Жанр: Наука
Синергетика
...ировавшаяся на стыке топологии и математического
анализа и получившая еще одно, более образное наименование - теория катастроф. В этой
теории для анализа свойств систем дифференциальных уравнений уже не требуется
предварительно находить полное множество решении. Дело в том, что для сложных систем
знание всех точных решений избыточно: в реальных условиях они меняются за счет
флуктуаций, и мы не получаем от этого знания нужной информации.
Первые результаты, связанные с качественным изучением поведения решений систем
дифференциальных уравнений, были получены А. Пуанкаре и А. М. Ляпуновым почти 100 лет
тому назад. Значительный вклад в развитие их идей внесли А. А. Андронов и Л. С.
Понтрягин, которые ввели понятие грубости. т. е. структурной устойчивости системы. Но
только с 50-х годов, после работ Р. Тома, началось интенсивное развитие как самой теории
катастроф, так и ее многочисленных приложений.
Теория катастроф исследует динамические системы, составляющие широкий класс
нелинейных систем и описываемые уравнениями вида:
где Xi- переменные, характеризующие состояние системы,Ca-набор параметров задачи
(управляющие параметры). В элементарной теории катастроф рассматривается частный случай
динамических систем: предполагается, что существует потенциальная функция-аналог
потенциала электрического поля,
и что система находится в состоянии равновесия (Xi=0 ). Задача заключается в исследовании
изменений состояний равновесия Xi(Ca) потенциальной функции U(Xi,Ca) при изменении
управляющих параметров.
Элементарная теория катастроф является в известном смысле обобщением задач на минимум
и максимум в математическом анализе. Для функции одной переменной ее поведение
определяется невырожденными критическими точками - максимумами и минимумами. Эти точки
соответствуют равенству нулю первой производной при второй производной, отличной от нуля.
Сама функция в окрестности невырожденной критической точки может быть приведена к виду
подходящей гладкой (т. е. имеющей производные любого порядка) заменой
переменных .
Аналогично в многомерном случае для критических точек, определяемых обращением в нуль
первой производной и отличным от нуля аналогом второй производной, гессианом
(детерминантом набора величии ), существует гладкая замена
переменных , в результате которой в окрестности невырожденной
критической точки потенциальная функция приводится к квадратичной форме:
Эта форма может быть также преобразована, к виду .
Невырожденные критические точки определяют мак-симумы, минимумы и седловые точки
различного типа и дают качественную картину поведения потенциальной функции в многомерном
случае. Так, функция напоминает рельефную карту: вершины гор и седла связаны
хребтами, имеются озерные впадины и седлообразные долины. Диагонализация дает
направления славных осей линий максимального градиента. Если рельеф наполнить водой, то
она соберется в озера, расположенные на дне долин. Минимум, который притягивает воду,
называется аттрактором. Аттракторы разделяются седлами, хребтами, вершинами, образующими
границу раздела между различными бассейнами притяжения. Типичная картина рельефа
потенциальной функции, обладающей лишь невырожденными критическими точками, представлена
на рис. 5.
Рассмотренная простая качественная картина многомерного рельефа существенно
изменяется при наличии вырожденных критических точек, для которых одно или несколько
собственных значений равно нулю. Равенство нулю возникает при некоторых
определенных значениях управляющих параметров Ca . Если с изменением величин Ca система
проходит через вырожденную критическую точку, то топография коренным образом меняется.
Вместо знакомого пейзажа с хребтами и долинами возникает качественно новая картина, т. е.
мы оказываемся как бы в совсем ином мире. И в этом смысле о переходе через особую точку
говорят как о катастрофе. При приближении к границе перехода определенные критические
точки рельефа сближаются, а затем сливаются.
Множество точек Ca, отвечающих функции с , разбивают пространство управляющих
параметров на открытые области. Каждой из этих областей соответствуют качественно
отличные рельефы. При пересечении границ, разделяющих эти области, - сепаратрисе,
являющихся геометрическим местом особенностей, происходит качественное скачкообразное
изменение - катастрофа состояний системы.
