Жанр: Наука
Синергетика и прогнозы будущего
...е могут
превратиться в прекрасных
лебедей через 10, 20 или 50 лет. А могут и не превратиться.
Вторая голова, самая конкретная и деловитая, ведет исследования в тех
областях, которые уже
доказали свою перспективность. Например, специалисты по хаосу сейчас в большой
чести в ряде
ведущих западных банков и холдинговых компаний. Собственно, они и превратили
получение
прогнозов в индустрию.
Основные идеи здесь довольно просты. Обычно приверженцы "эффективного рынка"
считают, что
изменение цен происходит только под воздействием новой информации. Специалисты
по хаосу
полагают, что рынки живут по своим, более сложным, и пока не понятым, законам.
Их можно изучать,
пользуясь теми же методами и приемами, какие применяются для исследования
колебательных
химических реакций, изменений солнечной активности или схода снежных лавин.
Почему-то в США
эту область исследований называют "новой ракетной наукой". Может быть, из-за
того, что ключевые
позиции здесь заняли люди, в недалеком прошлом занимавшиеся сверхсекретными
военными
разработками.
А как же "горизонт прогноза"? Дело в том, что теоремы, которые доказывают
математики, в
основном относятся к средним величинам, к тому случаю, когда "сани" очень долго
ездят вдоль
аттрактора. Помнится, Алису очень удивило, что в Стране Чудес есть "очень
странное место". Такие
"странные места" могут существовать и в тех пространствах, где обитают странные
аттракторы. Попав в
них, мы получаем завидную возможность предсказать свою будущность на довольно
большой срок.
Просто эти места надо уметь искать. Или другая возможность --- научить компьютер
выделять наиболее
существенные вещи из огромного потока информации.
Наверное, читателю не надо объяснять, что к нашему "рынку" все это совершенно
неприменимо.
Ведь не надо учить механику для строительства воздушных замков или посещать
курсы кройки, чтобы
newpage noindent сшить платье на голого короля. Лучше по-свойски выпить с самим
королем или, на
худой конец, с его первым замом.
В нелинейной науке есть много глубоких серьезных проблем. Здесь надо считать,
доказывать
теоремы, искать новые подходы. Хотя и старые не так уж плохи. В самом деле, не
так давно шахматная
программа выиграла у Гарри Каспарова. Как тут не вспомнить уверенные заявления
пятилетней
давности, что это не может случиться, потому, что не может случиться никогда.
Как не упомянуть
философов и методологов, горячо обсуждавших лет 15 назад вопрос, может ли машина
мыслить. А ведь
одна из ведущих шахматных программ была создана силами четырех студентов,
развивавших
известные подходы. Нормальная наука, как ее называют специалисты по
науковедению, которой
занимается вторая голова, --- вещь серьезная.
И, наконец, третья голова. В сущности, она самая главная. Она отвечает не на
те вопросы, на которые
отвечать приятно и полезно, а на те, на которые нужно. Именно поэтому нелинейная
наука интенсивно
развивается, например, в Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша
Академии наук. Этот
институт известен крупным вкладом в реализацию космической и ядерной программ, в
становление
вычислительной математики и программирования, в другие проекты национального
масштаба. Дело в
том, что на множество вопросов, связанных с прогнозом, нам было бы очень
желательно знать ответы.
И как можно быстрее. Некоторые работы, выполненные в Институте, и обсуждаются в
этой книге.
Вы заметили, что детективы и традиционные фантастические романы на книжных
полках потеснили
книги в жанре "фэнтези"? В них создаются иные миры, построенные по иным законам,
и далее
"проигрывается" жизнь в этих мирах. Вероятно, это симптом неблагополучия.
Как это ни банально звучит, так, как мы живем, жить нельзя. Немножко можно, а
долго нельзя. Как
бы Вы отнеслись к человеку, который получает 100 тыс. в месяц, а тратит миллион?
Но именно так
живет человечество, которое лишь на одну десятую использует возобновляемые
источники энергии. А
невозобновляемые источники, как это ни странно, не возобновляются.
За последние 20 лет конфликты и региональные войны заставили покинуть родные
места 13 млн.
человек, число "экологических беженцев" за тот же срок превысило 10 млн. При
американской
бомбардировке Нагасаки число убитых и раненых составило около 140 тыс. человек.
