Жанр: Наука
Синергетика и прогнозы будущего
...но сложной. Эта игра эквивалентна
универсальной
вычислительной машине. В принципе, имея достаточно большую область из таких
клеток, с ее
помощью можно проводить вычисления, как на компьютере.
Главной тенденцией в электронике стала миниатюризация. Возможно, в будущем
элементы
компьютеров станут сравнимы с размерами молекул, и связи в них будут возможны
только самые
простые, локальные. (Впрочем, тогда бы пришлось подумать о радиационных
повреждениях, которые
бы могли выводить их из строя. Ведь в отличие от живых организмов, электронные
схемы не умеют
корректировать, "лечить" тонкие повреждения на микроуровне. Пока не умеют.)
Возможно, тогда такие
игры, как "Жизнь", станут полезными для микроэлектроники.
Сейчас они полезны, например, при создании новых физических теорий. Вот только
два примера,
связанных с игрой "Жизнь".
Работа компьютера характерна тем, что мы не можем предсказать результат
действия ряда программ,
не выполнив их полностью. Такие алгоритмы называют вычислительно неприводимыми.
Любая
величина в нашем мире может быть измерена с конечной точностью, с конечным
числом десятичных
цифр. Существуют законы природы, определяющие программы, алгоритмы, по которым
производятся
действия с этими числами. Поэтому американский исследователь С.Уолфрем
предлагает взглянуть на
наш мир, как на гигантский компьютер. По его мысли, те процессы, в моделировании
которых успехи
невелики (а это хаотические турбулентные течения, вихри в атмосфере,
экономические системы,
биологическая эволюция), описываются неприводимыми алгоритмами. Не правда ли,
рискованный
полет --- от игры "Жизнь" до прогнозов погоды?
Другая теория, называемая теорией самоорганизованной критичности, обязанная
своим появлением
анализу игры "Жизнь" и другим играм такого типа, сейчас завоевывает все больше
приверженцев. Ее
результаты используют сегодня в космологии, гидродинамике, в геофизике для
прогноза землетрясений
и во многих других областях.
Модели такого сорта применяют, например, при анализе химических реакций на
поверхности. В
модели, исследованной М.С.Шакаевой, существует только три уровня концентрации. В
этой модели
также обнаружены движущиеся конфигурации --- "планеры". На рис.10 показаны два
таких "планера" и
"моментальный снимок" того, что произошло после столкновения. Не правда ли
красиво?
Рис. 10. Столкновение двух "планеров" в среде, имитирующей колебательные
химические реакции.
Нелинейные среды с положительной обратной связью
В химии, физике, биологии есть много примеров самоорганизации, но в очень
редких случаях
разработаны математические модели этих процессов. Ведь речь идет о понимании и
копировании на
моделях механизмов самоорганизации. Так, например, в замечательной колебательной
химической
реакции Белоусова-Жаботинского остаются плохо известными детали промежуточных
реакций, их
константы, хотя сама возможность колебательного режима следует из анализа
упрощенных
математических моделей. Например, из анализа математических моделей, построенных
А.Д.Караваевым, работающим в лаборатории В.П.Казакова в институте органической
химии
Уфимского научного центра, следует, что изменение некоторых констант реакций на
миллионные доли
процента может радикально изменить тип наблюдаемого хаотического режима.
Само явление красиво, непривычно и потому загадочно. В пробирке (определенное
время)
периодически пробегает волна изменения цвета. Это означает, что хаотически
движущиеся атомы и
молекулы становятся периодически участниками каких-то согласованных процессов,
которые,
вероятно, очень быстро (как цепная реакция) развиваются и охватывают огромное
число элементов
среды, обеспечивая единое коллективное поведение. Не правда ли, достаточно
глубокая аналогия с
разнородным поведением людей, со своими интересами и волнами моды, социальными
течениями,
войнами и революциями, втягивающими огромные массы людей, часто даже против их
воли?
Многие важнейшие открытия в науке 20-го столетия связаны с выявлением эффектов
согласованного
поведения (синергизмом) на макроуровне совокупностей отдельных элементов
(атомов, электронов,
клеток, особей), хаотически ведущих себя на микроуровне.
