трудно (или, скорее, невозможно) обсуждать
взаимосвязи пространства-времени и динамики.
И в заключение еще одно замечание. Существует вопрос,
который на разном уровне обсуждается в литературе: можно ли
выделить начало отсчета времени. Этот вопрос задавался
практически со времени возникновения цивилизации. Как
правило, начало отсчета связывалось с предполагаемым актов
рождения мира. У народов Ближнего Востока начало отсчета
(рождение мира) полагается 6-8 тыс. лет назад. Более
рационально мыслящие римляне точку отсчета отождествляли с
основанием Рима (753 г. но н.э.). На Западе сейчас
повсеместно летоисчисление ведут от предполагаемого дня
рождения Христа, которое было "вычислено" римским монахом
Дионисием в 524 г., а затем канонизировано.
Для нас, пожалуй, важен не калейдоскоп начал отсчета
или эпох, а другой факт, имеющий глубокий смысл. Как
человеческая история, так и физические явления не зависят от
точки отсчета времени. В этом отражается его исключительно
важное свойство - трансляционная инвариантность:
независимость физических законов от точки отсчета. На языке
математики эта инвариантность означает неизменность
физических законов при преобразовании типа
t' -" t+a, a=const (11)
Мы, со своей стороны будет стараться по возможности
придерживаться "физического" летоисчисления, принимая за
точку отсчета (t=0) время возникновения Метагалактики (15-20
млрд лет назад). Иногда в физической литературе этот момент
отождествляется с временем возникновения Вселенной.
Встречаются также утверждения, что вообще говорить о времени
до возникновения Метагалактики (при t"0) бессмысленно. Нам
представляется, что эти утверждения неверны и далее (гл.3)
мы приведем аргументы, подтверждающие нашу точку зрения.
2. КЛАССИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА И ЕЕ ГЕОМЕТРИЯ
Предмет классической динамики (ньютоновской механики) -
определение изменения состояния (положение, скорость и т.д.)
тел во времени. Абстрагируясь от влияния смежных физических
дисциплин, можно сказать, что ньютоновская динамика
занимается определением движения материальных точек при
заданном положении внешних тел.
Решение основной проблемы классической механики
предполагает априорное определение физического пространства,
в котором движутся материальные точки. В рамках ньютоновской
физики оно отождествляется с пространством Евклида.
Одна из задач механики - вычисление траектории тела
(материальной точки) в этом пространстве.
Траектория описывается математической кривой, однако не
тождественна ей. Математическая кривая - образ, существующий
безотносительно к другим объектам или системам координат.
Этот образ возник задолго до создания аналитической
геометрии. Иное дело - физическая траектория. Это понятие
имеет лишь относительный смысл: траектория материальной
точки определяется относительно другого тела, обычно
называемого телом отсчета.
Абсолютного движения не существует. По этой причине
физики предпочитают говорить не о системе координат, а о
системе отсчета, подразумевая, что это понятие включает
также и тело отсчета. Если оно может быть отождествлено с
материальной точкой, то его обычно принимают за начало
координат. Подчеркнем, что здесь мы встречаемся не с
терминологическими уточнениями. В отличие от начала
координат тело отсчета, как правило, влияет, а иногда и
определяет состояния исследуемого тела (материальной точки).
В классической динамике пространство определяет
взаиморасположение тел в данный момент времени в их
противопоставлении к пустоте (в классическом смысле).
Несколько перефразируя определение времени, данное в
предыдущем разделе, можно сказать, что пространство есть
мера неупорядоченной эволюции относительно состояния тела.
Это определение, так же как и предшествующее, нуждается в
некоторых комментариях.
Пространственные соотношения характеризуют
относительное положение материальных тел, включая и тело
отсчета. Временные же соотношения также включают точку
отсчета, но эта точка относится к тому же самому телу, время
эволюции которого определяется.
Но кардинальным физическим отличием пространства от
времени является факт, что первое не содержит аналога
принципа причинности. Расстояния между двумя произвольными
точками A и B пространства (взятые безотносительно ко
времени) эквивалентны: AB=BA. Временные же интервалы t|t| и
1 2
t|t| (t| " t|) существенно неэквивалентны. Время t| -
2 1 2 1 2
будущее относительно времени t. Иллюстрацией этих положений
является система двух событий (At|, Bt|), причинно-связанных
1 2
между собой. Событие At| влияет на событие Bt|, обратное
1 2
влияние отсутствует. Однако тела, расположенные в точках A и
B, симметричны. Их пространственная характеристика - вектор
-" -"
AB эквивалентен вектору BA.