В результате
аварии на химическом заводе в Бхопале это число превысило 220 тыс. Человечество
играет в очень
опасную игру. Оно ведет свой корабль со спокойствием и уверенностью невежды.
Каковы сценарии развития человечества, отдельных стран и регионов? Что будет,
если в стране не
будет высшего образования? Где поворотные пункты (точки бифуркации) в истории, в
геополитике, в
смертельно опасной гонке вооружений и разорительной для отдельных стран "гонке
разоружений"? На
эти вопросы и призвана отвечать третья голова.
Модели, созданные на основе нелинейной науки, предложенные американским ученым
Дж.МайерКрессом
и его коллегами, стали в свое время важным аргументом в пользу отказа от
первоначальных
планов СОИ. Выяснилось, что развертывание такой системы не повысит, а
существенно понизит
безопасность США. В этой модели есть чувствительность к начальным данным. Малые
причины могут
иметь большие и трагические последствия.
Другая, недавно предложенная концепция --- теория самоорганизованной
критичности,-
устанавливает глубокую аналогию между сходом снежных лавин, колебаниями курсов
акций,
землетрясениями, техногенными катастрофами и проблемами, возникающими при
хранении ядерных
арсеналов. Третьей голове есть что сказать об "окнах уязвимости" нашей
цивилизации и возможных
альтернативах.
Впрочем, третьей голове приходится хуже других. Чтобы погубить дело, надо
сделать его
"престижным". Вспомните 70-е годы. Энтузиасты создавали новую науку ---
экологию. Спорили,
мечтали. А сейчас ... Выдающимися знатоками экологии вдруг оказались
незадачливые генсеки и
отставные премьеры. Специалистов как-то незаметно оттеснили. Сейчас то же самое
происходит с
"безопасностью", "устойчивым развитием", "планированием будущего". Это "идет".
Под это "дают". Но
будущее слишком серьезная вещь, чтобы отдавать его в руки временщиков от
политики и науки.
Примерно такие слова авторам приходится говорить студентам физтеха,
польстившимся на слова
"хаос" и "нелинейная наука". И почти все твердо решают иметь дело со второй
головой. Это ---
отражение отношения к науке в обществе. В обществе, где сегодня не любят
смотреть ни на звезды, ни
под ноги. Но времена меняются.
Глава 1.
Синергетика и изменение взгляда на мир
1.1 Нелинейная динамика и двор Хаоса
1.2 Структуры, самоорганизация, нелинейная динамика
1.2 Структуры, самоорганизация, нелинейная динамика
Время простых вопросов
Самая большая беда для науки
--- превратиться в моду.
С.Цвейг
Молодость научного направления связана с чувством удивления и с парадоксами.
Задается простой
вопрос. На него дается очевидный ответ, который оказывается неверным. Это и
ведет к размышлениям.
Поэтому попробуем вначале удивиться.
Представьте себе, что мы находимся на побережье небольшого острова в океане,
длина побережья
которого ... бесконечна. Такого не бывает, скажет здравомыслящий читатель. И
окажется не прав. Рис.5
показывает, как можно построить такую фигуру.
Рис. 5. Несколько первых шагов в последовательности, приводящей к построению
острова Коха,
который имеет ограниченную площадь и бесконечный периметр.
На первом шаге берем обычный равносторонний треугольник (см. рис.5). Потом на
каждой стороне
достраиваем по треугольнику, сторона которого в три, а значит, площадь в девять
раз меньше, чем у
исходного. И так далее. То, что получится после бесконечного количества таких
шагов, называется
островом Коха. Почему его побережье бесконечно? Это очень просто. На втором шаге
периметр
фигуры увеличится в 4/3 раза. На третьем --- еще в 4/3. Это произошло потому,
что каждый отрезок мы
заменили ломаной, длина которой в 4/3 раза больше. А (4/3)n при n, стремящемся к
бесконечности,
конечно, тоже стремится к бесконечности. Если вспомнить знакомую из школьных
времен
геометрическую прогрессию, то можно убедиться, что площадь острова Коха конечна.