Рис. 5. Рельеф в пространстве переменных состоянии
Смысл развиваемого подхода состоит в нахождении вырожденных критических точек
(поверхностей), соответствующих качественному изменению в топографии семейств
потенциальных функций и выполнению вблизи них линейного анализа устойчивости.
В окрестности вырожденных, особых точек подходящим преобразованием координат
потенциальная функция может быть представлена в виде:
l переменных, соответствующих нулевым собственным значениям матрицы Uij , являются
аргументами функции катастрофы , зависящей также от B управляющих параметров.
Зависимость потенциальной функции от остальных (n-l) переменных, соответствующих отличным
от нуля собственным значениям, представляется, как и раньше, квадратичной формой.
Оказалось, что функции можно привести к определенному каноническому виду.
Классификация особенностей потенциальных функций (катастроф) была проведена В. И.
Арнольдом. Она удивительно совпала с классификацией таких как будто бы не имеющих ничего
общего с особенностями объектов, как точечные группы первого рода, характеризующие
симметрию молекул, а также оказалась связанной с правильными многогранниками в эвклидовом
пространстве и простыми группами Ли. Причины этих связей еще не поняты до конца.
Для одной или двух переменных и числа управляющих параметров, не превышающего 5,
имеется 7 типов элементарных катастроф. Для каждого типа катастроф рассматривается
поверхность, зависящая от nj переменных состояния и na управляющих параметров в
пространстве ni+na измерений. Поверхность простейшей катастрофы с одной переменной
состояния и одним управляющим параметром приведена на рис. 6, а. Она имеет вид складки на
ткани и называется катастрофой складки. Функция катастрофы в этом случае задается
канонической формой . Соответствующие кривые для фиксированных
значений параметра с приведены на рис. 6, б. При с"0 все кривые качественно подобны - они
не имеют критических точек. Все кривые с с"0 также подобны и имеют две критические точки
(рис. 6, б). Точка с=0 в пространстве управляющих параметров является сепратриссой (рис.
6, в). Катастрофы складки появляются в моделях, описыва-ющих релаксационные колебания,
триггерные схемы, нагруженные арки, различные диссипативные структуры.
Функция катастрофы сборки зависит от одной переменной
состояния и двух управляющих параметров.
Рис. 7. Катастрофа сборки. Плоскость управляющих параметров
На рис. 7 показана сепаратрисса катастрофы сборки. Она разделяет плоскость
управляющих параметров на две открытые области, представляющие функции с одной и тремя
критическими точками. Линии сепаратриссы имеют дважды вырожденные точки, а точка
пересечения - трижды вырождена. На рис. 7 изображены также потенциальные функции,
соответствующие некоторым точкам плоскости управляющих параметров.
Модели, содержащие катастрофу типа сборки, используются в механике конструкций, при
описании ряда колебательных режимов, в динамике квантовых систем. Аналогично, хотя и
несколько более громоздко, выглядит описание остальных пяти типов элементарных катастроф.
Значение элементарной теории катастроф состоит в том, что она сводит огромное
многообразие ситуаций, встречающихся на практике, к небольшому числу стандартных схем,
которые можно детально исследовать раз и навсегда.
Математические образы теории катастроф овеществляются в волновых полях. Это так
называемые каустики - геометрические места точек, в которых происходит заметная
концентрация (фокусировка) волнового поля. Она может быть зарегистрирована физическими
приборами или обнаружена визуально. С геометрической точки зрения каустики определяются
как особенности некоторых отображений, осуществляемых семейством лучей. В геометрической
оптике скачкообразное изменение состояния при пересечении каустики выражается в изменении
числа лучей, приходящих в данную точку пространства. Все 7 канонических катастроф имеют
свои образы в каустиках.
Сейчас теория катастроф широко применяется в ме-ханике конструкций, метеорологии,
аэродинамике, оптике, теории кооперативных явлений, квантовой динамике. Но главное
заключается в том, что эта теория подводит эффективную стандартную базу под описание
качественных изменений в нелинейных уравнениях, моделирующих системы, далекие от
равновесия. Она является основой анализа в теории бифуркаций, в теории переходов
термодинамических систем в новые структурные состояния.