Например, в лазере возникает согласованный процесс излучения возбужденными
атомами света
одной длины волны и, главное, с одной фазой. Для обычного света характерны
колебания
электромагнитных волн разной длины и хаотическим образом меняющимися фазами
(благодаря
хаотическому поведению атомов-излучателей).
К согласованному поведению огромного числа элементов среды относятся
возникновение смерчей в
воздухе, конвективные ячейки на Солнце (гранулы), течения в океане и циклоны в
атмосфере.
Самопроизвольно возникающее согласованное поведение наблюдается и среди клеток
организмов в
процессе морфогенеза, среди элементов биоценозов или в социальных сообществах.
Но как объяснить и смоделировать новые свойства у образующегося целого? Как
описать их
структуры, их размер, форму или, возможно, спектр форм; законы их развития,
вхождения в новые
целостности и причины распада? Здесь новые возможности в понимании этих
процессов дало
применение нелинейных математических моделей и вычислительный эксперимент.
Последнее связано с
недостаточным развитием даже в современной математике аналитических методов
исследования
нелинейных моделей.
Важно отметить, что много новых явлений нелинейного мира было открыто в
результате решения
важных практических задач, в самой гуще научных, технических, военных проектов и
исследований.
Сюда, прежде всего, можно отнести задачи расчета процессов в атомных и
водородных бомбах,
ядерных реакторах. Среди других решенных задач можно выделить изучение различных
явлений
физики плазмы, процессов в установках управляемого термоядерного синтеза.
Прогноз погоды, расчеты
обтекания ракет, самолетов, автомобилей. Оптимизация процессов добычи нефти,
процессов в лазерах и
режимов работы реактивных двигателей. Расчеты траекторий ракет и возможностей
космических
полетов с посадкой и управлением роботами на Луне и Марсе. Несколько позднее
были изучены модели
ядерной зимы, проблемы потери контроля в СОИ, проведены расчеты многочисленных
экономических,
биологических, медицинских, социальных и экологических моделей.
Иногда высказывается мнение:"Да, ЭВМ, моделирование, вычислительный
эксперимент применяется
во многих областях техники и науки в разных странах мира. Но вот синергетика ---
это очередное
поветрие западной мысли в России". Как уже показано выше, развитие нелинейной
математики,
синергетики, а с ними и нового взгляда на мир и условия жизни в нем --- не
очередная мода, а
естественная стадия развития науки и культуры.
Но давайте все же на нескольких примерах покажем, что теория диссипативных
структур, которую
сейчас почти всегда в России связывают с работами А.Тьюринга, И.Пригожина,
Г.Хакена, независимо
развивалась в СССР и достигла больших результатов, как в области понимания
механизмов
самоорганизации, так и в практическом их применении в передовых областях науки и
техники. Мало
того, были открыты новые физические явления парадоксального характера и
сформулированы
неожиданные закономерности мира нелинейных процессов. В ряде случаев разработан
новый
аналитический, а не только численный, аппарат исследования нелинейных моделей.
Так, например, в
Институте Прикладной Математики АН СССР (теперь ИПМ им. М.В.Келдыша РАН),
являвшемся в
СССР пионером в области исследований с применением ЭВМ в новых областях техники
и науки,
совместно с ИТПМ (Новосибирск) СО АН СССР в начале 70-х годов было сделано
открытие эффекта Тслоя.
Температурный слой (Т-слой) --- это самоподдерживающаяся диссипативная
структура, т.е.
локализованная на массе низкотемпературной плазмы область повышенной
температуры, эффективно
взаимодействующая с магнитным полем. Эффект ее самопроизвольного или
индуцированного
возникновения, а также условия и механизмы, обуславливающие это явление, были
вначале
установлены с помощью расчетов на ЭВМ и теоретического анализа модели процессов
в плазме, затем
зарегистрированы в Комитете по делам открытий в СССР как открытие N55, и,
наконец, через
несколько лет обнаружены в натурном эксперименте.