Теперь представим себе, что мы решили измерить периметр острова Коха,
пользуясь линейкой
определенной длины. При этом мы, конечно, будем заменять сложную изрезанную
береговую линию
ломаной со звеньями, не меньшими, чем наша линейка, как это всегда делают
географы. Измеренный
периметр будет зависеть от длины линейки. Это кажется совершенно неожиданным. Но
действительно,
чем меньше длина линейки, тем больше измеренная длина побережья. Простейшая
процедура
измерения длины оказывается совсем не так проста, как кажется вначале.
Остров Коха обладает еще одной забавной особенностью. Допустим, что мы
фотографируем этот
остров в океане из космоса. Мы можем фотографировать с любым увеличением, но
часть побережья
будет тем меньше, чем больше увеличение. И мелкие детали в крупном масштабе,
естественно, будут
теряться. Типичная картина, которую мы увидим, показана на рис.6. В крупном
масштабе видим
большой зубец и несколько маленьких. Увеличим маленький зубчик. То есть, по
существу, увеличим
маленький прямоугольничек до размеров первоначального. Опять выделим маленький
прямоугольник,
опять увеличим и опять увидим то же самое ... И так до бесконечности. Это
свойство выглядеть в
любом, сколь угодно мелком масштабе примерно одинаково сейчас называется
масштабной
инвариантностью, а множества, которые им обладают, --- фракталями. Можно
спросить, как же
характеризовать фракталы, если, как в сказке про Алису, размеры становятся
какими-то зыбкими,
ненадежными и начинают зависеть от размеров линейки?
Рис. 6. Фракталы обладают масштабной инвариантностью --- при увеличении мы
вновь и вновь
видим одну и ту же картину. Побережье острова Коха в разных масштабах, на каждом
следующем
рисунке левый прямоугольник показан в увеличенном виде.
На это математики могут ответить просто и остроумно:"Важна не сама длина, а
то, как она зависит от
размеров линейки, т.е. важно некое число, называемое фрактальной размерностью".
Для отрезка --- 1,
для квадрата --- 2, для куба --- 3. Для фракталов --- дробное число. Отсюда и
само название "фрактали",
происходящее от английского "fractal" --- дробный, неполный, частичный.
Например, для острова Коха
оно лежит между 1 и 2. Такое значение как будто говорит, что это уже не обычная
кривая, но еще не
плоскость.
Мы надеемся, после чтения всего написанного наш читатель не утратил
способности здраво
рассуждать. А для того, чтобы эту способность обострить, пусть он представит,
что авторы этих строк
просят скромную, а может быть, и не очень скромную сумму, например, на
исследования фрактальной
геометрии. Наверное, сначала возникнет настроение, точно выраженное словами
одного грибоедовского
героя:"Ну нет, ученостью меня не обморочишь", а потом и первое конкретное
возражение:"Если все так
просто, как здесь написано, то неужели об этом раньше не знали?".
Конечно, знали. Первый пример фрактала придумал классик математического
анализа Вейерштрассе
еще в прошлом веке. Так же, как к береговой линии острова Коха, к этой линии
нельзя провести
касательную ни в одной точке. Такие функции не имеют производной. Они вызывали у
современников
резкое чувство протеста. Блестящий математик Эрмит писал своему коллеге
Стильтьесу:"... С
омерзением и ужасом отворачиваюсь от этой зловредной язвы --- непрерывных
функций, нигде не
имеющих производных".
И тут, наверное, рождается второе возражение:"Все это очень занятно. Но,
конечно, фракталы не
имеют никакого отношения к математическому моделированию реальных объектов и тем
более к
природе. Да и вообще математика не является естественной наукой. И ее роль не
следует
переоценивать". Это сильное возражение. Оно лежит в русле классической научной
традиции. Следуя
традиционным канонам, ценность такого математического "монстра" в познании
реальности очень
невелика. И хотя уже в начале нашего века французский физик Ж.Перрен высказал
мысль о том, что
фракталы будут полезны во многих физических задачах, в частности, связанных с
броуновским
движением, к фракталам относились как к забавной математической безделице.
Ситуация кардинально изменилась с появлением в 1977 г. книги Б.Мандельброта
"Форма, случай и
размерность". В ней, собственно, и было введено слово "фракталы" и показано, что
существование
фрактальных множеств позволяет объяснить, а в некоторых случаях и предсказать
экспериментальные
результаты, полученные в разных областях. Среди них --- космология, теория
турбулентности,
химическая кинетика, физика полимеров, теория просачивания жидкости и еще
десятки других. В
последние годы к ним прибавились физиология, физика полупроводников, теория
роста городов.