Кинетика существенно неравновесных состояний
Исходным пунктом для данной области исследований явилась классическая кинетика
процессов в газах, начатая работами Дж. Максвелла и Л. Больцмана. Затем произошло
расширение области исследования на слабонеравновесные системы в различных средах и
условиях. С 1950 года началось широкое изучение систем, находящихся далеко от состояния
равновесия из-за действия сильных полей и жестких излучений различной природы. На сцену
вышел качественно новый фактор - квантованность энергетических состояний молекул. Ранее,
по существу, рассматривалось только поступательное движение бесструктурных частиц. При
сильном отклонении от равновесного состояния возбуждение охватывает различные степени
свободы молекул - вращательные, колебательные, электронные. Возникает необходимость
детального учета квантовой структуры вещества. В этих условиях частицы уже нельзя считать
бесструктурными, а нужно рассматривать их эволюцию в фазовом пространстве многих степеней
свободы.
Свойства атомов и молекул в различных энергетических состояниях различны. За счет
неравновесных процессов происходит быстрое перераспределение заселенностей по большому
числу термов и неизвестно какой из них окажется в данной конкретной системе наиболее
реакционноспособным. Поэтому реакция существенно неравновесной системы на внешнее
воздействие может быть неожиданной. Примером может служить диссоциация многоатомных
молекул (ангармонических осцилляторов) при охлаждении газа в условиях накачки энергии.
Этот эффект использовался для получения свободных атомов при низких температурах, что
сыграло существенную роль в разработке химических лазеров. Другим примером нетривиального
поведения существенно неравновесной системы является кратковременное охлаждение
углекислого газа при резонансном поглощении излучения молекулой CО2.
В данном случае принципиально то, что при рассмотрении открытых систем, внешние
параметры играют роль регуляторов, с помощью которых можно управлять процессами. Очень
существенным моментом является то, что энергетические затраты на управление с помощью
этих регуляторов намного меньше, чем требуется для достижения того же эффекта в
равновесных условиях. Причем эффективность воздействия зависит от степени неравновесности
системы.
В ряде случаев элементы системы начинают действовать в неравновесных условиях
согласованно, обнаруживая свойства, не присущие отдельной частице. Эти общие свойства
получили название когерентных или кооперативных свойств. При приближении системы к
состоянию равновесия сначала разрушаются когерентные связи, а затем уже связи,
определяемые энергетическими заселенностями. Когерентность определяется возникновением
корреляций (взаимосвязей и взаимозависимостей) между частицами. Математически это
выражается необходимостью рассмотрения функции распределения не одной частицы, а
нескольких взаимодействующих. Н.Н. Боголюбов разработал единый подход рассмотрения всей
совокупности функций распределения - цепочек уравнений для последовательных функций
увеличивающегося числа взаимодействующих частиц. Этот метод назван цепочками ББГКИ, по
имени ученых, внесших основной вклад в их разработку: Н.Н. Боголюбов, М. Борн, Х. Грин,
И. Кирквуд, И. Ивон. Так функция n переменных учитывает корреляции n частиц. Если
масштаб корреляции уменьшается и взаимодействуют только (n-1) частиц, то переходят к
функции. При сглаживании неравновесности (переходе к состоянию равновесия) корреляции
разрушаются, сокращается набор функций, необходимых для описания поведения системы, а
сами функции зависят от все меньшего числа частиц. В пределе остаются лишь одночастичные
функции распределения, уравнения которых составляют основу обычной кинетики.
Метод цепочек ББГКИ имел исключительно большое значение в неравновесной
статистической физике. Это был, по существу, новый подход к проблеме необратимости. В
замкнутой системе уравнения динамики (классической или квантовой) обратимы, т. е. замена
t на -t их не меняет. При обрыве цепочки, когда нарушается корреляция высших порядков,
возникает необратимость. В этом случае четко видна причина необратимости. Разрушение
корреляции может быть вызвано внешним воздействием. Но чем больше и упорядоченной
система, тем выше масштаб корреляций. Это означает, что они действуют между большим
числом частиц, на больших расстояниях и в течение большого промежутка времени.