Обратим внимание, что первое издание на русском языке книги П.Гленсдорфа,
И.Пригожина
"Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций" вышло в 1973 г.,
а французский
вариант был издан немногим раньше. Насколько плохо работы И.Пригожина и его
сотрудников по
диссипативным структурам были известны в СССР, можно судить по тому
сопротивлению физической
общественности, с которым были восприняты статьи и доклады исследователей Т-слоя
в ведущих
научных центрах и на международных конференциях. Хотя в СССР, так же как в США и
Европе,
интенсивно проводились работы по физике плазмы, и в линейном приближении давно
были выявлены
теоретиками многочисленные типы неустойчивостей, но никто теоретически не мог
ответить на вопрос,
что с этими неустойчивостями будет на развитой нелинейной стадии. Каковы будут
размеры возникших
структур, их форма, как они будут взаимодействовать друг с другом, какова физика
плазмы со
структурами? Хотя в целом ряде натурных экспериментов наблюдались структуры в
диссипативной
плазме, но их адекватного теоретического, а в большинстве случаев даже
компьютерного, обоснования
не существовало.
Однако, через несколько лет открытие Т-слоя, сделанное, можно сказать, не на
кончике пера, а на
экране компьютера, было почти одновременно обнаружено несколькими группами
экспериментаторов.
Использование эффекта Т-слоя позволило создать опытные установки нового типа
магнитногидродинамических
генераторов с заметно большим коэффициентом полезного
действия,
непосредственно превращающих энергию потока плазмы в электрический ток. Позднее
вышли
несколько работ соавтора открытия Т-слоя В.С.Соколова с сотрудниками, дающие
новые
нетрадиционные объяснения природы хромосферных вспышек на Солнце и
сопровождающих их
явлений через эффект Т-слоя.
Другой пример --- возникновение и разработка в работах научной школы академика
А.А.Самарского
в ИПМ АН СССР и на ВМК МГУ новых парадоксальных представлений синергетики,
связанных с
изучением явлений, сопровождающих развитие в нелинейной среде режимов с
обострением.
Любопытно отметить, что физическая и математическая теория режимов с обострением
возникла на
острие исследований по лазерному термоядерному синтезу.
Весьма небольшая часть работ, иллюстрирующих сказанное и отражающая применение
компьютерного моделирования нелинейных процессов, приведена в списке литературы
к введению.
Когда слушают на "репетиции" доклад студента или аспиранта, которому предстоит
защищать
диплом или диссертацию, то часто советуют обо всем упомянуть кратко, а на одном
результате
остановиться детальнее. Последуем и мы этому традиционному совету. Обсудим
несколько подробнее
теорию нелинейных сред с положительной обратной связью.
Эта теория весьма велика. Только представителям научной школы, работавшим над
этими
проблемами в Институте прикладной математики им.М.В.Келдыша РАН, Московском
физикотехническом
институте и Московском государственном университете принадлежит
здесь около 500
работ. Построенная теория активно использовалась при исследовании задач физики
плазмы, анализе
проектов управляемого термоядерного синтеза, проблем лазерной термохимии и ряда
других. Она
привела к постановке многих необычных математических задач, решения которых
обладают
парадоксальными свойствами. Построенная теория послужила основой для интересных
философских
интерпретаций. Здесь же мы остановимся лишь на нескольких важных идеях и
некоторых результатах,
существенных для последующего изложения.
Принципиальным понятием в классической механике является материальная точка.
Изменение ее
состояния определяется вторым законом Ньютона, а само состояние полностью
характеризуется
шестью числами. Три числа задают координаты точки и три --- ее скорость . При
этом большинство
рассматриваемых объектов было таково, что преобразование
+ t,
где некоторая постоянная скорость, не меняет хода процессов в них (математики
говорят, что законы
механики инвариантны относительно группы преобразований Галилея). При получении
многих
фундаментальных результатов естествознания, начиная с описания траекторий
планет, традиционным
предположением было допущение о несущественности диссипативных процессов,
связанных с
рассеиванием энергии. К ним относятся теплопроводность, трение, вязкость. Эти
представления вошли
в кровь и плоть современной науки и техники. В особенности, предположение о
возможности описать
объект с помощью конечного набора чисел (математики называют это гипотезой о
конечномерности
фазового пространства). Действительно, трудно представить себе, что, познавая
мир, человек
вынужден иметь дело с бесконечным набором параметров. Каковы эти числа и откуда
они берутся,
также на заре классической механики было понято.
Однако уже Лапласом для описания реальности было введено новое фундаментальное
понятие ---
сплошная среда. Это понятие является ключевым при описании процессов, которые
развертываются не
только во времени, но и в пространстве. При этом приходится считать, что для
описания состояния
каждой точки нужно знать несколько чисел.