В основе ньютоновской механики находится понятие
инерциальных систем отсчета, играющее особую роль,
поскольку, строго говоря, законы Ньютона относятся именно к
этому классу систем отсчета. К сожалению, как это часто
бывает с основополагающими понятиями, определения
инерциальной системы многообразны и не полностью отражают ее
свойства, что может привести, а иногда и приводит к
недоразумениям.
Однако полный анализ понятия инерциальной системы
отсчета выходит за рамки основной темы, и далее мы
ограничимся лишь кратким его рассмотрением. Пока же примем
наиболее популярное определение инерциальной системы
отсчета, представленное в классическом курсе теоретической
физики Л.Д.Ландау и Е.М.Лифшица: "...можно найти такую
система отсчета, по отношению к которой пространство
является однородным и изотропным, а время однородным. Такая
система называется инерциальной".`
------------------------------------------------------------
` Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Курс теоретической физики. М.,
Наука, 1973. Т.1. Механика. С.14.
------------------------------------------------------------
Из этого определения следует ограниченность понятия
инерциальной система отсчета. Оно приложимо к
(квази)точечным телам - материальным точкам.
Макроскопическое тело, состоящее, по определению, из многих
точечных тел, само выделяет из первичного пространства
Евклида объем, нарушающий его однородность и изотропию.
Следовательно, использование понятия инерциальной системы
применительно к макроскопическим телам, вообще говоря,
неоправданно. И действительно, существует ряд парадоксальных
физических ситуаций (релятивистское преобразование
температуры, выбор формы электромагнитного тензора
энергии-импульса в макроскопических телах и т.д.), когда
отсутствует однозначное решение четко и корректно
сформулированной проблемы. На наш взгляд , эта
неоднозначность обусловлена чрезмерно широким употреблением
понятия инерциальной системы. Но подробнее обсуждение этой
проблемы находится вне основной линии книги. Мы лишь во
избежание недоразумений будем использовать инерциальные
системы для (квази)точечных тел.
Здесь уместно напомнить основные свойства инерциальных
систем отсчета. В этих системах законы ньютона имеют
наиболее простой вид (отсутствуют силы инерции). Все
механические явления, происходящие в двух инерциальных
системах, движущихся с постоянной скоростью друг
относительно друга, протекают одинаково.
Иначе говоря, законы движения в двух инерциальных
системах координат инвариантны при переходе от одной системы
отсчета к другой. Отмеченную инвариантность уместно выразить
на языке линейных преобразований. Для простоты ограничимся
двумерным евклидовым пространством. Пусть в инерциальной
системе I точка (событие) представлена координатами x|, y|,
1 1
а система II (координаты x|, y|) движется с постоянной
2 2
скоростью v относительно системы I. Тогда из свойств
евклидова пространства и инерциальных систем отсчета
следует, что уравнения движения в этих системах должны быть
инвариантны относительно замены:
x| = x| cos ALPHA + y| sin ALPHA + vt cos BETA + a ,
2 1 1
y|= -x| sin ALPHA + y| cos ALPHA + vt sin BETA + b , (12)
2 1 1
где ALPHA - произвольный угол поворота системы отсчета I,
BETA - угол между направлениями O|O| и O|x|. Постоянные a и
1 2 2 2
b отражают однородность (трансляционную инвариантность)
евклидова пространства. Условие (12) является обобщением
аналитического определения статического евклидова
пространства. Евклидово пространство однородно и изотропно.
Следовательно, при произвольном преобразовании декартовой
системы координат осуществляются соотношения:
x| = x| cos ALPHA + y| sin ALPHA + a ,
2 1 1
y|= -x| sin ALPHA + y| cos ALPHA + b , (13)
2 1 1
Таким образом, инерциальные системы отсчета - основа
динамики - являются обобщением статического евклидова
пространства. Это обобщение отражается включением членов,
содержащих множитель vt, обуславливающих равноправие всех
инерциальных систем отсчета.`
------------------------------------------------------------
` Более подро
...Поділитися у соцмережах