Более того, даже остров Коха имеет непосредственное отношение к реальности.
Английские военные
топографы еще до войны заметили, что длина побережья Великобритании зависит от
длины линейки,
которой ее измеряют. Аналогичная зависимость определяет длину некоторых рек,
побережье многих
островов, путь, проходимый частицей при броуновском движении, и многое другое.
Еще пример. Оказалось, что при вытеснении жидкостью с малой вязкостью другой
жидкости, с
большой вязкостью, первоначально плоская поверхность раздела переходит в
поверхность,
напоминающую пальцы перчатки. Такие структуры получили название вязких пальцев.
Последовательное дробление кончиков пальцев приводит к возникновению фрактальных
кластеров.
Анализ этого явления и способов борьбы с ним очень важен для приложений. Пальцы
наблюдаются при
закачке воды под давлением в нефтеносный пласт для повышения нефтеотдачи. Но изза
описанного
эффекта вода просачивается значительно дальше, чем хотелось бы, и на поверхность
выкачивается
смесь, содержащая в основном воду.
Остров Коха показывает, что периметр фигуры может быть никак не связан с ее
площадью. Точно
так же можно построить тело с конечным объемом и бесконечной площадью
поверхности. А теперь
вспомним школьную химию, в которой говорится, что большинство технологических
процессов
требует катализа, и что в большинстве случаев он происходит на поверхности
катализатора. Теперь
представим себе, что нам удается создавать частицы катализатора, в определенном
интервале
масштабов устроенные как фракталы с бесконечной площадью. Уже появились первые
сообщения о
работах экспериментаторов, двигающихся по этому пути.
Этот путь от парадоксального математического объекта к обнаружению новых
явлений природы в
самых разных областях становится все более традиционным для неклассической
науки. Именно это
позволило создать новый междисциплинарный подход --- теорию самоорганизации, или
синергетику. В
ее основе, как догадался читатель, глубокая аналогия между математическими
моделями,
возникающими в различных областях. Еще недавно синергетику воспринимали как моду
или игру ума.
Однако умение давать глубокие ответы на простые вопросы, обнаружение ряда
замечательных
эффектов заставили воспринимать этот подход всерьез.
Синергетика --- это нелинейная наука. Десятки международных журналов,
посвященных нелинейной
науке, большое количество конференций указывают на растущий интерес к этой
области знания. Одним
из основоположников нелинейной науки можно считать Анри Пуанкаре. На заре нашего
века он
высказал мысль, что в будущем удастся предсказать новые явления природы, исходя
из самых общих
представлений о математических моделях, описывающих изучаемые объекты. Можно
сказать, что
сегодня мы стали свидетелями того, как это пророчество сбывается.
И еще одно направление синергетики, которое нам кажется очень важным. Оно
родилось еще из
одного простого вопроса. Тех, кто впервые знакомится с информатикой, обычно
поражает
несоответствие между огромным количеством информации, которое содержится в
цветном
изображении, и скромным объемом, который может быть отведен под него в головном
мозге. Вывод из
этого несоответствия прост: информация в мозге обрабатывается и хранится совсем
не так, как в
компьютере. Вероятно, мозг выделяет что-то наиболее важное в каждом изображении,
сцене,
переживании, с чем и имеет дело в дальнейшем. При таком подходе главной
проблемой становится
научить вычислительную машину выделить необходимое и забыть ненужное.
Взгляните на рис.7. Чтобы "запомнить" стандартным способом эту картину,
нарисованную на экране
компьютера, нужно хранить более одного мегабайта информации. Однако если
выделить
"самоподобные" элементы в этом изображении с помощью методов фрактальной
геометрии, достаточно
одного килобайта. Причем, это число не зависит от размеров экрана. Оно останется
тем же самым, если
рисовать этот узор, а может быть дракона, с гораздо большим числом деталей.
Здесь информацию
удается сжать более чем в тысячу раз.
Рис. 7. Пример изображения, при хранении которого информация может быть сжата
более чем в 1000
раз.
Хорошо было бы научиться сжимать информацию и для всех других изображений.