В жидкости, например --- пять, характеризующих давление, температуру и три
компоненты скорости.
Если в вакууме распространяется электромагнитная волна, то нужно 6 чисел, три
определяют
электрическое поле и три магнитное, и т.д. Объекты такого типа принято называть
распределенными в
отличие от сосредоточенных, состояние которых характеризует конечный набор
чисел. Для описания
таких систем Лапласом был предложен новый класс математических моделей ---
уравнения в частных
производных. С помощью этого языка сформулированы выдающиеся достижения нашей
цивилизации --
- уравнения гидродинамики, уравнения Максвелла, уравнение Шредингера.
Распределенные системы или сплошные среды являются одним из наиболее сложных и
интересных
объектов современного естествознания. Представление о сложности процессов,
которые могут иметь
место в таких системах, дают картины течений жидкости (см. рис.11). Обратим
внимание на
причудливую геометрию наблюдаемого явления, на спонтанно возникающую
упорядоченность,
структуры. С более глубоким пониманием пространственно-временных процессов
связан ряд высоких
технологий и многие фундаментальные научные проблемы. Более глубокое понимание
нерегулярных,
турбулентных течений жидкости открыло бы дорогу к более быстрым и экономичным
кораблям и
самолетам. Совершенствование компьютеров и огромного большинства электронных
систем
неразрывно связано с технологией создания структур на микроуровне. Наконец,
переход с
молекулярного уровня на клеточный, на котором, вероятно, ждут разгадки многих
тайн живого, связан с
анализом не только временной, но и пространственной организации в сложной
химической машине,
каковой является клетка. И это только начало огромного списка. В этом списке
есть и проблемы,
непосредственно касающиеся будущего человечества. К уравнениям в частных
производных,
описывающим распределенные системы, относится ряд математических моделей
демографии,
социологии, экономической географии, науковедения. Их начали применять при
описании
исторических процессов.
Рис. 11. Во многих течениях возникают различные типы упорядоченности: a ---
вихревая дорожка
Кармана, появляющаяся при обтекании кругового цилиндра; б --- конвективные
валики, наблюдаемые в
подогретом снизу слое жидкости; в --- неустойчивость Бенара, приводящая к
образованию
шестигранных ячеек [28].
Большинство этих моделей нелинейны. Формально это означает, что исследуемые
уравнения
содержат нелинейные функции (линейные функции y=ax, z=ax+by и т.д., нелинейные
y=sin x, y=ax2,
z= +by, где a и b всюду некоторые числа). Для них несправедлив принцип
суперпозиции (наложения),
позволяющий "сшивать" решение более сложной задачи из решений более простых
задач. Эти
уравнения описывает ситуацию, в которой изменение внешних воздействий в k раз, в
отличие от
линейных, не приведет к пропорциональному отклику объекта. По существу,
нелинейность означает
огромное разнообразие поведения и богатство возможностей, --- пороговые эффекты,
неединственность
решений, существование хаотических траекторий, парадоксальный "антиинтуитивный"
отклик при
изменении внешних воздействий.
Мы имеем счастье жить в сложном и удивительном нелинейном мире. Огромную,
вероятно, до сих
пор не вполне осознанную, роль в его познании сыграли компьютеры, позволившие
исследовать
множество нелинейных математических моделей, описывающих нашу реальность.
Возникла
положительная обратная связь. Результаты компьютерного анализа приводят к
рождению новых
теорий, понятий, моделей. Изучение этих моделей с помощью вычислительных машин
приводит к
рождению теорий и моделей нового поколения и т.д.
Одним из принципиальных результатов этой "гонки", увлекшей немалую часть
научного сообщества,
стала концепция самоорганизации. Обратим внимание еще раз на картинки течения
жидкости. В них
видна организация и упорядоченность, симметрия. Отсюда напрашивается вывод, что
для их
математического описания нужно небольшое число переменных. Но в каждом случае
это свои
переменные. Какие они, как возникают, подчиняя себе остальные степени свободы,
как изучать их
динамику, исследует междисциплинарный подход, называемый теорией самоорганизации
или
синергетикой. Само слово и принципиальная роль в создании этого подхода
принадлежат немецкому
ученому Г.Хакену.