Следовательно, нужно меньшее воздействие для нарушения такой сложной корреляции. А так
как абсолютно изолированных систем нет, то необратимость нашего мира заложена в природе
вещей в силу всеобщей связи.
Неравновесная термодинамика открытых систем
Открытые системы. Неравновесная термодинамика
Неравновесная термодинамика открытых систем
Неравновесная термодинамика открытых систем изучает существенно неравновесные
процессы. В их описании ключевую роль играет понятие возрастания энтропии системы за счет
процессов, происходящих внутри нее. Такой подход привел к новому взгляду на привычные
понятия. Выдающаяся роль в развитии данного научного направления принадлежит И.Р.
Пригожину, удостоенному за свои работы Нобелевской премии в 1977 году [8-10]. Большой
вклад внесли также Л. Берталанфи, Л. Онзагер, Л.И. Мандельштам, М.А. Леонтович, М. Эйген,
Г. Хакен [11-15].
Открытые системы, в которых наблюдается прирост энтропии, получили название
диссипативных. В таких системах энергия упорядоченного движения переходит в энергию
неупорядоченного хаотического движения, т.е. в тепло. Если замкнутую систему вывести из
состояния равновесия, то в ней начнутся процессы, возвращающие ее к состоянию
термодинамического равновесия, в котором ее энтропия достигает максимального значения. Со
временем степень неравновесности будет уменьшаться, однако, в любой момент времени
ситуация будет неравновесной. В случае открытых систем отток энтропии наружу может
уравновесить ее рост в самой системе. В этих условиях может возникнуть и поддерживаться
стационарное состояние. Такое состояние Берталанфи назвал текущим равновесием. По своим
характеристикам текущее равновесие может быть близко к равновесным состояниям. В этом
случае производство энтропии минимально (теорема Пригожина). Если же отток энтропии
превышает ее внутреннее производство, то возникают и разрастаются до макроскопического
уровня крупномасштабные флуктуации.
При определенных условиях в системе начинает происходить самоорганизация - создание
упорядоченных структур из хаоса. Эти структуры могут последовательно переходить во все
более сложные состояния. Такие образования в диссипативных системах Пригожий назвал
диссипативными структурами.
ОТКРЫТЫЕ СИСТЕМЫ.НЕРАВНОВЕСНАЯ ТЕРМОДИНАМИКА
Перейдем ко второму направлению анализа состояний, далеких от равновесия. Оно связано
с исследованием свойств открытых систем, с обобщением на существенно неравновесные
процессы понятий классической термодинамики, рассматривавшей лишь медленно протекающие
квазиравновесные процессы. Этот подход, особенно интенсивно начавший развиваться в 50-е
годы, привел к пересмотру целого ряда привычных и установившихся понятий. Большой вклад в
развитие термодинамики открытых систем, обменивающихся с внешним миром веществом и
энергией, внесли Л. Берталанфи, Л. Онзагер, Л. И. Мандельштам, М. А. Леонтович, М. Эйген
и особенно И. Р. Пригожин. Сама же термодинамика как наука о закономерностях превращения
энергии зародилась в середине прошлого века. Первоначально объектом исследования были
тепловые машины, в дальнейшем - электрические и электромагнитные явления.
В основе термодинамики лежат 2 закона, относящиеся к свойствам энергии и энтропии
системы:
1. согласно первому энергия сохраняется в любых процессах. Возрастание внутренней
энергии системы складывается из подведенной к системе теплоты и работы ,
совершенной над системой
Энтропия S является аддитивной функцией состояния системы; она равна сумме энтропий ее
подсистем. Если в систему поступает теплота при температуре Т, то энтропия 5 системы
увеличивается на
2. согласно второму закону термодинамики энтропия замкнутой системы может только
оставаться неизмен-ной или возрастать: . Сохраняясь, подобно энергии, в обратимых
процессах, энтропия возрастает в необратимых процессах. Тем самым с помощью энтропии
задается направленность процесса. Так, при передаче тепла от тела с температурой к
телу с температурой изменение энтропии положительно,
Тепловая энергия переходит от нагретого тела к более холодному.