Трудно
переоценить важность этой проблемы. С сейсмических станций, спутников,
метеостанций поступает
гигантский объем информации. Широкое использование томограмм, энцефалограмм и
кардиограмм,
снимаемых в течение больших интервалов времени, сделали современные больницы
крупными
поставщиками данных. Одна из принципиальных задач синергетики --- научиться
эффективно хранить,
перерабатывать, передавать и анализировать большие информационные потоки.
Среди придуманных миров
Среди миров, в мерцании светил
Одной звезды я повторяю имя ... Не
потому, чтоб я ее любил, А потому, что я
томлюсь с другими.
И.Анненский
Опять простой вопрос. Почему ученым вообще удается что-либо описать и понять?
Почему простые
модели и теории работают в нашем безумно сложном мире? Один из ответов,
предлагаемых
нелинейной наукой, таков: все дело в том, что происходит самоорганизация.
Сложные системы имеют
очень много степеней свободы. Однако все устроено так, что в процессе эволюции
выделяется
несколько главных, к которым подстраиваются все остальные. Эти главные степени
свободы называют
параметрами порядка. Когда этих параметров немного, есть шанс описать сложную
систему просто.
Вот два примера самоорганизации, показывающие, что это явление может быть очень
полезным или,
напротив, не очень полезным.
Организм обладает гигантским числом степеней свободы. Однако, чтобы поднести
ложку ко рту, нам
не надо думать о всех или управлять ими. При выработке навыков они
подстраиваются к основным, за
которыми и надо следить. Возникает иерархическая структура управления и
взаимосвязей, которые
физиологи называют синергиями (в переводе с греческого это означает совместное
действие). Другой
пример самоорганизации --- это возникновение иерархии в стае волков или в
колонии, на вершине
которой стоят "паханы", определяя поведение "шестерок" и других членов иерархии.
Рис. 8. Формы структур, возможные в некоторой среде, в которой есть только
процессы горения и
теплопроводности. На рис.a показано, как они выглядят в пространстве (x, y, t).
На рис.б представлен
аналог географической карты, показывающей все структуры, которые могут возникать
в такой среде.
Жирные точки и сплошные линии соответствуют максимумам, кружочки и пунктир ---
минимумам.
Крестиком помечена точка, к которой в процессе эволюции будет сходиться волна
горения. Тонкая
линия --- контур структуры на уровне половины высоты.
Самые простые примеры самоорганизации, в которых удалось разобраться лучше,
чем в остальных,
дают некоторые системы из физики, химии, биологии. События в них развиваются не
только во
времени, но и в пространстве. Всех их роднит одна черта. Представим себе
диффузию, порожденную
случайным блужданием множества частиц, вообразим поразительно сложные траектории
частиц
жидкости или огромное множество химических реагентов, причудливо превращающихся
друг в друга,
или множество людей, пользующихся городским транспортом. Казалось бы, здесь все
совершенно
случайно, или, как говорят физики, имеет место хаос на микроуровне. И во всех
этих случаях средние
величины ведут себя вполне детерминированным образом. Хаос на микроуровне может
приводить к
упорядоченности на макроуровне. Но какой странной может быть эта
упорядоченность! Реакция в
пробирке может пойти по колебательному пути --- раствор в пробирке может,
например, начать
периодически менять свой цвет. Транспортные потоки распределятся в соответствии
с вполне
определенными строгими законами. А если диффузия происходит в некоторой горящей
среде, то могут
возникнуть причудливые структуры. Например, такие, как показано на рис.8. На нем
представлена
пространственная форма волн горения растущей амплитуды, сходящихся к центру
симметрии и
сохраняющих свою конфигурацию. Может быть, они похожи на таинственные
симметриады,
вырастающие из океана на планете Солярис? Изучение этих и некоторых других
структур, не простое
дело. Оно требует разработки новых математических методов и широкого
использования компьютеров,
однако подчас оказывается очень поучительным.
Имея дело с процессами, которые разворачиваются во времени и пространстве, мы
сталкиваемся с
новым элементом реальности --- формой возникающих структур. Мысли о совершенстве
формы,
соразмерности гармонии были одним из ключевых мотивов в познании природы.
Идея о связи геометрии с идеальными объектами, лежащими в основе мироздания,
восходит к
Платону. Эта идея была возрождена В.Гейзенбергом, намечавшим контуры будущей
единой теории
поля и элементарных частиц. Именно в различии формы электронных облаков в
странном мире,
придуманном Э.Шредингером и другими создателями квантовой механики, кроется
разгадка многих
парадоксов атомной физики.