В самоорганизации, появлении упорядоченности, важную роль играют диссипативные
процессы ---
диффузия, вязкость, теплопроводность и множество других. Разумеется, физики
всегда понимали роль
этих явлений --- без трения нам бы не удалось ходить пешком, а без вязкости
двигаться на весельной
лодке. Однако представление о том, что эти процессы, уничтожающие порядок в
простейших линейных
системах, могут быть в нелинейном мире "архитекторами упорядоченности", до сих
пор кажется
парадоксальным. Чтобы подчернуть необычность этого взгляда, один из
основоположников теории
самоорганизации И.Пригожин назвал упорядоченность, возникающую в открытых
нелинейных
системах, далеких от равновесия, и существенно связанную с рассеянием энергии,
вещества или
информации, диссипативными структурами.
В ходе математического моделирования такие структуры были, вероятно, впервые
найдены в 1952 г.
Аланом Тьюрингом. Они были обнаружены в ходе математического моделирования
одного из наиболее
сложных и интересных биологических явлений --- морфогенеза. Морфогенез или
клеточная
дифференцировка замечателен тем, что в ходе деления и развития клеток,
содержащих одинаковую
генетическую информацию, возникает сложнейшая организация, каковой является
организм.
А.Тьюринг предположил, что в основе морфогенеза лежат химические процессы.
Распределение
гипотетических химических реагентов --- активатора и ингибитора в первоначально
однородной ткани,
приобретая неоднородность, может "указать" клеткам, какие свойства в каких
пространственных
областях им следует приобретать. Уравнения, предложенные Тьюрингом, имели вид
ut = D1 u + f (u,v)
vt= D2 u + g (u, v) (1)+
Здесь u --- концентрация активатора, v --- ингибитора, D1 и D2 ---
соответственно коэффициенты
диффузии первого и второго вещества, f(u, v) и g(u, v) --- нелинейные функции,
определяющие
кинетику реакций между активатором и ингибитором, --- оператор Лапласа ( ),
традиционно возникающий при моделировании диффузионных процессов.
После некоторого переходного периода возникали пространственно-неоднородные
стационарные
(т.е. не зависящие от времени) диссипативные структуры. Примерно такие, как
показано на рис.12.
Когда ответ известен, его можно пояснить на пальцах. Коэффициент диффузии
активатора обычно
выбирается существенно меньше, чем ингибитора. Поэтому последний "не успевает"
стабилизировать
процессы во всей области и "уследить" за активатором.
Рис. 12. Типичный пример стационарной диссипативной структуры в
двухкомпонентной среде типа
реакция-диффузия. Такие структуры возникают при математическом моделировании
морфогенеза,
описании ряда химических реакций, неустойчивостей в полупроводниках, расселении
биологических
видов по ареалу и во многих других задачах.
Тем не менее, возникновение таких структур требует достаточно тонкого
взаимодействия
положительных и отрицательных обратных связей. Первые должны сделать
пространственнооднородное
состояние неустойчивым и обеспечить возможность рождения структур.
Вторые нужны,
чтобы стабилизировать процессы вдали от равновесия и задать диапазон, в котором
будут меняться
концентрации.
В XX в. теория управления, кибернетика, экономика, социология и множество
других дисциплин
огромное внимание уделили механизмам, обеспечивающим отрицательные обратные
связи. Именно они
во множестве ситуаций позволяют сохранить "статус кво". Положительные обратные
связи, на наш
взгляд, оказались недооценнеными. Однако вначале появились оригинальные
простейшие
производственные технологии, где важно обеспечить спонтанный уход от равновесия,
а затем и
социальные, политические, экономические технологии, ориентированные на эти
связи. Ярким
примером успеха такого подхода влиятельные американские экономисты считают
создание и развитие
Кремниевой долины в Калифорнии, ставшей "законодателем мод" в микроэлектронике.
Возникает соблазн изучить действие нелинейной положительной обратной связи "в
чистом виде", не
привлекая каких-либо усложняющих факторов и отвлекаясь от множества
подробностей, связанных с
описанием отдельных систем. Эта работа и была проведена упоминавшейся научной
школой в
Институте прикладной математики, МГУ и МФТИ, к которой и относят себя авторы
этой книги.