Энергия любого вида, выработанная для производства полезной работы, в конечном счете
диссипирует, рассеивается в виде тепла. Диссипация - неизбежный переход энергии в менее
работоспособную форму - сопровождает любой реальный термодинамический процесс. И рано или
поздно изолированная система приходит в состояние равновесия, соответствующее
максимальному значению энтропии. Поэтому с точки зрения классической термодинамики
существование мира носит эпизодический характер гигантской флуктуации. Мир имеет свое
начало и неизбежно заканчивается хаосом, "тепловой смертью".
Макроскопические свойства термодинамических систем характеризуют энтропия S, объем V,
температура Т и давление Р, любые два из этих параметров неза-висимы. Состояние системы
описывается с помощью термодинамических функций, или потенциалов, определяемых своей
парой параметров: внутренней энергией U(S, V), свободной энергией F(Т, V), энтальпией
Н(S, Р), термодинамическим потенциалом G(T, Р). Эти функции дают возможность получать
соотношения между различными физическими свойствами системы, формулировать условия
устойчивости термодинамических систем. В равновесном состоянии термодинамические
потенциалы обладают свойствами минимальности по отношению к произвольно малым отклонениям
от равновесия при фиксированных значениях независимых термодинамических переменных.
В классической термодинамике рассматриваются обратимые равновесные процессы,
протекающие настолько медленно, что на каждом их этапе достигается равновесие.
Современная термодинамика открытых систем изучает существенно неравновесные процессы. В
их описании ключевую роль играет понятие возрастания энтропии системы за счет процессов,
происходящих внутри нее. Энтропия возрастает в системе при протекании любых неравновесных
процессов. Скорость ее роста только в идеализированном случае строго
равновесного процесса). Прирост энтропии в открытой системе в единицу времени в единице
объема носит название функции диссипации, а системы, в которых функция диссипации отлична
от нуля, получили название диссипативных. В таких системах энергия упорядоченного
процесса переходит в энергию неупорядоченного процесса, в конечном счете - в тепло.
Типичными примерами служат механические системы с силами трения, когда полная
механическая энергия переходит в теплоту, колебания тока в электрическом контуре с
выделением энергии на омическом сопротивлении, колебания груза на пружине, движение воды
в трубе. В земных условиях практически все системы из-за неизбежных сил сопротивления
оказываются диссипативными.
При наличии связи между двумя системами может возникать поток энтропии из одной системы в
другую, направление которого определяется значениями термодинамические потенциалов. Здесь
и проявляется качественное отличие открытых систем от изолированных. В изолированной
системе ситуация остается неравновесной, и процессы идут до тех пор, пока энтропия не
достигнет максимума. Для открытых систем отток энтропии наружу может уравновесить ее рост
в самой си-стеме. При этих условиях может возникнуть и поддерживаться стационарное
состояние.
Стационарное состояние в открытой системе Л. Берталанфи назвал текущим равновесием.
Эти состояния исключительно разнообразны. По своим характеристикам они могут быть близки
к равновесным. В этом случае функция диссипации имеет минимум, и рост энтропии
оказывается меньше, чем в других близких состояниях. Они могут быть неустойчивыми или
условно устойчивыми (устойчивыми к малым и неустойчивыми к большим воздействиям). При
наличии неустойчивостей понятие изолированности, неизбежно связанной с идеализацией
реальной системы, теряет смысл. Даже на малые воздействия отклик может стать
существенным, и любая система должна рассматриваться как открытая.
При определенных условиях суммарное уменьшение энтропии за счет обмена потоками с
внешней средой может превысить ее внутреннее производство. Появляется неустойчивость
предшествующего неупорядоченного однородного состояния. Возникают и возрастают до
макроскопического уровня крупномасштабные флуктуации.