В той необычной вселенной, где существуют структуры, показанные на рис.8,
форма также играет
ключевую роль. Она показывает, по каким законам простые структуры могут быть
объединены в
сложные. Форма определяет существование структуры. Замечательный факт, что для
создания сложной
структуры, развивающейся во времени, надо верно угадать ее форму. Количество
вложенной энергии не
играет здесь никакой роли.
Множество причудливых конфигураций вначале порождало у исследователей иллюзию
того, что в
этой вселенной можно построить структуры любой сложности. И одним из ключевых
результатов
анализа стало доказательство того, что в этой среде могут быть построены только
эти структуры и
никакие другие. Есть правила запрета. Попытки что-либо "навязать" этой системе
или действовать
методом проб и ошибок обречены на провал.
Не правда ли, здесь много аналогий? С экономическими, социальными,
экологическими системами,
где попытки "перестроить" или "создать заново", поразительно редко приводят к
положительным
результатам. С современной медициной, обратившейся к сверхслабым, "резонансным"
воздействиям на
организм, подчас более эффективным, чем сильнодействующие препараты. С
философией Древнего
Востока, где во главу угла ставилось выявление внутренних потенций целого и
следование им.
Наш мир слишком сложен. В нем много законов сохранения. События в нем
разворачиваются в
гигантском интервале пространственных и временных масштабов. В нем поразительным
образом
сочетаются случайность и закономерность. И чтобы разобраться в нашем мире, очень
полезно строить
другие миры. Причудливые, необычные, парадоксальные. Наверное, это сродни
искусству, где через
уникальное и единичное удается постичь всеобщее, где гипербола и гротеск
позволяют увидеть что-то
важное и необычное. При этом дистанция между неведомым и очевидным подчас
оказывается
поразительно малой.
Итак, еще один мир. Его придумал в 1970 г. английский математик Джон Конвей и
назвал игрой
"Жизнь". Название связано с тем, что она имитирует рост, распад и различные
изменения в популяции
живых организмов. В эту игру читатель может поиграть, ничего не зная о какихлибо
уравнениях, не
пользуясь компьютером, а имея под рукой лишь лист бумаги в клетку. Хотя на
компьютере все
выглядит, конечно, красивее.
Рассматривается бесконечная плоская решетка квадратных ячеек --- клеток. Время
в этой игре
дискретно (t=1,2...). Клетка может быть живой или мертвой. Изменение ее
состояния в момент (t+1)
определяется состоянием ее соседей в момент t (соседей у каждой клетки 8, из них
4 имеют с ней общие
ребра, а 4 --- только вершины). Правила таковы.
Если клетка мертва в момент времени t, она оживает в момент (t+1) тогда и
только тогда, когда трое
из ее восьми соседей были живы в момент t.
Если клетка была жива в момент времени t, она погибает в момент (t+1) тогда и
только тогда, когда
меньше, чем две, или больше, чем три соседние клетки, были живы в момент t.
Рис. 9. Столкновение планера со стационарной структурой в игре "Жизнь".
Чтобы читатель почувствовал, насколько причудливо могут развиваться события в
этом мире,
проследим за судьбой только одной конфигурации. Некоторые из "моментальных
снимков" ее
эволюции показаны на рис.9. "Домик" из четырех клеток в отсутствие движущейся
структуры "планера"
стоял бы на месте, не меняясь со временем. "Планер" двигался бы по диагонали,
повторяя свою
конфигурацию через каждые четыре шага. Однако им суждено было столкнуться. Число
клеток вначале
растет, захватывая все большую площадь, а потом уменьшается. Когда эволюция
закончена, возникает
несколько конфигураций, от времени не зависящих, и других, которые повторяют
себя на каждом
втором шаге. (Их называют "мигалками", на рис.9, соответствующем моменту времени
t=182, они
выглядят как три расположенные в ряд или в столбик живые клетки. На следующем
шаге по времени
"ряды" превратятся в "столбики", а "столбики" в "ряды", затем все повторится.)
Видно, что эволюция в этой игре с примитивными правилами, с локальными
связями, включающими
только ближайших соседей, может быть довольно сложной. Но этого мало. Математики
доказали, что
эта эволюция может быть сколь угод
...Поділитися у соцмережах