Наиболее яркими и важными оказались результаты исследования нелинейной среды,
в которой есть
только два конкурирующих процесса. Это нелинейный источник, отражающий
положительную
обратную связь --- Q(T), и диссипативный процесс, нелинейность которого
определяется
коэффициентом k(T)
Tt = (k(T)Tx)x + Q(T) (2)
Если эти функции имеют степенной вид:
Q(T) = q0 , k(T) = k0 , k0, q0, " 0, "0 (3)
то модель (2) называют моделью тепловых структур. Название связано с ее
происхождением ---
первоначально она представлялась как упрощенная модель ряда процессов в физике
плазмы и в теории
управляемого термоядерного синтеза. Однако генезис модели сейчас не важен и ее
вполне можно
трактовать как феноменологическое описание распространения информации о
некоторой проблеме в
научном сообществе.
При такой интерпретации "пространственная координата" x характеризует
интенсивность контактов
"удаленность друг от друга" членов научного сообщества, переменная t --- время,
T --- плотность
информации в научном сообществе. Смысл нелинейных зависимостей также весьма
прост. Растущая
функция Q(T) отражает тот факт, что чем больше мы знаем, тем больше шансов
узнать что-то еще.
Нелинейность поясняет простая притча:"Если у тебя есть яблоко, и ты отдал его
мне, то яблок у тебя не
осталось. Но если у нас есть по идее, и мы рассказали их друг другу, то у
каждого стало по две идеи."
Степенная зависимость k(T) отражает тот простой факт, что если не о чем
рассказывать, то информация
не раcпространяется k(0)=0, а чем значительнее достижения, тем быстрее узнает о
них сообщество.
Обсудим ряд свойств модели (2) и (3). Первый парадоксальный результат можно
получить,
предположив, что все члены сообщества одинаково информированы --- Tx=0. Тогда
dT/dt = q0 , T(0) = T0(4)
гдеT0 --- плотность информации в начальный момент времени. Решение этого
уравнения существует
только конечный промежуток времени, определяемый начальным значением T(0) (см.
рис.13). После
этого в игру должны вступать другие стабилизирующие факторы, и следует
переходить к другим
моделям (как мы увидим в четвертой главе, именно такая ситуация возникает при
феноменологическом
описании демографических процессов). Обратим внимание на замечательный характер
кривых,
соответствующих решениям уравнения (4). В течение длительного времени
(специалисты называют его
квазистационарной стадией) функция T почти не меняется, кажется, что вообще
ничего не происходит.
Но вблизи момента времени tf, называемого временем обострения, неустойчивость
приобретает
взрывной характер. Стандартный алгоритм прогнозирования, до сих пор применяемый
в социальных
науках --- "посчитай на сколько процентов изменялась величина за предыдущий
промежуток времени;
чтобы получить будущее изменение, надо домножить этот процент на текущее
значение". Знаменитый
прием планирования "от достигнутого" --- здесь неприменим.
Рис. 13. Решения уравнения (4) при различных начальных данных T_0. В каждом
случае за конечный
промежуток времени решение неограниченно возрастает.
Напротив, для линейного уравнения, предлагавшегося Мальтусом и его
последователями для роста
народонаселения
dn/dt n = n, n(0) = n0 (5)
он прекрасно работает. Решения этого линейного уравнения представлены на
рис.14. Здесь решения
также описывают некоторый рост. Но, во-первых, они существуют бесконечно долго.
Во-вторых, роль
начальных данных здесь не так драматична. Представим себе два решения уравнения
(5),
cоответствующие начальным данным n1(0) и n2(0). Соотношение между ними остается
неизменным
n1(t)/ n2(t)= n0(0)/ n2(0) и таким же, как вначале. Напротив, как бы ни была
мала разница начальных
данных для решения уравнение (4) T1(t) и T2(t), она будет стремительно расти
T1(t)/T2(t) , и вторая
траектория "безнадежно отстанет" вблизи момента обострения первой. "Миры", в
которых существуют
эти решения, живут в разном темпе.
Рис. 14. Решение линейного уравнения (5) --- простейшей математической модели
демографии при
различных начальных данных n0. Эта модель дает экспоненциальный рост населения.
Если
зафиксировать и
...Поділитися у соцмережах