Диссипативные системы
Диссипативные системы (И.Пригожин)
Диссипативные структуры (В.И.Коротков)
Диссипативная структура, характеризуется нарушением симметрии, множественными выборами и
корреляциями в макроскопических масштабах.
Диссипативные системы
(www.chat.ru/~cuirt/synergetics.htm)
Открытые системы, в которых наблюдается прирост энтропии, называют диссипативными. В
таких системах энергия упорядоченного движения переходит в энергию неупорядоченного
хаотического движения, в тепло. Если замкнутая система (гамильтонова система), выведенная
из состояния равновесия, всегда стремится вновь придти к максимуму энтропии, то в
открытой системе отток энтропии может уравновесить ее рост в самой системе и есть
вероятность возникновения стационарного состояния. Если же отток энтропии превысит ее
внутренний рост, то возникают и разрастаются до макроскопического уровня крупномасштабные
флюктуации, а при определенных условиях в системе начинают происходить
самоорганизационные процессы, создание упорядоченных структур.
При изучении систем, их часто описывают системой дифференциальных уравнений.
Представление решения этих уравнений как движения некоторой точки в пространстве с
размерностью, равной числу переменных называют фазовыми траекториями системы. Поведение
фазовой траектории в смысле устойчивости показывает, что существует несколько основных
его типов, когда все решения системы в конечном счете сосредотачиваются на некотором
подмножестве. Такое подмножество называется аттрактором. Аттрактор имеет область
притяжения, множество начальных точек, таких, что при увеличении времени все фазовые
траектории, начавшиеся в них стремятся именно к этому аттрактору.
Основными типами аттракторов являются:
* устойчивые предельные точки
* устойчивые циклы (траектория стремится к некоторой замкнутой кривой)
* торы (к поверхности которых приближается траектория)
Движение точки в таких случаях имеет периодический или квазипериодический характер.
Существуют также характерные только для диссипативных систем так называемые странные
аттракторы, которые, в отличие от обычных не являются подмногообразиями фазового
пространства (точка, цикл, тор, гипертор - являются) и движение точки на них является
неустойчивым, любые две траектории на нем всегда расходятся, малое изменение начальных
данных приводит к различным путям развития. Иными словами, динамика систем со странными
аттракторами является хаотической.
Уравнения, обладающие странными аттракторами вовсе не являются экзотическими. В
качестве примера такой системы можно назвать систему Лоренца, полученную из уравнений
гидродинамики в задаче о термоконвекции подогреваемого снизу слоя жидкости.
Замечательным является строение странных аттракторов. Их уникальным свойством
является скейлинговая структура или масштабная самоповторяемость. Это означает, что
увеличивая участок аттрактора, содержащий бесконечное количество кривых, можно убедиться
в его подобии крупномасштабному представлению части аттрактора. Для объектов, обладающих
способностью бесконечно повторять собственную структуру на микроуровне существует
специальное название - фракталы.
Для динамических систем, зависящих от некоторого параметра, характерно, как правило,
плавное изменение характера поведения при изменении параметра. Однако для параметра может
иметься некоторое критическое (бифуркационное) значение, при переходе через которое
аттрактор претерпевает качественную перестройку и, соответственно, резко меняется
динамика системы, например, теряется устойчивость. Потеря устойчивости происходит, как
правило, переходом от точки устойчивости к устойчивому циклу (мягкая потеря
устойчивости), выход траектории с устойчивого положения (жесткая потеря устойчивости),
рождение циклов с удвоенным периодом. При дальнейшем изменении параметра возможно
возникновение торов и далее странных аттракторов, то есть хаотических процессов.
Здесь надо оговорить, что в специальном смысле этого слова хаос означает нерегулярное
движение, описываемое детерминистическими уравнениями. Нерегулярное движение
подразумевает невозможность его описания суммой гармонических движений.
Диссипативные системы (И.Пригожин)
Кроме консервативных систем, изучаемых в классической механике, нам нужно рассмотреть
также системы, приводящие к необратимым процессам. Простейшим примером такого рода могут
служить системы с трением.
Важная роль трения, представляющего собой особую форму диссипативного процесса, была
осознана
...Поділитися у соцмережах
